Н. Макарова

 

НЕТРАДИЦИОННЫЕ СОВЕРШЕННЫЕ КВАДРАТЫ

 

 

Начну с терминологии. Многие авторы книг и статей о магических квадратах используют термин “совершенные” в применении к пандиагональным магическим квадратам. Я уже несколько раз отмечала в разных статьях и на форуме dxdy.ru, что совершенные квадраты – это особый вид магических квадратов; эти квадраты тоже являются пандиагональными, но обладают ещё некоторыми дополнительными свойствами, которыми не обладают все пандиагональные квадраты. Только для порядка 4 пандиагональные квадраты являются также и совершенными.

Вчера скачала и просмотрела книгу: В. В. Трошин. Магия чисел и фигур. – М.: Глобус, 2007. В книге довольно большой раздел о магических квадратах. Автор тоже называет совершенными пандиагональные квадраты, а о настоящих совершенных квадратах ничего не пишет.

 

Выкладываю здесь архив, в котором читатели найдут три статьи о классических совершенных квадратах на английском языке, а также мои статьи, посвящённые этим квадратам.

Классические совершенные квадраты существуют только порядков n = 4k, k = 1, 2, 3, … Нетрадиционные совершенные квадраты существуют для всех чётных порядков, начиная с n = 4.

 

Во второй части статьи “Нетрадиционные пандиагональные квадраты” я рассказала, как можно построить совершенные квадраты 6-го порядка из произвольных натуральных чисел.

Там был показан и совершенный квадрат 6-го порядка из простых чисел с повторяющимися числами.

Совершенный квадрат 4-го порядка из простых чисел давно построен,  им является пандиагональный квадрат.

 

Меня очень заинтересовал вопрос построения совершенного квадрата 6-го порядка из различных простых чисел. Составила схему такого квадрата (рис. 1):

 

 

Рис. 1

 

Обозначим магическую константу квадрата - S, константу комплементарности – K, имеем:

 

K = S/3, a_i + a_i’ = K, b_i + b_i’ = K

 

Кроме того, в совершенном квадрате сумма чисел в любом квадрате 2х2 равна 2K, сумма чисел в угловых ячейках тоже равна 2K. И это ещё не всё. В совершенном квадрате мы имеем примитивные квадраты 3х3 по решёткам Россера. Один из таких примитивных квадратов выделен на рис. 1 белым цветом. Сумма чисел на диагоналях (главных и разломанных) примитивного квадрата равна S/2.

Учитывая все эти зависимости, я составила программу построения совершенного квадрата 6-го порядка, в которой всего 4 независимых переменных. Программа выполняется быстро, однако мне долго не удавалось найти совершенный квадрат. Пришлось проверить очень много наборов комплементарных пар простых чисел, причём проверяла я их не по порядку, а выборочно. Сначала получила квадрат, в котором шесть чисел не являются простыми, этот квадрат показан на рис. 2. Не простые числа выделены белым цветом.

 

 

Рис. 2

 

Далее удалось получить совершенный квадрат, в котором только три числа не являются простыми (рис. 3).

 

 

Рис. 3

 

И последнее приближение – квадрат с одним не простым числом (рис. 4):

 

 

Рис. 4

 

Наконец, найден совершенный квадрат, полностью составленный из простых чисел (рис. 5):

 

 

Рис. 5

 

Константа комплементарности этого совершенного квадрата равна 9930. В наборе 266 комплементарных пар! Тем не менее, квадрат был найден за 5 секунд. Магическая константа квадрата равна 29790. Не могу сказать, является ли этот квадрат наименьшим, так как проверку выполняла не для всех потенциальных магических констант. Вопрос о минимальности квадрата остаётся открытым.

 

К построению совершенного квадрата 8-го порядка из простых чисел пока не приступала.

Построить совершенный квадрат 8-го порядка из произвольных натуральных чисел очень просто. Для этого достаточно взять восемь арифметических прогрессий длины 8 с одинаковой разностью, первые члены которых тоже образуют арифметическую прогрессию, записать эти прогрессии в виде примитивного квадрата и применить к примитивному квадрату матричное преобразование, которое я применяю для построения классического совершенного квадрата данного порядка из обратимого. Приведу пример.

Возьмём такие прогрессии (сразу записываю их в форме примитивного квадрата, рис. 6):

 

 

Рис. 6

 

Применим к этому примитивному квадрату следующее матричное преобразование (рис. 6а):

 

 

Рис. 6а

 

Это преобразование применяется при построении классических совершенных квадратов 8-го порядка из обратимых, о чём рассказано в одной из статей, выложенных в архиве.

 

Получим следующий нетрадиционный совершенный квадрат 8-го порядка (рис. 7):

 

 

Рис. 7

 

Найти восемь таких арифметических прогрессий из простых чисел мне не удалось. Поэтому пока могу представить только совершенный квадрат 8-го порядка из повторяющихся простых чисел (рис. 8).

 

 

Рис. 8

 

Этот квадрат был построен в статье “Нетрадиционные магические квадраты из простых чисел”.

Конечно, из повторяющихся чисел квадрат построить просто. А вот из различных чисел очень сложно. Предлагаю читателям эту непростую задачу.

 

Совершенный квадрат 10-го порядка из произвольных натуральных чисел был построен мной в статье “Нетрадиционные магические квадраты”. Он получен из идеального квадрата, построенного тем же методом, каким строится идеальный квадрат 6-го порядка Журбы.

По этому же алгоритму построен совершенный квадрат 10-го порядка из простых чисел, но тоже с повторениями чисел.

Этот квадрат строится из чисел арифметической прогрессии: 14933623 + 13#n, n = 0, 1, 2, …, 12 (прогрессия найдена в 1999 г., автор David W. Wilson). Сначала строится идеальный квадрат (рис. 9).

 

 

Рис. 9

 

Применив к этому идеальному квадрату преобразование 3-х квадратов, получаем следующий совершенный квадрат 10-го порядка (рис. 10):

 

 

Рис. 10

 

Понятно, что нетрадиционные совершенные квадраты из произвольных натуральных чисел порядков n = 4k можно строить точно так, как показано для квадратов порядка 8. А нетрадиционные совершенные квадраты порядков n = 4k + 2 строятся аналогично показанному построению для порядков 6 и 10 (тоже из произвольных натуральных чисел).

Всё гораздо сложнее для совершенных квадратов из простых чисел и из чисел Смита. Из чисел Смита известен пока только совершенный квадрат 4-го порядка, это пандиагональный квадрат (автор квадрата М. Алексеев, квадрат показан в первой части статьи “Нетрадиционные пандиагональные квадраты”). Для порядка 6 я ещё не пыталась построить совершенный квадрат из чисел Смита. Как известно, числа Смита очень плохо складываются в магические квадраты. И если уж для простых чисел совершенный квадрат 6-го порядка пришлось искать долго, для чисел Смита надо ожидать ещё больших сложностей в построении такого квадрата.

 

Вот пока всё, что удалось сделать в области построения нетрадиционных совершенных квадратов. Нерешённых задач очень много. Приглашаю читателей подключаться к их решению.

Не забывайте посещать форум dxdy.ru, тему “Магические квадраты”:

 

http://dxdy.ru/topic12959.html

 

На форуме я и мои коллеги выкладываем все результаты.

 

ДОБАВЛЕНИЕ (17 октября 2010 г.)

 

Продолжила работу над совершенными квадратами 8-го порядка. Выше был показан пример построения такого квадрата из 8 арифметических прогрессий длины 8 с одинаковой разностью, первые члены которых тоже образуют арифметическую прогрессию. Оказалось, что совершенный квадрат 8-го порядка можно построить из 8 последовательностей вида a_i, a_i+1, a_i+2, …, a_i+7, i = 1, 8, 16, …, 56, удовлетворяющих следующим условиям:

 

a_i + a_i+7 = a_i+1 + a_i+6 = a_i+2 + a_i+5 = a_i+3 + a_i+4

a₁ + a₅₇ = a₉ + a₄₉ = a₁₇ + a₄₁ = a₂₅ + a₃₃

 

Приведу пример. На рис. 11 вы видите примитивный квадрат, составленный из последовательностей указанного вида.

 

 

Рис. 11

 

Имеем полный аналог обратимого квадрата. Примитивный квадрат симметрический и пандиагональный. Применяем к нему преобразование, показанное на рис. 6а и получаем следующий совершенный квадрат (рис. 12):

 

 

Рис. 12

 

Обратите внимание на структуру примитивного и совершенного квадратов. В левой половине примитивного квадрата находятся все первые числа из комплементарных пар, а в правой половине – все вторые числа. Соответственно в совершенном квадрате эти числа расположились по чёткой закономерности. Эта закономерность позволила мне оптимизировать программу построения примитивного квадрата для совершенного квадрата 8-го порядка.

 

На рис. 13 показана схема примитивного квадрата 8-го порядка, по которой я писала программу построения.

 

 

Рис. 13

 

Здесь a_i + a_i’ = K, b_i + b_i’ = K, c_i + c_i’ = K, где K = S/4 - константна комплементарности, S – магическая константа будущего совершенного квадрата.

Независимые элементы: a₁, a₂, a₃, a4, a₈, b₁, b₂, b3. Все остальные элементы вычисляются.

 

Написав программу, я начала проверять наборы комплементарных пар. К сожалению, пока мне не удалось найти совершенный квадрат из простых чисел.

Покажу один полуфабрикат, выданный программой (не перевожу в табличный формат):

 

                        29  167  337  379  1217  1259  1429  1567

                        89  227  397  439  1277  1319  1489  1627

                        293  431  601  643  1481  1523  1693  1831

                        701  839  1009  0  0  0  0  2239

                        71  0  0  0  0  1301  1471  1609

                        479  617  787  829  1667  1709  1879  2017

                        683  821  991  1033  1871  1913  2083  2221

                        743  881  1051  1093  1931  1973  2143  2281

 

В этом примитивном квадрате найдено 56 чисел. Константа комплементарности равна 2310. Достраиваю этот примитивный квадрат вручную (рис. 14):

 

 

Рис. 14

 

Получаю готовый примитивный квадрат, но в нём два числа не являются простыми (выделены красным цветом) и есть одинаковые числа. Не совсем хороший квадрат, но лучшего пока нет. Применив к этому примитивному квадрату матричное преобразование с рис. 6а, получим такой совершенный квадрат (рис. 15):

 

 

Рис. 15

 

Это первое приближение к искомому совершенному квадрату 8-го порядка из простых чисел.

 

Примитивный и совершенный квадраты на рис. 14 - 15 имеют точно такую же структуру, как примитивный и совершенный квадраты на рис. 11 – 12.

Разумеется, это не единственная возможная структура совершенного квадрата. Покажу, например, классический совершенный квадрат, имеющий другую структуру (рис. 16):

 

 

 

Рис. 16

 

Моя программа выдаёт для классического совершенного квадрата такой примитивный квадрат (рис. 17) (программа работает до первого квадрата):

 

 

Рис. 17

 

Это один из уникальных обратимых квадратов 8-го порядка. Из этого обратимого квадрата с помощью матричного преобразования с рис. 6а получается такой классический совершенный квадрат (рис. 18):

 

 

Рис. 18

 

Приглашаю читателей поискать совершенный квадрат 8-го порядка из различных простых чисел.

 

 ДОБАВЛЕНИЕ (9 ноября 2010 г.)

 

Совершенный квадрат 8-го порядка из простых чисел удалось построить 26 октября, но очень отвлёк меня дьявольский квадрат 13-го порядка из простых чисел. Очень трудно было построить этот квадрат. Теперь он построен, и я решила внести добавление в эту статью.

 

Сначала покажу примитивный квадрат, построенный по программе для будущего совершенного квадрата (рис. 19):

 

 

Рис. 19

 

Применяю к этому примитивному квадрату своё матричное преобразование (превращает обратимый квадрат в классический совершенный), получаю совершенный квадрат (рис. 20):

 

 

Рис. 20

 

Константа комплементарности этого квадрата равна 6006, магическая константа равна 6006*4 = 24024.

 

Если применить к полученному совершенному квадрату преобразование обратное преобразованию трёх квадратов, получится ассоциативный квадрат (рис. 21):

 

 

Рис. 21

 

 

 

Архив со статьями:

 

http://www.natalimak1.narod.ru/mk/most-perfect.rar

 

 

10 октября – 9 ноября 2010 г.

г. Саратов

 

       Пишите мне!

На главную страницу