СОТОВЫЕ МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ

 

Часть II

 

Данная страница является продолжением страницы

 

http://www.natalimak1.narod.ru/sotov.htm

 

Как я уже отмечала, в книге Чебракова в большинстве случаев не указывается, кто автор того или иного метода. Вот и метод сотовых квадратов неизвестно кому принадлежит.

Вчера просматривала все ссылки по магическим квадратам и наткнулась на эту:

http://www.grogono.com/magic/6x6.php

 

С этого сайта я уже использовала матричные методы построения пандиагональных квадратов. А поскольку квадраты 6-ого порядка не могут быть пандиагональными, то эту страницу сайта я и не стала тогда смотреть внимательно. А сейчас глянула на эту страницу – да это же метод сотовых квадратов! Жалко, что статья на английском языке, и я не всё в ней понимаю. Но пример построения первого магического квадрата 6-ого порядка не оставляет никаких сомнений: это именно метод сотовых квадратов.

Скопирую этот пример построения с данной веб-страницы. Вот первый вспомогательный квадрат (рис. 1):

 

 

Рис. 1

 

Вот второй вспомогательный квадрат (рис. 2):

 

 

Рис. 2

 

А это готовый сотовый квадрат 6-ого порядка, который, очевидно, получен поэлементным сложением двух вспомогательных квадратов (рис. 3):

 

 

Рис. 3

 

Здесь первый вспомогательный квадрат и готовый магический квадрат заполнены числами на единицу меньшими, нежели в привычном традиционном магическом квадрате. Чтобы из квадрата с рис. 3 получить традиционный магический квадрат, надо все его элементы увеличить на единицу.

 

Интересно посмотреть на схему расстановки блоков 2х2 во втором вспомогательном квадрате, в этой схеме использованы 9 разных блоков, такая схема в книге Чебракова не приводится, автор даёт только схемы с использованием трёх разных блоков.  На рис. 4 приведена схема расстановки блоков, соответствующая квадрату с рис. 2 (каждый блок 2х2 заменён его номером).

 

 

Рис. 4

 

Но в книге приводится количество таких схем расстановки (с использованием 9 различных блоков), это количество равно 18886.

 

Далее в указанной статье на веб-сайте приводится одна группа магических квадратов. Вот эти магические квадраты (копирую):

 

24 Examples from 1 Source

 

            1                                 2                                 3                                 4     
22 21 24 25  6  7        21 22 24 26  5  7        17 22 24 30  3  9        22 17 24 25  8  9
20 23 27 26  5  4        20 23 27 25  6  4        16 23 31 25  8  2        16 23 31 30  3  2
 3  0 17 16 35 34        3  0 18 16 35 33         7  0 20 14 35 29         7  0 15 14 35 34
 1  2 19 18 33 32        2  1 19 17 34 32         6  1 21 15 34 28         1  6 21 20 29 28
31 30  8  9 12 15        31 29  8 10 12 15       33 27  4 10 12 19       33 32  4  5 12 19
28 29 10 11 14 13      28 30  9 11 13 14       26 32  5 11 13 18       26 27 10 11 18 13
                          
            5                                  6                                7                                 8     
20 17 24 27  7 10       17 20 24 30  4 10       30 29  8  9 14 15        29 30  8 10 13 15
14 23 33 30  4  1        14 23 33 27  7  1        28 31 11 10 13 12      28 31 11  9 14 12
 9  0 16 13 35 32        9  0 19 13 35 29         3  0 17 16 35 34         3  0 18 16 35 33
 3  6 22 19 29 26        6  3 22 16 32 26         1  2 19 18 33 32         2  1 19 17 34 32
34 31  2  5 12 21        34 28  2  8 12 21        23 22 24 25  4  7        23 21 24 26  4  7
25 28  8 11 18 15       25 31  5 11 15 18       20 21 26 27  6  5        20 22 25 27  5  6
                          
            9                                 10                               11                               12     
32 27  4  5 18 19        27 32  4 10 13 19       31 28  2  5 18 21        28 31  2  8 15 21
26 33 11 10 13 12      26 33 11  5 18 12       25 34 11  8 15 12       25 34 11  5 18 12
 7  0 15 14 35 34        7  0 20 14 35 29         9  0 16 13 35 32         9  0 19 13 35 29
 1  6 21 20 29 28        6  1 21 15 34 28         3  6 22 19 29 26         6  3 22 16 32 26
23 22 24 25  2  9        23 17 24 30  2  9        23 20 24 27  1 10       23 17 24 30  1 10
16 17 30 31  8  3        16 22 25 31  3  8        14 17 30 33  7  4        14 20 27 33  4  7
                          
            13                               14                               15                               16     

23 14  6 15 19 28       25 16  2 11 21 30       26 11 12 15 19 22      31 16  2  5 24 27

5 32 33 24 10  1         7 34 29 20 12  3         8 29 33 30  4  1          13 34 23 20  9 6

27 0 13 4 35 26          27 0 13 3 35 26          21 0 10 7 35 32          21 0 10 7 35 32

9 18 31 22 17  8         9 18 31 22 17  8         3 18 28 25 17 14        3 18 28 25 17 14

34 25  2 11  3 30        32 23  6 15  1 28        34 31  2  5  6 27         29 26 12 15  1 22

7 16 20 29 21 12        5 14 24 33 19 10        13 16 20 23 24  9       8 11 30 33 19  4

                       
            17                               18                               19                               20     
28 11 12 13 20 21      32 15  4  5 24 25        14 23  6 24 10 28       16 25  2 20 12 30
10 29 31 30  3  2        14 33 23 22  7  6        5 32 33 15 19  1         7 34 29 11 21  3
19  0  9  8 35 34         19  0  9  8 35 34         27  0 22  4 35 17        27  0 22  4 35 17
 1 18 27 26 17 16       1 18 27 26 17 16        18  9 31 13 26  8        18  9 31 13 26  8
33 32  4  5  6 25         29 28 12 13  2 21       34 16  2 20  3 30        32 14  6 24  1 28
14 15 22 23 24  7       10 11 30 31 20  3       7 25 11 29 12 21        5 23 15 33 10 19
                          
            21                               22                               23                               24     
11 26 12 30  4 22       16 31  2 20  9 27        11 28 12 30  3 21       15 32  4 22  7 25
 8 29 33 15 19  1        13 34 23  5 24  6        10 29 31 13 20  2       14 33 23  5 24  6
21  0 25  7 35 17        21  0 25  7 35 17        19  0 26  8 35 17        19  0 26  8 35 17
18  3 28 10 32 14       18  3 28 10 32 14       18  1 27  9 34 16        18  1 27  9 34 16
34 16  2 20  6 27        29 11 12 30  1 22       33 15  4 22  6 25        29 11 12 30  2 21
13 31  5 23  9 24        8 26 15 33  4 19         14 32  5 23  7 24        10 28 13 31  3 20

 

И вот тут начинается самое интересное!  Среди этих магических квадратов есть и не сотовые квадраты. Например, квадрат № 10 (рис. 5):

 

 

Рис. 5

 

Примечание: все квадраты я привожу к традиционному виду.

 

В этом квадрате в блоках 2х2 не записаны четыре последовательных числа, как в данном мной определении сотового магического квадрата. Здесь в каждом блоке имеем по две пары последовательных чисел, например: 27, 28 и 33, 34 или 3, 4 и 9, 10. Получается некоторое обобщение сотового квадрата. Но есть ещё и такие квадраты, в которых вообще нет последовательных чисел в блоках 2х2. Например, квадрат № 20 (рис. 6).

 

 

Рис. 6

 

Как видите, в этом квадрате ни в одном блоке 2х2 нет последовательных чисел.

Очевидно, что если для построения магического квадрата использовать вспомогательные квадраты, имеющие такую структуру, как в приведённом выше примере из указанной статьи, то такие квадраты, как на рис. 5 и рис. 6, не получатся. В методе сотовых квадратов (который изложен по книге Чебракова) используются вспомогательные квадраты только такой структуры, как в приведённом примере (см. рис. 1 и рис. 2). Получается, что некоторым варьированием вспомогательных квадратов можно получить ещё множество магических квадратов, имеющих другую структуру, то есть не являющихся сотовыми в смысле данного мной определения сотового магического квадрата. В книге Чебракова такие квадраты не рассматриваются.

 

ОБОБЩЁННЫЙ МЕТОД СОТОВЫХ КВАДРАТОВ

 

Не сразу мне удалось понять, как же происходит варьирование вспомогательных квадратов в указанной статье (ещё английский язык мешает, перевести статью в Google не получилось), но всё-таки поняла. И получается своего рода обобщение метода сотовых квадратов.

Первый вспомогательный квадрат в статье получается из двух квадратов A и B [копирую] (рис. 7):

 

 

Рис. 7

 

Из рисунка видно, что матрица первого вспомогательного квадрата получается по формуле 4*A + 12*B.

Второй вспомогательный квадрат тоже получается из двух квадратов – C и D, смотрите копию из статьи на рис. 8.

 

 

Рис. 8

 

Из рисунка видно, что матрица второго вспомогательного квадрата получается по формуле 2*C + D. Магический квадрат, как мы уже знаем, получается поэлементным сложением двух вспомогательных квадратов (Component 1 и Component 2). С учётом формул для получения первого и второго вспомогательных квадратов матрица готового магического квадрата в данном примере вычисляется так:

 

4*A + 12*B + 2*C + D.

 

Всё готово для того чтобы начать варьирование. Варьирование производится заменой множителей у матриц A, B, C и D. Возможные комбинации множителей приведены в следующей таблице (рис. 9) [копирую]:

 

      Рис. 9

 

Очевидно, что приведённый пример находится в таблице вариантов под номером 7 (коэффициенты 4, 12, 2, 1).

Построим теперь другой магический квадрат, например, вариант под номером 24. Первый вспомогательный квадрат в этом случае будет вычисляться так (рис. 10):

 

 

Рис. 10

 

Построение второго вспомогательного квадрата показано на рис. 11.

 

 

Рис. 11

 

Осталось сложить поэлементно два построенных вспомогательных квадрата. Будем сразу увеличивать на единицу все элементы в получаемом при сложении квадрате, чтобы получить традиционный магический квадрат. Готовый магический квадрат вы видите на рис. 12.

 

 

Рис. 12

 

В этом квадрате каждый блок 2х2 содержит по две пары последовательных чисел. В массиве всех квадратов данной группы этот квадрат находится под номером 23.

 

Возьмём теперь магический квадрат из книги Чебракова (рис. 13) и сделаем для него подобное обобщение.

 

 

Рис. 13

 

Первый вспомогательный квадрат для данного квадрата составляется так (рис. 14):

 

 

Рис. 14

 

Примечание: построение первого вспомогательного квадрата основано на магическом квадрате третьего порядка, как в методе Чебракова, так и в цитируемой статье.

 

Второй вспомогательный квадрат для рассматриваемого магического квадрата составляется так (рис. 15):

 

 

Рис. 15

 

Вспомогательный квадрат (Component 2) мне известен, квадраты C и D, из которых он составляется, я сочинила сама. В статье приведён рисунок (см. рис. 8 здесь), на котором показано построение второго вспомогательного квадрата, но как составляются квадраты C и D, не объясняется (а может быть, и объясняется, но я не смогла прочитать).

 

Пойдём дальше. Выберем в таблице на рис. 9 вариант № 13; в этом варианте первый вспомогательный квадрат строится по формуле 3*А + В, а второй вспомогательный квадрат – по формуле 18*С + 9*D. На рис. 16 и на рис. 17 показано построение вспомогательных квадратов по этим формулам.

 

 

Рис. 16

 

 

Рис. 17

 

Сложим поэлементно два вспомогательных квадрата, одновременно увеличивая все элементы получившегося квадрата на единицу. Готовый магический квадрат изображён на рис. 18. Он получился!

 

 

Рис. 18

 

Однако для рассматриваемого квадрата (рис. 13) не все варианты из таблицы на рис. 9 дают магические квадраты. Возьмём, например, вариант № 22, в этом варианте первый вспомогательный квадрат строится по формуле А + 6*В, а второй вспомогательный квадрат – по формуле 3*С + 18*D. На рис. 19 и на рис. 20 показано построение вспомогательных квадратов.

 

 

Рис. 19

 

 

Рис. 20

 

Легко убедиться, что в этом случае, сложив поэлементно два вспомогательных квадрата, мы не получим магический квадрат. Магические квадраты получаются для следующих вариантов: №№ 1, 5, 7, 11, 13, 14. Но всё равно метод даёт пять новых магических квадратов дополнительно к квадрату, построенному автором книги.

 

Наконец, рассмотрим ещё один сотовый квадрат, построенный методом сотовых квадратов (рис. 21).

 

 

Рис. 21

 

Для этого сотового магического квадрата первый вспомогательный квадрат строится так же, как в предыдущем примере (см. рис. 14). Второй вспомогательный квадрат составляется так (рис. 22):

 

 

Рис. 22

 

Квадраты C и D опять сочинила сама по аналогии с примером в статье. Здесь эти квадраты получились лучше, чем в предыдущем примере вот в каком смысле: оба квадрата являются нетрадиционными магическими квадратами с магической константой 3. Точно так же и в примере из указанной статьи. А вот для квадрата Чебракова квадраты C и D этим свойством не обладают. Поэтому данный квадрат и имеет всего 6 вариантов (считая сам этот квадрат).

 

Теперь проверим тот самый вариант № 22, который не получился для квадрата из книги. Первый вспомогательный квадрат у нас уже построен (см. рис. 19). Второй вспомогательный квадрат строится так (рис. 23):

 

 

Рис. 23

 

Сложим поэлементно два вспомогательных квадрата, прибавляя единицу к каждому элементу получившегося квадрата, и получим следующий магический квадрат (рис. 24):

 

 

Рис. 24

 

Как видите, этот магический квадрат не сотовый.

 

Чтобы получить все 24 варианта для рассматриваемого примера, составляю программку. И вот перед вами 24 магических квадрата, построенных обобщённым методом сотовых квадратов. Среди этих квадратов имеются и сотовые магические квадраты. Под № 1 вы видите исходный квадрат (см. рис. 21).

 

№ 1                                        № 2                                        № 3 

 8  5  27  25  24  22                8  5  26  25  24  23                 10  3  26  25  24  23  

 7  6  26  28  21  23                6  7  27  28  21  22                 4  9  31  32  17  18 

 34  35  17  19  2  4                35  34  17  18  3  4                 35  30  15  16  7  8  

 33  36  18  20  1  3                33  36  19  20  1  2                 29  36  21  22  1  2  

 14  16  11  9  31  30              15  16  10  9  30  31               19  20  6  5  28  33  

 15  13  12  10  32  29            14  13  12  11  32  29             14  13  12  11  34  27  

 

 № 4                                       № 5                                       № 6

 10  3  31  25  24  18              11  2  31  25  24  18               11  2  28  25  24  21

 9  4  26  32  17  23                8  5  28  34  15  21                 5  8  31  34  15  18  

 30  35  15  21  2  8                30  33  14  20  4  10               33  30  14  17  7  10  

 29  36  16  22  1  7                27  36  17  23  1  7                 27  36  20  23  1  4  

 14  20  11  5  33  28              16  22  9  3  32  29                 19  22  6  3  29  32  

 19  13  12  6  34  27              19  13  12  6  35  26               16  13  12  9  35  26  

 

 № 7                                       № 8                                       № 9

 16  13  11  9  32  30              16  13  10  9  32  31               20  13  11  5  34  28  

 15  14  10  12  29  31            14  15  11  12  29  30             19  14  6  12  27  33  

 34  35  17  19  2  4                35  34  17  18  3  4                 30  35  15  21  2  8

 33  36  18  20  1  3                33  36  19  20  1  2                 29  36  16  22  1  7 

 6  8  27  25  23  22                7  8  26  25  22  23                4  10  31  25  23  18

 7  5  28  26  24  21                6  5  28  27  24  21                 9  3  32  26  24  17

 

№ 10                                      № 11                                     № 12

 20  13  6  5  34  33                22  13  9  3  35  29                22  13  6  3  35  32

 14  19  11  12  27  28            19  16  6  12  26  32              16  19  9  12  26  29

 35  30  15  16  7  8                30  33  14  20  4  10              33  30  14  17  7  10

 29  36  21  22  1  2                27  36  17  23  1  7                27  36  20  23  1  4

 9  10  26  25  18  23              5  11  31  25  21  18              8  11  28  25  18  21

 4  3  32  31  24  17                8  2  34  28  24  15                5  2  34  31  24  15

 

 № 13                                     № 14                                      № 15

 29  2  25  7  33  15                31  4  21  3  35  17                 23  2  31  13  30  12  

 20  11  16  34  6  24              22  13  12  30  8  26               20  5  16  34  9  27   

 18  27  5  23  10  28              18  27  5  23  10  28               18  33  8  26  4  22   

 9  36  14  32  1  19                9  36  14  32  1  19                 15  36  11  29  1  19  

 13  31  21  3  26  17              11  29  25  7  24  15               10  28  21  3  32  17   

 22  4  30  12  35  8                20  2  34  16  33  6                 25  7  24  6  35  14   

 

 № 16                                     № 17                                     № 18

 28  7  21  3  35  17                22  3  31  13  30  12               26  7  23  5  34  16   

 25  10  6  24  14  32              21  4  14  32  11  29               25  8  6  24  15  33   

 18  33  8  26  4  22                18  35  9  27  2  20                 18  35  9  27  2  20   

 15  36  11  29  1  19              17  36  10  28  1  19               17  36  10  28  1  19   

 5  23  31  13  27  12              8  26  23  5  33  16                 4  22  31  13  29  12   

 20  2  34  16  30  9                25  7  24  6  34  15                 21  3  32  14  30  11   

 

№ 19                                      № 20                                      № 21

 29  2  16  7  33  24                31  4  12  3  35  26                 23  2  16  13  30  27   

 11  20  25  34  6  15              13  22  21  30  8  17               5  20  31  34  9  12

 27  18  5  14  19  28              27  18  5  14  19  28               33  18  8  11  19  22

 9  36  23  32  1  10                9  36  23  32  1  10                 15  36  26  29  1  4   

 22  31  12  3  17  26              20  29  16  7  15  24               25  28  6  3  17  32   

 13  4  30  21  35  8                11  2  34  25  33  6                 10  7  24  21  35  14  

 

 № 22                                     № 23                                     № 24

 28  7  6  3  35  32                  22  3  14  13  30  29               26  7  6  5  34  33   

 10  25  21  24  14  17            4  21  31  32  11  12               8  25  23  24  15  16   

 33  18  8  11  19  22              35  18  9  10  19  20               35  18  9  10  19  20

 15  36  26  29  1  4                17  36  27  28  1  2                 17  36  27  28  1  2

 20  23  16  13  12  27            25  26  6  5  16  33                 21  22  14  13  12  29

 5  2  34  31  30  9                  8  7  24  23  34  15                 4  3  32  31  30  11

 

По этой же программе построила шесть квадратов для примера с квадратом из книги. Вот они:

 

№ 1                                        № 2                                       № 3

 6  7  26  27  22  23                5  8  28  31  18  21                14  15  10  11  30  31

 8  5  28  25  24  21                11  2  34  25  24  15               16  13  12  9  32  29  

 34  35  18  19  2  3                30  33  17  20  4  7                 34  35  18  19  2  3

 36  33  17  20  4  1                36  27  14  23  10  1               36  33  17  20  4  1

 14  15  10  11  30  31            16  19  6  9  29  32                 6  7  26  27  22  23  

 13  16  12  9  29  32              13  22  12  3  26  35               5  8  28  25  21  24

 

№ 4                                        № 5                                        № 6 

 16  19  6  9  29  32                11  20  16  25  15  24             13  22  12  21  17  26

 22  13  12  3  35  26              29  2  34  7  33  6                   31  4  30  3  35  8

 30  33  17  20  4  7                18  27  14  23  10  19             18  27  14  23  10  19

 36  27  14  23  10  1              36  9  5  32  28  1                   36  9  5  32  28  1

 5  8  28  31  18  21                13  22  12  21  17  26             11  20  16  25  15  24  

 2  11  34  25  15  24              4  31  30  3  8  35                  2  29  34  7  6  33

 

Квадрат под № 1 – это квадрат из книги. Обобщённый метод сотовых квадратов позволил построить ещё пять новых магических квадратов, причём все эти квадраты различные (не эквивалентные). А в некоторых случаях, как в примере из статьи и в примере, рассмотренном здесь, обобщённый метод позволяет построить 24 различных магических квадрата.

 

***

 

Далее аналогичный метод рассматривается для квадратов 10-ого порядка, вот на этой странице:

 

http://www.grogono.com/magic/10x10.php

 

Но изложен он очень кратко; как я поняла, автор ссылается на аналогию с квадратами 6-ого порядка. Вот для начала посмотрите на сотовый магический квадрат 10-ого порядка, приведённый в этой статье (рис. 25):

 

 

Рис. 25

 

Хорошо бы подробно разработать обобщение метода сотовых квадратов для построения магических квадратов 10-ого порядка аналогично квадратам 6-ого порядка. Возможно, займусь этим. Предлагаю читателям сделать это самостоятельно. Интересная задача! А решается она по аналогии с квадратами 6-ого порядка, для которых метод подробно изложен выше. Конечно, надо внимательно прочитать указанную веб-страницу. Для тех, кто знает английский язык, это не проблема. Например, такой конкретный вопрос: сколько вариантов магических квадратов для квадрата с рис. 25 можно построить обобщённым методом сотовых квадратов? В статье не приводится таблица варьирования коэффициентов, подобная таблице, изображённой на рис. 9.

Не забудьте также прочитать мою статью “Методы построения магических квадратов”, в которой вы найдёте подробное изложение метода сотовых квадратов. Это следующие страницы:

 

http://www.natalimak1.narod.ru/metody5.htm

http://www.natalimak1.narod.ru/metody6.htm

 

***

 

Вчера распечатала указанную выше веб-страницу и попыталась разобраться в построении сотового квадрата 10-ого порядка. Всё поняла и продолжаю изложение обобщённого метода сотовых квадратов. Интересный метод!

 

Итак, на рис. 25 вы видите копию сотового квадрата 10-ого порядка из указанной статьи. Здесь будет подробно рассказано, как он построен и как получить варианты этого магического квадрата.

 

Примечание: если кто-то заглянет на указанную веб-страницу, то увидит, что квадрат на рис. 25 не совсем совпадает с тем, который приведён на веб-странице. Там автор, видимо, немного напутал. Потому что из приведённых им вспомогательных квадратов строится квадрат, изображённый на рис. 25, а не квадрат, который привёл автор статьи. Проверьте сами!

 

Начнём с построения первого вспомогательного квадрата. Для его построения методом сотовых квадратов надо взять в качестве исходного любой магический квадрат 5-ого порядка. В статье взят такой исходный квадрат (рис. 26):

 

 

Рис. 26

 

Алгоритм построения первого вспомогательного квадрата на основе исходного квадрата в цитируемой статье отличается от алгоритма в методе сотовых квадратов по книге Чебракова, хотя исходным в обоих случаях является магический квадрат 5-ого порядка. Здесь вспомогательный квадрат строится из двух ортогональных латинских квадратов [это хорошо видно и в построении первого вспомогательного квадрата 6-ого порядка (см. рис. 7)], только в этих латинских квадратах каждая ячейка превращена в квадрат 2х2 и в этот квадрат записано число из заменяемой ячейки. Поэтому сначала разложим исходный магический квадрат 5-ого порядка на два ортогональных латинских квадрата (рис. 27 и рис. 28):

 

 

Рис. 27

 

 

Рис. 28

 

И вот схема построения первого вспомогательного квадрата (рис. 29):

 

 

Рис. 29

 

Интересно заметить, что магический квадрат 5-ого порядка строится из латинских квадратов (рис. 27 и рис. 28) по формуле 5*А + В. В схеме построения вспомогательного квадрата 10-ого порядка коэффициенты увеличились в 4 раза. То же самое мы видели при построении вспомогательного квадрата 6-ого порядка (см. рис. 7).

 

Понятно, что построение по алгоритму метода сотовых квадратов даёт точно такой же первый вспомогательный квадрат при том же исходном квадрате 5-ого порядка (рис. 24).

 

Переходим к построению второго вспомогательного квадрата. Как помнят читатели, он тоже строится из двух квадратов – С и D. Теперь я поняла, как надо составить эти квадраты. Для построения магического квадрата 6-ого порядка их лучше всего составить так, чтобы они были нетрадиционными магическими квадратами с магической константой 3 (квадраты заполняются нулями и единицами). Хотя мы видели, что можно составить эти квадраты без соблюдения данного условия (см. пример с квадратом из книги Чебракова). Для построения магического квадрата 10-ого порядка квадраты С и D лучше всего составить так, чтобы они являлись нетрадиционными магическими квадратами с магической константой 5. В рассматриваемом примере это будут такие квадраты (рис. 30) [копирую]:

 

 

Рис. 30

 

Интересно посмотреть на схему расстановки блоков 2х2 во втором вспомогательном квадрате. Эта схема приведена на рис. 31 (каждый блок 2х2 заменён его номером).

 

 

Рис. 31

 

Примечание: в книге Чебракова приведена только одна схема расстановки блоков для квадрата 10-ого порядка, и она отлична от данной схемы (смотрите схему из книги в одной из указанных выше статей).

 

Теперь всё готово для построения магического квадрата 10-ого порядка, изображённого на рис. 25; надо сложить поэлементно два вспомогательных квадрата (Component 1 и Component 2).

Один сотовый магический квадрат построен. Как видите, его построение совершенно аналогично построению сотового магического квадрата 6-ого порядка. Точно такой же сотовый магический квадрат мы могли бы построить и методом сотовых квадратов. Но только один квадрат! А здесь возможны варианты. Для получения вариантов надо составить таблицу варьирования коэффициентов подобную таблице, показанной на рис. 9.

Таблицу коэффициентов, а заодно и все магические квадраты, получаю по программе. На рис. 32 вы видите таблицу коэффициентов.

 

 

Рис. 32

 

Интересно отметить, что вариантов опять получилось 24, как и для квадратов 6-ого порядка.

 

Далее показываю все 24 магических квадрата 10-ого, построенных обобщённым методом сотовых квадратов. Программа выдала: номер варианта, коэффициенты при матрицах A, B, C и D соответственно, магический квадрат данного варианта.

  

1

 1  5  25  50

 

 57  32  91  41  80  30  64  14  73  23

 82  7  16  66  5  55  39  89  48  98

 54  29  38  88  47  97  6  56  20  70

 79  4  13  63  22  72  31  81  45  95

 21  96  35  85  44  94  3  53  12  62

 46  71  10  60  19  69  28  78  37  87

 18  93  77  27  86  36  75  25  59  9

 43  68  52  2  61  11  100  50  84  34

 15  65  74  24  83  33  92  42  76  1

 90  40  99  49  58  8  67  17  51  26

 

 2

 1  5  50  25

 

 32  57  91  66  80  55  39  14  48  23

 82  7  16  41  5  30  64  89  73  98

 29  54  63  88  72  97  6  31  20  45

 79  4  13  38  22  47  56  81  70  95

 21  96  60  85  69  94  3  28  12  37

 71  46  10  35  19  44  53  78  62  87

 18  93  77  52  86  61  50  25  34  9

 68  43  27  2  36  11  100  75  84  59

 15  40  49  24  83  58  92  67  76  1

 90  65  99  74  33  8  42  17  26  51

 

 3

 1  10  5  50

 

 62  17  86  36  60  10  74  24  93  43

 67  12  31  81  5  55  29  79  48  98

 54  9  28  78  47  97  11  61  35  85

 59  4  23  73  42  92  16  66  40  90

 41  96  20  70  39  89  3  53  22  72

 46  91  15  65  34  84  8  58  27  77

 33  88  57  7  76  26  95  45  64  14

 38  83  52  2  71  21  100  50  69  19

 25  75  94  44  68  18  87  37  56  1

 80  30  99  49  63  13  82  32  51  6

 

 4

 1  10  50  5

 

 17  62  86  81  60  55  29  24  48  43

 67  12  31  36  5  10  74  79  93  98

 9  54  73  78  92  97  11  16  35  40

 59  4  23  28  42  47  61  66  85  90

 41  96  65  70  84  89  3  8  22  27

 91  46  15  20  34  39  53  58  72  77

 33  88  57  52  76  71  50  45  19  14

 83  38  7  2  26  21  100  95  69  64

 25  30  49  44  68  63  87  82  56  1

 80  75  99  94  18  13  37  32  6  51

 

 5

 1  20  5  10

 

 32  27  76  66  20  10  54  44  93  83

 37  22  61  71  5  15  49  59  88  98

 14  9  48  58  87  97  21  31  65  75

 19  4  43  53  82  92  26  36  70  80

 81  96  30  40  69  79  3  13  42  52

 86  91  25  35  64  74  8  18  47  57

 63  78  17  7  56  46  95  85  34  24

 68  73  12  2  51  41  100  90  39  29

 45  55  94  84  38  28  77  67  16  1

 60  50  99  89  33  23  72  62  11  6

 

 6

 1  20  10  5

 

 27  32  76  71  20  15  49  44  88  83

 37  22  61  66  5  10  54  59  93  98

 9  14  53  58  92  97  21  26  65  70

 19  4  43  48  82  87  31  36  75  80

 81  96  35  40  74  79  3  8  42  47

 91  86  25  30  64  69  13  18  52  57

 63  78  17  12  56  51  90  85  29  24

 73  68  7  2  46  41  100  95  39  34

 45  50  89  84  38  33  77  72  16  1

 60  55  99  94  28  23  67  62  6  11

 

 7

 2  10  1  50

 

 63  14  82  32  60  10  77  27  95  45

 64  13  31  81  9  59  28  78  46  96

 57  8  26  76  44  94  11  61  39  89

 58  7  25  75  43  93  12  62  40  90

 41  92  20  70  38  88  5  55  23  73

 42  91  19  69  37  87  6  56  24  74

 35  86  54  4  72  22  99  49  67  17

 36  85  53  3  71  21  100  50  68  18

 29  79  97  47  66  16  84  34  52  1

 80  30  98  48  65  15  83  33  51  2

 

 8

 2  10  50  1

 

 14  63  82  81  60  59  28  27  46  45

 64  13  31  32  9  10  77  78  95  96

 8  57  75  76  93  94  11  12  39  40

 58  7  25  26  43  44  61  62  89  90

 41  92  69  70  87  88  5  6  23  24

 91  42  19  20  37  38  55  56  73  74

 35  86  54  53  72  71  50  49  18  17

 85  36  4  3  22  21  100  99  68  67

 29  30  48  47  66  65  84  83  52  1

 80  79  98  97  16  15  34  33  2  51

 

 9

 2  20  1  10

 

 33  24  72  62  20  10  57  47  95  85

 34  23  61  71  9  19  48  58  86  96

 17  8  46  56  84  94  21  31  69  79

 18  7  45  55  83  93  22  32  70  80

 81  92  30  40  68  78  5  15  43  53

 82  91  29  39  67  77  6  16  44  54

 65  76  14  4  52  42  99  89  37  27

 66  75  13  3  51  41  100  90  38  28

 49  59  97  87  36  26  74  64  12  1

 60  50  98  88  35  25  73  63  11  2

 

 10

 2  20  10  1

 

 24  33  72  71  20  19  48  47  86  85

 34  23  61  62  9  10  57  58  95  96

 8  17  55  56  93  94  21  22  69  70

 18  7  45  46  83  84  31  32  79  80

 81  92  39  40  77  78  5  6  43  44

 91  82  29  30  67  68  15  16  53  54

 65  76  14  13  52  51  90  89  28  27

 75  66  4  3  42  41  100  99  38  37

 49  50  88  87  36  35  74  73  12  1

 60  59  98  97  26  25  64  63  2  11

 

 11

 4  20  1  2

 

 27  26  64  62  20  18  55  53  91  89

 28  25  61  63  17  19  54  56  90  92

 15  14  50  52  86  88  21  23  77  79

 16  13  49  51  85  87  22  24  78  80

 81  84  38  40  74  76  9  11  45  47

 82  83  37  39  73  75  10  12  46  48

 69  72  8  6  44  42  99  97  35  33

 70  71  7  5  43  41  100  98  36  34

 57  59  95  93  32  30  68  66  4  1

 60  58  96  94  31  29  67  65  3  2

 

 12

 4  20  2  1

 

 26  27  64  63  20  19  54  53  90  89

 28  25  61  62  17  18  55  56  91  92

 14  15  51  52  87  88  21  22  77  78

 16  13  49  50  85  86  23  24  79  80

 81  84  39  40  75  76  9  10  45  46

 83  82  37  38  73  74  11  12  47  48

 69  72  8  7  44  43  98  97  34  33

 71  70  6  5  42  41  100  99  36  35

 57  58  94  93  32  31  68  67  4  1

 60  59  96  95  30  29  66  65  2  3

 

 13

 5  1  25  50

 

 57  32  79  29  96  46  68  18  65  15

 82  7  4  54  21  71  43  93  40  90

 66  41  38  88  35  85  2  52  24  74

 91  16  13  63  10  60  27  77  49  99

 5  80  47  97  44  94  11  61  8  58

 30  55  22  72  19  69  36  86  33  83

 14  89  81  31  78  28  75  25  67  17

 39  64  56  6  53  3  100  50  92  42

 23  73  70  20  87  37  84  34  76  1

 98  48  95  45  62  12  59  9  51  26

 

 14

 5  1  50  25

 

 32  57  79  54  96  71  43  18  40  15

 82  7  4  29  21  46  68  93  65  90

 41  66  63  88  60  85  2  27  24  49

 91  16  13  38  10  35  52  77  74  99

 5  80  72  97  69  94  11  36  8  33

 55  30  22  47  19  44  61  86  58  83

 14  89  81  56  78  53  50  25  42  17

 64  39  31  6  28  3  100  75  92  67

 23  48  45  20  87  62  84  59  76  1

 98  73  95  70  37  12  34  9  26  51

 

 15

 10  1  5  50

 

 62  17  59  9  96  46  83  33  75  25

 67  12  4  54  41  91  38  88  30  80

 81  36  28  78  20  70  2  52  44  94

 86  31  23  73  15  65  7  57  49  99

 5  60  47  97  39  89  21  71  13  63

 10  55  42  92  34  84  26  76  18  68

 24  79  66  16  58  8  95  45  82  32

 29  74  61  11  53  3  100  50  87  37

 43  93  85  35  77  27  69  19  56  1

 98  48  90  40  72  22  64  14  51  6

 

 16

 10  1  50  5

 

 17  62  59  54  96  91  38  33  30  25

 67  12  4  9  41  46  83  88  75  80

 36  81  73  78  65  70  2  7  44  49

 86  31  23  28  15  20  52  57  94  99

 5  60  92  97  84  89  21  26  13  18

 55  10  42  47  34  39  71  76  63  68

 24  79  66  61  58  53  50  45  37  32

 74  29  16  11  8  3  100  95  87  82

 43  48  40  35  77  72  69  64  56  1

 98  93  90  85  27  22  19  14  6  51

 

 17

 10  2  1  50

 

 63  14  58  8  92  42  85  35  79  29

 64  13  7  57  41  91  36  86  30  80

 81  32  26  76  20  70  3  53  47  97

 82  31  25  75  19  69  4  54  48  98

 9  60  44  94  38  88  21  71  15  65

 10  59  43  93  37  87  22  72  16  66

 27  78  62  12  56  6  99  49  83  33

 28  77  61  11  55  5  100  50  84  34

 45  95  89  39  74  24  68  18  52  1

 96  46  90  40  73  23  67  17  51  2

 

 18

 10  2  50  1

 

 14  63  58  57  92  91  36  35  30  29

 64  13  7  8  41  42  85  86  79  80

 32  81  75  76  69  70  3  4  47  48

 82  31  25  26  19  20  53  54  97  98

 9  60  93  94  87  88  21  22  15  16

 59  10  43  44  37  38  71  72  65  66

 27  78  62  61  56  55  50  49  34  33

 77  28  12  11  6  5  100  99  84  83

 45  46  40  39  74  73  68  67  52  1

 96  95  90  89  24  23  18  17  2  51

 

 19

 20  1  5  10

 

 32  27  19  9  96  86  73  63  55  45

 37  22  4  14  81  91  68  78  50  60

 71  66  48  58  30  40  2  12  84  94

 76  61  43  53  25  35  7  17  89  99

 5  20  87  97  69  79  41  51  23  33

 10  15  82  92  64  74  46  56  28  38

 44  59  36  26  18  8  95  85  72  62

 49  54  31  21  13  3  100  90  77  67

 83  93  75  65  57  47  39  29  16  1

 98  88  80  70  52  42  34  24  11  6

 

 20

 20  1  10  5

 

 27  32  19  14  96  91  68  63  50  45

 37  22  4  9  81  86  73  78  55  60

 66  71  53  58  35  40  2  7  84  89

 76  61  43  48  25  30  12  17  94  99

 5  20  92  97  74  79  41  46  23  28

 15  10  82  87  64  69  51  56  33  38

 44  59  36  31  18  13  90  85  67  62

 54  49  26  21  8  3  100  95  77  72

 83  88  70  65  57  52  39  34  16  1

 98  93  80  75  47  42  29  24  6  11

 

 21

 20  2  1  10

 

 33  24  18  8  92  82  75  65  59  49

 34  23  7  17  81  91  66  76  50  60

 71  62  46  56  30  40  3  13  87  97

 72  61  45  55  29  39  4  14  88  98

 9  20  84  94  68  78  41  51  25  35

 10  19  83  93  67  77  42  52  26  36

 47  58  32  22  16  6  99  89  73  63

 48  57  31  21  15  5  100  90  74  64

 85  95  79  69  54  44  38  28  12  1

 96  86  80  70  53  43  37  27  11  2

 

 22

 20  2  10  1

 

 24  33  18  17  92  91  66  65  50  49

 34  23  7  8  81  82  75  76  59  60

 62  71  55  56  39  40  3  4  87  88

 72  61  45  46  29  30  13  14  97  98

 9  20  93  94  77  78  41  42  25  26

 19  10  83  84  67  68  51  52  35  36

 47  58  32  31  16  15  90  89  64  63

 57  48  22  21  6  5  100  99  74  73

 85  86  70  69  54  53  38  37  12  1

 96  95  80  79  44  43  28  27  2  11

 

 23

 20  4  1  2

 

 27  26  16  14  84  82  71  69  59  57

 28  25  13  15  81  83  70  72  58  60

 63  62  50  52  38  40  5  7  93  95

 64  61  49  51  37  39  6  8  94  96

 17  20  86  88  74  76  41  43  29  31

 18  19  85  87  73  75  42  44  30  32

 53  56  24  22  12  10  99  97  67  65

 54  55  23  21  11  9  100  98  68  66

 89  91  79  77  48  46  36  34  4  1

 92  90  80  78  47  45  35  33  3  2

 

 24

 20  4  2  1

 

 26  27  16  15  84  83  70  69  58  57

 28  25  13  14  81  82  71  72  59  60

 62  63  51  52  39  40  5  6  93  94

 64  61  49  50  37  38  7  8  95  96

 17  20  87  88  75  76  41  42  29  30

 19  18  85  86  73  74  43  44  31  32

 53  56  24  23  12  11  98  97  66  65

 55  54  22  21  10  9  100  99  68  67

 89  90  78  77  48  47  36  35  4  1

 92  91  80  79  46  45  34  33  2  3

 

Понятно, что это только одна группа, соответствующая квадрату, приведённому в указанной статье (см. рис. 25), который находится в массиве всех вариантов под номером 24.

Аналогично можно построить множество других групп по 24 квадрата. Для этого надо выбрать другой исходный квадрат 5-ого порядка (этим квадратом определяется первый вспомогательный квадрат) или при том же исходном квадрате 5-ого порядка выбрать другую схему расстановки блоков 2х2 во втором вспомогательном квадрате. А для получения нового второго вспомогательного квадрата надо сочинить другие квадраты C и D, из которых этот квадрат образуется. Проделаем опыт: превратим в квадратах C и D, используемых в указанной статье, нули в единицы, а единицы в нули. Первый вспомогательный квадрат оставим прежним (рис. 29). На рис. 33 показана схема построения второго вспомогательного квадрата из новых квадратов C и D.

 

 

Рис. 33

 

Сложим поэлементно два вспомогательных квадрата (рис. 29 и рис. 33), прибавляя к каждому получившемуся элементу единицу. Получим такой сотовый магический квадрат (рис. 34):

 

 

Рис. 34

 

Очевидно, что получен новый магический квадрат. Для него тоже можно построить группу из 24 квадратов, применяя таблицу коэффициентов с рис. 32.

Предлагаю читателям сочинить новые квадраты C и D и построить новый магический сотовый квадрат. Напомню, что квадраты эти заполняются нулями и единицами и должны быть составлены так, чтобы были нетрадиционными магическими квадратами с магической константой 5. Сложив эти квадраты по формуле 2*C + D, вы получите нетрадиционный магический квадрат с магической константой 15; кроме того, этот квадрат должен быть составлен из квадратов 2х2, в каждом из которых записаны четыре числа: 0, 1, 2, 3.

Возникает интересный вопрос: сколько таких пар квадратов C и D можно составить для построения магических квадратов 10-ого порядка?

Если вы посмотрите изложение метода сотовых квадратов для порядков данной серии: n=4k+2 по указанным выше ссылкам, то увидите там совсем другое построение второго вспомогательного квадрата для любого порядка n данной серии порядков. Как вы видели в приведённом примере для квадрата 6-ого порядка, квадраты C и D, из которых составляются построенные этим методом вспомогательные квадраты, не являются нетрадиционными магическими квадратами. Построенный с помощью такого вспомогательного квадрата сотовый магический квадрат имеет гораздо меньше вариантов. Вы можете рассмотреть аналогичный пример для сотового магического квадрата 10-ого порядка, построенного методом сотовых квадратов в одной из указанных выше статей.

И ещё более интересная задача, о которой уже сказано выше: сочинить новые квадраты C и D для составления второго вспомогательного квадрата и построить новый сотовый магический квадрат 10-ого порядка, имеющий 24 варианта.

Ну, а дальше, вполне понятно, надо решить эту же задачу для следующего порядка данной серии порядков – 14-ого. Тут у нас нет никаких подсказок. Автор цитируемой статьи с веб-сайта прерывает свои построения на квадратах 13-ого порядка. Думаю, что здесь прекрасно сработает аналогия. Вся сложность в этой задаче – сочинить квадраты C и D. Замечу, что сотовый магический квадрат 14-ого порядка построен методом сотовых квадратов (см. указанные статьи). Теперь надо построить его обобщённым методом сотовых квадратов. Интересно, сколько для такого квадрата будет вариантов? Тоже 24, или больше, или меньше?

 

***

 

Кажется, я ещё не показывала для сотовых магических квадратов преобразование “плюс-минус …”. Среди приведённых выше 24 магических квадратов рассмотрим два последних - № 23 и № 24. Нетрудно увидеть, что эти магические квадраты связаны преобразованием “плюс-минус 1”. На рис. 35 показана матрица этого преобразования.

 

 

Рис. 35

 

Понятно, что среди 24 квадратов есть не одна пара квадратов, связанных подобным преобразованием.

 

***

 

Продолжение читайте здесь:

 

http://www.natalimak1.narod.ru/sotov2.htm

 

 

6 – 9 октября 2008 г.

г. Саратов

 

ДОБАВЛЕНИЕ (15 октября 2008 г):

 

 

Сейчас просматривала статью “Магический квадрат” в Википедии на немецком языке:

 

http://de.wikipedia.org/wiki/Magisches_Quadrat

 

и нашла любопытное построение магического квадрата 6-ого порядка. Это не что иное, как вариант метода сотовых квадратов. Приведу здесь этот пример.

В качестве исходного квадрата берётся магический квадрат третьего порядка, изображённый на рис. 36.

 

 

Рис. 36

 

Согласно методу сотовых квадратов, изложенному в книге Чебракова, в этом квадрате надо заменить числа 1, 2, 3, …, 9 на числа 1, 5, 9, …, 33. В указанной статье не делается такая замена, а сразу каждая ячейка исходного квадрата превращается в квадрат 2х2 и в этот квадрат записывается число из заменяемой ячейки; в результате получается такой первый вспомогательный квадрат (рис. 37):

 

 

Рис. 37

 

Очевидно, что этот квадрат является нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 30.

В качестве второго вспомогательного квадрата берётся точно такой же квадрат, как в методе сотовых квадратов, –  составленный из квадратов 2х2, заполненных числами 0, 1, 2, 3. Этот квадрат показан на рис. 38.

 

 

Рис. 38

 

Это нетрадиционный магический квадрат с магической константой 9. А теперь строится магический квадрат 6-ого порядка по следующей формуле:

 

c_ij = a_ij + 9*b_ij

 

где a_ij – элементы первого вспомогательного квадрата, b_ij - соответствующие элементы второго вспомогательного квадрата, c_ij - соответствующие элементы составляемого магического квадрата. Готовый магический квадрат смотрите на рис. 39.

 

 

Рис. 39

 

Как видите, магический квадрат получился не сотовый. Такие квадраты мы получали обобщённым методом сотовых квадратов. Рассмотрим приведённый пример с точки зрения обобщённого метода сотовых квадратов, который изложен в настоящей статье. Схема построения первого вспомогательного квадрата имеет следующий вид (рис. 40):

 

 

Рис. 40

 

Схема построения второго вспомогательного квадрата имеет следующий вид (рис. 41):

 

 

Рис. 41

 

Сложив поэлементно полученные вспомогательные квадраты и увеличив каждый элемент полученного квадрата, получим магический квадрат из цитируемой статьи Википедии (рис. 39).

Следует заметить, что автор немецкой статьи неудачно выбрал второй вспомогательный квадрат, в отличие от автора английской статьи, цитируемой в начале данной статьи. Плохо то, что составляющие компоненты C и D не являются нетрадиционными магическими квадратами (такой пример мы видели для квадрата из книги Чебракова). Поэтому магический квадрат, построенный автором немецкой статьи, не имеет ещё 23 варианта. Но сотовый квадрат из группы этого магического квадрата всё-таки можно построить. Для этого надо первый вспомогательный квадрат построить по такой схеме (рис. 42):

 

 

Рис. 42

 

Второй вспомогательный квадрат строится по следующей схеме (рис. 43):

 

 

 

Рис. 43

 

Осталось сложить поэлементно два вспомогательных квадрата, прибавить к каждому элементу единицу и магический сотовый квадрат готов (рис. 44).

 

 

Рис. 44

 

Для сотового магического квадрата из книги Чебракова построено обобщённым методом сотовых квадратов 5 вариантов. Предлагаю читателям построить возможные варианты для сотового магического квадрата, изображённого на рис. 44. Один из вариантов мы имеем в немецкой статье из Википедии (рис. 39).

 

Вообще говоря, вариант метода сотовых квадратов, приведённый в цитируемой статье, очень простой, хотя он и даёт не сотовый магический квадрат. Смотрите, например, как просто можно построить этим способом магический квадрат 10-ого порядка. Берём любой магический квадрат 5-ого порядка, например, такой (рис. 45):

 

 

Рис. 45

 

Очевидно, что этот магический квадрат не обладает никакими дополнительными свойствами. Кстати, квадрат построен по программе, в которой используется функция случайных чисел. У меня составлены такие программы для построения магических квадратов 5-ого, 6-ого и 9-ого порядка. Программа выдаёт магический квадрат за несколько секунд.

Теперь превращаем в этом магическом квадрате каждую ячейку в квадрат 2х2 и записываем в этот квадрат число из заменяемой ячейки. Получаем первый вспомогательный квадрат (рис. 46).

 

 

Рис. 46

 

Второй вспомогательный квадрат мы научились строить при описании метода сотовых квадратов (смотрите статью “Методы построения магических квадратов”: http://www.natalimak1.metody6.htm ). Возьмём, например, такой второй вспомогательный квадрат из этой статьи (рис. 47):

 

 

Рис. 47

 

Формула для построения магического квадрата 10-ого порядка с помощью данных вспомогательных квадратов имеет вид:

 

c_ij = a_ij + 25*b_ij

 

Компоненты этой формулы – соответствующие элементы вспомогательных квадратов и составляемого магического квадрата. Готовый магический квадрат 10-ого порядка вы видите на рис. 48.

 

 

Рис. 48

 

Не правда ли, очень просто. Варьируя исходные квадраты 5-ого порядка и вторые вспомогательные квадраты, можно построить миллионы магических квадратов 10-ого порядка данным методом. Метод очень легко запрограммировать. Можно в ту же программу построения магических квадратов 5-ого порядка с использованием функции случайных чисел вставить небольшой блок преобразования построенного магического квадрата 5-ого порядка и сложения полученного вспомогательного квадрата со вторым вспомогательным квадратом с рис. 47, все элементы которого умножены на 25. По этой программе одновременно с каждым построенным магическим квадратом 5-ого порядка будет строиться и магический квадрат 10-ого порядка. Понятно, что то же самое можно сделать, например, для построения магических квадратов 18-ого порядка, используя программу для построения магических квадратов 9-ого порядка с использованием функции случайных чисел. Только элементы второго вспомогательного квадрата в этом случае надо умножить на 81.

 

Для построения квадрата любого порядка n = 4k + 2, k = 1, 2, 3 … данным методом надо взять любой магический квадрат порядка m = 2k + 1, построить из него первый вспомогательный квадрат, превратив каждую ячейку в квадрат 2х2 и записав в этот квадрат число из заменяемой ячейки. Затем составить второй вспомогательный квадрат из квадратов 2х2, заполненных числами 0, 1, 2, 3 так, чтобы это был нетрадиционный магический квадрат с магической константой 3m. Из двух вспомогательных квадратов построить магический квадрат по следующей формуле:

 

[1]                                 c_ij = a_ij + m² * b_ij

 

Очень легко доказать, что составленный по этой формуле квадрат будет магическим квадратом с магической константой

 

[2]                        S = (4k + 2)[(4k + 2)² + 1)]/2

 

Для этого достаточно вычислить магическую константу составленного по формуле [1] квадрата и убедиться, что она совпадает c суммой [2].

 

Ещё конкретный пример: для построения магического квадрата 22-ого порядка (n = 22, m = 11) берём в качестве исходного любой магический квадрат 11-ого порядка, превращаем его в первый вспомогательный квадрат. Понятно, что магическая константа первого вспомогательного квадрата равна удвоенной магической константе квадрата 11-ого порядка – 1342. Магическая константа второго вспомогательного квадрата равна 3m = 33. Магическая константа квадрата, построенного из этих вспомогательных квадратов по формуле [1], вычисляется так:

 

S = 1342 + 11² * 33 = 5335

 

            Очевидно, что эта сумма равна магической константе квадрата 22-ого порядка.

 

***

 

Предлагаю читателям построить сотовый магический квадрат 10-ого порядка из группы магического квадрата с рис. 48. Для этого надо применить обобщённый метод сотовых квадратов.

 

__________

 

ДОБАВЛЕНИЕ (21 октября 2008 г):

 

Удивительно разнообразен метод сотовых квадратов! Вот сколько уже рассмотрено вариантов этого метода:

1)     модифицированный метод террас (по книге Ю. В. Чебракова);

2)     обобщённый метод сотовых квадратов по веб-сайту:

http://www.grogono.com/magic/6x6.php ;

3)     вариант по статье на немецком языке из Википедии.

 

Сейчас нашла ещё один вариант, необыкновенно изящный. Автор статьи, по-моему, называет этот метод элегантным. Прежде всего, ссылка:

 

http://mathworld.wolfram.com/MagicSquare.htm

 

А ещё метод называется в статье – метод LUX. Сейчас я приведу копию картинки, демонстрирующей построение магического квадрата данным методом, затем копию того, что написано под этой картинкой. Как я понимаю, здесь и объясняется, что и как тут строится, но я в этом ничего не поняла, потому что ничего не понимаю по-английски. Но мне это и не надо. Я увидела в методе главный принцип, который делает метод действительно очень элегантным. Но всё по порядку. Итак, копия картинки из указанной статьи, на которой показывается построение магического сотового квадрата 10-ого порядка (рис. 49):

 

 

Рис. 49

 

Теперь цитата:

 

Надеюсь, мои читатели, знающие язык, что-нибудь здесь поймут. А я расскажу о новом варианте метода сотовых квадратов – методе LUX.

 

ВЕЛИКИЙ СМЫСЛ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ КВАДРАТОВ

 

Итак, начнём всё сначала – с построения методом сотовых квадратов сотового магического квадрата 6-ого порядка. Для этого, как вы уже знаете, строятся два вспомогательных квадрата. Первый строится на основе магического квадрата третьего порядка. В качестве этого квадрата можно взять любой из восьми вариантов, возьмём, например, этот (рис. 50):

 

 

Рис. 50

 

Открою вам смысл этого исходного квадрата – в этом квадрате указаны номера блоков, состоящих из четырёх последовательных чисел, которые будут стоять в соответствующих ячейках 2х2 в строящемся магическом квадрате 6-ого порядка. Объясню подробнее. Все числа от 1 до 36 делятся на блоки по 4 последовательных числа в каждом:

 

блок № 1 – 1, 2, 3, 4

блок № 2 – 5, 6, 7, 8

блок № 3 – 9, 10, 11, 12

…

блок № 8 – 29, 30, 31, 32

блок № 9 – 33, 34, 35, 36.

 

Так вот: в создаваемом магическом квадрате 6-ого порядка в левом верхнем квадрате 2х2 будет стоять блок № 8, в правом верхнем квадрате 2х2 – блок № 4, в центральном квадрате 2х2 – блок № 5 и так далее (см. на рис. 50). Вот таков великий смысл исходного квадрата третьего порядка. И ничего абсолютно не надо с ним делать, никаких преобразований!

Теперь раскрою вам великий смысл второго вспомогательного квадрата. Как вы знаете, второй вспомогательный квадрат составляется из квадратов 2х2, заполненных числами 0, 1, 2, 3 так, чтобы он был нетрадиционным магическим квадратом. Например, вот один из вариантов второго вспомогательного квадрата (рис. 51), это второй вспомогательный квадрат с рис. 22 настоящей статьи:

 

 

Рис. 51

 

Преобразуем этот квадрат, увеличив все его элементы на единицу (рис. 52):

 

 

Рис. 52

 

А теперь посмотрим на каждый блок 2х2, в каждом таком блоке записаны числа 1, 2, 3, 4. Это порядковые номера чисел в каждом блоке! Например, в правом верхнем блоке 2х2 у нас будет стоять блок № 4 (см. на рис. 50), то есть блок из чисел: 13, 14, 15, 16, а вот в каком порядке эти числа расположить в блоке, показывают числа 1, 2, 3, 4, записанные в этом же блоке во втором вспомогательном квадрате, то есть числа надо расположить так: число 13 поставить в ячейку, в которой записано число 1, число 14 поставить в ячейку с числом 2, число 15 – в ячейку с числом 3, число 16 – в ячейку с числом 4. Невероятно красивая закономерность!

И на рис. 53 вы видите готовый сотовый магический квадрат 6-ого порядка.

 

 

Рис. 53

 

На рис. 49 (иллюстрация из статьи) слева показаны в графической форме последовательности заполнения блоков, в этом примере всего три варианта заполнения, по форме графические рисунки напоминают буквы L, U, X, отсюда и название метода. Однако формы графических рисунков, соответствующих порядку заполнения блоков, могут быть и другими. Понятно, что они полностью определяются вторым вспомогательным квадратом. Нарисую графические схемы заполнения для рассмотренного только что примера (рис. 54):

 

 

Рис. 54

 

На каждой схеме начало (число 1) помечено прямоугольничком, а далее надо двигаться по линиям схемы, ставя последовательно числа – 1, 2, 3, 4.

Возьмём другой вариант магического квадрата третьего порядка, например, вот этот (рис. 55):

 

 

Рис. 55

 

Для левого верхнего блока берём блок № 6 (то есть числа 21, 22, 23, 24) и располагаем числа этого блока по схеме с рис. 54, далее проделываем то же самое для всех следующих блоков. Получаем такой сотовый магический квадрат 6-ого порядка (рис. 56):

 

 

Рис. 56

 

Как видите, получился новый магический квадрат не эквивалентный квадрату с рис. 53.

Предлагаю читателям построить по схеме, изображённой на рис. 54, ещё 6 вариантов магических квадратов. Для этого надо брать в качестве исходного другие варианты магического квадрата третьего порядка.

 

А теперь покажу ещё одну схему заполнения, соответствующую другому второму вспомогательному квадрату, который вы видите на рис. 57, это квадрат с рис. 2 настоящей статьи.

 

 

Рис. 57

 

Схема заполнения, соответствующая этому вспомогательному квадрату, изображена на рис. 58.

 

     

 

Рис. 58

 

Примечание: на этом рисунке начало каждой схемы помечено красным прямоугольничком.

 

Покажу один пример построения магического квадрата по данной схеме. В качестве исходного квадрата третьего порядка возьму квадрат с рис. 55. Готовый сотовый магический квадрат вы видите на рис. 59.

 

 

Рис. 59

 

Очевидно, что мы получили тот самый магический квадрат, который построен в начале статьи (см. рис. 3).

В книге Чебракова указывается общее количество возможных вариантов составления второго вспомогательного квадрата для квадратов 6-ого порядка, это количество равно 95232 с учётом поворотов и отражений. Это значит, что можно нарисовать 95232 схемы, подобные изображённым на рис. 54 и рис. 58. Предлагаю читателям составить хотя бы парочку таких схем.

 

Ну, а теперь построю сотовый магический квадрат 10-ого порядка в точном соответствии со схемой, изображённой на рис. 49, то есть самым что ни на есть методом LUX. В качестве исходного возьму магический квадрат 5-ого порядка, изображённый на рис. 45 - дублирую (рис. 60):

 

 

Рис. 60

 

Точно так же разобьём все числа от 1 до 100 на блоки по 4 числа:

 

блок № 1 – 1, 2, 3, 4

блок № 2 – 5, 6, 7, 8

блок № 3 – 9, 10, 11, 12

…

блок № 24 – 93, 94, 95, 96

блок № 25 – 97, 98, 99, 100

 

Расположение блоков в матрице для квадрата 10-ого порядка задаёт исходный квадрат 5-ого порядка, в левом верхнем квадрате 2х2 будет стоять блок № 5, в правом верхнем квадрате 2х2 – блок № 17, в центральном квадрате 2х2 – блок № 7 и так далее.

Схема заполнения каждого блока 2х2 у нас на рис. 49. Заполняем матрицу по данной схеме и получаем такой сотовый магический квадрат 10-ого порядка (рис. 61):

 

 

Рис. 61

 

А можно ли для построения магического квадрата 6-ого порядка составить точно такую же схему LUX? Конечно. Вот, например, второй вспомогательный квадрат, дающий схему LUX (рис. 62):

 

 

Рис. 62

 

В символах L, U, X данная схема выглядит так (рис. 63):

 

 

Рис. 63

 

Построим один сотовый магический квадрат 6-ого порядка по этой схеме, взяв в качестве исходного квадрат третьего порядка с рис. 55. Смотрите готовый квадрат на рис. 64.

 

 

Рис. 64

 

МЕТОД LUX ДЛЯ КВАДРАТОВ ЧЁТНО-ЧЁТНОГО ПОРЯДКА

 

Рассмотрим метод LUX для квадратов чётно-чётного порядка на примере построения сотового магического квадрата 8-ого порядка. В качестве исходного возьмём магический квадрат 4-ого порядка, изображённый на рис. 65.

 

 

Рис. 65

 

В качестве второго вспомогательного квадрата возьмём, например, такой квадрат (рис. 66):

 

 

Рис. 66

 

Чтобы лучше видеть порядок заполнения блоков, увеличьте все элементы этого квадрата на единицу. А я нарисую картинку схемы заполнения блоков (рис. 67):

 

     

 

Рис. 67

 

Снова все числа от 1 до 64 разделим на 16 блоков по 4 последовательных числа в каждом блоке. Заполним матрицу, учитывая порядок расстановки блоков в соответствии с исходным квадратом (рис. 65), а порядок чисел в блоках в соответствии со схемой на рис. 67 (или в соответствии со вторым вспомогательным квадратом на рис. 66, что то же самое). Готовый сотовый магический квадрат 8-ого порядка вы видите на рис. 68.

 

 

Рис. 68

 

А вот построить сотовый магический квадрат 8-ого порядка точно по схеме LUX (то есть с использованием только трёх схем заполнения блоков – L, U, X) мне с ходу не удалось. Предполагаю, что сделать это невозможно. Мне кажется, что сотовые магические квадраты любого порядка n = 8k, k = 1, 2, 3 … будут строиться только с использованием чётного количества разных схем заполнения блоков 2х2. Попробуйте доказать или опровергнуть эту гипотезу. В построенном выше сотовом магическом квадрате 8-ого порядка (рис. 68) использованы четыре разные схемы (см. рис. 67).

 

МЕТОД LUX ДЛЯ КВАДРАТОВ ЧЁТНО-НЕЧЁТНОГО ПОРЯДКА

 

Построим методом LUX сотовый магический квадрат 12-ого порядка. Для составления первого вспомогательного квадрата возьмём в качестве исходного сотовый магический квадрат 6-ого порядка, построенный методом LUX (рис. 64). Составим первый вспомогательный квадрат (рис. 69):

 

 

Рис. 69

 

Второй вспомогательный квадрат копирую из статьи http://www.natalimak1.narod.ru/met5.htm (рис. 70):

 

 

Рис. 70

 

Осталось сложить поэлементно два вспомогательных квадрата и сотовый магический квадрат 12-ого порядка готов, смотрите его на рис. 71.

 

 

Рис. 71

 

Понятно, что схема заполнения этого квадрата копирует схему заполнения сотового магического квадрата 6-ого порядка, который взят в качестве исходного, то есть схему с рис. 63. Эта схема будет выглядеть так (рис. 72):

 

 

Рис. 64

 

***

 

Пожалуй, метод LUX является самым простым вариантом метода сотовых квадратов. Как явствует из приведённой выше цитаты, автором этого метода является J. H. Conway.

___________

 

 

ДОБАВЛЕНИЕ (24 октября 2008 г):

 

Рассматривая внимательно все ранее построенные сотовые квадраты, нашла сотовый квадрат 6-ого порядка, построенный с использованием всего двух разных схем, этот квадрат из книги Ю. В. Чебракова. Смотрите его на рис. 65.

 

 

                                                                                       Рис. 65

 

А вот второй сотовый квадрат, в котором добавлена ещё одна схема (в символах как раз схема L) (рис. 66):

 

 

                                                                                       Рис. 66

 

Заменённый блок окрашен жёлтым цветом.

Минимальное количество разных схем, используемых при построении сотового магического квадрата, равно 2. Вот сотовый магический квадрат 8-ого порядка, построенный с использованием двух разных схем (рис. 67):

 

 

Рис. 67

 

Этот квадрат можно назвать квадратом Z. Посмотрите: обе схемы заполнения блоков имеют форму буквы Z, только с разным началом (рис. 68):

 

    

 

                Рис. 68

 

Думаю, что заинтересовавшиеся читатели найдут ещё немало оригинальных схем построения сотовых магических квадратов методом LUX.

 

***

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу