СОТОВЫЕ МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ

 

Прежде всего замечу, что для лучшего понимания данной статьи необходимо ознакомиться со статьями:

 

http://www.natalimak1.metody5.htm

http://www.natalimak1.metody6.htm

 

В указанных статьях вы найдёте подробное изложение метода сотовых квадратов, которое приведено по книге Ю. В. Чебракова. Автор книги называет этот метод модифицированным методом террас, а построенные данным методом магические квадраты “2*2 ячеечными”. Мне такое название показалось несколько неуклюжим, и я назвала такие квадраты сотовыми. Дам определение сотового магического квадрата:

 

 

Примечание: в определении речь идёт о традиционном магическом квадрате. Очевидно, что сотовый квадрат может быть и нетрадиционным. Один из двух вспомогательных нетрадиционных магических квадратов, используемых при построении магического сотового квадрата, будет сотовым квадратом в смысле данного определения. Он тоже составляется из квадратов 2х2, но в каждом таком квадрате записываются четыре числа – 0, 1, 2, 3 (эти четыре числа тоже последовательные).

 

Сотовые магические квадраты – совершенно новый тип магических квадратов, поэтому я решила остановиться на них подробнее.

 

Автор книги рассматривает три случая построения сотовых квадратов (моё изложение метода следует по такому же пути):

 

1. квадраты порядка n = 4k + 2, k = 1, 2, 3… ;

2. квадраты порядка n = 8k + 4, k = 1, 2, 3… ;

3. квадраты порядка n = 8k, k = 1, 2, 3… .

 

Понятно, что минимальный сотовый магический квадрат имеет порядок 6.

Из трёх перечисленных случаев наибольший интерес представляют квадраты порядка n = 8k, потому что только сотовые квадраты данной серии порядков могут быть ассоциативными, пандиагональными и идеальными. Но в книге не приведено ни одного примера построения сотовых магических квадратов данной серии порядков.

Здесь рассматриваются такие примеры. Минимальный порядок квадрата данной серии порядков равен 8. Для построения сотового квадрата порядка n = 8k надо взять в качестве исходного квадрата любой магический квадрат порядка n = 4k. Далее приведено несколько примеров построения сотового квадрата 8-ого порядка.

 

Пример 1

 

Возьмём в качестве исходного магический квадрат 4-ого порядка, не обладающий никакими дополнительными свойствами (рис. 1).

 

 

Рис. 1

 

Построение первого вспомогательного квадрата из исходного квадрата с рис. 1 не описывается здесь подробно (см. об этом в указанных выше статьях). На рис. 2 приведён готовый первый вспомогательный квадрат 8х8.

 

 

Рис. 2

 

Этот вспомогательный квадрат является нетрадиционным магическим квадратов с магической константой 248. Он тоже составлен из квадратов 2х2, но в каждом таком квадрате записаны четыре одинаковых числа. Нетрудно увидеть, что этот нетрадиционный магический квадрат, как и исходный магический квадрат, не обладает никакими дополнительными свойствами – ни ассоциативностью, ни пандиагональностью.

Второй вспомогательный квадрат был построен в одной из указанных выше статей на основании схемы расположения блоков 2х2, приведённой в книге Чебракова. На рис. 3 вы видите этот вспомогательный сотовый квадрат.

 

 

                                                     Рис. 3

 

Это нетрадиционный магический сотовый квадрат с магической константой 12. Очевидно, что он обладает свойством ассоциативности.

Теперь осталось сложить поэлементно два вспомогательных квадрата, и магический сотовый квадрат 8-ого порядка готов (рис. 4).

 

 

                                                     Рис. 4

 

Полученный магический сотовый квадрат не обладает никакими дополнительными свойствами. Хотя второй вспомогательный квадрат ассоциативен, этого не достаточно, чтобы магический сотовый квадрат тоже был ассоциативным, надо, чтобы этим свойством обладал также первый вспомогательный квадрат. Такой пример сейчас и будет рассмотрен.

 

Пример 2

 

Возьмём в качестве исходного квадрата для построения первого вспомогательного квадрат ассоциативный квадрат 4-ого порядка (рис. 5).

 

 

Рис. 5

 

На рис. 6 изображён готовый первый вспомогательный квадрат 8х8, построенный с помощью этого исходного квадрата.

 

 

Рис. 6

 

Очевидно, что этот нетрадиционный магический квадрат обладает свойством ассоциативности. Второй вспомогательный квадрат возьмём тот же самый, что и в примере 1 (рис. 3). Сложим поэлементно два вспомогательных квадрата и получим новый сотовый магический квадрат 8-ого порядка, который будет ассоциативным, так как оба вспомогательных квадрата ассоциативны. Смотрите этот сотовый квадрат на рис. 7.

 

 

                                                     Рис. 7

 

Пример 3

 

Возьмём в качестве исходного квадрата для построения первого вспомогательного квадрата пандиагональный квадрат 4-ого порядка (рис. 8).

 

 

Рис. 8

 

Как известно, все пандиагональные квадраты 4-ого порядка являются совершенными. Следовательно, исходный квадрат у нас и пандиагональный, и совершенный. Будем строить магический сотовый квадрат 8-ого порядка. Сначала построим первый вспомогательный квадрат (рис. 9).

 

 

                                                     Рис. 9

 

Нетрудно убедиться в том, что этот нетрадиционный магический квадрат является пандиагональным.

А теперь надо построить второй вспомогательный квадрат так, чтобы он тоже был пандиагональным. Для этого применим к ассоциативному квадрату с рис. 3 преобразование трёх квадратов, которые превращает ассоциативный квадрат чётно-чётного порядка в пандиагональный. В результате применения этого преобразования получаем пандиагональный сотовый вспомогательный квадрат, изображённый на рис. 10.

 

 

                                                     Рис. 10

 

Складываем поэлементно вспомогательные квадраты с рис. 9 и с рис. 10. Полученный сотовый магический квадрат 8-ого порядка показан на рис. 11.

 

 

                                                     Рис. 11

 

Удивительный пандиагональный квадрат с оригинальной начальной цепочкой. На следующем рисунке (рис. 12) изображён этот квадрат с выделенной начальной цепочкой. Начальная цепочка тоже напоминает ход коня, но ход этот делается целым блоком 2х2. Примечательно, что в исходном пандиагональном квадрате 4-ого порядка (см. рис. 8) начальная цепочка строится точно таким же ходом коня.

 

 

                                                     Рис. 12

 

Ещё более поразительно в этом квадрате то, что он является совершенным! Только некоторые свойства совершенного квадрата в нём выполняются “блочно”, то есть не для ячеек квадрата, а для блоков 2х2 (пояснение ниже).

Сумма чисел в угловых ячейках квадрата равна 130, как и должно быть в совершенном квадрате. Свойство комплементарности тоже выполняется (подробно о свойствах совершенных квадратов смотрите в соответствующей статье о совершенных квадратах). А вот свойство: сумма чисел в любом квадрате 2х2 равна 130, в этом квадрате, конечно, не выполняется. Это свойство как раз и выполняется “блочно”. Поясню, что это значит.  Заменим каждый квадрат 2х2 (называемый также блоком) на одну ячейку и в эту ячейку запишем сумму чисел из заменяемого блока. Полученный квадрат изображён на рис. 13.

 

 

Рис. 13

 

В этом нетрадиционном магическом квадрате, который представляет собой “блочную свёртку” квадрата с рис. 12, выполняются абсолютно все свойства совершенного квадрата. Сумма чисел в любом квадрате 2х2 равна одному и тому же числу, только, конечно, не 130, а 520. Кроме того, в этом квадрате выполняется свойство комплементарности. Сумма чисел в угловых ячейках тоже равна 520. В довершение всего он является пандиагональным. Его магическая константа равна 520.

Если считать в этом нетрадиционном магическом квадрате начальной цепочкой первые четыре наименьших числа, то даже эта условная начальная цепочка совпадает по форме с начальной цепочкой в исходном квадрате (рис. 8).

 

Вот такой интересный совершенный сотовый квадрат мы получили! Ну, даже если его нельзя считать полностью совершенным квадратом, то пандиагональным он является.

 

Идеальный сотовый квадрат 8-ого порядка мы не можем построить данным методом, потому что идеального квадрата 4-ого порядка не существует.

 

Интересно отметить, что другой пандиагональный сотовый квадрат 8-ого порядка можно получить из ассоциативного сотового квадрата с рис. 7 применением к нему преобразования трёх квадратов. Этот квадрат показан на рис. 14.

 

 

                                                     Рис. 14

 

Получился совсем новый магический сотовый квадрат не эквивалентный квадрату с рис. 12. На рис. 15 показан этот сотовый квадрат с выделенной начальной цепочкой.

 

 

                                                     Рис. 15

 

Как видим, начальная цепочка тоже получается ходом коня (причём целым блоком 2х2), но по-другому, нежели в квадрате на рис. 12. Очевидно, что этот пандиагональный квадрат также обладает некоторыми свойствами совершенного квадрата, как и построенный выше квадрат (рис. 12). Предлагаю читателям сделать “блочную свёртку” этого квадрата и убедиться, что она является нетрадиционным совершенным магическим квадратом 4-ого порядка.

 

На этом я завершаю демонстрацию построения сотовых магических квадратов 8-ого порядка. Далее будет рассмотрено построение сотовых магических квадратов 16-ого порядка.

 

***

 

Переходим к построению сотовых магических квадратов 16-ого порядка. Для такого построения в качестве исходного берётся любой магический квадрат 8-ого порядка. От свойств этого квадрата будут зависеть свойства построенного сотового квадрата 16-ого порядка. Рассмотрим несколько примеров.

 

Пример 1

 

Возьмём в качестве исходного квадрата ассоциативный магический квадрат 8-ого порядка, построенный методом квадратных рамок (рис. 16).

 

 

                                                                       Рис. 16

 

Заготовка для первого вспомогательного квадрата по алгоритму автора книги получается заменой всех чисел в этом исходном квадрате на числа 1, 5, 9, 13, …, то есть на числа, являющиеся членами арифметической прогрессии с разностью 4. Однако делать такую замену в квадрате 8-ого порядка уже не совсем удобно (в отличие от квадрата 4-ого порядка). Поэтому здесь предлагается альтернативный вариант: надо построить нетрадиционный магический квадрат 8-ого порядка методом квадратных рамок (подробно смотрите в одной из указанных выше статей). На рис. 17 изображён первый вспомогательный квадрат.

 

 

                                                     Рис. 17

 

Это нетрадиционный магический квадрат, обладающий свойством ассоциативности. Его магическая константа равна 2032.

Для построения второго вспомогательного квадрат используем квадрат с рис. 3. Очевидно, что если разместить четыре таких квадрата в матрице 16х16, получится нетрадиционный ассоциативный квадрат с магической константой 24. Вы видите этот квадрат на рис. 18.

 

 

Рис. 18

 

Сложим поэлементно два вспомогательных квадрата (рис. 17 и рис. 18) и магический сотовый квадрат 16-ого порядка готов (рис. 19).

 

 

Рис. 19

 

Полученный сотовый магический квадрат тоже ассоциативный. Мы можем сразу же превратить его в пандиагональный сотовый квадрат, применив преобразование трёх квадратов. На рис. 20 показан полученный пандиагональный сотовый квадрат.

 

 

Рис. 20

 

В квадрате выделена начальная цепочка.

 

Если вы возьмёте в качестве исходного квадрата пандиагональный квадрат 8-ого порядка и второй вспомогательный квадрат тоже сделаете пандиагональным (это легко сделать, применив к квадрату с рис. 18 преобразование трёх квадратов), то получите новый пандиагональный сотовый квадрат 16-ого порядка не эквивалентный квадрату, изображённому на рис. 20. Такое построение уже было показано в одной из указанных выше статей.

 

Пример 2

 

А теперь возьмём в качестве исходного совершенный квадрат 8-ого порядка, изображённый на рис. 21.

 

 

                                                                       Рис. 21

 

К сожалению, здесь нельзя применить метод квадратных рамок при составлении заготовки для первого вспомогательного квадрата, поэтому придётся делать замену чисел непосредственно. Заготовка, полученная после замены чисел 1, 2, 3, …, 64 на числа 1, 5, 9, 13, … , 253, показана на рис. 22. Напомню, что замена производится соответственно в порядке следования чисел в обеих последовательностях.

 

 

                                                                       Рис. 22

 

Превращаем заготовку в первый вспомогательный квадрат. Для этого, как помнят читатели, надо каждую ячейку заменить квадратом 2х2 и записать в этот квадрат число из заменяемой ячейки. Первый вспомогательный квадрат изображён на рис. 23.

 

 

Рис. 23

 

Это нетрадиционный магический квадрат с магической константой 2032, обладающий свойством пандиагональности.

Для построения второго вспомогательного квадрата используем квадрат с рис. 10. Разместим в верхней половине матрицы 16х16 две копии этого квадрата, а в нижней половине матрицы – два одинаковых квадрата, полученных из этого квадрата отражением относительно вертикальной оси симметрии. Полученный в результате второй вспомогательный квадрат изображён на рис. 24.

 

 

Рис. 24

 

Симметрия в этом квадрате поразительная. Квадрат является нетрадиционным пандиагональным квадратом с магической константой 24.

Сложим поэлементно два вспомогательных квадрата (рис. 23 и рис. 24) и получим следующий пандиагональный сотовый квадрат (рис. 25):

 

 

Рис. 25

 

Этот сотовый квадрат помимо пандиагональности обладает и несколькими свойствами совершенного квадрата. Сумма чисел в угловых ячейках равна 514, как и должно быть в совершенном квадрате. Выполняется и свойство комплементарности.

Обратите внимание на начальную цепочку в этом квадрате, она похожа по форме на начальную цепочку в исходном совершенном квадрате 8-ого порядка (рис. 21), только образована целыми блоками 2х2.

Сделаем “блочную свёртку” этого пандиагонального сотового квадрата (рис. 26):

 

 

                                                                       Рис. 26

 

И перед вами нетрадиционный совершенный квадрат 8-ого порядка! В квадрате выделена начальная цепочка, составленная из первых восьми наименьших чисел. По форме эта условная начальная цепочка в точности совпадает с начальной цепочкой в исходном совершенном квадрате 8-ого порядка (рис. 21). Магическая константа этого квадрата равна удвоенной магической константе квадрата 16-ого порядка.

 

Пример 3

 

В этом примере возьмём в качестве исходного квадрата идеальный квадрат 8-ого порядка (рис. 27).

 

 

Рис. 27

 

Первый вспомогательный квадрат изображён на рис. 28.

 

 

Рис. 28

 

Этот квадрат является нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 2032. Он обладает свойствами ассоциативности и пандиагональности, то есть идеальный.

А вот с построением второго вспомогательного квадрата у меня пока ничего не получилось. Выше были представлены вторые вспомогательные квадраты, которые обладают свойством ассоциативности (рис. 18) или свойством пандиагональности (рис. 24). А нам надо построить такой второй вспомогательный квадрат, чтобы он обладал этими свойствами одновременно.

Понятно, что если мы построим идеальный нетрадиционный сотовый квадрат 8-ого порядка (из квадратов 2х2, заполненных числами 0, 1, 2, 3), а затем разместим в матрице 16х16 четыре копии этого квадрата, то полученный нетрадиционный сотовый квадрат 16-ого порядка тоже будет идеальным. Поэтому задача сводится к построению идеального нетрадиционного сотового квадрата 8-ого порядка. Второй вспомогательный сотовый квадрат 8-ого порядка мы построили выше –  обладающий свойством ассоциативности (рис. 3) или свойством пандиагональности (рис. 10). Теперь нам предстоит построить подобный квадрат 8-ого порядка, обладающий этими свойствами одновременно. Я попробовала составить такой квадрат простым подбором, однако это у меня не получилось. Тогда пришлось искать другие пути решения задачи. Один из вариантов описан далее. Заполняется половина квадрата, в другой половине записываются неизвестные величины, их 16. Для этих неизвестных величин записываются условия магичности и пандиагональности квадрата. Получается система 16-ти линейных уравнений с 16 неизвестными. К сожалению, не имею ни одного пакета, в котором можно решить эту систему и узнать. имеет ли она решение. Если нужное решение у этой системы есть, то задача решена.

На рис. 29 показан заполненный числами и переменными квадрат 8-ого порядка.

 

 

Рис. 29

 

Понятно, что приведённый вариант заполнения половины квадрата является не единственным, удовлетворяющим условиям задачи. Вполне возможно, что от этих начальных условий будет зависеть окончательный исход решения задачи, может быть, при таком начальном заполнении половины квадрата задача не имеет решения, а при другом варианте заполнения она будет иметь решение. Но для начала надо проверить приведённый вариант. Система уравнений, описывающая квадрат на рис. 29 как нетрадиционный магический, обладающий свойством пандиагональности, получилась такая:

 

x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 10

x₉ + x₁₀ – x₁₅ – x₁₆ = 3

x₁₁ + x₁₂ – x₁₃ – x₁₄ = -3

x₉ + x₁₁ + x₁₃ + x₁₅ = 5

x₁₀ + x₁₂ + x₁₄ + x₁₆ = 7

x₁ + x₅ – x₄ – x₈ = -1

x₂ + x₆ – x₃ – x₇ = 1

x₈ + x₁₆ = 2

x₄ + x₇ + x₁₄ + x₁₅ = 6

x₁ + x₉ – x₃ – x₆ – x₁₂ – x₁₃ = -5

x₅ – x₁₀ = 2

x₉ + x₁₂ – x₅ – x₆ = 1

x₄ + x₁₁ + x₁₄ – x₂ – x₇ – x₁₅ = -3

x₁ + x₆ – x₉ – x₁₂ = -1

x₁ + x₂ + x₅ + x₆ = 6

x₃ + x₄ + x₇ + x₈ = 6

 

Есть ещё два уравнения, но они уже вроде как лишние. Возможно, среди приведённых 16-ти уравнений есть эквивалентные (что не сразу бросается в глаза), тогда можно использовать два оставшихся уравнения. Вот они:

 

x₉ + x₁₀ + x₁₁ + x₁₂ = 6

x₁₃ + x₁₄ + x₁₅ + x₁₆ = 6

 

Итак, всё очень просто. Если я не ошиблась при описании квадрата и система уравнений получилась правильная, то надо просто её решить. Возможны только два варианта: система имеет решение либо не имеет решения. В первом случае задача решена. Во втором случае надо изменить начальные условия, то есть начальное заполнение половины квадрата (рис. 27). Затем снова описать квадрат и получить новую систему уравнений.

А может быть, кому-то из читателей удастся заполнить вторую половину квадрата простым подбором. Но не забывайте, что в каждом квадрате 2х2 должны быть записаны числа 0, 1, 2, 3.

Я опубликовала эту задачу на форуме:

 

http://dxdy.ru/topic15897-15.html#147245

 

однако тамошние господа математики не спешат её решать. Оно и понятно! Они решают куда более сложные и важные задачи, и на такую ерунду у них просто нет времени. Правильно?

 

А как вам понравились сотовые магические квадраты? Мне очень понравились! Я такие магические квадраты ещё нигде не встречала, кроме как в книге Чебракова. Однако автор книги не привёл ни ассоциативных, ни пандиагональных, ни идеальных сотовых квадратов, а только магические, не обладающие никакими дополнительными свойствами.

 

***

 

Ну, вот и пришло решение задачи на форуме. Сообщают, что с точностью до багов в Мапле система не имеет решения.

Всё правильно! Хотела удалить здесь эту систему уравнений, но потом передумала. Ошибочное решение – тоже решение! Тем более что оно показывает один из путей решения задачи (продолжение этого решения см. ниже).

 

После того, как я загрузила статью на сайт (вот эту самую статью, которую сейчас продолжаю писать), стала её перечитывать с целью проверки. И при внимательном рассмотрении вспомогательного квадрата 16-ого порядка на рис. 24 увидела, что он и ассоциативный, и пандиагональный! В том примере этот вспомогательный квадрат составлялся для построения совершенного сотового квадрата 16-ого порядка. Поэтому я и не обратила внимания на его ассоциативность (пандиагональность и в том примере была нужна). Но вот теперь этот квадрат у нас имеется. Остаётся сложить поэлементно два вспомогательных квадрата (рис. 24 и рис. 28), и мы получаем первый идеальный сотовый квадрат! Смотрите его на рис. 30.

 

 

Рис. 30

 

Если построенные выше совершенные сотовые квадраты не совсем совершенные, то построенный сейчас идеальный квадрат идеальный в полном смысле этого понятия: он ассоциативный и пандиагональный одновременно. Обратите внимание на выделенную красным цветом начальную цепочку, она похожа по форме на начальную цепочку в исходном идеальном квадрате 8-ого порядка (рис. 27), только образована она целыми блоками 2х2.

Понятно, что, взяв в качестве исходного квадрата другой идеальный квадрат 8-ого порядка, мы построим описанным методом новый идеальный сотовый квадрат 16-ого порядка. Предлагаю читателям проделать это.

 

Ну, а что же со вторым вспомогательным квадратом 8-ого порядка, который я неудачно пыталась построить выше? Всё оказалось очень просто. Я построила этот квадрат по аналогии с квадратом 16-ого порядка. И вот каким он получился (рис. 31):

 

 

Рис. 31

 

Сравните этот квадрат с квадратом на рис. 29; вы увидите, что начальное заполнение квадрата было неправильным. Если сделать начальное заполнение квадрата таким, как в квадрате на рис. 31, и составить новую систему уравнений, наверняка она будет иметь решение.

 

А теперь продолжу тот самый путь решения задачи, то есть составлю второй вспомогательный квадрат 16-ого порядка, используя квадрат с рис. 31. Для этого надо в матрицу 16х16 поместить четыре копии этого квадрата. Полученный таким образом квадрат изображён на рис. 32.

 

 

Рис. 32

 

Легко убедиться в том, что этот квадрат тоже обладает свойствами ассоциативности и пандиагональности. А вот свойством комплементарности он не обладает, в отличие от квадрата с рис. 24, но нам сейчас это свойство и не нужно.

Итак, имеем новую пару вспомогательных квадратов: первый вспомогательный квадрат остаётся прежний (рис. 28), а второй вспомогательный квадрат берём новый – с рис. 32. Сложив поэлементно эти вспомогательные квадраты, получаем новый сотовый идеальный квадрат 16-ого порядка (рис. 33).

 

 

Рис. 33

 

Как видим, форма начальной цепочки сохранилась, то есть квадрат получился подобным квадрату с рис. 30, однако эти два квадрата не эквивалентны.

Таким образом, этот путь решения задачи тоже доведён до конца.

 

Как уже было сказано выше, идеальный сотовый квадрат 8-ого порядка нельзя построить данным методом, так как не существует идеального квадрата 4-ого порядка, который надо было бы взять в качестве исходного для такого построения. Однако существует нетрадиционный идеальный квадрат 4-ого порядка (рис. 34) [квадрат построен в статье “Нетрадиционные идеальные квадраты”: http://www.klassikpoez.narod.ru/idnet.htm ]. Его и возьмём в качестве исходного и построим нетрадиционный идеальный сотовый квадрат 8-ого порядка данным методом.

 

 

Рис. 34

 

Для построения первого вспомогательного квадрата не будем делать заготовку, а составим этот квадрат прямо из исходного квадрата с рис. 34. Готовый первый вспомогательный квадрат показан на рис. 35.

 

 

                                                     Рис. 35

 

Второй вспомогательный квадрат берём с рис. 31. Сложив поэлементно два вспомогательных квадрата (рис. 31 и рис. 35), получаем такой нетрадиционный идеальный сотовый квадрат 8-ого порядка (рис. 36):

 

 

                                                     Рис. 36

 

Магическая константа этого квадрата равна 64.

Можно ли построить традиционный идеальный сотовый квадрат 8-ого порядка другим методом или такого квадрата вообще не существует? Этот вопрос остаётся открытым.

 

Далее, конечно, интересно разработать алгоритм построения второго вспомогательного квадрата для построения идеальных сотовых квадратов любого порядка n = 8k, k>1. Алгоритм построения первого вспомогательного квадрата чётко описан и не вызывает никаких затруднений. Его надо только формализовать и запрограммировать. А вот со вторым вспомогательным квадратом несколько сложнее. Хотя теперь, когда уже есть примеры таких квадратов 16-ого порядка (см. рис. 24 и рис. 32), тоже легко разработать алгоритм построения таких квадратов.

 

Так, например, для построения сотового идеального квадрата следующего – 24-ого – порядка надо взять в качестве исходного любой идеальный магический квадрат 12-ого порядка (такие квадраты известны). Процедуру замены чисел 1, 2, 3, … на числа 1, 5, 9, …, разумеется, надо запрограммировать. Превращение каждой ячейки в квадрат 2х2 – тоже. Далее надо придумать, как составить второй вспомогательный квадрат 24х24 так, чтобы он обладал свойствами ассоциативности и пандиагональности. Хорошая задача! Затем надо придумать, как составить такой квадрат для любого порядка рассматриваемой серии. Самой очень хочется решить эту задачу, но есть другие планы. Может быть, как-нибудь займусь задачей на досуге.

 

В заключение покажу один очень интересный пример сотового магического квадрата 16-ого порядка. Этот квадрат “блочно” бимагический! В качестве исходного квадрата для построения возьму бимагический квадрат 8-ого порядка из книги Ю. В. Чебракова (стр. 123, рис. 2.17.3). Вы видите этот квадрат на рис. 37.

 

 

                                                     Рис. 37

 

Напомню, что бимагическим называется такой квадрат, который остаётся магическим (конечно, нетрадиционным) после замены всех его элементов на их квадраты. Приведённый квадрат кроме свойства бимагичности обладает свойством ассоциативности.

Подробности построения первого вспомогательного квадрата опускаю, читатели уже знают, как строится этот квадрат. На рис. 38 изображён первый вспомогательный квадрат.

 

 

Рис. 38

 

В качестве второго вспомогательного квадрата можно взять квадраты с рис. 18, с рис. 24 или с рис. 32 (все эти квадраты обладают свойством ассоциативности). Возьмём последний. Сложив поэлементно два вспомогательных квадрата (рис. 32 и рис. 38), получаем следующий сотовый магический квадрат (рис. 39):

 

 

Рис. 39

 

Как и исходный квадрат, этот сотовый квадрат обладает свойством ассоциативности. Кроме того, он “блочно” бимагический! Это значит, что бимагической является его “блочная свёртка”. Как делать такую свёртку, объяснялось выше. На рис. 40 изображена “блочная свёртка”, полученная из данного квадрата.

 

 

                                                     Рис. 40

 

И перед вами нетрадиционный бимагический квадрат 8-ого порядка. Понятно, что его магическая константа равна удвоенной магической константе квадрата 16-ого порядка. Если заменить все элементы в этом квадрате их квадратами, получится нетрадиционный магический квадрат с магической константой 2812448.

 

***

 

Не могла удержаться от соблазна построить сотовый идеальный квадрат 24-ого порядка. Для построения взяла в качестве исходного построенный мной идеальный квадрат 12-ого порядка с линейной начальной цепочкой [оригинальный!] (рис. 41).

 

 

                                                     Рис. 41

 

Процедуру замены чисел 1, 2, 3, 4, … на числа 1, 5, 9, 13, … в этом квадрате, конечно, надо автоматизировать, что делается очень просто. Фактически расположение чисел в исходном квадрате показывает, какой по порядковому номеру член арифметической прогрессии следует записать в ту или иную ячейку. Например, в правую верхнюю ячейку надо записать 78-ой член арифметической прогрессии, и вычислить этот член можно по формуле для n-ого члена арифметической прогрессии:

 

a_n = a₁ + d*(n-1)

 

В нашей арифметической прогрессии a₁ = 1, d = 4. Таким образом, 78-ой член арифметической прогрессии, который надо записать в правую верхнюю ячейку нового квадрата, равен: 1+ 4*77 = 309. В нижнюю правую ячейку надо записать 144-ый член арифметической прогрессии, который будет равен: 1 + 4*143 = 573.

Составляю программку для этой процедуры и мгновенно получаю с её помощью заготовку для первого вспомогательного квадрата:

 

1  381  121  397  489  305  41  341  125  421  513  309

465  213  529  285  73  157  441  209  569  245  77  181

413  517  321  21  337  141  409  493  297  17  377  101

281  53  173  469  225  549  241  93  169  445  201  545

9  353  137  389  509  325  33  357  97  429  505  301

457  205  537  257  89  149  461  229  561  261  49  189

385  525  313  13  345  113  425  485  317  37  369  117

273  69  145  477  217  541  249  65  185  437  221  565

29  373  129  405  481  333  25  349  105  401  521  293

473  197  557  277  81  165  433  237  553  253  57  161

393  497  329  5  365  133  417  501  289  45  361  109

265  61  153  449  233  533  269  85  177  453  193  573

 

Осталось превратить каждую ячейку этого квадрата в квадрат 2х2 и записать в него число из заменяемой ячейки. Эту процедуру тоже, разумеется, можно автоматизировать. На рис. 42 изображён первый вспомогательный квадрат.

 

 

Рис. 42

 

Это нетрадиционный магический квадрат с магической константой 6888, обладающий свойствами ассоциативности и пандиагональности.

Осталось составить второй вспомогательный квадрат. Для этого используем квадрат с рис. 31. Поместим в матрицу 24х24 девять копий этого квадрата и получим нужный второй вспомогательный квадрат. Вы видите его на рис. 43.

 

 

Рис. 43

 

Это нетрадиционный магический квадрат с магической константой 36, тоже обладающий свойствами ассоциативности и пандиагональности. Составление такого квадрата легко запрограммировать.

Теперь сложим поэлементно два вспомогательных квадрата (рис. 42 и рис. 43), и сотовый идеальный квадрат 24-ого порядка готов. Смотрите его на рис. 44.

 

 

Рис. 44

 

В квадрате выделена оранжевым цветом начальная цепочка. Она образована целыми блоками 2х2 и по форме похожа на начальную цепочку исходного идеального квадрата 12-ого порядка (рис. 41).

 

Понятно, что поэлементное сложение двух вспомогательных квадратов тоже очень просто запрограммировать. Итак, мы имеем полностью формализованный алгоритм построения идеальных сотовых квадратов любого порядка n = 8k, k>1. Составить по этому алгоритму программу – дело техники.

 

***

 

Вчера решила посмотреть, как работает метод составных квадратов для сотовых квадратов.

Сначала покажу построение составного сотового квадрата для случая, когда и базовый, и основной квадраты сотовые. Понятно, что минимальный порядок сотового квадрата, который может быть построен в таком случае, равен 36. Возьмём в качестве базового квадрата сотовый квадрат 6-ого порядка из книги Чебракова (рис. 45), а в качестве основного – сотовый квадрат 6-ого порядка, построенный мной (рис. 46). Можно взять в качестве основного тот же самый квадрат, который служит базовым, или наоборот: в качестве базового взять тот же квадрат, который служит основным (предлагаю читателям построить такие составные сотовые квадраты).

 

 

                                                     Рис. 45

 

 

                                                     Рис. 46

 

Составив программку, получаю следующий сотовый квадрат 36-ого порядка:

 

часть 1

 

195  196  213  215  187  185  231  232  249  251  223  221  915  916  933  935  907  905

 194  193  216  214  186  188  230  229  252  250  222  224  914  913  936  934  906  908

 191  189  199  200  205  207  227  225  235  236  241  243  911  909  919  920  925  927

 190  192  198  197  208  206  226  228  234  233  244  242  910  912  918  917  928  926

 211  212  181  183  203  201  247  248  217  219  239  237  931  932  901  903  923  921

 210  209  184  182  202  204  246  245  220  218  238  240  930  929  904  902  922  924

 267  268  285  287  259  257  159  160  177  179  151  149  987  988  1005  1007  979  977

 266  265  288  286  258  260  158  157  180  178  150  152  986  985  1008  1006  978  980

 263  261  271  272  277  279  155  153  163  164  169  171  983  981  991  992  997  999

 262  264  270  269  280  278  154  156  162  161  172  170  982  984  990  989  1000  998

 283  284  253  255  275  273  175  176  145  147  167  165  1003  1004  973  975  995  993

 282  281  256  254  274  276  174  173  148  146  166  168  1002  1001  976  974  994  996

 1193  1194  1211  1213  1185  1183  1239  1240  1257  1259  1231  1229  627  628  645  647  619  617

 1192  1191  1214  1212  1184  1186  1238  1237  1260  1258  1230  1232  626  625  648  646  618  620

 1189  1187  1197  1198  1203  1205  1235  1233  1243  1244  1249  1251  623  621  631  632  637  639

 1188  1190  1196  1195  1206  1204  1234  1236  1242  1241  1252  1250  622  624  630  629  640  638

 1209  1210  1179  1181  1201  1199  1255  1256  1225  1227  1247  1245  643  644  613  615  635  633

 1208  1207  1182  1180  1200  1202  1254  1253  1228  1226  1246  1248  642  641  616  614  634  636

 1275  1276  1293  1295  1267  1265  1167  1168  1185  1187  1159  1157  591  592  609  611  583  581

 1274  1273  1296  1294  1266  1268  1166  1165  1188  1186  1158  1160  590  589  612  610  582  584

 1271  1269  1279  1280  1285  1287  1163  1161  1171  1172  1177  1179  587  585  595  596  601  603

 1270  1272  1278  1277  1288  1286  1162  1164  1170  1169  1180  1178  586  588  594  593  604  602

 1291  1292  1261  1263  1283  1281  1183  1184  1153  1155  1175  1173  607  608  577  579  599  597

 1290  1289  1264  1262  1282  1284  1182  1181  1156  1154  1174  1176  606  605  580  578  598  600

 483  484  501  503  475  473  519  520  537  539  511  509  339  340  357  359  331  329

 482  481  504  502  474  476  518  517  540  538  510  512  338  337  360  358  330  332

 479  477  487  488  493  495  515  513  523  524  529  531  335  333  343  344  349  351

 478  480  486  485  496  494  514  516  522  521  532  530  334  336  342  341  352  350

 499  500  469  471  491  489  535  536  505  507  527  525  355  356  325  327  347  345

 498  497  472  470  490  492  534  533  508  506  526  528  354  353  328  326  346  348

 447  448  465  467  439  437  555  556  573  575  547  545  411  412  429  431  403  401

 446  445  468  466  438  440  554  553  576  574  546  548  410  409  432  430  402  404

 443  441  451  452  457  459  551  549  559  560  565  567  407  405  415  416  421  423

 442  444  450  449  460  458  550  552  558  557  568  566  406  408  414  413  424  422

 463  464  433  435  455  453  571  572  541  543  563  561  427  428  397  399  419  417

 462  461  436  434  454  456  570  569  544  542  562  564  426  425  400  398  418  420

 

часть 2

 

 951  952  969  971  943  941  771  772  789  791  763  761  807  808  825  827  799  797

 950  949  972  970  942  944  770  769  792  790  762  764  806  805  828  826  798  800

 947  945  955  956  961  963  767  765  775  776  781  783  803  801  811  812  817  819

 946  948  954  953  964  962  766  768  774  773  784  782  802  804  810  809  820  818

 967  968  937  939  959  957  787  788  757  759  779  777  823  824  793  795  815  813

 966  965  940  938  958  960  786  785  760  758  778  780  822  821  796  794  814  816

 879  880  897  899  871  869  843  844  861  863  835  833  735  736  753  755  727  725

 878  877  900  898  870  872  842  841  864  862  834  836  734  733  756  754  726  728

 875  873  883  884  889  891  839  837  847  848  853  855  731  729  739  740  745  747

 874  876  882  881  892  890  838  840  846  845  856  854  730  732  738  737  748  746

 895  896  865  867  887  885  859  860  829  831  851  849  751  752  721  723  743  741

 894  893  868  866  886  888  858  857  832  830  850  852  750  749  724  722  742  744

 663  664  681  683  655  653  51  52  69  71  43  41  87  88  105  107  79  77

 662  661  684  682  654  656  50  49  72  70  42  44  86  85  108  106  78  80

 659  657  667  668  673  675  47  45  55  56  61  63  83  81  91  92  97  99

 658  660  666  665  676  674  46  48  54  53  64  62  82  84  90  89  100  98

 679  680  649  651  671  669  67  68  37  39  59  57  103  104  73  75  95  93

 678  677  652  650  670  672  66  65  40  38  58  60  102  101  76  74  94  96

 699  700  717  719  691  689  123  124  141  143  115  113  15  16  33  35  7  5

 698  697  720  718  690  692  122  121  144  142  114  116  14  13  36  34  6  8

 695  693  703  704  709  711  119  117  127  128  133  135  11  9  19  20  25  27

 694  696  702  701  712  710  118  120  126  125  136  134  10  12  18  17  28  26

 715  716  685  687  707  705  139  140  109  111  131  129  31  32  1  3  23  21

 714  713  688  686  706  708  138  137  112  110  130  132  30  29  4  2  22  24

 375  376  393  395  367  365  1059  1060  1077  1079  1051  1049  1095  1096  1113  1115  1087  1085

 374  373  396  394  366  368  1058  1057  1080  1078  1050  1052  1094  1093  1116  1114  1086  1088

 371  369  379  380  385  387  1055  1053  1063  1064  1069  1071  1091  1089  1099  1100  1105  1107

 370  372  378  377  388  386  1054  1056  1062  1061  1072  1070  1090  1092  1098  1097  1108  1106

 391  392  361  363  383  381  1075  1076  1045  1047  1067  1065  1111  1112  1081  1083  1103  1101

 390  389  364  362  382  384  1074  1073  1048  1046  1066  1068  1110  1109  1084  1082  1102  1104

 303  304  321  323  295  293  1023  1024  1041  1043  1015  1013  1131  1132  1149  1151  1123  1121

 302  301  324  322  294  296  1022  1021  1044  1042  1014  1016  1130  1129  1152  1150  1122  1124

 299  297  307  308  313  315  1019  1017  1027  1028  1033  1035  1127  1125  1135  1136  1141  1143

 298  300  306  305  316  314  1018  1020  1026  1025  1036  1034  1126  1128  1134  1133  1144  1142

 319  320  289  291  311  309  1039  1040  1009  1011  1031  1029  1147  1148  1117  1119  1139  1137

 318  317  292  290  310  312  1038  1037  1012  1010  1030  1032  1146  1145  1120  1118  1138  1140

 

Примечание: квадрат представлен в виде двух половинок по 18 столбцов каждая. Для получения целого квадрата соедините две половинки.

 

Универсальный метод составных квадратов работает и для сотовых квадратов.

Однако составной сотовый квадрат можно построить, взяв в качестве базового, например, квадрат третьего порядка, а в качестве основного сотовый квадрат 6-ого порядка, то есть сотовым является только один из исходных квадратов, им должен быть именно основной квадрат. Минимальный порядок такого составного сотового квадрата равен 18. Возьмём в качестве базового квадрат третьего порядка, который вы видите на рис. 47, а в качестве основного – сотовый квадрат 6-ого порядка с рис. 46.

 

 

                                                     Рис. 47

 

На рис. 48 изображён сотовый квадрат 18-ого порядка, построенный методом составных квадратов для данных базового и основного квадратов.

 

 

Рис. 48

 

Приведу для сравнения сотовый квадрат 18-ого порядка, построенный в статье http://www.natalimak1.narod.ru/metody6.htm методом сотовых квадратов (рис. 49):

 

 

Рис. 49

 

Как видите, это два различных (не эквивалентных) сотовых квадрата.

 

Аналогично можно построить составной сотовый квадрат 24-ого порядка (в этом случае базовый квадрат – любой магический квадрат 4-ого порядка, основной квадрат – любой сотовый квадрат 6-ого порядка), 30-ого порядка (в этом случае базовый квадрат – любой магический квадрат 5-ого порядка, основной квадрат – любой сотовый квадрат 6-ого порядка) и так далее. Базовым квадратом может быть любой магический квадрат, а основным – обязательно сотовый квадрат.

 

***

 

Вчера просматривала в Сети картинки про магические квадраты. Таких картинок море! И не увидела ни одного магического квадрата, построенного мной. Наверное, это потому так получается, что я все свои квадраты делаю в виде таблиц. А таблица это ведь не картинка! Вот и создала свою первую картинку с магическим квадратом. Может быть, она появится в картинках про магические квадраты?

 

 

Конечно, картинка очень плохая получилась, но первый блин всегда комом. У меня очень маленький опыт работы с Фотошопом.  Ну, рассмотреть ведь можно. Этот сотовый квадрат можно посмотреть на рис. 11 и рис. 12.

 

Хотя вот есть ещё одна замечательная картинка с идеальным магическим квадратом 5-ого порядка. Правда, сделала эту картинку не я, а мой читатель Виктор Ивченко. Эту картинку я поместила в одной статье, но она тоже почему-то в картинках про магические квадраты не появилась. Почему? Хотя я не до конца картинки просмотрела, там их очень и очень много. Да, зато есть моя фотография из ЖЖ, это из записи “Мои магические квадраты”, но фотография к магическим квадратам никакого отношения не имеет, на ней я стою в берёзовой роще.

Вот картинка В. Ивченко – квадрат на призме (два вида):

 

 

 

 

Такие картинки я ни за что не нарисую. Красота! (картинки созданы в пакете программ Mathcad).

 

Автор следующих картинок Георгий Александров. Когда я при исследовании пандиагональных квадратов 5-ого порядка обнаружила преобразование “строки-диагонали” и написала о нём Георгию, он прислал мне вот эту картинку, интерпретирующую данное преобразование:

 

 

Следующая картинка Георгия должна была стать нашим логотипом:

 

 

Макалек – это соединение наших фамилий: Макарова и Александров. MS – это магические квадраты по-английски (magic squares).

Ещё, например, вот эта картинка Георгия, иллюстрирующая разломанные диагонали пандиагонального квадрата:

 

 

 

Много разных картинок присылал мне Георгий за три месяца нашего сотрудничества в области магических квадратов.

 

Уважаемые читатели! Если вы умеете создавать красивые картинки с магическими квадратами, присылайте их мне, пожалуйста. Желательно, чтобы это были картинки с оригинальными магическими квадратами, построенными мной.

 

***

 

Читайте мою виртуальную книгу “Волшебный мир магических квадратов”:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm

 

 

30 сентября – 5 октября 2008 г.

г. Саратов

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу