Н. Макарова
ПОДРОБНО О КВАЗИ-РАЗНОСТНОЙ МАТРИЦЕ
Часть III
Данная страница является продолжением страницы:
http://www.natalimak1.narod.ru/quazi1.htm
В статье “The Existence of N2 Resolvable Latin Squares” (ссылка на статью указана во второй части настоящей статьи) [стр. 20, А. 1] нашла ещё одну пару ОЛК 10-го порядка. Это уже четвёртая пара ОЛК, состоящая из латинских квадратов, содержащих подквадрат 3х3; три пары были показаны на указанной выше странице. Покажу и эту пару (рис. 1 – 2).
Первый латинский квадрат
|
0 |
3 |
b |
c |
a |
4 |
2 |
1 |
6 |
5 |
|
3 |
1 |
4 |
b |
c |
a |
5 |
2 |
0 |
6 |
|
6 |
4 |
2 |
5 |
b |
c |
a |
3 |
1 |
0 |
|
a |
0 |
5 |
3 |
6 |
b |
c |
4 |
2 |
1 |
|
c |
a |
1 |
6 |
4 |
0 |
b |
5 |
3 |
2 |
|
b |
c |
a |
2 |
0 |
5 |
1 |
6 |
4 |
3 |
|
2 |
b |
c |
a |
3 |
1 |
6 |
0 |
5 |
4 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
0 |
a |
b |
c |
|
5 |
6 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
b |
c |
a |
|
4 |
5 |
6 |
0 |
1 |
2 |
3 |
c |
a |
b |
Рис. 1
Второй латинский квадрат
|
3 |
c |
6 |
2 |
5 |
b |
a |
1 |
4 |
0 |
|
a |
4 |
c |
0 |
3 |
6 |
b |
2 |
5 |
1 |
|
b |
a |
5 |
c |
1 |
4 |
0 |
3 |
6 |
2 |
|
1 |
b |
a |
6 |
c |
2 |
5 |
4 |
0 |
3 |
|
6 |
2 |
b |
a |
0 |
c |
3 |
5 |
1 |
4 |
|
4 |
0 |
3 |
b |
a |
1 |
c |
6 |
2 |
5 |
|
c |
5 |
1 |
4 |
b |
a |
2 |
0 |
3 |
6 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
a |
b |
c |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
0 |
1 |
c |
a |
b |
|
5 |
6 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
b |
c |
a |
Рис. 2
Составляю КРМ этой пары ОЛК (рис. 3):
|
a |
b |
c |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
a |
b |
c |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
1 |
6 |
5 |
1 |
5 |
4 |
0 |
3 |
6 |
a |
c |
b |
2 |
|
1 |
4 |
0 |
0 |
2 |
5 |
3 |
a |
b |
1 |
6 |
4 |
c |
Рис. 3
А теперь “положим” рядом КРМ трёх пар ОЛК, показанных в предыдущей части статьи (рис. 4 – 5):
|
a |
b |
c |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
a |
b |
c |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
3 |
6 |
5 |
1 |
2 |
4 |
0 |
b |
c |
5 |
a |
6 |
3 |
|
4 |
1 |
2 |
4 |
1 |
2 |
0 |
6 |
5 |
c |
3 |
b |
a |
Рис. 4
|
a |
b |
c |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
a |
b |
c |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
6 |
5 |
4 |
1 |
2 |
3 |
0 |
4 |
c |
5 |
b |
6 |
a |
|
1 |
2 |
3 |
6 |
5 |
4 |
0 |
c |
1 |
b |
2 |
a |
3 |
Рис. 5
|
a |
b |
c |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
a |
b |
c |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
3 |
5 |
7 |
2 |
3 |
4 |
1 |
7 |
6 |
5 |
c |
b |
a |
|
2 |
3 |
4 |
3 |
5 |
7 |
1 |
a |
b |
c |
2 |
4 |
6 |
Рис. 6
Сравните эти матрицы. Очевидно, что все они имеют одинаковую структуру. Это наводит на мысль, что можно построить ещё не одну подобную КРМ, а по КРМ пару ОЛК 10-го порядка. Надо взять такую матрицу с заполненными двумя первыми строками (эти строки во всех приведённых КРМ одинаковые), а третью и четвёртую строки формировать по программе, проверяя критерий совместимости всех строк. При этом легко видеть, что все приведённые пары ОЛК неизоморфны.
То же самое имеем для пар ОЛК 14-го порядка. Одна из таких пар была показана в предыдущей части статьи. Покажу вторую подобную пару ОЛК из статьи “The Existence of N2 Resolvable Latin Squares” (рис. 7 – 8).
Первый латинский квадрат
|
b |
a |
c |
10 |
6 |
9 |
0 |
5 |
3 |
8 |
2 |
1 |
4 |
7 |
|
3 |
b |
a |
c |
0 |
7 |
10 |
1 |
6 |
4 |
9 |
2 |
5 |
8 |
|
10 |
4 |
b |
a |
c |
1 |
8 |
0 |
2 |
7 |
5 |
3 |
6 |
9 |
|
6 |
0 |
5 |
b |
a |
c |
2 |
9 |
1 |
3 |
8 |
4 |
7 |
10 |
|
9 |
7 |
1 |
6 |
b |
a |
c |
3 |
10 |
2 |
4 |
5 |
8 |
0 |
|
5 |
10 |
8 |
2 |
7 |
b |
a |
c |
4 |
0 |
3 |
6 |
9 |
1 |
|
4 |
6 |
0 |
9 |
3 |
8 |
b |
a |
c |
5 |
1 |
7 |
10 |
2 |
|
2 |
5 |
7 |
1 |
10 |
4 |
9 |
b |
a |
c |
6 |
8 |
0 |
3 |
|
7 |
3 |
6 |
8 |
2 |
0 |
5 |
10 |
b |
a |
c |
9 |
1 |
4 |
|
c |
8 |
4 |
7 |
9 |
3 |
1 |
6 |
0 |
b |
a |
10 |
2 |
5 |
|
a |
c |
9 |
5 |
8 |
10 |
4 |
2 |
7 |
1 |
b |
0 |
3 |
6 |
|
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
a |
b |
c |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
b |
c |
a |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
c |
a |
b |
Рис. 7
Второй латинский квадрат
|
10 |
5 |
8 |
1 |
c |
b |
6 |
9 |
4 |
a |
7 |
0 |
2 |
3 |
|
8 |
0 |
6 |
9 |
2 |
c |
b |
7 |
10 |
5 |
a |
1 |
3 |
4 |
|
a |
9 |
1 |
7 |
10 |
3 |
c |
b |
8 |
0 |
6 |
2 |
4 |
5 |
|
7 |
a |
10 |
2 |
8 |
0 |
4 |
c |
b |
9 |
1 |
3 |
5 |
6 |
|
2 |
8 |
a |
0 |
3 |
9 |
1 |
5 |
c |
b |
10 |
4 |
6 |
7 |
|
0 |
3 |
9 |
a |
1 |
4 |
10 |
2 |
6 |
c |
b |
5 |
7 |
8 |
|
b |
1 |
4 |
10 |
a |
2 |
5 |
0 |
3 |
7 |
c |
6 |
8 |
9 |
|
c |
b |
2 |
5 |
0 |
a |
3 |
6 |
1 |
4 |
8 |
7 |
9 |
10 |
|
9 |
c |
b |
3 |
6 |
1 |
a |
4 |
7 |
2 |
5 |
8 |
10 |
0 |
|
6 |
10 |
c |
b |
4 |
7 |
2 |
a |
5 |
8 |
3 |
9 |
0 |
1 |
|
4 |
7 |
0 |
c |
b |
5 |
8 |
3 |
a |
6 |
9 |
10 |
1 |
2 |
|
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
a |
b |
c |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
1 |
2 |
c |
a |
b |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
0 |
b |
c |
a |
Рис. 8
На рис. 9 изображена КРМ этой пары ОЛК.
|
a |
b |
c |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
a |
b |
c |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
1 |
4 |
7 |
8 |
0 |
1 |
b |
3 |
10 |
6 |
9 |
5 |
4 |
2 |
7 |
c |
a |
|
0 |
2 |
3 |
5 |
3 |
1 |
10 |
8 |
a |
7 |
2 |
0 |
b |
c |
9 |
6 |
4 |
Рис. 9
Сравните эту КРМ с КРМ пары ОЛК, показанной в предыдущей части статьи (рис. 10):
|
a |
b |
c |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
a |
b |
c |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
4 |
6 |
9 |
10 |
9 |
3 |
0 |
4 |
7 |
5 |
1 |
6 |
2 |
b |
a |
8 |
c |
|
1 |
2 |
8 |
3 |
4 |
1 |
0 |
6 |
8 |
10 |
a |
9 |
b |
5 |
7 |
c |
2 |
Рис. 10
Структура этих матриц одинаковая, так же и латинские квадраты в этих парах ОЛК имеют одинаковую структуру. Вполне можно предположить, что существуют ещё подобные пары ОЛК 14-го порядка.
Можно продолжить демонстрацию подобных примеров. Покажу пример для пар ОЛК 22-го порядка. В предыдущей части статьи была показана пара ОЛК подобной структуры. На рис. 11 показываю квази-разностную матрицу этой пары ОЛК:
|
a |
b |
c |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
a |
b |
c |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
|
15 |
7 |
11 |
2 |
3 |
14 |
0 |
11 |
a |
4 |
1 |
8 |
10 |
16 |
6 |
b |
15 |
5 |
18 |
c |
13 |
17 |
9 |
12 |
7 |
|
17 |
16 |
5 |
17 |
10 |
6 |
0 |
16 |
4 |
14 |
13 |
9 |
7 |
b |
1 |
12 |
18 |
c |
3 |
8 |
2 |
a |
15 |
11 |
5 |
Рис. 11
А теперь приведу ещё одну пару ОЛК 22-го порядка из той же статьи “ The Existence of N2 Resolvable Latin Squares”. Сначала покажу сами латинские квадраты этой пары (рис. 12 – 13), а потом её квази-разностную матрицу.
Примечание: латинские квадраты приведены с числовыми значениями символьных элементов: a = 19, b = 20, c = 21.
Первый латинский квадрат
|
8 |
16 |
5 |
15 |
2 |
19 |
6 |
1 |
3 |
21 |
9 |
20 |
13 |
18 |
11 |
17 |
4 |
7 |
10 |
14 |
0 |
12 |
|
11 |
9 |
17 |
6 |
16 |
3 |
19 |
7 |
2 |
4 |
21 |
10 |
20 |
14 |
0 |
12 |
18 |
5 |
8 |
15 |
1 |
13 |
|
9 |
12 |
10 |
18 |
7 |
17 |
4 |
19 |
8 |
3 |
5 |
21 |
11 |
20 |
15 |
1 |
13 |
0 |
6 |
16 |
2 |
14 |
|
7 |
10 |
13 |
11 |
0 |
8 |
18 |
5 |
19 |
9 |
4 |
6 |
21 |
12 |
20 |
16 |
2 |
14 |
1 |
17 |
3 |
15 |
|
2 |
8 |
11 |
14 |
12 |
1 |
9 |
0 |
6 |
19 |
10 |
5 |
7 |
21 |
13 |
20 |
17 |
3 |
15 |
18 |
4 |
16 |
|
16 |
3 |
9 |
12 |
15 |
13 |
2 |
10 |
1 |
7 |
19 |
11 |
6 |
8 |
21 |
14 |
20 |
18 |
4 |
0 |
5 |
17 |
|
5 |
17 |
4 |
10 |
13 |
16 |
14 |
3 |
11 |
2 |
8 |
19 |
12 |
7 |
9 |
21 |
15 |
20 |
0 |
1 |
6 |
18 |
|
1 |
6 |
18 |
5 |
11 |
14 |
17 |
15 |
4 |
12 |
3 |
9 |
19 |
13 |
8 |
10 |
21 |
16 |
20 |
2 |
7 |
0 |
|
20 |
2 |
7 |
0 |
6 |
12 |
15 |
18 |
16 |
5 |
13 |
4 |
10 |
19 |
14 |
9 |
11 |
21 |
17 |
3 |
8 |
1 |
|
18 |
20 |
3 |
8 |
1 |
7 |
13 |
16 |
0 |
17 |
6 |
14 |
5 |
11 |
19 |
15 |
10 |
12 |
21 |
4 |
9 |
2 |
|
21 |
0 |
20 |
4 |
9 |
2 |
8 |
14 |
17 |
1 |
18 |
7 |
15 |
6 |
12 |
19 |
16 |
11 |
13 |
5 |
10 |
3 |
|
14 |
21 |
1 |
20 |
5 |
10 |
3 |
9 |
15 |
18 |
2 |
0 |
8 |
16 |
7 |
13 |
19 |
17 |
12 |
6 |
11 |
4 |
|
13 |
15 |
21 |
2 |
20 |
6 |
11 |
4 |
10 |
16 |
0 |
3 |
1 |
9 |
17 |
8 |
14 |
19 |
18 |
7 |
12 |
5 |
|
0 |
14 |
16 |
21 |
3 |
20 |
7 |
12 |
5 |
11 |
17 |
1 |
4 |
2 |
10 |
18 |
9 |
15 |
19 |
8 |
13 |
6 |
|
19 |
1 |
15 |
17 |
21 |
4 |
20 |
8 |
13 |
6 |
12 |
18 |
2 |
5 |
3 |
11 |
0 |
10 |
16 |
9 |
14 |
7 |
|
17 |
19 |
2 |
16 |
18 |
21 |
5 |
20 |
9 |
14 |
7 |
13 |
0 |
3 |
6 |
4 |
12 |
1 |
11 |
10 |
15 |
8 |
|
12 |
18 |
19 |
3 |
17 |
0 |
21 |
6 |
20 |
10 |
15 |
8 |
14 |
1 |
4 |
7 |
5 |
13 |
2 |
11 |
16 |
9 |
|
3 |
13 |
0 |
19 |
4 |
18 |
1 |
21 |
7 |
20 |
11 |
16 |
9 |
15 |
2 |
5 |
8 |
6 |
14 |
12 |
17 |
10 |
|
15 |
4 |
14 |
1 |
19 |
5 |
0 |
2 |
21 |
8 |
20 |
12 |
17 |
10 |
16 |
3 |
6 |
9 |
7 |
13 |
18 |
11 |
|
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
0 |
1 |
2 |
3 |
19 |
20 |
21 |
|
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
20 |
21 |
19 |
|
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
21 |
19 |
20 |
Рис. 12
Второй латинский квадрат
|
13 |
11 |
16 |
0 |
21 |
14 |
5 |
8 |
6 |
9 |
18 |
7 |
20 |
1 |
17 |
19 |
2 |
4 |
10 |
15 |
12 |
3 |
|
11 |
14 |
12 |
17 |
1 |
21 |
15 |
6 |
9 |
7 |
10 |
0 |
8 |
20 |
2 |
18 |
19 |
3 |
5 |
16 |
13 |
4 |
|
6 |
12 |
15 |
13 |
18 |
2 |
21 |
16 |
7 |
10 |
8 |
11 |
1 |
9 |
20 |
3 |
0 |
19 |
4 |
17 |
14 |
5 |
|
5 |
7 |
13 |
16 |
14 |
0 |
3 |
21 |
17 |
8 |
11 |
9 |
12 |
2 |
10 |
20 |
4 |
1 |
19 |
18 |
15 |
6 |
|
19 |
6 |
8 |
14 |
17 |
15 |
1 |
4 |
21 |
18 |
9 |
12 |
10 |
13 |
3 |
11 |
20 |
5 |
2 |
0 |
16 |
7 |
|
3 |
19 |
7 |
9 |
15 |
18 |
16 |
2 |
5 |
21 |
0 |
10 |
13 |
11 |
14 |
4 |
12 |
20 |
6 |
1 |
17 |
8 |
|
7 |
4 |
19 |
8 |
10 |
16 |
0 |
17 |
3 |
6 |
21 |
1 |
11 |
14 |
12 |
15 |
5 |
13 |
20 |
2 |
18 |
9 |
|
20 |
8 |
5 |
19 |
9 |
11 |
17 |
1 |
18 |
4 |
7 |
21 |
2 |
12 |
15 |
13 |
16 |
6 |
14 |
3 |
0 |
10 |
|
15 |
20 |
9 |
6 |
19 |
10 |
12 |
18 |
2 |
0 |
5 |
8 |
21 |
3 |
13 |
16 |
14 |
17 |
7 |
4 |
1 |
11 |
|
8 |
16 |
20 |
10 |
7 |
19 |
11 |
13 |
0 |
3 |
1 |
6 |
9 |
21 |
4 |
14 |
17 |
15 |
18 |
5 |
2 |
12 |
|
0 |
9 |
17 |
20 |
11 |
8 |
19 |
12 |
14 |
1 |
4 |
2 |
7 |
10 |
21 |
5 |
15 |
18 |
16 |
6 |
3 |
13 |
|
17 |
1 |
10 |
18 |
20 |
12 |
9 |
19 |
13 |
15 |
2 |
5 |
3 |
8 |
11 |
21 |
6 |
16 |
0 |
7 |
4 |
14 |
|
1 |
18 |
2 |
11 |
0 |
20 |
13 |
10 |
19 |
14 |
16 |
3 |
6 |
4 |
9 |
12 |
21 |
7 |
17 |
8 |
5 |
15 |
|
18 |
2 |
0 |
3 |
12 |
1 |
20 |
14 |
11 |
19 |
15 |
17 |
4 |
7 |
5 |
10 |
13 |
21 |
8 |
9 |
6 |
16 |
|
9 |
0 |
3 |
1 |
4 |
13 |
2 |
20 |
15 |
12 |
19 |
16 |
18 |
5 |
8 |
6 |
11 |
14 |
21 |
10 |
7 |
17 |
|
21 |
10 |
1 |
4 |
2 |
5 |
14 |
3 |
20 |
16 |
13 |
19 |
17 |
0 |
6 |
9 |
7 |
12 |
15 |
11 |
8 |
18 |
|
16 |
21 |
11 |
2 |
5 |
3 |
6 |
15 |
4 |
20 |
17 |
14 |
19 |
18 |
1 |
7 |
10 |
8 |
13 |
12 |
9 |
0 |
|
14 |
17 |
21 |
12 |
3 |
6 |
4 |
7 |
16 |
5 |
20 |
18 |
15 |
19 |
0 |
2 |
8 |
11 |
9 |
13 |
10 |
1 |
|
10 |
15 |
18 |
21 |
13 |
4 |
7 |
5 |
8 |
17 |
6 |
20 |
0 |
16 |
19 |
1 |
3 |
9 |
12 |
14 |
11 |
2 |
|
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
19 |
20 |
21 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
0 |
1 |
21 |
19 |
20 |
|
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
0 |
1 |
2 |
3 |
20 |
21 |
19 |
Рис. 13
На рис. 14 изображена КРМ этой пары ОЛК.
|
a |
b |
c |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
a |
b |
c |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
|
14 |
0 |
12 |
4 |
6 |
10 |
8 |
11 |
9 |
7 |
2 |
16 |
5 |
1 |
b |
18 |
c |
14 |
13 |
0 |
a |
17 |
12 |
3 |
15 |
|
15 |
12 |
3 |
12 |
2 |
4 |
13 |
11 |
6 |
5 |
a |
3 |
7 |
b |
15 |
8 |
0 |
17 |
1 |
18 |
9 |
c |
16 |
14 |
10 |
Рис. 14
Сравните эту КРМ с КРМ, изображённой на рис. 11. Есть все основания предположить, что существует ещё не одна пара ОЛК с КРМ такой же структуры.
Для пары ОЛК 26-го порядка не буду показывать сами латинские квадраты, а покажу только КРМ (рис. 15). По КРМ читатели могут сами построить пару ОЛК. Данная пара ОЛК взята из той же самой статьи “The Existence of N2 Resolvable Latin Squares”.
|
a |
b |
c |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
a |
b |
c |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
|
13 |
10 |
4 |
9 |
20 |
17 |
0 |
a |
c |
10 |
6 |
4 |
18 |
22 |
19 |
5 |
3 |
16 |
21 |
14 |
11 |
13 |
b |
8 |
12 |
2 |
15 |
1 |
7 |
|
14 |
3 |
6 |
22 |
7 |
21 |
0 |
10 |
19 |
2 |
c |
12 |
4 |
20 |
1 |
11 |
b |
15 |
17 |
a |
6 |
16 |
13 |
5 |
3 |
14 |
9 |
8 |
18 |
Рис. 15
А теперь помещаю рядом КРМ для пары ОЛК 26-го порядка (рис. 16), которая построена по книге М. Холла. Латинские квадраты этой пары имеют такую же структуру. Понятно, что и КРМ этих двух пар ОЛК подобны.
|
a |
b |
c |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
a |
b |
c |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
|
20 |
17 |
8 |
4 |
17 |
2 |
0 |
16 |
12 |
8 |
15 |
9 |
20 |
13 |
21 |
7 |
5 |
14 |
b |
c |
10 |
1 |
18 |
6 |
11 |
3 |
19 |
22 |
a |
|
19 |
6 |
21 |
1 |
11 |
10 |
0 |
2 |
7 |
12 |
18 |
20 |
16 |
4 |
c |
8 |
21 |
19 |
6 |
15 |
17 |
22 |
5 |
b |
13 |
9 |
a |
14 |
3 |
Рис. 16
В этой же статье есть ещё пример подобной пары ОЛК 34-го порядка (см. стр. 22, А. 8).
Итак, ещё раз покажу общий вид КРМ для рассматриваемой группы пар ОЛК порядка n, в которых латинские квадраты содержат подквадрат 3х3 (рис. 17).
|
a |
b |
c |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
… |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
a |
b |
c |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
… |
n-2 |
n-3 |
n-4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 17
Как уже установлено в предыдущей части статьи, такую структуру могут иметь пары ОЛК чётного порядка n > 8. Но для любого ли чётного порядка существует пара ОЛК такой структуры? Интересный вопрос! Понятно, что нельзя составить группу MOLS, состоящую более чем из двух латинских квадратов, имеющих такую же структуру. Причина: группа MOLS 3-го порядка содержит только два квадрата.
Как помнят читатели, для пар ОЛК, состоящих из латинских квадратов, содержащих подквадрат 1х1, можно составить группу MOLS более чем из двух квадратов. Известны, например, группы MOLS из трёх латинских квадратов такой структуры для порядков 14 и 22. Покажу для примера КРМ для группы MOLS 14-го порядка, состоящей из трёх квадратов (автор D. T. Todorov) [рис. 18]:
|
a |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
a |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
0 |
0 |
a |
2 |
10 |
12 |
7 |
9 |
5 |
4 |
1 |
11 |
8 |
3 |
6 |
|
0 |
1 |
2 |
a |
5 |
9 |
3 |
12 |
7 |
11 |
0 |
4 |
6 |
8 |
10 |
|
0 |
3 |
12 |
9 |
6 |
a |
2 |
7 |
11 |
1 |
5 |
10 |
0 |
4 |
8 |
Рис. 18
В своей статье Тодоров приводит ещё два варианта этой КРМ, полученные с помощью компьютера. Построение всех групп MOLS 14-го порядка вы можете посмотреть в статье http://www.natalimak1.narod.ru/mols14.htm .
А теперь покажу КРМ группы MOLS 20-го порядка, состоящей из четырёх латинских квадратов такой же структуры (рис. 19). Автор этой группы тоже D. T. Todorov.
|
a |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
a |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
|
0 |
0 |
a |
8 |
16 |
5 |
13 |
2 |
10 |
18 |
7 |
15 |
6 |
12 |
1 |
4 |
17 |
9 |
14 |
3 |
11 |
|
7 |
1 |
11 |
4 |
0 |
5 |
17 |
10 |
15 |
13 |
9 |
6 |
18 |
2 |
7 |
a |
14 |
8 |
12 |
16 |
3 |
|
1 |
11 |
7 |
10 |
2 |
0 |
9 |
18 |
16 |
3 |
14 |
13 |
a |
6 |
4 |
12 |
17 |
8 |
5 |
15 |
1 |
|
11 |
7 |
1 |
14 |
16 |
3 |
10 |
17 |
4 |
9 |
11 |
5 |
18 |
15 |
2 |
12 |
0 |
a |
13 |
8 |
6 |
Рис. 19
В статье http://www.natalimak1.narod.ru/mols26_38.htm можно посмотреть аналогичную группу MOLS 38-го порядка, тоже состоящую из четырёх латинских квадратов.
Интересно заметить в связи с латинскими квадратами, содержащими подквадрат 1х1: латинский подквадрат 1х1 имеет бесконечно много ортогональных соквадратов, все они являются ячейкой, содержащей одно и то же число. В последнем примере (рис. 19) все латинские квадраты 20-го порядка содержат латинский подквадрат 1х1, содержащий число 19 (это значение символьного элемента a). Подквадрат 1х1 во всех латинских квадратах находится в правом нижнем углу (угловая ячейка).
Продолжение будет здесь:
http://www.natalimak1.narod.ru/quazi3.htm
26 - 28 марта 2009 г.
г. Саратов
Читайте мою виртуальную книгу “Волшебный мир магических квадратов”:
http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm
Скачайте электронную версию этой книги:
http://narod.ru/disk/5834353000/Magic_squares.pdf.html
Заодно прихватите книгу “Позиционные системы счисления”, авось, пригодится:
http://narod.ru/disk/5936760000/pozic4.pdf.html
Пишите мне!
На главную страницу
