Н. Макарова
ПОДРОБНО О КВАЗИ-РАЗНОСТНОЙ МАТРИЦЕ
В предыдущих статьях настоящего цикла было показано построение нескольких групп MOLS с помощью квази-разностной матрицы. Такая матрица составляется для ортогональных латинских квадратов определённого вида: эти латинские квадраты содержат подквадраты 1х1, 3х3, 4х4 и т. д.
Примечание: поскольку в статье очень часто будет использоваться термин “квази-разностная матрица”, буду заменять его аббревиатурой – КРМ (кстати, в англоязычной литературе этому термину соответствует термин “quasi-difference matrix” и тоже используется аббревиатура – QDM).
Часть I
Здесь будут рассмотрены КРМ для латинских квадратов, содержащих подквадрат 1х1.
КРМ можно составить и для построения одного латинского квадрата, а не только для группы MOLS или для пары ОЛК. И при этом её строки тоже должны удовлетворять критерию совместимости, о котором будет сказано далее. В качестве примера возьму разработанную мной схему построения латинского квадрата любого чётного порядка n = 2k, k>1. Эту схему я разработала, когда ещё ничего не знала о КРМ. Начну с минимального порядка n = 4. На рис. 1 показана КРМ для построения одного латинского квадрата 4-го порядка по моей схеме (ещё раз замечу: пока только одного квадрата!).
|
a |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
a |
1 |
0 |
2 |
|
1 |
2 |
a |
0 |
1 |
Рис. 1
На рис. 2 изображён латинский квадрат, построенный по этой КРМ. Он строится точно так, как было рассказано о построении групп MOLS по КРМ: две верхние строки содержат координаты, а третья строка содержит элементы, находящиеся в ячейках с такими координатами. На рис. 2 показаны координаты и выделены жёлтым цветом ячейки, содержащие элементы из КРМ.
|
|
0 |
1 |
2 |
a |
|
0 |
0 |
2 |
a |
1 |
|
1 |
a |
1 |
0 |
2 |
|
2 |
1 |
a |
2 |
0 |
|
a |
2 |
0 |
1 |
a |
Рис. 2
Как уже сказано, во всех рассматриваемых здесь КРМ для латинских квадратов порядка n с подквадратом 1х1 содержится один символьный элемент, который всегда равен n-1. В данном примере a = 3. Именно этот элемент находится в правой нижней ячейке квадрата, эту ячейку я и называю подквадратом 1х1 (по аналогии с подквадратами 3х3, 4х4 и т.д.).
Теперь самое время сказать о критерии совместимости строк КРМ. Если КРМ для построения латинского квадрата порядка n (с подквадратом 1х1) составлена правильно, то разности чисел по модулю n-1 в любых двух строках КРМ должны быть разные. При этом разности, в которых встречается символьный элемент, не считаются. Например, возьмём в КРМ с рис. 1 первую и вторую строки: разности между числами этих строк равны 1, 0, 2. Проверьте разности между числами первой и третьей, второй и третьей строк, вы увидите, что они принимают точно такие же значения. (Если подквадрты будут другого размера m, то разности будут считаться по модулю n – m.)
Забегая вперёд, скажу, что этот критерий совместимости строк должен выполняться в любой КРМ, составленной как для построения одного латинского квадрата, так и группы ортогональных латинских квадратов, в которой латинские квадраты имеют описанный здесь вид, то есть содержат подквадраты.
Теперь покажу КРМ и соответствующий латинский квадрат для следующих порядков 6, 8, 10. Этих примеров вполне достаточно, чтобы увидеть все закономерности этой схемы построения латинского квадрата.
На рис. 3 - 4 вы видите КРМ и латинский квадрат для n = 6.
|
a |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
a |
2 |
0 |
1 |
3 |
4 |
|
1 |
3 |
a |
0 |
4 |
2 |
1 |
Рис. 3
|
0 |
2 |
4 |
a |
3 |
1 |
|
4 |
1 |
3 |
0 |
a |
2 |
|
a |
0 |
2 |
4 |
1 |
3 |
|
2 |
a |
1 |
3 |
0 |
4 |
|
1 |
3 |
a |
2 |
4 |
0 |
|
3 |
4 |
0 |
1 |
2 |
a |
Рис. 4
На рис. 5 – 6 изображена пара КРМ – латинский квадрат для порядка 8.
|
a |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
a |
3 |
0 |
1 |
2 |
4 |
5 |
6 |
|
1 |
4 |
a |
0 |
6 |
5 |
3 |
2 |
1 |
Рис. 5
|
0 |
2 |
4 |
6 |
a |
3 |
5 |
1 |
|
6 |
1 |
3 |
5 |
0 |
a |
4 |
2 |
|
5 |
0 |
2 |
4 |
6 |
1 |
a |
3 |
|
a |
6 |
1 |
3 |
5 |
0 |
2 |
4 |
|
3 |
a |
0 |
2 |
4 |
6 |
1 |
5 |
|
2 |
4 |
a |
1 |
3 |
5 |
0 |
6 |
|
1 |
3 |
5 |
a |
2 |
4 |
6 |
0 |
|
4 |
5 |
6 |
0 |
1 |
2 |
3 |
a |
Рис. 6
Покажу этот латинский квадрат, заменив в нём символьный элемент a его значением (рис. 7):
|
0 |
2 |
4 |
6 |
7 |
3 |
5 |
1 |
|
6 |
1 |
3 |
5 |
0 |
7 |
4 |
2 |
|
5 |
0 |
2 |
4 |
6 |
1 |
7 |
3 |
|
7 |
6 |
1 |
3 |
5 |
0 |
2 |
4 |
|
3 |
7 |
0 |
2 |
4 |
6 |
1 |
5 |
|
2 |
4 |
7 |
1 |
3 |
5 |
0 |
6 |
|
1 |
3 |
5 |
7 |
2 |
4 |
6 |
0 |
|
4 |
5 |
6 |
0 |
1 |
2 |
3 |
7 |
Рис. 7
Наконец, последняя пара КРМ – латинский квадрат (для порядка 10) представлена на рис. 8 – 9.
|
a |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
a |
4 |
0 |
1 |
2 |
3 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
1 |
5 |
a |
0 |
8 |
7 |
6 |
4 |
3 |
2 |
1 |
Рис. 8
|
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
a |
3 |
5 |
7 |
1 |
|
8 |
1 |
3 |
5 |
7 |
0 |
a |
4 |
6 |
2 |
|
7 |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
1 |
a |
5 |
3 |
|
6 |
8 |
1 |
3 |
5 |
7 |
0 |
2 |
a |
4 |
|
a |
7 |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
1 |
3 |
5 |
|
4 |
a |
8 |
1 |
3 |
5 |
7 |
0 |
2 |
6 |
|
3 |
5 |
a |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
1 |
7 |
|
2 |
4 |
6 |
a |
1 |
3 |
5 |
7 |
0 |
8 |
|
1 |
3 |
5 |
7 |
a |
2 |
4 |
6 |
8 |
0 |
|
5 |
6 |
7 |
8 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
a |
Рис. 9
Понятно, что приведённую схему построения латинского квадрата любого чётного порядка n>2 очень легко запрограммировать.
Итак, по данной схеме мы можем составить КРМ и латинский квадрат любого чётного порядка n>2. Теперь попытаемся на основании этих КРМ строить пары ОЛК.
Задача ставится следующим образом: берём КРМ для одного латинского квадрата и добавляем к ней четвёртую строку, которая будет совместима со всеми тремя строками по указанному выше критерию. Если это удастся сделать, то мы получим КРМ для пары ОЛК; четвёртая строка матрицы будет определять ортогональный соквадрат.
Мне удалось решить эту задачу с ходу для порядка 4. На рис. 10 показываю КРМ с рис. 1 с добавленной четвёртой строкой.
|
a |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
a |
1 |
0 |
2 |
|
1 |
2 |
a |
0 |
1 |
|
0 |
2 |
0 |
1 |
a |
Рис. 10
Проверив добавленную строку на совместимость с тремя имеющимися строками, убеждаемся, что всё в порядке.
На рис. 11 вы видите пару ОЛК 4-го порядка, построенную по данной КРМ, первый латинский квадрат в этой паре – это построенный выше квадрат с рис. 2.
|
0 |
2 |
a |
1 |
|
1 |
a |
2 |
0 |
|
a |
1 |
0 |
2 |
0 |
2 |
a |
1 |
|
|
1 |
a |
2 |
0 |
a |
1 |
0 |
2 |
|
|
2 |
0 |
1 |
a |
2 |
0 |
1 |
a |
Рис. 11
Теперь, конечно, надо проверить, будет ли этот алгоритм работать для следующих порядков (разумеется, порядок 6 надо пропустить, так как для этого порядка не существует пары ОЛК). Но тут уже непросто выполнить добавление четвёртой строки простым подбором, надо написать программу, которая рассмотрит все возможные варианты добавляемой строки и проверит критерий совместимости. Вполне допускаю, что этот алгоритм сработал только для порядка 4. Однако можно предположить, что он будет действовать и для других чётных порядков.
А теперь покажу другую схему построения одного латинского квадрата, которую я получила из пары ОЛК 10-го порядка Лямзина, найденной мной в Интернете. Эта схема отличается от представленной выше схемы. Сначала так же покажу пары КРМ – латинский квадрат для порядков 4 – 10. На рис. 12 – 13 представлены КРМ и латинский квадрат для порядка 4.
|
a |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
a |
0 |
1 |
2 |
|
1 |
1 |
a |
0 |
2 |
Рис. 12
|
|
0 |
1 |
2 |
a |
|
0 |
a |
0 |
2 |
1 |
|
1 |
0 |
a |
1 |
2 |
|
2 |
2 |
1 |
a |
0 |
|
a |
1 |
2 |
0 |
a |
Рис. 13
На рис. 14– 15 вы видите пару КРМ – латинский квадрат для порядка 6.
|
a |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
a |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
0 |
0 |
a |
3 |
1 |
4 |
2 |
Рис. 14
|
a |
3 |
1 |
4 |
2 |
0 |
|
3 |
a |
4 |
2 |
0 |
1 |
|
1 |
4 |
a |
0 |
3 |
2 |
|
4 |
2 |
0 |
a |
1 |
3 |
|
2 |
0 |
3 |
1 |
a |
4 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
a |
Рис. 15
На рис. 16 – 17 изображена пара КРМ – латинский квадрат для порядка 8.
|
a |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
a |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
6 |
6 |
a |
4 |
2 |
1 |
5 |
0 |
3 |
Рис. 16
|
a |
4 |
2 |
1 |
5 |
0 |
3 |
6 |
|
4 |
a |
5 |
3 |
2 |
6 |
1 |
0 |
|
2 |
5 |
a |
6 |
4 |
3 |
0 |
1 |
|
1 |
3 |
6 |
a |
0 |
5 |
4 |
2 |
|
5 |
2 |
4 |
0 |
a |
1 |
6 |
3 |
|
0 |
6 |
3 |
5 |
1 |
a |
2 |
4 |
|
3 |
1 |
0 |
4 |
6 |
2 |
a |
5 |
|
6 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
a |
Рис. 17
И, наконец, для порядка 10 (этот квадрат и есть латинский квадрат из пары Лямзина, только немного преобразованный) [рис. 18 - 19].
|
a |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
a |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
1 |
1 |
a |
5 |
8 |
3 |
2 |
7 |
0 |
6 |
4 |
Рис. 18
|
a |
5 |
8 |
3 |
2 |
7 |
0 |
6 |
4 |
1 |
|
5 |
a |
6 |
0 |
4 |
3 |
8 |
1 |
7 |
2 |
|
8 |
6 |
a |
7 |
1 |
5 |
4 |
0 |
2 |
3 |
|
3 |
0 |
7 |
a |
8 |
2 |
6 |
5 |
1 |
4 |
|
2 |
4 |
1 |
8 |
a |
0 |
3 |
7 |
6 |
5 |
|
7 |
3 |
5 |
2 |
0 |
a |
1 |
4 |
8 |
6 |
|
0 |
8 |
4 |
6 |
3 |
1 |
a |
2 |
5 |
7 |
|
6 |
1 |
0 |
5 |
7 |
4 |
2 |
a |
3 |
8 |
|
4 |
7 |
2 |
1 |
6 |
8 |
5 |
3 |
a |
0 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
0 |
a |
Рис. 19
Если вы внимательно посмотрите на все латинские квадраты, построенные по схеме Лямзина, увидите, что они симметричны относительно главной диагонали, состоящей из элемента a. Оригинальная схема построения латинских квадратов. Её тоже можно запрограммировать, однако этот алгоритм несколько сложнее моего алгоритма.
Теперь точно так же буду добавлять к составленным КРМ четвёртую строку и получать ортогональный соквадрат. Здесь мне удалось это сделать без программы для порядков 4 и 8. Для порядка 10 ортогональный соквадрат уже известен, он из пары ОЛК Лямзина. Показываю по порядку полученные пары ОЛК.
Начинаю с порядка 4. На рис. 20 – 21 изображена КРМ с добавленной четвёртой строкой и пара ОЛК 4-го порядка, определяемая этой КРМ.
|
a |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
a |
0 |
1 |
2 |
|
1 |
1 |
a |
0 |
2 |
|
2 |
1 |
0 |
2 |
a |
Рис. 20
|
a |
0 |
2 |
1 |
|
0 |
a |
1 |
2 |
|
0 |
a |
1 |
2 |
2 |
1 |
a |
0 |
|
|
2 |
1 |
a |
0 |
a |
0 |
2 |
1 |
|
|
1 |
2 |
0 |
a |
1 |
2 |
0 |
a |
Рис. 21
Следующая пара КРМ – пара ОЛК для порядка 8 (рис. 22 – 23).
|
a |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
a |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
6 |
6 |
a |
4 |
2 |
1 |
5 |
0 |
3 |
|
0 |
6 |
4 |
2 |
1 |
5 |
0 |
3 |
a |
Рис. 22
|
a |
4 |
2 |
1 |
5 |
0 |
3 |
6 |
|
4 |
a |
5 |
3 |
2 |
6 |
1 |
0 |
|
4 |
a |
5 |
3 |
2 |
6 |
1 |
0 |
2 |
5 |
a |
6 |
4 |
3 |
0 |
1 |
|
|
2 |
5 |
a |
6 |
4 |
3 |
0 |
1 |
1 |
3 |
6 |
a |
0 |
5 |
4 |
2 |
|
|
1 |
3 |
6 |
a |
0 |
5 |
4 |
2 |
5 |
2 |
4 |
0 |
a |
1 |
6 |
3 |
|
|
5 |
2 |
4 |
0 |
a |
1 |
6 |
3 |
0 |
6 |
3 |
5 |
1 |
a |
2 |
4 |
|
|
0 |
6 |
3 |
5 |
1 |
a |
2 |
4 |
3 |
1 |
0 |
4 |
6 |
2 |
a |
5 |
|
|
3 |
1 |
0 |
4 |
6 |
2 |
a |
5 |
a |
4 |
2 |
1 |
5 |
0 |
3 |
6 |
|
|
6 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
a |
6 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
a |
Рис. 23
Покажу эту пару ОЛК, заменив символьный элемент a его значением (рис. 24):
|
7 |
4 |
2 |
1 |
5 |
0 |
3 |
6 |
|
4 |
7 |
5 |
3 |
2 |
6 |
1 |
0 |
|
4 |
7 |
5 |
3 |
2 |
6 |
1 |
0 |
2 |
5 |
7 |
6 |
4 |
3 |
0 |
1 |
|
|
2 |
5 |
7 |
6 |
4 |
3 |
0 |
1 |
1 |
3 |
6 |
7 |
0 |
5 |
4 |
2 |
|
|
1 |
3 |
6 |
7 |
0 |
5 |
4 |
2 |
5 |
2 |
4 |
0 |
7 |
1 |
6 |
3 |
|
|
5 |
2 |
4 |
0 |
7 |
1 |
6 |
3 |
0 |
6 |
3 |
5 |
1 |
7 |
2 |
4 |
|
|
0 |
6 |
3 |
5 |
1 |
7 |
2 |
4 |
3 |
1 |
0 |
4 |
6 |
2 |
7 |
5 |
|
|
3 |
1 |
0 |
4 |
6 |
2 |
7 |
5 |
7 |
4 |
2 |
1 |
5 |
0 |
3 |
6 |
|
|
6 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
7 |
6 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
7 |
Рис. 24
Ну, и наконец, показываю пару ОЛК 10-го порядка, автором которой является Лямзин (как уже сказано, квадраты в паре немного преобразованы). На рис. 25 изображена КМР для этой пары ОЛК, а на рис. 26 сама пара.
|
a |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
a |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
1 |
1 |
a |
5 |
8 |
3 |
2 |
7 |
0 |
6 |
4 |
|
2 |
1 |
5 |
8 |
3 |
2 |
7 |
0 |
6 |
4 |
a |
Рис. 25
|
a |
5 |
8 |
3 |
2 |
7 |
0 |
6 |
4 |
1 |
|
5 |
a |
6 |
0 |
4 |
3 |
8 |
1 |
7 |
2 |
|
5 |
a |
6 |
0 |
4 |
3 |
8 |
1 |
7 |
2 |
8 |
6 |
a |
7 |
1 |
5 |
4 |
0 |
2 |
3 |
|
|
8 |
6 |
a |
7 |
1 |
5 |
4 |
0 |
2 |
3 |
3 |
0 |
7 |
a |
8 |
2 |
6 |
5 |
1 |
4 |
|
|
3 |
0 |
7 |
a |
8 |
2 |
6 |
5 |
1 |
4 |
2 |
4 |
1 |
8 |
a |
0 |
3 |
7 |
6 |
5 |
|
|
2 |
4 |
1 |
8 |
a |
0 |
3 |
7 |
6 |
5 |
7 |
3 |
5 |
2 |
0 |
a |
1 |
4 |
8 |
6 |
|
|
7 |
3 |
5 |
2 |
0 |
a |
1 |
4 |
8 |
6 |
0 |
8 |
4 |
6 |
3 |
1 |
a |
2 |
5 |
7 |
|
|
0 |
8 |
4 |
6 |
3 |
1 |
a |
2 |
5 |
7 |
6 |
1 |
0 |
5 |
7 |
4 |
2 |
a |
3 |
8 |
|
|
6 |
1 |
0 |
5 |
7 |
4 |
2 |
a |
3 |
8 |
4 |
7 |
2 |
1 |
6 |
8 |
5 |
3 |
a |
0 |
|
|
4 |
7 |
2 |
1 |
6 |
8 |
5 |
3 |
a |
0 |
a |
5 |
8 |
3 |
2 |
7 |
0 |
6 |
4 |
1 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
0 |
a |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
0 |
a |
Рис. 26
На рис. 27 показана эта же пара ОЛК с заменой символьного элемента его числовым значением.
|
9 |
5 |
8 |
3 |
2 |
7 |
0 |
6 |
4 |
1 |
|
5 |
9 |
6 |
0 |
4 |
3 |
8 |
1 |
7 |
2 |
|
5 |
9 |
6 |
0 |
4 |
3 |
8 |
1 |
7 |
2 |
8 |
6 |
9 |
7 |
1 |
5 |
4 |
0 |
2 |
3 |
|
|
8 |
6 |
9 |
7 |
1 |
5 |
4 |
0 |
2 |
3 |
3 |
0 |
7 |
9 |
8 |
2 |
6 |
5 |
1 |
4 |
|
|
3 |
0 |
7 |
9 |
8 |
2 |
6 |
5 |
1 |
4 |
2 |
4 |
1 |
8 |
9 |
0 |
3 |
7 |
6 |
5 |
|
|
2 |
4 |
1 |
8 |
9 |
0 |
3 |
7 |
6 |
5 |
7 |
3 |
5 |
2 |
0 |
9 |
1 |
4 |
8 |
6 |
|
|
7 |
3 |
5 |
2 |
0 |
9 |
1 |
4 |
8 |
6 |
0 |
8 |
4 |
6 |
3 |
1 |
9 |
2 |
5 |
7 |
|
|
0 |
8 |
4 |
6 |
3 |
1 |
9 |
2 |
5 |
7 |
6 |
1 |
0 |
5 |
7 |
4 |
2 |
9 |
3 |
8 |
|
|
6 |
1 |
0 |
5 |
7 |
4 |
2 |
9 |
3 |
8 |
4 |
7 |
2 |
1 |
6 |
8 |
5 |
3 |
9 |
0 |
|
|
4 |
7 |
2 |
1 |
6 |
8 |
5 |
3 |
9 |
0 |
9 |
5 |
8 |
3 |
2 |
7 |
0 |
6 |
4 |
1 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
0 |
9 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
0 |
9 |
Рис. 27
Посмотрите внимательно на все построенные по схеме Лямзина пары ОЛК. В них второй латинский квадрат получается из первого перестановкой строк.
Интересно отметить: когда я исследовала пару ОЛК Лямзина, написала программу и получила ещё одну аналогичную пару. Покажу эту пару ОЛК (рис. 29) вместе с её КРМ (рис. 28).
Примечание: пара ОЛК приведена с числовым значением символьного элемента.
|
a |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
a |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
1 |
1 |
a |
7 |
5 |
2 |
4 |
0 |
8 |
3 |
6 |
|
2 |
1 |
7 |
5 |
2 |
4 |
0 |
8 |
3 |
6 |
a |
Рис. 28
|
9 |
7 |
5 |
2 |
4 |
0 |
8 |
3 |
6 |
1 |
|
7 |
9 |
8 |
6 |
3 |
5 |
1 |
0 |
4 |
2 |
|
7 |
9 |
8 |
6 |
3 |
5 |
1 |
0 |
4 |
2 |
5 |
8 |
9 |
0 |
7 |
4 |
6 |
2 |
1 |
3 |
|
|
5 |
8 |
9 |
0 |
7 |
4 |
6 |
2 |
1 |
3 |
2 |
6 |
0 |
9 |
1 |
8 |
5 |
7 |
3 |
4 |
|
|
2 |
6 |
0 |
9 |
1 |
8 |
5 |
7 |
3 |
4 |
4 |
3 |
7 |
1 |
9 |
2 |
0 |
6 |
8 |
5 |
|
|
4 |
3 |
7 |
1 |
9 |
2 |
0 |
6 |
8 |
5 |
0 |
5 |
4 |
8 |
2 |
9 |
3 |
1 |
7 |
6 |
|
|
0 |
5 |
4 |
8 |
2 |
9 |
3 |
1 |
7 |
6 |
8 |
1 |
6 |
5 |
0 |
3 |
9 |
4 |
2 |
7 |
|
|
8 |
1 |
6 |
5 |
0 |
3 |
9 |
4 |
2 |
7 |
3 |
0 |
2 |
7 |
6 |
1 |
4 |
9 |
5 |
8 |
|
|
3 |
0 |
2 |
7 |
6 |
1 |
4 |
9 |
5 |
8 |
6 |
4 |
1 |
3 |
8 |
7 |
2 |
5 |
9 |
0 |
|
|
6 |
4 |
1 |
3 |
8 |
7 |
2 |
5 |
9 |
0 |
9 |
7 |
5 |
2 |
4 |
0 |
8 |
3 |
6 |
1 |
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
0 |
9 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
0 |
9 |
Рис. 29
На основании приведённых построений можно предположить, что ещё для каких-то чётных порядков, если не для всех (кроме 2 и 6), возможна такая схема построения пар ОЛК. Чтобы в этом убедиться, надо продолжить построение для следующих порядков, а ещё лучше доказать высказанное предположение теоретически.
Ну, а если алгоритм построения пары ОЛК по схеме Лямзина не работает для всех чётных порядков, тогда у нас есть примеры пар ОЛК других чётных порядков, которые состоят из латинских квадратов, содержащих подквадрат 1х1. То есть принцип тот же самый, но латинские квадраты строятся по-другому. Первый такой пример – это группа MOLS 14-го порядка, автором которой является D. T. Todorov. Построение этой группы MOLS показано в статье http://www.natalimak1.narod.ru/mols14.htm .
Покажу здесь одну пару ОЛК, составленную из квадратов этой группы вместе с её КРМ. Сначала показываю КРМ (рис. 30).
|
a |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
a |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
0 |
0 |
a |
2 |
10 |
12 |
7 |
9 |
5 |
4 |
1 |
11 |
8 |
3 |
6 |
|
0 |
1 |
2 |
a |
5 |
9 |
3 |
12 |
7 |
11 |
0 |
4 |
6 |
8 |
10 |
Рис. 30
Здесь символьный элемент a равен 13. На рис. 31 – 32 показаны латинские квадраты пары ОЛК, построенной по данной КРМ. В квадратах записано числовое значение символьного элемента.
Первый латинский квадрат
|
13 |
7 |
5 |
11 |
2 |
6 |
10 |
12 |
4 |
3 |
9 |
8 |
1 |
0 |
|
2 |
13 |
8 |
6 |
12 |
3 |
7 |
11 |
0 |
5 |
4 |
10 |
9 |
1 |
|
10 |
3 |
13 |
9 |
7 |
0 |
4 |
8 |
12 |
1 |
6 |
5 |
11 |
2 |
|
12 |
11 |
4 |
13 |
10 |
8 |
1 |
5 |
9 |
0 |
2 |
7 |
6 |
3 |
|
7 |
0 |
12 |
5 |
13 |
11 |
9 |
2 |
6 |
10 |
1 |
3 |
8 |
4 |
|
9 |
8 |
1 |
0 |
6 |
13 |
12 |
10 |
3 |
7 |
11 |
2 |
4 |
5 |
|
5 |
10 |
9 |
2 |
1 |
7 |
13 |
0 |
11 |
4 |
8 |
12 |
3 |
6 |
|
4 |
6 |
11 |
10 |
3 |
2 |
8 |
13 |
1 |
12 |
5 |
9 |
0 |
7 |
|
1 |
5 |
7 |
12 |
11 |
4 |
3 |
9 |
13 |
2 |
0 |
6 |
10 |
8 |
|
11 |
2 |
6 |
8 |
0 |
12 |
5 |
4 |
10 |
13 |
3 |
1 |
7 |
9 |
|
8 |
12 |
3 |
7 |
9 |
1 |
0 |
6 |
5 |
11 |
13 |
4 |
2 |
10 |
|
3 |
9 |
0 |
4 |
8 |
10 |
2 |
1 |
7 |
6 |
12 |
13 |
5 |
11 |
|
6 |
4 |
10 |
1 |
5 |
9 |
11 |
3 |
2 |
8 |
7 |
0 |
13 |
12 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
Рис. 31
Второй латинский квадрат
|
2 |
11 |
10 |
9 |
8 |
5 |
4 |
1 |
7 |
12 |
6 |
3 |
13 |
0 |
|
13 |
3 |
12 |
11 |
10 |
9 |
6 |
5 |
2 |
8 |
0 |
7 |
4 |
1 |
|
5 |
13 |
4 |
0 |
12 |
11 |
10 |
7 |
6 |
3 |
9 |
1 |
8 |
2 |
|
9 |
6 |
13 |
5 |
1 |
0 |
12 |
11 |
8 |
7 |
4 |
10 |
2 |
3 |
|
3 |
10 |
7 |
13 |
6 |
2 |
1 |
0 |
12 |
9 |
8 |
5 |
11 |
4 |
|
12 |
4 |
11 |
8 |
13 |
7 |
3 |
2 |
1 |
0 |
10 |
9 |
6 |
5 |
|
7 |
0 |
5 |
12 |
9 |
13 |
8 |
4 |
3 |
2 |
1 |
11 |
10 |
6 |
|
11 |
8 |
1 |
6 |
0 |
10 |
13 |
9 |
5 |
4 |
3 |
2 |
12 |
7 |
|
0 |
12 |
9 |
2 |
7 |
1 |
11 |
13 |
10 |
6 |
5 |
4 |
3 |
8 |
|
4 |
1 |
0 |
10 |
3 |
8 |
2 |
12 |
13 |
11 |
7 |
6 |
5 |
9 |
|
6 |
5 |
2 |
1 |
11 |
4 |
9 |
3 |
0 |
13 |
12 |
8 |
7 |
10 |
|
8 |
7 |
6 |
3 |
2 |
12 |
5 |
10 |
4 |
1 |
13 |
0 |
9 |
11 |
|
10 |
9 |
8 |
7 |
4 |
3 |
0 |
6 |
11 |
5 |
2 |
13 |
1 |
12 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
0 |
13 |
Рис. 32
В статье http://www.natalimak1.narod.ru/mols20_21.htm вы можете посмотреть группу MOLS 20-го порядка (автор Тодоров), которая тоже состоит из латинских квадратов с подквадратом 1х1. В этой группе четыре латинских квадрата, из них можно образовать шесть пар ОЛК, и все они будут рассматриваемого типа. Покажу квази-разностную матрицу для одной из этих пар ОЛК, образованной из первого и второго латинских квадратов данной группы MOLS (рис. 33):
|
a |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
a |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
|
0 |
0 |
a |
8 |
16 |
5 |
13 |
2 |
10 |
18 |
7 |
15 |
6 |
12 |
1 |
4 |
17 |
9 |
14 |
3 |
11 |
|
7 |
1 |
11 |
4 |
0 |
5 |
17 |
10 |
15 |
13 |
9 |
6 |
18 |
2 |
7 |
a |
14 |
8 |
12 |
16 |
3 |
Рис. 33
И ещё один пример из статьи http://www.natalimak1.narod.ru/mols22.htm . В статье показано построение группы MOLS 22-го порядка, состоящей из трёх латинских квадратов. Латинские квадраты этой группы тоже содержат подквадрат 1х1. На рис. 34 показана квази-разностная матрица для пары ОЛК, состоящей из двух первых квадратов данной группы.
|
a |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
a |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
0 |
12 |
18 |
11 |
7 |
6 |
5 |
1 |
15 |
20 |
16 |
3 |
14 |
10 |
a |
4 |
9 |
0 |
2 |
19 |
8 |
17 |
13 |
|
0 |
0 |
a |
9 |
3 |
5 |
11 |
15 |
2 |
10 |
20 |
6 |
8 |
1 |
18 |
17 |
19 |
7 |
4 |
16 |
13 |
12 |
14 |
Рис. 34
В указанной статье приведена ещё одна группа MOLS 22-го порядка, тоже состоящая из трёх квадратов; латинские квадраты этой группы имеют такую же структуру. На рис. 35 вы видите квази-разностную матрицу одной из пар ОЛК, образованной из двух первых латинских квадратов данной группы MOLS.
|
a |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
a |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
0 |
0 |
a |
10 |
6 |
2 |
19 |
15 |
11 |
14 |
3 |
20 |
16 |
12 |
8 |
4 |
7 |
17 |
13 |
9 |
5 |
1 |
18 |
|
0 |
7 |
14 |
4 |
11 |
1 |
9 |
17 |
2 |
a |
16 |
3 |
12 |
15 |
18 |
10 |
0 |
5 |
8 |
6 |
13 |
20 |
19 |
Рис. 35
Таким образом, вырисовывается интересная картина: есть несколько частных примеров построения пар ОЛК по КРМ рассматриваемого вида. Однако неизвестно, работает ли этот алгоритм для любого чётного порядка. При этом важно отметить следующее: можно ведь и не задавать изначально схему составления первого латинского квадрата, как это было сделано в двух первых примерах (моя схема и схема Лямзина). Можно просто записать в КРМ две первые сроки (см. рис. 36), а остальные строки формировать по программе, проверяя при этом выполнение критерия совместимости всех строк. Если такая КРМ сформируется программой, то задача будет решена. Напомню, что элемент a в КРМ равен n - 1.
|
a |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
… |
0 |
|
0 |
a |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
… |
n-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
Рис. 36
Тодоров в своей статье приводит для группы MOLS 14-го порядка три КРМ, полученные с помощью компьютера.
Понятно, что с ростом порядка выполнение такой программы проблематично (по времени выполнения). Именно поэтому необходимо теоретическое доказательство действия приведённого алгоритма для любого чётного порядка (кроме 2 и 6).
Продолжение будет здесь:
http://www.natalimak1.narod.ru/quazi1.htm
20 - 26 марта 2009 г.
г. Саратов
Читайте мою виртуальную книгу “Волшебный мир магических квадратов”:
http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm
Скачайте электронную версию этой книги:
http://narod.ru/disk/5834353000/Magic_squares.pdf.html
Заодно прихватите книгу “Позиционные системы счисления”, авось, пригодится:
http://narod.ru/disk/5936760000/pozic4.pdf.html
Пишите мне!
На главную страницу
