Н. Макарова

Магические квадраты 8-го порядка из последовательных простых чисел

Уже поместила в OEIS несколько подобных статей - для квадратов из последовательных простых чисел порядков 4 - 7. Смотрите последовательности A173981, A176571, A177434, A188536. Теперь решила сделать подобную последовательность для магических квадратов 8-го порядка. Квадраты построены давно, но всё руки не доходят оформить последовательность и отправить в Энциклопедию.

Самый первый квадрат этой группы входит в последовательность A073520. Квадрат построен S. Tognon.

Я тоже построила такой квадрат независимо от него. На рис. 1 вы видите построенный мной квадрат.

79	137	197	199	277	347	349	431
127	193	131	419	337	421	107	281
103	379	283	389	293	227	179	163
397	251	83	271	269	157	439	149
409	211	383	191	181	101	401	139
307	239	317	167	89	367	97	433
353	233	359	151	257	223	331	109
241	373	263	229	313	173	113	311

Рис. 1

Это наименьший квадрат в рассматриваемой группе квадратов, его магическая константа равна 2016. Он составлен из следующих последовательных простых чисел:

79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439

Примечание: в моей программе можно задать условие, чтобы построенный квадрат начинался с наименьшего числа массива (наименьшее число расположено в левой верхней ячейке квадрата). Именно таким является квадрат на рис. 1. Во всех остальных квадратах я не задавала это условие.

Затем я нашла по программке несколько потенциальных массивов для следующих квадратов этой группы. Потенциальный массив должен удовлетворять условию: он состоит из 64 последовательных простых чисел, сумма которых кратна 16. Найденные потенциальные массивы такие:

2244

103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229

233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373

379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463

2336

109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239

241 251 257 263 269 271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383

389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479

2570

139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269

271 277 281 283 293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419

421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509

2762

163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281 283

293 307 311 313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439

443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547

4106

313 317 331 337 347 349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457

461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613

617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719

4362

349 353 359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487

491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643

647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751

4464

359 367 373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499

503 509 521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653

659 661 673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761

4566

373 379 383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509

521 523 541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661

673 677 683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773

4670

383 389 397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523

541 547 557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677

683 691 701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797

4776

397 401 409 419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547

557 563 569 571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691

701 709 719 727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811

4934

419 421 431 433 439 443 449 457 461 463 467 479 487 491 499 503 509 521 523 541 547 557 563 569

571 577 587 593 599 601 607 613 617 619 631 641 643 647 653 659 661 673 677 683 691 701 709 719

727 733 739 743 751 757 761 769 773 787 797 809 811 821 823 827

Конечно, можно продолжить этот ряд потенциальных массивов. Интересно отметить, что из всех представленных массивов магические квадраты построились. Будут ли в этой последовательности пробелы или она будет непрерывной?

Далее вы видите магические квадраты, составленные из чисел представленных массивов (рис. 2 - 12).

179	223	293	337	239	359	157	457
307	151	449	331	419	311	167	109
463	367	191	317	263	107	433	103
113	271	241	347	401	383	139	349
193	389	421	313	163	257	281	227
461	127	229	181	353	431	251	211
397	439	137	149	173	197	373	379
131	277	283	269	233	199	443	409

Рис. 2

157	197	467	173	421	463	307	151
109	277	383	409	139	397	179	443
271	367	293	439	223	113	251	379
233	349	241	131	479	449	137	317
313	337	283	353	431	163	257	199
419	227	167	359	269	311	457	127
373	433	239	191	193	229	347	331
461	149	263	281	181	211	401	389

Рис. 3

179	233	193	337	503	359	317	449
491	353	311	347	167	379	241	281
367	157	373	439	433	163	487	151
349	191	443	499	383	257	251	197
313	479	389	229	181	409	149	421
139	461	223	199	467	283	397	401
269	419	307	293	263	509	271	239
463	277	331	227	173	211	457	431

Рис. 4

431	229	433	379	419	181	293	397
311	251	503	223	443	347	421	263
467	241	227	457	199	523	409	239
211	541	173	439	337	353	359	349
191	547	281	167	509	461	373	233
389	277	449	307	193	317	367	463
491	197	383	269	499	179	257	487
271	479	313	521	163	401	283	331

Рис. 5

487	601	571	313	379	653	683	419
401	491	563	593	661	349	701	347
457	709	383	367	599	479	421	691
631	397	353	719	433	617	337	619
389	373	613	541	643	331	647	569
521	467	577	523	461	557	359	641
673	409	607	463	499	443	509	503
547	659	439	587	431	677	449	317

Рис. 6

397	409	683	521	463	587	659	643
661	421	743	599	449	733	383	373
389	577	571	641	541	557	433	653
607	647	631	613	443	379	563	479
727	503	353	751	709	461	359	499
569	509	547	457	401	487	691	701
593	619	467	431	617	439	673	523
419	677	367	349	739	719	601	491

Рис. 7

701	547	449	653	577	389	751	397
761	383	631	521	419	409	607	733
643	373	601	431	683	421	593	719
569	619	461	463	743	709	541	359
367	691	661	757	439	613	379	557
523	647	509	457	499	659	599	571
433	563	673	739	487	677	491	401
467	641	479	443	617	587	503	727

Рис. 8

739	389	607	647	463	659	379	683
509	599	563	409	751	521	673	541
643	431	593	709	457	461	653	619
433	691	641	419	577	761	557	487
571	661	743	547	587	373	701	383
631	421	569	503	773	499	727	443
601	617	401	613	491	769	397	677
439	757	449	719	467	523	479	733

Рис. 9

647	461	499	587	727	661	631	457
443	757	439	641	599	673	577	541
691	607	743	547	449	463	787	383
653	479	571	401	601	733	619	613
677	701	569	593	421	719	523	467
397	419	643	751	769	431	521	739
389	563	797	659	487	557	509	709
773	683	409	491	617	433	503	761

Рис. 10

521	673	653	443	787	463	503	733
751	647	643	449	577	691	419	599
409	617	677	743	479	619	601	631
613	719	757	467	797	397	433	593
809	541	509	461	487	659	811	499
709	421	457	773	569	769	587	491
401	727	557	701	439	607	661	683
563	431	523	739	641	571	761	547

Рис. 11

823	619	461	457	631	587	599	757
443	563	647	509	733	761	787	491
503	809	419	701	661	797	487	557
683	499	743	677	449	607	617	659
439	727	571	577	719	821	601	479
811	641	593	523	421	467	709	769
691	433	673	751	773	431	613	569
541	643	827	739	547	463	521	653

Рис. 12

В статье A188536 о подобных магических квадратах 7-го порядка, которая была помещена в OEIS совсем недавно, один товарищ вставил программу для пакета математических программ Maple. Мо этой программе вычисляются члены данной последовательности. Тот же вопрос и здесь: будет ли последовательность магических констант непрерывной? Для любой ли потенциальной магической константы квадрат существует?

Вот программа из указанной статьи:

s:= proc(n) option remember;

`if` (n=1, add (ithprime(i), i=1..49),

ithprime(n+48) -ithprime(n-1) +s(n-1))

end:

a:= proc(n) option remember; local k, m;

a(n-1);

for k from 1+b(n-1) while irem (s(k), 7, 'm')<>0 do od;

b(n):= k; m

end:

a(0):=0: b(0):=0:

seq (a(n), n=1..50);

Написала по аналогии программу для последовательности магических констант квадратов 8-го порядка из последовательных простых чисел:

s:= proc(n) option remember;

`if` (n=1, add (ithprime(i), i=1..64),

ithprime(n+63) -ithprime(n-1) +s(n-1))

end:

a:= proc(n) option remember; local k, m;

a(n-1);

for k from 1+b(n-1) while irem (s(k), 16, 'm')<>0 do od;

b(n):= k; m

end:

a(0):=0: b(0):=0:

seq (2*a(n), n=1..50);

Попросила на форуме exponenta.ru проверить программку и выполнить её. У меня не установлен пакет Maple, я им никогда не пользовалась.

Мне ответили, что программа работает нормально. Результат работы программы - 50 членов последовательности магических констант для квадратов рассматриваемой группы:

2016, 2244, 2336, 2570, 2762, 4106, 4362, 4464, 4566, 4670, 4776, 4934, 5952, 6870, 7036, 7146, 7588, 7644, 7700, 8824, 9756, 9930, 9988, 10394, 10454, 10514, 10690, 10868, 10928, 11560, 12620, 12682, 14986, 15424, 15808, 16000, 16510, 18668, 20434, 21550, 21936, 22940, 23132, 23654, 23722, 24064, 24134, 24546, 24752, 24954

Представленная фактическая последовательность имеет вид:

2016, 2244, 2336, 2570, 2762, 4106, 4362, 4464, 4566, 4670, 4776, 4934

Для этих магических констант квадраты построены.

Последовательность в OEIS:

https://oeis.org/A189188

Смотрите также мою статью «Наименьшие магические квадраты из простых чисел (часть III)»

http://www.natalimak1.narod.ru/sqmin3.htm

18 апреля 2011 г.

г. Саратов

На главную страницу

http://www.klassikpoez.narod.ru/index.htm