ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ

 

Часть IV

 

Глава 11. М-преобразования

 

М-преобразования описываются по книге Ю. В. Чебракова “Магические квадраты. Теория чисел, алгебра, комбинаторный анализ” (С.–Петербург, 1995).

 

М-преобразования относятся к группе преобразований, связанных с перестановками строк и столбцов. Некоторые преобразования этой группы были рассмотрены в предыдущей части. В отличие от рассмотренных ранее преобразований перестановок строк и столбцов М-преобразования применимы к любым магическим квадратам порядка n>3.

М-преобразования различают двух видов.

Первый вид М-преобразований: перестановка двух строк с номерами i и n+1-i и последующая перестановка двух столбцов с теми же номерами.

Приведём пример. В качестве исходного квадрата возьмём магический квадрат 5-го порядка (рис. 1).

 

 

Рис. 1

 

Понятно, что преобразование выполняется в два этапа: сначала перестановка строк, затем перестановка столбцов с теми же номерами. Можно выполнять преобразование в обратном порядке: сначала переставить столбцы, а затем строки с теми же номерами. Будем начинать с перестановки строк.

В квадрате 5-го порядка существует две пары строк с симметричными номерами: первая и пятая, вторая и четвёртая. Выберем для перестановки вторую и четвёртую строки. Обратите внимание на то, что квадрат, получающийся после первого этапа, не является магическим, в нём нет магической суммы чисел в главных диагоналях, то есть он является полумагическим. На рис. 2 слева показан полумагический квадрат, полученный в результате выполнения первого этапа –  перестановки в квадрате с рис. 1 второй и четвёртой строк, а справа изображён магический квадрат, полученный в результате выполнения второго этапа – перестановки второго и четвёртого столбцов.

 

 

Рис. 2

 

Покажу ещё один пример – для магического квадрата 6-го порядка. Исходный квадрат изображён на рис. 3.

 

 

Рис. 3

 

Понятно, что в квадрате 6-го порядка существует три пары симметричных строк. Выберем для перестановки вторую и пятую строки. На рис. 4 вы видите два квадрата, левый квадрат получен в результате первого этапа преобразования, правый квадрат получен в результате второго этапа.

 

 

Рис. 4

 

Второй вид М-преобразований: перестановка двух пар строк, имеющих соответственно номера i, j и (n+1-i), (n+1-j) и последующая перестановка двух пар столбцов с теми же номерами.

Рассмотрим данное преобразование на примере того же магического квадрата 6-го порядка с рис. 3.  Выберем для перестановки следующие две пары строк: первую и третью, шестую и четвёртую. Обратите внимание: здесь переставляются не симметричные строки между собой (как в М-преобразованиях первого вида), а строка первая переставляется со строкой третьей и соответственно переставляется пара симметричных данным строк – шестая и четвёртая.

На рис. 5 показан первый этап преобразования. Слева изображён исходный квадрат, справа – квадрат, полученный в результате перестановки строк.

 

 

Рис. 5

 

Здесь случайно промежуточный квадрат оказался магическим.

 

На рис. 6 показан второй этап преобразования – перестановка столбцов с теми же номерами.

 

 

Рис. 6

 

В книге приводится формула, по которой можно посчитать, сколько квадратов будет в группе квадратов, полученных М-преобразованиями обоих видов из одного магического квадрата порядка n, считая исходный квадрат. Вот эта формула (q – количество квадратов в группе, образованной М-преобразованиями):

 

q = [n/2]*{(2[n/2] - 2)!!}

 

(символ а!! означает произведение всех натуральных чисел, не превосходящих числа а и совпадающих с ним по чётности). Ниже приводится таблица значений q для магических квадратов порядков 4 – 13:

 

 

(таблица взята из указанной книги).

 

Для магического квадрата любого порядка можно вычислить по приведённой формуле количество квадратов, которые получаются с помощью М-преобразований обоих видов.

Покажу для примера группу, образуемую М-преобразованиями обоих видов, для магического квадрата 4-го порядка. Вместе с исходным квадратом в этой группе будет 4 квадрата. Значит, новых квадратов может быть получено только 3.

Возьмём в качестве исходного квадрата магический квадрат, изображённый на рис. 7.

 

 

Рис. 7

 

На рис. 8 вы видите квадрат, полученный из данного квадрата М-преобразованием первого вида.

 

 

Рис. 8

 

На рис. 9 и рис. 10 изображены квадраты, полученные из данного квадрата М-преобразованиями второго вида.

 

 

Рис. 9

 

 

Рис. 10

 

Интересно заметить, что два рядом стоящих порядка – чётный и нечётный – имеют одинаковое количество квадратов в группе, образуемой М-преобразованиями (см. таблицу). Если вы возьмёте магический квадрат 5-го порядка, то он тоже образует группу из 4 квадратов (считая его самого) с помощью М-преобразований. Это объясняется тем, что в формуле для вычисления q присутствует целая часть n/2, а эта величина будет одинакова для n и для n+1, если n чётно.

Следует обратить внимание на то, что М-преобразования не изменяют наборы чисел ни в строках, ни в столбцах, ни в главных диагоналях. Поэтому М-преобразования сохраняют те свойства исходного квадрата, которые зависят от наборов чисел в строках, в столбцах и в главных диагоналях. Например, если исходный квадрат бимагический, то все квадраты, полученные из него М-преобразованиями, тоже будут бимагическими.

Очевидно, что М-преобразования обоих видов сохраняют ассоциативность квадрата. Возьмём для примера идеальный квадрат 8-го порядка, изображённый на рис. 11.

 

 

Рис. 11

 

Совершенно понятно, что если мы выполним М-преобразование первого вида, то есть переставим симметричные строки и затем симметричные столбцы с теми же номерами, ассоциативность квадрата не нарушится. Покажем применение к данному идеальному квадрату М-преобразования второго вида. Выберем для перестановки следующие пары строк: вторую, третью и соответственно симметричные строки – седьмую и шестую. На рис. 12 показан первый этап преобразования, слева – исходный квадрат, справа – результат выполнения первого этапа.

 

 

Рис. 12

 

Очевидно, что квадрат, полученный после первого этапа, не утратил ассоциативность. Завершаем преобразование, выполняем перестановку столбцов с теми же номерами (рис. 13):

 

 

Рис. 13

 

Окончательный результат тоже является ассоциативным квадратом. А вот пандиагональность квадрата М-преобразования не сохраняют. Это видно на данном примере.

 

Глава 12. Преобразования “плюс-минус …”

 

Преобразования “плюс-минус …” я обнаружила, работая над составлением банка базовых пандиагональных квадратов 5-го порядка. Смотрите об этом в статье:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/pandiagon.htm

 

Это было в самом начале возобновления работы над магическими квадратами – в июле 2007 г. Затем данные преобразования использовались мной во многих статьях. Они оказались применимы к любым магическим и даже полумагическим квадратам. Если вы будете читать мою виртуальную книгу “Волшебный мир магических квадратов”, найдёте очень много преобразований “плюс-минус …”.

Но покажу, как всё начиналось. Сравнивая имеющиеся у меня несколько пандиагональных квадратов 5-го порядка, найденных в Сети, я обнаружила, что два из них  очень интересно связаны между собой. Так и родилось самое первое преобразование “плюс-минус 10”. Далее привожу цитату из указанной статьи.

Пусть матрица исходного пандиагонального квадрата 5-го порядка А имеет вид:

 

 

Тогда матрица квадрата В=f(А), полученного преобразованием “плюс-минус 10”, имеет вид:

 

 

Увидела я это преобразование, сравнивая два базовых квадрата. На этом примере и покажу преобразование. Исходный квадрат – это базовый квадрат № 1, только с переставленными строками (это делает его ещё и ассоциативным!). На рис. 14 слева показан базовый квадрат № 1, а справа – квадрат, полученный из него описанным преобразованием, – это базовый квадрат № 11.

 

 

                                                                    Рис. 14

 

Это преобразование сохраняет не только пандиагональность квадрата, но и ассоциативность!

Вот так было открыто первое преобразование “плюс-минус …”. Когда я писала эту статью, ещё не пользовалась термином “идеальные квадраты”. Просто рассматривала квадраты пандиагональные и ассоциативные, которые как раз и являются идеальными. Как видите, первое преобразование “плюс-минус …” относится именно к идеальным квадратам, то есть оно переводит идеальный квадрат в идеальный, сохраняет и свойство ассоциативности, и свойство пандиагональности.

А вот пример преобразования “плюс-минус 10” (из той же статьи), которое применяется к пандиагональному квадрату, не являющемуся ассоциативным (рис. 15).

 

 

 

Рис. 15

 

В дальнейшем я стала изображать матрицу преобразований “плюс-минус …” сокращённо, опуская первоначальные элементы матрицы a_ij. Так, например, матрица преобразования “плюс-минус 10”, показанного на рис. 15, изображается следующим образом (рис. 16):

 

 

Рис. 16

 

Получив такую матрицу преобразования и исходный квадрат, к которому данное преобразование надо применить, вы поступаете очень просто: накладываете эту матрицу на исходный квадрат, выполняете действия сложения и вычитания с числами, попавшими в закрашенные ячейки (в этих ячейках указано, что надо сделать: прибавить число 10 или вычесть его из числа соответствующей ячейки исходного квадрата), и новый магический квадрат готов.

 

Интересен тот факт, что матрицу преобразования “плюс-минус …”, если это преобразование сохраняет пандиагональность квадрата, можно подвергать преобразованиям параллельного переноса на торе. Приведу пример из статьи:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/pan5.htm

 

На рис. 17 показано преобразование “плюс-минус 10”, сохраняющее пандиагональность квадрата. На рис. 18 вы видите матрицу этого преобразования.

 

 

Рис. 17

 

 

Рис. 18

 

А теперь применим к этой матрице преобразование параллельного переноса на торе, мы получим матрицу, изображённую на рис. 19.

 

 

Рис. 19

 

Обратите внимание: преобразование с новой матрицей сохраняет не только пандиагональность, но и ассоциативность квадрата, то есть его можно применить к идеальному квадрату и получить новый идеальный квадрат.

И вот пример применения преобразования, заданного этой матрицей [из той же статьи] (рис. 20):

 

                                 

 

Рис. 20

 

Приведу пример применения этого преобразования к идеальному квадрату (рис. 21):

 

 

Рис. 21

 

Затем я обнаружила, что преобразование может быть не только “плюс-минус 10”, а, например, “плюс-минус 5” или “плюс-минус 1”. Пример присутствует здесь. Посмотрите на два квадрата, изображённые слева на рис. 20 и рис. 21. На рис. 20 квадрат пандиагональный, но не ассоциативный, а на рис. 21 квадрат идеальный, то есть обладает обоими этими свойствами. И эти квадраты связаны между собой преобразованием “плюс-минус 1”, что сразу бросается в глаза при визуальном сравнении квадратов. На рис. 22 показана матрица преобразования “плюс-минус 1”, связывающего эти квадраты.

 

 

Рис. 22

 

Перенеся данную матрицу на торе, получаем матрицу нового преобразования “плюс-минус 1”, которое сохраняет и пандиагональность, и ассоциативность квадрата, то есть переводит идеальный квадрат в идеальный. Эту матрицу вы видите на рис. 23.

 

 

Рис. 23

 

Любое преобразование “плюс-минус …” легко “обратить”, то есть составить матрицу обратного преобразования. Для этого достаточно в матрице преобразования все плюсы заменить на минусы, и наоборот – все минусы заменить на плюсы. На рис. 24 вы видите матрицу преобразования, обратного преобразованию, заданному матрицей с рис. 23.

 

 

Рис. 24

 

Посмотрите пример применения преобразования, заданного матрицей на рис. 24, к идеальному квадрату (рис. 25):

 

 

Рис. 25

 

Очевидно, что если вы примените к квадрату, изображённому на рис. 25 справа, преобразование, заданное матрицей с рис. 23, то получите квадрат, изображённый на рис. 25 слева.

 

Все показанные выше преобразования “плюс-минус …” простые. Простыми я назвала такие преобразования “плюс-минус …”, в которых участвует только одно число. А затем я обнаружила комбинированные преобразования “плюс-минус …”. Это такие преобразования, в которых участвует более одного числа. Покажу пример опять для квадрата 5-го порядка. Это пример из статьи http://www.klassikpoez.narod.ru/bank.htm

 

На рис. 26 изображена матрица комбинированного преобразования. Как видите, в этом преобразовании участвуют три числа – 5, 10 и 15.

 

 

Рис. 26

 

На рис. 27 показано применение комбинированного преобразования, заданного матрицей на рис. 26, к пандиагональному квадрату. В результате получен новый пандиагональный квадрат.

                              

 

Рис. 27

 

Легко видеть, что данное преобразование не сохраняет свойство ассоциативности.

Когда я описывала построение идеальных квадратов 5-го порядка методом качелей, мне открылся новый смысл преобразований “плюс-минус …”. Читайте об этом в следующей статье:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/idealob4.htm

 

А теперь покажу несколько примеров применения преобразования “плюс-минус …” из разных статей.

Пример 1. Простое преобразование “плюс-минус 16”. Матрица преобразования показана на рис. 28.

 

 

                                                                     Рис. 28

 

На рис. 29 показано применение этого преобразования. Оно применяется к пандиагональному квадрату 8-го порядка, построенному по алгоритму Франклина. В результате получается новый пандиагональный квадрат подобный исходному.

 

 

Рис. 29

 

Легко увидеть, что данное преобразование равносильно перестановке столбцов, третьего с пятым, четвёртого с шестым.

 

Пример 2. Комбинированное преобразование для дьявольски полумагических квадратов Франклина 4-го порядка. Матрицу преобразования вы видите на рис. 30.

 

 

                                                                      Рис. 30

 

Обратите внимание: преобразование не изменяет суммы чисел в строках и столбцах квадрата, а суммы чисел во всех диагоналях (как главных, так и разломанных) изменяет на 8, причём в одних диагоналях сумма увеличивается на 8, а в других - уменьшается на 8. В результате такого преобразования квадрат остаётся дьявольски полумагическим. На рис. 31 показано применение этого преобразования.

 

 

Рис. 31

 

Пример 3. Комбинированное преобразование для дьявольски полумагических квадратов Франклина 8-го порядка. Матрица преобразования изображена на рис. 32.

 

 

                                                                      Рис. 32

 

На рис. 33 показано применение этого преобразования. Редкий случай преобразования “плюс-минус …”, когда изменяются числа во всех ячейках исходного квадрата.

 

 

Рис. 33

 

Пример 4. Комбинированное преобразование, сохраняющее ассоциативность квадрата. Матрицу преобразования вы видите на рис. 34. В преобразовании участвуют два числа – 3 и 6.

 

 

                                                                      Рис. 34

 

На рис. 35 показано применение преобразования, заданного матрицей с рис. 34.

 

 

Рис. 35

 

Пример 5. Простое преобразование, сохраняющее ассоциативность квадрата. Матрица преобразования показана на рис. 36.

 

 

                                                                       Рис. 36

 

На рис. 37 показано применение данного преобразования к ассоциативному квадрату 8-го порядка, построенному методом квадратных рамок.

 

 

Рис. 37

 

Пример 6. Комбинированное преобразование для магического квадрата 10-го порядка, построенного методом четырёх квадратов. Матрица преобразования изображена на рис. 38.

 

 

                                                                       Рис. 38

 

Применение данного преобразования вы видите на рис. 39.

 

 

Рис. 39

 

Пример 7. Простое преобразование для сотового магического квадрата 6-го порядка. Матрица преобразования изображена на рис. 40. На рис. 41 показано применение преобразования.

 

 

                                                                      Рис. 40

 

 

Рис. 41

 

Вот такое немудрёное преобразование, а магический квадрат получается новый.

 

Пример 8. Простое преобразование для сотового магического квадрата 10-го порядка. На рис. 42 изображена матрица преобразования, а на рис. 43 показано применение данного преобразования.

 

 

Рис. 42

 

 

Рис. 43

 

Можно продолжить показ примеров преобразований “плюс-минус …”, но лучше читайте книгу “Волшебный мир магических квадратов”. В книге вы встретите немало таких преобразований. Например, в статье http://www.klassikpoez.narod.ru/netradic.htm рассказано о том, как я с помощью двух простых преобразований “плюс-минус …” превратила ассоциативный магический квадрат 15-го порядка в нетрадиционный идеальный квадрат.

 

Глава 13. Преобразования в системе координат

 

Расскажу о преобразовании, которое не сразу поняла. Это преобразование превращает любой обратимый квадрат в совершенный. Оно встретилось мне, когда я исследовала данный вопрос, а изучать его пришлось по статье на английском языке. Но дело даже не в том, что я не знаю языка (статью перевела в Гугле). Это преобразование не смог понять человек, прекрасно знающий язык. Затем он написал письмо автору статьи, но и автор ничего не смог пояснить и посоветовал обратиться к первоисточнику. Первоисточником является вот эта книга:

 

 

А вот ссылка на статью, по которой я изучала данный вопрос:

 

http://www.geocities.com/~harveyh/most-perfect.htm

 

Далее даю ссылку на свою статью, в которой изложено преобразование обратимого квадрата, превращающее его в совершенный квадрат:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/soversh2.htm

 

В данной статье я обошла непонятное преобразование и сделала равносильное матричное преобразование, которое выполняет ту же функцию: превращает любой обратимый квадрат в совершенный.

Однако непонятное преобразование не было забыто. Мне хотелось его понять. Разобраться с преобразованием мне помогли на форуме:

 

http://dxdy.ru/topic12959.htm

 

Теперь хочу рассказать, как же надо понимать это самое преобразование, которое задано вот такой матрицей:

 

 

Кратко излагаю первые два этапа преобразования, превращающего обратимый квадрат 4-го порядка в совершенный. Берётся любой обратимый квадрат 4-го порядка, например, самый простой (рис. 44):

 

 

                                                                      Рис. 44

 

Выполняется первый этап преобразования – перестановка столбцов в правой половине данного обратимого квадрата. Результат выполнения первого этапа показан на рис. 45.

 

 

                                                                      Рис. 45

 

Затем в квадрате с рис. 45 выполняется второй этап преобразования – перестановка строк в нижней половине квадрата. Результат выполнения второго этапа изображён на рис. 46.

 

 

                                                                      Рис. 46

 

Как я уже отмечала, первые два этапа есть не что иное, как преобразование трёх квадратов.

А вот теперь, на третьем этапе, вступает в действие преобразование, которое выражается такой матрицей (для квадрата 4-го порядка):

 

 

Это преобразование надо применить к квадрату с рис. 46.

 

Одна участница форума нашла другую статью тех же авторов, в которой описано то же самое преобразование, превращающее любой обратимый квадрат в совершенный, и в этой статье третий этап преобразования не задан матрицей, а описан, как преобразование в системе координат (см. подробно на форуме).

Вот теперь всё стало понятно. Квадрат с рис. 46 помещается в систему координат (i, j). Началом системы координат является ячейка с числом 1. Положительная полуось i направлена вниз от начала координат, положительная полуось j направлена вправо от начала координат.

Обозначим теперь координаты числа в исходном квадрате i, j, а координаты того же числа в преобразованном квадрате – i’, j’. Приведённая матрица преобразования как раз и является матрицей преобразования координат, то есть она показывает, как связаны между собой координаты числа в преобразованном квадрате с координатами числа в исходном квадрате. Эту связь можно записать следующими формулами:

 

i’ = 1*i + 2*j

j’ = 2*i + 3*j

 

Если значение координаты, вычисленное по данным формулам, равно или больше 4, то оно берётся по модулю 4.

Возьмём для примера число 2 в исходном квадрате. Его координаты: i = 0, j = 1.

Вычислим по приведённым формулам координаты этого числа в преобразованном квадрате: i’ = 2, j’ = 3.

На рис. 47 покажу готовый совершенный квадрат, полученный из квадрата с рис. 46 применением данного преобразования координат.

 

 

                                                                      Рис. 47

 

Как видите, число 2 в этом квадрате имеет такие координаты, какие получены по формулам. Предоставляю читателям проверить координаты всех остальных чисел.

Для квадрата любого порядка n = 4m (m = 1, 2, 3 …) матрица преобразования третьего этапа будет иметь вид

 

 

где k=n/2.

Понятно, что данное преобразование координат легко “обратить”, то есть написать формулы, связывающие координаты совершенного квадрата с координатами исходного квадрата, из которого этот совершенный квадрат был получен. Для этого надо из приведённых выше формул выразить i, j через i’, j’.

 

Кстати, сами совершенные квадраты могут подвергаться нескольким преобразованиям, о которых вы можете прочитать в статье:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/soversh3.htm

 

***

 

На этом я завершаю статью о преобразованиях магических квадратов. У меня остались не исследованы несколько статей о преобразованиях на английском языке. Если мне удастся их перевести, обязательно посмотрю, какие преобразования в них рассматриваются. Ссылки на эти статьи вы найдёте на указанном выше форуме. Если кто-то заинтересуется данным вопросом, можете посмотреть эти статьи.

 

Обращаюсь к читателям с просьбой: расскажите о преобразованиях магических квадратов, которые вам известны, но не освещены в данной статье. Мне хочется сделать свой рассказ о преобразованиях магических квадратов наиболее полным.

 

Наталия Макарова

 

 

22 – 26 ноября 2008 г.

г. Саратов

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу