ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ

 

Часть III

 

Глава 6. Преобразование трёх квадратов

 

Преобразование трёх квадратов применяется к ассоциативным квадратам чётно-чётного порядка. Это преобразование превращает любой ассоциативный квадрат чётно-чётного порядка в пандиагональный квадрат. Ассоциативный квадрат порядка n=4k (k=1, 2, 3…) делится на 4 квадрата порядка m=n/2. Левый верхний квадрат остаётся без изменения. Правый верхний квадрат отражается относительно вертикальной оси симметрии, левый нижний квадрат отражается относительно горизонтальной оси симметрии, правый нижний квадрат поворачивается на 180 градусов. Покажу преобразование на примере ассоциативного квадрата 4-ого порядка (рис. 1):

 

 

Рис. 1

 

Выполнив все описанные действия с тремя квадратами 2х2 (на рис. 1 квадраты 2х2 выделены красными границами), получаем следующий пандиагональный квадрат (рис. 2):

 

 

Рис. 2

 

Интересно отметить, что преобразование трёх квадратов равносильно следующим преобразованиям исходного ассоциативного квадрата: а) перестановка столбцов в правой половине квадрата: столбцы записываются в обратном порядке – справа налево; б) в полученном после перестановки столбцов квадрате выполняется перестановка строк в нижней половине квадрата: строки записываются в обратном порядке – снизу вверх. Продемонстрирую это на том же исходном квадрате с рис. 1. В результате выполнения этапа а) получаем следующий квадрат (рис. 3):

 

 

Рис. 3

 

Теперь в этом квадрате переставим строки в нижней половине, получим готовый результат – пандиагональный квадрат (рис. 4), который в точности совпадает с квадратом на рис. 2.

 

 

Рис. 4

 

Примечание: преобразование трёх квадратов используется для превращения обратимого квадрата в совершенный квадрат. Смотрите следующую статью:

 

http://www.geocities.com/~harveyh/most-perfect.htm

 

Превращение обратимого квадрата в совершенный выполняется в три этапа. Так вот, первые два этапа – это не что иное, как преобразование трёх квадратов. Покажу на примере самого простого обратимого квадрата 8-ого порядка. Исходный обратимый квадрат изображён на рис. 5.

 

 

Рис. 5

 

Очевидно, что данный квадрат является ассоциативным, хотя он и не магический. Результат выполнения первого этапа (перестановка столбцов в правой половине квадрата) показан на рис. 6.

 

 

Рис. 6

 

Теперь переставляются строки в нижней половине полученного квадрата. Результат этого преобразования вы видите на рис. 7.

 

 

Рис. 7

 

Полученный квадрат пока не магический, но уже пандиагональный, то есть сумма чисел в любой его диагонали, как главной, так и разломанной, равна магической константе квадрата. Далее выполняется ещё третий этап (чтобы квадрат стал совершенным магическим квадратом), но преобразование третьего этапа совсем другое, я не буду здесь на нём останавливаться.

Подробно о построении совершенных квадратов из обратимых можно посмотреть в статье:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/soversh2.htm

 

Возвращаюсь к ассоциативному квадрату 4-ого порядка. На примере этого квадрата докажу, что преобразование трёх квадратов превращает любой ассоциативный квадрат в пандиагональный. Обозначим: p = n² + 1 = 17. Любой ассоциативный квадрат 4-ого порядка можно записать в виде (рис. 8):

 

 

Рис. 8

 

Применив к этому квадрату преобразование трёх квадратов, получим следующий квадрат (рис. 9):

 

 

Рис. 9

 

Вычислив сумму чисел в любой диагонали этого квадрата (как главной, так и разломанной), видим, что эта сумма всегда равна одной и той же величине: 2p=34.

 

Теперь покажу применение преобразования трёх квадратов к идеальному квадрату 8-ого порядка. Как известно, идеальный квадрат является одновременно и ассоциативным, и пандиагональным. Применив к такому квадрату преобразование трёх квадратов, мы получим новый пандиагональный квадрат, который утрачивает ассоциативность и поэтому уже не является идеальным. В качестве исходного идеального квадрата возьмём квадрат, изображенный на рис. 10.

 

 

Рис. 10

 

Применив к этому квадрату преобразование трёх квадратов, получим следующий пандиагональный квадрат (рис. 11):

 

 

Рис. 11

 

Кстати, исходный идеальный квадрат построен мной по алгоритму Франклина. Квадрат на рис. 11 получается почти совершенным: он пандиагональный, в нём выполняется свойство комплементарности. Однако другие свойства совершенных квадратов в данном квадрате не выполняются.

 

Преобразование обратное преобразованию трёх квадратов

 

Преобразование обратное преобразованию трёх квадратов интересно тем, что оно совпадает с самим преобразованием трёх квадратов. В самом деле: если мы рассмотрим преобразование каждого из трёх квадратов, то обратное преобразование каждого квадрата совпадает с самим преобразованием.

Понятно, что не любой пандиагональный квадрат чётно-чётного порядка можно превратить в ассоциативный с помощью преобразования обратного преобразованию трёх квадратов, а только такой пандиагональный квадрат, который может быть получен преобразованием трёх квадратов из ассоциативного квадрата.

Приведу пример применения обратного преобразования. В качестве исходного пандиагонального квадрата возьмём квадрат 12-ого порядка, изображённый на рис. 12.

 

 

Рис. 12

 

Применим к этому квадрату преобразование обратное преобразованию трёх квадратов. Полученный ассоциативный квадрат вы видите на рис. 13.

 

 

Рис. 13

 

Квадрат на рис. 12 не является совершенным; он почти совершенный, то есть в нём частично выполняются свойства совершенных квадратов (этот квадрат построен комбинацией различных преобразований из пандиагонального квадрата Гуркенса). А теперь возьмём совершенный квадрат 8-ого порядка (рис. 14) и применим к нему преобразование обратное преобразованию трёх квадратов.

 

 

Рис. 14

 

Результат применения преобразования показан на рис. 15.

 

 

Рис. 15

 

Понятно, что применение преобразования обратного преобразованию трёх квадратов к любому совершенному квадрату даёт ассоциативный квадрат.

 

В заключение покажу, как преобразование трёх квадратов помогло мне составить нетрадиционный пандиагональный сотовый квадрат 8-ого порядка. Мне был известен следующий ассоциативный нетрадиционный сотовый квадрат 8х8 (рис. 16):

 

 

                                                     Рис. 16

 

Это вспомогательный квадрат для построения сотового магического квадрата. Для того чтобы построенный магический квадрат получился пандиагональным, надо чтобы этот вспомогательный квадрат тоже был пандиагональным. Применив к этому квадрату преобразование трёх квадратов, я получила нужный пандиагональный квадрат (рис. 17):

 

 

                                                     Рис. 17

 

Подробно об этом смотрите в статье:

 

http://www.natalimak1.narod.ru/sotov.htm

 

Таким образом, преобразование трёх квадратов можно применять и к нетрадиционным ассоциативным магическим квадратам чётно-чётного порядка и даже вообще к не магическим квадратам, как в случае с обратимыми квадратами.

 

***

 

Глава 7. Преобразование стандартной перестановки строк и/или столбцов

 

Данное преобразование применяется к пандиагональным квадратам любого порядка, как нечётного, так и чётно-чётного. Одно состоит в следующем: при перестановке строк первая строка (сверху) остаётся на месте, а остальные строки записываются в обратном порядке – снизу вверх. То же самое при перестановке столбцов: первый столбец (слева) остаётся на месте, а остальные столбцы записываются в обратном порядке – справа налево. Можно одновременно переставить и строки, и столбцы. Покажу примеры.

 

Пример 1. Стандартная перестановка строк в пандиагональном квадрате 5-го порядка.

 

В качестве исходного квадрата возьмём пандиагональный квадрат, изображённый на рис. 18.

 

 

Рис. 18

 

Результат применения к этому квадрату стандартной перестановки строк показан на рис. 19.

 

 

Рис. 19

 

По аналогии с преобразованием “строки-диагонали” я назвала преобразование стандартной перестановки строк и/или столбцов преобразованием “диагонали-диагонали”, так как оно переводит все диагонали исходного квадрата (главные и разломанные) в диагонали нового квадрата. На рис. 18 выделены цветом две диагонали, одна главная и одна разломанная. На рис. 19 выделены разломанные диагонали, в которые перешли отмеченные диагонали исходного квадрата. Вы можете проследить за всеми остальными диагоналями исходного квадрата.

 

Пример 2. Стандартная перестановка строк и столбцов в пандиагональном квадрате 5-го порядка.

 

В качестве исходного квадрата возьмём тот же самый квадрат с рис. 18. Применим к нему одновременно и перестановку строк, и перестановку столбцов. Результат вы видите на рис. 20.

 

 

Рис. 20

 

Пример 3. Стандартная перестановка столбцов в пандиагональном квадрате 8-го порядка.

 

В качестве исходного пандиагонального квадрата возьмём пандиагональный квадрат, изображённый на рис. 21.

 

 

Рис. 21

 

На рис. 22 показан пандиагональный квадрат, полученный в результате применения к данному квадрату стандартной перестановки столбцов.

 

 

Рис. 22

 

На рис. 21 выделены главные диагонали исходного квадрата, на рис. 22 вы видите, что главные диагонали превратились в разломанные.

 

Интересно отметить, что рассмотренное преобразование можно применять и к нетрадиционным пандиагональным квадратам порядка n = 4k + 2. Покажу это на примере нетрадиционного идеального квадрата 10-го порядка, изображённого на рис. 23.

 

 

Рис. 23

 

Применим к этому пандиагональному квадрату преобразование стандартной перестановки строк. Результат вы видите на рис. 24.

 

 

Рис. 24

 

В исходном квадрате точно так же выделены две диагонали, а в преобразованном квадрате вы видите те диагонали, в которые перешли выделенные диагонали исходного квадрата.

Следует отметить, что данное преобразование не сохраняет ассоциативность квадрата. Так, в последнем примере исходный квадрат ассоциативный, а преобразованный квадрат утратил это свойство.

 

Глава 8. Преобразование перестановки строк и/или столбцов в ассоциативных квадратах

 

В ассоциативных магических квадратах как нечётного, так и чётно-чётного порядка могут быть переставлены строки, симметрично расположенные относительно горизонтальной оси симметрии квадрата, и/или столбцы, расположенные симметрично относительно вертикальной оси симметрии квадрата. Можно переставлять любое количество таких строк и/или столбцов. В результате такой перестановки будут получаться новые ассоциативные квадраты. Покажу несколько примеров.

 

Пример 1. Перестановка строк и столбцов в ассоциативном квадрате 5-го порядка.

 

Исходный ассоциативный квадрат изображён на рис. 25.

 

 

Рис. 25

 

Переставим в этом квадрат первую строку с пятой строкой и второй столбец с третьим столбцом. В результате такой перестановки получится следующий ассоциативный квадрат (рис. 26):

 

 

Рис. 26

 

Понятно, что в квадратах нечётного порядка при рассматриваемом преобразовании центральная строка и центральный столбец всегда остаются на месте, потому что они находятся как раз на осях симметрии квадрата.

 

Пример 2. Перестановка строк и столбцов в ассоциативном квадрате 8-го порядка.

 

В качестве исходного квадрата возьмём ассоциативный квадрат, изображённый на рис. 27.

 

 

Рис. 27

 

Выполним преобразование в два этапа. Сначала переставим две пары симметричных строк (на рис. 27 переставляемые строки выделены одинаковым цветом). Результат показан на рис. 28.

 

 

Рис. 28

 

Очевидно, что полученный квадрат является ассоциативным. А теперь переставим в полученном квадрате две пары симметричных столбцов, например, первый и восьмой, третий и шестой. В результате этого преобразования получим следующий ассоциативный квадрат (рис. 29):

 

 

Рис. 29

 

В заключение покажу применение рассматриваемого преобразования к нетрадиционному идеальному квадрату 10-го порядка с рис. 23. Переставим три пары симметричных строк, например: вторую и девятую, четвёртую и седьмую, пятую и шестую. В результате такой перестановки получится следующий нетрадиционный ассоциативный квадрат (рис. 30):

 

 

Рис. 30

 

Очевидно, что квадрат утратил свойство пандиагональности. Рассматриваемое преобразование не сохраняет пандиагональность квадрата.

Понятно, что совершенно аналогично можно переставлять симметричные столбцы.

 

Глава 9. Преобразование перестановки строк или столбцов с постоянным шагом

 

Это преобразование было обнаружено мной при построении идеальных магических квадратов нечётного порядка не кратного 3. “С постоянным шагом” означает следующее: строки (или столбцы) переставляются через определённое число строк (или столбцов), например, через 1. Перестановка начинается от центральной строки (от центрального столбца) вверх (вправо).

Данное преобразование позволило мне построить идеальные магические квадраты любого нечётного порядка не кратного 3 из ассоциативных квадратов, построенных методом террас. Покажу несколько примеров. Начну с квадрата 5-го порядка. На рис. 25 изображён ассоциативный квадрат 5-го порядка, построенный методом террас. Возьмём этот квадрат в качестве исходного. Переставим в этом квадрате строки с шагом 1. В результате получаем идеальный квадрат (рис. 31):

 

 

Рис. 31

 

А теперь переставим в исходном квадрате с рис. 25 столбцы тоже с шагом 1. Получим новый идеальный квадрат (рис. 32):

 

 

Рис. 32

 

Перестановка в данном исходном квадрате строк (или столбцов) с шагом 2 даёт эквивалентные идеальные квадраты.

 

В ассоциативном квадрате 7-го порядка, построенном методом террас (рис. 33), можно переставить строки (или столбцы) с шагом 1 и с шагом 2, в обоих случаях получаются новые идеальные квадраты.

Перестановка с другими шагами даёт эквивалентные квадраты.

Приведу только один пример: перестановку строк с шагом 2. Идеальный квадрат, получившийся в результате такой перестановки, вы видите на рис. 34.

 

 

Рис. 33

 

 

                                                                      Рис. 34

 

Применение данного преобразования к ассоциативным квадратам порядка не кратного 3, построенным методом террас, подробно показано в статье:

 

http://www.natalimak1.narod.ru/metody2.htm

 

Следует отметить, что преобразование перестановки только столбцов с постоянным шагом применимо также к ассоциативным квадратам нечётного порядка не кратного 3 и не кратного 5, построенным индийским (сиамским) методом. Подробно об этом смотрите в статье:

 

http://www.natalimak1.narod.ru/metody1.htm

 

Перестановка строк с постоянным шагом в ассоциативных квадратах, построенных индийским (сиамским) методом, даёт только ассоциативные, но не идеальные квадраты. Приведу пример. На рис. 35 вы видите исходный ассоциативный квадрат 7-го порядка, построенный индийским методом.

 

 

Рис. 35

 

Переставим в этом квадрате строки с шагом 1. Получим следующий ассоциативный квадрат (рис. 36):

 

 

Рис. 36

 

Интересно отметить, что в этом квадрате суммы чисел в разломанных диагоналях одного направления равны магической константе квадрата.

 

Глава 10. Преобразование одновременной перестановки строк и столбцов с постоянным шагом в идеальных квадратах нечётного порядка

 

Данное преобразование применимо только к идеальным магическим квадратам нечётного порядка. Обратите внимание: в названии преобразования говорится об одновременной перестановке строк и столбцов. Преобразование выполняется в два этапа, сначала переставляются строки с постоянным шагом, а затем в полученном на первом этапе квадрате переставляются столбцы. Шаг перестановки должен быть одинаковым и для строк, и для столбцов. Перестановка строк начинается от центральной строки вверх, перестановка столбцов – от центрального столбца вправо. Следует отметить, что квадрат, получающийся после первого этапа преобразования, как правило, не является идеальным (хотя бывают исключения, такой пример будет показан), он является только ассоциативным.

Начнём с самого минимального порядка идеального квадрата – 5-го. На рис. 37 вы видите исходный идеальный квадрат.

 

 

Рис. 37

 

В квадрате выделена начальная цепочка, чтобы можно было следить за её изменением в ходе преобразования.

Переставим в этом квадрате строки и столбцы с шагом 1.

На рис. 38 слева показан квадрат, полученный на первом этапе преобразования, справа – идеальный квадрат, полученный на втором этапе.

 

 

Рис. 38

 

Очевидно, что квадрат, полученный на первом этапе преобразования, является ассоциативным, но он утратил пандиагональность.

Если в новом идеальном квадрате (на рис. 38 справа) снова переставить строки и столбцы с шагом 1, получится идеальный квадрат эквивалентный исходному (рис. 37). Проверьте!

Теперь возьмём идеальный квадрат 7-го порядка в качестве исходного (рис. 39).

 

 

Рис. 39

 

Переставим в этом квадрате строки и столбцы с шагом 2. На рис 40 слева изображён квадрат, полученный на первом этапе преобразования, справа – новый идеальный квадрат, полученный на втором этапе преобразования.

 

 

Рис. 40

 

Здесь тоже квадрат, получившийся на первом этапе преобразования, ассоциативный, но не пандиагональный.

 

Рассмотрим преобразование на примере идеального квадрата 9-го порядка. В качестве исходного возьмём идеальный квадрат, изображённый на рис. 41.

 

 

Рис. 41

 

Выполним в этом квадрате перестановку строк с шагом 1. Идеальный квадрат, получившийся в результате такой перестановки, показан на рис. 42.

 

 

Рис. 42

 

Это как раз тот случай, когда квадрат, полученный на первом этапе преобразования, является идеальным, то есть он не утратил пандиагональность.

Выполним второй этап преобразования: в квадрате с рис. 42 переставим столбцы с шагом 1. Полученный новый идеальный квадрат вы видите на рис. 43.

 

 

Рис. 43

 

Рассмотрим ещё один пример. Возьмём другой идеальный квадрат 9-го порядка в качестве исходного квадрата для выполнения преобразования (рис. 44).

 

 

Рис. 44

 

Выполним для этого идеального квадрата преобразование перестановки строк и столбцов с шагом 3 (перестановка с шагом 2 в квадрате 9-го порядка не выполнима).

Следует отметить, что последовательность выполнения этапов в рассматриваемом преобразовании не имеет значения, можно сначала выполнить перестановку столбцов, а затем перестановку строк. Так мы сейчас и поступим. На рис. 45 показан квадрат, полученный после первого этапа преобразования – перестановки столбцов с шагом 3.

 

 

Рис. 45

 

Как видите, сейчас после первого этапа получился ассоциативный, но не пандиагональный квадрат. Завершим преобразование: переставим в квадрате с рис. 45 строки с шагом 3. В результате получим новый идеальный квадрат (рис. 46):

 

 

Рис. 46

 

Однако если в квадрате с рис. 44 первым этапом выполнить перестановку строк с шагом 3, то получится идеальный квадрат (рис. 47).

 

 

Рис. 47

 

Если вы завершите преобразование – переставите в квадрате с рис. 47 столбцы с шагом 3, – получите идеальный квадрат, в точности совпадающий с квадратом на рис. 46.

Итак, в данном преобразовании надо учитывать, что после первого этапа преобразования не всегда получается идеальный квадрат.

 

 

Продолжение будет здесь:

 

http://www.natalimak1.narod.ru/preobraz3.htm

 

Читайте мою виртуальную книгу “Волшебный мир магических квадратов”:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm

 

 

6 – 23 ноября 2008 г.

г. Саратов

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу