ПРЕОБРАЗОВАНИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ

 

Часть II

 

Глава 3. Матричная форма преобразований

 

В матричной форме может быть задано любое преобразование магического квадрата. Обозначим матрицу исходного квадрата A(a_ij), для квадрата порядка n i,j = 1, 2, 3 … n. Матрицу преобразованного квадрата обозначим B(b_ij). Будем называть для краткости квадрат с матрицей A(a_ij) квадратом А, квадрат с матрицей B(b_ij) квадратом В. Тогда преобразование f, превращающее квадрат А в квадрат В, можно записать в виде следующего равенства:

 

B = f(А)

 

Сразу же определим понятие обратного преобразования. Понятно, что если некоторое преобразование f превращает квадрат А в квадрат В, то существует обратное ему преобразование, которое превращает квадрат В в квадрат А. Такое преобразование запишется в следующем виде:

 

А = f^-1(В)

 

Приведу поясняющие примеры. Для наглядности возьмём в качестве исходного квадрата квадрат пятого порядка (рис. 1).

 

 

Рис. 1

 

Матрица этого квадрата будет иметь вид (рис. 2):

 

 

Рис. 2

 

В этой матрице индексы элементов следуют в естественном порядке, первый индекс, как правило, означает номер строки, а второй индекс – номер столбца.

 

Примечание: иногда индексы элементов разделяются запятыми: а_i,j. Я использую запятую только начиная с квадратов 10-ого порядка, когда индексы являются двузначными числами.

 

Теперь применим к исходному квадрату основное преобразование № 1 – поворот вокруг центра квадрата на 90 градусов по часовой стрелке. Очевидно, что матрица преобразованного квадрата В будет иметь такой вид (рис. 3):

 

 

Рис. 3

 

Эта матрица и есть матричная форма основного преобразования № 1. Будем для краткости говорить, что данная матрица является матрицей основного преобразования № 1, или: основное преобразование № 1 задано матрицей. Если предположить, что некто мистер Х не знает, как повернуть квадрат вокруг центра на 90 градусов по часовой стрелке, надо дать ему матрицу этого преобразования и тогда он без труда составит преобразованный квадрат.

Приведу ещё один пример. Применим к исходному квадрату одно из торических преобразований, например, задаваемое матрицей, изображённой на рис. 4.

 

 

Рис. 4

 

В результате применения преобразования, заданного этой матрицей, мы получим следующий квадрат (рис. 5):

 

 

Рис. 5

 

Иногда магический квадрат надо преобразовать, увеличив или уменьшив все его элементы на одно и то же число. Очевидно, что такое преобразование можно записать так:

 

b_ij = a_ij + const

 

Если прибавляемая константа число положительное, то все элементы увеличатся, а если константа число отрицательное, то все элементы уменьшатся.

Можно преобразовать магический квадрат, умножив (или разделив) все его элементы на одно и то же число. Такое преобразование запишется формулой:

 

b_ij = a_ij  * const

 

Понятно, что в результате применения таких преобразований получатся нетрадиционные магические квадраты. Однако, очень часто наоборот нетрадиционный квадрат, заполненный числами от 0 до n²-1, превращается с помощью увеличения всех его элементов на единицу в традиционный магический квадрат, заполненный числами от 1 до n². В этом случае прибавляемая константа в приведённой выше формуле равна 1.

 

Глава 4. Взятие дополнения

 

Об этом преобразовании я узнала из книги М. Гарднера “Путешествие во времени” (М.: Мир, 1990). Кстати, очень интересная книга, предлагаю адрес электронной версии книги:

 

http://publ.lib.ru/ARCHIVES/G/GARDNER_Martin/Puteshestvie_vo_vremeni.%20%5Bdjv%5D.zip

 

Преобразование состоит в замене каждого элемента магического квадрата комплементарным числом. Напомню, что я называю два числа в магическом квадрате порядка n комплементарными, если они составляют в сумме n² + 1. В книге Ю. В. Чебракова такие числа называются взаимно дополнительными.

Преобразование взятия дополнения можно выразить следующей формулой:

 

[1]                                 b_ij = (-1) * a_ij  + n² + 1

 

Для демонстрации преобразования возьмём сначала магический квадрат 5-ого порядка, изображённый на рис. 6.

 

 

Рис. 6

 

Очевидно, что этот квадрат не обладает никакими дополнительными свойствами. Применим к нему преобразование взятия дополнения. В результате получится такой магический квадрат (рис. 7):

 

 

Рис. 7

 

Очевидно, что получен совершенно новый магический квадрат не эквивалентный исходному. В указанной книге говорится, что иногда данное преобразование относится к классу эквивалентных преобразований.

Посмотрим, какой квадрат получится, если применить данное преобразование к ассоциативному магическому квадрату 5-ого порядка, изображённому на рис. 1 (рис. 8):

 

 

Рис. 8

 

Очевидно, что полученный квадрат эквивалентен исходному, он получается из исходного поворотом на 180 градусов. Это и понятно: в ассоциативном квадрате комплементарные числа расположены симметрично относительно центра квадрата. Таким образом, для ассоциативных магических квадратов взятие дополнения равносильно повороту квадрата на 180 градусов.

 

Примечание: два преобразования f и g называются равносильными, если f(A) = g(A).

 

Нетрудно увидеть из формулы [1], что взятие дополнения сохраняет пандиагональность квадрата. Возьмём, например, такой пандиагональный квадрат 5-ого порядка (рис. 9):

 

 

Рис. 9

 

Квадрат, получившийся в результате применения к данному квадрату преобразования взятия дополнения, изображён на рис. 10.

 

 

Рис. 10

 

Очевидно, что квадрат остался пандиагональным.

Итак, взятие дополнения сохраняет и ассоциативность, и пандиагональность квадрата, а значит, сохраняет идеальность (смотрите преобразование идеального квадрата с рис. 1).

Посмотрим на результат применения данного преобразования к совершенному квадрату 8-ого порядка, изображённому на рис. 11.

 

 

Рис. 11

 

Квадрат, полученный в результате взятия дополнения, изображён на рис. 12.

 

 

Рис. 12

 

Как и следовало ожидать, полученный квадрат совершенный. Посмотрите, как интересно получен новый квадрат из исходного: просто переставлены угловые квадраты 4х4.

Наконец, применим взятие дополнения к дьявольски полумагическому квадрату Франклина 8-ого порядка, изображённому на рис. 13.

 

 

Рис. 13

 

Получившийся в результате применения преобразования квадрат показан на рис. 14.

 

 

Рис. 14

 

Легко убедиться, что квадрат остался дьявольски полумагическим с теми же значениями сумм чисел по главным диагоналям (только эти значения поменялись местами).

 

Сохранение всех свойств магического квадрата при взятии дополнения не только легко увидеть на конкретных примерах, но и можно доказать, основываясь на формуле [1], выражающей данное преобразование.

 

Понятно, что если не относить взятие дополнения к классу эквивалентных преобразований, то мы получим с помощью этого преобразования множество новых магических квадратов разных видов: пандиагональных, совершенных, полумагических и даже бимагических, потому что это преобразование сохраняет и бимагичность квадрата. Например, выполним это преобразование для бимагического квадрата 8-ого порядка (рис. 15), найденного по ссылке:

 

http://cboyer.club.fr/multimagie/English/Panbimagic.htm

 

 

 

Рис. 15

 

Получившийся в результате выполнения преобразования квадрат изображён на рис. 16.

 

 

Рис. 16

 

Легко убедиться, что этот квадрат бимагический. Кроме того, он пандиагональный, как и исходный квадрат.

Обратите внимание: здесь, как и в случае с совершенным квадратом, при взятии дополнения просто переставлены угловые квадраты 4х4; хотя исходный квадрат и не является совершенным, он обладает свойством комплементарности, присущим совершенным квадратам.

 

Взятие дополнения в случае ассоциативного или идеального квадрата даёт эквивалентный квадрат.

 

Примечание: когда я работала над составлением банка базовых пандиагональных квадратов 5-ого порядка, не знала об этом преобразовании (книга М. Гарднера у меня появилась совсем недавно – в электронной версии). Как известно, существует 144 базовых пандиагональных квадратов 5-ого порядка с учётом основных и торических преобразований. Как мне помогло бы тогда данное преобразование! Например, квадрат, изображённый на рис. 9, взят из банка базовых пандиагональных квадратов. А квадрат, полученный из него взятием дополнения (рис. 10), в моём банке записан в таком эквивалентном виде (рис. 17):

 

 

Рис. 17

 

Поскольку среди всех базовых пандиагональных квадратов 5-ого порядка ассоциативных квадратов только 16, остальные 128 пандиагональных квадратов можно разделить на две равные  группы, в первой группе все квадраты различные с точностью взятия дополнения, во второй группе – квадраты, получающиеся из квадратов первой группы взятием дополнения.

 

В процессе поиска всех базовых пандиагональных квадратов 5-ого порядка я открыла замечательное преобразование “строки-диагонали” и преобразования типа “плюс-минус …”, о них будет рассказано далее. Все базовые квадраты были построены. А затем я доказала, что 143 квадрата можно получить из одного базового квадрата с помощью различных преобразований. Этим базовым квадратом является идеальный квадрат, изображённый на рис. 1.

 

Глава 5. Преобразование “строки диагонали”

 

Как уже сказано выше, преобразование “строки-диагонали” я обнаружила, исследуя пандиагональные квадраты 5-ого порядка. Это преобразование применимо только к пандиагональным квадратам нечётного порядка. Преобразование задаётся в матричной форме. Для квадратов 5-ого порядка матрица преобразования “строки-диагонали” имеет вид (рис. 18):

 

 

Рис. 18

 

Возьмём в качестве исходного квадрата пандиагональный квадрат, изображённый на рис. 9. Применим к нему преобразование “строки-диагонали”, заданное матрицей, показанной на рис. 18. Получим новый пандиагональный квадрат (рис. 19):

 

 

Рис. 19

 

В то время, когда я обнаружила это преобразование, мы сотрудничали с Георгием Александровым и вместе усердно искали базовые пандиагональные квадраты 5-ого порядка. Я написала Георгию об открытом преобразовании. Он был восхищён его красотой и прислал мне такую картинку (рис. 20):

 

      

 

Рис. 20

 

Плохо только, что картинка не заполнена числами. Этот недостаток я сейчас исправлю.

 

 

Рис. 21

 

Итак, перед вами картинка, авторами которой являются Александров и немножко я (нарисовала стрелку и написала числа). На картинке изображено преобразование “строки-диагонали”, применённое к пандиагональному квадрату 5-ого порядка, исходный квадрат изображён слева. Георгий наглядно показал, как все строки исходного квадрата превратились в диагонали нового квадрата, при этом первая строка (верхняя) превращается в главную диагональ, а остальные строки – в разломанные диагонали этого же направления. Следует отметить, что столбцы исходного квадрат тоже превращаются в диагонали – другого направления, при этом в главную диагональ превращается центральный столбец. Ещё интереснее то, что все диагонали исходного квадрата, как главные, так и разломанные, превращаются в строки и столбцы нового квадрата.

Замечательное преобразование, есть чему восхищаться!

Не знаю, известно ли было это преобразование раньше, но мне оно не встречалось. Обнаружила я его совершенно случайно, сравнивая пандиагональные квадраты 5-ого порядка, которые выдавала составленная мной программа. Так случилось, что мне на глаза попались именно два квадрата, связанные этим преобразованием. Счастливая случайность!

 

Далее применим это же преобразование к новому квадрату (рис. 19). Снова нарисую картинку (рис. 22):

 

 

Рис. 22

 

Получившийся в результате преобразования квадрат представим в таком эквивалентном виде (рис. 23):

 

 

Рис. 23

 

Сравните этот квадрат с исходным квадратом (рис. 9) и вы увидите, что он получается из него перестановкой строк и столбцов.

 

Применим преобразование “строки-диагонали” к последнему результату – квадрату, изображённому на рис. 22 справа. Рисую новую картинку (рис. 24):

 

 

Рис. 24

 

Мы получили новый пандиагональный квадрат. А теперь примените к этому квадрату ещё раз преобразование “строки-диагонали”, у вас получится исходный квадрат с рис. 9.

Обозначим исходный квадрат с рис. 9 квадратом А, квадрат, изображённый на рис. 19 (или на рис. 21 справа) – квадратом В, квадрат, изображённый на рис. 22 справа – квадратом С, квадрат, изображённый на рис. 24 справа – квадратом D, преобразование “строки-диагонали” обозначим f. Тогда можно записать такие равенства:

 

B = f(A),   C = f(B),   D = f(C) = f{f[f(A)]},   f(D) = A

 

Таким образом, трёхкратное применение преобразования “строки-диагонали” даёт новые пандиагональные квадраты, а применение преобразования в четвёртый раз даёт исходный квадрат. Следовательно, каждый пандиагональный квадрат 5-ого порядка образует группу из четырёх квадратов, считая этот квадрат, квадраты этой группы получаются из исходного трёхкратным применением преобразования “строки-диагонали”. Теперь совершенно понятно, что данное преобразование позволило мне свести банк базовых пандиагональных квадратов 5-ого порядка к одной четверти, то есть к 36 квадратам. Далее я сокращала количество базовых квадратов с помощью преобразований типа “плюс-минус …”, о которых будет рассказано ниже.

 

Приведу матрицу преобразования, обратного преобразованию “строки-диагонали” (рис. 25):

 

 

Рис. 25

 

Обратимся снова к картинке на рис. 21. На этой картинке мы видим применение преобразования “строки-диагонали” к квадрату А: B = f(A). А теперь применим обратное преобразование, заданное матрицей на рис. 25, к квадрату В: А = f^-1(B). На картинке надо повернуть стрелку в обратную сторону, исходный квадрат (В) теперь будет справа, а преобразованный квадрат (А) – слева.

Покажу другой пример применения обратного преобразования. В качестве исходного возьму идеальный квадрат с рис. 1. На рис. 26 изображена иллюстрация применения обратного преобразования к этому квадрату.

 

 

Рис. 26

 

Получившийся в результате преобразования квадрат сохранил пандиагональность, но утратил ассоциативность. Легко превратить этот квадрат в ассоциативный параллельным переносом на торе. На рис. 27 вы видите новый идеальный квадрат, который получен из идеального квадрата с рис. 1 комбинацией преобразований: “строки-диагонали” и параллельный перенос на торе.

 

 

 

Рис. 27

 

Пропускаю пандиагональные квадраты 7-ого порядка, предоставляя читателям самим составить матрицу преобразования “строки-диагонали” для этих квадратов. Перехожу к пандиагональным квадратам 9-ого порядка. Матрица данного преобразования для этих квадратов имеет следующий вид (рис. 28):

 

 

Рис. 28

 

На иллюстрации (рис. 29) изображено применение преобразования, заданного этой матрицей, к идеальному квадрату 9-ого порядка.

 

 

Рис. 29

 

Примечание: приношу свои извинения за плохой рисунок, художник из меня никудышный, не умею работать с Фотошопом. Может быть, кто-нибудь из вас, мои дорогие читатели, сделает хорошую картинку? В принципе, всё это можно показать с помощью обычных таблиц, но картинка – лучше.

 

Здесь всё точно так же, как в квадратах 5-ого порядка, девять строк исходного квадрата превращаются в девять диагоналей нового квадрата одного направления, при этом первая строка (верхняя) превращается в главную диагональ, а остальные строки – в разломанные диагонали. Все девять столбцов исходного квадрата превращаются в девять диагоналей другого направления, при этом в главную диагональ превращается центральный столбец.

Посмотрите на преобразованный квадрат, он утратил ассоциативность и потому уже не является идеальным, но его очень просто сделать идеальным с помощью торического преобразования. На рис. 30 вы видите новый идеальный квадрат 9-ого порядка:

 

 

Рис. 30

 

Этот квадрат получен из исходного идеального квадрата (рис. 29, слева) комбинацией двух преобразований: “строки-диагонали” и параллельный перенос на торе.

Обозначим исходный квадрат, изображённый на рис. 29 слева, квадратом А, а квадрат, изображённый на этом рисунке справа, квадратом В, квадрат, изображённый на рис. 30, квадратом С, f – преобразование “строки-диагонали”, g – торическое преобразование. Тогда можно записать:

 

В = f(A),   C = g(B) = g[f(A)]

 

Поскольку к пандиагональным квадратам 9-ого порядка я применяла преобразование “строки-диагонали” чаще всего, давно уже составила программку, выполняющую это преобразование. Сейчас мне эта программка очень пригодилась. Меня заинтересовал вопрос: на каком шаге данное преобразование возвратит исходный квадрат. Как мы видели, для квадратов 5-ого порядка это происходит на четвёртом шаге, то есть, применив преобразование три раза, мы получаем новые квадраты, а применив преобразование в четвёртый раз, получаем исходный квадрат. Поэтому мы говорим о группе из четырёх пандиагональных квадратов 5-ого порядка, образуемой данным преобразованием.

Итак, по программе я выполняла преобразование до тех пора, пока не получился исходный квадрат. Покажу на рис. 31 второй шаг (сделаю это с помощью обычных таблиц), теперь исходным является квадрат, полученный в результате первого применения преобразования (этот квадрат на рис. 29 справа).

 

 

Рис. 31

 

Примечание: опять отвлекусь на картинки. Вот с помощью обычных таблиц всё получилось гораздо чётче. А нельзя ли вот эту вордовскую картинку как-нибудь превратить в иллюстрацию, которую смог бы “кушать” Фотошоп?

А почему, собственно, я заинтересовалась картинками? В переписке с одним товарищем спросила его, почему мои магические квадраты не появляются в картинках, например, Яндекса. Товарищ ответил, что квадраты надо помещать на картинки, а не делать в форме таблиц. Тогда поисковики смогут их находить. Вот тут-то и началось моё увлечение картинками. Занятный факт для истории! Посмейтесь над неумелой бабушкой. Расскажите это своим друзьям в качестве самого свежего анекдота.

Ещё товарищ написал, что надо знать язык html и снабжать картинки комментариями. А вот это я делать немножко умею, этому меня научил мой учитель Вячеслав Геннадьевич Иванов.

***

 

Замечу попутно, что новый пандиагональный квадрат тоже очень легко превращается в идеальный параллельным переносом на торе, вот так (рис. 32):

 

 

Рис. 32

 

Следующим шагом применяем преобразование к квадрату, получившемуся на предыдущем шаге  (этот квадрат на рис. 31 справа) и так далее. По программе всё это я сделала очень быстро. И только 24-ое применение преобразования дало исходный квадрат! Таким образом, преобразование “строки-диагонали” создаёт из одного пандиагонального квадрата 9-ого порядка группу из 24 пандиагональных квадратов (считая исходный квадрат). Для рассматриваемого примера эта группа приведена ниже. Квадрат № 1 – это исходный квадрат (см. рис. 29).

 

Группа из 24 пандиагональных квадратов 9-ого порядка, образованная преобразованием “строки-диагонали”

 

№ 1                                                               № 2

1  42  80  64  60  35  46  24  17                     1  75  58  53  14  38  69  34  27

50  21  16  5  39  79  68  57  34                     11  42  70  36  19  3  76  62  50  

72  56  31  54  20  13  9  38  76                     21  4  80  59  47  15  43  72  28

8  37  78  71  55  33  53  19  15                     51  16  45  64  30  22  8  77  56

52  23  12  7  41  75  70  59  30                     31  26  5  74  60  52  18  37  66

67  63  29  49  27  11  4  45  74                     61  54  10  39  67  35  23  2  78

6  44  73  69  62  28  51  26  10                     71  32  20  6  79  63  46  12  40

48  25  14  3  43  77  66  61  32                     81  55  48  13  44  68  29  24  7

65   58 36  47  22  18  2  40  81                     41  65  33  25  9  73  57  49  17

 

№ 3                                                               № 4

1  52  65  8  48  72  6  50  67                         1  31  41  51  81  21  71  11  61

 35  75  18  33  77  13  28  79  11                  38  52  73  22  68  15  63  3  35  

 42  23  58  37  25  56  44  21  63                  75  26  65  16  55  4  32  42  54  

 46  70  2  53  66  9  51  68  4                        69  18  57  8  29  43  46  76  23  

 80  12  36  78  14  31  73  16  29                  58  5  33  45  48  80  20  70  10

 24  59  40  19  61  38  26  57  45                  34  37  49  77  24  72  12  62  2  

 64  7  47  71  3  54  69  5  49                        53  74  25  64  13  59  6  36  39  

 17  30  81  15  32  76  10  34  74                  27  66  17  56  7  28  40  50  78  

 60  41  22  55  43  20  62  39  27                  14  60  9  30  44  47  79  19  67  

 

№ 5                                                               № 6

1  80  60  46  17  42  64  35  24                     1  58  14  69  27  75  53  38  34  

 72  31  20  9  76  56  54  13  38                    21  80  47  43  28  4  59  15  72

 52  12  41  70  30  23  7  75  59                    31  5  60  18  66  26  74  52  37

 6  73  62  51  10  44  69  28  26                    71  20  79  46  40  32  6  63  12

 65  36  22  2  81  58  47  18  40                    41  33  9  57  17  65  25  73  49  

 50  16  39  68  34  21  5  79  57                    11  70  19  76  50  42  36  3  62  

 8  78  55  53  15  37  71  33  19                    51  45  30  8  56  16  64  22  77  

 67  29  27  4  74  63  49  11  45                    61  10  67  23  78  54  39  35  2

 48  14  43  66  32  25  3  77  61                    81  48  44  29  7  55  13  68  24  

 

№ 7                                                               № 8                                                              

1  65  48  6  67  52  8  72  50                         1  41  81  71  61  31  51  21  11

 42  58  25  44  63  23  37  56  21                  75  65  55  32  54  26  16  4  42

 80  36  14  73  29  12  78  31  16                  58  33  48  20  10  5  45  80  70  

 64  47  3  69  49  7  71  54  5                        53  25  13  6  39  74  64  59  36  

 60  22  43  62  27  41  55  20  39                  14  9  44  79  67  60  30  47  19  

 35  18  77  28  11  75  33  13  79                  38  73  68  63  35  52  22  15  3  

 46  2  66  51  4  70  53  9  68                        69  57  29  46  23  18  8  43  76  

 24  40  61  26  45  59  19  38  57                  34  49  24  12  2  37  77  72  62  

 17  81  32  10  74  30  15  76  34                  27  17  7  40  78  66  56  28  50

 

№ 9                                                               № 10

1  60  17  64  24  80  46  42  35                     1  14  27  53  34  58  69  75  38

 52  41  30  7  59  12  70  23  75                    31  60  66  74  37  5  18  26  52  

 65  22  81  47  40  36  2  58  18                    41  9  17  25  49  33  57  65  73  

 8  55  15  71  19  78  53  37  33                    51  30  56  64  77  45  8  16  22  

 48  43  32  3  61  14  66  25  77                    81  44  7  13  24  48  29  55  68

 72  20  76  54  38  31  9  56  13                    21  47  28  59  72  80  43  4  15  

 6  62  10  69  26  73  51  44  28                    71  79  40  6  12  20  46  32  63  

 50  39  34  5  57  16  68  21  79                    11  19  50  36  62  70  76  42  3  

 67  27  74  49  45  29  4  63  11                    61  67  78  39  2  10  23  54  35  

 

№ 11                                                             № 12

1  48  67  8  50  65  6  52  72                         1  81  61  51  11  41  71  31  21

 80  14  29  78  16  36  73  12  31                  58  48  10  45  70  33  20  5  80

 60  43  27  55  39  22  62  41  20                  14  44  67  30  19  9  79  60  47  

 46  66  4  53  68  2  51  70  9                        69  29  23  8  76  57  46  18  43  

 17  32  74  15  34  81  10  30  76                  27  7  78  56  50  17  40  66  28  

 42  25  63  37  21  58  44  23  56                  75  55  54  16  42  65  32  26  4  

 64  3  49  71  5  47  69  7  54                        53  13  39  64  36  25  6  74  59  

 35  77  11  33  79  18  28  75  13                  38  68  35  22  3  73  63  52  15  

 24  61  45  19  57  40  26  59  38                  34  24  2  77  62  49  12  37  72  

 

№ 13                                                             № 14

1  17  24  46  35  60  64  80  42                     1  27  34  69  38  14  53  58  75  

 65  81  40  2  18  22  47  36  58                    41  17  49  57  73  9  25  33  65  

 48  32  61  66  77  43  3  14  25                    81  7  24  29  68  44  13  48  55  

 6  10  26  51  28  62  69  73  44                    71  40  12  46  63  79  6  20  32  

 67  74  45  4  11  27  49  29  63                    61  78  2  23  35  67  39  10  54  

 52  30  59  70  75  41  7  12  23                    31  66  37  18  52  60  74  5  26  

 8  15  19  53  33  55  71  78  37                    51  56  77  8  22  30  64  45  16  

 72  76  38  9  13  20  54  31  56                    21  28  72  43  15  47  59  80  4

 50  34  57  68  79  39  5  16  21                    11  50  62  76  3  19  36  70  42  

 

№ 15                                                             № 16

1  67  50  6  72  48  8  65  52                         1  61  11  71  21  81  51  41  31

 60  27  39  62  20  43  55  22  41                  14  67  19  79  47  44  30  9  60  

 17  74  34  10  76  32  15  81  30                  27  78  50  40  28  7  56  17  66  

 64  49  5  69  54  3  71  47  7                        53  39  36  6  59  13  64  25  74  

 24  45  57  26  38  61  19  40  59                  34  2  62  12  72  24  77  49  37  

 80  29  16  73  31  14  78  36  12                  58  10  70  20  80  48  45  33  5  

 46  4  68  51  9  66  53  2  70                        69  23  76  46  43  29  8  57  18  

 42  63  21  44  56  25  37  58  23                  75  54  42  32  4  55  16  65  26  

 35  11  79  28  13  77  33  18  75                  38  35  3  63  15  68  22  73  52  

 

№ 17                                                             № 18

1  24  35  64  42  17  46  60  80                     1  34  38  53  75  27  69  14  58

 48  61  77  3  25  32  66  43  14                    81  24  68  13  55  7  29  44  48  

 67  45  11  49  63  74  4  27  29                    61  2  35  39  54  78  23  67  10  

 8  19  33  71  37  15  53  55  78                    51  77  22  64  16  56  8  30  45  

 50  57  79  5  21  34  68  39  16                    11  62  3  36  42  50  76  19  70  

 65  40  18  47  58  81  2  22  36                    41  49  73  25  65  17  57  9  33  

 6  26  28  69  44  10  51  62  73                    71  12  63  6  32  40  46  79  20  

 52  59  75  7  23  30  70  41  12                    31  37  52  74  26  66  18  60  5  

 72  38  13  54  56  76  9  20  31                    21  72  15  59  4  28  43  47  80  

 

№ 19                                                             № 20                                                            

1  50  72  8  52  67  6  48  65                         1  11  21  51  31  61  71  81  41  

 17  34  76  15  30  74  10  32  81                  27  50  28  56  66  78  40  7  17  

 24  57  38  19  59  45  26  61  40                  34  62  72  77  37  2  12  24  49  

 46  68  9  53  70  4  51  66  2                        69  76  43  8  18  23  46  29  57  

 35  79  13  33  75  11  28  77  18                  38  3  15  22  52  35  63  68  73  

 60  39  20  55  41  27  62  43  22                  14  19  47  30  60  67  79  44  9  

 64  5  54  71  7  49  69  3  47                        53  36  59  64  74  39  6  13  25  

 80  16  31  78  12  29  73  14  36                  58  70  80  45  5  10  20  48  33

 42  21  56  37  23  63  44  25  58                  75  42  4  16  26  54  32  55  65

 

№ 21                                                             № 22

1  35  42  46  80  24  64  17  60                     1  38  75  69  58  34  53  27  14

 67  11  63  4  29  45  49  74  27                    61  35  54  23  10  2  39  78  67  

 50  79  21  68  16  57  5  34  39                    11  3  42  76  70  62  36  50  19  

 6  28  44  51  73  26  69  10  62                    71  63  32  46  20  12  6  40  79  

 72  13  56  9  31  38  54  76  20                    21  15  4  43  80  72  59  28  47  

 48  77  25  66  14  61  3  32  43                    81  68  55  29  48  24  13  7  44  

 8  33  37  53  78  19  71  15  55                    51  22  16  8  45  77  64  56  30

 65  18  58  2  36  40  47  81  22                    41  73  65  57  33  49  25  17  9  

 52  75  23  70  12  59  7  30  41                    31  52  26  18  5  37  74  66  60

 

№ 23                                                             № 24

1  72  52  6  65  50  8  67  48                         1  21  31  71  41  11  51  61  81

 24  38  59  26  40  57  19  45  61                  34  72  37  12  49  62  77  2  24

 35  13  75  28  18  79  33  11  77                  38  15  52  63  73  3  22  35  68  

 64  54  7  69  47  5  71  49  3                        53  59  74  6  25  36  64  39  13  

 42  56  23  44  58  21  37  63  25                  75  4  26  32  65  42  16  54  55  

 17  76  30  10  81  34  15  74  32                  27  28  66  40  17  50  56  78  7  

 46  9  70  51  2  68  53  4  66                        69  43  18  46  57  76  8  23  29  

 60  20  41  62  22  39  55  27  43                  14  47  60  79  9  19  30  67  44  

 80  31  12  73  36  16  78  29  14                  58  80  5  20  33  70  45  10  48  

 

Возникает интересный вопрос: является ли количество пандиагональных квадратов в такой группе величиной, зависящей от порядка исходного квадрата так, что это можно выразить точной формулой. Например, можно ли сразу сказать, сколько пандиагональных квадратов будет в такой группе для пандиагонального квадрата 11-ого порядка или 15-ого порядка? Даже для пандиагонального квадрата 7-ого порядка я не построила подобную группу квадратов, потому что программки у меня нет, составлять её не хочется, а вручную применять преобразование тоже дело скучное. Предлагаю читателям построить такую группу для квадрата 7-ого порядка. Сколько квадратов будет в этой группе?

 

Осталось показать матрицу обратного преобразования для квадратов 9-ого порядка. Вот она (рис. 33):

 

 

Рис. 33

 

Применение к квадрату № 24 в приведённой выше группе квадратов преобразования “строки-диагонали” даёт исходный квадрат № 1. Следовательно, применение к квадрату № 1 обратного преобразования должно дать квадрат № 24. Проверим (см. рис. 34):

 

 

Рис. 34

 

Всё правильно. А теперь покажу ещё один пример применения обратного преобразования к другому идеальному квадрату. При этом сменю раскраску в исходном квадрате, чтобы показать, что и обратное преобразование превращает все строки исходного квадрата в диагонали нового квадрата одного направления. Смотрите этот пример на рис. 35.

 

 

Рис. 35

 

Обратите внимание: теперь в главную диагональ превратилась нижняя строка исходного квадрата.

Очевидно, что полученный пандиагональный квадрат легко превращается в идеальный параллельным переносом на торе.

 

Покажу теперь, как преобразование “строки-диагонали” помогло мне перейти от стандартных качелей к нестандартным. Подробнее об этом смотрите в статье:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/idealob2.htm

 

Сначала был построен методом стандартных качелей идеальный квадрат 15-ого порядка, изображённый на рис. 36 (копирую квадрат из указанной статьи).

 

 

                                                  Рис. 36

 

В этом квадрате начальная цепочка строится ходом шахматного коня. Затем я преобразовала этот квадрат, применив комбинацию двух преобразований: параллельный перенос на торе и “строки-диагонали”. В результате получился идеальный квадрат, изображённый на рис. 37 (снова копирую квадрат из указанной статьи).

 

 

                                                                     Рис. 37

 

В этом идеальном квадрате начальная цепочка не строится ходом шахматного коня и шаги качания качелей другие. Таким способом я перешла от стандартных качелей, которые относятся к квадратам с начальной цепочкой “ход конём”, к нестандартным качелям с другими шагами качания и с другой формой начальной цепочки. Этот приём был применён при построении идеальных квадратов всех нечётных порядков. Понятно, что между группами квадратов подобных квадрату с рис. 36 и квадратов подобных квадрату с рис. 37 существует взаимнооднозначное соответствие. Построив все квадраты одной группы, мы автоматически построим все квадраты второй группы, для этого достаточно применить к каждому квадрату первой группы комбинацию двух преобразований: параллельный перенос на торе и “строки-диагонали”.

 

И в заключение приведу матрицу преобразования “строки-диагонали” в общем виде для любого нечётного порядка n = 2m + 1, m = 2, 3, 4…

По этой общей матрице вы можете составить матрицу данного преобразования для любого конкретного порядка. Смотрите общую матрицу на рис. 38. В этой матрице k = (n + 1)/2 = m + 1.

 

 

Рис. 38

 

Пожалуй, покажу составление матрицы преобразования для квадратов порядка n = 11; в этом случае k = 6. Составляем матрицу по общей матрице, подставляя значения n и k. На рис. 39 вы видите готовую матрицу преобразования “строки-диагонали” для квадратов 11-ого порядка.

 

 

Рис. 39

 

Предлагаю читателям составить матрицу обратного преобразования в общем виде.

 

***

 

Продолжение будет здесь:

 

http://www.natalimak1.narod.ru/preobraz2.htm

 

17 – 18 октября 2008 г.

г. Саратов

 

ДОБАВЛЕНИЕ (25 октября 2008 г):

 

На досуге я посмотрела, сколько пандиагональных квадратов 7-ого порядка содержится в группе, образуемой преобразованием “строки-диагонали”. Как уже сказано, программку для квадратов 7-ого порядка я не писала, поэтому действовала вручную. Но применяла не преобразование “строки-диагонали”, а обратное ему преобразование. Обратное преобразование применять очень просто, для досуга замечательное занятие (я, например, занималась этим во время рекламы по телевизору). Сейчас покажу подробно, как применять обратное преобразование, это годится для любого нечётного порядка n>3.

Конечно, преобразование можно применять, положив перед собой матрицу этого преобразования. А можно и без матрицы обойтись. Итак, на рис. 40 показан исходный идеальный квадрат 7-ого порядка (исходный квадрат может быть и не идеальным, а только пандиагональным).

 

Квадрат № 1

 

 

Рис. 40

 

Теперь показываю по шагам (рис. 41-47), как из этого квадрата получается новый пандиагональный квадрат применением преобразования обратного преобразованию “строки-диагонали”.

 

 

Рис. 41

 

Очевидно, что в первую строку записана главная диагональ исходного квадрата. Каждая следующая строка в новом квадрате начинается с числа, принадлежащего разломанной диагонали исходного квадрата, начинающейся с числа 1; вот эта диагональ: 1, 39, 35, 16, 12, 45, 27. А дальше строка заполняется из чисел, расположенных на диагонали, перпендикулярной данной разломанной диагонали. Смотрите на иллюстрации каждого шага, и вы всё поймёте. При достижении нижнего (правого) края квадрата надо продолжать диагональ с верхнего (левого) края квадрата, как если бы рядом с исходным квадратом были расположены его копии (как на магической плоскости).

 

 

Рис. 42

 

 

Рис. 43

 

 

Рис. 44

 

 

Рис. 45

 

 

Рис. 46

 

Квадрат № 2

 

 

Рис. 47

 

Вот таким образом я построила все 24 квадрата данной группы. Оказалось, что для квадратов 7-ого порядка, как и для квадратов 9-ого порядка, группа пандиагональных квадратов, образованная преобразованием “строки-диагонали”, состоит из 24 квадратов. Применив преобразование 24-ый раз, я получила исходный квадрат. Не буду показывать все 24 квадрата, читатели могут построить их сами. Покажу только два последних квадрата (рис. 48–49).

 

Квадрат № 23

 

 

Рис. 48

 

Квадрат № 24

 

 

Рис. 49

 

Понятно, что если мы теперь возьмём квадрат № 24 в качестве исходного и будем применять преобразование “строки-диагонали”, то получим в точности те же 24 квадрата (из квадрата № 24 получится квадрат № 23, из квадрата № 23 квадрат № 22 и так далее до квадрата №1).

 

А теперь, конечно, возникает вопрос: сколько пандиагональных квадратов будет в подобной группе для пандиагонального квадрата 11-ого порядка. На рис. 39 приведена матрица преобразования “строки-диагонали” для квадратов 11-ого порядка. Читатели могут взять любой пандиагональный квадрат 11-ого порядка и применять к нему преобразование с помощью этой матрицы до тех пор, пока не получится исходный квадрат. Конечно, для этого надо составить программку.

А можно поступить так, как сделала я для квадратов 7-ого порядка: применять обратное преобразование. Этим можно заниматься вручную в любую паузу, например, когда вы едете в электричке или стоите в длинной очереди. Вот вам исходный квадрат (рис. 50), а на рис. 51 – результат первого применения преобразования обратного преобразованию “строки-диагонали”. Продолжайте!

 

Квадрат № 1

 

 

Рис. 50

 

Квадрат № 2

 

 

Рис. 51

 

Напишите мне, сколько пандиагональных квадратов 11-ого порядка содержится в группе, образованной данным преобразованием, если, конечно, вы полностью составите такую группу. Для этого надо применять преобразование до тех пор, пока не получится исходный квадрат. Жду вашего решения!

 

Ваша Наталия Макарова

 

***

 

Читайте мою книгу “Волшебный мир магических квадратов”:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу