Макарова Н.

 

ПАНДИАГОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ ИЗ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ

 

 

Сначала приведу единственный, известный мне, пандиагональный квадрат из простых чисел. Это квадрат 6-го порядка, составлен он из последовательных простых чисел 67, 71, 73, …, 251, магическая константа квадрата равна 930. Смотрите этот замечательный квадрат на рис. 1.

 

 

Рис. 1

 

Этому квадрату посвящена последовательность A073523 в OEIS.

 

Далее представлены пандиагональные квадраты порядков 4 и 5, построенные мной. Квадрат 4-го порядка я построила по формуле Бергхольта (рис. 2). Магическая константа этого квадрата равна 240.

 

 

Рис. 2

 

Этот квадрат составлен не из последовательных простых чисел.

У меня есть другой алгоритм построения пандиагональных квадратов 4-го порядка, который тоже реализован.

 

Интересно отметить, что М. Алексеев (участник форума dxdy.ru) нашёл другой вариант наименьшего пандиагонального квадрата 4-го порядка, этот квадрат составлен из другого набора простых чисел; магическая константа квадрата также равна 240. Смотрите квадрат на рис. 2а.

 

 

Рис. 2а

 

О магических квадратах 4-го порядка из последовательных простых чисел мной написана статья в OEIS (см. A173981). Понятно, что пандиагональный квадрат надо искать только из тех массивов чисел, из которых составляется обычный магический квадрат. Кроме того, есть необходимое условие, которому должен удовлетворять потенциальный массив из 16 чисел, чтобы он был пригоден для построения пандиагонального квадрата 4-го порядка.

Это условие легко проверить даже без программы. Оно состоит в следующем: из 16 заданных чисел x₁, x₂, …, x₁₆ (x₁< x₂ < … < x₁₆) только тогда можно составить пандиагональный квадрат 4-го порядка, когда x₁ + x₁₆ = x₂ + x₁₅ = … = x₈ + x₉ = S/2, где S - магическая константа квадрата. Другими словами: потенциальный массив должен состоять из 8 пар комплементарных (взаимно дополнительных) чисел. Посмотрим, например, на массив, из чисел которого составлен пандиагональный квадрат, показанный на рис. 2:

 

7, 13, 17, 23, 31, 37, 41, 47, 73, 79, 83, 89, 97, 103, 107, 113

 

Имеем: 7 + 113 = 13 + 107 = 17 + 103 = 23 + 97 = 31 + 89 = 37 + 83 = 41 + 79 = 47 + 73 = 120.

 

Так вот, среди тех массивов, из которых составились магические квадраты, приведённые в статье OEIS, ни один массив не удовлетворяет указанному необходимому условию. Поэтому пандиагональные квадраты из чисел этих массивов не составляются. Значит, нужно искать пандиагональный квадрат 4-го порядка из последовательных простых чисел дальше, либо надо доказать, что такого квадрата не существует.

Думаю, что автор пандиагонального квадрата 6-го порядка из последовательных простых чисел пытался построить и пандиагональный квадрат 4-го порядка. Видимо, не получилось.

Интересный вопрос для исследования!

 

Перехожу к квадратам 5-го порядка. Сначала представлю пандиагональный квадрат, который построен мной в статье “Общие формулы магических квадратов” (рис. 3):

 

 

Рис. 3

 

Магическая константа равна 853. Простые числа, из которых составлен этот квадрат, образуют 5 арифметических прогрессий длины 5 с одинаковой разностью d = 30. Первые члены этих прогрессий: 7, 11, 107, 151, 277. Подробно можно посмотреть в указанной выше статье.

 

Пандиагональные квадраты 5-го порядка можно построить также из простых чисел, образующих арифметическую прогрессию длины 25. Пример такого квадрата есть в указанной статье. Но магические константы таких квадратов очень большие. Так что, квадрат, показанный на рис. 3, пока с минимальной магической константой. Есть ли пандиагональный квадрат из простых чисел  с меньшей магической константой? Хорошая задача!

 

Для решения этой задачи я составила две программы, в них реализованы полученные мной формулы пандиагонального квадрата 5-го порядка. Первая формула представлена в статье “Общие формулы магических квадратов”. В этой формуле 12 независимых переменных и 13 зависимых переменных. Если учесть, что элемент в левой верхней ячейке квадрата можно не варьировать (из-за изоморфизма, связанного с параллельным переносом на торе), то независимых переменных остаётся 11. Все эти 11 переменных должны принять значения, равные 24 числам массива (одно число зафиксировано в левой верхней ячейке квадрата). Программа на основе этой формулы выполняется очень долго. Я даже попросила S. Tognon переписать её на C++ , но и на этом языке программа выполняется медленно. Например, за 4 часа работы программа не нашла ни одного классического пандиагонального квадрата.

 

В это время на форуме dxdy.ru была выложена формула пандиагонального квадрата 5-го порядка типа 8+17, то есть в этой формуле 8 независимых переменных и 17 зависимых. Посмотрев на эту формулу, я вспомнила, что в 2007 г., работая над построением классических пандиагональных квадратов 5-го порядка, получила аналогичную формулу. Эту формулу можно посмотреть в статье “Пандиагональные квадраты пятого порядка”:

http://www.klassikpoez.narod.ru/pan5.htm

 

Формула была получена очень просто: составлена система 20 линейных уравнений с 20 неизвестными, в этих уравнениях записаны условия магичности и пандиагональности квадрата. Эта система решена в пакете Maple.

Конечно, сразу реализовала эту формулу. Программу написала сначала на QBASIC, а потом переписала её на C++, по образцу предыдущей программы (Стефано прислал мне её текст). Отправила Стефану текст и попросила скомпилировать. Он сразу же прислал мне исполняемую программу. Программа получилась очень хорошая. Работает в сотни раз быстрее предыдущей версии. Первый классический пандиагональный квадрат найден практически мгновенно. Вы видите этот квадрат на рис. 4.

 

 

Рис. 4

 

Однако результатов для квадратов из простых чисел пока нет. Я проверила 100 потенциальных массивов из последовательных простых чисел, ни один из них не дал пандиагонального квадрата. Проверила и оба варианта наименьшего квадрата из произвольных простых чисел с магической константой 233, пандиагонального квадрата тоже нет.

 

Один из путей дальнейших поисков пандиагонального квадрата 5-го порядка из произвольных простых чисел такой. Возьмём простые числа: 3, 5, 7, …, 383, 389, 397. Среди этих чисел находятся простые числа, из которых составлен квадрат, показанный на рис. 3.

Теперь надо составить из чисел этого массива все наборы по 25 различных чисел так, что:

1. сумма всех 25 чисел (обозначим её Z) кратна 5;

2. S = Z/5,  S < 853.

 

А затем каждый такой набор из 25 различных простых чисел проверить по программе на предмет составления из этих чисел пандиагонального квадрата. Однако найти все такие наборы из 25 чисел, наверное, сложно. Я пока не вижу простого решения этой задачи.

Попробовала генерировать такие наборы случайным образом (с использованием функции случайных чисел). Наборов генерируется очень много. Вот, например, 10 сгенерированных программой наборов, удовлетворяющих указанным выше условиям:

 

 3  139  233  257  109  151  71  149  31  163  223  103  263  7  23  269  283  79  61  19  181  137  271  307  353

 3  211  137  97  331  367  109  193  73  59  131  53  307  79  113  23  17  239  317  233  37  277  89  167  383

 5  17  113  83  199  271  149  293  59  41  103  239  349  107  359  89  47  19  383  13  277  7  223  101  389

 3  47  179  173  191  19  151  113  211  67  17  229  331  109  349  137  83  79  107  61  73  127  251  149  359

 3  167  37  53  131  283  89  271  197  23  97  109  13  11  293  139  257  67  263  73  227  211  353  151  367

 7  109  181  151  107  89  227  103  13  263  367  173  67  163  53  197  379  191  47  79  29  353  11  167  389

 3  307  167  313  227  131  311  73  23  251  199  163  67  293  17  19  107  317  13  53  173  61  7  149  331

 5  149  157  137  139  71  281  313  47  257  131  223  53  103  79  23  37  353  173  19  269  17  359  41  389

 3  61  23  127  71  41  239  109  149  167  29  11  89  7  283  73  97  241  313  83  331  311  181  223  373

 3  43  179  71  263  257  31  281  283  103  11  367  13  37  223  157  67  227  5  193  109  293  149  97  383

 

Наборы генерируются очень быстро. Я уже проверила две такие порции по 10 наборов, но пандиагональный квадрат не получила.

 

Теперь надо бы организовать одну программу, которая будет генерировать массив из 25 чисел и сразу же проверять его. Но я не могу добавить в имеющуюся у меня программу проверки блок генерации массива.

 

Поэтому пока откладываю решение этой задачи и, как всегда, предлагаю её читателям. Ещё раз сформулирую задачу:

 

 

Ещё раз напомню, что нижняя и верхняя границы для магической константы из произвольных простых чисел известны: нижняя – 233, верхняя – 853, то есть магическая константа S искомого наименьшего пандиагонального квадрата 5-го порядка из произвольных простых чисел 233 < S < 853.

Для магической константы квадрата из последовательных простых чисел известна только нижняя граница: 313; магическая константа наименьшего магического квадрата 5-го порядка из последовательных простых чисел равна 313.

Как уже отмечено, проверены 100 потенциальных массивов из последовательных простых чисел, последний проверенный массив: 3559, 3571, …, 3761.  Пандиагональный квадрат не найден.

Для проверки массивов из последовательных простых чисел тоже надо сделать “конвейерную” программу, чтобы потенциальный массив находился и сразу же проверялся. Проверять по одному массиву очень неудобно.

 

Желающим заняться решением этой задачи могу выслать программу проверки массива из 25 чисел на предмет построения пандиагонального квадрата 5-го порядка. У меня есть и текст программы на C++, и исполняемая программа.

 

Напомню, что сформулированная выше задача остаётся и для квадратов 4-го порядка, но только из последовательных простых чисел. Из произвольных простых чисел наименьший пандиагональный квадрат 4-го порядка мной построен (см. рис. 2).

 

В заключение покажу два идеальных магических квадрата 5-го порядка, составленные из простых чисел, образующих арифметические прогрессии длиной 25 (рис. 5 – 6). Эти квадраты не только пандиагональные, но и ассоциативные. Квадраты скопированы из моей статьи “Нетрадиционные магические квадраты из простых чисел”.

 

 

Рис. 5

 

 

Рис. 6

 

Арифметические прогрессии длины 25 из простых чисел взяты с сайта, на котором выложены все прогрессии из простых чисел:

http://users.cybercity.dk/~dsl522332/math/aprecords.htm

 

 

 

Рис. 7

 

Рис. 8

 

Читайте мою виртуальную книгу “Волшебный мир магических квадратов”:

 

http://narod.ru/disk/5834353000/Magic_squares.pdf.html

 

Для тех, кто хочет познакомиться с магическими кубами:

 

http://www.natalimak1.narod.ru/kuby.htm

 

 

30 апреля – 13 мая 2010 г.

г. Саратов

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу