Н. Макарова

 

НЕТРАДИЦИОННЫЕ ПАНДИАГОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ

 

Часть IX

 

 

В этой статье рассматриваются алгоритмы построения пандиагональных квадратов порядков 17 – 18.

Классический пандиагональный квадрат 17-го порядка построить очень просто, поэтому не останавливаюсь на методах построения таких квадратов. Читатели могут найти эти методы в моих ранних статьях.

Несложно построить и нетрадиционный пандиагональный квадрат 17-го порядка из произвольных натуральных чисел. Поэтому сразу перехожу к построению пандиагональных квадратов из простых чисел. Здесь, конечно, самый доступный метод – использование примитивного квадрата по Россеру. Однако составить примитивный квадрат 17-го порядка из различных простых чисел не так просто. Мной разработан алгоритм смешанного достраивания, с помощью которого удалось построить примитивные квадраты порядков 11 и 13 из простых чисел. Для порядка 17 я задачу не решала.

Можно также попробовать такой способ: взять один из известных примитивных квадратов 13-го порядка (см. одну из предыдущих статей настоящего цикла) и применить к нему процедуру чистого достраивания. Надо достроить 4 строки и 4 столбца по закону примитивного квадрата. Если выполнять достраивание с использованием произвольных натуральных чисел, то никаких проблем: достраивание выполняется элементарно. Но если наложить требование, чтобы все числа были простыми и различными, задача превращается в очень сложную.

Теоретически пандиагональный квадрат 17-го порядка из простых чисел существует.

Предлагаю читателям попробовать решить эту задачу. Можно, наверное, придумать другие алгоритмы построения такого квадрата.

 

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ПАНДИАГОНАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ 18-го ПОРЯДКА

 

Классических пандиагональных квадратов 18-го порядка не существует.

Первый нетрадиционный идеальный квадрат 18-го порядка был построен мной в статье [1]. Это построение выполнено методом латинских квадратов, латинские квадраты ортогональной пары обобщённые. Покажу здесь эту ортогональную пару. На рис. 1 вы видите первый обобщённый латинский квадрат.

 

 

Рис. 1. Обобщённый латинский квадрат 18-го порядка

 

Второй латинский квадрат получается из первого поворотом вокруг центра на 90 градусов по часовой стрелке. Оба латинских квадрата обладают свойствами ассоциативности и пандиагональности, необходимыми для построения идеального квадрата.

Нетрадиционный идеальный квадрат составляется по следующей формуле:

 

c_ij = m*a_ij + b_ij + 1, где

 

a_ij – элементы первого латинского квадрата, b_ij – соответствующие элементы второго латинского квадрата, c_ij – элементы идеального квадрата, m – натуральный множитель ≥ 21.

 

На рис. 2 показан идеальный квадрат, построенный при m = 21.

 

 

Рис. 2. Нетрадиционный идеальный квадрат 18-го порядка (S = 3978)

 

Если применить к этому идеальному квадрату преобразование 3-х квадратов, получится нетрадиционный совершенный квадрат 18-го порядка (рис. 3).

 

 

Рис. 2. Нетрадиционный совершенный квадрат 18-го порядка (S = 3978)

 

К сожалению, к построению пандиагональных квадратов 18-го порядка из простых чисел и из чисел Смита данный алгоритм применить невозможно, так как нет нужных для этого арифметических прогрессий длины 21.

Здесь самым доступным является построение по решёткам Россера. Надо найти девять пандиагональных квадратов 6-го порядка с одинаковой магической константой из различных простых чисел и расположить эти квадраты в матрице 18х18 по решёткам Россера. Мне удалось найти девять нужных пандиагональных квадратов 6-го порядка с магической константой 18018 (см. в [2]). На рис. 4 показан пандиагональный квадрат 18-го порядка из простых чисел, построенный из этих квадратов 6-го порядка. Магическая константа квадрата равна 54054. Это единственный известный на сегодня пандиагональный квадрат 18-го порядка из различных простых чисел.

 

 

Рис. 4. Пандиагональный квадрат 18-го порядка из простых чисел (S = 54054)

 

Можно также найти четыре пандиагональных квадрата 9-го порядка с одинаковой магической константой и расположить их по другим решёткам Россера. Однако построение пандиагональных квадратов 9-го порядка – очень сложная задача.

 

Покажу построение идеального квадрата 18-го порядка из простых чисел с повторением. Это построение выполнено с помощью идеального квадрат 9-го порядка из простых чисел (автор квадрата А. Чернов), который показан на рис. 5.

 

 

Рис. 5. Идеальный квадрат 9-го порядка из простых чисел А. Чернова (S = 24237)

 

На рис. 6 вы видите идеальный квадрат 18-го порядка. Каждое число повторено в этом квадрате четыре раза.

 

 

Рис. 6. Идеальный квадрат 18-го порядка из простых чисел с повторениями (S = 48474)

 

В заключение покажу метод составных квадратов. Этим методом мы можем построить ассоциативный составной квадрат 18-го порядка. Затем превратим его в пандиагональный преобразованием 3-х квадратов.

В качестве базового возьмём классический квадрат 3-го порядка (рис. 7), а в качестве основного -  ассоциативный квадрат 6-го порядка из простых чисел (рис. 8).

 

 

Рис. 7

 

 

Рис. 8

 

На рис. 9 показан готовый составной ассоциативный квадрат 18-го порядка. В формуле для построения составного квадрата использован множитель 210.

 

 

Рис. 9. Составной ассоциативный квадрат 18-го порядка (S = 17010)

 

Применив к этому ассоциативному квадрату преобразование 3-х квадратов, получим следующий составной пандиагональный квадрат (рис. 10):

 

 

Рис. 10. Пандиагональный квадрат 18-го порядка (S = 17010)

 

К сожалению, метод составных квадратов пригоден только для построения ассоциативных и пандиагональных квадратов 18-го порядка из произвольных натуральных чисел.

 

Ещё отмечу, что построение классических магических квадратов 18-го порядка тоже задача непростая, так как этот порядок принадлежит серии порядков n = 4k + 2. Здесь можно использовать разработанный мной метод (см. [3]). Интересен также метод сотовых квадратов. Этот метод я нашла в [4] и существенно доработала.

На рис. 11 показан сотовый квадрат 18-го порядка, построенный в [5].

 

 

Рис. 11. Классический сотовый квадрат 18-го порядка (S = 2925)

 

 

Продолжение следует

 

 

Литература и веб-страницы

 

1. Метод построения нетрадиционных идеальных квадратов порядка n = 4k + 2. http://www.natalimak1.narod.ru/netradic1.htm

            2. Построение пандиагональных квадратов по решёткам Россера. http://www.natalimak1.narod.ru/algros1.htm

3. Метод построения магических квадратов чётно-нечётного порядка. http://www.klassikpoez.narod.ru/mojmetod.htm

            4. Ю. В. Чебраков. Магические квадраты. Алгебра, теория чисел, комбинаторный анализ. – С.–Петербург, 1995.

            5. Методы построения магических квадратов (часть VI). http://www.natalimak1.narod.ru/metody6.htm

 

 

4 июля 2011 г.

г. Саратов

 

На главную страницу сайта:

http://www.klassikpoez.narod.ru/index.htm

 

На главную страницу раздела «Волшебный мир магических квадратов»:

http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm

 

 

Контакты

natalimak1@yandex.ru

QIP 571-379-327