Н. Макарова

 

НЕТРАДИЦИОННЫЕ ПАНДИАГОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ

 

Часть VIII

 

 

В этой статье цикла рассматриваются методы построения пандиагональных квадратов 15 – 16 порядков. Для этих порядков существуют и классические, и нетрадиционные пандиагональные квадраты, а также идеальные квадраты. Для порядка 16 существуют ещё совершенные квадраты, как классические, так и нетрадиционные.

 

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ПАНДИАГОНАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ 15-го ПОРЯДКА

 

 

Порядок 15, как и порядок 9, очень сложный, в том смысле, что построение классических пандиагональных квадратов данных порядков не тривиальная задача, как например, для порядков, являющихся простым числом. Мне так и не удавалось построить классический пандиагональный квадрат 15-го порядка без помощи Сети. Только найдя в Сети ряд примеров, я смогла разработать свой метод качелей.

Приведу здесь несколько интересных, на мой взгляд, методов построения классических пандиагональных квадратов 15-го порядка. Первый пример взят из сборника статей «Анатомия магических квадратов» ([1]). Это метод латинских квадратов, но латинские квадраты ортогональной пары не классические, а обобщённые. Оба латинских квадрата обладают свойствами ассоциативности и пандиагональности, необходимыми для построения идеального магического квадрата. Очевидно, что второй латинский квадрат получается из первого отражением относительно главной диагонали. Смотрите иллюстрацию.

 

 

На иллюстрации вы видите две формулы для построения идеального магического квадрата. На рис. 1 показан идеальный квадрат, построенный по формуле: A + 15B + 1. Единица добавлена, чтобы идеальный квадрат был записан в традиционной форме (заполнен числами от 1 до 225).

 

 

Рис. 1

 

В квадрате оригинальная начальная цепочка, она вся расположена в левой трети квадрата.

 

Далее покажу пример пандиагонального квадрата, найденный мной в Сети по ссылке:

http://www.magic-squares.de/construction/pandiagonal/odd-3k.html 

Автор квадрата Хендрикс. По этой ссылке я нашла много пандиагональных квадратов (см. [2]). Один из этих квадратов вы видите на рис. 2.

 

 

 

Рис. 2

 

В этом квадрате классическая начальная цепочка “ход конём”.

Я разложила этот пандиагональный квадрат на два ортогональных латинских квадрата, чтобы посмотреть на эту ортогональную пару. На рис. 3 показан первый латинский квадрат ортогональной пары. Этот латинский квадрат классический, но… не диагональный! На одной главной диагонали числа повторяются, однако сумма чисел этой диагонали равна магической константе латинского квадрата – 105.

 

 

Рис. 3

 

Интересно строится этот латинский квадрат – методом циклического сдвига с постоянным шагом. Второй латинский квадрат ортогональной пары получается из первого перестановкой строк, эквивалентной параллельному переносу на торе. Оба латинских квадрата обладают свойством пандиагональности. На рис. 4 показан второй латинский квадрат данной ортогональной пары.

 

 

Рис. 4

 

Этот латинский квадрат тоже не диагональный, в одной главной диагонали числа повторяются, но сумма чисел равна 105.

На рис. 5 представлен второй пандиагональный квадрат, построенный из этой ортогональной пары квадратов (первый – это квадрат Хендрикса, показанный на рис. 2). Этот квадрат получается, если поменять латинские квадраты местами в формуле для построения пандиагонального квадрата.

 

 

Рис. 5

 

В этом квадрате тоже классическая начальная цепочка “ход конём”. Более того, квадрат эквивалентен квадрату Хендрикса.

 

Следующий метод построения идеальных квадратов 15-го порядка из обратимых квадратов. Метод разработан мной (см. [3]). На рис. 6 показан обратимый квадрат 15-го порядка:

 

 

Рис. 6

 

Обратимый квадрат строится по определённой схеме. Отмечу, что его можно получить из самого простого обратимого квадрата 15х15 перестановкой строк и столбцов по одной и той же схеме.

Затем к этому квадрату применяется матричное преобразование и получается идеальный квадрат (рис. 7):

 

 

Рис. 7

 

Далее, конечно, очень интересен метод построения классического пандиагонального квадрата, приведённый в статье Россера ([7]). Это теорема 5.5, случай 3. Метод работает для порядков n = 3m, m ≥ 3 и нечётно. В одной из предыдущих статей цикла показано построение этим методом классического пандиагонального квадрата 9-го порядка. Для порядка 15 всё аналогично. Покажу применение метода более подробно. Сначала из чисел 0, 1, …, 14 составляется прямоугольник 5х3 так, что сумма чисел в каждом столбце равна одному и тому же числу. Этот прямоугольник показан на рис. 8.

 

 

Рис. 8

 

Далее пронумеруем числа этого прямоугольника в естественном порядке, начиная с левой верхней ячейки, построчно. Составляем примитивный квадрат 15х15 по следующей формуле:

 

A(i,j) = 15a_i + a_j + 1, где

 

a_k – элемент с номером k в прямоугольнике с рис. 8.

Построенный таким образом примитивный квадрат показан на рис. 9.

 

 

Рис. 9

 

Следует отметить, что этот примитивный квадрат не является обратимым, хотя и составлен из чисел 1, 2, …, 225; он не обладает свойством ассоциативности, которым обладает любой обратимый квадрат (см. рис. 6).

Теперь применяем к построенному примитивному квадрату преобразование, заданное формулой:

 

A(i,j) = B(i+j,2i+3j),

 

где A(i,j) – элементы примитивного квадрата, B(i+j,2i+3j) – элементы пандиагонального квадрата. Индексы берутся по модулю 15.

 

На рис. 10 вы видите готовый пандиагональный квадрат.

 

 

Рис. 10

 

В этом пандиагональном квадрате начальная цепочка тоже составляется буквой Г, но с удлинённой стороной (не шахматная буква Г).

 

Отмечу ещё один интересный момент: примитивный квадрат 15х15 Россера очень просто получается из самого простого обратимого квадрата 15х15 перестановкой строк и столбцов по одной и той же схеме. Схема такая: в первой тройке без изменения - 1, 2, 3; во второй тройке – 3, 1, 2; в третьей тройке – 2, 3, 1; в четвёртой тройке – 3, 1, 2; в пятой тройке – 1, 3, 2.

 

На этом завершаю рассказ о методах построения классических пандиагональных квадратов 15-го порядка и перехожу к нетрадиционным пандиагональным квадратам.

 

Построить нетрадиционный пандиагональный квадрат 15-го порядка из произвольных натуральных чисел очень просто. Возьмём 15 арифметических прогрессий длины 15 с одинаковой разностью, первые члены которых тоже образуют арифметическую прогрессию. Запишем эти прогрессии в матрицу 15х15, получим такой примитивный квадрат (рис. 11).

 

 

Рис. 11

 

Теперь надо переставить в этом примитивном квадрате строки и столбцы так, чтобы получить аналог обратимого квадрата, изображённого на рис. 6, или аналог примитивного квадрата, построенного по Россеру (рис. 9). Затем к аналогу первого примитивного квадрата надо применить моё матричное преобразование, получим нетрадиционный идеальный квадрат; а ко второму квадрату применить преобразование Россера, получим нетрадиционный пандиагональный квадрат. Покажу построение пандиагонального квадрата.

Переставляем в квадрате с рис. 11 сначала столбцы по указанной выше схеме, получаем такой примитивный квадрат (рис. 12):

 

 

Рис. 12

 

Теперь переставим строки в полученном квадрате по той же схеме, результатом будет такой примитивный квадрат (рис. 13):

 

 

Рис. 13

 

Примитивный квадрат готов. Осталось применить к нему преобразование Россера, и на рис. 14 вы видите готовый нетрадиционный пандиагональный квадрат 15-го порядка.

 

 

Рис. 14

 

Обозначим: a – первый член первой арифметической прогрессии длины 15; b - разность прогрессий длины 15; c – разность арифметической прогрессии, образуемой первыми членами прогрессий длины 15. Тогда магическая константа пандиагонального квадрата, построенного из чисел этих арифметических прогрессий вычисляется по следующей формуле:

 

S = 15(a + 7b + 7c)

 

В приведённом примере имеем: a = 5, b = 5, c = 72, S = 15*(5 + 35 + 504) = 8160.

Предлагаю читателям построить нетрадиционный идеальный квадрат из чисел приведённых арифметических прогрессий. Выше я пояснила, как это сделать.

 

Нетрадиционный пандиагональный квадрат 15-го порядка из произвольных натуральных чисел можно построить также методом латинских квадратов. Для этого достаточно взять ортогональную пару латинских квадратов, например, ту, которая получена разложением пандиагонального квадрата Хендрикса (см. рис. 3 – 4), и использовать в формуле для построения пандиагонального квадрата вместо множителя 15 любой другой множитель больше 15. На рис. 15 показан пандиагональный квадрат, построенный из этой ортогональной пары с множителем равным 20.

 

 

Рис. 15

 

Переходим к построению пандиагональных квадратов 15-го порядка из простых чисел. Тут самый простой способ – построение по решёткам Россера. Надо найти девять пандиагональных квадратов 5-го порядка с одинаковой магической константой и составленных из различных чисел. Мне удалось найти такие квадраты. На рис. 16 показан пандиагональный квадрат 15-го порядка из простых чисел, составленный по решёткам Россера из найденных мной пандиагональных квадратов 5-го порядка с магической константой 6077. Магическая константа пандиагонального квадрата 15-го порядка равна 6077*3 = 18231. Это пока единственный известный мне пандиагональный квадрат 15-го порядка из различных простых чисел.

 

 

Рис. 16. Пандиагональный квадрат 15-го порядка из простых чисел (S = 18231)

 

Из чисел Смита найти девять пандиагональных квадратов 5-го порядка с одинаковой магической константой и составленные из различных чисел – сложная задача. Поэтому пока можно составить пандиагональный квадрат 15-го порядка из чисел Смита только с повторениями чисел. Для этого надо взять любой пандиагональный квадрат 5-го порядка и записать в решётки Россера его эквивалентные варианты либо просто копии. Каждое число будет повторено в квадрате 15-го порядка девять раз.

 

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ПАНДИАГОНАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ 16-го ПОРЯДКА

 

Построить классические пандиагональные квадраты 16-го порядка очень просто, поэтому не буду останавливаться на классических квадратах. Сразу перехожу к нетрадиционным пандиагональным квадратам. Из произвольных натуральных чисел тоже просто построить нетрадиционные пандиагональные квадраты. Рассмотрим построение нетрадиционных пандиагональных квадратов из простых чисел и из чисел Смита. Самый простой метод построения таких квадратов -  по решёткам Россера. Надо найти 16 пандиагональных квадратов 4-го порядка с одинаковой магической константой и составленных из различных чисел. Из простых чисел я нашла 19 пандиагональных квадратов 4-го порядка с магической константой 12012. Эти квадраты построены из набора комплементарных пар чисел с константой комплементарности 6006 (195 пар) (подробно см. в [4]).

На рис. 17 показан пандиагональный квадрат 16-го порядка, построенный из найденных пандиагональных квадратов 4-го порядка по решёткам Россера. Магическая константа этого квадрата равна 12012*4 = 48048. Это единственный известный на сегодня пандиагональный квадрат 16-го порядка из различных простых чисел.

 

 

Рис. 17. Пандиагональный квадрат 16-го порядка из простых чисел (S = 48048)

 

Из чисел Смита мне не удалось найти 16 пандиагональных квадратов 4-го порядка, нашла только 14 квадратов. Предлагаю эту задачу читателям.

 

Интересно отметить, что для нетрадиционных пандиагональных квадратов работает метод составных квадратов. Если строить этим методом нетрадиционные пандиагональные квадраты из произвольных натуральных чисел, то никаких проблем не возникает. К сожалению, метод не обеспечивает того, чтобы все числа в составном квадрате были простыми или смитами.

Приведу пример применения этого метода. Выберем в качестве базового классический пандиагональный квадрат 4-го порядка, изображённый на рис. 18, а в качестве основного – пандиагональный квадрат 4-го порядка из простых чисел (рис. 19).

 

 

Рис. 18

 

 

Рис. 19

 

На рис. 20 вы видите составной пандиагональный квадрат 16-го порядка. В качестве множителя в формуле для построения составного квадрата я использовала 210.

 

 

Рис. 20

 

Можно построить и нетрадиционный совершенный квадрат 16-го порядка из произвольных натуральных чисел. Достаточно взять 16 арифметических прогрессий длины 16 с одинаковой разностью такие, что первые члены этих прогрессий тоже образуют арифметическую прогрессию, составить из этих прогрессий примитивный квадрат 16х16, который будет аналогом обратимого квадрата, и применить к этому примитивному квадрату матричное преобразование, которое составлено мной для превращения обратимых квадратов в классические совершенные квадраты (см. [5]).

 

Пример.

На рис. 21 вы видите примитивный квадрат 16х16, составленный из 16 арифметических прогрессий указанного вида.

 

 

Рис. 21

 

Продублирую матричное преобразование (рис. 22), превращающее любой обратимый квадрат порядка n = 4k в совершенный квадрат (из [5]):

 

 

Рис. 22

 

В [5] приведена программа, которая строит классические совершенные квадраты из самого простого обратимого квадрата. Читателям предлагается самостоятельно записать преобразование для порядка n = 16, понятно, что в этом случае k = 4.

 

Применим это преобразование к примитивному квадрату с рис. 21, который является аналогом самого простого обратимого квадрата. В результате получим такой нетрадиционный совершенный квадрат 16-го порядка (рис. 23):

 

 

Рис. 23

 

К сожалению, из простых чисел совершенный квадрат 16-го порядка построить очень сложно. Мне удалось построить совершенные квадраты из простых чисел только порядков, 4, 6, 8 (см. [6]).

Предлагаю читателям эту сложную задачу, причём построение надо начать с совершенного квадрата 10-го порядка.

А из чисел Смита найден совершенный квадрат только порядка 4. Здесь очень много ещё надо работать.

 

В заключение покажу ещё один очень интересный идеальный классический квадрат 16-го порядка – сотовый квадрат (рис. 24) (см. [8]):

 

 

Рис. 24

 

А теперь возьмём примитивный квадрат с рис. 21 и из чисел этого квадрата составим нетрадиционный идеальный сотовый квадрат 16-го порядка. Читатели уже догадываются, как это сделать. Надо пронумеровать числа в примитивном квадрате в естественном порядке и заполнить матрицу 16х16 в соответствии с идеальным квадратом с рис. 24, числа в этом идеальном квадрате есть номера чисел в примитивном квадрате. На рис. 25 вы видите готовый нетрадиционный идеальный сотовый квадрат 16-го порядка.

 

 

Рис. 25

 

Продолжение следует

 

 

Литература и веб-страницы

 

1. Сборник статей «Анатомия магических квадратов» (на английском языке).

 http://narod.ru/disk/23687981000/anatomy_of_magic_squares.rar.html

2. Пандиагональные квадраты пятнадцатого порядка. http://www.klassikpoez.narod.ru/ideal15.htm

3. Построение идеальных квадратов нечётного порядка из обратимых квадратов. http://www.klassikpoez.narod.ru/obratid.htm

4. Нетрадиционные пандиагональные квадраты порядков 8, 12, 16. http://www.natalimak1.narod.ru/kompl556.htm

5. Совершенные магические квадраты (часть III). http://www.klassikpoez.narod.ru/soversh2.htm

6. Нетрадиционные совершенные квадраты. http://www.natalimak1.narod.ru/sovnetr.htm

7. THE ALGEBRAIC THEORY OF DIABOLIC MAGIG SQUARES. By Barkley Rosser and R. J. Walker

http://narod.ru/disk/23700701000/Rosser1939.rar.html

Примечание: статья переведена на русский язык С. В. Беляевым. Перевод здесь: http://svb.hut.ru/DOWN/Rosser_ru.pdf

8. Сотовые магические квадраты (часть III). http://www.natalimak1.narod.ru/sotov2.htm

 

 

23 – 28 июня 2011 г.

г. Саратов

 

 

 

На главную страницу сайта:

http://www.klassikpoez.narod.ru.index.htm

 

На главную страницу раздела «Волшебный мир магических квадратов»:

http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm

 

 

Контакты

natalimak1@yandex.ru

QIP 571-379-327