Н. Макарова

 

НЕТРАДИЦИОННЫЕ ПАНДИАГОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ

 

Часть VII

 

 

В предыдущей статье данного цикла описаны методы построения пандиагональных квадратов порядков 11 и 12. В этой части рассмотрим методы построения пандиагональных квадратов 13 – 14 порядков.

 

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ПАНДИАГОНАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ 13-го ПОРЯДКА

 

Как всегда, начну с классических пандиагональных квадратов. Покажу только один метод – метод латинских квадратов. Для построения требуется пара ортогональных диагональных латинских квадратов, обладающих свойством пандиагональности. Первую такую пару покажу из сборника статей «Анатомия магических квдаратов» ([1]). Смотрите иллюстрацию из сборника.

 

 

На рисунке очевидна опечатка, в латинском квадрате А в левой нижней ячейке должно быть число 10.

Второй латинский квадрат (В) получается из первого латинского квадрата (А) отражением относительно главной диагонали.

Эти латинские квадраты обладают не только свойством пандиагональности, но и свойством ассоциативности. Поэтому построенный из них магический квадрат является идеальным. Вы видите этот квадрат на рис. 1. Квадрат построен по первой формуле: A + 13B + 1. Единичка добавлена, чтобы магический квадрат был записан в традиционной форме, то есть заполнен числами от 1 до 169.

 

 

Рис. 1

 

В квадрате выделена начальная цепочка, она весьма оригинальна – буквой Г, но с очень длинной стороной.

А теперь покажу построение по моей схеме (подробно см. в [2]). Первый диагональный латинский квадрат ортогональной пары вы видите на рис. 2.

 

 

Рис. 2

 

Второй латинский квадрат, ортогональный приведённому на рис. 2 квадрату, получается из него отражением относительно горизонтальной оси симметрии. Эти латинские квадраты тоже обладают свойствами пандиагональности и ассоциативности. На рис. 3 показан классический идеальный квадрат, построенный из этой пары ортогональных диагональных латинских квадратов.

 

 

Рис. 3

 

В этом идеальном квадрате классическая начальная цепочка “ход конём”, то есть буква Г нормальная, какая и должна быть при ходе шахматного коня.

 

Перехожу к методам построения нетрадиционных пандиагональных квадратов. Из произвольных натуральных чисел построить пандиагональный квадрат 13-го порядка очень просто. Не буду останавливаться на этом. А вот из простых чисел или из чисел Смита построить такой квадрат довольно сложно. Конечно, применяем метод Россера – использование примитивного квадрата. Примитивный квадрат 13х13 из простых чисел мне удалось построить методом смешанного достраивания (об этом методе сказано в предыдущей части статьи). Не сразу у меня получился примитивный квадрат 13х13. Для выборки из матрицы nxm квадрата, состоящего из простых чисел, на форуме dxdy.ru участник EtCetera сделал специальную программу (см. [3]).

Замечу, что для порядка 11 мне удалось сделать выборку квадрата из матрицы вручную.

 

Я построила много матриц, но сначала удавалось выделить только примитивные прямоугольники 12х13 и 13х12.

Первый примитивный прямоугольник 13х12 (первое число – количество строк, второе число – количество столбцов в прямоугольнике):

 

823  1109  3203  5003  5623  6793  9209  26479  50789  63443  852689  1154819

991  1277  3371  5171  5791  6961  9377  26647  50957  63611  852857  1154987

1237  1523  3617  5417  6037  7207  9623  26893  51203  63857  853103  1155233

5857  6143  8237  10037  10657  11827  14243  31513  55823  68477  857723  1159853

7753  8039  10133  11933  12553  13723  16139  33409  57719  70373  859619  1161749

8713  8999  11093  12893  13513  14683  17099  34369  58679  71333  860579  1162709

12241  12527  14621  16421  17041  18211  20627  37897  62207  74861  864107  1166237

17203  17489  19583  21383  22003  23173  25589  42859  67169  79823  869069  1171199

34381  34667  36761  38561  39181  40351  42767  60037  84347  97001  886247  1188377

160591  160877  162971  164771  165391  166561  168977  186247  210557  223211  1012457  1314587

493693  493979  496073  497873  498493  499663  502079  519349  543659  556313  1345559  1647689

623431  623717  625811  627611  628231  629401  631817  649087  673397  686051  1475297  1777427

843757  844043  846137  847937  848557  849727  852143  869413  893723  906377  1695623  1997753

 

Мне удалось получить при чистом достраивании этого прямоугольника два столбца, в которых только одно число не простое:

 

479209  479377  479623  484243  486139  487099  490627  495589  512767  638977  972079  1101817  1322143

1541963  1542131  1542377  1546997  1548893  1549853  1553381  1558343  1575521  1701731  2034833  2164571  2384897

 

Не простые числа выделены красным цветом.

Таким образом, получено два примитивных квадрата 13х13, в которых только одно число не простое. Это было первое приближение к искомому квадрату.

Опубликовала этот результат на форуме dxdy.ru. М. Алексеев сразу же выполнил достраивание этого примитивного прямоугольника, его 13-й столбец состоит полностью из простых чисел (рис. 4):

 

 

Рис. 4

 

Применяем к этому примитивному квадрату преобразование Россера и получаем такой пандиагональный квадрат (рис. 5):

 

 

Рис. 5

 

Магическая константа этого квадрата равна 179870403.

 

Примечание: преобразование применяется такое: A(i,j) = B(3i+2j,2i+j).

 

Второй примитивный прямоугольник 12х13:

 

823 1109 3203 5003 5623 6793 9209 26479 50789 63443 479209 852689 1154819

991 1277 3371 5171 5791 6961 9377 26647 50957 63611 479377 852857 1154987

1237 1523 3617 5417 6037 7207 9623 26893 51203 63857 479623 853103 1155233

5857 6143 8237 10037 10657 11827 14243 31513 55823 68477 484243 857723 1159853

7753 8039 10133 11933 12553 13723 16139 33409 57719 70373 486139 859619 1161749

8713 8999 11093 12893 13513 14683 17099 34369 58679 71333 487099 860579 1162709

12241 12527 14621 16421 17041 18211 20627 37897 62207 74861 490627 864107 1166237

17203 17489 19583 21383 22003 23173 25589 42859 67169 79823 495589 869069 1171199

34381 34667 36761 38561 39181 40351 42767 60037 84347 97001 512767 886247 1188377

160591 160877 162971 164771 165391 166561 168977 186247 210557 223211 638977 1012457 1314587

493693 493979 496073 497873 498493 499663 502079 519349 543659 556313 972079 1345559 1647689

843757 844043 846137 847937 848557 849727 852143 869413 893723 906377 1322143 1695623 1997753

 

Этот прямоугольник тоже достроен М. Алексеевым, вот полученная им 13-ая строка:

 

96059563, 96059849, 96061943, 96063743, 96064363, 96065533, 96067949, 96085219, 96109529, 96122183, 96537949, 96911429, 97213559

 

Добавив эту строку к прямоугольнику, получаем следующий примитивный квадрат 13х13 (рис. 6):

 

 

Рис. 6

 

Применив преобразование, получим новый пандиагональный квадрат 13-го порядка с магической константой  100295295. Предлагаю читателям получить этот пандиагональный квадрат самостоятельно.

 

Это два пандиагональных квадрата, которые являются результатом коллективного творчества, в построении этих квадратов принимали участие EtCetera и М. Алексеев. Потом EtCetera прислал мне свою программу для выборки квадрата из матрицы, и дальше я сама искала примитивный квадрат 13х13. Мне удалось найти один такой квадрат.

 

Была построена методом смешанного достраивания примитивная матрица 89х83, состоящая из всяких натуральных чисел – и простых, и не простых. Простые числа взяты в интервале от 100 до 2000000 (всего 148908 чисел). Из этой матрицы выделен по программе EtCetera примитивный квадрат 13х13, полностью состоящий из различных простых чисел (рис. 7).

 

 

Рис. 7

 

Применяем преобразование Россера и получаем такой пандиагональный квадрат (рис. 8):

 

 

Рис. 8

 

Магическая константа этого пандиагонального квадрата равна 5441577. Это наименьший из всех трёх полученных пандиагональных квадратов.

 

У меня сохранилась только одна матрица, полученная при смешанном достраивании, из этой матрицы выделен примитивный прямоугольник 12х13. Покажу фрагмент этой матрицы – первые 20 строк. Всего в матрице 74 строки и 46 столбцов. В матрице вы видите нули и единички, все простые числа заменены единичками, а не простые – нулями. Так удобно делать выборку из матрицы. В матрице 8 строк и 7 столбцов полностью состоят из единичек (то есть они полностью состоят из простых чисел). Это условие заложено в программе смешанного достраивания. Строки, полностью состоящие из единичек, выделены красным цветом.

 

1  1  1  1  1  1  1  1  0  0  1  0  0  0  0  1  0  1  0  1  1  0  0  0  1  0  0  0  0  0  0  0  0  1  1  0  1  0  0  0  0  1  0  0  0  1 

1* 1* 1* 1* 1* 1* 1* 1* 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1* 1* 1  1* 1  1* 1  1  1  1* 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1 

1  1  1  1  1  1  1  0  1  0  0  1  0  1  0  0  1  1  1  0  1  1  1  0  0  0  1  1  0  1  0  0  0  0  1  1  1  0  1  1  1  0  1  1  0  1 

1* 1* 1* 1* 1* 1* 1* 1* 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1* 1* 1  1* 1  1* 1  1  1  1* 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1 

1* 1* 1* 1* 1* 1* 1* 1* 0  1  0  1  0  1  0  0  0  1  0  1* 1* 0  1* 0  1* 0  0  0  1* 0  0  0  0  1  0  0  0  0  1  1  0  1  1  0  0  0 

1  1  1  1  1  1  1  0  0  1  1  1  0  1  0  0  0  1  1  0  0  1  0  0  0  1  1  1  1  0  1  0  1  1  1  0  0  1  1  0  1  0  0  0  0  0 

1* 1* 1* 1* 1* 1* 1* 1* 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1* 1* 1  1* 1  1* 1  1  1  1* 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1 

1* 1* 1* 1* 1* 1* 1* 1* 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1* 1* 1  1* 1  1* 1  1  1  1* 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1 

1* 1* 1* 1* 1* 1* 1* 1* 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1* 1* 1  1* 1  1* 1  1  1  1* 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1 

1* 1* 1* 1* 1* 1* 1* 1* 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1* 1* 1  1* 1  1* 1  1  1  1* 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1 

1  1  1  1  1  1  1  0  1  0  1  0  0  0  1  0  0  0  0  1  1  0  0  0  0  1  0  1  0  0  0  0  0  0  1  1  1  0  0  0  0  0  0  0  1  1 

1  1  1  1  1  1  1  1  1  0  0  0  0  0  0  0  1  1  1  1  0  1  1  1  1  0  0  0  0  0  1  0  0  0  0  1  0  0  0  1  1  0  0  1  1  0 

1* 1* 1* 1* 1* 1* 1* 1* 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1* 1* 1  1* 1  1* 1  1  1  1* 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1 

1* 1* 1* 1* 1* 1* 1* 1* 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1* 1* 1  1* 1  1* 1  1  1  1* 1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1  1 

1  1  1  1  1  1  1  1  1  0  0  1  0  1  0  1  0  0  0  0  0  0  0  0  0  1  0  0  1  1  0  1  0  0  0  0  0  0  0  0  1  0  0  1  0  1 

1  1  1  1  1  1  1  0  0  1  1  0  0  0  0  0  1  1  1  0  0  1  0  1  1  1  1  1  0  1  0  0  0  0  1  1  1  1  0  0  0  0  1  0  0  0 

1  1  1  1  1  1  1  1  0  0  1  0  0  0  0  1  0  1  0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  1  1  0  0  1  0  1  0  1  1  1  1  0  0  0  0  0  1 

1  1  1  1  1  1  1  0  0  1  0  0  0  0  1  1  0  0  1  0  1  0  1  1  1  0  0  0  1  1  1  0  0  0  1  0  1  0  0  1  0  0  0  1  0  0 

1  1  1  1  1  1  1  1  0  0  0  0  1  0  0  1  0  0  0  0  1  1  0  0  0  1  0  0  0  0  0  0  1  0  0  0  1  1  1  0  1  1  0  0  0  0 

1  1  1  1  1  1  1  1  0  0  0  0  1  1  0  0  0  0  0  0  1  1  1  0  1  1  0  0  0  0  0  0  0  1  1  0  0  0  1  0  0  0  0  0  0  0 

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

Эта матрица уже была обработана программой EtCetera. Вы видите единички, помеченные звёздочкой, это как раз те единички, которые дают нужную выборку из всех единичек, эта выборка и будет соответствовать примитивному прямоугольнику 12х13, выделенному из этой матрицы.

Таких матриц я построила очень много, пока, наконец, получила примитивный квадрат 13х13.

 

Из чисел Смита я даже и не пыталась строить примитивный квадрат 13-го порядка. С трудом удалось построить примитивный квадрат 7-го порядка.

 

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ПАНДИАГОНАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ 14-го ПОРЯДКА

 

Классических пандиагональных квадратов 14-го порядка не существует.

Первый нетрадиционный идеальный квадрат 14-го порядка построен в статье [4]. Это построение выполнено методом латинских квадратов, при этом пара ортогональных квадратов состоит из обобщённых латинских квадратов. На рис. 9 показан первый латинский квадрат ортогональной пары.

 

 

Рис. 9

 

Второй латинский квадрат ортогональной пары получается из первого поворотом вокруг центра на 90 градусов по часовой стрелке.

 

Формула для построения нетрадиционного идеального магического квадрата 14-ого порядка с помощью этих ортогональных латинских квадратов имеет вид:

 

х_ij = my_ij + z_ij + 1  (i, j = 1, 2, 3…14),

 

где натуральный множитель m ≥ 15, y_ij – элементы первого латинского квадрата, z_ij – соответствующие элементы второго латинского квадрата, x_ij – соответствующие элементы идеального квадрата.

На рис. 10 показан нетрадиционный идеальный квадрат 14-ого порядка, построенный при m = 15. Попробуйте построить новый нетрадиционный идеальный квадрат 14-ого порядка с другим значением множителя m.

 

 

Рис. 10

 

Магическая константа идеального квадрата с рис. 10 равна 1582.

Если применить к этому идеальному квадрату преобразование 3-х квадратов, получится нетрадиционный совершенный квадрат (рис. 11):

 

 

Рис. 11

 

В части V было показано, как перейти от метода латинских квадратов к методу использования примитивного квадрата для квадратов порядка 10. Для квадратов порядка 14 всё аналогично с той только разницей, что здесь сначала составляется примитивный квадрат 15х15 из арифметических прогрессий, а затем из него вычёркивается один столбец и одна строка. Арифметические прогрессии должны быть длины 15 с одинаковой разностью, причём первые члены этих прогрессий тоже образуют арифметическую прогрессию. На рис. 12 показан примитивный квадрат 15х15, составленный из арифметических прогрессий с указанными свойствами.

 

 

Рис. 12

 

Вычеркнем в этом примитивном квадрате один столбец и одну строку, выделенные белым цветом, получим примитивный квадрат 14х14 (рис. 13).

 

 

Рис. 13

 

Пронумеруем числа этого примитивного квадрата в естественном порядке и заполним ими матрицу 14х14 в соответствии с идеальным квадратом, изображённым на рис. 10 (напишите в идеальном квадрате номера чисел примитивного квадрата, из которого он получен; а этот примитивный квадрат получается из обратимого квадрата 15х15 вычеркиванием одного столбца и одной строки точно так, как показано на рис. 12). На рис. 14 показан готовый идеальный квадрат 14-го порядка.

 

 

Рис. 14

 

Примечание: для тех, кто не совсем хорошо понял, как установить соответствие между числами идеального квадрата и номерами чисел примитивного квадрата, приведу идеальный квадрат с рис. 10 с соответствующими номерами чисел примитивного квадрата. Смотрите рис. 15. В розовых строках находятся номера чисел примитивного квадрата. Например, элементу 224 идеального квадрата соответствует номер 195 в примитивном квадрате, элементу 11 – номер 10 и т. д. Можно на основе этой схемы написать матричное преобразование, которое превращает примитивный квадрат, построенный описанным методом, в пандиагональный квадрат.

 

 

Рис. 15

 

Этот интересный метод построения, к сожалению, не пригоден для построения пандиагональных квадратов 14-го порядка из простых чисел и из чисел Смита, так как неизвестны нужные для построения арифметические прогрессии. Для простых чисел теоретически существует арифметическая прогрессия длины 225, но она пока не найдена. Найти 15 прогрессий длины 15 с одинаковой разностью, чтобы первые члены прогрессий образовывали арифметическую прогрессию, тоже очень сложно.

 

Можно попробовать применить метод Россера – построение по решёткам. Для этого надо найти четыре пандиагональных квадрата 7-го порядка с одинаковой магической константой, но составленные из различных чисел. Я пока не пыталась решить эту задачу.

Для примера покажу составление квадрата данным методом с использованием одного пандиагонального квадрата 7-го порядка из простых чисел. Это найденный мной недавно квадрат с магической константой 1597 (рис. 16).

 

 

Рис. 16

 

В первую решётку поместим этот квадрат, а в остальные решётки – его эквивалентные варианты (параллельный перенос на торе). Готовый пандиагональный квадрат 14-го порядка вы видите на рис. 17. Разумеется, это не избавило от повторения чисел. Каждое число повторено четыре раза. Можно брать разные эквивалентные варианты исходного квадрата и размещать их в любые решётки. Магическая константа полученного квадрата равна 1597*2 = 3194.

 

 

Рис. 17

 

Аналогичный пандиагональный квадрат можно построить из чисел Смита. Пандиагональный квадрат 7-го порядка из чисел Смита мной найден, хотя, скорее всего, не наименьший.

 

Теперь возьмём идеальный квадрат 7-го порядка из простых чисел (наименьший из всех известных на сегодня; автор А. Чернов) и составим таким же способом идеальный квадрат 14-го порядка (рис. 19). Понятно, что это тоже квадрат с повторяющимися числами.  Исходный идеальный квадрат показан на рис. 18.

 

 

Рис. 18

 

 

Рис. 19

 

Покажу построение пандиагонального квадрата 14-го порядка из чисел Смита с повторениями чисел, но не из пандиагонального квадрата 7-го порядка, а из ассоциативного. Это наименьший ассоциативный квадрат 7-го порядка из чисел Смита, найденный мной (рис. 20):

 

 

Рис. 20

 

Заполним копиями этого квадрата матрицу 14х14 по решёткам Россера, получим ассоциативный квадрат (рис. 21):

 

 

Рис. 21

 

Интересный приём, оказывается, по решёткам Россера можно составлять не только пандиагональные квадраты, но и ассоциативные. Запомним, может пригодиться.

Теперь применим к этому ассоциативному квадрату преобразование 3-х квадратов и получим пандиагональный квадрат 14-го порядка из чисел Смита. Одно плохо в этом квадрате – числа повторяются, каждое число повторено четыре раза. Смотрите пандиагональный квадрат на рис. 22.

 

 

Рис. 22

 

Магическая константа этого квадрата равна 128576. Если составить пандиагональный квадрат 14-го порядка (из чисел Смита) из наименьшего известного на сегодня пандиагонального квадрата 7-го порядка, его магическая константа будет равна 1393490.

 

Конечно, желательно построить пандиагональные квадраты 14-го порядка из различных простых чисел и из различных чисел Смита, но это непростая задача. Предлагаю её читателям.

 

Продолжение следует

 

Литература и веб-страницы

 

1. Сборник статей «Анатомия магических квадратов» (на английском языке).

 http://narod.ru/disk/23687981000/anatomy_of_magic_squares.rar.html

2. Построение идеальных магических квадратов нечётного порядка с помощью латинских квадратов. http://www.klassikpoez.narod.ru/idlat.htm

3. Научный форум dxdy.ru. «Как автоматизировать выборку?» http://dxdy.ru/topic37468.html

         4. Нетрадиционные магические квадраты. http://www.klassikpoez.narod.ru/netradic.htm

 

 

21 – 23 июня 2011 г.

г. Саратов

 

 

На главную страницу сайта:

http://www.klassikpoez.narod.ru.index.htm

 

На главную страницу раздела «Волшебный мир магических квадратов»:

http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm

 

 

Контакты

natalimak1@yandex.ru

QIP 571-379-327