Н. Макарова

 

НЕТРАДИЦИОННЫЕ ПАНДИАГОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ

 

Часть VI

 

 

В предыдущей части были описаны алгоритмы построения нетрадиционных пандиагональных квадратов 10-го порядка. Продолжаю описание методов построения нетрадиционных пандиагональных квадратов.

 

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ПАНДИАГОНАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ 11-го ПОРЯДКА

                                                        

Построить классический пандиагональный квадрат очень просто. В моих ранних статьях рассмотрено несколько методов построения таких квадратов. Здесь покажу один из них – метод латинских квадратов. Для такого построения нужна пара ортогональных диагональных латинских квадратов 11-го порядка. Но эти латинские квадраты должны ещё обладать свойством пандиагональности, чтобы полученный из них магический квадрат был пандиагональным. Вот пример такой пары ортогональных латинских квадратов, показан только первый квадрат пары (рис. 1), второй квадрат получается из первого отражением относительно горизонтальной оси симметрии.

 

 

Рис. 1

 

На рис. 2 вы видите пандиагональный квадрат 11-го порядка, построенный из данной пары ортогональных диагональных латинских квадратов. Этот квадрат обладает ещё и свойством ассоциативности, то есть он является идеальным. Свойством ассоциативности обладают и латинские квадраты пары.

 

 

Рис. 2

 

Перехожу к методам построения нетрадиционных пандиагональных квадратов 11-го порядка. Построить такой квадрат из произвольных натуральных чисел очень просто, например, из чисел 11 арифметических прогрессий длины 11 с одинаковой разностью. Я много раз рассказывала, как это делается, не буду здесь повторять этот очень простой метод построения.

Однако построить таким методом пандиагональный квадрат 11-го порядка из простых чисел (а также из чисел Смита) не удаётся, поскольку неизвестны нужные для построения арифметические прогрессии. Здесь самым простым методом является метод Россера – использование примитивного квадрата. Данный метод применим для построения пандиагональных квадратов любого порядка, являющегося простым числом. Описание метода смотрите в [1].

 

Приведу пример применения данного метода Россера для построения классического пандиагонального квадрата 11-го порядка. В этом случае примитивным квадратом является обратимый квадрат. На рис. 3 показано применение к обратимому квадрату преобразования Россера, превращающего обратимый (примитивный) квадрат в пандиагональный. Преобразование такое:

 

A(i,j) = B(3i+2j,2i+j),

 

где A(i,j) – элементы обратимого (примитивного) квадрата, B(k,m) – элементы пандиагонального квадрата. Индексы берутся по модулю 11.

 

 

 

Рис. 3

 

Однако построить примитивный квадрат 11-го порядка из простых чисел оказалось нелёгкой задачей.

Сначала я пыталась построить такой квадрат методом чистого достраивания. Такой термин ввела, чтобы отличить этот метод от метода смешанного достраивания, о котором речь пойдёт ниже.

 

В методе чистого достраивания берётся любой известный примитивный квадрат 7-го порядка, например, такой (рис. 4):

 

 

Рис. 4

 

Далее необходимо достроить этот примитивный квадрат до примитивного квадрата 11х11, то есть заполнить простыми числами матрицу 11х11 (рис. 5), используя свойство элементов примитивного квадрата. При этом числа не должны повторяться.

 

 

Рис. 5

 

Написала программу достраивания, но достроить полностью простыми числами мне не удалось. Получила только примитивный квадрат, в котором четыре числа не являются простыми (рис. 6). Хотя теоретически достраивание вполне возможно, но при этом в квадрате могут появиться очень большие числа, а у меня маленький массив простых чисел.

 

 

Рис. 6

 

Не простые числа выделены красным цветом.

Далее применяется к примитивному квадрату показанное выше преобразование Россера и получается такой пандиагональный квадрат (рис. 7):

 

 

Рис. 7

 

Это первый пандиагональный квадрат 11-го порядка почти полностью составленный из простых чисел. Магическая константа этого квадрата равна 58479.

 

Дальше я строила примитивные квадраты 11-го порядка из простых чисел методом смешанного достраивания. Суть метода в том, что при достраивании разрешается использовать всякие числа, как простые, так и не простые. Поэтому достраивание и названо смешанным. Таким способом строится матрица размером nxm, в которой некоторое число строк и столбцов полностью состоят из простых чисел, а в остальных строках и столбцах числа всякие. Затем из этой матрицы выбирается квадрат 11х11, полностью состоящий из простых чисел.

Данным методом мне удалось построить два примитивных квадрата из простых чисел. Первый примитивный квадрат показан на рис. 8.

 

 

Рис. 8

 

Превращаю его в пандиагональный квадрат с помощью преобразования Россера (рис. 9):

 

 

Рис. 9

 

Магическая константа этого квадрата равна 420409.

 

Второй квадрат получился с меньшей магической константой – 198341. На рис. 10 вы видите примитивный квадрат, а на рис. 11 полученный из него пандиагональный квадрат.

 

 

Рис. 10

 

 

Рис. 11

 

Конечно, ничего не могу сказать о минимальности этого квадрата. Вполне возможно, что существует пандиагональный квадрат с меньшей магической константой. Предлагаю читателям поискать такой квадрат.

 

Для чисел Смита даже смешанное достраивание не привело к построению примитивного квадрата 11х11. Мне удалось построить только примитивный квадрат 7-го порядка из смитов смешанным достраиванием. Этот квадрат показан в одной из предыдущих статей данного цикла.

 

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ПАНДИАГОНАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ 12-го ПОРЯДКА

 

Сначала покажу несколько методов построения классических пандиагональных квадратов 12-го порядка. Таких методов довольно много. Самый простой – построить сначала ассоциативный квадрат, а затем применить к нему преобразование 3-х квадратов. Ассоциативные квадраты 12-го порядка построить очень легко, например, методом квадратных рамок, методом составных квадратов и т. д. На рис. 12 вы видите ассоциативный квадрат, построенный мной по алгоритму Франклина (см. [2]).

 

 

Рис. 12

 

Применяем к этому ассоциативному квадрату преобразование 3-х квадратов и получаем такой пандиагональный квадрат (рис. 13):

 

 

Рис. 13

 

В [2] приведено ещё несколько примеров ассоциативных квадратов 12-го порядка, каждый их которых превращён в пандиагональный преобразованием 3-х квадратов.

 

 

 

Покажу ещё один интересный пандиагональный квадрат 12-го порядка, построенный методом качелей (рис. 14):

 

 

Рис. 14

 

Подробно о методе качелей см. [3].

 

Теперь покажу два метода построения классических пандиагональных квадрата из статьи Россера [8].

Первый метод см. в Теореме 5.6 (случай 2). Метод работает для любого порядка n = 4m, n ≥ 2. В одной из предыдущих статей данного цикла был показан этот метод для классических пандиагональных квадратов 8-го порядка. Для квадратов порядка 12 всё аналогично. Составляются девять пандиагональных квадратов 4-го порядка и этими квадратами заполняется матрица 12х12 по решёткам. Покажу сразу готовый пандиагональный квадрат 12-го порядка (рис. 15).

 

 

Рис. 15

 

На рисунке выделена одна решётка. В этой решётке находится пандиагональный квадрат 4-го порядка, построенный для пар: (A, C) = (0, 140), (B, D) = (4, 136).

Интересное получилось решение. Если к этому пандиагональному квадрату применить преобразование, обратное преобразованию 3-х квадратов, получится ассоциативный квадрат (рис. 16).

 

 

Рис. 16

 

Второй метод Россера рассмотрен в Теореме 5.5, случай 2. Метод работает для порядков n = 4m. Строится определённым образом примитивный квадрат и применяется к нему преобразование:

 

A(i,j) = B(2i-j, -3i+2j),

 

где A(i,j) – элементы примитивного квадрата, B(k,m) – элементы пандиагонального квадрата. Индексы берутся по модулю 12.

На рис. 17 показан примитивный квадрат, построенный данным методом.

 

 

Рис. 17

 

Применяем к этому примитивному квадрату показанное выше преобразование и получаем такой классический пандиагональный квадрат (рис. 18):

 

 

Рис. 18

 

Интересно отметить, что примитивный квадрат 12-го порядка удовлетворяет условиям, аналогичным условиям для примитивных квадратов 4-го и 8-го порядков. Обозначим элементы первой строки и первого столбца примитивного квадрата символами (рис. 18а).

 

 

Рис. 18а

 

Тогда условия для элементов примитивного квадрата можно записать так:

 

 (1)                      c + a₆ = a₁ + a₇ = a₂ + a₈ = a₃ + a₉ = a₄ + a₁₀ = a₅ + a₁₁

c + b₆ = b₁ + b₇ = b₂ + b₈ = b₃ + b₉ = b₄ + b₁₀ = b₅ + b₁₁

 

Наконец, покажу методы построения идеальных и совершенных классических квадратов 12-го порядка, которые, как известно, тоже являются пандиагональными (подробно см. [4]).

На рис. 19 вы видите обратимый квадрат, а на рис. 20 полученный из него матричным преобразованием идеальный квадрат.

 

 

Рис. 19

 

 

Рис. 20

 

Следует обратить внимание на то, что построенный по Россеру примитивный квадрат (см. рис. 17) не является обратимым, хотя и составлен из чисел 1, 2, 3, …, 144. Этот примитивный квадрат не обладает свойством ассоциативности, которым обладает любой обратимый квадрат (см. рис. 19, 21).

 

На рис. 21 представлен другой обратимый квадрат, а на рис. 22 полученный из него тоже матричным преобразованием (другим) совершенный квадрат.

 

 

Рис. 21

 

 

Рис. 22

 

Осталось показать ещё один очень важный метод – латинских квадратов. Для порядка 12 мне неизвестна пара классических ортогональных диагональных латинских квадратов, которые обладали бы свойствами ассоциативности и пандиагональности, необходимыми для построения идеального магического квадрата. Известны только пары ортогональных обобщённых латинских квадратов. На рис. 23 – 24 показана такая пара.

 

 

Рис. 23

 

 

Рис. 24

 

Из этой пары ортогональных латинских квадратов можно построить два идеальных квадрата. На рис. 25 показан один из них.

 

 

Рис. 25

 

Пожалуй, на этом закончу представление методов построения классических пандиагональных квадратов. Перехожу к методам построения нетрадиционных пандиагональных квадратов.

 

Начнём с метода Россера, использующего примитивный квадрат. Этот метод вполне годится и для нетрадиционных пандиагональных квадратов. Если примитивный квадрат составить из произвольных натуральных чисел, но чтобы удовлетворялись условия (1), а затем применить преобразование Россера – то же самое, с помощью которого мы превращали примитивный квадрат с рис. 17 в пандиагональный классический квадрат, - получится нетрадиционный пандиагональный квадрат. Понятно, что простейший вариант – это арифметические прогрессии с одинаковой разностью. Приведу пример. Для простоты возьмём одну арифметическую прогрессию длины 144 с разностью 10 и первым членом 2. На рис. 25 показан примитивный квадрат, составленный из чисел этой прогрессии.

 

 

Рис. 25

 

Применим преобразование и получим следующий пандиагональный квадрат (рис. 26):

 

 

Рис. 26

 

Впрочем, из приведённой арифметической прогрессии можно построить пандиагональные (и идеальные) квадраты и другим способом, который уже хорошо известен читателям. Не буду повторять его.

 

Теперь рассмотрим построение пандиагональных квадратов из простых чисел. Здесь самый простой метод – построение по решёткам Россера. Можно построить пандиагональный квадрат 12-го порядка из девяти пандиагональных квадратов 4-го порядка или из четырёх пандиагональных квадратов 6-го порядка (с одинаковой магической константой). Мне удалось выполнить оба построения (см. [6]).

Сначала покажу пандиагональный квадрат, построенный из девяти пандиагональных квадратов 4-го порядка с магической константой 4620 (рис. 27). Магическая константа квадрата 12-го порядка равна 4620*3 = 13860.

 

 

Рис. 27

 

На рисунке выделена белым цветом одна решётка. В каждой из девяти решёток находится один пандиагональный квадрат 4-го порядка. При этом пандиагональные квадраты 4-го порядка можно размещать в любом порядке, меняя произвольно их расположение в решётках.

Пандиагональные квадраты 4-го порядка строились из набора комплементарных пар простых чисел с константой комплементарности равной 2310, пар в наборе 114. Поскольку квадрат 12-го порядка составлен из комплементарных пар чисел, его можно превратить в ассоциативный квадрат преобразованием обратным преобразованию 3-х квадратов. На рис. 28 вы видите полученный ассоциативный квадрат.

 

 

Рис. 28

 

Теперь покажу пандиагональный квадрат 12-го порядка, построенный из четырёх пандиагональных квадратов 6-го порядка с магической константой 4410 (рис. 29). Магическая константа этого квадрата равна 4410*2 = 8820.

 

 

Рис. 29. Пандиагональный квадрат 12-го порядка из простых чисел (S = 8820)

 

В этом квадрате выделены все четыре решётки. Пандиагональные квадраты 6-го порядка тоже можно размещать, выбирая для каждого квадрата любую из четырёх решёток.

Важно отметить, что пандиагональные квадраты 6-го порядка построены из комплементарных пар чисел (в отличие от пандиагональных квадратов 4-го порядка пандиагональные квадраты 6-го порядка могут быть построены и не из комплементарных чисел).

Это даёт возможность превратить построенный пандиагональный квадрат 12-го порядка с рис. 29 в ассоциативный квадрат с помощью преобразования обратного преобразованию 3-х квадратов. На рис. 30 показан ассоциативный квадрат.

 

 

Рис. 30. Ассоциативный квадрат 12-го порядка из простых чисел (S = 8820)

 

Удалось построить и пандиагональный квадрат 12-го порядка из чисел Смита данным методом (рис. 31) ([7]).

 

 

Рис. 31. Пандиагональный квадрат 12-го порядка из чисел Смита (S = 4080072)

 

Для построения этого квадрата был использован замечательный набор из 556 комплементарных пар смитов, найденный М. Алексеевым (набор выложен на форуме dxdy.ru),

Магическая константа этого пандиагонального квадрата равна 4080072. Это пока единственный известный мне пандиагональный квадрат 12-го порядка, составленный из различных чисел Смита. Конечно, если разрешить повторение чисел, можно составить пандиагональные квадраты с меньшей магической константой.

Точно так же преобразованием обратным преобразованию 3-х квадратов этот пандиагональный квадрат превращается в ассоциативный (рис. 32).

 

 

Рис. 32. Ассоциативный квадрат 12-го порядка из чисел Смита (S = 4080072)

 

Далее (рис. 33) показан идеальный квадрат 12-го порядка из простых чисел с повторениями. Квадрат построен на основе наименьшего идеального квадрата 6-го порядка (магическая константа квадрата равна 990; автор М. Алексеев) тоже по решёткам Россера.

 

 

Рис. 33

 

Аналогичный квадрат можно построить и из чисел Смита. Предлагаю читателям сделать это.

 

На этом завершаю рассказ о методе построения по решёткам Россера.

 

Следующее построение выполняется методом составных квадратов. Интересно, что этот универсальный метод, который я много раз демонстрировала для классических квадратов, работает и для нетрадиционных магических квадратов. Для порядка 12 этим методом можно построить только обычные или ассоциативные квадраты. Однако, построив ассоциативный квадрат, мы легко можем превратить его в пандиагональный преобразованием 3-х квадратов.

Итак, строим нетрадиционный ассоциативный квадрат 12-го порядка методом составных квадратов. На рис. 34 показаны выбранные базовый и основной квадраты. Базовый квадрат – это классический квадрат 3-го порядка, основной квадрат – это наименьший ассоциативный квадрат 4-го порядка из простых чисел. Если мы хотим получить ассоциативный составной квадрат, то базовый и основной квадраты должны быть ассоциативными.

 

 

 

Рис. 34

 

На рис. 35 вы видите нетрадиционный ассоциативный квадрат, построенный на основе изображённых на рис.  34 квадратов.

 

 

Рис. 35

 

В качестве множителя при построении квадрата я взяла 210, можно брать любой множитель. К сожалению, этот метод не обеспечивает получение всех простых чисел в составном квадрате. Тем не менее, метод очень интересный.

 

Примечание: здесь возникает интересная задача. Пусть (a_ij) некоторый ассоциативный магический квадрат 4-го порядка из различных простых чисел. Можно ли подобрать такой множитель m ≠ 0, что все числа a_ij + km, k = 1, 2, …, 8 будут простыми и различными?

Аналогично для чисел Смита.

 

Теперь применяем к построенному ассоциативному квадрату преобразование 3-х квадратов и получаем нетрадиционный пандиагональный квадрат (рис. 36).

 

 

Рис. 36

 

Отличный квадрат, только не все числа в нём простые.

 

 

Веб-страницы

 

            1. Ещё раз об алгоритме Россера. http://www.natalimak1.narod.ru/algross.htm

            2. Метод построения идеальных квадратов порядка n = 8k (часть II). http://www.klassikpoez.narod.ru/idealch2.htm

3. Метод качелей для пандиагональных квадратов чётно-чётного порядка. http://www.klassikpoez.narod.ru/pan4kach.htm

4. Построение идеальных квадратов порядка n = 4k из обратимых квадратов. http://www.klassikpoez.narod.ru/obratid1.htm

5. Об идеальных квадратах двенадцатого порядка с начальной цепочкой “ход конём”. http://www.natalimak1.narod.ru/latid12.htm

            6. Построение пандиагональных квадратов по решёткам Россера. http://www.natalimak1.narod.ru/algross1.htm

            7. Нетрадиционные пандиагональные квадраты порядков 8, 12, 16. http://www.natalimak1.narod.ru/kompl556.htm

            8. THE ALGEBRAIC THEORY OF DIABOLIC MAGIG SQUARES. By Barkley Rosser and R. J. Walker

http://narod.ru/disk/23700701000/Rosser1939.rar.html

Примечание: статья переведена на русский язык С. В. Беляевым. Перевод здесь: http://svb.hut.ru/DOWN/Rosser_ru.pdf

 

Продолжение следует

 

19 - 20 июня 2011 г.

г. Саратов

 

На главную страницу сайта:

http://www.klassikpoez.narod.ru.index.htm

 

На главную страницу раздела «Волшебный мир магических квадратов»:

http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm

 

 

 

Контакты

natalimak1@yandex.ru

QIP 571-379-327