Н. Макарова

 

НЕТРАДИЦИОННЫЕ ПАНДИАГОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ

 

Часть V

 

 

Отвлекли меня другие задачи от этого цикла статей. В предыдущей части я описала алгоритмы построения нетрадиционных пандиагональных квадратов 9-го порядка. Данная статья посвящена нетрадиционным пандиагональным квадратам 10-го порядка. Классических пандиагональных квадратов 10-го порядка не существует.

Но прежде чем описывать алгоритмы построения нетрадиционных пандиагональных квадратов данного порядка, остановлюсь на построении классических обычных магических квадратов методом латинских квадратов. Дело в том, что пары ортогональных диагональных классических латинских квадратов были найдены только в 1992 г. Покажу один пример. На рис. 1 вы видите одну из известных трёх пар ортогональных диагональных латинских квадратов из [1]:

 

 

Рис. 1

 

Моим читателям хорошо известно, как строятся магические квадраты методом латинских квадратов. Для квадратов 10-го порядка вообще всё очень просто: если из этих двух ортогональных квадратов составить греко-латинский квадрат, получится готовый магический квадрат 10-го порядка, ну, только в нетрадиционной форме, то есть он будет заполнен числами от 0 до 99; чтобы перейти к традиционной форме, надо каждый элемент квадрата увеличить на единицу. На рис. 2 вы видите готовый магический квадрат 10-го порядка.

 

 

Рис. 2

 

Если латинские квадраты поменять местами и снова составить греко-латинский квадрат, то магический квадрат получится такой (рис. 3):

 

 

Рис. 3

 

Очевидно, что эти магические квадраты не эквивалентны.

 

В [2] описан другой метод построения обычных классических магических квадратов 10-го порядка. Этот метод я придумала очень давно, когда только начала заниматься магическими квадратами (70 – 80-е годы прошлого века). В журналах «Наука и жизнь» в то время писали, что для порядков n = 4k  +     2 нет метода построения магических квадратов. Вот я и придумала такой метод.

 

На этом завершаю экскурс в теорию построения классических магических квадратов 10-го порядка и перехожу к нетрадиционным пандиагональным квадратам.

 

*****

 

Первые построенные мной нетрадиционные пандиагональные квадраты 10-го порядка являются идеальными. Смотрите подробно построение таких квадратов в статье [3]. Эти квадраты строятся из произвольных натуральных чисел. Метод основан на применении пары ортогональных обобщённых латинских квадратов, я нашла этот метод очень давно в журнале «Наука и жизнь», правда, только в применении к квадрату 6-го порядка; для следующих порядков доработала метод. Покажу здесь одну пару ортогональных обобщённых латинских квадратов. На рис. 4 изображён первый обобщённый латинский квадрат.

 

 

Рис. 4

 

Второй латинский квадрат пары получается из первого латинского квадрата поворотом на 90 градусов по часовой стрелке.

На рис. 5 показан идеальный квадрат 10-го порядка, построенный из данной пары обобщённых латинских квадратов по следующей формуле:

 

c_ij = 13*a_ij  +     b_ij  +     1,

 

где a_ij – элементы первого латинского квадрата, b_ij – соответствующие элементы второго латинского квадрата, c_ij – соответствующие элементы идеального квадрата.

 

 

Рис. 5

 

Интересно отметить: если к идеальному квадрату с рис. 5 применить преобразование 3-х квадратов, получится нетрадиционный совершенный магический квадрат (рис. 5а).

 

 

Рис. 5а

 

Теперь рассмотрим построение нетрадиционных пандиагональных квадратов 10-го порядка из простых чисел. Первый такой квадрат показан на рис. 6. Это идеальный квадрат. В нём есть повторяющиеся числа. Квадрат составлен из копий идеального квадрата 5-го порядка.

 

 

Рис. 6

 

В статье [4] описано построение совершенного квадрата 10-го порядка из простых чисел с повторениями. Покажу здесь готовый совершенный квадрат (рис. 7).

 

 

Рис. 7

 

Квадрат строится из простых чисел, образующих арифметическую прогрессию из 13 членов: 14933623  +     13#n, n = 0, 1, 2, …, 12 (прогрессия найдена в 1999 г., автор David W. Wilson). Сначала строится идеальный квадрат, затем к этому квадрату применяется преобразование 3-х квадратов и получается совершенный квадрат.

 

Примечание. Поясню подробнее, как строится идеальный квадрат 10-го порядка из чисел арифметической прогрессии длины 13. В приведённом примере прогрессия всего одна, а сейчас рассмотрим случай, когда прогрессий имеется 13; все они должны быть с одинаковыми разностями, а первые члены прогрессий тоже должны образовывать арифметическую прогрессию. Здесь берём прогрессии из произвольных натуральных чисел. Для простоты взяты прогрессии, которые образуют одну прогрессию дины 169. Понятно, что это частный случай, прогрессия длины 169 разбивается на 13 прогрессий указанного вида. Прогрессия взята с разностью 10.

Надо поместить 13 прогрессий, на которые разбивается вся прогрессия, в матрицу 13х13 (рис. 7а):

 

 

Рис. 7а

 

У нас получился примитивный квадрат 13-го порядка. Вычёркиваем из этого квадрата три строки и три столбца, выделенные на рис. 7а белым цветом. Получим такой примитивный квадрат 10-го порядка (рис. 7б):

 

 

Рис. 7б

 

Пронумеруем числа этого примитивного квадрата в естественном порядке и заполним матрицу 10х10 в соответствии с идеальным квадратом, изображённым на рис. 5. При этом учитываем, что идеальному квадрату соответствует примитивный квадрат, построенный точно так же, но только из обратимого квадрата. Для наглядности покажу, каким номерам чисел в примитивном квадрате (полученном из обратимого квадрата вычёркиванием трёх строк и трёх столбцов) соответствуют числа идеального квадрата с рис. 5 (см. рис. 7в):

 

 

Рис. 7в

 

Номера элементов в строках жёлтого цвета.

Примитивный квадрат с рис. 7б с пронумерованными числами показан на рис. 7г.

 

 

Рис. 7г

 

Заполняем матрицу 10х10 в соответствии с номерами чисел в примитивном квадрате (рис. 7г) и номерами элементов в идеальном квадрате (рис. 7в) и получаем идеальный квадрат (рис. 7д):

 

 

Рис. 7д

 

Если применить к этому идеальному квадрату преобразование 3-х квадратов, получится совершенный квадрат. К сожалению, для идеальных квадратов из простых чисел и из чисел Смита этот метод не работает, потому что не известны нужные для построения арифметические прогрессии. Можно построить только квадраты с повторяющимися числами, такой совершенный квадрат из простых чисел и показан на рис. 7.

 

 

Следующий алгоритм – построение квадратов по решёткам Россера. Для построения пандиагонального квадрата 10-го порядка достаточно найти четыре пандиагональных квадрата 5-го порядка с одинаковой магической константой и составленных из различных чисел, если мы хотим, чтобы в полученном пандиагональном квадрате 10-го порядка числа не повторялись. Подробно алгоритм описан в статье [5].

Здесь покажу только наименьший из известных на сегодня пандиагональных квадратов 10-го порядка из простых чисел. Этот квадрат построен В. Павловским данным методом, его магическая константа равна 3594 (рис. 8).

 

 

Рис. 8. Пандиагональный квадрат 10-го порядка из простых чисел В. Павловского

 

На рисунке каждая решётка 5х5 раскрашена своим цветом. В решётках находятся пандиагональные квадраты 5-го порядка с магической константой 1797.

Пока не удаётся улучшить этот результат. Пандиагональных квадратов 5-го порядка строится очень много и с меньшими магическими константами, но найти четыре квадрата, составленные из различных чисел довольно сложно. В [5] приведено несколько примеров, когда найдено три квадрата из различных чисел, а четвёртый квадрат найти не удаётся.

Напомню, что наименьший магический квадрат 10-го порядка из простых чисел имеет магическую константу 2470. Можно предположить, что существует пандиагональный квадрат с магической константой в интервале [2470, 3594). Надо попробовать придумать другой метод построения, не связанный с решётками Россера. Хотя не исключено, что и этот метод ещё может дать новые результаты. Можно попытаться оптимизировать программу, реализующую данный метод.

 

Из чисел Смита тоже можно построить квадраты, аналогичные квадратам, показанным на рис. 6 - 7. Также можно построить пандиагональный квадрат по решёткам Россера, составив четыре пандиагональных квадрата 5-го порядка с одинаковой магической константой. Можно использовать и один пандиагональный квадрат 5-го порядка, записав его в каждую решётку. Но тогда в пандиагональном квадрате каждое число будет повторено четыре раза. Например, возьмём наименьший пандиагональный квадрат 5-го порядка из смитов, найденный В. Павловским, и построим из него пандиагональный квадрат 10-го порядка (рис. 9). В приведённом примере в решётки вписаны не копии квадрата, а эквивалентные варианты, полученные из исходного квадрата параллельным переносом на торе. Разумеется, это не избавило от повторения чисел.

 

 

Рис. 9

 

Можно вписывать в решётки другие эквивалентные варианты исходного квадрата 5-го порядка в любых комбинациях.

Интересно всё же найти четыре пандиагональных квадрата 5-го порядка (с одинаковой магической константой) из различных смитов, чтобы построить хороший пандиагональный квадрат 10-го порядка – без повторения чисел. Предлагаю читателям эту задачу. Возможно, и сама ещё вернусь к ней.

 

ДОБАВЛЕНИЕ (2 - 3 июля 2011 г.)

 

Маленькое открытие

продолжая исследовать пандиагональные квадраты 10-го порядка, обнаружила, что среди них существует группа квадратов, в которых работает закон отклонений от комплементарности точно так, как в пандиагональных квадратах 6-го порядка (см. алгоритм С. Беляева). Отличие только в том, что для порядка 6 все пандиагональные квадраты подчиняются этому закону, а для порядка 10 только отдельная группа квадратов. Магическая константа S этих квадратов должна быть кратна 5, так как константа комплементарности определяется по формуле K = S/5, а она не может быть дробным числом.

На рис. 10 показан пандиагональный квадрат 10-го порядка, составленный из произвольных натуральных чисел по алгоритму, использующему механизм отклонений от комплементарности. Магическая константа этого квадрата равна 8550, константа комплементарности равна 1710.

 

 

 

Рис. 10

 

Примечание: в квадрате есть два одинаковых числа, но для анализа это не важно. Смотрите в Приложении пандиагональный квадрат из различных натуральных чисел, в котором работает закон отклонений.

 

Не буду показывать общую схему квадрата, так как она совершенно аналогична общей схеме пандиагональных квадратов 6-го порядка.

Покажу систему уравнений для отклонений от комплементарности и решение этой системы, которое получено мной с помощью товарища на форуме Портала ЕН. Он решил систему в пакете программ Maple. Интересно, что свободных отклонений получилось 16, а зависимых только 9. Мне кажется, что это очень хорошо для алгоритма, использующего отклонения. Хотя я пока полностью не реализовала этот алгоритм, только отдельные этапы.

Обозначим отклонения от комплементарности p_i, i = 1, 2, 3, …, 25.

Система 10 уравнений, которым должны удовлетворять отклонения, имеет вид:

 

 p₁  +  p₇  +  p₁₃ +  p₁₉ +  p₂₅ = 0

 p₆ +  p₁₂ +  p₁₈ +  p₂₄ - p₅ = 0

 p₁₁ +  p₁₇ +  p₂₃ - p₄ - p₁₀ = 0

 p₁₆ +  p₂₂ - p₃ - p₉ - p₁₅ = 0

 p₂₁ - p₂ - p₈ - p₁₄ - p₂₀ = 0

 p₅ +  p₉ +  p₁₃ +  p₁₇ +  p₂₁ = 0

 p₁₀ +  p₁₄ +  p₁₈ +  p₂₂ - p₁=0

 p₁₅ +  p₁₉ +  p₂₃ - p₂ - p₆ = 0

 p₂₀ +  p₂₄ - p₃ - p₇ - p₁₁ = 0

 p₂₅ - p₄ - p₈ - p₁₂ - p₁₆ = 0

 

Понятно, что система получена из условия пандиагональности квадрата.

Независимыми отклонениями являются p₁₀, p₁₁, …, p₂₅.

 

Формулы для зависимых отклонений будут такие:

 

p₁ = p₁₀ + p₁₄ + p₁₈ + p₂₂

p₂ = p₂₁ - p₁₄ – p₂₀ – p₂₅ + p₁₂ + p₁₆ + p₁₁ + p₁₇ + p₂₃ - p₁₀

p₃ = p₂₀ + p₂₄ - p₁₁ + p₁₀ + p₁₄ + p₁₈ + p₂₂ + p₁₃ + p₁₉ + p₂₅

p₄ = p₁₁ + p₁₇ + p₂₃ - p₁₀

p₅ = - p₁₆ + p₁₅ + p₂₀ + p₂₄ - p₁₁ + p₁₀ + p₁₄ + p₁₈ + p₁₉ + p₂₅ - p₁₇ – p₂₁

p₆ = - p₁₂ + p₁₅ - p₁₆ + p₂₀ - p₁₁ + p₁₀ + p₁₄ + p₁₉ + p₂₅ - p₁₇ – p₂₁

p₇ = - p₁₀ - p₁₄ – p₁₈ – p₂₂ - p₁₃ - p₁₉ – p₂₅

p₈ = p₂₅ - p₁₂ – p₁₆ – p₁₁ - p₁₇ – p₂₃ + p₁₀

p₉ = p₁₆ - p₁₅ – p₂₀ - p₂₄ + p₁₁ - p₁₀ - p₁₄ - p₁₈ – p₁₃ - p₁₉ – p₂₅

 

Для приведённого на рис. 10 пандиагонального квадрата 16 свободных отклонений имеют значения:

 

p₁₀ = 590, p₁₁ = 550, p₁₂ = 860, p₁₃ = -362, p₁₄ = -512, p₁₅ = 160, p₁₆ = -68, p₁₇ = 184, p₁₈ = -592, p₁₉ = -212, p₂₀ = 632, p₂₁ = -170, p₂₂ = -16, p₂₃ = -202, p₂₄ = 260, p₂₅ = 616

 

Если теперь вычислить по формулам зависимые отклонения, они будут иметь такие значения:

 

p₁ = -530, p₂ = -172, p₃ = -146, p₄ = -58, p₅ = 446, p₆ = -82, p₇ = 488, p₈ = -118, p₉ = -98

 

что соответствует действительным отклонениям в приведённом пандиагональном квадрате.

 

Можно попробовать реализовать этот алгоритм (конечно, надо хорошо подумать, как его реализовать!) и поискать пандиагональный квадрат 10-го порядка из простых чисел с меньшей магической константой, чем известная на сегодня константа – 3594. Если строить пандиагональные квадраты из простых чисел по данному алгоритму, магическая константа квадрата должна быть кратна 10, поскольку магические константы квадратов 10-го порядка из простых чисел всегда чётные и, кроме того, должны быть кратны 5. Интересно отметить, что минимально возможная магическая константа – 2470 – удовлетворяет этому условию. Не исключено, что существует пандиагональный квадрат 10-го порядка из простых чисел с такой магической константой. А если такой квадрат не существует, в интервале (2470, 3594) ещё много потенциальных магических констант, кратных 10. Так что, тут есть над чем поработать.

 

В заключение отмечу, что и для пандиагональных квадратов 14-го порядка я нашла такой квадрат, в котором работает закон отклонений от комплементарности. Напрашивается вывод: для любого порядка n = 4k  + 2, k = 1, 2, 3, … существует группа пандиагональных квадратов, для которых работает закон отклонений от комплементарности. В случае k = 1 имеем пандиагональные квадраты 6-го порядка, для данного порядка закон отклонений от комплементарности действует для всех пандиагональных квадратов.

 

 

Продолжение следует

 

 

Литература и веб-страницы

 

1. Completion of the Spectrum of Orthogonal Diagonal Latin Squares (J. W. Brown и другие, 1992 г.).

            2. Метод построения магических квадратов порядка n = 4k  +     2. http://www.klassikpoez.narod.ru/mojmetod.htm

3. Нетрадиционные магические квадраты (Метод построения нетрадиционных идеальных квадратов порядка

n = 4k  +     2). http://www.natalimak1.narod.ru.netradic1.htm

            4. Нетрадиционные совершенные квадраты. http://www.natalimak1.narod.ru/sovnetr.htm

            5. Построение пандиагональных квадратов по решёткам Россера. http://www.natalimak1.narod.ru/algross1.htm

 

 

Приложение

 

Думаю, интересно показать, как я получила пандиагональный квадрат, показанный на рис. 10.

Сначала были найдены три пандиагональных квадрата 5-го порядка из различных простых чисел с магической константой 1765. Поместила эти квадраты в три решётки Россера, получила следующий не полностью заполненный квадрат (рис. 11):

 

 

Рис. 11

 

Поскольку четвёртый пандиагональный квадрат 5х5 с магической константой 1765, составленный из других простых чисел, мне найти не удалось, я решила попробовать заполнить чётвёртую решётку по закону отклонений от комплементарности. Интересно, что известные элементы квадрата определяют все 25 отклонений. Всё получилось замечательно! Смотрите готовый пандиагональный квадрат на рис. 12.

 

 

Рис. 12

 

Конечно, в квадрате оказались числа и составные, и одинаковые, и отрицательные. Тем не менее, он пандиагональный! Далее увеличила все элементы квадрата на 502 и получила пандиагональный квадрат, изображённый на рис. 10.

Если поместить в четвёртую решётку любой из трёх пандиагональных квадратов 5х5 или эквивалентную копию любого квадрата, закон отклонений перестаёт работать. Смотрите, например, пандиагональный квадрат, изображённый на рис. 13.

 

 

Рис. 13

 

Посмотрим на квадрат 5х5, который оказался в четвёртой решётке в пандиагональном квадрате 10-го порядка с рис. 12. Смотрите этот квадрат на рис. 14.

 

 

Рис. 14

 

Этот квадрат тоже пандиагональный с магической константой 1765.

Однако я думаю, что если составить пандиагональный квадрат 10-го порядка по алгоритму, использующему закон отклонений от комплементарности, в общем случае квадраты 5х5 в решётках не будут пандиагональными квадратами, хотя сумма чисел в каждом квадрате 5х5, расположенном в любой из решёток, будет одинакова и равна 5S/2.

За примером не надо далеко ходить. Возьмём идеальный квадрат с рис. 5 и выпишем квадрат 5х5 из первой решётки (рис. 15):

 

 

Рис. 15

 

В идеальном квадрате с рис. 5 закон отклонений от комплементарности работает. Его магическая константа равна 850, константа комплементарности равна 170.

Очевидно, что квадрат 5х5, выписанный из первой решётки, не является даже магическим. Но! Этот квадрат обладает свойством пандиагональности. И как легко заметить, он является примитивным. Сумма всех элементов этого квадрата равна 5*850/2 = 2125. Предлагаю читателям проверить квадраты 5х5 в остальных трёх решётках идеального квадрата с рис. 5.

 

Написала простенькую программку для алгоритма, использующего отклонения. Цель эксперимента – построить по данному алгоритму пандиагональный квадрат 10-го порядка из различных натуральных чисел. Взяла такую заготовку (рис 16):

 

 

Рис. 16

 

В квадрате есть 32 элемента, сумма элементов в строках равна 2470. Таких заготовок можно составить множество и очень быстро. Далее первый этап программы: нахождение ещё 32 элементов квадрата и 16 свободных отклонений от комплементарности. Этот этап программы выполняет мгновенно, вот результат:

 

0  0  0  0  0  0  0  0  0  0

0  0  0  0  569  0  0  0  0  197

239  353  17  113  163  191  433  271  383  307

41  137  223  311  443  373  509  367  19  47

593  457  349  181  53  173  227  317  13  107

0  0  0  0  0  0  0  0  0  0

0  0  0  0  211  0  0  0  0  11

521  199  641  487  439  37  3  59  5  79

503  313  337  557  491  71  29  61  101  7

179  281  233  727  797  43  23  89  67  31

 

Это 16 свободных отклонений (p₁₀ – p₂₅):

 

86 -218 -138 -418 -376 -252 -382 -328 -210 -82 -44  142 -14 -56 -246 -410

 

Теперь второй этап программы: вычисление 9 зависимых отклонений по формулам и нахождение остальных элементов квадрата с использованием зависимых отклонений. На этом этапе программа надолго “задумывается”. Тогда я убираю из программы проверку найденных элементов квадрата на принадлежность массиву простых чисел. В этом случае программа выполняется мгновенно и выдаёт такой пандиагональный квадрат (рис. 17):

 

 

Рис. 17

 

Получился пандиагональный квадрат с магической константой 2470, но он, увы, составлен не из простых чисел.

Избавляемся от отрицательных чисел, увеличив все элементы квадрата на 1466, и получаем такой пандиагональный квадрат 10-го порядка из различных натуральных чисел (рис. 18):

 

 

Рис. 18

 

Цель эксперимента достигнута: получен пандиагональный квадрат 10-го порядка из различных натуральных чисел, в котором работает закон отклонений от комплементарности. Магическая константа квадрата равна 17130, константа комплементарности равна 3426.

Посмотрим на квадрат 5х5, расположенный в первой решётке Россера (рис. 19):

 

 

Рис. 19

 

Очевидно, что этот квадрат не магический и свойством пандиагональности не обладает, что и ожидалось в общем случае применения данного алгоритма. Сумма элементов этого квадрата равна 5S/2 = 42825, как и должно быть. Предлагаю читателям проверить квадраты 5х5 в остальных трёх решётках квадрата с рис. 18.

Показана одна простая реализация алгоритма использования закона отклонений от комплементарности. Можно сделать более эффективную реализацию и поискать с помощью данного алгоритма пандиагональные квадраты 10-го порядка из простых чисел с магической константой меньшей 3594.

 

 

16 - 17 июня – 2 - 3 июля 2011 г.

г. Саратов

 

 

На главную страницу сайта:

http://www.klassikpoez.narod.ru/index.htm

 

На главную страницу раздела «Волшебный мир магических квадратов»:

http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm

 

 

Контакты

natalimak1@yandex.ru

QIP 571-379-327