Н. Макарова

 

НЕТРАДИЦИОННЫЕ ПАНДИАГОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ

 

Часть IV

 

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ПАНДИАГОНАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ 9-го ПОРЯДКА

 

 

Так же, как в предыдущей части статьи, представлю сначала некоторые методы построения классических пандиагональных квадратов 9-го порядка. Этот порядок оказался самым сложным на пути исследования классических пандиагональных квадратов. Я писала о квадратах данного порядка очень много, особенно о методах построения идеальных квадратов. Интересно, что и в статье Россера [1] приведено построение только классического пандиагонального квадрата данного порядка и ничего не сказано о нетрадиционных пандиагональных квадратах. Так что алгоритмы построения нетрадиционных пандиагональных квадратов пришлось разрабатывать самостоятельно.

Из всех известных методов построения классических пандиагональных квадратов я покажу только три самых важных, на мой взгляд, в том числе и метод из [1].

 

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ КЛАССИЧЕСКИХ ПАНДИАГОНАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ 9-го ПОРЯДКА

 

Метод № 1. Это метод латинских квадратов. Моим читателям хорошо известен этот метод. Пример взят из сборника статей “Анатомия магических квадратов” [2]. На рис. 1 вы видите иллюстрацию из этого сборника, на которой изображены два ортогональных латинских квадрата 9-го порядка.

 

                       

 

Рис. 1

 

Интересно отметить, что эти латинские квадраты не диагональные, в обоих квадратах по одной диагонали числа не различные, однако сумма чисел в этих диагоналях равна 36 – магической константе латинских квадратов. Второй латинский квадрат получается из первого отражением относительно вертикальной оси симметрии. Из этих ортогональных латинских квадратов можно построить два пандиагональных магических квадрата 9-го порядка; на картинке показаны две формулы для построения. Отметим, что квадраты получаются не только пандиагональные, но и ассоциативные, то есть идеальные. На рис. 2 показан один из двух квадратов, он построен по первой формуле: A + 9B.

 

 

Рис. 2

 

Метод № 2. Этот метод подробно описан в моей статье [3]. Поэтому здесь изложу метод кратко. Сначала строится ассоциативный квадрат 9-го порядка методом составных квадратов, а затем в полученном квадрате выполняется перестановка строк (или столбцов) определённым образом (с шагом 2). На рис. 3 вы видите ассоциативный квадрат, построенный методом составных квадратов.

 

 

Рис. 3

 

Теперь выполним в этом квадрате перестановку столбцов с шагом 2 (подробно см. в указанной статье) и получим следующий идеальный квадрат (рис. 4):

 

 

Рис. 4

 

Если переставить в квадрате с рис. 3 строки по такой же схеме, получится такой идеальный квадрат (рис. 5):

 

 

Рис. 5

 

Построенные данным методом квадраты тоже являются идеальными.

 

Метод №3. Это метод из статьи Россера [1] (теорема 5.5, случай 3). Построенный этим методом квадрат является пандиагональным. Построение основано на использовании примитивного квадрата. Метод работает для любого порядка n = 3m, m ≥ 3 и нечётно.

На рис. 6 показан примитивный квадрат 9-го порядка из статьи.

 

 

Рис. 6

 

К этому примитивному квадрату применяется преобразование, задаваемое следующей формулой:

 

(1)                                          A(i,j) = B(i + j, 2i + 3j)

 

где A(i,j) – элементы примитивного квадрата, B(i + j, 2i + 3j) - элементы пандиагонального квадрата. Индексы вычисляются по модулю 9.

 

В результате получаем такой пандиагональный квадрат (рис. 7):

 

 

Рис. 7

 

Здесь интересно отметить, как получается примитивный квадрат (рис. 6) из самого простого обратимого квадрата. Вспомните, как получается примитивный квадрат из статьи Россера для построения классического пандиагонального квадрата 8-го порядка: к самому простому обратимому квадрату применяется преобразование 3-х квадратов, которое равносильно перестановке столбцов с последующей перестановкой строк по одной и той же схеме. То же самое мы имеем для примитивного квадрата 9-го порядка. Покажу это подробно. На рис. 8 изображён самый простой обратимый квадрат 9-го порядка.

 

 

Рис. 8

 

Схема перестановки столбцов и строк такая: перестановка выполняется в тройках, в первой тройке столбцов ничего не меняем, во второй тройке  столбцы записываются в таком порядке: 3-ий, 1-ый, 2-ой; в третьей тройке столбцы записываются в таком порядке: 2-ой, 3-ий, 1-ый. По такой же схеме затем переставляются строки. Результат выполнения первого этапа – перестановки столбцов в обратимом квадрате с рис. 8 – показан на рис. 9.

 

 

Рис. 9

 

Теперь в полученном квадрате выполним перестановку строк по такой же схеме. В результате получим следующий квадрат (рис. 10):

 

 

Рис. 10

 

И мы получили примитивный квадрат, построенный в статье Россера (см. рис. 6).

 

В заключение ещё одно замечание. Преобразование, заданное формулой (1), я заменяю равносильным матричным преобразованием (см. рис. 11). Мне удобнее пользоваться таким преобразованием. Преобразование применяется к примитивному квадрату, имеющему матрицу A(i,j) (индексация в естественном порядке). Показанная на рис. 11 матрица есть матрица получаемого пандиагонального квадрата.

 

 

 

Рис. 11

 

На этом завершаю рассказ о методах построения классических пандиагональных квадратов. Есть ещё другие методы, например, разработанный мной метод качелей; его можно посмотреть в моих ранних статьях.

 

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ НЕТРАДИЦИОННЫХ ПАНДИАГОНАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ 9-го ПОРЯДКА

 

Методы построения пандиагональных квадратов из произвольных натуральных чисел довольно простые. Вот один из них.

 

Метод № 1. Возьмём 9 арифметических прогрессий длины 9 из произвольных натуральных чисел с одинаковой разностью (любой), первые члены которых образуют арифметическую прогрессию. Запишем эти прогрессии в форме примитивного квадрата (рис. 12); пронумеруем числа в этом квадрате в естественном порядке и заполним матрицу 9х9 на основе какого-нибудь классического идеального квадрата, например, квадрата с рис. 2 (числа в классическом квадрате суть порядковые номера чисел в примитивном квадрате). И идеальный квадрат 9-го порядка готов (рис. 14).

 

 

Рис. 12. Примитивный квадрат из арифметических прогрессий

 

Для удобства заполнения  вставляю в примитивный квадрат нумерацию его чисел (рис. 13).

 

 

Рис. 13. Примитивный квадрат с пронумерованными числами

 

Заполняем матрицу 9х9 числами из примитивного квадрата в соответствии с классическим идеальным квадратом с рис. 2. Готовый идеальный квадрат 9-го порядка (рис. 14):

 

 

Рис. 14. Нетрадиционный идеальный квадрат из произвольных натуральных чисел

 

Обозначим: a – первый член первой арифметической прогрессии, b – разность прогрессий, c – разность прогрессии, образуемой первыми членами прогрессий. Тогда магическая константа S идеального квадрата, составленного из чисел этих арифметических прогрессий, выразится следующей формулой:

 

S = 9[a + 4(b + c)]

 

В приведённом примере имеем: a = 4, b = 5, c = 43, S = 9[4 + 4(5 + 43)] = 1764.

 

Точно так же можно построить пандиагональный (не идеальный) квадрат из чисел арифметических прогрессий, удовлетворяющих указанным свойствам, заполняя матрицу в соответствии с каким-нибудь классическим пандиагональным квадратом. Для примера возьмём классический квадрат из статьи Россера (рис. 7) и те же самые арифметические прогрессии. Готовый пандиагональный квадрат вы видите на рис. 15.

 

 

Рис. 15. Нетрадиционный пандиагональный квадрат из произвольных натуральных чисел

 

Таким образом, достаточно найти 9 арифметических прогрессий указанного вида из простых чисел или из смитов, чтобы построить пандиагональные и идеальные квадраты 9-го порядка. Однако найти такие арифметические прогрессии очень непросто. Теоретически из простых чисел такие прогрессии точно существуют. Относительно прогрессий из смитов ничего не могу сказать, но предполагаю, что из смитов тоже существуют.

Можно привести пример пандиагонального квадрата, построенного из чисел одной арифметической прогрессии длины 9 из простых чисел: a₁=199, a₂=409, a₃=619, a₄=829, a₅=1039, a₆=1249, a₇=1459, a₈=1669, a₉=1879.

Этот квадрат вы видите на рис. 15а. Конечно, в квадрате много одинаковых чисел.

 

 

Рис. 15а. Нетрадиционный пандиагональный квадрат из простых чисел (с повторениями)

 

А на рис. 15б показан идеальный квадрат, построенный из чисел этих же прогрессий на основе классического идеального квадрата, изображённого на рис. 22.

 

 

Рис. 15б. Нетрадиционный идеальный квадрат из простых чисел (с повторениями)

 

Метод № 2. В этом методе тоже строится примитивный квадрат, но по-другому: из 9 одинаковых примитивных квадратов 3х3. Конечно, в этом случае пандиагональный квадрат 9-го порядка получается с повторяющимися числами, но всё равно это нетрадиционный пандиагональный квадрат. В качестве примитивного квадрата 3х3 возьмём квадрат из простых чисел, изображённый на рис. 16.

 

 

Рис. 16

 

Примитивный квадрат 9х9, составленный из 9 таких примитивных квадратов 3х3, показан на рис. 17.

 

 

Рис. 17. Примитивный квадрат

 

Пронумеруем теперь числа этого примитивного квадрата и заполним матрицу 9х9 в соответствии с классическим пандиагональным квадратом из статьи Россера (рис. 7). В результате получим следующий пандиагональный квадрат 9-го порядка из простых чисел (рис. 18):

 

 

Рис. 18. Нетрадиционный пандиагональный квадрат из простых чисел с повторениями

 

Можно было сделать так: преобразовать примитивный квадрат с рис. 17, переставив в нём строки и столбцы, как показано в методе построения классического пандиагонального квадрата из статьи Россера (преобразование обратимого квадрата), а затем применить к преобразованному примитивному квадрату матричное преобразование, показанное на рис. 11. Пандиагональный квадрат 9-го порядка получится такой же, как на рис. 18.

Покажу преобразованный примитивный квадрат (рис. 19):

 

 

Рис. 19. Примитивный квадрат (преобразованный)

 

Фактически этот метод есть не что иное, как метод Россера (метод № 3), но только для нетрадиционного пандиагонального квадрата; соответственно примитивный квадрат, используемый для построения, совсем другой.

Единственный недостаток полученного нетрадиционного пандиагонального квадрата в том, что в нём есть одинаковые числа. Но иногда квадраты с повторяющимися числами очень полезны для анализа. Мне, например, очень помог один нетрадиционный идеальный квадрат 8-го порядка с повторяющимися числами, в нём очень прозрачны некоторые закономерности.

 

Мне стало любопытно, только ли по классическому квадрату Россера можно получить пандиагональный квадрат из примитивного квадрата, изображённого на рис. 17. Я взяла другой классический пандиагональный квадрат 9-го порядка (рис. 20) и построила квадрат в соответствии с этим квадратом из этого же примитивного квадрата. Пандиагональный квадрат тоже получился (см. рис. 21).

 

 

Рис. 20. Классический пандиагональный квадрат

 

 

Рис. 21. Нетрадиционный пандиагональный квадрат из простых чисел с повторениями

 

Структура этого пандиагонального квадрата интереснее, чем структура квадрата, полученного по классическому квадрату Россера (рис. 18), а именно: в квадрате на рис. 21 в каждой строке, каждом столбце и в главных диагоналях расположен один и тот же набор чисел – все 9 чисел из исходного примитивного квадрата 3х3. Внимательный читатель увидит в этом квадрате и другие закономерности, которые очень прозрачны.

 

Ещё один пример. Теперь возьмём для построения классический идеальный квадрат 9-го порядка, изображённый на рис. 22, и в соответствии с этим квадратом построим нетрадиционный пандиагональный квадрат из того же примитивного квадрата с рис. 17.

 

 

Рис. 22. Классический идеальный квадрат

 

 

Рис. 23. Нетрадиционный пандиагональный квадрат

 

Квадрат, конечно, не получился идеальным, свойством ассоциативности он не обладает. Но есть свойство, весьма родственное ассоциативности: во всех парах ячеек, симметрично расположенных относительно центра квадрата, находятся только такие пары чисел: 5 – 31, 13 – 23, 53 – 71, 59 – 67, 107 – 107. Если расположить весь набор чисел в порядке возрастания:

 

5, 13, 23, 31, 53, 59, 67, 71, 107

 

станет очевидно, как упорядоченно образованы эти пары чисел.

 

Следовательно, делаем вывод: из примитивного квадрата, составленного из произвольных натуральных чисел специальным образом (об условиях, которым должен удовлетворять примитивный квадрат, будет сказано ниже), можно получить различные пандиагональные квадраты, а не только пандиагональный квадрат, получаемый преобразованием Россера.

 

Метод № 3. Этот метод основан на методе № 2 для классических идеальных квадратов. Интересно, что на первом этапе здесь строится ассоциативный нетрадиционный квадрат 9-го порядка методом составных квадратов. Я ещё не использовала в своих статьях этот метод для нетрадиционных магических квадратов. Итак, строим нетрадиционный ассоциативный квадрат 9-го порядка методом составных квадратов, в качестве базового квадрата, конечно, надо взять один из вариантов классического квадрата 3-го порядка (рис. 24), а в качестве основного возьмём квадрат 3-го порядка из простых чисел (рис. 25).

 

 

Рис. 24

 

 

Рис. 25

 

На рис. 26 вы видите ассоциативный квадрат 9-го порядка, построенный с помощью этих квадратов методом составных квадратов.

 

 

Рис. 26. Нетрадиционный ассоциативный квадрат

 

В этом квадрате сразу два недостатка: не все числа простые и есть одинаковые числа. Теперь переставим в этом ассоциативном квадрате столбцы по определённой схеме (подробно в [3]) и получим нетрадиционный идеальный квадрат 9-го порядка (рис. 27).

 

 

Рис. 27. Нетрадиционный идеальный квадрат

 

Можно переставить в ассоциативном квадрате с рис. 26 строки по такой же схеме, получится новый идеальный квадрат.

 

Ещё один пример. Основной и базовый квадраты те же, но в формуле составного квадрата я прибавляла числа вида 210k, а не вида 9k, как это положено делать в методе составных классических квадратов и как это делалось в первом примере.

На рис. 28 показан ассоциативный квадрат, а на рис. 29 полученный из него перестановкой столбцов идеальный квадрат. В этом квадрате уже больше половины простых чисел. Важно в данном примере – новая формула составного квадрата. В случае нетрадиционных квадратов можно прибавлять числа вида mk, m – любое натуральное число, k = 1, 2, 3, …, 8.

 

 

Рис. 28. Нетрадиционный ассоциативный квадрат

 

 

Рис. 29. Нетрадиционный идеальный квадрат

 

В этом идеальном квадрате нет одинаковых чисел, и только 32 числа не являются простыми. Первое приближение к искомому идеальному квадрату из простых чисел. Магическая константа квадрата равна 8091.

 

Таким образом, чтобы построить идеальный квадрат 9-го порядка из простых чисел (из смитов) данным методом достаточно найти магический квадрат 3-го порядка (a_ij) из простых чисел (из смитов) и такое число m, чтобы все числа a_ij + mk (k = 1, 2, 3, …, 8) тоже были простыми числами (смитами). Однако решить эту задачу непросто.

 

Метод № 4. Итак, мы установили, что методом Россера для построения классического пандиагонального квадрата 9-го порядка с применением примитивного квадрата можно построить и нетрадиционные пандиагональные квадраты. Теперь надо определить, какими же могут быть примитивные квадраты, чтобы можно было применить метод Россера.

 

Отмечу ещё раз, что при построении нетрадиционных пандиагональных квадратов методом Россера возможны два способа: 1) построить примитивный квадрат, пронумеровать его числа и заполнить матрицу 9х9 в соответствии: а) с классическим пандиагональным квадратом Россера, изображённым на рис. 7; б) с любым другим классическим пандиагональным квадратом; 2) построить примитивный квадрат (тот же самый, что в способе 1), преобразовать его (перестановка строк и столбцов по определённой схеме), применить к полученному квадрату матричное преобразование, показанное на рис. 11. Эти способы равносильны и показаны выше. В дальнейшем я буду пользоваться способом 1а.

 

Выше показаны уже два примера применения метода Россера. В первом примере примитивный квадрат построен из 9 арифметических прогрессий длины 9 с одинаковой разностью таких, что их первые члены образуют арифметическую прогрессию (см. рис. 12). Во втором примере примитивный квадрат построен из 9 одинаковых примитивных квадратов 3х3 из простых чисел (см. рис. 17).

Чтобы понять “анатомию” примитивного квадрата, я разложила классический пандиагональный квадрат Россера на два ортогональных латинских квадрата. На рис. 30 вы видите первый из двух ортогональных латинских квадратов, записанный в символьном виде.

 

 

Рис. 30

 

Если внимательно посмотреть на этот латинский квадрат, легко увидеть: для того чтобы построенный с его помощью квадрат был пандиагональным, достаточно выполнение следующего условия:

 

(2)              a₁ + a₆ + a₈ = a₂ + a₄ + a₉ = a₃ + a₅ + a₇

 

Таким образом, можно взять 9 арифметических прогрессий длины 9 с одинаковой разностью, первые члены которых a_i удовлетворяют приведённому условию (2). И вот такой пример примитивного квадрата (рис. 31):

 

 

Рис. 31. Примитивный квадрат

 

Применив к этому примитивному квадрату метод Россера, получим следующий пандиагональный квадрат (рис. 32):

 

 

Рис. 32. Нетрадиционный пандиагональный квадрат

 

Ещё один аналогичный пример (я строила много квадратов данным методом, прежде чем поняла закономерности примитивного квадрата; не хочется, чтобы примеры пропали). На рис. 33 – 34 показаны примитивный квадрат и полученный из него пандиагональный квадрат.

 

 

Рис. 33. Примитивный квадрат

 

 

Рис. 34. Нетрадиционный пандиагональный квадрат

 

В следующем примере примитивный квадрат строится аналогично, но как бы повёрнут на 90 градусов, то есть первые члены арифметических прогрессий расположены не в первом столбце, а в первой строке примитивного квадрата, при этом они удовлетворяют тому же условию (2). На рис. 35 вы видите примитивный квадрат, а на рис. 36 полученный из него методом Россера пандиагональный квадрат.

 

 

Рис. 35. Примитивный квадрат

 

 

Рис. 36. Нетрадиционный пандиагональный квадрат

 

Наконец, самый интересный пример. Оказывается можно взять наборы из 9 чисел, удовлетворяющих условию (2), и в первой строке, и в первом столбце примитивного квадрата. В примитивном квадрате, показанном на рис. 37, я взяла в первой строке такой же набор чисел, как в квадрате на рис. 33, а в первом столбце взяла другой набор чисел, удовлетворяющих условию (2). Немного неудачно выбрала наборы чисел, в квадрате получились одинаковые числа. Но это не столь важно сейчас, главное показать, что метод работает.

 

 

Рис. 37. Примитивный квадрат

 

 

Рис. 38. Нетрадиционный пандиагональный квадрат

 

Чтобы получить примитивный квадрат, составленный из различных натуральных чисел, написала программку, реализующую данный метод. Полученный по программе примитивный квадрат показан на рис. 39. Числа в первой строке примитивного квадрата выбрала произвольно, конечно, чтобы они удовлетворяли условию (2). Числа в первом столбце, а также все остальные числа в примитивном квадрате получены по программе, в программе заложена проверка на различность всех чисел.

 

 

Рис. 39. Примитивный квадрат

 

Превращаем этот примитивный квадрат в пандиагональный (рис. 40):

 

 

Рис. 40. Нетрадиционный пандиагональный квадрат

 

Теперь получился совсем полноценный нетрадиционный пандиагональный квадрат, составленный из различных натуральных чисел. Конечно, как и к классическим пандиагональным квадратам, к нетрадиционным пандиагональным квадратам можно применять преобразование параллельного переноса на торе. Получим с помощью этого преобразования из квадрата с рис. 40 пандиагональный квадрат, начинающийся с числа 1 (как знают читатели,  мои самые любимые квадраты начинаются с числа 1). Преобразованный квадрат вы видите на рис. 41.

 

 

Рис. 41. Нетрадиционный пандиагональный квадрат (преобразованный)

 

Итак, нетрадиционный пандиагональный квадрат 9-го порядка методом Россера построен.

Обозначим элементы первой строки и первого столбца примитивного квадрата, как показано на рис. 42.

 

 

Рис. 42. Общий вид примитивного квадрата 9х9

 

Для того чтобы из данного примитивного квадрата 9х9 можно было построить пандиагональный квадрат с помощью преобразования Россера, достаточно, чтобы выполнялись условия:

 

(3)                                          c + a₅ + a₇ = a₁ + a₃ + a₈ = a₂ + a₄ + a₆

                                                                  c + b₅ + b₇ = b₁ + b₃ + b₈ = b₂ + b₄ + b₆

 

Являются ли эти условия и необходимыми?

Можно ли найти наборы из простых чисел и из смитов, удовлетворяющие условиям (3)? К тому же, в этих случаях мало найти нужные элементы первой строки и первого столбца примитивного квадрата, надо, чтобы ещё все элементы примитивного квадрата тоже были простыми числами (или смитами). Мне пока не удалось решить эту задачу.

 

Последнее замечание. Не составляет никакого труда из потенциального массива, состоящего точно из 81 произвольных натуральных чисел, построить обычный магический квадрат 9-го порядка по программе Стефана Тогнон. Если такой квадрат существует, он строится за 1-2 секунды. Но вот если не существует, тогда программа надолго задумывается и ничего конкретного “не говорит”. Взяла массив чисел, из которых составлен квадрат на рис. 41, ввела его в программу, программа моментально выдала магический квадрат:

 

ORDER=9  MAGIC=1134

 

38  67  211 97  159 181 44  172 165

192 310 235 80  92  71  30  84  40 

27  72  4   70  222 250 232 82  175

241 115 53  74  103 57  226 60  205

62  58  233 112 61  304 37  266 1  

244 68  150 86  152 106 198 47  83 

34  216 149 248 59  56  214 77  81 

217 221 94  41  199 64  63  89  146

79  7   5   326 87  45  90  257 238

 

Из произвольных простых чисел тоже обычный магический квадрат 9-го порядка строится очень быстро, если он существует из заданного массива чисел. Пример покажу ниже. А вот для нетрадиционных пандиагональных квадратов 9-го порядка такой хорошей программы, увы, нет.

 

Метод № 4. Это метод построения нетрадиционных идеальных квадратов 9-го порядка. Выше уже говорилось, что такие квадраты можно построить из чисел 9 арифметических прогрессий длины 9, первые члены которых тоже образуют арифметическую прогрессию. Я разработала ещё один метод построения нетрадиционных идеальных квадратов. На рис. 43 представлена общая схема идеального квадрата 9-го порядка.

 

 

Рис. 43. Общая схема идеального квадрата 9-го порядка

 

Понятно, что элемент и соответствующий элемент со штрихом – это “парные” элементы, то есть элементы из одной комплементарной пары чисел, их сумма равна константе комплементарности, а для идеального квадрата и константе ассоциативности K. Элемент в центральной ячейке e₅ = K/2, магическая константа квадрата S = 9e₅.

Массив для построения идеального квадрата 9-го порядка должен содержать не менее 40 комплементарных пар чисел.

На рис. 22 изображён классический идеальный квадрат 9-го порядка, на основе которого я составляла программу, то есть использовала структуру этого квадрата, когда распределяла элементы в комплементарных парах (первый или второй). Продублирую этот квадрат (рис. 44):

 

 

Рис. 44. Классический идеальный квадрат

 

Кроме того, я использовала закономерности в примитивных квадратах 3х3, из которых состоит идеальный квадрат, как частный случай пандиагонального квадрата. Всё это позволило свести количество независимых переменных в программе к 11. И всё же мне пока не удалось найти идеальный квадрат из простых чисел.

Несколько первых потенциальных массивов из простых чисел (рис. 45):

 

 

Рис. 45

 

Попробовала по программе Стефана Тогнон построить обычные магические квадраты из данных потенциальных массивов простых чисел; в массивах, содержащих более 40 комплементарных пар, удаляла лишние пары в конце массива (вообще можно удалять любые пары), оставляя ровно 40 пар. Долго не ждала квадрата, первый квадрат быстро удалось построить из массива с центральным числом 1433, содержащего ровно 40 комплементарных пар. Этот магический квадрат показан на рис. 46.

 

 

Рис. 46. Обычный магический квадрат

 

И при повторном запуске программы из этого же массива быстро строится новый магический квадрат:

 

ORDER=9  MAGIC=12897

 

137  419  2633 797  1283 2309 179  2843 2297

2753 5    1427 2039 443  2837 1493 467  1433

1019 1637 449  1913 2819 1307 29   2861 863 

2273 173  167  2417 2399 389  2609 2213 257 

233  2477 1439 113  2693 1499 1259 977  2207

953  2777 839  1367 2003 1889 2729 23   317 

1607 1847 2699 599  557  2069 593  659  2267

2549 1583 2357 1229 47   89   2447 2027 569 

1373 1979 887  2423 653  509  1559 827  2687

 

Впрочем, в программе С. Тогнон можно сразу задать количество квадратов, которое мы хотим получить.

 

Можно ли построить из данного массива простых чисел идеальный квадрат? Пока ответа на этот вопрос у меня нет. Кстати, в программе С. Тогнон можно ввести некоторые изменения, чтобы она была нацелена на построение идеального квадрата. Но это надо делать в исходном коде программы, у меня же исполняемая программа. В этой программе, насколько мне известно, используется вероятностный алгоритм, то есть случайная генерация 9 наборов из 9 чисел с последующей перестановкой чисел в этих наборах, чтобы получить суммы по столбцам и главным диагоналям квадрата. Я тоже строила обычные магические квадраты из простых чисел по такому алгоритму. В этом способе вероятность выбора таких наборов, в которых числа расположатся, как требуется в идеальном квадрате, очень мала. Можно построить тысячи магических квадратов, и ни один из них не будет идеальным, даже если идеальный квадрат из данного массива чисел существует.

 

Для этого же массива запускаю свою программу построения идеального квадрата, вставив в неё остановку сразу после формирования первой строки квадрата и симметричной ей последней строки. Этот этап программа выполняет в долю секунды, на рис. 47 показан результат этого этапа.

 

 

Рис. 47

 

В формировании этих двух строк задействовано 8 независимых переменных (a₁, b₁, c₁, a₂, b₂, c₂, a₃, b₃; см. рис. 43), а на достраивание показанного полуфабриката остаётся всего 3 независимых переменных. Однако на достраивании программа “буксует”. Полуфабрикаты показанного на рис. 47 вида строятся очень быстро из многих потенциальных массивов простых чисел.

 

Задача построения пандиагонального и/или идеального квадрата 9-го порядка из различных простых чисел включена в проводимый мной на форуме dxdy.ru конкурс “Нетрадиционные пандиагональные квадраты” [4]. Однако решения этой задачи пока не получено.

 

ДОБАВЛЕНИЕ (11 марта 2011 г.)

 

Получено решение задачи о построении пандиагонального квадрата 9-го порядка из простых чисел одним из участников конкурса. Но об этом расскажу чуть позже. А сейчас продолжу развивать метод построения нетрадиционных идеальных квадратов 9-го порядка. На рис. 43 показана общая схема такого квадрата. Я решила составить общую схему примитивного квадрата для идеального квадрата 9-го порядка, точно так, как это делала при построении нетрадиционного идеального квадрата 7-го порядка. Вот какая схема примитивного квадрата у меня получилась (рис. 48):

 

 

Рис. 48

 

Квадрат получился замечательный, он симметрический. Этот примитивный квадрат полный аналог обратимого квадрата. Вспоминаю, что ранее мной разработан метод построения классических идеальных квадратов 9-го порядка из обратимых квадратов. Для этого составлено матричное преобразование (см. статью [5]). Продублирую здесь это матричное преобразование (рис. 49):

 

 

Рис. 49. Матричное преобразование для квадрата 9-го порядка

 

Если применить это матричное преобразование к любому обратимому квадрату 9-го порядка, получится классический идеальный квадрат. Теперь построю примитивный квадрат по схеме, показанной на рис. 48, и применю к нему данное матричное преобразование. Примитивный квадрат вы видите на рис. 50.

 

 

Рис. 50. Примитивный квадрат для идеального квадрата

 

Применяем преобразование, получаем следующий нетрадиционный идеальный квадрат 9-го порядка (рис. 51):

 

 

Рис. 51. Нетрадиционный идеальный квадрат

 

Можно и не пользоваться матричным преобразованием, а поступить так: пронумеровать числа примитивного квадрата в естественном порядке и заполнить матрицу 9х9 в соответствии с любым классическим идеальным квадратом 9-го порядка. Покажу пример; за основу возьмём классический идеальный квадрат, изображённый на рис. 2, примитивный квадрат тот же (рис. 50). На рис. 52 показан полученный этим способом нетрадиционный идеальный квадрат.

 

 

Рис. 52. Нетрадиционный идеальный квадрат (вариант)

 

Написала новую программу – для построения примитивного квадрата по схеме, изображённой на рис. 48. Удалось уменьшить количество независимых переменных с 11 до 7. Программа работает намного быстрее. Но пока примитивный квадрат не найден.

Покажу выданный программой полуфабрикат для центрального числа 1747 (рис. 53):

 

 

Рис. 53. Полуфабрикат примитивного квадрата

 

Полученными числами примитивный квадрат уже полностью определяется. Достраиваю его вручную (рис. 54):

 

 

Рис. 54. Примитивный квадрат

 

Конечно, в квадрате получились самые разные числа: и не простые, и одинаковые, и даже одно число отрицательное. Тем не менее, квадрат примитивный, и, применив к нему матричное преобразование с рис. 49, получаем следующий нетрадиционный идеальный квадрат 9-го порядка (рис. 55):

 

 

Рис. 55. Нетрадиционный идеальный квадрат

 

От отрицательного числа легко избавиться, увеличив все элементы квадрата на одну и ту же величину, например, на 174.

 

Любопытно посмотреть на примитивный квадрат, построенный по программе для массива, состоящего из первых 81 натуральных чисел (рис. 56):

 

 

Рис. 56. Примитивный (обратимый) квадрат

 

Понятно, что этот примитивный квадрат является обратимым квадратом. Это решение программа выдаёт мгновенно. Применим к примитивному квадрату матричное преобразование с рис. 49, получим следующий классический идеальный квадрат (рис. 57):

 

 

Рис. 57. Классический идеальный квадрат

 

Имеем ещё один способ построения классических идеальных квадратов 9-го порядка. Начальная цепочка в квадрате получилась “буквой Г” (ход шахматного коня), она выделена на рисунке сиреневым цветом. Понятно, что программа построит не один примитивный квадрат, просто в ней сделан выход в конец после первого найденного квадрата.

 

И последний пример покажу. Взяла примитивный квадрат, построенный мной ранее для идеального квадрата 7-го порядка из простых чисел, и достроила его до примитивного квадрата 9х9 (рис. 58).

 

 

Рис. 58. Примитивный квадрат, полученный достраиванием примитивного квадрата 7х7

 

Понятно, что при достраивании не все числа получились простые, но простых уже 60 штук. Применяю к этому примитивному квадрату матричное преобразование с рис. 49 и получаю следующий нетрадиционный идеальный квадрат 9-го порядка (рис. 59):

 

 

Рис. 59. Нетрадиционный идеальный квадрат, в котором 21 не простых чисел

 

Пока только такой нетрадиционный идеальный квадрат 9-го порядка у меня получился, это второе приближение к искомому решению, в первом найденном квадрате 32 числа не простые (см. рис. 29). Думаю, что найти идеальный квадрат, полностью состоящий из простых чисел, непросто, сразу не получится. Я уже проверила потенциальные массивы с центральными числами 1277 – 1759, квадрат не найден.

 

Интересно отметить: если взять любой примитивный квадрат, построенный для идеального квадрата 9-го порядка, удалить в нём две строки и два столбца, например, так, как показано на рис. 60 (удаляются строки и столбцы, выделенные белым цветом), получится примитивный квадрат для идеального квадрата 7-го порядка.

 

 

Рис. 60. Примитивный квадрат для идеального квадрата

 

Можно удалять любые две строки и два столбца, не нарушая симметричности квадрата.

На рис. 61 изображён полученный в результате удаления примитивный квадрат 7х7, который превращается в нетрадиционный идеальный квадрат 7-го порядка с помощью матричного преобразования, приведённого в [5].

 

 

Рис. 61. Примитивный квадрат 7х7, полученный из примитивного квадрата 9х9

 

Дублирую из [5] матричное преобразование для квадрата 7-го порядка, рис. 62:

 

 

Рис. 62. Матричное преобразование для квадрата 7-го порядка

 

Применяю его к примитивному квадрату с рис. 61 и получаю следующий нетрадиционный идеальный квадрат 7-го порядка (рис. 63):

 

 

Рис. 63. Нетрадиционный идеальный квадрат 7-го порядка

 

Конечно, в этом квадрате тоже не все числа простые.

Идеальный квадрат 7-го порядка из простых чисел построен мной раньше (см. предыдущие части настоящей статьи).

 

***

 

Теперь расскажу о полученных пандиагональных квадратах 9-го порядка из простых чисел. Задачу блестяще решил участник конкурса Алексей Чернов. Он нашёл два пандиагональных квадрата из простых чисел. Но прежде чем показать его квадраты, расскажу, как я пыталась построить примитивный квадрат 9х9, удовлетворяющий полученным мной условиям. Сначала я нашла последовательность из 9 чисел, элементы которой удовлетворяют нужному условию:

 

5, 31, 47, 41, 61, 7, 131, 227, 167

 

Затем пыталась строить примитивный квадрат, то есть искала следующие строки, но после 4 новых строк программа надолго “задумалась”. Вот какие строки мне удалось найти:

 

71 97 113 107 127 73 197 293 233

521 547 563 557 577 523 647 743 683

1061 1087 1103 1097 1117 1063 1187 1283 1223

 

Потом ещё пыталась найти нужные последовательности из примитивных квадратов 11х11 и 13х13. Тоже ничего не получилось. Открыла на форуме dxdy.ru тему с этой задачей ([6]), но и там никто не помог её решить.

Наконец, пришло решение от А. Чернова. На рис. 64 – 65 показаны квадраты, найденные Алексеем.

 

 

Рис. 64

 

Магическая константа равна 34.072.478.061.

 

 

Рис. 65

 

Магическая константа равна 40.538.542.911.

 

Теперь мне понятно, почему моя программа не выдавала следующие строки, у меня задействован очень маленький массив простых чисел. В квадратах Чернова огромные числа. Конечно, и магические константы получились очень большие. Можно ли найти пандиагональные квадраты 9-го порядка из простых чисел с меньшими магическими константами? Предлагаю читателям исследовать этот вопрос.

 

Смотрите алгоритм А. Чернова в [7]. Мы с Алексеем сравнили наши алгоритмы и пришли к выводу, что они эквивалентны.

 

ДОБАВЛЕНИЕ (17 марта 2011 г.)

 

Немного продолжила работать над построением идеального квадрата 9-го порядка из простых чисел. Во-первых, полностью отладила программу построения, реализующую представленный выше алгоритм, основанный на построении примитивного квадрата (см. схему на рис. 48). Программу выложила на форуме dxdy.ru в теме “Магические квадраты” [8], там подробно описано, как пользоваться программой. Ссылка для скачивания программы [9].

 

Затем очень интересное развитие получил метод № 3. Оказывается, достаточно построить такой примитивный квадрат 9х9, в котором и элементы первой строки, и элементы первого столбца удовлетворяют условию: из них можно составить магический квадрат 3-го порядка. Покажу пример. На рис. 66 вы видите примитивный квадрат из произвольных натуральных чисел, удовлетворяющий указанному условию.

 

 

Рис. 66. Примитивный квадрат 9х9

 

Поясню ещё. Из элементов первой строки этого примитивного квадрата можно построить такой магический квадрат 3-го порядка (рис. 67):

 

 

Рис. 67

 

А из элементов первого столбца составляется такой магический квадрат 3-го порядка (рис. 68):

 

 

Рис. 68

 

Понятно, что благодаря свойству примитивного квадрата, магические квадраты 3-го порядка можно составить и из элементов всех остальных строк и столбцов.

 

Применим к примитивному квадрату с рис. 66 матричное преобразование, показанное на рис. 49, получим такой идеальный квадрат 9-го порядка (рис. 69):

 

 

Рис. 69. Идеальный квадрат 9-го порядка из произвольных натуральных чисел

 

Понятно, что идеальный квадрат, построенный по данному алгоритму, состоит из девяти магических квадратов 3-го порядка. На рис. 70 – 71 показаны цветными ячейками два магических квадрата; в первом случае квадраты, образованные элементами строк примитивного квадрата, во втором – образованные элементами столбцов.

 

 

Рис. 70. Расположение магических квадратов 3-го порядка в идеальном квадрате 9-го порядка

 

 

Рис. 71. Расположение магических квадратов 3-го порядка в идеальном квадрате 9-го порядка

 

Видим знаменитое расположение “буквой Г” (ход шахматного коня).

 

Теперь осталось применить этот алгоритм так, чтобы примитивный квадрат получился составленным из простых и различных чисел. Насколько это сложно?

Вспомним, как были построены пандиагональные квадраты 9-го порядка. Выбиралась некоторая исходная последовательность из 9 чисел, удовлетворяющих определённому условию. Затем искались подобные последовательности (то есть последовательности с такими же разностями между соседними членами), таких последовательностей надо найти как можно больше. Далее среди первых членов этих последовательностей искали такие 9 элементов, которые удовлетворяют тому же условию, как и исходная последовательность.

В предложенном сейчас алгоритме стратегия такая же. Берём исходную последовательность из 9 простых чисел, таких, чтобы из них составлялся магический квадрат 3-го порядка. Например, такую:

 

5, 17, 29, 47, 59, 71, 89, 101, 113

 

Ищем подобные последовательности из простых чисел, как можно больше, при этом следим, чтобы числа в последовательностях не повторялись. Затем проверяем, можно ли найти среди первых членов этих последовательностей 9 таких, из которых составляется магический квадрат 3-го порядка.

 

Напомню: для того чтобы из 9 чисел можно было составить магический квадрат 3-го порядка, необходимо и достаточно, чтобы эти числа образовывали три арифметических прогрессии с одинаковой разностью, первые члены которых образуют арифметическую прогрессию.

Конечно, условия для примитивного квадрата, строящегося для идеального квадрата, жёстче, чем для примитивного квадрата, строящегося для пандиагонального квадрата. Поэтому и найти нужные последовательности непросто. Но попытаться можно.

 

ДОБАВЛЕНИЕ (24 марта 2011 г.)

 

А. Чернову удалось найти пандиагональный квадрат 9-го порядка из простых чисел с меньшей магической константой (рис. 72). [7]

 

 

 

Рис. 72. Пандиагональный квадрат 9-го порядка из простых чисел А. Чернова

 

Магическая константа квадрата равна 12108303.

 

***

 

Забыла рассказать о нерегулярных пандиагональных квадратах 9-го порядка. В [1] приведён классический нерегулярный пандиагональный квадрат (рис. 73):

 

 

Рис. 73. Классический нерегулярный пандиагональный квадрат

 

Я построила нетрадиционный нерегулярный пандиагональный квадрат из произвольных натуральных чисел (рис. 74):

 

 

Рис. 74. Нетрадиционный нерегулярный пандиагональный квадрат

 

Но этот квадрат является “наложением” на классический квадрат с рис. 73 арифметических прогрессий. Из чисел этих прогрессий можно составить и регулярный пандиагональный квадрат, точно так же, как из первых 81 натуральных чисел можно строить и регулярные, и нерегулярные классические пандиагональные квадраты.

Чтобы построить совсем произвольный нетрадиционный нерегулярный пандиагональный квадрат 9-го порядка, надо воспользоваться общей формулой такого квадрата, как это показано на примере построения нетрадиционного нерегулярного идеального квадрата 7-го порядка (см. часть II настоящей статьи).

 

ДОБАВЛЕНИЕ (6 июня 2011 г.)

 

А. Чернову удалось построить несколько идеальных квадратов 9-го порядка (см.[10]). Покажу эти квадраты. Это самый первый из простых чисел:

 

9:[pa]:30663:
6803,6521,6551,251,233,113,53,3347,6791,

827,641,617,593,6257,6311,6323,6353,2741,

1667,5711,4673,4733,5381,971,3191,2963,1373,

4481,4421,1583,683,4937,761,4967,4817,4013,

4547,3593,4517,5303,3407,1511,2297,3221,2267,

2801,1997,1847,6053,1877,6131,5231,2393,2333,

5441,3851,3623,5843,1433,2081,2141,1103,5147,

4073,461,491,503,557,6221,6197,6173,5987,

23,3467,6761,6701,6581,6563,263,293,11

 

 

 

Далее показаны два интересных классических идеальных квадрат, построенные Алексеем по этой же программе. Как написал Алексей, - для коллекции.

9:[pa]:369:
81,74,76,7,5,4,3,39,80,

15,14,13,12,57,71,72,73,42,

37,66,29,61,33,18,63,38,24,

27,46,59,50,65,30,26,31,35,

62,22,28,34,41,48,54,60,20,

47,51,56,52,17,32,23,36,55,

58,44,19,64,49,21,53,16,45,

40,9,10,11,25,70,69,68,67,

2,43,79,78,77,75,6,8,1

 

 

 

Интересный классический идеальный квадрат. Совершенно хаотична начальная цепочка.

9:[pa]:369:
81,74,76,7,5,4,3,39,80,

16,15,14,13,70,71,72,73,25,

35,65,28,60,20,21,50,38,52,

27,45,31,64,49,53,42,34,24,

63,26,59,46,41,36,23,56,19,

58,48,40,29,33,18,51,37,55,

30,44,32,61,62,22,54,17,47,

57,9,10,11,12,69,68,67,66,

2,43,79,78,77,75,6,8,1

 

 

 

Такая же начальная цепочка, но квадрат совсем другой. И наверняка эти квадраты нерегулярные (по Россеру).

 

И далее ещё несколько идеальных квадратов из простых чисел:

 

9:[pa]:24237:
5381,5189,5273,149,107,89,83,2633,5333,977,449,443,419,5003,5039,5147,5153,1607,1583,4787,3413,4877,653,1373,3089,2909,1553,2699,3863,743,4127,2027,3767,1979,2609,2423,2969,1709,3119,3389,2693,1997,2267,3677,2417,2963,2777,3407,1619,3359,1259,4643,1523,2687,3833,2477,2297,4013,4733,509,1973,599,3803,3779,233,239,347,383,4967,4943,4937,4409,53,2753,5303,5297,5279,5237,113,197,5

9:[pa]:27981:
6211,6037,6067,139,127,97,67,3037,6199,787,439,397,379,5851,5869,5881,6007,2371,3967,2689,4057,5281,3907,1009,2287,3217,1567,4357,5557,3331,1627,3361,2521,3559,1021,2647,571,1669,1051,5179,3109,1039,5167,4549,5647,3571,5197,2659,3697,2857,4591,2887,661,1861,4651,3001,3931,5209,2311,937,2161,3529,2251,3847,211,337,349,367,5839,5821,5779,5431,19,3181,6151,6121,6091,6079,151,181,7

9:[pa]:30231:
6701,6491,6551,197,149,137,59,3257,6689,521,449,431,419,6317,6329,6359,6449,2957,3881,6101,3041,5501,4007,911,1697,1901,3191,2267,3329,1409,3347,3989,3779,4649,4871,2591,5417,3467,4691,5051,3359,1667,2027,3251,1301,4127,1847,2069,2939,2729,3371,5309,3389,4451,3527,4817,5021,5807,2711,1217,3677,617,2837,3761,269,359,389,401,6299,6287,6269,6197,29,3461,6659,6581,6569,6521,167,227,17

9:[pa]:31419:
6977,6803,6869,263,83,71,23,3359,6971,461,419,401,383,6689,6701,6791,6833,2741,2843,6551,4643,4871,1721,1583,3779,3449,1979,3323,4649,2753,6029,4079,2609,2063,3221,2693,4271,1931,1481,2909,3491,4073,5501,5051,2711,4289,3761,4919,4373,2903,953,4229,2333,3659,5003,3533,3203,5399,5261,2111,2339,431,4139,4241,149,191,281,293,6599,6581,6563,6521,11,3623,6959,6911,6899,6719,113,179,5

 

Это наименьший из найденных квадратов, магическая константа равна 24237:

 

 

Минимальность магической константы не доказана. Но результаты всё равно отличные.

Кстати, получена новая верхняя граница для магической константы пандиагонального квадрата 9-го порядка из простых чисел – 24237.

 

 

Литература, веб-страницы

 

 

1. THE ALGEBRAIC THEORY OF DIABOLIC MAGIG SQUARES. By Barkley Rosser and R. J. Walker
http://narod.ru/disk/23700701000/Rosser1939.rar.html

2. The anatomy of magic squares. http://narod.ru/disk/23687981000/anatomy_of_magic_squares.rar.html

3. Метод построения идеальных квадратов порядка n = k^p. http://www.klassikpoez.narod.ru/idealst.htm

                        4. Конкурс “Нетрадиционные пандиагональные квадраты”. http://dxdy.ru/topic38320.html

5. Построение идеальных квадратов нечётного порядка из обратимых квадратов. http://www.klassikpoez.narod.ru/obratid.htm

6. Тема “Переборная задача, есть ли шанс?”. http://dxdy.ru/topic42932.html

            7. Веб-страница А. Чернова. http://alexblack.wallst.ru/article.php?content=116

         8. Тема “Магические квадраты”. http://dxdy.ru/topic12959.html

            9. Программа построения идеального квадрата 9-го порядка. http://www.natalimak1.narod.ru/mk/ID9B.rar

           10. Веб-страница А. Чернова. http://alexblack.wallst.ru/article.php?content=120

 

 

27 февраля – 24 марта – 6 июня 2011 г.

г. Саратов

 

 

На главную страницу сайта:

http://www.klassikpoez.narod.ru/index.htm

 

На главную страницу раздела «Волшебный мир магических квадратов»:

http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm

 

Контакты:

natalimak1@yandex.ru

QIP 571-379-327