ПОСТРОЕНИЕ ПАР ОРТОГОНАЛЬНЫХ ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ МЕТОДОМ СОСТАВНЫХ КВАДРАТОВ

 

В статье http://www.natalimak1.narod.ru/aspekty5.htm был показан метод составных квадратов для построения пар диагональных ортогональных латинских квадратов (ОЛК).

В книге Г. Дж. Райзера “Комбинаторная математика” (глава 7, стр. 88) я нашла такую теорему:

 

 

Совершенно очевидно, что в применении к парам ОЛК эта теорема есть не что иное, как доказательство существования пары ОЛК порядка n*n₁, если существуют пары ОЛК порядков n и n₁. Таким образом, становится ясно, что метод составных квадратов применим не только для построения пар диагональных ОЛК, а вообще для построения любой пары ОЛК, если только порядок квадратов этой пары представим в виде произведения двух чисел, являющихся порядками квадратов существующих пар ОЛК.

Минимальный порядок квадратов пары ОЛК, для которого можно применить метод составных квадратов, равен 9. Поскольку пары ОЛК 9-го порядка строятся довольно просто и другими методами, я начну демонстрацию метода составных квадратов с пары ОЛК 12-го порядка.

В указанной выше статье было подробно описано применение метода составных квадратов для построения пар диагональных ОЛК. Поэтому здесь я не буду повторять подробности. Выбираем произвольные пары ОЛК 3-го и 4-го порядков (рис. 1 – 2).

 

 

Рис. 1

 

 

Рис. 2

 

Покажу два варианта построения пары ОЛК 12-го порядка. В первом варианте базовой будет пара ОЛК 3-го порядка, а основной – пара ОЛК 4-го порядка. На рис. 3 – 4 вы видите пару ОЛК 12-го порядка, построенную в таком варианте.

 

 

Рис. 3

 

 

Рис. 4

 

Пара ОЛК готова. Программа проверки ортогональности подтверждает ортогональность этих латинских квадратов. Поскольку пара ОЛК  3-го порядка (для латинских квадратов 3-го порядка не существует диагональных ортогональных квадратов) состоит из не диагональных латинских квадратов, то и латинские квадраты полученной пары ОЛК 12-го порядка не диагональные.

 

Теперь рассмотрим другой вариант построения, когда базовой парой будет служить пара ОЛК 4-го порядка, а основной – пара ОЛК 3-го прядка. Готовая пара ОЛК 12-го порядка для этого варианта показана на рис. 5 – 6.

 

 

Рис. 5

 

 

Рис. 6

 

Покажу ещё один пример – построение пары ОЛК 15-го порядка. Пару ОЛК 3-го порядка возьму ту же самую  (рис. 1). На рис. 7 показана пара ОЛК 5-го порядка, выбранная для построения.

 

 

Рис. 7

 

Покажу только один вариант: базовой парой служит пара ОЛК 3-го порядка, а основной – пара ОЛК 5-го порядка. На рис. 8 – 9 вы видите готовую пару ОЛК 15-го порядка, построенную для данного варианта.

 

 

Рис. 8

 

 

Рис. 9

 

Выбираю ещё один порядок, к которому можно применить метод составных квадратов – n = 30. Интересно отметить, что из всех представлений этого порядка в виде произведения двух чисел годится только такое представление: 30 = 3*10. Пара ОЛК 3-го порядка у нас уже выбрана (см. рис. 1). На рис. 10 представлена пара ОЛК 10-го порядка, выбранная совершенно произвольно (это пара ОЛК А. И. Лямзина, записанная в нетрадиционном виде).

 

  

Рис. 10

 

Здесь, конечно, удобнее взять в качестве базовой пару ОЛК 3-го порядка, а в качестве основной – пару ОЛК 10-го порядка. На рис. 11 – 12 показана готовая пара ОЛК 30-го порядка.

 

 

Рис. 11

 

 

Рис. 12

 

Программа проверки ортогональности подтверждает ортогональность этих латинских квадратов.

 

Заключение

 

Метод составных квадратов для построения пар ОЛК применим для порядков, представимых в виде произведения двух чисел, для каждого из которых существует пара ОЛК. Если обе исходные пары ОЛК состоят их диагональных латинских квадратов, то и пара ОЛК, построенная методом составных квадратов, тоже состоит из диагональных латинских квадратов.

Так, например, в первой полусотне порядков метод составных квадратов можно применить для следующих порядков (для порядков, помеченных звёздочкой, возможно построение пары диагональных ОЛК данным методом):

 

9, 12, 15, 16*, 20*, 21, 24, 25*, 27, 28*, 30, 32*, 33, 35*, 36*, 39, 40*, 42, 44*, 45*, 48*, 49*, 50*.

 

Очень даже неплохой спектр действия метода. В этом ряду есть три порядка серии n = 4k + 2, для которой построение пар ОЛК вообще довольно сложно. Эта задача решается со времён Эйлера до настоящего времени.

 

 

Н. Макарова

 

18 - 19 января 2009 г.

г. Саратов

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу