Н. Макарова

 

НЕТРАДИЦИОННЫЕ МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ ИЗ ЧИСЕЛ СМИТА

 

 

Глава 1. Числа Смита

 

 

Прежде чем строить магические квадраты из чисел Смита, надо сначала рассказать об этих числах. Я познакомилась с числами Смита на Портале журнала “Наука и жизнь” (статья “Замечательные смиты” опубликована в № 3, 2009 г., автор статьи Наталья Карпушина; электронную версию статьи можно найти на указанном Портале: http://www.nkj.ru/archive/articles/15666/?phrase_id=3358084 ). Далее я рассказала об этих числах на двух форумах (dxdy.ru и Портал Естественных Наук) и предложила несколько задач на построение магических квадратов из смитов. Материалы этих форумов будут использованы в данной статье. Ссылки на темы форумов:

 

http://dxdy.ru/topic12959.html

http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=13749&st=0

Кроме этого, использованы материалы статьи в Википедии “Число Смита”

(http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A7%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%BE_%D0%A1%D0%BC%D0%B8%D1%82%D0%B0 )

 и следующего сайта о числах Смита:

http://www.shyamsundergupta.com/smith.htm

 

***

 

          Жил на свете наблюдательный профессор психологии Гарольд Смит и был у него телефон с таким номером: 4937775. Однажды Смит случайно заметил интересное свойство своего телефонного номера: сумма цифр этого числа равна сумме цифр его простых делителей.

4937775 = 3 * 5 * 5 * 65837, 4 + 9 + 3 + 7 + 7 + 7 + 5 = 42, 3 + 5 + 5+ 6 + 5 + 8 + 3 + 7 = 42.

 

Цитата (из статьи “Замечательные смиты”):

 

“Быть может, этот факт так и остался бы в разряде числовых курьёзов, не вмешайся в историю родственник Смита - математик, профессор одного из американских университетов Альберт Виланский. Он опубликовал в 1982 году заметку об обнаруженном свойстве, а обладающие им составные числа назвал именем Смита. Тогда же Виланский предположил, что таких чисел существует бесконечно много. И оказался прав: вскоре эту гипотезу доказал его коллега. Так было положено начало исследованию весьма интересного множества чисел”.

 

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

 

 

Первая интересная задача связана с составлением программы генерации смитов. Я начала искать смиты сначала путём умножения простых чисел на n. Но этот путь оказался очень не эффективным. Нормальную программу генерации смитов пока не составила. На форуме dxdy.ru эта задача уже решена. Вот начало массива cмитов в интервале (1, 1000):

4, 22, 27, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265, 274, 319, 346, 355, 378, 382, 391, 438, 454, 483, 517, 526, 535, 562, 576, 588, 627, 634, 636, 645, 648, 654, 663, 666, 690, 706, 728, 729, 762, 778, 825, 852, 861, 895, 913, 915, 922, 958, 985.

 

На форуме Портала ЕН тоже решена эта задача и приведён хороший генератор смитов. Я скачала эту программу и пользовалась ею в дальнейшем для получения массива смитов, большего, чем выложен на форуме dxdy.ru.

 

Вторая интересная задача, связанная со смитами, - нахождение арифметических прогрессий разной длины из смитов. Сначала рассмотрим смиты, являющиеся близнецами, это стоящие рядом смиты, например: 728, 729. Вот список первых смитов-близнецов, которые я нашла по своей программе:

 

728 729
2964 2965
3864 3865
4959 4960
5935 5936
6187 6188
9386 9387
9633 9634
11695 11696
13764 13765
16536 16537
16591 16592
20784 20785

 

В статье из Википедии сказано, что “наименьшими смитами, образующими тройню, являются 73615, 73616, 73617, четвёрку - 4463535, 4463536, 4463537, 4463538, пятёрку 15966114, …, 15966118, а шестёрку - 2050918644, …, 2050918649”.

Далее по материалам сайта о смитах (см. ссылку выше), начальный ряд четвёрок близнецов (указаны первые числа в каждой четвёрке):

 

4463535, 6356910, 8188933, 9425550, 11148564, 15966114, 18542654, 21673542, 22821992, 23767287, 28605144, 36615667, 39227466, 47096634, 47395362, 48072396, 54054264, 55464835, 57484614, 57756450, 57761165, 58418508, 61843387, 62577157, 64572186, 65484066, 66878432, 67118680, 71845857, 75457380, 77247606, 78432168, 88099213, 89653781, 90166567, 92656434.

 

Начальный ряд пятёрок близнецов:

 

15966114, 75457380, 162449165, 296049306, 296861735, 334792990, 429619207, 581097690, 581519244, 582548088, 683474015, 809079150, 971285861, 977218716 .

 

Начальный ряд шестёрок близнецов:

 

2050918644, 6826932280, 16095667238, 16214788810, 17753840815, 19627891048, 31894287635, 37417358132, 38327645947, 72635842286, 75725224588, 77924458232, 79735902902, 80490527739, 84911527648, 93497450408, 115397414704, 118266684888, 122256909967, 124374538831, 128551622624, 129440489539, 132638590595, 135169942385, 140820590944, 143570578744, 149563926065, 153903366948, 154627494580, 154833907731, 159822348654.

 

Наименьшая семёрка смитов-близнецов начинается с 164736913905.

 

Понятно, что всё это арифметические прогрессии с разностью 1. Я нашла по своей программе, например, такую арифметическую прогрессию из смитов длиной 5 с разностью 9: 627, 636, 645, 654, 663. На форуме Портала ЕН пользователь 12d3 нашёл много других арифметических прогрессий из смитов длиной 5 и 6 с различными разностями. Самая длинная арифметическая прогрессия из смитов, состоящая из 13 членов, была найдена на форуме dxdy.ru.

 

Мне арифметические прогрессии из смитов нужны для построения нетрадиционных магических квадратов из таких чисел.

 

Глава 2. Построение магических квадратов из смитов

 

Самый первый нетрадиционный магический квадрат из смитов я нашла в указанной выше статье “Замечательные смиты”. Это квадрат 3-го порядка. Как сказано в статье, данный квадрат имеет минимальную магическую константу из всех квадратов такого типа. Воспроизведу квадрат (рис. 1):

 

 

Рис. 1

 

Этот квадрат взят из книги М. Гарднера “От мозаик Пенроуза к надёжным шифрам”. Магическая константа квадрата равна 822. Интересно отметить, что квадрат составлен из удвоенных простых чисел, если все элементы этого квадрата поделить на 2, то получится новый магический квадрат, составленный из простых чисел (рис. 2).

 

 

Рис. 2

 

Составив программу для построения нетрадиционных магических квадратов 3-го порядка, я построила ещё несколько магических квадратов данного порядка из смитов. Покажу два из них. На рис. 4 изображён магический квадрат из смитов, которые тоже равны удвоенным простым числам. Это квадрат я построила самым первым, имея небольшой массив простых чисел, которые превращаются в смитов после удвоения. Вот этот массив:

 

11, 29, 47, 83, 101, 137, 173, 191, 227, 263, 281, 317, 353, 389, 461, 479, 641, 821, 839, 911, 929, 947, 983.

 

Именно с этого массива я начинала составлять свой массив смитов (как уже сказано выше). Программа выдала два квадрата, построенные из данного массива простых чисел: квадрат, изображённый на рис. 2, и квадрат, изображённый на рис. 3.

 

 

Рис. 3

 

Удвоив все элементы квадрата с рис. 3, получим магический квадрат из смитов (рис. 4).

 

 

Рис. 4

 

Магический квадрат из смитов, изображённый на рис. 5, интересен тем, что его магическая константа тоже является смитом. Этот квадрат был построен на форуме dxdy.ru. Я тоже получила его по своей программе. Составив простенькую программку, нашла в небольшом массиве смитов, с которым работала, все те смиты, которые остаются смитами после утроения. Таких чисел в моём массиве нашлось немного: 636, 654, 762, 852, 1284, 8466. Далее по программе построения магических квадратов 3-го порядка проверила построение квадратов с каждым из этих чисел в центральной ячейке квадрата. Квадрат получился только с числом 8466 в центральной ячейке, магическая константа этого квадрата равна 8466*3 = 25398. Готовый магический квадрат вы видите на рис. 5.

 

 

Рис. 5

 

Магический квадрат 3-го порядка из смитов, магическая константа которого тоже является смитом, не единственный. На форуме dxdy.ru другой участник тоже представил подобный квадрат.

 

Наконец, покажу магический квадрат 3-го порядка, составленный из смитов, образующих арифметическую прогрессию. Эту прогрессию длины 9 нашёл участник форума dxdy.ru Бодигрим. Вот она: 9895 + 129870n, n = 0, 1, …, 8. Ну, а построить магический квадрат из чисел, образующих арифметическую прогрессию, очень просто, об этом рассказано в статье “Нетрадиционные магические квадраты из простых чисел”. На рис. 6 показан этот магический квадрат.

 

 

Рис. 6

 

Примечание: я не проверяла, являются ли все члены данной арифметической прогрессии смитами. Думаю, что участник форума не ошибся.

 

Завершая представление нетрадиционных магических квадратов 3-го порядка из смитов, напомню, что программа для построения таких квадратов приведена в статье “Нетрадиционные магические квадраты из простых чисел” (http://www.natalimak1.narod.ru/netrpr.htm ). Вся разница в том, что там квадраты строились из простых чисел, а здесь они строятся из смитов.

 

Теперь переходим к магическим квадратам 4-го порядка. Первый такой квадрат из смитов с минимальной магической константой построил участник форума dxdy.ru (ник tolstopuz). Этот квадрат представлен на рис. 7.

 

 

Рис. 7

 

Моя программа построения нетрадиционных магических квадратов 4-го порядка из чисел заданного массива выдала для массива из 16 смитов, содержащихся в квадрате с рис. 7, 32 варианта квадратов. Это значит, что магический квадрат 4-го порядка из разных смитов с минимальной магической константой 1195 всего один с точностью до основных преобразований и М-преобразований.

На рис. 8 изображён ближайший сосед этого магического квадрата с магической константой 1267.

 

 

Рис. 8

 

И следующий сосед – магический квадрат с константой 1276 (рис. 9).

 

 

Рис. 9

 

Другой вариант с такой же магической константой (рис. 9а):

 

 

Рис. 9а

 

Далее я построила магические квадраты 4-го порядка из смитов, которые являются удвоенными простыми числами, аналогично квадрату 3-го порядка из книги Гарднера. Для этого составлен небольшой массив простых чисел, которые превращаются в смитов после удвоения (чуть больше того, который приведён выше):

 

2  11  29  47  83  101  137  173  191  227  263  281  317  318  353  389  461  479  641  821  839  911  929  947  983  1019  1091  1109  1163  1181  1217  1289  1307  1361  1451  1487  1523  1613  1721  1811  1847  1901  1973  2027  2063  2081  2099  2153  2207  2297  2351  2459  2477  2531  2549  2621  2693  2711  2729  2801  2819  2837  2909  2927  2963  2999  3089  3251  3359  3467  3539  3593  3701  3719  3863  3881  3917  3989  4007  4079

 

Запустив программу, я получила очень много таких магических квадратов, даже не выполнила программу до конца. Покажу три квадрата (рис. 10 – 12); в квадратах элементы уже удвоены, то есть это уже квадраты из смитов, а не из простых чисел.

 

 

Рис. 10

 

 

Рис. 11

 

 

Рис. 12

 

Все три квадрата имеют одинаковую магическую константу – 3040. Подобный магический квадрат с минимальной константой 1996 представил на форуме tolstopuz. Этот квадрат показан на рис. 13.

 

 

Рис. 13

 

Выполнив свою программу для массива простых чисел, превращающихся в смиты после удвоения (см. выше) и с фиксированной магической константой 1996/2 = 998, я получила 32 варианта этого квадрата (считая его самого). Это значит, что такой квадрат единственный с точностью до основных преобразований и М-преобразований.

 

Теперь покажу магический квадрат 4-го порядка из cмитов, построенный по алгоритму, найденному в книге Ю. В. Чебракова. Этот алгоритм подробно описан в статье “Нетрадиционные магические квадраты из простых чисел (часть III)” [ http://www.natalimak1.narod.ru/netrpr2.htm  ]. В качестве вспомогательных квадратов возьмём: 1) диагональный латинский квадрат, изображённый на рис. 14; 2) традиционный магический квадрат, изображённый на рис. 15.

 

 

Рис. 14

 

 

Рис. 15

 

Символьная вспомогательная таблица будет иметь следующий вид (рис. 16):

 

 

Рис. 16

 

Теперь надо взять четыре арифметических прогрессии из смитов длиной 4 с разностью 2b. Возьмём, например, такие прогрессии (из прогрессий, найденных на форуме Портала Естественных Наук пользователем 12d3):

 

67126, 67162, 67198, 67234

1704595, 1704631, 1704667, 1704703

1895422, 1895458, 1895494, 1895530

3965674, 3965710, 3965746, 3965782

 

Разность этих арифметических прогрессий равна 36. Вообще все эти прогрессии имеют ещё пятый член, то есть все они длиной 5, но нам не нужны пятые члены. Таким образом, значения символов в таблице с рис. 16 таковы:

 

b = 18, a₁ = 67126, a₂ = 1704595, a₃ = 1895422, a₄ = 3965674.

 

Готовый магический квадрат 4-го порядка из смитов, построенный с помощью вспомогательной таблицы с рис. 16 с приведёнными значениями символов, показан на рис. 17.

 

 

Рис. 17

 

Арифметических прогрессий указанного вида найдено довольно много (пользователем 12d3). Вот, например, ещё один набор прогрессий с разностью 10:

 

9638850, 9638860, 9638870, 9638880

31897440, 31897450, 31897460, 31897470

67632818, 67632828, 67632838, 67632848

75725606, 75725616, 75725626, 75725636

 

Все эти прогрессии тоже длиной 5. Предлагаю читателям построить магический квадрат из данного набора арифметических прогрессий.

 

Построить магический квадрат 4-го порядка из смитов, образующих арифметическую прогрессию длиной 16, пока не удалось, потому что неизвестна такая прогрессия. Участники указанных форумов активно принялись за поиски такой прогрессии. Результаты поисков мне пока неизвестны.

 

Для магического квадрата 5-го порядка из смитов я опять применила алгоритм из книги Ю. В. Чебракова. Вспомогательные квадраты для построения показаны на рис. 18 – 19.

 

 

Рис. 18

 

 

Рис. 19

 

Символьная вспомогательная таблица имеет следующий вид (рис. 20):

 

 

Рис. 20

 

Очевидно, что надо взять пять арифметических прогрессий из смитов длиной 5 с одинаковой разностью b. Как я уже говорила, таких прогрессий найдено довольно много на форуме Портала ЕН. Пользователь 12d3 любезно предоставил мне эти прогрессии; впрочем, они выложены на форуме для всех (в виде прикреплённых файлов). Одну из прогрессий длиной 5 я нашла сама, по своей программе: 627 + 9n, n = 0, 1, … 4. Добавив к этой прогрессии ещё четыре из файла, выложенного на форуме, я получила следующие данные для вспомогательной таблицы на рис. 20:

 

b = 9, a₁ = 627, a₂ = 4619479, a₃ = 4653526, a₄ = 6633238, a₅ = 11989255.

 

Готовый магический квадрат 5-го порядка из смитов, построенный с такими значениями символов, вы видите на рис. 21.

 

 

Рис. 21

 

Примечание: этот квадрат я выложила на форуме.

 

Вот только магическая константа у этого квадрата, скорее всего, не минимальная. Поэтому читателям предлагается

Задача: построить наименьший магический квадрат 5-го порядка из разных смитов.

Подчёркиваю: из разных смитов, ибо построить квадрат с повторяющимися числами очень просто. Ну, например, такой (рис. 22):

 

 

Рис. 22

 

Можно использовать для построения магического квадрата 5-го порядка из смитов и пятёрки-близнецы, приведённые в начале статьи. Тогда значения символов для вспомогательной таблицы с рис. 20 будут, например, такие:

 

b = 1, a₁ = 15966114, a₂ = 75457380, a₃ = 162449165, a₄ = 296049306, a₅ = 296861735.

 

Магический квадрат для данных значений предлагается построить читателям.

 

Для построения нетрадиционного магического квадрата 6-го порядка из Смитов я тоже применила алгоритм из книги Ю. В. Чебракова. В качестве вспомогательных квадратов взяты: 1) диагональный латинский квадрат, изображённый на рис. 23; 2) традиционный магический квадрат, изображённый на рис. 24.

 

 

Рис. 23

 

 

Рис. 24

 

Символьная вспомогательная таблица имеет следующий вид (рис. 25):

 

 

Рис. 25

 

Теперь надо найти шесть последовательностей из смитов такого вида с одинаковым значением параметра b. Три последовательности мне удалось найти по своей программе, для a₁, a₂, a₆. Значение параметра b у меня равно 36. Это последовательности, найденные мной для a₁, a₂, a₆ соответственно:

 

1822  1966  2326  2362  2578  2902

20362  20506  20542  20974  21226  21262

22  94  346  382  562  778

 

Примечание: Уважаемые читатели! В связи с некоторыми обстоятельствами, открывшимися 22 августа 2009 г., не считаю для себя возможным пользоваться результатами YURI, он же новый участник форума dxdy.ru Mathusic. Поэтому я удаляю здесь построенный мной с помощью последовательностей, найденных YURI, магический квадрат 6-го порядка из смитов. Вы можете построить его самостоятельно, используя вспомогательные квадраты с рис. 23 – 24 и символьную вспомогательную таблицу с рис. 25. При этом недостающие три последовательности вы можете найти сами либо взять на форуме.

YURI выложил построенный мной квадрат на форуме Портала ЕН (по моему предложению). К сожалению, тут я ничего изменить не могу, так как забанена на этом форуме (как сообщил администратор форума – забанена пожизненно; очень интересная формулировка!).

 

Замечу, что YURI нашёл много последовательностей данного вида. Интересно, что все найденные им последовательности имеют значение параметра b кратное 9. Последовательности выложены на форуме. Используя их, можно построить очень много магических квадратов 6-го порядка из смитов по данному алгоритму.

 

Конечно, построенный таким образом магический квадрат 6-го порядка, скорее всего, не является наименьшим. Поэтому читателям предлагается

 

Задача: построить наименьший магический квадрат 6-го порядка из разных смитов.

 

Пока я писала представленную выше часть статьи, подоспели арифметические прогрессии из смитов длины 7. Их нашёл новый участник форума dxdy.ru Mathusic. Так что, теперь можно построить и нетрадиционный магический квадрат 7-го порядка из смитов. В качестве вспомогательных квадратов я выбрала следующие квадраты (рис. 27 – 28):

 

 

Рис. 27

 

 

Рис. 28

 

Символьная вспомогательная таблица имеет следующий вид (рис. 29):

 

 

 

Рис. 29

 

Примечание: Уважаемые читатели! В связи с теми же обстоятельствами, о которых сказано выше, не считаю для себя возможным пользоваться результатами YURI, он же новый участник форума dxdy.ru Mathusic. Поэтому я удаляю здесь построенный мной с помощью прогрессий, найденных YURI = Mathusic, магический квадрат 7-го порядка из смитов. Вы можете построить его самостоятельно, используя вспомогательные квадраты с рис. 27 – 28 и символьную вспомогательную таблицу с рис. 29. Квадрат 7-го порядка из смитов, построенный с помощью прогрессий, найденных Mathusic, я тоже сначала выложила на форуме dxdy.ru, но сейчас удалила его. Не хочу иметь ничего общего с этим двуличным человеком. И пользоваться его результатами не желаю! А, между прочим, он писал мне в личном сообщении на форуме Портала ЕН: “Рад был вам помочь”. Это когда он нашёл три недостающие последовательности из смитов для построения квадрата 6-го порядка.

 

Интересно отметить, что построенный мной магический квадрат является пандиагональным, как и вспомогательный традиционный магический квадрат (рис. 28). А вот свойство ассоциативности квадрат утратил.

 

Предлагается

 

Задача: построить магический квадрат 7-го порядка из разных смитов с минимальной магической константой.

 

Магический квадрат 8-го порядка из смитов построен на форуме dxdy.ru. Это составной квадрат, то есть он составлен из четырёх магических квадратов 4х4, имеющих одинаковую магическую константу, но состоящих из разных чисел. Этот квадрат пока не выложен на форуме, потому что автор решения предложил эту задачу в Project Euler. Будет ли там задача принята, пока неизвестно.

 

На рис. 10 – 11 показаны три магических квадрата 4-го порядка из смитов, являющихся удвоенными простыми числами. Все эти квадраты имеют одинаковую магическую константу. Вот только числа в этих квадратах повторяются. Ну, пусть в качестве примера будет такой квадрат 8х8. Добавляю к этим трём квадратам четвёртый квадрат 4х4 с такой же магической константой и тоже состоящий из удвоенных простых чисел и составляю из этих четырёх квадратов составной магический квадрат 8-го порядка (рис. 31).

 

 

Рис. 31

 

Теперь требуется построить подобный магический квадрат 8-го порядка, но из разных смитов. Дополнительное условие: с минимальной магической константой.

 

Для построения магического квадрата 8-го порядка по представленному выше алгоритму необходимо иметь восемь арифметических прогрессий длины 8 с одинаковой разностью. У меня пока нет таких прогрессий. Могу показать вспомогательные квадраты для такого построения (рис. 32 – 33).

 

 

Рис. 32

 

 

Рис. 33

 

Как только будут найдены арифметические прогрессии длиной 8 из смитов (в количестве 8 штук) с одинаковой разностью, так сразу можно будет построить магический квадрат 8-го порядка из смитов с помощью приведённых вспомогательных квадратов.

 

Нетрадиционный составной магический квадрат 9-го порядка из смитов построен на форуме dxdy.ru пользователем tolstopuz. Этот квадрат составлен по очень простой схеме: магические константы всех составляющих квадратов 3х3 должны сами составлять магический квадрат 3х3. В квадрате, представленном на форуме, магические константы составляющих квадратов образуют следующий магический квадрат 3х3 (рис. 34):

 

 

Рис. 34

 

Сам квадрат 9-го порядка, представленный на форуме, вы видите на рис. 35.

 

 

Рис. 35

 

Теперь можно построить другие магические квадраты 3х3 с указанными на рис. 34 магическими константами и получить другие варианты магического квадрата 9-го порядка. Я нашла по своей программе только один квадрат 3х3 – с магической константой 90786 (программа у меня очень долго выполняется для больших массивов). Заменяю этот квадрат и получаю новый вариант квадрата 9-го порядка из смитов (рис. 36):

 

 

Рис. 36

 

Заменённый квадрат 3х3 окрашен в зелёный цвет. Автор квадрата tolstopuz отметил на форуме, что у квадрата красивая магическая константа – 454446.

 

Если бы были известны арифметические прогрессии длины 9 в количестве 9 штук с одинаковой разностью, то можно было бы построить магический квадрат 9-го порядка из смитов по алгоритму из книги Ю. В. Чебракова. Но пока мне неизвестны такие прогрессии. Вспомогательные квадраты для такого построения читатели могут выбрать сами. Например, они могут быть такими (рис. 37 – 38):

 

 

Рис. 37

 

 

Рис. 38

 

Наконец, даю вспомогательные квадраты для построения по данному алгоритму нетрадиционного магического квадрата из смитов 10-го порядка (рис. 39 – 40). Понятно, что воспользоваться этим алгоритмом можно будет только тогда, когда будут найдена арифметические прогрессии из смитов длиной 10 в количестве 10 штук с одинаковой разностью.

 

 

Рис. 39

 

Примечание: этот диагональный латинский квадрат взят из статьи “Completion of the Spectrum of Orthogonal Diagonal Latin Squares” (J. W. Brown и другие, 1992 г.).

 

 

Рис. 40

 

***

 

В заключение выполнила проверку данного алгоритма построения магических квадратов порядков 8, 9 и 10. Для этого взяла обычные арифметические прогрессии из натуральных чисел с разностью 5 в количестве 10 штук. Эти прогрессии приведены в таблице на рис. 41. Разность и первые члены прогрессий выбраны произвольно.

 

 

Рис. 41

 

На рис. 42 – 44 представлены нетрадиционные магические квадраты 8-го, 9-го и 10-го порядков, построенные из чисел данных арифметических прогрессий с помощью вспомогательных квадратов, приведённых выше (см. рис. 32 – 33, 37 – 40).

 

 

Рис. 42

 

 

Рис. 43

 

 

Рис. 44

 

С обычными прогрессиями всё получилось. Осталось заменить в таблице на рис. 41 обычные арифметические прогрессии на арифметические прогрессии из смитов (с одинаковой разностью) и построить нетрадиционный магические квадраты порядков 8, 9 и 10 из смитов по данному алгоритму.

 

Есть у меня ещё две задумки по построению магических квадратов из смитов порядка 6 (сотовых) и порядка 8 (составных). Если получится реализовать эти задумки, продолжу статью.

Для реализации этих алгоритмов мне нужны арифметические прогрессии из смитов длиной 4 с любой не равной 1 разностью (начальный ряд четвёрок-близнецов известен, см. начало статьи). Несколько таких прогрессий у меня есть, но надо ещё. Если читатели найдут такие прогрессии, прошу присылать их мне.

 

***

 

Проверьте себя. Это магический квадрат 5-го порядка из смитовых пятёрок-близнецов (рис. 45):

 

 

Рис. 45

 

 

19 - 24 августа 2009 г.

г. Саратов

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу