Макарова Н. В.

 

НЕТРАДИЦИОННЫЕ МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ ИЗ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ

 

Часть II

 

 

Данная страница является продолжением страницы:

http://www.natalimak1.narod.ru/netrpr.htm

 

 

Материалов на данную тему оказалось так много, что я решила продолжить статью. Прежде всего расскажу о наименьших квадратах из простых чисел. Здесь рассматриваются два случая: а) число 1 не используется при построении квадратов; б) число 1 используется  в построении квадратов. Так как в современной теории чисел число 1 простым не является, второй случай будем считать дополнительным. В первом (основном) случае квадраты заполняются различными простыми числами в классическом определении простых чисел – без числа 1.

Замечу, что здесь будут рассматриваться только нетрадиционные магические квадраты, заполненные различными простыми числами.

Первый наименьший квадрат 3-го порядка из простых чисел с использованием числа 1 был построен Дьюдени. Этот квадрат показан в первой части статьи. Воспроизведу его (рис. 1):

 

 

Рис. 1

 

Магическая константа этого квадрата равна 111.

Наименьший квадрат 3-го порядка из простых чисел в классическом определении имеет магическую константу 177 (рис. 2).

 

 

Рис. 2

 

Этот квадрат единственный с точностью до поворотов и отражений.

 

Теперь рассмотрим магические квадраты 4-го порядка. Если использовать число 1, то наименьший квадрат 4-го порядка из простых чисел имеет магическую константу 102. Этот квадрат показан на рис. 3:

 

 

Рис. 3

 

Данный квадрат имеет ещё 3 варианта, получаемые с помощью М-преобразований. Составленная мной программа для построения нетрадиционных магических квадратов 4-го порядка, при заданных условиях (массив из 16 чисел, присутствующих в квадрате на рис. 3) выдаёт 32 варианта магических квадратов. Это значит, что каждый из 4 квадратов (группа квадратов, эквивалентных относительно М-преобразований) порождает ещё группу из 8 квадратов, эквивалентных относительно основных преобразований.  На рис. 4 показан пример одного квадрата, полученного из квадрата с рис. 3 М-преобразованием.

 

 

Рис. 4

 

Таким образом, можно сказать, что магический квадрат 4-го порядка из простых чисел с магической константой 102 единственный с точностью до поворотов, отражений и М-преобразований.

 

Без числа 1 наименьший квадрат 4-го порядка из простых чисел имеет магическую константу 120. На рис. 5 - 8 показаны четыре разных квадрата с такой магической константой.

 

 

Рис. 5

 

 

Рис. 6

 

 

Рис. 7

 

 

Рис. 8

 

Программа выдаёт 128 вариантов для данной группы квадратов. Замечу, что первые три квадрата (рис. 5 – 7) построены из одного набора простых чисел, а квадрат на рис. 8 построен из другого набора простых чисел.

 

Наименьший квадрат 5-го порядка с использованием числа 1 приведу по книге Ю. В. Чебракова [http://chebrakov.narod.ru/ ], смотрите на рис. 9.

 

 

Рис. 9

 

Магическая константа этого квадрата равна 213.

Без использования числа 1 наименьшие магические квадраты 5-го порядка из простых чисел построены на Научном форуме: http://dxdy.ru/topic12959.html (построил пользователь с ником Бодигрим).

Магическая константа этих квадратов равна 233. Построено два квадрата из разных наборов простых чисел. Воспроизведу эти замечательные квадраты (рис. 10 – 11):

 

Квадрат № 1

 

 

Рис. 10

 

Квадрат № 2

 

 

Рис. 11

 

Меня заинтересовал вопрос: есть ли у этих квадратов неэквивалентные варианты. При этом эквивалентность здесь рассматривается (как и для квадратов 4-го порядка) относительно основных преобразований и М-преобразований. Покажу сначала квадраты, получаемые из квадрата № 1 (рис. 10) с помощью М-преобразований (рис. 12 – 14).

 

 

Рис. 12

 

 

Рис. 13

 

 

Рис. 14

 

Это группа из 4 квадратов эквивалентных относительно М-преобразований. Обратите внимание: М-преобразования сохраняют наборы чисел в строках, в столбцах и в главных диагоналях квадрата. Сохранение наборов чисел в строках и в столбцах вполне понятно: при М-преобразованиях переставляются строки и столбцы. Но М-преобразования не изменяют и наборы чисел в главных диагоналях. Ещё характерным признаком для квадратов 5-го порядка эквивалентных относительно М-преобразований является неподвижное число в центральной ячейке квадрата.

Если добавить ещё все квадраты эквивалентные относительно основных преобразований, то получится группа из 32 квадратов.

А теперь покажу неэквивалентные магические квадраты, которые найдены мной по программе для того же самого массива простых чисел, из которого составлен квадрат № 1 (рис. 15 – 17). Во всех новых квадратах наборы чисел в строках, в столбцах и в главных диагоналях отличаются от тех, что мы имеем в квадрате № 1.

 

 

Рис. 15

 

 

Рис. 16

 

 

Рис. 17

 

При этом следует отметить, что я не до конца выполнила программу. Возможно, есть ещё варианты.

 

Для квадрата № 2 найдено два вида неэквивалентных квадратов: а) с такими же наборами чисел в строках и столбцах, как в квадрате № 2 (но с другими наборами в главных диагоналях); б) с другими наборами чисел в строках и столбцах. Для каждого вида мной найдено 4 варианта. На рис. 18 – 21 показаны квадраты первого вида.

 

 

Рис. 18

 

 

Рис. 19

 

 

Рис. 20

 

 

Рис. 21

 

Далее (рис. 22 – 25) показаны квадраты второго вида.

 

 

Рис. 22

 

 

Рис. 23

 

 

Рис. 24

 

 

Рис. 25

 

Таким образом, вместе с квадратом № 2 мы имеем девять магических квадратов из данного массива простых чисел. Может быть, имеются ещё неэквивалентные варианты. Каждый из девяти квадратов порождает группу из 4 квадратов (включая его самого) эквивалентных относительно М-преобразований. Покажу группу, порождаемую квадратом с рис. 11 (см. рис. 26 – 28).

 

 

Рис. 26

 

 

Рис. 27

 

 

Рис. 28

 

Если посчитать ещё все квадраты, получаемые основными преобразованиями, то каждый из девяти квадратов порождает группу из 32 квадратов (включая его самого).

 

Кроме того, я получила много полумагических квадратов, что тоже небезынтересно. И даже получено несколько таких квадратов, в которых нет магической суммы только в одной диагонали.

На рис. 29 – 31 показаны три полумагических квадрата, построенные из массива простых чисел, участвующего в квадрате № 1.

 

 

Рис. 29

 

 

Рис. 30

 

 

Рис. 31

 

Для полумагического квадрата с рис. 29 программа выдала 120 полумагических квадратов с магической суммой в одной диагонали и 120 квадратов с магической суммой в другой диагонали. На рис. 32 показан один из таких квадратов.

 

 

Рис. 32

 

Для полумагического квадрата с рис. 30 получено 240 квадратов с магической суммой в одной диагонали и 240 квадратов с магической суммой в другой диагонали. На рис. 33 изображён один из таких квадратов.

 

 

Рис. 33

 

Во второй диагонали этого квадрата сумма чисел равна 231. Вот такой интересный квадрат, совсем чуть-чуть недотягивающий до магического!

Для полумагического квадрата с рис. 31 программа не нашла ни одного квадрата с магической суммой в одной из главных диагоналей.

 

Аналогично и для массива чисел, участвующего в квадрате № 2. На рис. 34 – 36 показаны три из множества выданных программой полумагических квадратов для этого массива простых чисел.

 

 

Рис. 34

 

 

Рис. 35

 

 

Рис. 36

 

Для квадрата с рис. 35 не нашлось ни одного квадрата с магической суммой в одной из главных диагоналей. Для квадратов с рис. 34 и 36 такие квадраты есть. Примеры показаны на рис. 37 – 38.

 

 

Рис. 37

 

 

Рис. 38

 

Интересно, что для массива простых чисел, участвующего в квадрате № 2 Бодигрима, программа перестановки строк и столбцов выдала 80 магических квадратов, 640 полумагических квадратов с магической суммой в одной диагонали, 640 полумагических квадратов с магической суммой в другой диагонали и 13040 полумагических квадратов, в которых нет магической суммы в обеих диагоналях.

 

Отмечу, что Бодигрим построил и ближайшего соседа рассмотренных магических квадратов – магический квадрат 5-го порядка из простых чисел с константой 235. Смотрите этот квадрат на форуме.

 

На форуме вы найдёте также ссылки на веб-сайты, где приведены другие нетрадиционные магические квадраты из простых чисел, но только в дополнительном варианте, то есть с использованием числа 1. Такие же варианты приведены и в указанной выше книге Ю. В. Чебракова. Так как следующим у нас идёт порядок 6, покажу такой квадрат из книги Чебракова (рис. 39):

 

 

Рис. 39

 

Магическая константа этого квадрата равна 408. Квадраты других порядков читатели могут посмотреть в книге.

 

А теперь предлагается

 

 

Поскольку простое число 2 не может находиться ни в одном магическом квадрате из различных простых чисел, то квадрат, который нам требуется построить, может иметь магическую константу не меньше следующего значения: (3 + 5 + 7 + … + 151 + 157)/6 = 430,3(3). А так как магическая константа любого квадрата 6х6, заполненного нечётными числами, чётная, то минимальная магическая константа искомого нами квадрата может быть больше или равна 432. Это своего рода ориентир в решении задачи.

Понятно, что задачу можно продолжить на следующие порядки.

 

Примечание: эта задача решена мной 28.08.09 г. Собираюсь написать отдельную статью об этом магическом квадрате. Квадрат опубликован здесь:

 

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A164843

 

 

ПОСТРОЕНИЕ НЕТРАДИЦИОННЫХ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ ИЗ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ,

 

ОБРАЗУЮЩИХ АРИФМЕТИЧЕСКУЮ ПРОГРЕССИЮ

 

 

Построить нетрадиционный магический квадрат любого порядка n из членов арифметической прогрессии, содержащей не менее n² членов, очень просто. Приведу пример для чисел, не являющихся простыми. Пусть у нас имеется арифметическая прогрессия, первый член которой равен 3, разность прогрессии равна 10. Так как данная прогрессия бесконечна, из её членов можно построить магический квадрат любого порядка. Будем строить нетрадиционный магический квадрат 5-го порядка. Для такого построения возьмём произвольно выбранный традиционный магический квадрат 5-го порядка. Я выбрала идеальный магический квадрат (рис. 40).

 

 

Рис. 40

 

Теперь возьмём любые 25 последовательных членов приведённой выше прогрессии, например, начиная с первого члена. Пронумеруем эти члены и впишем их в матрицу 5х5 в соответствии с номерами, указанными в ячейках квадрата с рис. 40. В результате мы получим следующий нетрадиционный идеальный магический квадрат 5-го порядка (рис. 41):

 

 

Рис. 41

 

Теперь переходим к построению нетрадиционных магических квадратов из простых чисел, образующих арифметическую прогрессию. Найти прогрессии из простых чисел не так просто. Цитата из темы “Магические квадраты” форума dxdy.ru:

 

“Существуют арифметические прогрессии из простых чисел любой длины - это теоретически доказанный факт. Но вот найти их практически - проблематично. В частности, длина 25 на данный момент является рекордной - известно лишь две прогрессии такой длины и ни одной большей длины.
См. http://users.cybercity.dk/~dsl522332/math/aprecords.htm “

 

По указанной ссылке я взяла прогрессии длиной 9, 16 и 25. Начну с построения магического квадрата 3-го порядка. Основой для построения служит традиционный магический квадрат 3-го порядка, изображённый на рис. 42.

 

 

Рис. 42

 

По указанной ссылке взяла две прогрессии из 9 членов. Первая прогрессия: 199 + 210*n, n = 0, 1, … , 8.
Магический квадрат из членов этой прогрессии, построенный на основе квадрата с рис. 42, получился такой (рис. 43):

 

 

Рис. 43

 

Вторая прогрессия: 11 + 155577*7#*n, n = 0, 1, … , 8.

 

Примечание: как мне пояснили на форуме, знак # называется праймориал и означает произведение всех простых чисел, начиная с 2 и до указанного в записи числа. Например, 7# = 2 * 3 * 5 * 7 = 210.

 

Из членов этой прогрессии получается следующий магический квадрат (рис. 44) (построен на основе того же квадрата с рис. 42):

 

 

Рис. 44

 

Магическая константа этого квадрата равна 392054073.

 

На рис. 45 - 46 вы видите нетрадиционные совершенные магический квадрат 4-го порядка из простых чисел, образующих арифметическую прогрессию длиной 16.

 

 

Рис. 45

 

Магическая константа этого квадрата равна 11627190962859739307108.

 

 

Рис. 46

 

Квадраты построены на основе следующего традиционного совершенного магического квадрата 4-го порядка (рис. 47):

 

 

Рис. 47

 

Магические квадраты 5-го порядка будем строить на основе традиционного идеального магического квадрата с рис. 40. Из двух арифметических прогрессий длиной 25 из простых чисел получились такие нетрадиционные идеальные магические квадраты 5-го порядка (рис. 48 – 49):

 

 

Рис. 48

 

 

Рис. 49

 

Продолжение смотрите здесь:

 

http://www.natalimak1.narod.ru/netrpr2.htm

 

 

 

28 – 30 августа 2009 г.

г. Саратов

 

Читайте мою виртуальную книгу “Волшебный мир магических квадратов”:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm

 

Скачайте электронную версию этой книги:

 

http://narod.ru/disk/5834353000/Magic_squares.pdf.html

 

 

Очень полезна при чтении этой страницы математическая новелла “Простые числа”:

 

http://narod.ru/disk/10037356000/prost.pdf.html

 

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу