МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ НЕТРАДИЦИОННЫХ ИДЕАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ ПОРЯДКА   n = 4k + 2

 

Данная страница является продолжением страницы:

http://www.natalimak1.narod.ru/netradic.htm

 

Указанная страница заканчивается построением нетрадиционного идеального квадрата 10-го порядка. Поскольку интерес к данной теме очень большой, решила продолжить описание этого интересного метода.

Напомню, что метод был опубликован в журнале “Наука и жизнь”, № 5, 1978 г. (стр. 143).

Итак, совершенно аналогично строю нетрадиционный идеальный квадрат 18-го порядка. На рис. 1 вы видите первый обобщённый латинский квадрат.

 

 

Рис. 1

 

Как уже знают читатели, второй латинский квадрат получается из первого поворотом вокруг центра на 90 градусов по часовой стрелке. Не буду показывать этот квадрат. Нетрадиционный идеальный квадрат составляется с помощью двух вспомогательных латинских квадратов по следующей формуле:

 

c_ij = 21*a_ij + b_ij + 1

 

Значения входящих в формулу величин читателям тоже известны. Готовый квадрат изображён на рис. 2.

 

 

Рис. 2

 

Можно продолжить построение нетрадиционных идеальных квадратов следующих порядков данной серии.

 

Расскажу о том, что данный метод прекрасно вписывается в метод качелей. Впрочем, это и неудивительно: раньше мной была установлена определённая связь между методом латинских квадратов и методом качелей. Все магические квадраты, которые строятся с использованием двух латинских ортогональных квадратов, могут быть построены и методом качелей. Теперь видим ещё одно великолепное подтверждение этой связи.

Рассмотрим снова построение нетрадиционного идеального квадрата 6-го порядка. Сам этот квадрат вы видите на рис. 3 в несколько преобразованном виде (так мне удобнее применять к квадрату метод качелей).

 

 

Рис. 3

 

Оранжевым цветом в квадрате выделена начальная цепочка, которая соответствует нулевому циклу качания качелей.

Соответственно и первый латинский квадрат немного преобразуется и будет иметь следующий вид (рис. 4):

 

 

Рис. 4

 

Посмотрите на выделенные три цикла качания качелей в магическом квадрате и в латинском квадрате. Связь очевидна. Теперь приведу образующую таблицу квадрата с рис. 3, если бы этот квадрат строился методом качелей (рис. 5):

 

 

Рис. 5

 

А номера циклов качания качелей (смотрите последнюю строку образующей таблицы) определяют основной блок в латинском квадрате – это две первые полустроки: 0, 4, 5, 6, 2, 1.  Всё остальное в латинском квадрате копирует этот основной блок.

Для такого первого латинского квадрата второй латинский квадрат получится из первого поворотом на 90 градусов против часовой стрелки и будет иметь вид (рис. 6):

 

Рис. 6

 

Формула для составления готового магического квадрата остаётся прежней.

 

Понятно, что приведённый алгоритм построения очень легко формализовать и запрограммировать. Предлагаю заинтересовавшимся читателям сделать это.

 

***

 

Приведу пример построения нетрадиционного идеального квадрата 30-го порядка по описанной только что схеме, то есть буду составлять латинские квадраты подобно квадратам 6х6, показанным на рис. 4 и рис. 6.

Как я уже сказала, для составления первого латинского квадрата достаточно найти первые две полустроки, далее вниз эти полустроки просто дублируются, а в правой половине квадрата эти полустроки отражаются симметрично вертикальной оси симметрии квадрата. Две первые полустроки будут такими:

 

0 39 37 35 33 31 29 27 25 14 10 8 6 4 2

40 1 3 5 7 9 11 13 15 26 30 32 34 36 38

 

Первый латинский квадрат будет таким:

 

0 39 37 35 33 31 29 27 25 14 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 14 25 27 29 31 33 35 37 39 0

40 1 3 5 7 9 11 13 15 26 30 32 34 36 38 38 36 34 32 30 26 15 13 11 9 7 5 3 1 40

0 39 37 35 33 31 29 27 25 14 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 14 25 27 29 31 33 35 37 39 0

40 1 3 5 7 9 11 13 15 26 30 32 34 36 38 38 36 34 32 30 26 15 13 11 9 7 5 3 1 40

0 39 37 35 33 31 29 27 25 14 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 14 25 27 29 31 33 35 37 39 0

40 1 3 5 7 9 11 13 15 26 30 32 34 36 38 38 36 34 32 30 26 15 13 11 9 7 5 3 1 40

0 39 37 35 33 31 29 27 25 14 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 14 25 27 29 31 33 35 37 39 0

40 1 3 5 7 9 11 13 15 26 30 32 34 36 38 38 36 34 32 30 26 15 13 11 9 7 5 3 1 40

0 39 37 35 33 31 29 27 25 14 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 14 25 27 29 31 33 35 37 39 0

40 1 3 5 7 9 11 13 15 26 30 32 34 36 38 38 36 34 32 30 26 15 13 11 9 7 5 3 1 40

0 39 37 35 33 31 29 27 25 14 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 14 25 27 29 31 33 35 37 39 0

40 1 3 5 7 9 11 13 15 26 30 32 34 36 38 38 36 34 32 30 26 15 13 11 9 7 5 3 1 40

0 39 37 35 33 31 29 27 25 14 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 14 25 27 29 31 33 35 37 39 0

40 1 3 5 7 9 11 13 15 26 30 32 34 36 38 38 36 34 32 30 26 15 13 11 9 7 5 3 1 40

0 39 37 35 33 31 29 27 25 14 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 14 25 27 29 31 33 35 37 39 0

40 1 3 5 7 9 11 13 15 26 30 32 34 36 38 38 36 34 32 30 26 15 13 11 9 7 5 3 1 40

0 39 37 35 33 31 29 27 25 14 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 14 25 27 29 31 33 35 37 39 0

40 1 3 5 7 9 11 13 15 26 30 32 34 36 38 38 36 34 32 30 26 15 13 11 9 7 5 3 1 40

0 39 37 35 33 31 29 27 25 14 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 14 25 27 29 31 33 35 37 39 0

40 1 3 5 7 9 11 13 15 26 30 32 34 36 38 38 36 34 32 30 26 15 13 11 9 7 5 3 1 40

0 39 37 35 33 31 29 27 25 14 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 14 25 27 29 31 33 35 37 39 0

40 1 3 5 7 9 11 13 15 26 30 32 34 36 38 38 36 34 32 30 26 15 13 11 9 7 5 3 1 40

0 39 37 35 33 31 29 27 25 14 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 14 25 27 29 31 33 35 37 39 0

40 1 3 5 7 9 11 13 15 26 30 32 34 36 38 38 36 34 32 30 26 15 13 11 9 7 5 3 1 40

0 39 37 35 33 31 29 27 25 14 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 14 25 27 29 31 33 35 37 39 0

40 1 3 5 7 9 11 13 15 26 30 32 34 36 38 38 36 34 32 30 26 15 13 11 9 7 5 3 1 40

0 39 37 35 33 31 29 27 25 14 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 14 25 27 29 31 33 35 37 39 0

40 1 3 5 7 9 11 13 15 26 30 32 34 36 38 38 36 34 32 30 26 15 13 11 9 7 5 3 1 40

0 39 37 35 33 31 29 27 25 14 10 8 6 4 2 2 4 6 8 10 14 25 27 29 31 33 35 37 39 0

40 1 3 5 7 9 11 13 15 26 30 32 34 36 38 38 36 34 32 30 26 15 13 11 9 7 5 3 1 40

 

Второй латинский квадрат в данной схеме получается из первого поворотом вокруг центра на 90 градусов против часовой стрелки. Не буду его показывать. Далее вы видите готовый нетрадиционный идеальный квадрат 30-го порядка.

 

1  1640  1518  1476  1354  1312  1190  1148  1026  615  411  369  247  205  83  123  165  287  329  451  575  1066  1108  1230  1272  1394  1436  1558  1600  41

 1680  43  163  207  327  371  491  535  655  1068  1270  1314  1434  1478  1598  1560  1516  1396  1352  1232  1106  617  573  453  409  289  245  125  81  1642

 38  1603  1555  1439  1391  1275  1227  1111  1063  578  448  332  284  168  120  86  202  250  366  414  612  1029  1145  1193  1309  1357  1473  1521  1637  4

 1676  47  159  211  323  375  487  539  651  1072  1266  1318  1430  1482  1594  1564  1512  1400  1348  1236  1102  621  569  457  405  293  241  129  77  1646

 34  1607  1551  1443  1387  1279  1223  1115  1059  582  444  336  280  172  116  90  198  254  362  418  608  1033  1141  1197  1305  1361  1469  1525  1633  8

 1672  51  155  215  319  379  483  543  647  1076  1262  1322  1426  1486  1590  1568  1508  1404  1344  1240  1098  625  565  461  401  297  237  133  73  1650

 30  1611  1547  1447  1383  1283  1219  1119  1055  586  440  340  276  176  112  94  194  258  358  422  604  1037  1137  1201  1301  1365  1465  1529  1629  12

 1668  55  151  219  315  383  479  547  643  1080  1258  1326  1422  1490  1586  1572  1504  1408  1340  1244  1094  629  561  465  397  301  233  137  69  1654

 26  1615  1543  1451  1379  1287  1215  1123  1051  590  436  344  272  180  108  98  190  262  354  426  600  1041  1133  1205  1297  1369  1461  1533  1625  16

 1655  68  138  232  302  396  466  560  630  1093  1245  1339  1409  1503  1573  1585  1491  1421  1327  1257  1081  642  548  478  384  314  220  150  56  1667

 11  1630  1528  1466  1364  1302  1200  1138  1036  605  421  359  257  195  93  113  175  277  339  441  585  1056  1118  1220  1282  1384  1446  1548  1610  31

 1649  74  132  238  296  402  460  566  624  1099  1239  1345  1403  1509  1567  1591  1485  1427  1321  1263  1075  648  542  484  378  320  214  156  50  1673

 7  1634  1524  1470  1360  1306  1196  1142  1032  609  417  363  253  199  89  117  171  281  335  445  581  1060  1114  1224  1278  1388  1442  1552  1606  35

 1645  78  128  242  292  406  456  570  620  1103  1235  1349  1399  1513  1563  1595  1481  1431  1317  1267  1071  652  538  488  374  324  210  160  46  1677

 3  1638  1520  1474  1356  1310  1192  1146  1028  613  413  367  249  203  85  121  167  285  331  449  577  1064  1110  1228  1274  1392  1438  1556  1602  39

 1643  80  126  244  290  408  454  572  618  1105  1233  1351  1397  1515  1561  1597  1479  1433  1315  1269  1069  654  536  490  372  326  208  162  44  1679

 5  1636  1522  1472  1358  1308  1194  1144  1030  611  415  365  251  201  87  119  169  283  333  447  579  1062  1112  1226  1276  1390  1440  1554  1604  37

 1647  76  130  240  294  404  458  568  622  1101  1237  1347  1401  1511  1565  1593  1483  1429  1319  1265  1073  650  540  486  376  322  212  158  48  1675

 9  1632  1526  1468  1362  1304  1198  1140  1034  607  419  361  255  197  91  115  173  279  337  443  583  1058  1116  1222  1280  1386  1444  1550  1608  33

 1651  72  134  236  298  400  462  564  626  1097  1241  1343  1405  1507  1569  1589  1487  1425  1323  1261  1077  646  544  482  380  318  216  154  52  1671

 15  1626  1532  1462  1368  1298  1204  1134  1040  601  425  355  261  191  97  109  179  273  343  437  589  1052  1122  1216  1286  1380  1450  1544  1614  27

 1666  57  149  221  313  385  477  549  641  1082  1256  1328  1420  1492  1584  1574  1502  1410  1338  1246  1092  631  559  467  395  303  231  139  67  1656

 28  1613  1545  1449  1381  1285  1217  1121  1053  588  438  342  274  178  110  96  192  260  356  424  602  1039  1135  1203  1299  1367  1463  1531  1627  14

 1670  53  153  217  317  381  481  545  645  1078  1260  1324  1424  1488  1588  1570  1506  1406  1342  1242  1096  627  563  463  399  299  235  135  71  1652

 32  1609  1549  1445  1385  1281  1221  1117  1057  584  442  338  278  174  114  92  196  256  360  420  606  1035  1139  1199  1303  1363  1467  1527  1631  10

 1674  49  157  213  321  377  485  541  649  1074  1264  1320  1428  1484  1592  1566  1510  1402  1346  1238  1100  623  567  459  403  295  239  131  75  1648

 36  1605  1553  1441  1389  1277  1225  1113  1061  580  446  334  282  170  118  88  200  252  364  416  610  1031  1143  1195  1307  1359  1471  1523  1635  6

 1678  45  161  209  325  373  489  537  653  1070  1268  1316  1432  1480  1596  1562  1514  1398  1350  1234  1104  619  571  455  407  291  243  127  79  1644

 40  1601  1557  1437  1393  1273  1229  1109  1065  576  450  330  286  166  122  84  204  248  368  412  614  1027  1147  1191  1311  1355  1475  1519  1639  2

 1641  82  124  246  288  410  452  574  616  1107  1231  1353  1395  1517  1559  1599  1477  1435  1313  1271  1067  656  534  492  370  328  206  164  42  1681

 

Теперь отмечу следующий очень интересный факт (он уже был отмечен в предыдущей статье): из одной пары латинских квадратов можно построить бесконечно много нетрадиционных идеальных квадратов. Возьмём для примера построение нетрадиционного идеального квадрата 10-го порядка. На рис. 7 дублирую первый латинский квадрат для построения такого квадрата.

 

 

Рис. 7

 

Второй латинский квадрат для данного первого получается из него поворотом вокруг центра на 90 градусов по часовой стрелке. В предыдущей статье приведена формула для составления готового магического квадрата из данной пары латинских квадратов. Но оказывается, что эту формулу можно записать в следующем виде:

 

c_ij = (13 + m)*a_ij + b_ij + 1,    m = 0, 1, 2, 3 …

 

Понятно, что для любого значения m получится новый нетрадиционный идеальный квадрат. Приведу два примера. На рис. 8 вы видите квадрат, полученный при m = 1, а на рис. 9 изображён квадрат, полученный при m = 7.

 

 

 

Рис. 8

 

 

Рис. 9

 

Но и это ещё не всё! Существует не единственная пара ортогональных обобщённых латинских квадратов, с помощью которой можно построить нетрадиционный идеальный квадрат 10-го порядка (и любого другого порядка рассматриваемой серии порядков). Посмотрите на первый латинский квадрат (рис. 7), в первой строке этого квадрат стоит повторяющаяся пара чисел (0, 12). Так вот, вместо этой пары чисел может стоять любая из следующих пар чисел: (0, 12 + 2p), p = 1, 2, 3… Приведу только один пример – для p = 1. Первый латинский квадрат в этом случае будет таким (рис. 10):

 

 

Рис. 10

 

Второй латинский квадрат получается из первого поворотом на 90 градусов по часовой стрелке. Формула для составления готового магического квадрата из данной пары латинских квадратов имеет следующий вид:

 

c_ij = (15 + m)*a_ij + b_ij + 1,    m = 0, 1, 2, 3 …

 

Приведу два нетрадиционных идеальных квадрата из этой группы: для m = 0 (рис. 11) и для m = 16 (рис. 12).

 

 

Рис. 11

 

 

Рис. 12

 

В заключение ещё раз отмечу, что все нетрадиционные идеальные квадраты, построенные описанным методом, очень просто превращаются в нетрадиционные совершенные квадраты с помощью преобразования трёх квадратов, благодаря своему уникальному свойству: сумма чисел в любом квадрате 2х2, расположенном внутри таких идеальных квадратов, равна одному и тому же числу Q = 2T , где T – сумма двух комплементарных чисел в этом квадрате. Например, для квадрата, изображённого на рис. 12, T = 450, Q = 900. Проверьте сумму чисел в любом квадрате 2х2, расположенном в данном квадрате, вы убедитесь, что она равна 900.

На рис. 13 показан нетрадиционный совершенный квадрат, полученный из квадрата с рис. 12 преобразованием трёх квадратов.

 

 

 

Рис. 13

 

Таким образом, мы имеем метод построения не только нетрадиционных идеальных квадратов порядка n = 4k + 2, но и одновременно нетрадиционных совершенных квадратов этой серии порядков.

 

***

 

На форуме меня спрашивают, есть ли у меня программа, с помощью которой можно построить нетрадиционный идеальный квадрат любого наперёд заданного порядка, например, 530-го. Программа есть, но не полная, в ней отсутствует блок составления латинских квадратов. Во всех своих построениях я составляла латинские квадраты вручную, вводила их в файлы, программа считывала их из файлов и по формуле строила готовые магические квадраты. Понятно, что в идеале надо автоматизировать и этап составления пары латинских квадратов, но мне не хочется это делать. Технический вопрос!

Что же касается нетрадиционного идеального квадрата 530-го порядка, я бы не стала при его составлении пользоваться описанным методом. Если бы меня попросили срочно составить такой квадрат (например, он был бы кому-то необходим для расчёта траектории полёта на Марс), я составила бы этот квадрат очень просто: взяла бы два идеальных квадрата – 10-го порядка и 53-го порядка – и построила нетрадиционный идеальный квадрат методом составных квадратов. Тем более что язык QBASIC, которым я пользуюсь, не позволит составить такой большой квадрат с помощью метода латинских квадратов. А вот составной квадрат я могу составить из отдельных частей, и это у меня получится даже на Бейсике.

Очевидно, что нетрадиционные идеальные квадраты порядка n = 4k + 2 = 2(2k +1) не могут быть построены методом составных квадратов только в том случае, когда число 2k + 1 является простым.

В какой-то из моих ранних статей был приведён пример построения нетрадиционного идеального квадрата 30-го порядка методом составных квадратов.

 

Коллега, с которым велась дискуссия о данном методе на форуме, очень хотел, чтобы я с карандашом и листом бумаги составила две первые полустроки первого латинского квадрата для построения нетрадиционного идеального квадрата 530-го порядка. Я это сделала. Показываю результат. Вот две первые полустроки:

 

0 569 567 565 … 121 119 117 115 134 132 70 68 66 64 … 20 18 16 14 12 10 8 6 4

   600 31 33 35 … 479 481 483 485 466 468 530 532 534 536 … 580 582 584 586 588 590 592 594 596

 

Пропущенный интервал в начале первой полустроки – это все нечётные числа от 563 до 123 включительно, пропущенный интервал в конце этой полустроки – это все чётные числа от 62 до 22 включительно. Понятно, что вторая полустрока состоит из комплементарных чисел, то есть каждое число второй полустроки составляет в сумме с соответствующим числом первой полустроки 600.

 

Мой коллега на форуме так и не понял, по какому принципу составляется первая полустрока. Не буду открывать этот маленький секрет. Любознательные читатели легко его разгадают. На рис. 14 показан фрагмент первого латинского квадрата, составленного из приведённых полустрок.

 

 

Рис. 14

 

Второй латинский квадрат, как уже знают читатели, в данной схеме получается из первого поворотом на 90 градусов против часовой стрелки. Не буду его показывать. Составление готовых нетрадиционных идеальных квадратов 530-го порядка из данной пары латинских квадратов выполняется по следующей формуле:

 

c_ij = (601 + m)*a_ij + b_ij + 1, m = 0, 1, 2, 3 …

 

На рис. 15 показан фрагмент готового магического квадрата, составленного по данной формуле при m = 0.

 

 

Рис. 15

 

К сожалению, у меня нет возможности построить квадрат полностью, в интерпретаторе языка QBASIC, которым я пользуюсь, не хватает памяти для такого большого квадрата.

В приведённом фрагменте видно, что уникальное свойство всех идеальных квадратов, построенных данным методом, и здесь выполняется: сумма чисел в любом квадрате 2х2, находящемся в показанном фрагменте, равна одному и тому же числу Q = 722404 , при этом Q = 2T , где T – сумма комплементарных чисел. Поэтому приведённый квадрат также можно превратить в нетрадиционный совершенный квадрат с помощью преобразования трёх квадратов. На рис. 16 вы видите фрагмент нетрадиционного совершенного квадрата 530-го порядка.

 

 

Рис. 16

 

Если кто-нибудь из читателей построит данный квадрат полностью, прошу сообщить мне об этом. Интересно посмотреть на такой огромный идеальный (или совершенный) квадрат, хотя и нетрадиционный.

 

***

 

Посетите на форуме тему “Магические квадраты”, в которой велась дискуссия о данном методе:

 

http://dxdy.ru/topic12959.html

 

К сожалению, дискуссия о методе свелась к выяснению отношений и поэтому я вчера покинула тему. Сегодня по уведомлению в почтовом ящике видела, что Александров мне ответил, но читать ответ не пошла. Подозреваю, что ответ его “крутой” настолько, что пришлось вмешаться модератору. Впрочем, вполне вероятно, что модератор сделал замечание мне, а не Александрову. Хотя личные моменты в основном были задеты Александровым (первоначально). Ну, а я не могла сдержаться, чтобы не ответить.

 Как всё это прискорбно!

 

Дискуссия на форуме о данном методе продолжается и без моего участия. Хотя я принимаю косвенное участие в дискуссии. Мой читатель и замечательный помощник Артём любезно согласился построить нетрадиционный идеальный квадрат 530-го порядка по составленным мной полустрокам. Он же сообщил мне о том, что Александров тоже квадрат построил и подверг его критике на форуме за то, что в нём есть повторяющиеся числа. Я посмотрела квадрат, построенный Артёмом (он мне его прислал) и обнаружила, что одинаковые числа действительно есть. Тогда я посмотрела внимательно на полустроки и увидела, что в пропущенных мной интервалах есть одинаковые числа. Вот в чём причина повторения чисел в построенном по этим полустрокам квадрате. Артём тем временем составил программу проверки повторяющихся чисел и выявил все одинаковые числа.

Ну, а затем мне стало очень интересно составить такие полустроки, чтобы нетрадиционный идеальный квадрат 530-го порядка получился с неповторяющимися числами, что я и сделала. Представляю читателям новые полустроки. Теперь я уже не пропускаю интервалы чисел, а даю полустроки полностью, чтобы было хорошо видно, что в полустроках нет одинаковых чисел.

Итак, представляю новые полустроки.

 

Первая полустрока

 

  0 599  569  567  565  563  561  559  557  555  553  551  549  547  545  543  541  539  537  535  533  531  529  527    525  523  521  519  517  515  513  511  509  507  505  503  501  499  497  495  493  491  489  487  484  482  480  478  476  474  472  470  468  466  464  462  460  458  456  454  452  450  448  446  444  442  440  438  436  434  432  430  428  426  424  422  420  418  416  414  412  410  408  406  404  402  400  398  396  394  392  390  388  386  384  382  380  378  376  374  372  370  368  366  364  362  360  358  356  354  352  350  348  346  344  342  340  338  336  334  332  330  328  326  324  322  320  318  316  314  312  310  308  306  304  302  299  297  295  293  291  289  287  285  283  281  279  277  275  273  271  269  267  265  263  261  259  257  255  253  251  249  247  245  243  241  239  237  235  233  231  229  227  225  223  221  219  217  215  213  211  209  207  205  203  201  199  197  195  193  191  189  187  185  183  181  179  177  175  173  171  169  167  165  163  161  159  157  155  153  151  149  147  145  143  141  139  137  135  133  131  129  127  125  123  121  119  117  115  72  70  68  66  64  62  60  58  56  54  52  50  48  46  44  40  38  36  34  32  30  28  26  24  22  20  18  17  16  14  13  12  10  8  6  4

 

Вторая полустрока

 

 600  1  31  33  35  37  39  41  43  45  47  49  51  53  55  57  59  61  63  65  67  69  71  73  75  77  79  81  83  85  87  89  91  93  95  97  99  101  103  105  107  109  111  113  116  118  120  122  124  126  128  130  132  134  136  138  140  142  144  146  148  150  152  154  156  158  160  162  164  166  168  170  172  174  176  178  180  182  184  186  188  190  192  194  196  198  200  202  204  206  208  210  212  214  216  218  220  222  224  226  228  230  232  234  236  238  240  242  244  246  248  250  252  254  256  258  260  262  264  266  268  270  272  274  276  278  280  282  284  286  288  290  292  294  296  298  301  303  305  307  309  311  313  315  317  319  321  323  325  327  329  331  333  335  337  339  341  343  345  347  349  351  353  355  357  359  361  363  365  367  369  371  373  375  377  379  381  383  385  387  389  391  393  395  397  399  401  403  405  407  409  411  413  415  417  419  421  423  425  427  429  431  433  435  437  439  441  443  445  447  449  451  453  455  457  459  461  463  465  467  469  471  473  475  477  479  481  483  485  528  530  532  534  536  538  540  542  544  546  548  550  552  554  556  560  562  564  566  568  570  572  574  576  578  580  582  583  584  586  587  588  590  592  594  596

 

Отправила Артёму эти полустроки и сразу же получила ответ: новый нетрадиционный идеальный квадрат 530-го порядка построен, и он получился, как и ожидалось, с неповторяющимися числами.

Как только Артём выложит этот квадрат в Интернете и сообщит мне ссылку, я приведу её здесь, чтобы все читатели смогли посмотреть на этот огромный нетрадиционный идеальный квадрат.

 

***

 

Хочу сказать несколько слов по поводу повторения чисел в нетрадиционном магическом квадрате. Вообще-то я не видела такого определения нетрадиционного магического квадрата, в котором было бы сказано, что в таком квадрате числа не должны повторяться. Мне известно следующее определение нетрадиционного магического квадрата:

 

 

Конечно, не рассматривается тривиальный случай: заполнение квадрата всеми одинаковыми числами, то есть, например, одними единицами. Понятно, что такие тривиальные квадраты любого порядка будут и магическими, и ассоциативными, и пандиагональными, и даже бимагическими.

А вот насчёт повторения чисел в нетрадиционном магическом квадрате в приведённом определении ничего не сказано. Если кто-то видел другое определение нетрадиционного магического квадрата в серьёзном и проверяемом источнике, расскажите об этом, пожалуйста.

 

В Интернете, например, мной найдено решение очень давней и сложной задачи – построения нетрадиционного бимагического квадрата 5-го порядка. Такой квадрат построен (подробно смотрите в статье “Бимагические квадраты”), но тоже с повторяющимися числами. Когда я рассказала об этом на форуме, квадрат этот тоже забраковали, то есть это плохое решение, потому что оно с повторяющимися числами. Я тогда в своём ответе тоже возразила, что нигде не написано, что в нетрадиционном магическом квадрате числа не могут повторяться. Нетрадиционный бимагический квадрат 5-го порядка с разными числами, по-моему, так и не построен и не доказана невозможность его построения. Может быть, я уже отстала от новых результатов, и это совсем не так.

 

15 - 29 ноября 2008 г.

г. Саратов

 

Читайте мою виртуальную книгу “Волшебный мир магических квадратов”:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm

 

Задавайте вопросы! Если смогу, обязательно отвечу.

 

Наталия Макарова

 

ДОБАВЛЕНИЕ (3 января 2009 г.)

 

Прежде всего, я обещала дать ссылку на нетрадиционный идеальный квадрат 530-го порядка. Этот квадрат здесь:

 

http://www.natalimak1.narod.ru/mk/530new.cvs

 

Далее, два участника форума (ссылка на форум дана выше) одновременно нашли интересные формулы для полустрок. Один участник решил задачу для любого порядка n = 4k + 2. Вот его решение:

 

0     3m-4   3m-6   …   2m+1   2m-1   2m-2    m-3     m-5    …   4       2

3m-3   1          3     …       m-4      m-2      m-1     2m     2m+2 … 3m-7 3m-5

 

            здесь m = n/2.

Например, для n = 22 полустроки, полученные по этим формулам, будут следующие:

 

0    29  27  25  23  21  20   8    6    4    2

30   1    3     5    7    9    10  22  24  26  28

 

Я вычислила сумму чисел в полустроках в соответствии с этими формулами для любого n = 4k + 2, она получается равной половине магической константы латинского квадрата, имеющего такие полустроки. Таким образом, формулы проверены на конкретных примерах и доказаны в общем виде. Очень красивое решение!

А второй участник форума решил задачу вообще для всех чётных порядков. Я не буду приводить здесь его решение. Интереснее другое: такое решение задачи натолкнуло меня на мысль, что данным методом можно строить и нетрадиционные идеальные квадраты чётно-чётного порядка. Хотя для чётно-чётных порядков (кроме n = 4) существуют традиционные идеальные квадраты, тем не менее, можно рассматривать и построение нетрадиционных идеальных квадратов.   Нетрадиционный идеальный квадрат 4-го порядка у меня получился только с повторяющимися числами (рис. 17).

 

 

Рис. 17

 

Приведу пример построения нетрадиционного идеального квадрата 8-го порядка. На рис. 18 изображена пара ортогональных обобщённых латинских квадратов для этого построения.

 

 

Рис. 18

 

На рис. 19 показан нетрадиционный идеальный квадрат 8-го порядка, построенный из данной пары ортогональных латинских квадратов.

 

 

Рис. 19

 

Всё, что было сказано о построении нетрадиционных идеальных квадратов порядка n = 4k + 2, имеет место и для порядка n = 4k, кроме одного: в нетрадиционный совершенный квадрат в последней серии порядков превращается только квадрат 4-го порядка. Нетрадиционный совершенный квадрат 4-го порядка, полученный из квадрата с рис. 17 преобразованием трёх квадратов, показан на рис. 20.

 

 

Рис. 20

 

А впрочем, квадрат 4-го порядка и не надо превращать в совершенный, потому что все пандиагональные квадраты 4-го порядка являются совершенными. Так что нетрадиционный идеальный квадрат на рис. 17 уже совершенный.

 

И ещё: для порядка n = 4k не работают формулы для полустрок, приведённые выше. В этом случае надо пользоваться решением, полученным вторым участником форума (М. Алексеевым, ник на форуме – maxal).

 

В заключение покажу нетрадиционный идеальный квадрат 12-го порядка. Обратите внимание на квадрат 8-го порядка (рис. 19). В нём выделена начальная цепочка. Точно такая начальная цепочка имеется и в традиционных идеальных квадратах 8-го порядка. А традиционный идеальный квадрат 12-го порядка с такой формой начальной цепочки мне построить не удалось. Вот теперь построила нетрадиционный идеальный квадрат с такой начальной цепочкой! Смотрите этот квадрат на рис. 21.

 

 

Рис. 21

 

В обоих идеальных квадратах – 8-го и 12-го порядков – выполняется то же самое условие для начальной цепочки, которое имеет место в традиционных идеальных квадратах с такой формой начальной цепочки: сумма чисел начальной цепочки, расположенных слева, равна сумме чисел начальной цепочки, расположенных справа. Кроме того, сумма чисел начальной цепочки в каждой строке квадрата равна одному и тому же числу.

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу