Н. Макарова

 

ОРИГИНАЛЬНЫЕ ГРУППЫ MOLS ВОСЬМОГО ПОРЯДКА

 

Стандартная группа MOLS 8-го порядка очень хорошо известна и была показана в моих статьях (смотрите эту группу в конце настоящей статьи). Она состоит из семи латинских квадратов. Все квадраты получаются друг из друга перестановкой строк. Эта группа строится в пакете математических программ Maple.

Здесь будет показано построение оригинальных групп MOLS 8-го порядка неизоморфных стандартной группе. Латинские квадраты в этих группах содержат подквадрат 1х1 и имеют квази-разностную матрицу (КРМ) определённого вида. О квази-разностных матрицах смотрите цикл статей “Подробно о квази-разностной матрице” (цикл начинается со статьи http://www.natalimak1.narod.ru/quazi.htm ).

 

В качестве первого латинского квадрата группы я выбрала квадрат, построенный по схеме Лямзина. Этот латинский квадрат изображён на рис. 1.

 

Первый латинский квадрат

 

 

Рис. 1

 

Значение символьного элемента равно 7. На рис. 2 показана КРМ, соответствующая этому латинскому квадрату.

 

 

Рис. 2

 

Отмечу, что этот латинский квадрат был построен мной по аналогии с латинским квадратом 10-го порядка из пары ОЛК Лямзина. Начиная работать с КРМ, я сначала составила программу для добавления к двум первым строкам КРМ третьей строки. Эта программа выдала 931 решений, среди которых было и решение, представленное на рис. 2. Это решение выдалось под № 926.

Теперь составляю вторую программу - для добавления к этой КРМ четвёртой строки. Подчеркну, что из всех решений, полученных на предыдущем этапе, я выбрала одно конкретное решение (№ 926) и для него составила программу добавления четвёртой строки.  Среди решений, выданных программой, конечно, есть решение, которое было найдено мной раньше без программы: я уже построила в одной из статей пару ОЛК 8-го порядка, подобную паре ОЛК 10-го порядка Лямзина. КРМ, соответствующая этой паре ОЛК, выдалась программой под № 6. Вы видите её на рис. 3.

 

 

Рис. 3

 

На рис. 4 изображён второй латинский квадрат, построенный по данной КРМ.

 

Второй латинский квадрат (решение № 6)

 

 

Рис. 4

 

Интересно отметить, что в этой паре ОЛК латинские квадраты получаются друг из друга перестановкой строк, точно так же, как в паре ОЛК Лямзина 10-го порядка.

 

А теперь покажу другое решение, оно выдалось программой под № 42 (последнее). На рис. 5 вы видите это решение.

 

 

Рис. 5

 

По этой КРМ получается такой второй латинский квадрат (рис. 6):

 

Второй латинский квадрат (решение № 42)

 

 

Рис. 6

 

Понятно, что первый латинский квадрат в этой паре будет тот же самый (рис. 1). Легко видеть, что в этой паре ОЛК квадраты получаются друг из друга перестановкой столбцов.

 

Теперь продолжаю добавление ортогональных латинских квадратов к последней паре ОЛК (рис. 1 – рис. 6). Составляю следующую программу для добавления в КРМ с рис. 5  пятой строки. Эта строка определит третий латинский квадрат, ортогональный обоим квадратам пары. Здесь и далее из всех решений, выданных программой, берётся самое последнее. На рис. 7 показываю КРМ с добавленной пятой строкой.

 

 

Рис. 7

 

По пятой строке КРМ строим третий латинский квадрат, который ортогонален обоим квадратам пары ОЛК. Вы видите этот латинский квадрат на рис. 8.

 

Третий латинский квадрат

 

 

Рис. 8

 

Следующий этап – добавление в КРМ шестой строки, которая определит четвёртый латинский квадрат группы. Пишу новую программу; на каждом этапе к предыдущей программе надо добавить ещё один блок. На рис. 9 изображена новая КРМ с добавленной шестой строкой, а на рис. 10 – соответствующий ей латинский квадрат.

 

 

Рис. 9

На рис. 9 изображена новая КРМ с добавленной шестой строкой, а на рис. ь ещё один блок.  ОЛК.

Четвёртый латинский квадрат

 

 

Рис. 10

 

Следующая программа – для добавления седьмой строки. Опять выбираю самое последнее решение и строю новую КРМ (рис. 11) и пятый латинский квадрат (рис. 12).

 

 

Рис. 11

 

Пятый латинский квадрат

 

 

Рис. 12

 

Пишу новую программу – для добавления восьмой строки в КРМ с рис. 11. На рис. 13 изображена КРМ с добавленной восьмой строкой, а на рис. 14 – шестой латинский квадрат этой группы MOLS.

 

 

Рис. 13

 

Шестой латинский квадрат

 

 

Рис. 14

 

Наконец, последний этап добавление в КРМ девятой строки. Показываю окончательно сформированную КРМ (рис. 15) и седьмой латинский квадрат (рис. 16).

 

 

Рис. 15

 

Седьмой латинский квадрат

 

 

Рис. 16

 

Построение группы MOLS завершено. Группа состоит из семи латинских квадратов. Взаимная ортогональность всех квадратов проверена по программе проверки ортогональности. Заметьте: символьный элемент a в КРМ встречается в каждой строке и в каждом столбце только один раз.

 

А теперь преобразую все латинские квадраты построенной группы. Сначала переставлю строки (одновременно во всех квадратах), первую строку помещу между седьмой и восьмой строками. Затем поверну все квадраты вокруг центра на 90 градусов против часовой стрелки. В результате таких преобразований получается группа MOLS, состоящая из нормализованных квадратов, получающихся друг из друга перестановкой строк. Точно так, как в стандартной группе MOLS. На рис. 17 – 20 изображены преобразованные латинские квадраты. В квадратах символьный элемент a заменён его числовым значением 7.

 

 

Рис. 17

 

 

Рис. 18

 

 

Рис. 19

 

 

Рис. 20

 

Покажу для сравнения стандартную группу MOLS 8-го порядка, которая строится в Maple и приводится во многих статьях и книгах об ортогональных латинских квадратах. Даю копию этой группы MOLS из книги “Handbook of Combinatorial Design” (рис. 21).

 

  

 

Рис. 21

 

Легко видеть, что построенная мной группа MOLS неизоморфна стандартной группе.

В построенной группе нет ни одного диагонального латинского квадрата. Поэтому ни одна пара ОЛК, образованная из квадратов этой группы, не пригодна для построения магических квадратов без предварительного преобразования. Покажу пример такого преобразования. Как уже знают читатели, это преобразование названо мной трансформацией тождественной перестановки чисел. Образуем пару ОЛК из двух первых латинских квадратов группы (рис. 22).

 

 

Рис. 22

 

В обоих латинских квадратах только одна диагональ неправильная. В первом латинском квадрате (на рис. 22 слева) применим следующую трансформацию тождественной перестановки чисел:

 

0  1  2  3  4  5  6  7

1  0  4  3  2  5  6  7

 

В результате этого преобразования первый латинский квадрат будет таким (рис. 23):

 

 

Рис. 23

 

Во втором латинском квадрате (на рис. 22 справа) применим такую трансформацию тождественной перестановки:

 

0  1  2  3  4  5  6  7

4  1  5  3  0  2  6  7

 

Преобразованный второй латинский квадрат вы видите на рис. 24.

 

 

Рис. 24

 

Теперь пара ОЛК готова для построения магических квадратов. Как знают читатели, из пары ОЛК можно построить два магических квадрата, меняя местами латинские квадраты в формуле для построения магического квадрата. Далее показаны оба магических квадрата, построенные из данной пары ОЛК (рис. 25).

 

 

Рис. 25

 

Интересно было бы узнать, сколько таких групп MOLS можно построить по описанному алгоритму. Чтобы ответить на этот вопрос, надо выполнить все программы в одной программе. Структура этой программы будет такая: первый блок – добавление в КРМ третьей строки, из этого блока входим в подпрограмму добавления четвёртой строки, из этой подпрограммы входим в подпрограмму добавления пятой строки и так далее. Представили? Как я уже сказала, на первом этапе программы выдала 931 решение. Для каждого из этих решений должна выполниться следующая подпрограмма, для каждого решения, полученного в этой подпрограмме, должна выполниться следующая подпрограмма и так далее до последней подпрограммы. Я даже не берусь составлять такую программу, потому что всё равно не дождусь её выполнения. Предлагаю читателям придумать оптимизацию этой программы и получить ответ на поставленный вопрос. Думаю, что таких групп MOLS будет немало. Мне захотелось проверить вторую группу, в которой показаны первые два квадрата (рис. 1, рис. 4). Продублирую КРМ этой пары ОЛК (рис. 26):

 

 

Рис. 26

 

Выполнив для этой КРМ все программы (добавление пятой, шестой, … девятой строк), получила следующую КРМ (рис. 27):

 

 

Рис. 27

 

Понятно, что это один из вариантов решения.

Осталось показать пять латинских квадратов этой группы (первые два квадрата уже показаны, см. рис. 1, рис. 4). На рис. 28 – 30 вы видите эти латинские квадраты.

 

 

Рис. 28

 

 

Рис. 29

 

 

Рис. 30

 

Легко увидеть, что последняя группа MOLS неизоморфна ни стандартной группе, ни группе, построенной выше.

 

 

1 – 2 апреля 2009 г.

г. Саратов

 

Читайте мою виртуальную книгу “Волшебный мир магических квадратов”:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm

 

Скачайте электронную версию этой книги:

 

http://narod.ru/disk/5834353000/Magic_squares.pdf.html

 

 

Заодно прихватите книгу “Позиционные системы счисления”, авось, пригодится:

 

http://narod.ru/disk/5936760000/pozic4.pdf.html

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу