Н. Макарова

 

ПОСТРОЕНИЕ ПАРЫ ОЛК 62-го ПОРЯДКА

 

 

Как уже было сказано в предыдущих статьях цикла, порядок 62 – проблемный порядок. Он относится к серии порядков n ≡ 2(mod 6), для которой у меня нет алгоритма построения пар ОЛК. Метод составных квадратов для этого порядка не работает. В книге “Handbook of Combinatorial Design” описывается построение группы MOLS 62-го порядка, состоящей из пяти квадратов. Но по ссылке, данной на форуме, я нашла построение пары ОЛК данного порядка. А мне для построения магических квадратов и достаточно пары ОЛК. Поэтому я приведу здесь именно это построение. Вот указанная ссылка:

 

http://www.emba.uvm.edu/~dinitz/preprints/n2resolvable.pdf


            Ниже вы видите копию матрицы взятой в указанной статье, из которой надо составить квази-разностную матрицу для построения пары ОЛК (рис. 1)

 

    

 

 

Рис. 1

 

Далее показываю квази-разностную матрицу (рис. 2), составленную по приведённому описанию. Она представлена в виде 4-х частей, так как очень длинная.

 

0

x1

9

22

19

x2

5

36

19

x3

0

6

20

x4

16

41

3

x5

7

30

2

0

9

22

19

x1

5

36

19

x2

0

6

20

x3

16

41

3

x4

7

30

2

x5

0

22

19

x1

9

36

19

x2

5

6

20

x3

0

41

3

x4

16

30

2

x5

7

0

19

x1

9

22

19

x2

5

36

20

x3

0

6

3

x4

16

41

2

x5

7

30

 

x6

19

10

18

x7

18

16

10

x8

40

0

28

x9

7

18

28

x10

39

28

24

19

10

18

x6

18

16

10

x7

40

0

28

x8

7

18

28

x9

39

28

24

x10

10

18

x6

19

16

10

x7

18

0

28

x8

40

18

28

x9

7

28

24

x10

39

18

x6

19

10

10

x7

18

16

28

x8

40

0

28

x9

7

18

24

x10

39

28

 

x11

20

7

31

x12

0

20

41

x13

34

3

30

x14

10

2

3

x15

23

2

40

20

7

31

x11

0

20

41

x12

34

3

30

x13

10

2

3

x14

23

2

40

x15

7

31

x11

20

20

41

x12

0

3

30

x13

34

2

3

x14

10

2

40

x15

23

31

x11

20

7

41

x12

0

20

30

x13

34

3

3

x14

10

2

40

x15

23

2

 

x16

36

12

11

x17

36

38

42

x18

18

34

27

x19

10

19

37

0

29

19

26

36

12

11

x16

36

38

42

x17

18

34

27

x18

10

19

37

x19

29

19

26

0

12

11

x16

36

38

42

x17

36

34

27

x18

18

19

37

x19

10

19

26

0

29

11

x16

36

12

42

x17

36

38

27

x18

18

34

37

x19

10

19

26

0

29

19

 

Рис. 2

 

В связи с тем, что квадрат очень большой, показываю только его фрагмент (рис. 3). Это первый латинский квадрат, ему соответствует оранжевая строка в квази-разностной матрице. Второму латинскому квадрату соответствует жёлтая строка матрицы. Я не буду строить второй квадрат. Предоставляю это читателям.

Отмечу, что латинский квадрат заполняется в традиционном виде числами от 0 до 61. На рис. 3 показаны координаты (строка над квадратом и столбец слева от квадрата). В квадрате выделены оранжевым цветом ячейки, содержащие элементы из квази-разностной матрицы.

 

 

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

0

0

x16

37

x1

x10

x15

x7

x18

1

8

7

39

26

24

33

x8

x13

x2

5

x11

15

38

x12

21

42

1

x14

1

x16

38

x1

x10

x15

x7

x18

2

9

8

40

27

25

34

x8

x13

x2

6

x11

16

39

x12

22

2

6

x14

2

x16

39

x1

x10

x15

x7

x18

3

10

9

41

28

26

35

x8

x13

x2

7

x11

17

40

x12

3

31

7

x14

3

x16

40

x1

x10

x15

x7

x18

4

11

10

42

29

27

36

x8

x13

x2

8

x11

18

41

4

x17

32

8

x14

4

x16

41

x1

x10

x15

x7

x18

5

12

11

0

30

28

37

x8

x13

x2

9

x11

19

5

x4

x17

33

9

x14

5

x16

42

x1

x10

x15

x7

x18

6

13

12

1

31

29

38

x8

x13

x2

10

x11

6

20

x4

x17

34

10

x14

6

x16

0

x1

x10

x15

x7

x18

7

14

13

2

32

30

39

x8

x13

x2

11

7

24

21

x4

x17

35

11

x14

7

x16

1

x1

x10

x15

x7

x18

8

15

14

3

33

31

40

x8

x13

x2

8

x6

25

22

x4

x17

36

12

x14

8

x16

2

x1

x10

x15

x7

x18

9

16

15

4

34

32

41

x8

x13

9

27

x6

26

23

x4

x17

37

13

x14

9

x16

3

x1

x10

x15

x7

x18

10

17

16

5

35

33

42

x8

10

x9

28

x6

27

24

x4

x17

38

14

x14

10

x16

4

x1

x10

x15

x7

x18

11

18

17

6

36

34

0

11

21

x9

29

x6

28

25

x4

x17

39

15

x14

11

x16

5

x1

x10

x15

x7

x18

12

19

18

7

37

35

12

39

22

x9

30

x6

29

26

x4

x17

40

16

x14

12

x16

6

x1

x10

x15

x7

x18

13

20

19

8

38

13

10

40

23

x9

31

x6

30

27

x4

x17

41

17

x14

13

x16

7

x1

x10

x15

x7

x18

14

21

20

9

14

x3

11

41

24

x9

32

x6

31

28

x4

x17

42

18

x14

14

x16

8

x1

x10

x15

x7

x18

15

22

21

15

x5

x3

12

42

25

x9

33

x6

32

29

x4

x17

0

19

x14

15

x16

9

x1

x10

x15

x7

x18

16

23

16

9

x5

x3

13

0

26

x9

34

x6

33

30

x4

x17

1

20

x14

16

x16

10

x1

x10

x15

x7

x18

17

17

3

10

x5

x3

14

1

27

x9

35

x6

34

31

x4

x17

2

21

x14

17

x16

11

x1

x10

x15

x7

x18

18

x19

4

11

x5

x3

15

2

28

x9

36

x6

35

32

x4

x17

3

22

x14

18

x16

12

x1

x10

x15

x7

19

18

x19

5

12

x5

x3

16

3

29

x9

37

x6

36

33

x4

x17

4

23

x14

19

x16

13

x1

x10

x15

20

41

19

x19

6

13

x5

x3

17

4

30

x9

38

x6

37

34

x4

x17

5

24

x14

20

x16

14

x1

x10

21

x12

42

20

x19

7

14

x5

x3

18

5

31

x9

39

x6

38

35

x4

x17

6

25

x14

21

x16

15

x1

22

17

x12

0

21

x19

8

15

x5

x3

19

6

32

x9

40

x6

39

36

x4

x17

7

26

x14

22

x16

16

23

38

18

x12

1

22

x19

9

16

x5

x3

20

7

33

x9

41

x6

40

37

x4

x17

8

27

x14

23

x16

24

x11

39

19

x12

2

23

x19

10

17

x5

x3

21

8

34

x9

42

x6

41

38

x4

x17

9

28

x14

24

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

…

42

x16

36

x1

x10

x15

x7

x18

0

7

6

38

25

23

32

x8

x13

x2

4

x11

14

37

x12

20

41

x19

43

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

44

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

45

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

0

1

2

3

4

46

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

47

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

48

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

49

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

50

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

51

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

0

1

2

3

52

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

53

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

54

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

55

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

56

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

57

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

0

1

2

3

4

5

6

7

58

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

0

1

2

3

4

5

6

59

37

38

39

40

41

42

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

60

34

35

36

37

38

39

40

41

42

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

61

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

 

Рис. 3

 

Переменные x1, x2, … , x19 принимают значения 43, 44, 45, …, 61 в любой комбинации.

В правом нижнем углу этого латинского квадрата будет находиться латинский подквадрат 19х19, например, такой (рис. 4):

 

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

x11

x12

x13

x14

x15

x16

x17

x18

x19

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

x11

x12

x13

x14

x15

x16

x17

x18

x19

x1

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

x11

x12

x13

x14

x15

x16

x17

x18

x19

x1

x2

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

x11

x12

x13

x14

x15

x16

x17

x18

x19

x1

x2

x3

x5

x6

x7

x8

x9

x10

x11

x12

x13

x14

x15

x16

x17

x18

x19

x1

x2

x3

x4

x6

x7

x8

x9

x10

x11

x12

x13

x14

x15

x16

x17

x18

x19

x1

x2

x3

x4

x5

x7

x8

x9

x10

x11

x12

x13

x14

x15

x16

x17

x18

x19

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x8

x9

x10

x11

x12

x13

x14

x15

x16

x17

x18

x19

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x9

x10

x11

x12

x13

x14

x15

x16

x17

x18

x19

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x10

x11

x12

x13

x14

x15

x16

x17

x18

x19

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x11

x12

x13

x14

x15

x16

x17

x18

x19

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

x12

x13

x14

x15

x16

x17

x18

x19

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

x11

x13

x14

x15

x16

x17

x18

x19

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

x11

x12

x14

x15

x16

x17

x18

x19

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

x11

x12

x13

x15

x16

x17

x18

x19

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

x11

x12

x13

x14

x16

x17

x18

x19

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

x11

x12

x13

x14

x15

x17

x18

x19

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

x11

x12

x13

x14

x15

x16

x18

x19

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

x11

x12

x13

x14

x15

x16

x17

x19

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10

x11

x12

x13

x14

x15

x16

x17

x18

 

Рис. 4

 

Понятно, что в правом нижнем углу второго латинского квадрата тоже будет находиться латинский подквадрат 19х19 ортогональный квадрату, изображённому на рис. 4. Можно брать любую пару ортогональных латинских квадратов в качестве подквадратов. Варьируя пары подквадратов, мы будем получать неизоморфные пары ОЛК 62-го порядка.

 

Итак, один проблемный порядок исключён, для него всё оказалось просто. Осталось два проблемных порядка в первой сотне порядков: 74 и 86. В статье по указанной выше ссылке есть и построение пары ОЛК 74-го порядка. Надо посмотреть, что там.

А ещё на форуме сообщили, что в этой статье есть общий алгоритм построения пар ОЛК любого порядка, кроме 2, 4, 6 и 8. К сожалению, не могу разобраться в статье. Попросила на форуме популярно изложить этот алгоритм. Подождём! А читатели могут попробовать свои силы прямо сейчас. Это интересно! Если кто-нибудь разберётся в  алгоритме, напишите мне, пожалуйста.

Как уже сказано, у меня без общего алгоритма осталась серия порядков n ≡ 2(mod 6). Из этой серии надо исключить порядки, равные степени числа 2, и порядки, для которых работает метод составных квадратов. Таким образом, получается, что проблемными порядками у меня остаются порядки вида n = 2(3k + 1), где 3k+1 является простым числом.

 

17 марта 2009 г.

г. Саратов

 

 

Читайте мою виртуальную книгу “Волшебный мир магических квадратов”:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm

 

Скачайте электронную версию этой книги:

 

http://narod.ru/disk/5834353000/Magic_squares.pdf.html

 

 

Заодно прихватите книгу “Позиционные системы счисления”, авось, пригодится:

 

http://narod.ru/disk/5936760000/pozic4.pdf.html

 

       Пишите мне!

Рейтинг@Mail.ru

На главную страницу

 



Hosted by uCoz