Н. Макарова
ГРУППЫ MOLS ЧЕТВЁРТОГО ПОРЯДКА
Мне удалось построить по программе две оригинальные группы MOLS 8-го порядка (см. статью http://www.natali1mak.narod.ru/mols8.htm ). Я использовала для этого квази-разностные матрицы (КРМ) определённого вида. Поскольку для порядка 8 мне не удалось выполнить программу в полном объёме, я решила попробовать сделать это для порядка 4. Полная группа MOLS 4-го порядка, конечно, тоже хорошо известна. Покажу её ещё раз (рис. 1):
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
3 |
2 |
1 |
0 |
2 |
3 |
0 |
1 |
1 |
0 |
3 |
2 |
||
|
1 |
0 |
3 |
2 |
3 |
2 |
1 |
0 |
2 |
3 |
0 |
1 |
||
|
2 |
3 |
0 |
1 |
1 |
0 |
3 |
2 |
3 |
2 |
1 |
0 |
Рис. 1
Это стандартная группа MOLS, состоящая из нормализованных латинских квадратов (первая строка этих квадратов содержит тождественную перестановку чисел 0, 1, 2, 3). Очевидно, что все квадраты группы получаются друг из друга перестановкой строк; при этом первая строка остаётся на месте, а каждая из остальных трёх строк занимает разные позиции в каждом из трёх квадратов. Точно такую же структуру имеют латинские квадраты в стандартной группе MOLS 8-го порядка, состоящей из семи нормализованных латинских квадратов (группа показана в указанной статье).
А теперь повернём все три квадрата группы на 90 градусов вокруг центра по часовой стрелке. Получим такую группу MOLS (рис. 2):
|
2 |
1 |
3 |
0 |
|
1 |
3 |
2 |
0 |
|
3 |
2 |
1 |
0 |
|
3 |
0 |
2 |
1 |
0 |
2 |
3 |
1 |
2 |
3 |
0 |
1 |
||
|
0 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
0 |
2 |
1 |
0 |
3 |
2 |
||
|
1 |
2 |
0 |
3 |
2 |
0 |
1 |
3 |
0 |
1 |
2 |
3 |
Рис. 2
Оказывается, латинские квадраты этой группы содержат подквадрат 1х1 и могут быть построены по КРМ рассматриваемого мной вида. Смотрите КРМ этой группы MOLS на рис. 3.
|
a |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
a |
0 |
1 |
2 |
|
0 |
1 |
2 |
a |
0 |
|
0 |
2 |
1 |
0 |
a |
|
0 |
0 |
a |
2 |
1 |
Рис. 3
Понятно, что символьный элемент a в КРМ имеет значение 3.
Вот такой интересный результат. А теперь берём первые две строки КРМ рассматриваемого вида и составляем программу добавления к этой матрице третьей и четвёртой строк, совместимых с имеющимися двумя строками и между собой по известному критерию. Все полученные по такой программе КРМ определяют пары ОЛК 4-го порядка. Написав и выполнив эту программу, я получила 36 решений (в виде КРМ из четырёх строк). Вот они:
1 2 3 4
3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0
0 3 0 1 2 0 3 0 1 2 0 3 0 1 2 0 3 0 1 2
0 0 3 2 1 0 0 3 2 1 0 0 3 2 1 0 0 3 2 1
0 1 2 3 0 0 2 1 0 3 1 0 2 1 3 1 2 0 3 1
5 6 7 8
3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0
0 3 0 1 2 0 3 0 1 2 0 3 0 1 2 0 3 0 1 2
0 0 3 2 1 0 0 3 2 1 0 1 2 3 0 0 1 2 3 0
2 0 1 3 2 2 1 0 2 3 0 0 3 2 1 0 2 1 0 3
9 10 11 12
3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0
0 3 0 1 2 0 3 0 1 2 0 3 0 1 2 0 3 0 1 2
0 1 2 3 0 0 1 2 3 0 0 1 2 3 0 0 1 2 3 0
1 0 2 1 3 1 1 3 0 2 2 1 0 2 3 2 2 3 1 0
13 14 15 16
3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0
0 3 0 1 2 0 3 0 1 2 0 3 0 1 2 0 3 0 1 2
1 1 3 0 2 1 1 3 0 2 1 1 3 0 2 1 1 3 0 2
0 1 2 3 0 0 2 1 0 3 1 0 2 1 3 1 2 0 3 1
17 18 19 20
3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0
0 3 0 1 2 0 3 0 1 2 0 3 0 1 2 0 3 0 1 2
1 1 3 0 2 1 1 3 0 2 1 2 0 3 1 1 2 0 3 1
2 0 1 3 2 2 1 0 2 3 0 0 3 2 1 0 2 1 0 3
21 22 23 24
3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0
0 3 0 1 2 0 3 0 1 2 0 3 0 1 2 0 3 0 1 2
1 2 0 3 1 1 2 0 3 1 1 2 0 3 1 1 2 0 3 1
1 0 2 1 3 1 1 3 0 2 2 1 0 2 3 2 2 3 1 0
25 26 27 28
3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0
0 3 0 1 2 0 3 0 1 2 0 3 0 1 2 0 3 0 1 2
2 0 1 3 2 2 0 1 3 2 2 0 1 3 2 2 0 1 3 2
0 0 3 2 1 0 2 1 0 3 1 0 2 1 3 1 1 3 0 2
29 30 31 32
3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0
0 3 0 1 2 0 3 0 1 2 0 3 0 1 2 0 3 0 1 2
2 0 1 3 2 2 0 1 3 2 2 2 3 1 0 2 2 3 1 0
2 1 0 2 3 2 2 3 1 0 0 1 2 3 0 0 2 1 0 3
33 34 35 36
3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0
0 3 0 1 2 0 3 0 1 2 0 3 0 1 2 0 3 0 1 2
2 2 3 1 0 2 2 3 1 0 2 2 3 1 0 2 2 3 1 0
1 0 2 1 3 1 2 0 3 1 2 0 1 3 2 2 1 0 2 3
Так как порядок маленький, программу удалось выполнить до конца и получить все решения. А теперь составляю программу добавления к полученным КРМ пятой строки. Эту программу надо выполнить для каждого варианта выше приведённых решений. Конечно, можно было составить общую программу, чтобы сразу строились КРМ из пяти строк, но две отдельные программы удобнее. Хотя, конечно, я не стала выполнять вторую программу для всех 36 вариантов КРМ с четырьмя строками, а выполнила её только для трёх первых вариантов. Показываю здесь результаты выполнения этой программы. Для каждого варианта программа выдала три решения.
Примечание: обе программы выдают КРМ с числовым значением символьного элемента a.
Вариант № 1.
1 2 3
3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0
0 3 0 1 2 0 3 0 1 2 0 3 0 1 2
0 0 3 2 1 0 0 3 2 1 0 0 3 2 1
0 1 2 3 0 0 1 2 3 0 0 1 2 3 0
0 2 1 0 3 1 0 2 1 3 2 1 0 2 3
Теперь КРМ состоят из пяти строк и определяют группу MOLS из трёх латинских квадратов. Поскольку первые четыре строки во всех КРМ этой группы одинаковые, первые два латинских квадрата в каждой из трёх групп, определяемых этими КРМ, тоже будут одинаковые. На рис. 4 – 6 показаны группы MOLS, построенные по этим трём КРМ.
Группа № 1
|
3 |
2 |
1 |
0 |
|
2 |
1 |
3 |
0 |
|
1 |
3 |
2 |
0 |
|
2 |
3 |
0 |
1 |
3 |
0 |
2 |
1 |
0 |
2 |
3 |
1 |
||
|
1 |
0 |
3 |
2 |
0 |
3 |
1 |
2 |
3 |
1 |
0 |
2 |
||
|
0 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
0 |
3 |
2 |
0 |
1 |
3 |
Рис. 4
Группа № 2
|
3 |
2 |
1 |
0 |
|
2 |
1 |
3 |
0 |
|
2 |
3 |
0 |
1 |
|
2 |
3 |
0 |
1 |
3 |
0 |
2 |
1 |
1 |
0 |
3 |
2 |
||
|
1 |
0 |
3 |
2 |
0 |
3 |
1 |
2 |
3 |
2 |
1 |
0 |
||
|
0 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
0 |
3 |
0 |
1 |
2 |
3 |
Рис. 5
Группа № 3
|
3 |
2 |
1 |
0 |
|
2 |
1 |
3 |
0 |
|
0 |
3 |
1 |
2 |
|
2 |
3 |
0 |
1 |
3 |
0 |
2 |
1 |
2 |
1 |
3 |
0 |
||
|
1 |
0 |
3 |
2 |
0 |
3 |
1 |
2 |
3 |
0 |
2 |
1 |
||
|
0 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
0 |
3 |
1 |
2 |
0 |
3 |
Рис. 6
Вариант № 2.
1 2 3
3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0
0 3 0 1 2 0 3 0 1 2 0 3 0 1 2
0 0 3 2 1 0 0 3 2 1 0 0 3 2 1
0 2 1 0 3 0 2 1 0 3 0 2 1 0 3
0 1 2 3 0 1 2 0 3 1 2 0 1 3 2
Очевидно, что КРМ этого варианта отличаются от КРМ предыдущего варианта четвёртой и пятой строкой. Следовательно, первый латинский квадрат в этой группе решений будет такой же, как в предыдущей группе решений. Далее, все КРМ этой группы решений имеют одинаковую четвёртую строку, значит, во всех трёх группах MOLS этого варианта решений второй латинский квадрат будет один и тот же. Таким образом, три группы MOLS, определяемые этими тремя КРМ, будут отличаться только третьим латинским квадратом. На рис. 7 – 9 показаны группы MOLS, построенные по данным КРМ.
Группа № 4
|
3 |
2 |
1 |
0 |
|
1 |
3 |
2 |
0 |
|
2 |
1 |
3 |
0 |
|
2 |
3 |
0 |
1 |
0 |
2 |
3 |
1 |
3 |
0 |
2 |
1 |
||
|
1 |
0 |
3 |
2 |
3 |
1 |
0 |
2 |
0 |
3 |
1 |
2 |
||
|
0 |
1 |
2 |
3 |
2 |
0 |
1 |
3 |
1 |
2 |
0 |
3 |
Рис. 7
Группа № 5
|
3 |
2 |
1 |
0 |
|
1 |
3 |
2 |
0 |
|
0 |
2 |
3 |
1 |
|
2 |
3 |
0 |
1 |
0 |
2 |
3 |
1 |
3 |
1 |
0 |
2 |
||
|
1 |
0 |
3 |
2 |
3 |
1 |
0 |
2 |
1 |
3 |
2 |
0 |
||
|
0 |
1 |
2 |
3 |
2 |
0 |
1 |
3 |
2 |
0 |
1 |
3 |
Рис. 8
Группа № 6
|
3 |
2 |
1 |
0 |
|
1 |
3 |
2 |
0 |
|
1 |
0 |
3 |
2 |
|
2 |
3 |
0 |
1 |
0 |
2 |
3 |
1 |
3 |
2 |
1 |
0 |
||
|
1 |
0 |
3 |
2 |
3 |
1 |
0 |
2 |
2 |
3 |
0 |
1 |
||
|
0 |
1 |
2 |
3 |
2 |
0 |
1 |
3 |
0 |
1 |
2 |
3 |
Рис. 9
Наконец, показываю ещё один вариант решений.
Вариант № 3.
1 2 3
3 0 0 0 0 3 0 0 0 0 3 0 0 0 0
0 3 0 1 2 0 3 0 1 2 0 3 0 1 2
0 0 3 2 1 0 0 3 2 1 0 0 3 2 1
1 0 2 1 3 1 0 2 1 3 1 0 2 1 3
0 1 2 3 0 1 2 0 3 1 2 0 1 3 2
Первый латинский квадрат в этой группе решений будет такой же, как во всех предыдущих решениях. Второй латинский будет одинаковый для всех трёх вариантов этой группы (ему соответствует четвёртая строка КРМ, а она во всех этих КРМ одинаковая). На рис. 10 – 12 вы видите три группы MOLS, построенные по данным КРМ.
Группа № 7
|
3 |
2 |
1 |
0 |
|
2 |
3 |
0 |
1 |
|
2 |
1 |
3 |
0 |
|
2 |
3 |
0 |
1 |
1 |
0 |
3 |
2 |
3 |
0 |
2 |
1 |
||
|
1 |
0 |
3 |
2 |
3 |
2 |
1 |
0 |
0 |
3 |
1 |
2 |
||
|
0 |
1 |
2 |
3 |
0 |
1 |
2 |
3 |
1 |
2 |
0 |
3 |
Рис. 10
Группа № 8
|
3 |
2 |
1 |
0 |
|
2 |
3 |
0 |
1 |
|
0 |
2 |
3 |
1 |
|
2 |
3 |
0 |
1 |
1 |
0 |
3 |
2 |
3 |
1 |
0 |
2 |
||
|
1 |
0 |
3 |
2 |
3 |
2 |
1 |
0 |
1 |
3 |
2 |
0 |
||
|
0 |
1 |
2 |
3 |
0 |
1 |
2 |
3 |
2 |
0 |
1 |
3 |
Рис. 11
Группа № 9
|
3 |
2 |
1 |
0 |
|
2 |
3 |
0 |
1 |
|
1 |
0 |
3 |
2 |
|
2 |
3 |
0 |
1 |
1 |
0 |
3 |
2 |
3 |
2 |
1 |
0 |
||
|
1 |
0 |
3 |
2 |
3 |
2 |
1 |
0 |
2 |
3 |
0 |
1 |
||
|
0 |
1 |
2 |
3 |
0 |
1 |
2 |
3 |
0 |
1 |
2 |
3 |
Рис. 12
Логично предположить, что все 36 вариантов КРМ с четырьмя строками дадут три варианта КРМ с пятью строками. Получается, что мы можем построить по приведённому алгоритму 108 групп MOLS 4-го порядка. Оставляю читателям вопрос: много ли среди этих групп будет изоморфных? Латинские квадраты в этих группах так похожи, разных цифр в них так мало, что от меня совершенно ускользает этот момент. Не хочется проверять изоморфность всех построенных групп MOLS. Ценен сам результат: программу для КРМ из четырёх строк удалось выполнить до конца. Программу для КРМ из пяти строк тоже можно выполнить до конца, то есть для каждого из 36 вариантов, полученных по первой программе.
Ещё, как мне кажется, можно сделать вывод: приведённый алгоритм даёт все группы MOLS 4-го порядка, включая стандартную группу, изображённую на рис. 1 - 2.
Очевидно, что группа № 1 (рис. 4) не что иное, как стандартная группа, если в группе с рис. 4 повернуть все латинские квадраты вокруг центра на 90 градусов против часовой стрелки. В стандартной группе только один латинский квадрат обладает свойством пандиагональности. Точно так же и в группе № 1. А вот в группе № 2 (рис. 5) два латинских квадрата обладают свойством пандиагональности. Эти квадраты показаны на рис. 13.
|
2 |
1 |
3 |
0 |
|
2 |
3 |
0 |
1 |
|
3 |
0 |
2 |
1 |
1 |
0 |
3 |
2 |
|
|
0 |
3 |
1 |
2 |
3 |
2 |
1 |
0 |
|
|
1 |
2 |
0 |
3 |
0 |
1 |
2 |
3 |
Рис. 13
Кроме того, оба эти латинские квадраты диагональные. И мы имеем замечательную пару ОЛК, которая даёт нам все пандиагональные магические квадраты 4-го порядка! На рис. 14 показаны два пандиагональных магических квадрата, построенные из данной пары ОЛК методом латинских квадратов; второй квадрат получен переменой мест латинских квадратов в формуле для построения магического квадрата. Поскольку второй латинский квадрат в этой паре ОЛК получается из первого отражением относительно главной диагонали, построенные магические квадраты тоже эквивалентны (один получается из другого таким же преобразованием).
|
11 |
8 |
13 |
2 |
|
11 |
14 |
4 |
5 |
|
14 |
1 |
12 |
7 |
8 |
1 |
15 |
10 |
|
|
4 |
15 |
6 |
9 |
13 |
12 |
6 |
3 |
|
|
5 |
10 |
3 |
16 |
2 |
7 |
9 |
16 |
Рис. 14
Ну, а теперь надо получить из пары ОЛК с рис. 13 ещё 23 варианта пар ОЛК с помощью преобразования трансформации тождественной перестановки чисел и построить остальные пандиагональные магические квадраты методом латинских квадратов. Предполагаю, что среди построенных таким образом 24 пандиагональных магических квадратов будут 3 не эквивалентных магических квадрата (с учётом основных и торических преобразований). Как известно, существует 3 базовых пандиагональных магических квадрата 4-го порядка.
5 апреля 2009 г.
г. Саратов
Читайте мою виртуальную книгу “Волшебный мир магических квадратов”:
http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm
Скачайте электронную версию этой книги:
http://narod.ru/disk/5834353000/Magic_squares.pdf.html
Заодно прихватите книгу “Позиционные системы счисления”, авось, пригодится:
http://narod.ru/disk/5936760000/pozic4.pdf.html
Пишите мне!
На главную страницу
