Н. Макарова
ГРУППЫ MOLS 26-го и 38-го ПОРЯДКА
Порядок 26 – очень сложный порядок. Метод составных квадратов для него не работает. Этот порядок относится к серии порядков n = 2(mod 6), для которой у меня нет алгоритма построения пары ОЛК. Так что до сегодняшнего дня у меня не было даже пары ОЛК 26-го порядка. Наконец-то по книге “Handbook of Combinatorial Designs” мне удалось построить группу MOLS 26-го порядка, состоящую из четырёх квадратов (см. Главу 3, пункт 3.53).
На рис. 1 изображена квази-разностная матрица, построенная из матрицы, приведённой в книге.
|
x1 |
1 |
2 |
4 |
7 |
5 |
x2 |
1 |
7 |
12 |
11 |
20 |
x3 |
1 |
8 |
21 |
15 |
6 |
x4 |
1 |
9 |
19 |
2 |
13 |
x5 |
1 |
15 |
11 |
6 |
3 |
|
1 |
2 |
4 |
7 |
5 |
x1 |
1 |
7 |
12 |
11 |
20 |
x2 |
1 |
8 |
21 |
15 |
6 |
x3 |
1 |
9 |
19 |
2 |
13 |
x4 |
1 |
15 |
11 |
6 |
3 |
x5 |
|
2 |
4 |
7 |
5 |
x1 |
1 |
7 |
12 |
11 |
20 |
x2 |
1 |
8 |
21 |
15 |
6 |
x3 |
1 |
9 |
19 |
2 |
13 |
x4 |
1 |
15 |
11 |
6 |
3 |
x5 |
1 |
|
4 |
7 |
5 |
x1 |
1 |
2 |
12 |
11 |
20 |
x2 |
1 |
7 |
21 |
15 |
6 |
x3 |
1 |
8 |
19 |
2 |
13 |
x4 |
1 |
9 |
11 |
6 |
3 |
x5 |
1 |
15 |
|
7 |
5 |
x1 |
1 |
2 |
4 |
11 |
20 |
x2 |
1 |
7 |
12 |
15 |
6 |
x3 |
1 |
8 |
21 |
2 |
13 |
x4 |
1 |
9 |
19 |
6 |
3 |
x5 |
1 |
15 |
11 |
|
5 |
x1 |
1 |
2 |
4 |
7 |
20 |
x2 |
1 |
7 |
12 |
11 |
6 |
x3 |
1 |
8 |
21 |
15 |
13 |
x4 |
1 |
9 |
19 |
2 |
3 |
x5 |
1 |
15 |
11 |
6 |
Рис. 1
По этой матрице строю латинские квадраты. Первый латинский квадрат построен с переменными x1, x2, x3, x4, x5 (рис. 2).
Первый латинский квадрат (с переменными)
|
1 |
10 |
x1 |
x5 |
17 |
19 |
13 |
18 |
16 |
x3 |
x4 |
5 |
x2 |
11 |
14 |
6 |
21 |
12 |
20 |
4 |
3 |
2 |
7 |
8 |
9 |
15 |
|
4 |
2 |
11 |
x1 |
x5 |
18 |
20 |
14 |
19 |
17 |
x3 |
x4 |
6 |
x2 |
12 |
15 |
7 |
1 |
13 |
21 |
5 |
3 |
8 |
9 |
10 |
16 |
|
6 |
5 |
3 |
12 |
x1 |
x5 |
19 |
21 |
15 |
20 |
18 |
x3 |
x4 |
7 |
x2 |
13 |
16 |
8 |
2 |
14 |
1 |
4 |
9 |
10 |
11 |
17 |
|
2 |
7 |
6 |
4 |
13 |
x1 |
x5 |
20 |
1 |
16 |
21 |
19 |
x3 |
x4 |
8 |
x2 |
14 |
17 |
9 |
3 |
15 |
5 |
10 |
11 |
12 |
18 |
|
16 |
3 |
8 |
7 |
5 |
14 |
x1 |
x5 |
21 |
2 |
17 |
1 |
20 |
x3 |
x4 |
9 |
x2 |
15 |
18 |
10 |
4 |
6 |
11 |
12 |
13 |
19 |
|
5 |
17 |
4 |
9 |
8 |
6 |
15 |
x1 |
x5 |
1 |
3 |
18 |
2 |
21 |
x3 |
x4 |
10 |
x2 |
16 |
19 |
11 |
7 |
12 |
13 |
14 |
20 |
|
12 |
6 |
18 |
5 |
10 |
9 |
7 |
16 |
x1 |
x5 |
2 |
4 |
19 |
3 |
1 |
x3 |
x4 |
11 |
x2 |
17 |
20 |
8 |
13 |
14 |
15 |
21 |
|
21 |
13 |
7 |
19 |
6 |
11 |
10 |
8 |
17 |
x1 |
x5 |
3 |
5 |
20 |
4 |
2 |
x3 |
x4 |
12 |
x2 |
18 |
9 |
14 |
15 |
16 |
1 |
|
19 |
1 |
14 |
8 |
20 |
7 |
12 |
11 |
9 |
18 |
x1 |
x5 |
4 |
6 |
21 |
5 |
3 |
x3 |
x4 |
13 |
x2 |
10 |
15 |
16 |
17 |
2 |
|
x2 |
20 |
2 |
15 |
9 |
21 |
8 |
13 |
12 |
10 |
19 |
x1 |
x5 |
5 |
7 |
1 |
6 |
4 |
x3 |
x4 |
14 |
11 |
16 |
17 |
18 |
3 |
|
15 |
x2 |
21 |
3 |
16 |
10 |
1 |
9 |
14 |
13 |
11 |
20 |
x1 |
x5 |
6 |
8 |
2 |
7 |
5 |
x3 |
x4 |
12 |
17 |
18 |
19 |
4 |
|
x4 |
16 |
x2 |
1 |
4 |
17 |
11 |
2 |
10 |
15 |
14 |
12 |
21 |
x1 |
x5 |
7 |
9 |
3 |
8 |
6 |
x3 |
13 |
18 |
19 |
20 |
5 |
|
x3 |
x4 |
17 |
x2 |
2 |
5 |
18 |
12 |
3 |
11 |
16 |
15 |
13 |
1 |
x1 |
x5 |
8 |
10 |
4 |
9 |
7 |
14 |
19 |
20 |
21 |
6 |
|
8 |
x3 |
x4 |
18 |
x2 |
3 |
6 |
19 |
13 |
4 |
12 |
17 |
16 |
14 |
2 |
x1 |
x5 |
9 |
11 |
5 |
10 |
15 |
20 |
21 |
1 |
7 |
|
11 |
9 |
x3 |
x4 |
19 |
x2 |
4 |
7 |
20 |
14 |
5 |
13 |
18 |
17 |
15 |
3 |
x1 |
x5 |
10 |
12 |
6 |
16 |
21 |
1 |
2 |
8 |
|
7 |
12 |
10 |
x3 |
x4 |
20 |
x2 |
5 |
8 |
21 |
15 |
6 |
14 |
19 |
18 |
16 |
4 |
x1 |
x5 |
11 |
13 |
17 |
1 |
2 |
3 |
9 |
|
14 |
8 |
13 |
11 |
x3 |
x4 |
21 |
x2 |
6 |
9 |
1 |
16 |
7 |
15 |
20 |
19 |
17 |
5 |
x1 |
x5 |
12 |
18 |
2 |
3 |
4 |
10 |
|
13 |
15 |
9 |
14 |
12 |
x3 |
x4 |
1 |
x2 |
7 |
10 |
2 |
17 |
8 |
16 |
21 |
20 |
18 |
6 |
x1 |
x5 |
19 |
3 |
4 |
5 |
11 |
|
x5 |
14 |
16 |
10 |
15 |
13 |
x3 |
x4 |
2 |
x2 |
8 |
11 |
3 |
18 |
9 |
17 |
1 |
21 |
19 |
7 |
x1 |
20 |
4 |
5 |
6 |
12 |
|
x1 |
x5 |
15 |
17 |
11 |
16 |
14 |
x3 |
x4 |
3 |
x2 |
9 |
12 |
4 |
19 |
10 |
18 |
2 |
1 |
20 |
8 |
21 |
5 |
6 |
7 |
13 |
|
9 |
x1 |
x5 |
16 |
18 |
12 |
17 |
15 |
x3 |
x4 |
4 |
x2 |
10 |
13 |
5 |
20 |
11 |
19 |
3 |
2 |
21 |
1 |
6 |
7 |
8 |
14 |
|
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x1 |
|
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
x3 |
x4 |
x5 |
x1 |
x2 |
|
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
x4 |
x5 |
x1 |
x2 |
x3 |
|
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
x5 |
x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
Рис. 2
Теперь присваиваю переменным конкретные значения: x1 = 22, x2 = 23, x3 = 24, x4 = 25, x5 = 26. На рис. 3 вы видите первый латинский квадрат с такими значениями переменных. Латинские квадраты данной группы содержат подквадрат 5-го порядка (на рисунках подквадрат выделен серым цветом). Понятно, что можно варьировать группы из 4 подквадратов, получая различные (неизоморфные) группы MOLS 26-го порядка.
Первый латинский квадрат (с конкретными значениями переменных)
|
1 |
10 |
22 |
26 |
17 |
19 |
13 |
18 |
16 |
24 |
25 |
5 |
23 |
11 |
14 |
6 |
21 |
12 |
20 |
4 |
3 |
2 |
7 |
8 |
9 |
15 |
|
4 |
2 |
11 |
22 |
26 |
18 |
20 |
14 |
19 |
17 |
24 |
25 |
6 |
23 |
12 |
15 |
7 |
1 |
13 |
21 |
5 |
3 |
8 |
9 |
10 |
16 |
|
6 |
5 |
3 |
12 |
22 |
26 |
19 |
21 |
15 |
20 |
18 |
24 |
25 |
7 |
23 |
13 |
16 |
8 |
2 |
14 |
1 |
4 |
9 |
10 |
11 |
17 |
|
2 |
7 |
6 |
4 |
13 |
22 |
26 |
20 |
1 |
16 |
21 |
19 |
24 |
25 |
8 |
23 |
14 |
17 |
9 |
3 |
15 |
5 |
10 |
11 |
12 |
18 |
|
16 |
3 |
8 |
7 |
5 |
14 |
22 |
26 |
21 |
2 |
17 |
1 |
20 |
24 |
25 |
9 |
23 |
15 |
18 |
10 |
4 |
6 |
11 |
12 |
13 |
19 |
|
5 |
17 |
4 |
9 |
8 |
6 |
15 |
22 |
26 |
1 |
3 |
18 |
2 |
21 |
24 |
25 |
10 |
23 |
16 |
19 |
11 |
7 |
12 |
13 |
14 |
20 |
|
12 |
6 |
18 |
5 |
10 |
9 |
7 |
16 |
22 |
26 |
2 |
4 |
19 |
3 |
1 |
24 |
25 |
11 |
23 |
17 |
20 |
8 |
13 |
14 |
15 |
21 |
|
21 |
13 |
7 |
19 |
6 |
11 |
10 |
8 |
17 |
22 |
26 |
3 |
5 |
20 |
4 |
2 |
24 |
25 |
12 |
23 |
18 |
9 |
14 |
15 |
16 |
1 |
|
19 |
1 |
14 |
8 |
20 |
7 |
12 |
11 |
9 |
18 |
22 |
26 |
4 |
6 |
21 |
5 |
3 |
24 |
25 |
13 |
23 |
10 |
15 |
16 |
17 |
2 |
|
23 |
20 |
2 |
15 |
9 |
21 |
8 |
13 |
12 |
10 |
19 |
22 |
26 |
5 |
7 |
1 |
6 |
4 |
24 |
25 |
14 |
11 |
16 |
17 |
18 |
3 |
|
15 |
23 |
21 |
3 |
16 |
10 |
1 |
9 |
14 |
13 |
11 |
20 |
22 |
26 |
6 |
8 |
2 |
7 |
5 |
24 |
25 |
12 |
17 |
18 |
19 |
4 |
|
25 |
16 |
23 |
1 |
4 |
17 |
11 |
2 |
10 |
15 |
14 |
12 |
21 |
22 |
26 |
7 |
9 |
3 |
8 |
6 |
24 |
13 |
18 |
19 |
20 |
5 |
|
24 |
25 |
17 |
23 |
2 |
5 |
18 |
12 |
3 |
11 |
16 |
15 |
13 |
1 |
22 |
26 |
8 |
10 |
4 |
9 |
7 |
14 |
19 |
20 |
21 |
6 |
|
8 |
24 |
25 |
18 |
23 |
3 |
6 |
19 |
13 |
4 |
12 |
17 |
16 |
14 |
2 |
22 |
26 |
9 |
11 |
5 |
10 |
15 |
20 |
21 |
1 |
7 |
|
11 |
9 |
24 |
25 |
19 |
23 |
4 |
7 |
20 |
14 |
5 |
13 |
18 |
17 |
15 |
3 |
22 |
26 |
10 |
12 |
6 |
16 |
21 |
1 |
2 |
8 |
|
7 |
12 |
10 |
24 |
25 |
20 |
23 |
5 |
8 |
21 |
15 |
6 |
14 |
19 |
18 |
16 |
4 |
22 |
26 |
11 |
13 |
17 |
1 |
2 |
3 |
9 |
|
14 |
8 |
13 |
11 |
24 |
25 |
21 |
23 |
6 |
9 |
1 |
16 |
7 |
15 |
20 |
19 |
17 |
5 |
22 |
26 |
12 |
18 |
2 |
3 |
4 |
10 |
|
13 |
15 |
9 |
14 |
12 |
24 |
25 |
1 |
23 |
7 |
10 |
2 |
17 |
8 |
16 |
21 |
20 |
18 |
6 |
22 |
26 |
19 |
3 |
4 |
5 |
11 |
|
26 |
14 |
16 |
10 |
15 |
13 |
24 |
25 |
2 |
23 |
8 |
11 |
3 |
18 |
9 |
17 |
1 |
21 |
19 |
7 |
22 |
20 |
4 |
5 |
6 |
12 |
|
22 |
26 |
15 |
17 |
11 |
16 |
14 |
24 |
25 |
3 |
23 |
9 |
12 |
4 |
19 |
10 |
18 |
2 |
1 |
20 |
8 |
21 |
5 |
6 |
7 |
13 |
|
9 |
22 |
26 |
16 |
18 |
12 |
17 |
15 |
24 |
25 |
4 |
23 |
10 |
13 |
5 |
20 |
11 |
19 |
3 |
2 |
21 |
1 |
6 |
7 |
8 |
14 |
|
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
23 |
24 |
25 |
26 |
22 |
|
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
24 |
25 |
26 |
22 |
23 |
|
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
25 |
26 |
22 |
23 |
24 |
|
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
26 |
22 |
23 |
24 |
25 |
Рис. 3
Второй латинский квадрат сразу построила с заданными выше значениями переменных (рис. 4).
|
1 |
23 |
18 |
20 |
14 |
26 |
24 |
13 |
7 |
17 |
10 |
16 |
3 |
15 |
8 |
5 |
9 |
25 |
22 |
2 |
6 |
4 |
12 |
21 |
19 |
11 |
|
7 |
2 |
23 |
19 |
21 |
15 |
26 |
24 |
14 |
8 |
18 |
11 |
17 |
4 |
16 |
9 |
6 |
10 |
25 |
22 |
3 |
5 |
13 |
1 |
20 |
12 |
|
4 |
8 |
3 |
23 |
20 |
1 |
16 |
26 |
24 |
15 |
9 |
19 |
12 |
18 |
5 |
17 |
10 |
7 |
11 |
25 |
22 |
6 |
14 |
2 |
21 |
13 |
|
22 |
5 |
9 |
4 |
23 |
21 |
2 |
17 |
26 |
24 |
16 |
10 |
20 |
13 |
19 |
6 |
18 |
11 |
8 |
12 |
25 |
7 |
15 |
3 |
1 |
14 |
|
25 |
22 |
6 |
10 |
5 |
23 |
1 |
3 |
18 |
26 |
24 |
17 |
11 |
21 |
14 |
20 |
7 |
19 |
12 |
9 |
13 |
8 |
16 |
4 |
2 |
15 |
|
14 |
25 |
22 |
7 |
11 |
6 |
23 |
2 |
4 |
19 |
26 |
24 |
18 |
12 |
1 |
15 |
21 |
8 |
20 |
13 |
10 |
9 |
17 |
5 |
3 |
16 |
|
11 |
15 |
25 |
22 |
8 |
12 |
7 |
23 |
3 |
5 |
20 |
26 |
24 |
19 |
13 |
2 |
16 |
1 |
9 |
21 |
14 |
10 |
18 |
6 |
4 |
17 |
|
15 |
12 |
16 |
25 |
22 |
9 |
13 |
8 |
23 |
4 |
6 |
21 |
26 |
24 |
20 |
14 |
3 |
17 |
2 |
10 |
1 |
11 |
19 |
7 |
5 |
18 |
|
2 |
16 |
13 |
17 |
25 |
22 |
10 |
14 |
9 |
23 |
5 |
7 |
1 |
26 |
24 |
21 |
15 |
4 |
18 |
3 |
11 |
12 |
20 |
8 |
6 |
19 |
|
12 |
3 |
17 |
14 |
18 |
25 |
22 |
11 |
15 |
10 |
23 |
6 |
8 |
2 |
26 |
24 |
1 |
16 |
5 |
19 |
4 |
13 |
21 |
9 |
7 |
20 |
|
5 |
13 |
4 |
18 |
15 |
19 |
25 |
22 |
12 |
16 |
11 |
23 |
7 |
9 |
3 |
26 |
24 |
2 |
17 |
6 |
20 |
14 |
1 |
10 |
8 |
21 |
|
21 |
6 |
14 |
5 |
19 |
16 |
20 |
25 |
22 |
13 |
17 |
12 |
23 |
8 |
10 |
4 |
26 |
24 |
3 |
18 |
7 |
15 |
2 |
11 |
9 |
1 |
|
8 |
1 |
7 |
15 |
6 |
20 |
17 |
21 |
25 |
22 |
14 |
18 |
13 |
23 |
9 |
11 |
5 |
26 |
24 |
4 |
19 |
16 |
3 |
12 |
10 |
2 |
|
20 |
9 |
2 |
8 |
16 |
7 |
21 |
18 |
1 |
25 |
22 |
15 |
19 |
14 |
23 |
10 |
12 |
6 |
26 |
24 |
5 |
17 |
4 |
13 |
11 |
3 |
|
6 |
21 |
10 |
3 |
9 |
17 |
8 |
1 |
19 |
2 |
25 |
22 |
16 |
20 |
15 |
23 |
11 |
13 |
7 |
26 |
24 |
18 |
5 |
14 |
12 |
4 |
|
24 |
7 |
1 |
11 |
4 |
10 |
18 |
9 |
2 |
20 |
3 |
25 |
22 |
17 |
21 |
16 |
23 |
12 |
14 |
8 |
26 |
19 |
6 |
15 |
13 |
5 |
|
26 |
24 |
8 |
2 |
12 |
5 |
11 |
19 |
10 |
3 |
21 |
4 |
25 |
22 |
18 |
1 |
17 |
23 |
13 |
15 |
9 |
20 |
7 |
16 |
14 |
6 |
|
10 |
26 |
24 |
9 |
3 |
13 |
6 |
12 |
20 |
11 |
4 |
1 |
5 |
25 |
22 |
19 |
2 |
18 |
23 |
14 |
16 |
21 |
8 |
17 |
15 |
7 |
|
17 |
11 |
26 |
24 |
10 |
4 |
14 |
7 |
13 |
21 |
12 |
5 |
2 |
6 |
25 |
22 |
20 |
3 |
19 |
23 |
15 |
1 |
9 |
18 |
16 |
8 |
|
16 |
18 |
12 |
26 |
24 |
11 |
5 |
15 |
8 |
14 |
1 |
13 |
6 |
3 |
7 |
25 |
22 |
21 |
4 |
20 |
23 |
2 |
10 |
19 |
17 |
9 |
|
23 |
17 |
19 |
13 |
26 |
24 |
12 |
6 |
16 |
9 |
15 |
2 |
14 |
7 |
4 |
8 |
25 |
22 |
1 |
5 |
21 |
3 |
11 |
20 |
18 |
10 |
|
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
|
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
24 |
25 |
26 |
22 |
23 |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
26 |
22 |
23 |
24 |
25 |
|
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
23 |
24 |
25 |
26 |
22 |
|
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
25 |
26 |
22 |
23 |
24 |
Рис. 4
Третий (зелёная строка матрицы) и четвёртый (жёлтая строка матрицы) латинские квадраты предлагаю построить читателям. У меня готова пара ОЛК, которую я сейчас преобразую, чтобы она была пригодна для построения магических квадратов.
Преобразовываю первый латинский квадрат следующими заменами: 8 à 18, 18 à 8; 20 à 21, 21 à 20. На рис. 5 изображён преобразованный первый латинский квадрат.
Преобразованный первый латинский квадрат
|
1 |
10 |
22 |
26 |
17 |
19 |
13 |
8 |
16 |
24 |
25 |
5 |
23 |
11 |
14 |
6 |
20 |
12 |
21 |
4 |
3 |
2 |
7 |
18 |
9 |
15 |
|
4 |
2 |
11 |
22 |
26 |
8 |
21 |
14 |
19 |
17 |
24 |
25 |
6 |
23 |
12 |
15 |
7 |
1 |
13 |
20 |
5 |
3 |
18 |
9 |
10 |
16 |
|
6 |
5 |
3 |
12 |
22 |
26 |
19 |
20 |
15 |
21 |
8 |
24 |
25 |
7 |
23 |
13 |
16 |
18 |
2 |
14 |
1 |
4 |
9 |
10 |
11 |
17 |
|
2 |
7 |
6 |
4 |
13 |
22 |
26 |
21 |
1 |
16 |
20 |
19 |
24 |
25 |
18 |
23 |
14 |
17 |
9 |
3 |
15 |
5 |
10 |
11 |
12 |
8 |
|
16 |
3 |
18 |
7 |
5 |
14 |
22 |
26 |
20 |
2 |
17 |
1 |
21 |
24 |
25 |
9 |
23 |
15 |
8 |
10 |
4 |
6 |
11 |
12 |
13 |
19 |
|
5 |
17 |
4 |
9 |
18 |
6 |
15 |
22 |
26 |
1 |
3 |
8 |
2 |
20 |
24 |
25 |
10 |
23 |
16 |
19 |
11 |
7 |
12 |
13 |
14 |
21 |
|
12 |
6 |
8 |
5 |
10 |
9 |
7 |
16 |
22 |
26 |
2 |
4 |
19 |
3 |
1 |
24 |
25 |
11 |
23 |
17 |
21 |
18 |
13 |
14 |
15 |
20 |
|
20 |
13 |
7 |
19 |
6 |
11 |
10 |
18 |
17 |
22 |
26 |
3 |
5 |
21 |
4 |
2 |
24 |
25 |
12 |
23 |
8 |
9 |
14 |
15 |
16 |
1 |
|
19 |
1 |
14 |
18 |
21 |
7 |
12 |
11 |
9 |
8 |
22 |
26 |
4 |
6 |
20 |
5 |
3 |
24 |
25 |
13 |
23 |
10 |
15 |
16 |
17 |
2 |
|
23 |
21 |
2 |
15 |
9 |
20 |
18 |
13 |
12 |
10 |
19 |
22 |
26 |
5 |
7 |
1 |
6 |
4 |
24 |
25 |
14 |
11 |
16 |
17 |
8 |
3 |
|
15 |
23 |
20 |
3 |
16 |
10 |
1 |
9 |
14 |
13 |
11 |
21 |
22 |
26 |
6 |
18 |
2 |
7 |
5 |
24 |
25 |
12 |
17 |
8 |
19 |
4 |
|
25 |
16 |
23 |
1 |
4 |
17 |
11 |
2 |
10 |
15 |
14 |
12 |
20 |
22 |
26 |
7 |
9 |
3 |
18 |
6 |
24 |
13 |
8 |
19 |
21 |
5 |
|
24 |
25 |
17 |
23 |
2 |
5 |
8 |
12 |
3 |
11 |
16 |
15 |
13 |
1 |
22 |
26 |
18 |
10 |
4 |
9 |
7 |
14 |
19 |
21 |
20 |
6 |
|
18 |
24 |
25 |
8 |
23 |
3 |
6 |
19 |
13 |
4 |
12 |
17 |
16 |
14 |
2 |
22 |
26 |
9 |
11 |
5 |
10 |
15 |
21 |
20 |
1 |
7 |
|
11 |
9 |
24 |
25 |
19 |
23 |
4 |
7 |
21 |
14 |
5 |
13 |
8 |
17 |
15 |
3 |
22 |
26 |
10 |
12 |
6 |
16 |
20 |
1 |
2 |
18 |
|
7 |
12 |
10 |
24 |
25 |
21 |
23 |
5 |
18 |
20 |
15 |
6 |
14 |
19 |
8 |
16 |
4 |
22 |
26 |
11 |
13 |
17 |
1 |
2 |
3 |
9 |
|
14 |
18 |
13 |
11 |
24 |
25 |
20 |
23 |
6 |
9 |
1 |
16 |
7 |
15 |
21 |
19 |
17 |
5 |
22 |
26 |
12 |
8 |
2 |
3 |
4 |
10 |
|
13 |
15 |
9 |
14 |
12 |
24 |
25 |
1 |
23 |
7 |
10 |
2 |
17 |
18 |
16 |
20 |
21 |
8 |
6 |
22 |
26 |
19 |
3 |
4 |
5 |
11 |
|
26 |
14 |
16 |
10 |
15 |
13 |
24 |
25 |
2 |
23 |
18 |
11 |
3 |
8 |
9 |
17 |
1 |
20 |
19 |
7 |
22 |
21 |
4 |
5 |
6 |
12 |
|
22 |
26 |
15 |
17 |
11 |
16 |
14 |
24 |
25 |
3 |
23 |
9 |
12 |
4 |
19 |
10 |
8 |
2 |
1 |
21 |
18 |
20 |
5 |
6 |
7 |
13 |
|
9 |
22 |
26 |
16 |
8 |
12 |
17 |
15 |
24 |
25 |
4 |
23 |
10 |
13 |
5 |
21 |
11 |
19 |
3 |
2 |
20 |
1 |
6 |
7 |
18 |
14 |
|
8 |
19 |
21 |
20 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
18 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
18 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
8 |
19 |
21 |
20 |
1 |
2 |
23 |
24 |
25 |
26 |
22 |
|
17 |
8 |
19 |
21 |
20 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
18 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
24 |
25 |
26 |
22 |
23 |
|
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
8 |
19 |
21 |
20 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
18 |
9 |
25 |
26 |
22 |
23 |
24 |
|
21 |
20 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
18 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
8 |
19 |
26 |
22 |
23 |
24 |
25 |
Рис. 5
Преобразовываю второй латинский квадрат такой взаимозаменой: 3 à 25, 25 à 3. Полученный квадрат показан на рис. 6.
Преобразованный второй латинский квадрат
|
1 |
23 |
18 |
20 |
14 |
26 |
24 |
13 |
7 |
17 |
10 |
16 |
25 |
15 |
8 |
5 |
9 |
3 |
22 |
2 |
6 |
4 |
12 |
21 |
19 |
11 |
|
7 |
2 |
23 |
19 |
21 |
15 |
26 |
24 |
14 |
8 |
18 |
11 |
17 |
4 |
16 |
9 |
6 |
10 |
3 |
22 |
25 |
5 |
13 |
1 |
20 |
12 |
|
4 |
8 |
25 |
23 |
20 |
1 |
16 |
26 |
24 |
15 |
9 |
19 |
12 |
18 |
5 |
17 |
10 |
7 |
11 |
3 |
22 |
6 |
14 |
2 |
21 |
13 |
|
22 |
5 |
9 |
4 |
23 |
21 |
2 |
17 |
26 |
24 |
16 |
10 |
20 |
13 |
19 |
6 |
18 |
11 |
8 |
12 |
3 |
7 |
15 |
25 |
1 |
14 |
|
3 |
22 |
6 |
10 |
5 |
23 |
1 |
25 |
18 |
26 |
24 |
17 |
11 |
21 |
14 |
20 |
7 |
19 |
12 |
9 |
13 |
8 |
16 |
4 |
2 |
15 |
|
14 |
3 |
22 |
7 |
11 |
6 |
23 |
2 |
4 |
19 |
26 |
24 |
18 |
12 |
1 |
15 |
21 |
8 |
20 |
13 |
10 |
9 |
17 |
5 |
25 |
16 |
|
11 |
15 |
3 |
22 |
8 |
12 |
7 |
23 |
25 |
5 |
20 |
26 |
24 |
19 |
13 |
2 |
16 |
1 |
9 |
21 |
14 |
10 |
18 |
6 |
4 |
17 |
|
15 |
12 |
16 |
3 |
22 |
9 |
13 |
8 |
23 |
4 |
6 |
21 |
26 |
24 |
20 |
14 |
25 |
17 |
2 |
10 |
1 |
11 |
19 |
7 |
5 |
18 |
|
2 |
16 |
13 |
17 |
3 |
22 |
10 |
14 |
9 |
23 |
5 |
7 |
1 |
26 |
24 |
21 |
15 |
4 |
18 |
25 |
11 |
12 |
20 |
8 |
6 |
19 |
|
12 |
25 |
17 |
14 |
18 |
3 |
22 |
11 |
15 |
10 |
23 |
6 |
8 |
2 |
26 |
24 |
1 |
16 |
5 |
19 |
4 |
13 |
21 |
9 |
7 |
20 |
|
5 |
13 |
4 |
18 |
15 |
19 |
3 |
22 |
12 |
16 |
11 |
23 |
7 |
9 |
25 |
26 |
24 |
2 |
17 |
6 |
20 |
14 |
1 |
10 |
8 |
21 |
|
21 |
6 |
14 |
5 |
19 |
16 |
20 |
3 |
22 |
13 |
17 |
12 |
23 |
8 |
10 |
4 |
26 |
24 |
25 |
18 |
7 |
15 |
2 |
11 |
9 |
1 |
|
8 |
1 |
7 |
15 |
6 |
20 |
17 |
21 |
3 |
22 |
14 |
18 |
13 |
23 |
9 |
11 |
5 |
26 |
24 |
4 |
19 |
16 |
25 |
12 |
10 |
2 |
|
20 |
9 |
2 |
8 |
16 |
7 |
21 |
18 |
1 |
3 |
22 |
15 |
19 |
14 |
23 |
10 |
12 |
6 |
26 |
24 |
5 |
17 |
4 |
13 |
11 |
25 |
|
6 |
21 |
10 |
25 |
9 |
17 |
8 |
1 |
19 |
2 |
3 |
22 |
16 |
20 |
15 |
23 |
11 |
13 |
7 |
26 |
24 |
18 |
5 |
14 |
12 |
4 |
|
24 |
7 |
1 |
11 |
4 |
10 |
18 |
9 |
2 |
20 |
25 |
3 |
22 |
17 |
21 |
16 |
23 |
12 |
14 |
8 |
26 |
19 |
6 |
15 |
13 |
5 |
|
26 |
24 |
8 |
2 |
12 |
5 |
11 |
19 |
10 |
25 |
21 |
4 |
3 |
22 |
18 |
1 |
17 |
23 |
13 |
15 |
9 |
20 |
7 |
16 |
14 |
6 |
|
10 |
26 |
24 |
9 |
25 |
13 |
6 |
12 |
20 |
11 |
4 |
1 |
5 |
3 |
22 |
19 |
2 |
18 |
23 |
14 |
16 |
21 |
8 |
17 |
15 |
7 |
|
17 |
11 |
26 |
24 |
10 |
4 |
14 |
7 |
13 |
21 |
12 |
5 |
2 |
6 |
3 |
22 |
20 |
25 |
19 |
23 |
15 |
1 |
9 |
18 |
16 |
8 |
|
16 |
18 |
12 |
26 |
24 |
11 |
5 |
15 |
8 |
14 |
1 |
13 |
6 |
25 |
7 |
3 |
22 |
21 |
4 |
20 |
23 |
2 |
10 |
19 |
17 |
9 |
|
23 |
17 |
19 |
13 |
26 |
24 |
12 |
6 |
16 |
9 |
15 |
2 |
14 |
7 |
4 |
8 |
3 |
22 |
1 |
5 |
21 |
25 |
11 |
20 |
18 |
10 |
|
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
25 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
22 |
23 |
24 |
3 |
26 |
|
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
25 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
24 |
3 |
26 |
22 |
23 |
|
25 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
26 |
22 |
23 |
24 |
3 |
|
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
25 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
23 |
24 |
3 |
26 |
22 |
|
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
25 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
3 |
26 |
22 |
23 |
24 |
Рис. 6
Всё готово для построения магических квадратов. Как уже знают читатели, из пары ОЛК можно построить два магических квадрата, меняя местами латинские квадраты в формуле для построения магического квадрата. Далее показан один магический квадрат, построенный из данной пары ОЛК. Это первый магический квадрат 26-го порядка, построенный методом латинских квадратов.
1 257 564 670 430 494 336 195 397 615 634 120 597 275 346 135 503 289 542 80 58 30 168 463 227 375
85 28 283 565 671 197 546 362 482 424 616 635 147 576 302 373 162 10 315 516 129 57 455 209 254 402
134 112 77 309 566 651 484 520 388 535 191 617 636 174 577 329 400 449 37 341 22 84 222 236 281 429
48 161 139 82 335 567 652 537 26 414 510 478 618 637 461 578 356 427 216 64 367 111 249 285 287 196
393 74 448 166 109 361 547 675 512 52 440 17 531 619 638 228 579 383 194 243 91 138 276 290 314 483
118 419 100 215 453 136 387 548 654 19 78 206 44 506 599 639 255 580 410 481 270 165 303 317 363 536
297 145 185 126 242 220 163 413 571 655 46 104 492 71 13 600 640 261 581 437 534 452 330 344 368 511
509 324 172 471 152 269 247 450 439 550 656 73 130 544 98 40 623 641 288 582 183 219 357 371 395 18
470 16 351 459 523 178 296 274 217 205 551 657 79 156 518 125 67 602 642 337 583 246 384 398 422 45
584 545 43 378 226 497 464 323 301 244 491 552 658 106 182 24 131 94 603 643 342 273 411 425 189 72
369 585 498 70 405 253 3 230 350 328 271 543 553 659 155 468 50 158 121 604 644 300 417 192 476 99
645 396 586 5 97 432 280 29 256 377 355 298 517 554 660 160 234 76 467 148 605 327 184 479 529 105
606 625 423 587 32 124 199 307 55 282 404 382 325 23 555 661 447 260 102 212 175 354 493 532 504 132
462 607 626 190 588 59 151 486 313 81 308 431 409 352 49 556 662 214 286 128 239 381 524 507 11 181
266 229 608 649 477 589 86 157 539 340 107 334 198 436 379 75 557 663 241 312 154 408 499 14 38 446
180 293 235 609 628 530 590 113 444 514 389 133 360 485 203 406 101 558 664 268 338 435 6 41 65 213
364 466 320 262 610 629 505 591 140 233 21 394 159 386 538 469 433 127 559 665 295 202 33 68 92 240
322 390 232 347 311 611 630 12 592 167 238 27 421 445 412 513 522 200 153 560 666 489 60 95 119 267
667 349 416 258 374 316 612 631 39 593 454 265 54 188 211 438 20 519 487 179 561 521 87 122 146 294
562 668 376 442 284 401 343 613 632 66 573 221 292 103 475 237 204 47 4 540 465 496 114 149 173 321
231 563 669 403 208 310 428 370 614 633 93 574 248 319 108 528 263 490 53 31 515 25 141 176 460 348
201 488 541 495 2 51 56 83 110 137 164 451 218 245 272 299 326 353 380 407 434 568 595 622 627 676
61 88 115 142 169 456 223 250 277 304 331 358 385 391 418 207 472 525 500 7 34 596 601 650 672 569
441 186 473 526 501 8 35 62 89 116 143 170 457 224 251 278 305 332 359 365 392 624 646 673 570 575
252 279 306 333 339 366 415 420 187 474 527 502 9 36 63 90 117 144 171 458 225 647 674 549 598 620
533 508 15 42 69 96 123 150 177 443 210 259 264 291 318 345 372 399 426 193 480 653 572 594 621 648
Посмотрим на следующие порядки: 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40. Группа MOLS 27-го порядка состоит из 26 квадратов. Эту группу можно построить в пакете Maple. Четыре первых квадрата группы показаны в одной из статей данного цикла. Для порядка 28 работает метод составных квадратов, с помощью которого можно построить группу MOLS, состоящую из трёх квадратов. Математики построили группу MOLS 28-го порядка, состоящую из пяти квадратов. В указанной книге описывается построение этой группы, но я пока в нём не разобралась. Кроме того, порядок 28 относится к серии порядков n = 4(mod 6), для которой мной разработан алгоритм построения пар ОЛК по аналогии с известным алгоритмом для порядков серии n = 10(mod 12).
Далее идёт порядок 29, этот порядок является простым числом и поэтому группа MOLS данного порядка состоит из 28 квадратов. Построить эти латинские квадраты очень просто даже без помощи пакета математических программ. В одной из статей цикла показано построение группы MOLS порядка, являющегося простым числом.
Для порядка 30 работает метод составных квадратов, позволяющий построить пару ОЛК. Группу MOLS из четырёх квадратов пока не знаю, как построить.
Порядок 31 является простым числом. Для порядка 32 работает метод составных квадратов. Кроме того, этот порядок является степенью простого числа 2, поэтому группа MOLS данного порядка состоит из 31 квадрата. Группу можно построить в пакете Maple.
Для порядка 33 работает метод составных квадратов, позволяющий построить пару ОЛК. Пару ОЛК можно построить также методом Делаира или методом, найденным в цикле статей “Анатомия магических квадратов” (аналогичные построения были показаны для порядков 15 и 21). Группу MOLS 33-го порядка, состоящую из пяти квадратов, пока не построила.
Порядок 34 относится к серии порядков n = 10(mod 12), для которой известен алгоритм построения пар ОЛК. Для данного порядка математики нашли группу MOLS из четырёх квадратов.
Для порядка 35 работает метод составных квадратов, с помощью которого можно построить группу MOLS из четырёх квадратов. Пару ОЛК можно построить методом Делаира. Группа MOLS из пяти квадратов мне пока неизвестна.
Порядок 36 относится к серии порядков n = 6k, k>1, для которой мной разработан алгоритм построения пар ОЛК. Для этого порядка работает метод составных квадратов, позволяющий построить группу MOLS из трёх квадратов. Математикам удалось найти группу MOLS 36-го порядка, состоящую из восьми квадратов. Мне эта группа неизвестна.
Порядок 37 является простым числом. Группа MOLS данного порядка состоит из 36 квадратов. Строятся они очень просто.
Порядок 38 – сложный порядок. Метод составных квадратов для него не работает. Он относится к серии порядков n = 2(mod 6), для которой у меня нет алгоритма построения пар ОЛК. Есть только группа MOLS из четырёх квадратов, которая мне неизвестна. Это очень большое белое пятно, потому что у меня нет даже пары ОЛК.
С порядком 39 всё просто. Пары ОЛК строятся элементарно, например, методом Делаира или методом из цикла статей “Анатомия магических квадратов”. Кроме того, работает метод составных квадратов, с помощью которого тоже строится пара ОЛК. Математики нашли группу MOLS данного порядка, состоящую из пяти квадратов. Я эту группу пока не знаю.
Наконец, порядок 40 тоже простой, так как для него работает метод составных квадратов, позволяющий построить группу MOLS из четырёх квадратов. Кроме того, этот порядок относится к серии порядков n = 4(mod 6), для которой у меня есть алгоритм построения пар ОЛК. Математики построили группу MOLS 40-го порядка из семи квадратов. Мне эта группа неизвестна.
Таким образом, имеем: до порядка 40 включительно остаётся один порядок - 38, для которого я не имею пары ОЛК, чтобы применить метод латинских квадратов.
В следующем десятке порядков (41 – 50) нет ни одного проблемного порядка, то есть для любого порядка я могу построить пару ОЛК.
Не буду дальше анализировать – лень. Думаю, что и дальше будет очень мало проблемных порядков.
Итак, мне надо заняться порядком 38, чтобы ликвидировать большое белое пятно.
***
Посмотрела в указанной выше книге построение группы MOLS 38-го порядка, состоящей из четырёх квадратов, оно оказалось очень простым. Из матрицы, приведённой в книге (см. Главу 3, пункт 3.60), построила квази-разностную матрицу, изображённую на рис. 7.
|
- |
1 |
1 |
11 |
2 |
27 |
2 |
11 |
27 |
3 |
21 |
16 |
7 |
24 |
9 |
4 |
31 |
5 |
23 |
36 |
18 |
6 |
14 |
20 |
8 |
34 |
35 |
10 |
17 |
13 |
15 |
30 |
32 |
19 |
33 |
25 |
29 |
22 |
26 |
|
1 |
1 |
- |
2 |
27 |
11 |
11 |
27 |
2 |
21 |
16 |
3 |
24 |
9 |
7 |
31 |
5 |
4 |
36 |
18 |
23 |
14 |
20 |
6 |
34 |
35 |
8 |
17 |
13 |
10 |
30 |
32 |
15 |
33 |
25 |
19 |
22 |
26 |
29 |
|
1 |
- |
1 |
27 |
11 |
2 |
27 |
2 |
11 |
16 |
3 |
21 |
9 |
7 |
24 |
5 |
4 |
31 |
18 |
23 |
36 |
20 |
6 |
14 |
35 |
8 |
34 |
13 |
10 |
17 |
32 |
15 |
30 |
25 |
19 |
33 |
26 |
29 |
22 |
|
11 |
27 |
2 |
- |
1 |
1 |
11 |
2 |
27 |
7 |
9 |
24 |
3 |
16 |
21 |
23 |
18 |
36 |
4 |
5 |
31 |
8 |
35 |
34 |
6 |
20 |
14 |
15 |
32 |
30 |
10 |
13 |
17 |
29 |
26 |
22 |
19 |
25 |
33 |
|
2 |
11 |
27 |
1 |
- |
1 |
27 |
11 |
2 |
24 |
7 |
9 |
21 |
3 |
16 |
36 |
23 |
18 |
31 |
4 |
5 |
34 |
8 |
35 |
14 |
6 |
20 |
30 |
15 |
32 |
17 |
10 |
13 |
22 |
29 |
26 |
33 |
19 |
25 |
|
27 |
2 |
11 |
1 |
1 |
- |
2 |
27 |
11 |
9 |
24 |
7 |
16 |
21 |
3 |
18 |
36 |
23 |
5 |
31 |
4 |
35 |
34 |
8 |
20 |
14 |
6 |
32 |
30 |
15 |
13 |
17 |
10 |
26 |
22 |
29 |
25 |
33 |
19 |
Рис. 7
Далее приведены три латинских квадрата, соответствующие оранжевой, жёлтой и песочной строкам матрицы.
Первый латинский квадрат
38 28 18 8 35 25 15 5 32 26 12 2 22 19 9 36 29 16 6 33 23 13 3 30 20 10 37 27 17 7 34 24 14 4 31 21 11 1
12 38 29 19 9 36 26 16 6 33 27 13 3 23 20 10 37 30 17 7 34 24 14 4 31 21 11 1 28 18 8 35 25 15 5 32 22 2
23 13 38 30 20 10 37 27 17 7 34 28 14 4 24 21 11 1 31 18 8 35 25 15 5 32 22 12 2 29 19 9 36 26 16 6 33 3
34 24 14 38 31 21 11 1 28 18 8 35 29 15 5 25 22 12 2 32 19 9 36 26 16 6 33 23 13 3 30 20 10 37 27 17 7 4
8 35 25 15 38 32 22 12 2 29 19 9 36 30 16 6 26 23 13 3 33 20 10 37 27 17 7 34 24 14 4 31 21 11 1 28 18 5
19 9 36 26 16 38 33 23 13 3 30 20 10 37 31 17 7 27 24 14 4 34 21 11 1 28 18 8 35 25 15 5 32 22 12 2 29 6
30 20 10 37 27 17 38 34 24 14 4 31 21 11 1 32 18 8 28 25 15 5 35 22 12 2 29 19 9 36 26 16 6 33 23 13 3 7
4 31 21 11 1 28 18 38 35 25 15 5 32 22 12 2 33 19 9 29 26 16 6 36 23 13 3 30 20 10 37 27 17 7 34 24 14 8
15 5 32 22 12 2 29 19 38 36 26 16 6 33 23 13 3 34 20 10 30 27 17 7 37 24 14 4 31 21 11 1 28 18 8 35 25 9
26 16 6 33 23 13 3 30 20 38 37 27 17 7 34 24 14 4 35 21 11 31 28 18 8 1 25 15 5 32 22 12 2 29 19 9 36 10
37 27 17 7 34 24 14 4 31 21 38 1 28 18 8 35 25 15 5 36 22 12 32 29 19 9 2 26 16 6 33 23 13 3 30 20 10 11
11 1 28 18 8 35 25 15 5 32 22 38 2 29 19 9 36 26 16 6 37 23 13 33 30 20 10 3 27 17 7 34 24 14 4 31 21 12
22 12 2 29 19 9 36 26 16 6 33 23 38 3 30 20 10 37 27 17 7 1 24 14 34 31 21 11 4 28 18 8 35 25 15 5 32 13
33 23 13 3 30 20 10 37 27 17 7 34 24 38 4 31 21 11 1 28 18 8 2 25 15 35 32 22 12 5 29 19 9 36 26 16 6 14
7 34 24 14 4 31 21 11 1 28 18 8 35 25 38 5 32 22 12 2 29 19 9 3 26 16 36 33 23 13 6 30 20 10 37 27 17 15
18 8 35 25 15 5 32 22 12 2 29 19 9 36 26 38 6 33 23 13 3 30 20 10 4 27 17 37 34 24 14 7 31 21 11 1 28 16
29 19 9 36 26 16 6 33 23 13 3 30 20 10 37 27 38 7 34 24 14 4 31 21 11 5 28 18 1 35 25 15 8 32 22 12 2 17
3 30 20 10 37 27 17 7 34 24 14 4 31 21 11 1 28 38 8 35 25 15 5 32 22 12 6 29 19 2 36 26 16 9 33 23 13 18
14 4 31 21 11 1 28 18 8 35 25 15 5 32 22 12 2 29 38 9 36 26 16 6 33 23 13 7 30 20 3 37 27 17 10 34 24 19
25 15 5 32 22 12 2 29 19 9 36 26 16 6 33 23 13 3 30 38 10 37 27 17 7 34 24 14 8 31 21 4 1 28 18 11 35 20
36 26 16 6 33 23 13 3 30 20 10 37 27 17 7 34 24 14 4 31 38 11 1 28 18 8 35 25 15 9 32 22 5 2 29 19 12 21
13 37 27 17 7 34 24 14 4 31 21 11 1 28 18 8 35 25 15 5 32 38 12 2 29 19 9 36 26 16 10 33 23 6 3 30 20 22
21 14 1 28 18 8 35 25 15 5 32 22 12 2 29 19 9 36 26 16 6 33 38 13 3 30 20 10 37 27 17 11 34 24 7 4 31 23
32 22 15 2 29 19 9 36 26 16 6 33 23 13 3 30 20 10 37 27 17 7 34 38 14 4 31 21 11 1 28 18 12 35 25 8 5 24
6 33 23 16 3 30 20 10 37 27 17 7 34 24 14 4 31 21 11 1 28 18 8 35 38 15 5 32 22 12 2 29 19 13 36 26 9 25
10 7 34 24 17 4 31 21 11 1 28 18 8 35 25 15 5 32 22 12 2 29 19 9 36 38 16 6 33 23 13 3 30 20 14 37 27 26
28 11 8 35 25 18 5 32 22 12 2 29 19 9 36 26 16 6 33 23 13 3 30 20 10 37 38 17 7 34 24 14 4 31 21 15 1 27
2 29 12 9 36 26 19 6 33 23 13 3 30 20 10 37 27 17 7 34 24 14 4 31 21 11 1 38 18 8 35 25 15 5 32 22 16 28
17 3 30 13 10 37 27 20 7 34 24 14 4 31 21 11 1 28 18 8 35 25 15 5 32 22 12 2 38 19 9 36 26 16 6 33 23 29
24 18 4 31 14 11 1 28 21 8 35 25 15 5 32 22 12 2 29 19 9 36 26 16 6 33 23 13 3 38 20 10 37 27 17 7 34 30
35 25 19 5 32 15 12 2 29 22 9 36 26 16 6 33 23 13 3 30 20 10 37 27 17 7 34 24 14 4 38 21 11 1 28 18 8 31
9 36 26 20 6 33 16 13 3 30 23 10 37 27 17 7 34 24 14 4 31 21 11 1 28 18 8 35 25 15 5 38 22 12 2 29 19 32
20 10 37 27 21 7 34 17 14 4 31 24 11 1 28 18 8 35 25 15 5 32 22 12 2 29 19 9 36 26 16 6 38 23 13 3 30 33
31 21 11 1 28 22 8 35 18 15 5 32 25 12 2 29 19 9 36 26 16 6 33 23 13 3 30 20 10 37 27 17 7 38 24 14 4 34
5 32 22 12 2 29 23 9 36 19 16 6 33 26 13 3 30 20 10 37 27 17 7 34 24 14 4 31 21 11 1 28 18 8 38 25 15 35
16 6 33 23 13 3 30 24 10 37 20 17 7 34 27 14 4 31 21 11 1 28 18 8 35 25 15 5 32 22 12 2 29 19 9 38 26 36
27 17 7 34 24 14 4 31 25 11 1 21 18 8 35 28 15 5 32 22 12 2 29 19 9 36 26 16 6 33 23 13 3 30 20 10 38 37
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38
Второй латинский квадрат
27 33 15 21 20 31 4 35 2 38 30 10 12 22 29 8 28 3 25 24 17 13 18 34 6 26 14 7 1 32 36 16 9 37 5 19 23 11
24 28 34 16 22 21 32 5 36 3 38 31 11 13 23 30 9 29 4 26 25 18 14 19 35 7 27 15 8 2 33 37 17 10 1 6 20 12
21 25 29 35 17 23 22 33 6 37 4 38 32 12 14 24 31 10 30 5 27 26 19 15 20 36 8 28 16 9 3 34 1 18 11 2 7 13
8 22 26 30 36 18 24 23 34 7 1 5 38 33 13 15 25 32 11 31 6 28 27 20 16 21 37 9 29 17 10 4 35 2 19 12 3 14
4 9 23 27 31 37 19 25 24 35 8 2 6 38 34 14 16 26 33 12 32 7 29 28 21 17 22 1 10 30 18 11 5 36 3 20 13 15
14 5 10 24 28 32 1 20 26 25 36 9 3 7 38 35 15 17 27 34 13 33 8 30 29 22 18 23 2 11 31 19 12 6 37 4 21 16
22 15 6 11 25 29 33 2 21 27 26 37 10 4 8 38 36 16 18 28 35 14 34 9 31 30 23 19 24 3 12 32 20 13 7 1 5 17
6 23 16 7 12 26 30 34 3 22 28 27 1 11 5 9 38 37 17 19 29 36 15 35 10 32 31 24 20 25 4 13 33 21 14 8 2 18
3 7 24 17 8 13 27 31 35 4 23 29 28 2 12 6 10 38 1 18 20 30 37 16 36 11 33 32 25 21 26 5 14 34 22 15 9 19
10 4 8 25 18 9 14 28 32 36 5 24 30 29 3 13 7 11 38 2 19 21 31 1 17 37 12 34 33 26 22 27 6 15 35 23 16 20
17 11 5 9 26 19 10 15 29 33 37 6 25 31 30 4 14 8 12 38 3 20 22 32 2 18 1 13 35 34 27 23 28 7 16 36 24 21
25 18 12 6 10 27 20 11 16 30 34 1 7 26 32 31 5 15 9 13 38 4 21 23 33 3 19 2 14 36 35 28 24 29 8 17 37 22
1 26 19 13 7 11 28 21 12 17 31 35 2 8 27 33 32 6 16 10 14 38 5 22 24 34 4 20 3 15 37 36 29 25 30 9 18 23
19 2 27 20 14 8 12 29 22 13 18 32 36 3 9 28 34 33 7 17 11 15 38 6 23 25 35 5 21 4 16 1 37 30 26 31 10 24
11 20 3 28 21 15 9 13 30 23 14 19 33 37 4 10 29 35 34 8 18 12 16 38 7 24 26 36 6 22 5 17 2 1 31 27 32 25
33 12 21 4 29 22 16 10 14 31 24 15 20 34 1 5 11 30 36 35 9 19 13 17 38 8 25 27 37 7 23 6 18 3 2 32 28 26
29 34 13 22 5 30 23 17 11 15 32 25 16 21 35 2 6 12 31 37 36 10 20 14 18 38 9 26 28 1 8 24 7 19 4 3 33 27
34 30 35 14 23 6 31 24 18 12 16 33 26 17 22 36 3 7 13 32 1 37 11 21 15 19 38 10 27 29 2 9 25 8 20 5 4 28
5 35 31 36 15 24 7 32 25 19 13 17 34 27 18 23 37 4 8 14 33 2 1 12 22 16 20 38 11 28 30 3 10 26 9 21 6 29
7 6 36 32 37 16 25 8 33 26 20 14 18 35 28 19 24 1 5 9 15 34 3 2 13 23 17 21 38 12 29 31 4 11 27 10 22 30
23 8 7 37 33 1 17 26 9 34 27 21 15 19 36 29 20 25 2 6 10 16 35 4 3 14 24 18 22 38 13 30 32 5 12 28 11 31
12 24 9 8 1 34 2 18 27 10 35 28 22 16 20 37 30 21 26 3 7 11 17 36 5 4 15 25 19 23 38 14 31 33 6 13 29 32
30 13 25 10 9 2 35 3 19 28 11 36 29 23 17 21 1 31 22 27 4 8 12 18 37 6 5 16 26 20 24 38 15 32 34 7 14 33
15 31 14 26 11 10 3 36 4 20 29 12 37 30 24 18 22 2 32 23 28 5 9 13 19 1 7 6 17 27 21 25 38 16 33 35 8 34
9 16 32 15 27 12 11 4 37 5 21 30 13 1 31 25 19 23 3 33 24 29 6 10 14 20 2 8 7 18 28 22 26 38 17 34 36 35
37 10 17 33 16 28 13 12 5 1 6 22 31 14 2 32 26 20 24 4 34 25 30 7 11 15 21 3 9 8 19 29 23 27 38 18 35 36
36 1 11 18 34 17 29 14 13 6 2 7 23 32 15 3 33 27 21 25 5 35 26 31 8 12 16 22 4 10 9 20 30 24 28 38 19 37
20 37 2 12 19 35 18 30 15 14 7 3 8 24 33 16 4 34 28 22 26 6 36 27 32 9 13 17 23 5 11 10 21 31 25 29 38 1
38 21 1 3 13 20 36 19 31 16 15 8 4 9 25 34 17 5 35 29 23 27 7 37 28 33 10 14 18 24 6 12 11 22 32 26 30 2
31 38 22 2 4 14 21 37 20 32 17 16 9 5 10 26 35 18 6 36 30 24 28 8 1 29 34 11 15 19 25 7 13 12 23 33 27 3
28 32 38 23 3 5 15 22 1 21 33 18 17 10 6 11 27 36 19 7 37 31 25 29 9 2 30 35 12 16 20 26 8 14 13 24 34 4
35 29 33 38 24 4 6 16 23 2 22 34 19 18 11 7 12 28 37 20 8 1 32 26 30 10 3 31 36 13 17 21 27 9 15 14 25 5
26 36 30 34 38 25 5 7 17 24 3 23 35 20 19 12 8 13 29 1 21 9 2 33 27 31 11 4 32 37 14 18 22 28 10 16 15 6
16 27 37 31 35 38 26 6 8 18 25 4 24 36 21 20 13 9 14 30 2 22 10 3 34 28 32 12 5 33 1 15 19 23 29 11 17 7
18 17 28 1 32 36 38 27 7 9 19 26 5 25 37 22 21 14 10 15 31 3 23 11 4 35 29 33 13 6 34 2 16 20 24 30 12 8
13 19 18 29 2 33 37 38 28 8 10 20 27 6 26 1 23 22 15 11 16 32 4 24 12 5 36 30 34 14 7 35 3 17 21 25 31 9
32 14 20 19 30 3 34 1 38 29 9 11 21 28 7 27 2 24 23 16 12 17 33 5 25 13 6 37 31 35 15 8 36 4 18 22 26 10
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 1 38
Третий латинский квадрат
11 15 10 23 3 29 8 12 5 37 6 18 38 7 30 32 28 36 24 4 35 22 25 27 33 1 19 13 17 21 14 26 20 31 34 16 9 2
10 12 16 11 24 4 30 9 13 6 1 7 19 38 8 31 33 29 37 25 5 36 23 26 28 34 2 20 14 18 22 15 27 21 32 35 17 3
18 11 13 17 12 25 5 31 10 14 7 2 8 20 38 9 32 34 30 1 26 6 37 24 27 29 35 3 21 15 19 23 16 28 22 33 36 4
37 19 12 14 18 13 26 6 32 11 15 8 3 9 21 38 10 33 35 31 2 27 7 1 25 28 30 36 4 22 16 20 24 17 29 23 34 5
35 1 20 13 15 19 14 27 7 33 12 16 9 4 10 22 38 11 34 36 32 3 28 8 2 26 29 31 37 5 23 17 21 25 18 30 24 6
25 36 2 21 14 16 20 15 28 8 34 13 17 10 5 11 23 38 12 35 37 33 4 29 9 3 27 30 32 1 6 24 18 22 26 19 31 7
32 26 37 3 22 15 17 21 16 29 9 35 14 18 11 6 12 24 38 13 36 1 34 5 30 10 4 28 31 33 2 7 25 19 23 27 20 8
21 33 27 1 4 23 16 18 22 17 30 10 36 15 19 12 7 13 25 38 14 37 2 35 6 31 11 5 29 32 34 3 8 26 20 24 28 9
29 22 34 28 2 5 24 17 19 23 18 31 11 37 16 20 13 8 14 26 38 15 1 3 36 7 32 12 6 30 33 35 4 9 27 21 25 10
26 30 23 35 29 3 6 25 18 20 24 19 32 12 1 17 21 14 9 15 27 38 16 2 4 37 8 33 13 7 31 34 36 5 10 28 22 11
23 27 31 24 36 30 4 7 26 19 21 25 20 33 13 2 18 22 15 10 16 28 38 17 3 5 1 9 34 14 8 32 35 37 6 11 29 12
30 24 28 32 25 37 31 5 8 27 20 22 26 21 34 14 3 19 23 16 11 17 29 38 18 4 6 2 10 35 15 9 33 36 1 7 12 13
13 31 25 29 33 26 1 32 6 9 28 21 23 27 22 35 15 4 20 24 17 12 18 30 38 19 5 7 3 11 36 16 10 34 37 2 8 14
9 14 32 26 30 34 27 2 33 7 10 29 22 24 28 23 36 16 5 21 25 18 13 19 31 38 20 6 8 4 12 37 17 11 35 1 3 15
4 10 15 33 27 31 35 28 3 34 8 11 30 23 25 29 24 37 17 6 22 26 19 14 20 32 38 21 7 9 5 13 1 18 12 36 2 16
3 5 11 16 34 28 32 36 29 4 35 9 12 31 24 26 30 25 1 18 7 23 27 20 15 21 33 38 22 8 10 6 14 2 19 13 37 17
1 4 6 12 17 35 29 33 37 30 5 36 10 13 32 25 27 31 26 2 19 8 24 28 21 16 22 34 38 23 9 11 7 15 3 20 14 18
15 2 5 7 13 18 36 30 34 1 31 6 37 11 14 33 26 28 32 27 3 20 9 25 29 22 17 23 35 38 24 10 12 8 16 4 21 19
22 16 3 6 8 14 19 37 31 35 2 32 7 1 12 15 34 27 29 33 28 4 21 10 26 30 23 18 24 36 38 25 11 13 9 17 5 20
6 23 17 4 7 9 15 20 1 32 36 3 33 8 2 13 16 35 28 30 34 29 5 22 11 27 31 24 19 25 37 38 26 12 14 10 18 21
19 7 24 18 5 8 10 16 21 2 33 37 4 34 9 3 14 17 36 29 31 35 30 6 23 12 28 32 25 20 26 1 38 27 13 15 11 22
12 20 8 25 19 6 9 11 17 22 3 34 1 5 35 10 4 15 18 37 30 32 36 31 7 24 13 29 33 26 21 27 2 38 28 14 16 23
17 13 21 9 26 20 7 10 12 18 23 4 35 2 6 36 11 5 16 19 1 31 33 37 32 8 25 14 30 34 27 22 28 3 38 29 15 24
16 18 14 22 10 27 21 8 11 13 19 24 5 36 3 7 37 12 6 17 20 2 32 34 1 33 9 26 15 31 35 28 23 29 4 38 30 25
31 17 19 15 23 11 28 22 9 12 14 20 25 6 37 4 8 1 13 7 18 21 3 33 35 2 34 10 27 16 32 36 29 24 30 5 38 26
38 32 18 20 16 24 12 29 23 10 13 15 21 26 7 1 5 9 2 14 8 19 22 4 34 36 3 35 11 28 17 33 37 30 25 31 6 27
7 38 33 19 21 17 25 13 30 24 11 14 16 22 27 8 2 6 10 3 15 9 20 23 5 35 37 4 36 12 29 18 34 1 31 26 32 28
33 8 38 34 20 22 18 26 14 31 25 12 15 17 23 28 9 3 7 11 4 16 10 21 24 6 36 1 5 37 13 30 19 35 2 32 27 29
28 34 9 38 35 21 23 19 27 15 32 26 13 16 18 24 29 10 4 8 12 5 17 11 22 25 7 37 2 6 1 14 31 20 36 3 33 30
34 29 35 10 38 36 22 24 20 28 16 33 27 14 17 19 25 30 11 5 9 13 6 18 12 23 26 8 1 3 7 2 15 32 21 37 4 31
5 35 30 36 11 38 37 23 25 21 29 17 34 28 15 18 20 26 31 12 6 10 14 7 19 13 24 27 9 2 4 8 3 16 33 22 1 32
2 6 36 31 37 12 38 1 24 26 22 30 18 35 29 16 19 21 27 32 13 7 11 15 8 20 14 25 28 10 3 5 9 4 17 34 23 33
24 3 7 37 32 1 13 38 2 25 27 23 31 19 36 30 17 20 22 28 33 14 8 12 16 9 21 15 26 29 11 4 6 10 5 18 35 34
36 25 4 8 1 33 2 14 38 3 26 28 24 32 20 37 31 18 21 23 29 34 15 9 13 17 10 22 16 27 30 12 5 7 11 6 19 35
20 37 26 5 9 2 34 3 15 38 4 27 29 25 33 21 1 32 19 22 24 30 35 16 10 14 18 11 23 17 28 31 13 6 8 12 7 36
8 21 1 27 6 10 3 35 4 16 38 5 28 30 26 34 22 2 33 20 23 25 31 36 17 11 15 19 12 24 18 29 32 14 7 9 13 37
14 9 22 2 28 7 11 4 36 5 17 38 6 29 31 27 35 23 3 34 21 24 26 32 37 18 12 16 20 13 25 19 30 33 15 8 10 1
27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 38
Четвёртый квадрат (соответствует зелёной строке матрицы) предлагаю построить читателям.
Теперь составляю пару ОЛК из второго и третьего квадратов. Первый квадрат сложен для преобразования, так как в одной его диагонали все элементы одинаковы. Надо сначала переставлять столбцы, а затем применять трансформацию тождественной перестановки чисел. Второй и третий квадраты имеют по одной неправильной диагонали и преобразовываются очень просто. Второй квадрат преобразую такими заменами: 1 à 26, 26 à 1; 36 à 37, 37 à 36. Третий квадрат преобразую такими заменами: 1 à 32, 32 à 1; 26 à 30, 30 à 26. Замены очень легко находятся простым подбором. Вот только замены в этом случае уже не стала выполнять вручную, а составила программку, которая выполняет замены в долю секунды. В результате выполнения программы переобозначений элементов получаю два новых латинских квадрата, которые являются нетрадиционными магическими квадратами с магической константой 741. Далее показаны эти латинские квадраты.
Преобразованный второй латинский квадрат
27 33 15 21 20 31 4 35 2 38 30 10 12 22 29 8 28 3 25 24 17 13 18 34 6 1 14 7 26 32 37 16 9 36 5 19 23 11
24 28 34 16 22 21 32 5 37 3 38 31 11 13 23 30 9 29 4 1 25 18 14 19 35 7 27 15 8 2 33 36 17 10 26 6 20 12
21 25 29 35 17 23 22 33 6 36 4 38 32 12 14 24 31 10 30 5 27 1 19 15 20 37 8 28 16 9 3 34 26 18 11 2 7 13
8 22 1 30 37 18 24 23 34 7 26 5 38 33 13 15 25 32 11 31 6 28 27 20 16 21 36 9 29 17 10 4 35 2 19 12 3 14
4 9 23 27 31 36 19 25 24 35 8 2 6 38 34 14 16 1 33 12 32 7 29 28 21 17 22 26 10 30 18 11 5 37 3 20 13 15
14 5 10 24 28 32 26 20 1 25 37 9 3 7 38 35 15 17 27 34 13 33 8 30 29 22 18 23 2 11 31 19 12 6 36 4 21 16
22 15 6 11 25 29 33 2 21 27 1 36 10 4 8 38 37 16 18 28 35 14 34 9 31 30 23 19 24 3 12 32 20 13 7 26 5 17
6 23 16 7 12 1 30 34 3 22 28 27 26 11 5 9 38 36 17 19 29 37 15 35 10 32 31 24 20 25 4 13 33 21 14 8 2 18
3 7 24 17 8 13 27 31 35 4 23 29 28 2 12 6 10 38 26 18 20 30 36 16 37 11 33 32 25 21 1 5 14 34 22 15 9 19
10 4 8 25 18 9 14 28 32 37 5 24 30 29 3 13 7 11 38 2 19 21 31 26 17 36 12 34 33 1 22 27 6 15 35 23 16 20
17 11 5 9 1 19 10 15 29 33 36 6 25 31 30 4 14 8 12 38 3 20 22 32 2 18 26 13 35 34 27 23 28 7 16 37 24 21
25 18 12 6 10 27 20 11 16 30 34 26 7 1 32 31 5 15 9 13 38 4 21 23 33 3 19 2 14 37 35 28 24 29 8 17 36 22
26 1 19 13 7 11 28 21 12 17 31 35 2 8 27 33 32 6 16 10 14 38 5 22 24 34 4 20 3 15 36 37 29 25 30 9 18 23
19 2 27 20 14 8 12 29 22 13 18 32 37 3 9 28 34 33 7 17 11 15 38 6 23 25 35 5 21 4 16 26 36 30 1 31 10 24
11 20 3 28 21 15 9 13 30 23 14 19 33 36 4 10 29 35 34 8 18 12 16 38 7 24 1 37 6 22 5 17 2 26 31 27 32 25
33 12 21 4 29 22 16 10 14 31 24 15 20 34 26 5 11 30 37 35 9 19 13 17 38 8 25 27 36 7 23 6 18 3 2 32 28 1
29 34 13 22 5 30 23 17 11 15 32 25 16 21 35 2 6 12 31 36 37 10 20 14 18 38 9 1 28 26 8 24 7 19 4 3 33 27
34 30 35 14 23 6 31 24 18 12 16 33 1 17 22 37 3 7 13 32 26 36 11 21 15 19 38 10 27 29 2 9 25 8 20 5 4 28
5 35 31 37 15 24 7 32 25 19 13 17 34 27 18 23 36 4 8 14 33 2 26 12 22 16 20 38 11 28 30 3 10 1 9 21 6 29
7 6 37 32 36 16 25 8 33 1 20 14 18 35 28 19 24 26 5 9 15 34 3 2 13 23 17 21 38 12 29 31 4 11 27 10 22 30
23 8 7 36 33 26 17 1 9 34 27 21 15 19 37 29 20 25 2 6 10 16 35 4 3 14 24 18 22 38 13 30 32 5 12 28 11 31
12 24 9 8 26 34 2 18 27 10 35 28 22 16 20 36 30 21 1 3 7 11 17 37 5 4 15 25 19 23 38 14 31 33 6 13 29 32
30 13 25 10 9 2 35 3 19 28 11 37 29 23 17 21 26 31 22 27 4 8 12 18 36 6 5 16 1 20 24 38 15 32 34 7 14 33
15 31 14 1 11 10 3 37 4 20 29 12 36 30 24 18 22 2 32 23 28 5 9 13 19 26 7 6 17 27 21 25 38 16 33 35 8 34
9 16 32 15 27 12 11 4 36 5 21 30 13 26 31 25 19 23 3 33 24 29 6 10 14 20 2 8 7 18 28 22 1 38 17 34 37 35
36 10 17 33 16 28 13 12 5 26 6 22 31 14 2 32 1 20 24 4 34 25 30 7 11 15 21 3 9 8 19 29 23 27 38 18 35 37
37 26 11 18 34 17 29 14 13 6 2 7 23 32 15 3 33 27 21 25 5 35 1 31 8 12 16 22 4 10 9 20 30 24 28 38 19 36
20 36 2 12 19 35 18 30 15 14 7 3 8 24 33 16 4 34 28 22 1 6 37 27 32 9 13 17 23 5 11 10 21 31 25 29 38 26
38 21 26 3 13 20 37 19 31 16 15 8 4 9 25 34 17 5 35 29 23 27 7 36 28 33 10 14 18 24 6 12 11 22 32 1 30 2
31 38 22 2 4 14 21 36 20 32 17 16 9 5 10 1 35 18 6 37 30 24 28 8 26 29 34 11 15 19 25 7 13 12 23 33 27 3
28 32 38 23 3 5 15 22 26 21 33 18 17 10 6 11 27 37 19 7 36 31 25 29 9 2 30 35 12 16 20 1 8 14 13 24 34 4
35 29 33 38 24 4 6 16 23 2 22 34 19 18 11 7 12 28 36 20 8 26 32 1 30 10 3 31 37 13 17 21 27 9 15 14 25 5
1 37 30 34 38 25 5 7 17 24 3 23 35 20 19 12 8 13 29 26 21 9 2 33 27 31 11 4 32 36 14 18 22 28 10 16 15 6
16 27 36 31 35 38 1 6 8 18 25 4 24 37 21 20 13 9 14 30 2 22 10 3 34 28 32 12 5 33 26 15 19 23 29 11 17 7
18 17 28 26 32 37 38 27 7 9 19 1 5 25 36 22 21 14 10 15 31 3 23 11 4 35 29 33 13 6 34 2 16 20 24 30 12 8
13 19 18 29 2 33 36 38 28 8 10 20 27 6 1 26 23 22 15 11 16 32 4 24 12 5 37 30 34 14 7 35 3 17 21 25 31 9
32 14 20 19 30 3 34 26 38 29 9 11 21 28 7 27 2 24 23 16 12 17 33 5 25 13 6 36 31 35 15 8 37 4 18 22 1 10
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 1 27 28 29 30 31 32 33 34 35 37 36 26 38
Преобразованный третий латинский квадрат
11 15 10 23 3 29 8 12 5 37 6 18 38 7 26 1 28 36 24 4 35 22 25 27 33 32 19 13 17 21 14 30 20 31 34 16 9 2
10 12 16 11 24 4 26 9 13 6 32 7 19 38 8 31 33 29 37 25 5 36 23 30 28 34 2 20 14 18 22 15 27 21 1 35 17 3
18 11 13 17 12 25 5 31 10 14 7 2 8 20 38 9 1 34 26 32 30 6 37 24 27 29 35 3 21 15 19 23 16 28 22 33 36 4
37 19 12 14 18 13 30 6 1 11 15 8 3 9 21 38 10 33 35 31 2 27 7 32 25 28 26 36 4 22 16 20 24 17 29 23 34 5
35 32 20 13 15 19 14 27 7 33 12 16 9 4 10 22 38 11 34 36 1 3 28 8 2 30 29 31 37 5 23 17 21 25 18 26 24 6
25 36 2 21 14 16 20 15 28 8 34 13 17 10 5 11 23 38 12 35 37 33 4 29 9 3 27 26 1 32 6 24 18 22 30 19 31 7
1 30 37 3 22 15 17 21 16 29 9 35 14 18 11 6 12 24 38 13 36 32 34 5 26 10 4 28 31 33 2 7 25 19 23 27 20 8
21 33 27 32 4 23 16 18 22 17 26 10 36 15 19 12 7 13 25 38 14 37 2 35 6 31 11 5 29 1 34 3 8 30 20 24 28 9
29 22 34 28 2 5 24 17 19 23 18 31 11 37 16 20 13 8 14 30 38 15 32 3 36 7 1 12 6 26 33 35 4 9 27 21 25 10
30 26 23 35 29 3 6 25 18 20 24 19 1 12 32 17 21 14 9 15 27 38 16 2 4 37 8 33 13 7 31 34 36 5 10 28 22 11
23 27 31 24 36 26 4 7 30 19 21 25 20 33 13 2 18 22 15 10 16 28 38 17 3 5 32 9 34 14 8 1 35 37 6 11 29 12
26 24 28 1 25 37 31 5 8 27 20 22 30 21 34 14 3 19 23 16 11 17 29 38 18 4 6 2 10 35 15 9 33 36 32 7 12 13
13 31 25 29 33 30 32 1 6 9 28 21 23 27 22 35 15 4 20 24 17 12 18 26 38 19 5 7 3 11 36 16 10 34 37 2 8 14
9 14 1 30 26 34 27 2 33 7 10 29 22 24 28 23 36 16 5 21 25 18 13 19 31 38 20 6 8 4 12 37 17 11 35 32 3 15
4 10 15 33 27 31 35 28 3 34 8 11 26 23 25 29 24 37 17 6 22 30 19 14 20 1 38 21 7 9 5 13 32 18 12 36 2 16
3 5 11 16 34 28 1 36 29 4 35 9 12 31 24 30 26 25 32 18 7 23 27 20 15 21 33 38 22 8 10 6 14 2 19 13 37 17
32 4 6 12 17 35 29 33 37 26 5 36 10 13 1 25 27 31 30 2 19 8 24 28 21 16 22 34 38 23 9 11 7 15 3 20 14 18
15 2 5 7 13 18 36 26 34 32 31 6 37 11 14 33 30 28 1 27 3 20 9 25 29 22 17 23 35 38 24 10 12 8 16 4 21 19
22 16 3 6 8 14 19 37 31 35 2 1 7 32 12 15 34 27 29 33 28 4 21 10 30 26 23 18 24 36 38 25 11 13 9 17 5 20
6 23 17 4 7 9 15 20 32 1 36 3 33 8 2 13 16 35 28 26 34 29 5 22 11 27 31 24 19 25 37 38 30 12 14 10 18 21
19 7 24 18 5 8 10 16 21 2 33 37 4 34 9 3 14 17 36 29 31 35 26 6 23 12 28 1 25 20 30 32 38 27 13 15 11 22
12 20 8 25 19 6 9 11 17 22 3 34 32 5 35 10 4 15 18 37 26 1 36 31 7 24 13 29 33 30 21 27 2 38 28 14 16 23
17 13 21 9 30 20 7 10 12 18 23 4 35 2 6 36 11 5 16 19 32 31 33 37 1 8 25 14 26 34 27 22 28 3 38 29 15 24
16 18 14 22 10 27 21 8 11 13 19 24 5 36 3 7 37 12 6 17 20 2 1 34 32 33 9 30 15 31 35 28 23 29 4 38 26 25
31 17 19 15 23 11 28 22 9 12 14 20 25 6 37 4 8 32 13 7 18 21 3 33 35 2 34 10 27 16 1 36 29 24 26 5 38 30
38 1 18 20 16 24 12 29 23 10 13 15 21 30 7 32 5 9 2 14 8 19 22 4 34 36 3 35 11 28 17 33 37 26 25 31 6 27
7 38 33 19 21 17 25 13 26 24 11 14 16 22 27 8 2 6 10 3 15 9 20 23 5 35 37 4 36 12 29 18 34 32 31 30 1 28
33 8 38 34 20 22 18 30 14 31 25 12 15 17 23 28 9 3 7 11 4 16 10 21 24 6 36 32 5 37 13 26 19 35 2 1 27 29
28 34 9 38 35 21 23 19 27 15 1 30 13 16 18 24 29 10 4 8 12 5 17 11 22 25 7 37 2 6 32 14 31 20 36 3 33 26
34 29 35 10 38 36 22 24 20 28 16 33 27 14 17 19 25 26 11 5 9 13 6 18 12 23 30 8 32 3 7 2 15 1 21 37 4 31
5 35 26 36 11 38 37 23 25 21 29 17 34 28 15 18 20 30 31 12 6 10 14 7 19 13 24 27 9 2 4 8 3 16 33 22 32 1
2 6 36 31 37 12 38 32 24 30 22 26 18 35 29 16 19 21 27 1 13 7 11 15 8 20 14 25 28 10 3 5 9 4 17 34 23 33
24 3 7 37 1 32 13 38 2 25 27 23 31 19 36 26 17 20 22 28 33 14 8 12 16 9 21 15 30 29 11 4 6 10 5 18 35 34
36 25 4 8 32 33 2 14 38 3 30 28 24 1 20 37 31 18 21 23 29 34 15 9 13 17 10 22 16 27 26 12 5 7 11 6 19 35
20 37 30 5 9 2 34 3 15 38 4 27 29 25 33 21 32 1 19 22 24 26 35 16 10 14 18 11 23 17 28 31 13 6 8 12 7 36
8 21 32 27 6 10 3 35 4 16 38 5 28 26 30 34 22 2 33 20 23 25 31 36 17 11 15 19 12 24 18 29 1 14 7 9 13 37
14 9 22 2 28 7 11 4 36 5 17 38 6 29 31 27 35 23 3 34 21 24 30 1 37 18 12 16 20 13 25 19 26 33 15 8 10 32
27 28 29 26 31 1 33 34 35 36 37 32 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 30 38
Осталось показать магический квадрат, построенный из данной пары ОЛК. Показан один из двух квадратов, второй получится, если поменять местами латинские квадраты в формуле для построения магического квадрата.
Магический квадрат 38-го порядка, построенный из данной пары ОЛК
999 1231 542 783 725 1169 122 1304 43 1443 1108 360 456 805 1090 267 1054 112 936 878 643 478 671 1281 223 32 513 241 967 1199 1382 600 324 1361 186 700 845 382
884 1038 1270 581 822 764 1204 161 1381 82 1438 1147 399 494 844 1133 337 1093 151 25 917 682 517 714 1320 262 990 552 280 56 1238 1345 635 363 951 225 739 421
778 923 1077 1309 620 861 803 1247 200 1344 121 1408 1186 438 532 883 1141 376 1128 184 1018 6 721 556 749 1397 301 1029 591 319 95 1277 966 674 402 71 264 460
303 817 12 1116 1386 659 904 842 1255 239 965 160 1409 1225 477 570 922 1211 415 1171 192 1053 995 754 595 788 1356 340 1068 630 358 134 1316 55 713 441 110 499
149 336 856 1001 1155 1349 698 939 881 1325 278 54 199 1410 1264 516 608 11 1250 454 1179 231 1092 1034 762 638 827 981 379 1107 669 397 173 1393 94 748 480 538
519 188 344 895 1040 1194 970 737 28 920 1402 317 93 238 1411 1303 555 646 1000 1289 493 1249 270 1131 1073 801 673 862 39 412 1146 708 436 212 1360 133 791 577
799 562 227 383 934 1079 1233 59 776 1017 9 1365 356 132 277 1412 1380 594 684 1039 1328 526 1288 309 1166 1112 840 712 905 109 420 1185 747 475 251 977 172 616
211 869 597 260 422 23 1118 1272 98 815 1052 998 986 395 171 316 1413 1343 633 722 1078 1405 534 1327 348 1209 1151 879 751 913 148 459 1224 790 514 290 66 655
105 250 908 636 268 461 1012 1157 1311 137 854 1095 1037 75 434 210 355 1414 964 676 760 1117 1362 573 1404 387 1217 1190 918 786 33 187 498 1263 825 553 329 694
372 140 289 947 675 307 500 1051 1196 1388 176 893 1103 1076 108 473 249 394 1415 53 711 798 1156 952 612 1367 426 1287 1229 7 829 1022 226 537 1302 864 592 733
631 407 183 328 36 710 346 539 1094 1235 1351 215 932 1173 1115 116 512 288 433 1416 92 750 836 1195 41 651 982 465 1326 1268 996 837 1061 265 576 1379 903 772
938 670 446 191 367 1025 753 385 578 1129 1274 972 258 21 1212 1154 155 551 327 472 1417 131 789 874 1234 80 690 40 504 1403 1307 1035 907 1100 298 615 1342 811
963 31 709 485 261 410 1058 761 424 617 1168 1313 61 293 1010 1251 1193 194 590 366 511 1418 170 824 912 1273 119 729 79 543 1366 1384 1074 946 1139 306 654 850
693 52 989 752 520 300 445 1066 831 463 656 1207 1390 100 332 1049 1290 1232 233 629 405 550 1419 209 867 950 1312 158 768 118 582 987 1347 1113 35 1172 345 889
384 732 91 1059 787 563 339 484 1105 870 502 695 1242 1353 139 371 1088 1329 1271 272 668 448 589 1420 248 875 38 1389 197 807 157 621 70 968 1152 1024 1180 928
1219 423 771 130 1098 826 571 378 523 1144 909 541 734 1285 974 182 406 1127 1400 1310 311 707 483 628 1421 287 945 1026 1352 236 846 196 660 78 57 1191 1063 17
1096 1258 462 810 169 1137 865 641 417 558 1183 948 580 773 1293 63 217 449 1170 1332 1387 350 746 522 667 1422 326 34 1064 973 275 885 235 699 117 96 1230 1006
1269 1104 1297 501 849 208 1176 900 680 450 601 1222 37 619 812 1401 106 256 457 1205 953 1350 389 785 561 706 1423 365 1023 1102 62 314 924 274 738 156 135 1045
174 1308 1143 1374 540 888 247 1215 943 719 458 609 1261 1020 658 851 1364 141 295 527 1244 42 971 428 828 596 745 1424 404 1062 1140 101 353 13 313 777 195 1084
234 213 1385 1182 1337 579 927 286 1248 1 758 497 679 1300 1028 697 890 985 180 330 566 1283 81 60 467 863 639 784 1425 443 1101 1178 144 392 1002 352 816 1123
855 273 252 1348 1221 958 618 16 325 1256 1021 797 536 718 1377 1067 736 929 74 219 373 605 1318 120 99 506 902 647 823 1426 486 1134 1216 179 431 1041 391 1162
430 894 312 291 969 1260 47 657 1005 364 1295 1060 830 575 757 1340 1106 775 18 113 254 381 644 1399 159 138 545 941 717 866 1427 521 1142 1254 218 470 1080 1201
1119 469 933 351 334 58 1299 86 696 1044 403 1372 1099 838 614 796 961 1145 814 1007 146 297 451 683 1331 198 177 584 26 756 901 1428 560 1181 1292 257 509 1240
548 1158 508 22 390 369 97 1376 125 735 1083 442 1335 1138 877 653 835 50 1184 853 1046 154 305 490 716 983 237 220 623 1019 795 940 1429 599 1220 1330 292 1279
335 587 1197 547 1011 429 408 136 1339 164 774 1122 481 956 1177 916 692 868 89 1223 892 1085 193 375 529 724 72 276 255 662 1027 834 29 1430 634 1259 1406 1322
1368 343 626 1236 586 1050 468 447 175 960 203 813 1161 524 45 1210 5 731 876 128 1262 931 1124 232 414 568 763 111 315 294 701 1097 873 1014 1431 677 1298 1395
1375 988 413 665 1275 625 1089 507 482 214 49 242 852 1200 559 84 1218 994 770 915 167 1301 20 1163 271 453 607 802 150 354 333 740 1136 906 1057 1436 685 1358
755 1338 76 452 704 1314 664 1132 546 525 253 88 281 891 1239 598 123 1257 1033 809 4 206 1378 1009 1202 310 492 640 841 189 393 368 779 1175 914 1065 1433 979
1434 794 959 114 491 743 1391 703 1167 585 533 296 127 320 930 1278 637 162 1296 1072 848 993 245 1341 1048 1241 349 531 648 880 222 432 411 818 1214 3 1135 64
1174 1435 833 48 152 530 782 1354 742 1206 624 603 331 166 359 19 1317 672 201 1373 1111 887 1032 284 962 1087 1284 388 564 687 919 230 471 419 857 1253 992 107
1031 1213 1432 872 87 190 569 821 975 781 1245 663 642 370 205 398 1008 1398 715 240 1336 1150 926 1071 323 51 1126 1319 427 572 726 8 269 510 489 896 1286 115
1294 1070 1252 1437 911 126 228 602 860 68 820 1280 702 681 409 244 437 1047 1357 723 279 957 1189 15 1110 362 90 1165 1396 466 611 765 997 308 549 528 935 185
24 1371 1109 1291 1407 944 165 266 610 899 103 859 1323 741 720 444 283 476 1086 978 793 318 46 1228 1004 1149 401 129 1208 1359 505 650 804 1036 347 588 567 224
606 1013 1334 1148 1324 1439 2 204 304 649 942 142 898 1369 780 759 487 322 515 1125 67 832 357 85 1267 1043 1188 440 168 1243 976 544 689 843 1075 386 627 263
666 645 1056 955 1187 1370 1440 991 243 342 688 27 181 937 1363 819 792 495 361 554 1164 102 871 396 124 1306 1082 1227 479 207 1282 69 583 728 882 1114 425 302
464 705 678 1091 44 1226 1333 1441 1030 282 380 727 1016 216 30 984 858 800 565 400 593 1203 145 910 435 163 1383 1121 1266 518 246 1321 77 622 767 921 1153 341
1192 503 744 686 1130 83 1265 954 1442 1069 321 418 766 1055 259 1015 73 897 839 604 439 632 1246 153 949 474 202 1346 1160 1305 557 285 1394 147 661 806 10 374
65 104 143 178 221 229 299 338 377 416 455 488 496 535 574 613 652 691 730 769 808 847 886 925 14 1003 1042 1081 1120 1159 1198 1237 1276 1315 1392 1355 980 1444
Итак, в первой полусотне порядков у меня не осталось белых пятен. Для любого порядка могу построить пару ОЛК, преобразовать её, чтобы она стала пригодной для построения магических квадратов, и построить магические квадраты методом латинских квадратов.
Замечу, что при дальнейшем анализе порядков на предмет проблемных порядков для применения метода латинских квадратов, надо выбросить нечётные порядки, так как пара ОЛК для любого нечётного порядка строится методом Делаира. Далее, из оставшихся чётных порядков надо выбросить чётно-чётные порядки, так как для таких порядков работает метод составных квадратов, кроме порядков 4 и 8, ну, а для этих порядков мы умеем строить группы MOLS. Следовательно, проблемные порядки надо искать только среди чётно-нечётных порядков: n = 4k + 2, k>1. Во второй полусотне это будут порядки:
54, 58, 62, 66, 70, 74, 78, 82, 86, 90, 94, 98
Очевидно, что среди этих порядков проблемными являются те порядки, которые представимы в виде n = 2p, где p – простое число. Для остальных порядков работает метод составных квадратов. Следовательно, проблемными порядками во второй полусотне являются порядки: 58, 62, 74, 82, 86, 94. Всего шесть штук! Но и это количество можно уменьшить. Три порядка среди указанных относятся к серии порядков n = 4(mod 6), для которой мной разработан алгоритм построения пар ОЛК. Значит, по-настоящему проблемными остаются только три порядка – 62, 74 и 86. Эти порядки относятся к серии порядков n = 2(mod 6), для которой я не знаю алгоритм построения пар ОЛК.
Как уже знают читатели, математики построили группы MOLS для порядков до 10000. Так что, и с этими проблемными порядками никаких проблем. Надо просто найти соответствующие статьи (книги) и разобраться в них.
Другое дело, что с увеличением порядка могут возникнуть проблемы с преобразованием латинских квадратов. Тут ещё надо сначала доказать мою гипотезу в общем виде, а затем придумать алгоритм и составить программу преобразования латинского квадрата любого порядка. Разумеется, всегда действовать простым подбором не годится, да и может не получиться.
Нерешённым остаётся ещё один аспект метода латинских квадратов – это построение пар диагональных ОЛК. Доказано, что для любого порядка, кроме 2, 3 и 6, существует пара диагональных ОЛК. Однако я таких пар встретила пока очень и очень мало. Такие пары ОЛК не придётся преобразовывать, они сразу пригодны для применения метода латинских квадратов. Например, уже для порядков 12, 14 и 15 я не видела ни одной пары диагональных ОЛК. Как их построить? Кем и когда они построены? Если вы знаете что-нибудь об этом, пишите мне.
6 – 8 марта 2009 г.
г. Саратов
Скачайте электронные книги:
“Волшебный мир магических квадратов” http://narod.ru/disk/5834353000/Magic_squares.pdf.html
“Позиционные системы счисления”
http://narod.ru/disk/5936760000/pozic4.pdf.html
Читайте мою виртуальную книгу “Волшебный мир магических квадратов”:
http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm
Пишите мне!
На главную страницу
