Н. Макарова
ПОСТРОЕНИЕ ГРУПП MOLS 22-го ПОРЯДКА
В статье “Three mutually orthogonal idempotent Latin squares of orders 22 and 26” (R. J. R Abel et al.), опубликованной в 1996 г., приводится группа MOLS 22-го порядка, состоящая из трёх квадратов. Эта группа была показана мной в одной из статей цикла “Новые аспекты метода латинских квадратов”. Но тогда я не знала, как строятся латинские квадраты по квази-разностной матрице. Здесь хочу показать своим читателям это построение. Квази-разностная матрица взята из этой же статьи (только все элементы матрицы увеличены на единицу). Вы видите эту матрицу на рис. 1.
|
∞ |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
∞ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
|
1 |
13 |
19 |
12 |
8 |
7 |
6 |
2 |
16 |
21 |
17 |
4 |
15 |
11 |
∞ |
5 |
10 |
1 |
3 |
20 |
9 |
18 |
14 |
|
1 |
1 |
∞ |
10 |
4 |
6 |
12 |
16 |
3 |
11 |
21 |
7 |
9 |
2 |
19 |
18 |
20 |
8 |
5 |
17 |
14 |
13 |
15 |
|
1 |
4 |
6 |
1 |
9 |
∞ |
19 |
18 |
14 |
17 |
20 |
11 |
3 |
10 |
7 |
16 |
12 |
5 |
21 |
13 |
15 |
2 |
8 |
Рис. 1
Процесс построения латинских квадратов по квази-разностной матрице был описан в предыдущей статье “Построение групп MOLS четырнадцатого порядка” (http://www.natalimak1.narod.ru/mols14.htm ).
На рис. 2 показано построение первого латинского квадрата с осями координат (координаты – это суть номера строк и столбцов квадрата). Ячейки, содержащие числа из квази-разностной матрицы, выделены жёлтым цветом.
Первый латинский квадрат
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
|
1 |
19 |
15 |
20 |
12 |
3 |
8 |
7 |
17 |
13 |
22 |
21 |
5 |
16 |
9 |
14 |
10 |
18 |
2 |
4 |
6 |
11 |
1 |
|
2 |
12 |
20 |
16 |
21 |
13 |
4 |
9 |
8 |
18 |
14 |
22 |
1 |
6 |
17 |
10 |
15 |
11 |
19 |
3 |
5 |
7 |
2 |
|
3 |
8 |
13 |
21 |
17 |
1 |
14 |
5 |
10 |
9 |
19 |
15 |
22 |
2 |
7 |
18 |
11 |
16 |
12 |
20 |
4 |
6 |
3 |
|
4 |
7 |
9 |
14 |
1 |
18 |
2 |
15 |
6 |
11 |
10 |
20 |
16 |
22 |
3 |
8 |
19 |
12 |
17 |
13 |
21 |
5 |
4 |
|
5 |
6 |
8 |
10 |
15 |
2 |
19 |
3 |
16 |
7 |
12 |
11 |
21 |
17 |
22 |
4 |
9 |
20 |
13 |
18 |
14 |
1 |
5 |
|
6 |
2 |
7 |
9 |
11 |
16 |
3 |
20 |
4 |
17 |
8 |
13 |
12 |
1 |
18 |
22 |
5 |
10 |
21 |
14 |
19 |
15 |
6 |
|
7 |
16 |
3 |
8 |
10 |
12 |
17 |
4 |
21 |
5 |
18 |
9 |
14 |
13 |
2 |
19 |
22 |
6 |
11 |
1 |
15 |
20 |
7 |
|
8 |
21 |
17 |
4 |
9 |
11 |
13 |
18 |
5 |
1 |
6 |
19 |
10 |
15 |
14 |
3 |
20 |
22 |
7 |
12 |
2 |
16 |
8 |
|
9 |
17 |
1 |
18 |
5 |
10 |
12 |
14 |
19 |
6 |
2 |
7 |
20 |
11 |
16 |
15 |
4 |
21 |
22 |
8 |
13 |
3 |
9 |
|
10 |
4 |
18 |
2 |
19 |
6 |
11 |
13 |
15 |
20 |
7 |
3 |
8 |
21 |
12 |
17 |
16 |
5 |
1 |
22 |
9 |
14 |
10 |
|
11 |
15 |
5 |
19 |
3 |
20 |
7 |
12 |
14 |
16 |
21 |
8 |
4 |
9 |
1 |
13 |
18 |
17 |
6 |
2 |
22 |
10 |
11 |
|
12 |
11 |
16 |
6 |
20 |
4 |
21 |
8 |
13 |
15 |
17 |
1 |
9 |
5 |
10 |
2 |
14 |
19 |
18 |
7 |
3 |
22 |
12 |
|
13 |
22 |
12 |
17 |
7 |
21 |
5 |
1 |
9 |
14 |
16 |
18 |
2 |
10 |
6 |
11 |
3 |
15 |
20 |
19 |
8 |
4 |
13 |
|
14 |
5 |
22 |
13 |
18 |
8 |
1 |
6 |
2 |
10 |
15 |
17 |
19 |
3 |
11 |
7 |
12 |
4 |
16 |
21 |
20 |
9 |
14 |
|
15 |
10 |
6 |
22 |
14 |
19 |
9 |
2 |
7 |
3 |
11 |
16 |
18 |
20 |
4 |
12 |
8 |
13 |
5 |
17 |
1 |
21 |
15 |
|
16 |
1 |
11 |
7 |
22 |
15 |
20 |
10 |
3 |
8 |
4 |
12 |
17 |
19 |
21 |
5 |
13 |
9 |
14 |
6 |
18 |
2 |
16 |
|
17 |
3 |
2 |
12 |
8 |
22 |
16 |
21 |
11 |
4 |
9 |
5 |
13 |
18 |
20 |
1 |
6 |
14 |
10 |
15 |
7 |
19 |
17 |
|
18 |
20 |
4 |
3 |
13 |
9 |
22 |
17 |
1 |
12 |
5 |
10 |
6 |
14 |
19 |
21 |
2 |
7 |
15 |
11 |
16 |
8 |
18 |
|
19 |
9 |
21 |
5 |
4 |
14 |
10 |
22 |
18 |
2 |
13 |
6 |
11 |
7 |
15 |
20 |
1 |
3 |
8 |
16 |
12 |
17 |
19 |
|
20 |
18 |
10 |
1 |
6 |
5 |
15 |
11 |
22 |
19 |
3 |
14 |
7 |
12 |
8 |
16 |
21 |
2 |
4 |
9 |
17 |
13 |
20 |
|
21 |
14 |
19 |
11 |
2 |
7 |
6 |
16 |
12 |
22 |
20 |
4 |
15 |
8 |
13 |
9 |
17 |
1 |
3 |
5 |
10 |
18 |
21 |
|
22 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
22 |
Рис. 2
На рис. 3 – 4 показаны второй и третий латинские квадраты из данной группы.
Второй латинский квадрат
|
22 |
16 |
15 |
17 |
21 |
10 |
14 |
6 |
5 |
7 |
12 |
20 |
19 |
13 |
4 |
18 |
11 |
8 |
3 |
2 |
9 |
1 |
|
10 |
22 |
17 |
16 |
18 |
1 |
11 |
15 |
7 |
6 |
8 |
13 |
21 |
20 |
14 |
5 |
19 |
12 |
9 |
4 |
3 |
2 |
|
4 |
11 |
22 |
18 |
17 |
19 |
2 |
12 |
16 |
8 |
7 |
9 |
14 |
1 |
21 |
15 |
6 |
20 |
13 |
10 |
5 |
3 |
|
6 |
5 |
12 |
22 |
19 |
18 |
20 |
3 |
13 |
17 |
9 |
8 |
10 |
15 |
2 |
1 |
16 |
7 |
21 |
14 |
11 |
4 |
|
12 |
7 |
6 |
13 |
22 |
20 |
19 |
21 |
4 |
14 |
18 |
10 |
9 |
11 |
16 |
3 |
2 |
17 |
8 |
1 |
15 |
5 |
|
16 |
13 |
8 |
7 |
14 |
22 |
21 |
20 |
1 |
5 |
15 |
19 |
11 |
10 |
12 |
17 |
4 |
3 |
18 |
9 |
2 |
6 |
|
3 |
17 |
14 |
9 |
8 |
15 |
22 |
1 |
21 |
2 |
6 |
16 |
20 |
12 |
11 |
13 |
18 |
5 |
4 |
19 |
10 |
7 |
|
11 |
4 |
18 |
15 |
10 |
9 |
16 |
22 |
2 |
1 |
3 |
7 |
17 |
21 |
13 |
12 |
14 |
19 |
6 |
5 |
20 |
8 |
|
21 |
12 |
5 |
19 |
16 |
11 |
10 |
17 |
22 |
3 |
2 |
4 |
8 |
18 |
1 |
14 |
13 |
15 |
20 |
7 |
6 |
9 |
|
7 |
1 |
13 |
6 |
20 |
17 |
12 |
11 |
18 |
22 |
4 |
3 |
5 |
9 |
19 |
2 |
15 |
14 |
16 |
21 |
8 |
10 |
|
9 |
8 |
2 |
14 |
7 |
21 |
18 |
13 |
12 |
19 |
22 |
5 |
4 |
6 |
10 |
20 |
3 |
16 |
15 |
17 |
1 |
11 |
|
2 |
10 |
9 |
3 |
15 |
8 |
1 |
19 |
14 |
13 |
20 |
22 |
6 |
5 |
7 |
11 |
21 |
4 |
17 |
16 |
18 |
12 |
|
19 |
3 |
11 |
10 |
4 |
16 |
9 |
2 |
20 |
15 |
14 |
21 |
22 |
7 |
6 |
8 |
12 |
1 |
5 |
18 |
17 |
13 |
|
18 |
20 |
4 |
12 |
11 |
5 |
17 |
10 |
3 |
21 |
16 |
15 |
1 |
22 |
8 |
7 |
9 |
13 |
2 |
6 |
19 |
14 |
|
20 |
19 |
21 |
5 |
13 |
12 |
6 |
18 |
11 |
4 |
1 |
17 |
16 |
2 |
22 |
9 |
8 |
10 |
14 |
3 |
7 |
15 |
|
8 |
21 |
20 |
1 |
6 |
14 |
13 |
7 |
19 |
12 |
5 |
2 |
18 |
17 |
3 |
22 |
10 |
9 |
11 |
15 |
4 |
16 |
|
5 |
9 |
1 |
21 |
2 |
7 |
15 |
14 |
8 |
20 |
13 |
6 |
3 |
19 |
18 |
4 |
22 |
11 |
10 |
12 |
16 |
17 |
|
17 |
6 |
10 |
2 |
1 |
3 |
8 |
16 |
15 |
9 |
21 |
14 |
7 |
4 |
20 |
19 |
5 |
22 |
12 |
11 |
13 |
18 |
|
14 |
18 |
7 |
11 |
3 |
2 |
4 |
9 |
17 |
16 |
10 |
1 |
15 |
8 |
5 |
21 |
20 |
6 |
22 |
13 |
12 |
19 |
|
13 |
15 |
19 |
8 |
12 |
4 |
3 |
5 |
10 |
18 |
17 |
11 |
2 |
16 |
9 |
6 |
1 |
21 |
7 |
22 |
14 |
20 |
|
15 |
14 |
16 |
20 |
9 |
13 |
5 |
4 |
6 |
11 |
19 |
18 |
12 |
3 |
17 |
10 |
7 |
2 |
1 |
8 |
22 |
21 |
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
Рис. 3
Третий латинский квадрат
|
6 |
9 |
4 |
18 |
17 |
5 |
11 |
19 |
3 |
16 |
20 |
14 |
2 |
12 |
10 |
8 |
13 |
15 |
22 |
7 |
21 |
1 |
|
1 |
7 |
10 |
5 |
19 |
18 |
6 |
12 |
20 |
4 |
17 |
21 |
15 |
3 |
13 |
11 |
9 |
14 |
16 |
22 |
8 |
2 |
|
9 |
2 |
8 |
11 |
6 |
20 |
19 |
7 |
13 |
21 |
5 |
18 |
1 |
16 |
4 |
14 |
12 |
10 |
15 |
17 |
22 |
3 |
|
22 |
10 |
3 |
9 |
12 |
7 |
21 |
20 |
8 |
14 |
1 |
6 |
19 |
2 |
17 |
5 |
15 |
13 |
11 |
16 |
18 |
4 |
|
19 |
22 |
11 |
4 |
10 |
13 |
8 |
1 |
21 |
9 |
15 |
2 |
7 |
20 |
3 |
18 |
6 |
16 |
14 |
12 |
17 |
5 |
|
18 |
20 |
22 |
12 |
5 |
11 |
14 |
9 |
2 |
1 |
10 |
16 |
3 |
8 |
21 |
4 |
19 |
7 |
17 |
15 |
13 |
6 |
|
14 |
19 |
21 |
22 |
13 |
6 |
12 |
15 |
10 |
3 |
2 |
11 |
17 |
4 |
9 |
1 |
5 |
20 |
8 |
18 |
16 |
7 |
|
17 |
15 |
20 |
1 |
22 |
14 |
7 |
13 |
16 |
11 |
4 |
3 |
12 |
18 |
5 |
10 |
2 |
6 |
21 |
9 |
19 |
8 |
|
20 |
18 |
16 |
21 |
2 |
22 |
15 |
8 |
14 |
17 |
12 |
5 |
4 |
13 |
19 |
6 |
11 |
3 |
7 |
1 |
10 |
9 |
|
11 |
21 |
19 |
17 |
1 |
3 |
22 |
16 |
9 |
15 |
18 |
13 |
6 |
5 |
14 |
20 |
7 |
12 |
4 |
8 |
2 |
10 |
|
3 |
12 |
1 |
20 |
18 |
2 |
4 |
22 |
17 |
10 |
16 |
19 |
14 |
7 |
6 |
15 |
21 |
8 |
13 |
5 |
9 |
11 |
|
10 |
4 |
13 |
2 |
21 |
19 |
3 |
5 |
22 |
18 |
11 |
17 |
20 |
15 |
8 |
7 |
16 |
1 |
9 |
14 |
6 |
12 |
|
7 |
11 |
5 |
14 |
3 |
1 |
20 |
4 |
6 |
22 |
19 |
12 |
18 |
21 |
16 |
9 |
8 |
17 |
2 |
10 |
15 |
13 |
|
16 |
8 |
12 |
6 |
15 |
4 |
2 |
21 |
5 |
7 |
22 |
20 |
13 |
19 |
1 |
17 |
10 |
9 |
18 |
3 |
11 |
14 |
|
12 |
17 |
9 |
13 |
7 |
16 |
5 |
3 |
1 |
6 |
8 |
22 |
21 |
14 |
20 |
2 |
18 |
11 |
10 |
19 |
4 |
15 |
|
5 |
13 |
18 |
10 |
14 |
8 |
17 |
6 |
4 |
2 |
7 |
9 |
22 |
1 |
15 |
21 |
3 |
19 |
12 |
11 |
20 |
16 |
|
21 |
6 |
14 |
19 |
11 |
15 |
9 |
18 |
7 |
5 |
3 |
8 |
10 |
22 |
2 |
16 |
1 |
4 |
20 |
13 |
12 |
17 |
|
13 |
1 |
7 |
15 |
20 |
12 |
16 |
10 |
19 |
8 |
6 |
4 |
9 |
11 |
22 |
3 |
17 |
2 |
5 |
21 |
14 |
18 |
|
15 |
14 |
2 |
8 |
16 |
21 |
13 |
17 |
11 |
20 |
9 |
7 |
5 |
10 |
12 |
22 |
4 |
18 |
3 |
6 |
1 |
19 |
|
2 |
16 |
15 |
3 |
9 |
17 |
1 |
14 |
18 |
12 |
21 |
10 |
8 |
6 |
11 |
13 |
22 |
5 |
19 |
4 |
7 |
20 |
|
8 |
3 |
17 |
16 |
4 |
10 |
18 |
2 |
15 |
19 |
13 |
1 |
11 |
9 |
7 |
12 |
14 |
22 |
6 |
20 |
5 |
21 |
|
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
22 |
Рис. 4
Построив латинские квадраты этой группы, с удивлением обнаружила, что они отличаются от тех латинских квадратов, которые приводятся в статье и были показаны мной ранее. Предлагается проверить изоморфность этих групп.
Напомню читателям, что в одной из статей данного цикла показан алгоритм построения пары ОЛК 22-го порядка. Этот алгоритм применим для построения пары ОЛК любого порядка серии n = 4(mod 6).
В книге “Handbook of Combinatorial Designs” есть ещё одна квази-разностная матрица для построения группы MOLS 22-го порядка. Это группа тоже состоит из трёх латинских квадратов. Приведу цитату из книги:
“3.51 Theorem [2, 49] N(22) ≥ 3. Consider the following arrays over Z21:
|
|
|
1 |
13 |
18 |
3 |
16 |
19 |
- |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
16 |
19 |
1 |
13 |
18 |
3 |
0 |
|
|
7 |
14 |
|
|
A1 |
= |
18 |
3 |
16 |
19 |
1 |
13 |
0 |
A2 |
= |
14 |
7 |
|
|
|
|
6 |
15 |
6 |
15 |
6 |
15 |
0 |
|
|
- |
0 |
|
|
|
|
12 |
9 |
19 |
16 |
5 |
2 |
0 |
|
|
|
0 |
- |
Replace each column (a, b, c, d, e) of A1 by 3 columns (a, b, c, d, e), (16c, 16a, 16b, 16d + 7, 16e + 14), and (4b, 4c, 4a, 4d + 14, 4e + 7); then append the columns of A2. This gives a (21,5;1,1;1) quasi-difference matrix”.
Как видите, здесь квази-разностную матрицу надо формировать. Из каждого столбца матрицы A1 надо получить ещё два столбца по приведённым формулам. Затем к полученной таким образом матрице, состоящей из 21 столбца, добавить матрицу A2. Значения, получаемые по формулам, надо брать по модулю 21.
В своих построениях я увеличила все элементы полученной квази-разностной матрицы на единицу. Покажу здесь два латинских квадрата, построенные по данной квази-разностной матрице. Сначала представлю готовую квази-разностную матрицу (рис. 5).
|
2 |
16 |
2 |
14 |
7 |
14 |
19 |
5 |
5 |
4 |
11 |
11 |
17 |
17 |
10 |
20 |
20 |
13 |
- |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
17 |
17 |
10 |
20 |
20 |
13 |
2 |
16 |
2 |
14 |
7 |
14 |
19 |
5 |
5 |
4 |
11 |
11 |
1 |
- |
1 |
8 |
15 |
|
19 |
5 |
5 |
4 |
11 |
11 |
17 |
17 |
10 |
20 |
20 |
13 |
2 |
16 |
2 |
14 |
7 |
14 |
1 |
1 |
- |
15 |
8 |
|
7 |
20 |
18 |
16 |
17 |
12 |
7 |
20 |
18 |
16 |
17 |
12 |
7 |
20 |
18 |
16 |
17 |
12 |
1 |
8 |
15 |
- |
1 |
|
13 |
18 |
14 |
10 |
12 |
2 |
20 |
4 |
21 |
17 |
19 |
9 |
6 |
11 |
7 |
3 |
5 |
16 |
1 |
15 |
8 |
1 |
- |
Рис. 5
На рис. 6 показано построение первого латинского квадрата по данной матрице. В жёлтых ячейках находятся числа из матрицы. Этому латинскому квадрату соответствует строка матрицы, выделенная жёлтым цветом.
Первый латинский квадрат
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
|
1 |
22 |
20 |
4 |
9 |
14 |
19 |
3 |
15 |
13 |
18 |
2 |
7 |
12 |
17 |
8 |
6 |
11 |
16 |
21 |
5 |
10 |
1 |
|
2 |
11 |
22 |
21 |
5 |
10 |
15 |
20 |
4 |
16 |
14 |
19 |
3 |
8 |
13 |
18 |
9 |
7 |
12 |
17 |
1 |
6 |
2 |
|
3 |
7 |
12 |
22 |
1 |
6 |
11 |
16 |
21 |
5 |
17 |
15 |
20 |
4 |
9 |
14 |
19 |
10 |
8 |
13 |
18 |
2 |
3 |
|
4 |
3 |
8 |
13 |
22 |
2 |
7 |
12 |
17 |
1 |
6 |
18 |
16 |
21 |
5 |
10 |
15 |
20 |
11 |
9 |
14 |
19 |
4 |
|
5 |
20 |
4 |
9 |
14 |
22 |
3 |
8 |
13 |
18 |
2 |
7 |
19 |
17 |
1 |
6 |
11 |
16 |
21 |
12 |
10 |
15 |
5 |
|
6 |
16 |
21 |
5 |
10 |
15 |
22 |
4 |
9 |
14 |
19 |
3 |
8 |
20 |
18 |
2 |
7 |
12 |
17 |
1 |
13 |
11 |
6 |
|
7 |
12 |
17 |
1 |
6 |
11 |
16 |
22 |
5 |
10 |
15 |
20 |
4 |
9 |
21 |
19 |
3 |
8 |
13 |
18 |
2 |
14 |
7 |
|
8 |
15 |
13 |
18 |
2 |
7 |
12 |
17 |
22 |
6 |
11 |
16 |
21 |
5 |
10 |
1 |
20 |
4 |
9 |
14 |
19 |
3 |
8 |
|
9 |
4 |
16 |
14 |
19 |
3 |
8 |
13 |
18 |
22 |
7 |
12 |
17 |
1 |
6 |
11 |
2 |
21 |
5 |
10 |
15 |
20 |
9 |
|
10 |
21 |
5 |
17 |
15 |
20 |
4 |
9 |
14 |
19 |
22 |
8 |
13 |
18 |
2 |
7 |
12 |
3 |
1 |
6 |
11 |
16 |
10 |
|
11 |
17 |
1 |
6 |
18 |
16 |
21 |
5 |
10 |
15 |
20 |
22 |
9 |
14 |
19 |
3 |
8 |
13 |
4 |
2 |
7 |
12 |
11 |
|
12 |
13 |
18 |
2 |
7 |
19 |
17 |
1 |
6 |
11 |
16 |
21 |
22 |
10 |
15 |
20 |
4 |
9 |
14 |
5 |
3 |
8 |
12 |
|
13 |
9 |
14 |
19 |
3 |
8 |
20 |
18 |
2 |
7 |
12 |
17 |
1 |
22 |
11 |
16 |
21 |
5 |
10 |
15 |
6 |
4 |
13 |
|
14 |
5 |
10 |
15 |
20 |
4 |
9 |
21 |
19 |
3 |
8 |
13 |
18 |
2 |
22 |
12 |
17 |
1 |
6 |
11 |
16 |
7 |
14 |
|
15 |
8 |
6 |
11 |
16 |
21 |
5 |
10 |
1 |
20 |
4 |
9 |
14 |
19 |
3 |
22 |
13 |
18 |
2 |
7 |
12 |
17 |
15 |
|
16 |
18 |
9 |
7 |
12 |
17 |
1 |
6 |
11 |
2 |
21 |
5 |
10 |
15 |
20 |
4 |
22 |
14 |
19 |
3 |
8 |
13 |
16 |
|
17 |
14 |
19 |
10 |
8 |
13 |
18 |
2 |
7 |
12 |
3 |
1 |
6 |
11 |
16 |
21 |
5 |
22 |
15 |
20 |
4 |
9 |
17 |
|
18 |
10 |
15 |
20 |
11 |
9 |
14 |
19 |
3 |
8 |
13 |
4 |
2 |
7 |
12 |
17 |
1 |
6 |
22 |
16 |
21 |
5 |
18 |
|
19 |
6 |
11 |
16 |
21 |
12 |
10 |
15 |
20 |
4 |
9 |
14 |
5 |
3 |
8 |
13 |
18 |
2 |
7 |
22 |
17 |
1 |
19 |
|
20 |
2 |
7 |
12 |
17 |
1 |
13 |
11 |
16 |
21 |
5 |
10 |
15 |
6 |
4 |
9 |
14 |
19 |
3 |
8 |
22 |
18 |
20 |
|
21 |
19 |
3 |
8 |
13 |
18 |
2 |
14 |
12 |
17 |
1 |
6 |
11 |
16 |
7 |
5 |
10 |
15 |
20 |
4 |
9 |
22 |
21 |
|
22 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
Рис. 6
На рис. 7 показано построение второго латинского квадрата. Этому квадрату соответствует строка в квази-разностной матрице, выделенная зелёным цветом. Соответственно ячейки в латинском квадрате, содержащие числа из матрицы, имеют зелёный цвет.
Второй латинский квадрат
|
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
22 |
|
1 |
15 |
21 |
2 |
17 |
11 |
14 |
12 |
8 |
19 |
7 |
5 |
3 |
16 |
9 |
22 |
18 |
13 |
6 |
20 |
10 |
4 |
1 |
|
2 |
5 |
16 |
1 |
3 |
18 |
12 |
15 |
13 |
9 |
20 |
8 |
6 |
4 |
17 |
10 |
22 |
19 |
14 |
7 |
21 |
11 |
2 |
|
3 |
12 |
6 |
17 |
2 |
4 |
19 |
13 |
16 |
14 |
10 |
21 |
9 |
7 |
5 |
18 |
11 |
22 |
20 |
15 |
8 |
1 |
3 |
|
4 |
2 |
13 |
7 |
18 |
3 |
5 |
20 |
14 |
17 |
15 |
11 |
1 |
10 |
8 |
6 |
19 |
12 |
22 |
21 |
16 |
9 |
4 |
|
5 |
10 |
3 |
14 |
8 |
19 |
4 |
6 |
21 |
15 |
18 |
16 |
12 |
2 |
11 |
9 |
7 |
20 |
13 |
22 |
1 |
17 |
5 |
|
6 |
18 |
11 |
4 |
15 |
9 |
20 |
5 |
7 |
1 |
16 |
19 |
17 |
13 |
3 |
12 |
10 |
8 |
21 |
14 |
22 |
2 |
6 |
|
7 |
3 |
19 |
12 |
5 |
16 |
10 |
21 |
6 |
8 |
2 |
17 |
20 |
18 |
14 |
4 |
13 |
11 |
9 |
1 |
15 |
22 |
7 |
|
8 |
22 |
4 |
20 |
13 |
6 |
17 |
11 |
1 |
7 |
9 |
3 |
18 |
21 |
19 |
15 |
5 |
14 |
12 |
10 |
2 |
16 |
8 |
|
9 |
17 |
22 |
5 |
21 |
14 |
7 |
18 |
12 |
2 |
8 |
10 |
4 |
19 |
1 |
20 |
16 |
6 |
15 |
13 |
11 |
3 |
9 |
|
10 |
4 |
18 |
22 |
6 |
1 |
15 |
8 |
19 |
13 |
3 |
9 |
11 |
5 |
20 |
2 |
21 |
17 |
7 |
16 |
14 |
12 |
10 |
|
11 |
13 |
5 |
19 |
22 |
7 |
2 |
16 |
9 |
20 |
14 |
4 |
10 |
12 |
6 |
21 |
3 |
1 |
18 |
8 |
17 |
15 |
11 |
|
12 |
16 |
14 |
6 |
20 |
22 |
8 |
3 |
17 |
10 |
21 |
15 |
5 |
11 |
13 |
7 |
1 |
4 |
2 |
19 |
9 |
18 |
12 |
|
13 |
19 |
17 |
15 |
7 |
21 |
22 |
9 |
4 |
18 |
11 |
1 |
16 |
6 |
12 |
14 |
8 |
2 |
5 |
3 |
20 |
10 |
13 |
|
14 |
11 |
20 |
18 |
16 |
8 |
1 |
22 |
10 |
5 |
19 |
12 |
2 |
17 |
7 |
13 |
15 |
9 |
3 |
6 |
4 |
21 |
14 |
|
15 |
1 |
12 |
21 |
19 |
17 |
9 |
2 |
22 |
11 |
6 |
20 |
13 |
3 |
18 |
8 |
14 |
16 |
10 |
4 |
7 |
5 |
15 |
|
16 |
6 |
2 |
13 |
1 |
20 |
18 |
10 |
3 |
22 |
12 |
7 |
21 |
14 |
4 |
19 |
9 |
15 |
17 |
11 |
5 |
8 |
16 |
|
17 |
9 |
7 |
3 |
14 |
2 |
21 |
19 |
11 |
4 |
22 |
13 |
8 |
1 |
15 |
5 |
20 |
10 |
16 |
18 |
12 |
6 |
17 |
|
18 |
7 |
10 |
8 |
4 |
15 |
3 |
1 |
20 |
12 |
5 |
22 |
14 |
9 |
2 |
16 |
6 |
21 |
11 |
17 |
19 |
13 |
18 |
|
19 |
14 |
8 |
11 |
9 |
5 |
16 |
4 |
2 |
21 |
13 |
6 |
22 |
15 |
10 |
3 |
17 |
7 |
1 |
12 |
18 |
20 |
19 |
|
20 |
21 |
15 |
9 |
12 |
10 |
6 |
17 |
5 |
3 |
1 |
14 |
7 |
22 |
16 |
11 |
4 |
18 |
8 |
2 |
13 |
19 |
20 |
|
21 |
20 |
1 |
16 |
10 |
13 |
11 |
7 |
18 |
6 |
4 |
2 |
15 |
8 |
22 |
17 |
12 |
5 |
19 |
9 |
3 |
14 |
21 |
|
22 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
22 |
Рис. 7
Третий латинский квадрат данной группы MOLS 22-го порядка предлагаю построить читателям. Этому квадрату соответствует оранжевая строка в квази-разностной матрице (рис. 5).
26 – 27 февраля 2009 г.
г. Саратов.
Скачайте электронные книги:
“Волшебный мир магических квадратов”:
http://narod.ru/disk/5834353000/Magic_squares.pdf.html
“Позиционные системы счисления”
http://narod.ru/disk/5936760000/pozic4.pdf.html
Пишите мне!
На главную страницу
