Н. Макарова

 

О ГРУППАХ MOLS ВОСЕМНАДЦАТОГО ПОРЯДКА

 

В статье http://www.natalimak1.narod.ru/aspekty6.htm мной построена пара ОЛК 18-го порядка по алгоритму, разработанному для серии порядков n = 6k, k>1. Это интересная пара. Латинские квадраты этой пары содержат подквадраты 5-го порядка. У меня есть предположение, что к этой паре ОЛК можно добавить ещё один или два латинских квадрата, которые составят вместе с двумя имеющимися группу MOLS 18-го порядка. Надо это предположение проверить. Предлагаю читателям заняться этим прямо сейчас. А я расскажу здесь о другой группе MOLS 18-го порядка, которая состоит из трёх квадратов. Матрицу для построения этой группы я нашла в книге “Handbook of Combinatorial Designs” (издание 2007 г.; глава 3, п. 3.48). Однако мне не удалось по этой матрице построить три квадрата группы, я построила только два ортогональных квадрата. Не могу понять, как авторы строят ОА(5,18). А в конце пункта вроде бы говорится, что построен именно такой ортогональный массив.

На рис. 1 показана матрица, которая у меня получилась по описанию, данному в указанном пункте книги. По этой матрице я построила два ортогональных латинских квадрата, которые здесь приведены.

 

 

Рис. 1

 

Примечание: все элементы матрицы увеличены на единицу.

 

На рис. 2 показан первый латинский квадрат, а на рис. 3 – второй латинский квадрат. Первому квадрату соответствует жёлтая строка матрицы, а второму квадрату – оранжевая строка.

 

Первый латинский квадрат

 

 

Рис. 2

 

Второй латинский квадрат

 

 

Рис. 3

 

Посмотрите, какая интересная симметрия в этих латинских квадратах! Такая симметрия уже встречалась при разработке алгоритма для серии порядков n = 4(mod 6). Самое же главное в том, что и пара ОЛК 18-го порядка, построенная мной в указанной выше статье (по аналогичному алгоритму для серии порядков n = 6k, k>1), обладает точно такой же симметрией. Однако в построенных сейчас латинских квадратах содержатся подквадраты 4-го порядка, а в построенных мной ранее ортогональных латинских квадратах содержатся подквадраты 5-го порядка. Поскольку группа MOLS 4-го порядка состоит только из трёх квадратов, то понятно, что к построенным здесь латинским квадратам можно добавить ещё только один латинский квадрат, ортогональный каждому из построенных квадратов. Группа MOLS 5-го порядка состоит из четырёх квадратов. Это даёт основание предполагать, что построенную мной пару ОЛК можно дополнить двумя латинскими квадратами, ортогональными между собой и с каждым из имеющихся в паре квадратов. Таким образом, вполне вероятно, что существует группа MOLS 18-го порядка, состоящая из четырёх квадратов. Но даже если удастся дополнить мою пару ОЛК только одним латинским квадратом, это тоже будет замечательный результат, так как мы получим новую группу MOLS неизоморфную приведённой в указанной книге.

 

Но вернусь к построенной сейчас паре ОЛК. Понятно, что переменные x₁, x₂, x₃, x₄ могут принимать значения 15, 16, 17, 18 в любой комбинации. Очевидно и то, что эти переменные задают подквадраты 4-го порядка, которые тоже можно варьировать. При этом будут получаться новые группы MOLS неизоморфные приведённой группе.

Присваиваю конкретные значения переменным: x₁ = 15, x₂ = 16, x₃ = 17, x₄ = 18. На рис. 4 – 5 изображены оба латинских квадрата при таких значениях переменных.

 

Первый латинский квадрат

 

 

Рис. 4

 

Второй латинский квадрат

 

 

Рис. 5

 

В каждом из этих латинских квадратов только одна диагональ является неправильной, то есть сумма чисел в этой диагонали не равна сумме чисел в строках и в столбцах квадрата. Кроме того, здесь мы имеем случай, когда неправильные диагонали в обоих квадратах совершенно одинаковые, то есть состоят из одинаковых наборов чисел. Поэтому для исправления обоих квадратов применяется одна и та же трансформация тождественной перестановки чисел, а именно: выполняется всего одна взаимозамена: 10 à 15, 15 à 10. На рис. 6 – 7 вы видите оба преобразованных латинских квадрата.

 

Первый преобразованный латинский квадрат

 

 

Рис. 6

 

Второй преобразованный латинский квадрат

 

 

Рис. 7

 

Расскажу, каким образом подбирается нужная трансформация тождественной перестановки чисел. Всё делается очень просто. Выписываем неправильную диагональ:

 

3  14  6  3  10  14  18  16  13  2  6  3  7  18  12  8  6  7

 

Сумма чисел в строках и в столбцах латинских квадратов равна 171. Сумма чисел в неправильной диагонали равна 166. Очевидно, что если мы заменим число 10 на число 15, то нужная сумма чисел в этой диагонали будет получена. Вот и всё определено. Разумеется, чтобы во всём квадрате все суммы сохранились, надо сделать и взаимную замену: заменить число 15 на число 10. Точно так я действовала во всех случаях подбора нужной трансформации тождественной перестановки чисел. Конечно, в более сложных случаях и для больших порядков этот способ будет не эффективен. Тогда надо составить программу для нахождения нужной трансформации. Работая с латинскими квадратами 22-го порядка, я составила такую программу. Однако программа выполняется очень долго на языке QBASIC, поэтому нужные трансформации я тоже нашла подбором.

 

Итак, мы имеем пару ортогональных классических латинских квадратов, каждый из которых является нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 171. Из этой пары ОЛК можно построить два магических квадрата, меняя латинские квадраты местами в формуле для построения магического квадрата. Эти магические квадраты вы видите на рис. 8 - 9.

 

 

Рис. 8

 

 

Рис. 9

 

В квадратах выделена начальная цепочка. Заметьте, как в магических квадратах отразилась симметрия латинских квадратов.

 

Примечание: читатели, наверное, уже достаточно хорошо знают формулу для построения магического квадрата из пары ортогональных латинских квадратов. Отмечу, что в стандартной формуле предполагается, что латинские квадраты заполнены числами от 0 до n - 1. Поэтому при построении магических квадратов из приведённых здесь латинских квадратов, заполненных числами от 1 до n, надо или привести эти квадраты к традиционной форме записи, или немного изменить формулу для построения магического квадрата, а именно:

 

c_ij = n*(a_ij -1) + b_ij

 

Стандартная формула для построения магического квадрата имеет вид:

 

c_ij = n*a_ij  + b_ij + 1.

 

***

 

На форуме http://dxdy.ru/topic12959.html пришла подсказка, как построить третий латинский квадрат рассмотренной здесь группы MOLS 18-го порядка.

Предлагается достроить матрицу, по которой выполняется построение, следующим образом (рис. 10):

 

 

Рис. 10

 

Показываю третий латинский квадрат (рис. 11), которому в матрице соответствует строка розового цвета.

 

Третий латинский квадрат

 

 

Рис. 11

 

В этом латинском квадрате также есть интересная симметрия, но она отличается от симметрии в двух первых квадратах. Конечно, тоже присутствует подквадрат 4-го порядка, который ортогонален подквадратам 4-го порядка, содержащимся в двух первых латинских квадратах этой группы.

На рис. 12 показан этот латинский квадрат  с конкретными значениями переменных (значения переменных те же самые, что и в двух первых квадратах).

 

 

Рис. 12

 

А теперь покажу другую группу MOLS 18-го порядка из трёх квадратов, аналогичную построенной группе, но неизоморфную ей. Для этого возьмём другую группу MOLS 4-го порядка. На рис. 13 вы видите ту группу MOLS 4-го порядка, которая использована в построенной группе.

 

 

Рис. 13

 

Возьмём теперь следующую группу MOLS 4-го порядка (рис. 14):

 

 

Рис. 14

 

Последние квадраты в этих двух группах совпадают, но это неизоморфные группы. Покажу теперь первый и второй латинские квадраты 18-го порядка (рис. 15 – 16), содержащие подквадраты 4-го порядка из группы, изображённой на рис. 14. Понятно, что третий латинский квадрат не будет отличаться от построенного в предыдущей группе квадрата, так как подквадраты 4-го порядка в них одинаковые. Значения переменных не изменяются.

 

Первый латинский квадрат

 

 

Рис. 15

 

Второй латинский квадрат

 

 

Рис. 16

 

В заключение покажу преобразование третьего латинского квадрата, превращающее его в нетрадиционный магический квадрат. В этом квадрате в одной из диагоналей все элементы одинаковы. Это самый сложный случай. Очевидно, что никакая замена элементов этой диагонали на любые другие элементы не может дать в этой диагонали сумму чисел равную 171. Поэтому прежде чем выполнять преобразование трансформации тождественной перестановки чисел переставим два столбца в этом латинском квадрате – первый с четырнадцатым (считая слева). Полученный в результате этого латинский квадрат изображён на рис. 17.

 

 

Рис. 17

 

Теперь применяю к полученному квадрату преобразование трансформации тождественной перестановки чисел: 10 à 15, 15 à 10, 2 à 18, 18 à 2, 9 à17, 17 à9. В результате этого преобразования исправлена одна диагональ квадрата. Полученный квадрат изображён на рис. 18.

 

 

Рис. 18

 

Теперь применим к полученному квадрату ещё раз преобразование трансформации тождественной перестановки чисел для исправления второй диагонали.  Выполним такие замены: 6 à14, 14 à 6, 17 à18, 18 à17. Окончательно преобразованный третий латинский квадрат вы видите на рис. 19.

 

Преобразованный третий латинский квадрат

 

 

Рис. 19

 

Возьмём в пару с третьим латинским квадратом первый латинский квадрат (рис. 4). Его тоже надо преобразовать. При этом надо начать с того, что точно так же переставить в этом квадрате столбцы, как мы сделали это в третьем квадрате, иначе нарушится ортогональность этих квадратов. Первый латинский квадрат с переставленными столбцами изображён на рис. 20.

 

 

Рис. 20

 

В полученном латинском квадрате первую диагональ исправляем взаимозаменой: 10 à14, 14 à10, а вторую диагональ – взаимозаменой 2 à 14, 14 à 2. Преобразованный первый латинский квадрат изображён на рис. 21.

 

Преобразованный первый латинский квадрат

 

 

Рис. 21

 

Получена пара ОЛК, в которой каждый латинский квадрат является нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 171. Из этой пары можно строить магические квадраты. На рис. 22 показан один из магических квадратов, построенный из данной пары ОЛК.

 

 

Рис. 22

 

По привычке выделяю в квадрате начальную цепочку.

 

 

1 - 3 марта 2009 г.

г. Саратов

 

Скачайте электронные книги:

 

“Волшебный мир магических квадратов” http://narod.ru/disk/5834353000/Magic_squares.pdf.html

 

“Позиционные системы счисления” http://narod.ru/disk/5936760000/pozic4.pdf.html

 

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу