Н. Макарова

 

МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ ПЯТОГО ПОРЯДКА ИЗ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ

 

 

В предыдущей статье “Магические квадраты четвёртого порядка из последовательных простых чисел” я показала магические квадраты 4-го порядка, построенные из последовательных простых чисел. Теперь покажу квадраты 5-го порядка из последовательных простых чисел. Чтобы из массива,  состоящего из 25 последовательных простых чисел, можно было составить магический квадрат 5-го порядка, необходимо, чтобы сумма всех чисел массива была кратна 5,  а предполагаемая магическая константа была нечётной. Массивы, удовлетворяющие этому условию, будем называть потенциальными массивами.

Понятно, что не из каждого потенциального массива можно составить магический квадрат. Для проверки потенциального массива я использую свою программу построения магических квадратов 5-го порядка из 25 чисел заданного массива; в этой программе реализована общая формула для магических квадратов 5-го порядка (см. статью “Общие формулы магических квадратов”). Поскольку построить все квадраты из данного массива чисел сложно (много времени надо), я в своей программе заложила работу до первого найденного магического квадрата.

 

Начну с наименьшего квадрата 5-го порядка. Этот квадрат уже хорошо известен. Его можно найти в последовательности A073520 в OEIS. Массив последовательных простых чисел для этого квадрата такой: 13, 17, …, 113. Магическая константа квадрата равна 313. Квадратов в этой группе более 28000 (с учётом основных преобразований). На рис. 1 представлен первый квадрат, выданный моей программой.

 

 

Рис. 1

 

Теперь представлю таблицу со всеми потенциальными массивами. В этой таблице указано, из каких массивов магические квадраты составляются. Только для двух массивов я выполнила программу до конца, для этих массивов указано точное количество магических квадратов.

 

 

 

Интересное чередование массивов, складывающихся и не складывающихся в магические квадраты.

Я проверила 50 потенциальных массива. Из 50 потенциальных массивов магические квадраты составились из 32. Предлагаю читателям продолжить проверку и дополнить эту таблицу.

 

Теперь покажу по одному квадрату для каждого массива чисел, дающего магические квадраты.

 

Массив № 2:

59  61  67  71  73  79  83  89  97  101  103  107  109  113  127  131  137  139  149  151  157  163  167  173  179

 

 

Рис. 2

 

Массив № 3:

                        79  83  89  97  101  103  107  109  113  127  131  137  139  149  151  157  163  167  173  179  181  191  193  197  199

 

 

Рис. 3

 

 

Массив № 4:

97  101  103  107  109  113  127  131  137  139  149  151  157  163  167  173  179  181  191  193  197  199  211  223  227

                       

 

 

Рис. 4

 

Массив № 5:

107  109  113  127  131  137  139  149  151  157  163  167  173  179  181  191  193  197  199  211  223  227  229  233  239

                       

 

 

Рис. 5

 

Массив № 6:

127  131  137  139  149  151  157  163  167  173  179  181  191  193  197  199  211  223  227  229  233  239  241  251  257

 

                       

 

 

Рис. 6

 

Массив № 7:

157  163  167  173  179  181  191  193  197  199  211  223  227  229  233  239  241  251  257  263  269  271  277  281  283

                       

 

 

Рис. 7

 

Массив № 10:

269  271  277  281  283  293  307  311  313  317  331  337  347  349  353  359  367  373  379  383  389  397  401  409  419

                       

 

 

Рис. 8

 

Массив № 11:

337  347  349  353  359  367  373  379  383  389  397  401  409  419  421  431  433  439  443  449  457  461  463  467  479

                       

 

 

Рис. 9

Массив № 12:

347  349  353  359  367  373  379  383  389  397  401  409  419  421  431  433  439  443  449  457  461  463  467  479  487

                       

 

 

Рис. 10

 

Массив № 14:

439  443  449  457  461  463  467  479  487  491  499  503  509  521  523  541  547  557  563  569  571  577  587  593  599

                       

 

 

Рис. 11

 

Массив № 15:

457  461  463  467  479  487  491  499  503  509  521  523  541  547  557  563  569  571  577  587  593  599  601  607  613

 

                       

 

 

Рис. 12

 

Массив № 17:

479  487  491  499  503  509  521  523  541  547  557  563  569  571  577  587  593  599  601  607  613  617  619  631  641

 

                       

 

 

Рис. 13

 

Массив № 18:

563  569  571  577  587  593  599  601  607  613  617  619  631  641  643  647  653  659  661  673  677  683  691  701  709

 

 

Рис. 14

 

Массив № 19:

601  607  613  617  619  631  641  643  647  653  659  661  673  677  683  691  701  709  719  727  733  739  743  751  757

 

 

Рис. 15

 

Массив № 21:

631  641  643  647  653  659  661  673  677  683  691  701  709  719  727  733  739  743  751  757  761  769  773  787  797

 

 

Рис. 16

 

 

Массив № 23:

719  727  733  739  743  751  757  761  769  773  787  797  809  811  821  823  827  829  839  853  857  859  863  877  881

 

 

Рис. 17

 

Массив № 24:

743  751  757  761  769  773  787  797  809  811  821  823  827  829  839  853  857  859  863  877  881  883  887  907  911

 

 

Рис. 18

 

Массив № 27:

883  887  907  911  919  929  937  941  947  953  967  971  977  983  991  997  1009  1013  1019  1021  1031  1033  1039  1049  1051

 

 

Рис. 19

 

Массив № 28:

947  953  967  971  977  983  991  997  1009  1013  1019  1021  1031  1033  1039  1049  1051  1061  1063  1069  1087  1091  1093  1097  1103

 

 

Рис. 20

 

Массив № 31:

1021  1031  1033  1039  1049  1051  1061  1063  1069  1087  1091  1093  1097  1103  1109  1117  1123  1129  1151  1153  1163  1171  1181  1187  1193

 

 

Рис. 21

 

Массив № 32:

1031  1033  1039  1049  1051  1061  1063  1069  1087  1091  1093  1097  1103  1109  1117  1123  1129  1151  1153  1163  1171  1181  1187  1193  1201

 

 

Рис. 22

 

Массив № 33:

1049  1051  1061  1063  1069  1087  1091  1093  1097  1103  1109  1117  1123  1129  1151  1153  1163  1171  1181  1187  1193  1201  1213  1217  1223

 

 

Рис. 23

 

Массив № 34:

1051  1061  1063  1069  1087  1091  1093  1097  1103  1109  1117  1123  1129  1151  1153  1163  1171  1181  1187  1193  1201  1213  1217  1223  1229

 

 

Рис. 24

 

Массив № 35:

1061  1063  1069  1087  1091  1093  1097  1103  1109  1117  1123  1129  1151  1153  1163  1171  1181  1187  1193  1201  1213  1217  1223  1229  1231

 

 

Рис. 25

 

Массив № 36:

1093  1097  1103  1109  1117  1123  1129  1151  1153  1163  1171  1181  1187  1193  1201  1213  1217  1223  1229  1231  1237  1249  1259  1277  1279

 

 

Рис. 26

 

Массив № 38:

1109  1117  1123  1129  1151  1153  1163  1171  1181  1187  1193  1201  1213  1217  1223  1229  1231  1237  1249  1259  1277  1279  1283  1289  1291

 

 

Рис. 27

 

Массив № 40:

1171  1181  1187  1193  1201  1213  1217  1223  1229  1231  1237  1249  1259  1277  1279  1283  1289  1291  1297  1301  1303  1307  1319  1321  1327

 

 

Рис. 28

 

Массив № 42:

1201  1213  1217  1223  1229  1231  1237  1249  1259  1277  1279  1283  1289  1291  1297  1301  1303  1307  1319  1321  1327  1361  1367  1373  1381

 

 

Рис. 29

 

Массив № 43:

1223  1229  1231  1237  1249  1259  1277  1279  1283  1289  1291  1297  1301  1303  1307  1319  1321  1327  1361  1367  1373  1381  1399  1409  1423

 

 

Рис. 30

 

Массив № 47:

1499  1511  1523  1531  1543  1549  1553  1559  1567  1571  1579  1583  1597  1601  1607  1609  1613  1619  1621  1627  1637  1657  1663  1667  1669

 

 

Рис. 31

 

Массив № 48:

1523  1531  1543  1549  1553  1559  1567  1571  1579  1583  1597  1601  1607  1609  1613  1619  1621  1627  1637  1657  1663  1667  1669  1693  1697

 

 

Рис. 32

 

Покажу первые 5 оригинальных (не эквивалентных) наименьших магических квадратов из последовательных простых чисел, которые выдаёт моя программа:

 

№ 1                                        № 2                                        № 3

13  17  61  113  109               13  17  61  113  109               13  17  61  113  109  

107  59  97  19  31                 103  79  67  23  41                 31  103  67  23  89  

103  53  79  37  41                 107  73  31  59  43                 101  83  47  29  53  

            67  83  47  73  43                   37  97  71  89  19                   71  37  79  107  19

            23  101  29  71  89                 53  47  83  29  101                 97  73  59  41  43

 

№ 4                                        № 5

            13  17  61  113  109              13  17  61  113  109

            67  73  107  23  43                 73  103  71  23  43

            53  103  79  47  31                 101  67  97  29  19 

            97  19  37  89  71                   89  47  53  41  83 

            83  101  29  41  59                 37  79  31  107  59

 

Один из участников форума dxdy.ru (ник svb) реализовал мою общую формулу для магических квадратов 5-го порядка на языке Паскаль. Его программа работает значительно быстрее, чем моя программа на Бейсике.

Желающие могут сделать свои программы на других языках программирования.

Кстати, на форуме обсуждался вопрос, как сделать реализацию этой общей формулы более эффективной.

 

Итак, последовательность магических констант магических квадратов 5-го порядка из последовательных простых чисел имеет следующий вид:

 

313, 577, 703, 785, 865, 949, 1111, 1703, 2041, 2071, 2579, 2677, 2809, 3157, 3379, 3545, 4001, 4135, 4873, 5143, 5513, 5549, 5659,  5695, 5731, 5917, 6031, 6277, 6427, 6547, 7951, 8027.

 

Здесь 32 константы. Думаю, что последовательность может быть продолжена, просто надо проверить следующие потенциальные массивы и найти новые магические квадраты. Предлагаю читателям сделать это.

Неплохо было бы получить из каждого массива все квадраты и указать в приведённой в начале статьи таблице количество квадратов. Это можно будет сделать по программе, написанной на языке с хорошим быстродействием. Например, программа на Паскале, как я уже сказала, работает быстрее, чем программа на Бейсике. А программы Стефана (Stefano Tognon) работают быстрее, чем программы на Паскале. К сожалению, не знаю, на каком языке он пишет программы.

Напомню, что моя программа для построения магических квадратов 5-го порядка приведена в статье “Общие формулы магических квадратов”:

 

http://www.natalimak1.narod.ru/formul.htm

 

Я планирую написать статью в OEIS о данной последовательности.

 

Далее у меня в планах статья о магических квадратах 6-го порядка из последовательных простых чисел. Статья будет здесь:

 

http://www.natalimak1.narod.ru/mk6pr.htm

 

 

18 апреля 2010 г.

г. Саратов

 

Читайте мою книгу “Волшебный мир магических квадратов”

 

http://narod.ru/disk/5834353000/Magic_squares.pdf.html

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу