Н. Макарова

 

НАИМЕНЬШИЕ МАГИЧЕСКИЕ КВАДРАТЫ ИЗ ЧИСЕЛ СМИТА

 

 

Данная страница является продолжением страницы

http://www.natalimak1.narod.ru/minsmit.htm

 

 

Построение наименьших магических квадратов из чисел Смита выполнялось долго. В этом мне много помогли участники форума dxdy.ru. На момент написания статьи не найдены наименьшие магические квадраты порядков 7 – 9 из смитов.

 

Наименьшие магические квадраты 3-го и 4-го порядков из смитов уже были показаны в статье “Нетрадиционные магические квадраты из чисел Смита”. Поэтому здесь я начну представлять квадраты, начиная с порядка 5. Наименьший квадрат 5-го порядка построен совсем недавно участником форума (ник 12d3). Магическая константа этого квадрата равна 1636. Квадрат изображён на рис. 1.

 

 

Рис. 1

 

Названный участник форума разработал свои программы для построения магических квадратов порядков 5 и 6 из смитов. Дело в том, что замечательные программы Stefano Tognon не дали результатов для квадратов порядков меньше 11 из смитов. Пришлось искать новые идеи и схемы. Я представила на форуме свой алгоритм построения квадратов порядков 5 – 6 из смитов, но этот алгоритм пока никто не реализовал.

 

Для построения показанного наименьшего квадрата 5-го порядка массив смитов сформирован следующим образом: сначала, как всегда, берём массив первых 25 смитов: 4, 22, …, 562, 576, затем заменяем в этом исходном массиве числа 438, 483 и 562 на числа 648, 706 и 729. Это уже хорошо известный читателям по квадратам из простых чисел приём формирования массива.

 

По программе участника 12d3 построен и наименьший магический квадрат 6-го порядка. Массив для построения этого квадрата сформирован так: в исходном массиве, состоящем из первых 36 смитов (4, 22, …, 690, 706), заменить числа 690 и 706 на числа 729 и 762. Магическая константа квадрата равна 2472. Этот квадрат вы видите на рис. 2.

 

 

Рис. 2

 

Квадраты порядков 7 – 9, как уже сказано выше, пока не удалось построить. Покажу теоретически предполагаемые массивы смитов для квадратов данных порядков с минимальной магической константой.

 

n = 7

Исходный массив смитов: 4, 22, …, 958, 985, но заменить число 913 на  число 1086. Магическая константа равна 3719.

 

n = 8

Исходный массив смитов: 4, 22, …, 1642, 1678, но заменить число 1642 на число 1736. Магическая константа равна 5856.

 

n = 9

Исходный массив смитов: 4, 22, …, 1962, 1966, но заменить число 1966 на число 2067. Магическая константа равна 8737.

 

Для порядка 9 я сгенерировала очень много полумагических квадратов в надежде получить магический квадрат тем же способом, каким это удалось сделать для квадрата порядка 10 (см. далее). Но, увы! Получаются даже такие полумагические квадраты, в которых нет магической суммы только в одной диагонали. Один из таких полумагических квадратов показан на рис. 3.

 

 

Рис. 3

 

Очень интересно узнать, существует ли магический квадрат из данного массива смитов, или только полумагические, “хромые” на одну диагональ.

 

Магический квадрат 10-го порядка доставил немало хлопот.

Покажу формирование массива смитов для этого квадрата. Исходный массив смитов: 4, 22, …, 2475, 2484, но заменить число 2475 на число 2583. Магическая константа равна 12202.

 

Сначала я пыталась построить магический квадрат 10-го порядка по своей программе (напомню, что мне удалось построить по своей программе магический квадрат 10-го порядка из последовательных смитов, правда, не наименьший). Результат не был получен. Не дала результата и программа Стефана. Но по моей программе получалось очень много полумагических квадратов. Тогда по моей просьбе Стефано сделал программку, которая превращала полумагические квадраты в магические, если такое превращение возможно. По этой программе были обработаны 202 полумагические квадрата, полученные мной по своей программе. Из 202 полумагических квадратов были получены 9 магических квадратов. Среди них есть одинаковые квадраты, а также такие, которые отличаются друг от друга переставленными строками. Покажу два различных магических квадрата:

 

648  166  355  2362 27   1284 627  2038 2409 2286

1736 588  2218 1255 922  1626 1111 1908 636  202 

861  1903 517  1086 1935 2366 382  762  438  1952

1449 1921 1822 1642 483  4    2326 666  94   1795

778  562  2461 576  1966 1872 391  958  2373 265 

2484 913  706  2173 645  654  852  1881 1165 729 

2155 535  2079 1962 1678 319  1894 663  22   895 

1219 2265 85   454  121  915  1776 2227 1507 1633

526  1282 378  58   2583 2434 985  825  1376 1755

346  2067 1581 634  1842 728  1858 274  2182 690 

 

852  1633 121  1903 166  1642 576  1908 1952 1449

1581 1376 1894 2173 1086 526  382  1842 517  825 

2079 2326 94   483  265  2583 1282 913  355  1822

4    22   378  454  1255 1507 1935 2067 2218 2362

654  2461 2155 861  1678 636  663  588  1872 634 

2182 627  391  274  1755 2484 1111 562  1921 895 

438  645  985  1626 706  535  2434 1776 2409 648 

2366 1219 1881 319  2227 85   1795 666  729  915 

1284 728  2038 1736 778  1858 1966 922  202  690 

762  1165 2265 2373 2286 346  58   958  27   1962

 

Вот такой результат нашего сотрудничества со Стефаном.

А квадраты следующих порядков прекрасно построились по программам Стефана. Мне осталось показать эти магические квадраты. Для всех квадратов приведено формирование массива смитов, из которого они составлены. Для некоторых порядков найдено несколько вариантов массива.

 

n = 11

 

Исходный массив чисел: 4, 22, …, 2958, 2964.

Здесь есть два варианта массива: 1) заменить число 2944 на число 2970 и число 2964 на 2974; 2) заменить число 2934 на число 2970. Магическая константа равна 16335.

 

Наименьший магический квадрат 11-го порядка для первого варианта массива:

 

ORDER=11  MAGIC=16335

 

1086 2839 958  535  1165 1449 1633 2911 2409 762  588 

1908 915  526  2373 666  778  346  2605 1755 2785 1678

2556 27   1642 2722 1872 985  1376 2745 1282 483  645 

1111 825  728  627  378  2326 2182 1822 2751 2366 1219

2434 2079 654  2958 1966 1921 562  454  1776 636  895 

913  2265 2484 1284 1952 1736 265  22   663  2578 2173

2218 58   1935 634  1255 1962 2679 94   2286 852  2362

391  729  2475 85   1507 2974 2461 202  1903 706  2902

861  2576 1842 2614 2888 4    517  2155 690  2067 121 

274  1795 2515 922  648  319  1626 2970 438  2934 1894

2583 2227 576  1581 2038 1881 2688 355  382  166  1858

 

Наименьший магический квадрат 11-го порядка для второго варианта массива:

 

ORDER=11  MAGIC=16335

 

1935 2484 915  2902 1626 2286 265  1921 690  648  663 

2182 27   1903 2409 346  1755 1881 202  2751 985  1894

2173 4    1822 121  2578 1633 654  2218 517  1776 2839

2515 2556 913  1284 576  1962 562  274  2155 1165 2373

2067 1255 634  2964 22   94   2722 1449 2362 2038 728 

588  1966 1642 526  58   2614 2679 2785 355  2227 895 

645  762  1581 2366 2475 2461 706  861  1795 825  1858

1952 778  2265 2079 2888 85   2944 958  378  1842 166 

922  2434 319  666  2583 391  2688 1219 2970 636  1507

627  2958 1736 483  438  1678 852  1872 454  2911 2326

729  1111 2605 535  2745 1376 382  2576 1908 1282 1086

 

n = 12

 

Исходный массив чисел: 4, 22, …, 3649, 3663, но заменить число 3649 на число 3690. Магическая константа равна 21333.

 

ORDER=12  MAGIC=21333

 

382  663  2173 1894 2751 1626 2227 2614 2373 1219 2745 666 

22   2964 3246 4    654  1633 2974 3138 2182 636  2038 1842

861  2576 1507 2409 2067 202  3345 3390 729  2434 1755 58  

1449 3595 1282 2902 648  3168 1822 588  762  2475 1952 690 

3226 2578 3046 517  1086 922  1795 2679 391  346  2785 1962

2944 1966 706  2958 3258 2556 2326 94   2839 355  1165 166 

728  1908 2461 2911 1284 2366 627  1903 1111 3564 535  1935

3663 121  454  562  3442 2218 274  1376 1642 2155 1736 3690

985  2965 2688 3091 645  1581 1921 27   2722 913  2970 825 

3505 895  319  958  378  1881 265  2888 2484 1776 2362 3622

2934 576  3366 1255 2515 915  2079 778  483  2286 852  3294

634  526  85   1872 2605 2265 1678 1858 3615 3174 438  2583

 

n = 13

 

Исходный массив чисел: 4, 22, …, 4464, 4472, но заменить число 4428 на число 4594. Магическая константа равна 27612.

 

ORDER=13  MAGIC=27612

 

2067 2366 588  2911 2970 2751 454  1642 2461 562  382  3864 4594

3390 319  3694 1962 2182 2286 2038 1842 1165 2944 22   2173 3595

265  915  1282 1858 2362 2409 2888 2475 346  4369 3930 2434 2079

483  3505 706  2934 3345 58   4126 1894 3663 728  895  3649 1626

202  690  2839 2964 3174 1507 2902 3690 3946 3091 1755 27   825 

985  3622 4414 1255 438  1376 627  2265 2326 2218 3366 535  4185

4209 4198 2722 166  1086 958  4054 121  2688 2155 1872 778  2605

4162 2556 4464 4173 1795 913  762  4    2745 1219 3564 729  526 

1736 2227 1284 1678 94   3046 517  2965 1908 3258 2515 3138 3246

4189 355  391  2679 3865 3168 1881 654  576  3442 3852 1449 1111

3226 2578 648  2484 1935 2373 1822 1952 1633 2974 852  4472 663 

1776 666  2614 1903 2785 4191 2583 4306 861  378  634  4279 636 

922  3615 1966 645  1581 2576 2958 3802 3294 274  3973 85   1921

 

n = 14

 

Исходный массив чисел: 4, 22, …, 5269, 5298.

Здесь возможны два варианта массива: 1) заменить число 5242 на число 5386 и число 5298 на число 5305; 2)  заменить число 5253 на число 5397 и 5298 на число 5305. Магическая константа равна 35185.

 

Наименьший магический квадрат 14-го порядка для первого варианта массива:

 

ORDER=14  MAGIC=35185

 

202  2688 2902 663  4    2461 3615 729  5172 2038 4880 3930 5253 648 

2958 861  517  535  2944 4592 1822 3442 1633 4788 3564 3046 2265 2218

3258 3345 2888 5386 3663 166  121  852  1642 3865 3595 2373 526  3505

3852 922  3622 2286 4794 4185 958  3973 1255 4464 1795 1872 562  645 

4557 1952 346  4959 4702 22   4472 2515 728  1678 2614 2409 2605 1626

634  483  2679 5305 4974 2970 2839 4832 1376 3649 1881 985  94   2484

2227 5088 4209 3946 454  1165 3138 85   3294 2475 778  4198 3366 762 

666  4765 3802 913  1755 1449 4369 4981 2182 2556 1219 355  1894 4279

5098 3690 1581 1284 2965 2434 274  627  1111 2578 3694 5269 4189 391 

1966 2067 3864 3174 2964 4414 1908 576  2722 27   2576 2326 2173 4428

2583 915  2366 4954 438  4126 895  4054 4162 654  1935 4306 3091 706 

1842 2079 690  825  2155 1282 4173 2362 5071 265  3226 1776 4191 5248

382  4594 2745 319  588  2751 1858 2911 1903 5062 1921 378  4918 4855

4960 1736 2974 636  2785 3168 4743 3246 2934 1086 1507 1962 58   3390

 

Наименьший магический квадрат 14-го порядка для второго варианта массива:

 

ORDER=14  MAGIC=35185

 

94   5062 645  1755 4173 666  5305 1962 5248 355  4472 706  1903 2839

2785 166  4557 1111 1966 5269 4191 535  1881 4832 3226 3442 588  636 

3615 3246 2326 1449 2958 4    861  2965 4765 2934 2679 1284 1219 4880

2434 2173 1894 2366 2265 2515 627  4954 2583 3046 5242 1626 2475 985 

1935 4959 4126 3294 391  852  1952 654  762  690  913  4279 5397 4981

2484 3390 562  4162 1507 728  517  4702 1872 3930 4054 4974 2218 85  

3595 663  3694 5088 3258 3138 2362 4743 483  2576 27   2067 1858 1633

3663 2688 2409 1736 2155 5172 3366 3864 4918 454  2745 274  1165 576 

2286 3174 4464 3622 4306 346  2970 378  1282 3973 2751 958  3946 729 

4960 2182 648  1581 4592 3852 3505 438  4794 2888 382  778  895  3690

2038 4428 2079 1822 915  2605 2902 3802 1642 202  4855 2373 2578 2944

1678 121  3345 4369 3091 5098 1255 58   265  4788 526  5071 2556 2964

1776 2614 4414 922  634  3564 2461 1921 825  1795 2227 4185 4198 3649

1842 319  22   1908 2974 1376 2911 4209 3865 2722 1086 3168 4189 4594

 

n = 15

 

Исходный массив чисел: 4, 22, …, 6115, 6171, но заменить число 6115 на число 6188 и число 6171 на число 6187. Магическая константа равна 43968.

 

ORDER=15  MAGIC=43968

 

4794 1449 382  627  5539 2576 3294 1736 1376 5874 5422 3226 3973 85   3615

3138 2965 1921 6187 1903 2688 4855 5772 2484 2578 2409 1633 2614 2286 535 

2679 483  4198 2515 778  5642 3564 645  5638 1966 4126 4832 1219 729  4954

4557 4185 5062 4918 3046 1776 2475 634  2218 5305 2227 825  166  2722 3852

1165 346  1795 3663 3864 265  1111 4189 5854 2785 2839 4594 5098 3442 2958

4428 5915 5946 94   1908 562  1822 2888 3690 1962 1507 3258 6096 958  2934

391  4173 27   5248 1255 58   1282 5397 5926 3390 5386 690  2173 2970 5602

922  2605 1642 319  1952 4464 6188 3946 5269 576  5242 2067 728  4880 3168

4209 3366 5388 378  3802 2751 1284 913  3246 3174 3091 1678 202  5526 4960

5253 4191 1755 5674 2461 4702 2366 6036 274  1881 985  4592 2556 588  654 

2079 4959 666  2373 706  6084 3595 4981 663  3622 1858 4369 2434 5458 121 

4765 648  5172 2902 4743 5935 4974 2265 861  4    2038 1935 4788 2583 355 

22   2964 5088 1086 5818 454  4306 517  1842 5936 5485 2944 852  2182 4472

1872 2974 3345 4054 5298 3649 526  2155 762  4279 438  4414 5071 3505 1626

3694 2745 1581 3930 895  2362 2326 1894 3865 636  915  2911 5998 6054 4162

 

n = 16

 

Исходный массив чисел: 4, 22, …, 7051, 7062.

Здесь есть два варианта массива: 1) заменить число 7026 на число 7136; 2) заменить число 7026 на число 7068 и число 7051 на число 7119. Магическая константа равна 54013.

 

Наименьший магический квадрат 16-го порядка для первого варианта массива:

 

ORDER=16  MAGIC=54013

 

5248 4472 2958 5935 5926 3138 2484 94   1894 648  2475 1219 1842 5772 4306 5602

636  5062 2173 4189 6385 588  4198 1642 121  7051 4855 2970 6585 4173 2722 663 

6178 6084 3946 526  778  6187 1633 958  6344 5386 391  922  5485 2155 6188 852 

6981 202  1376 2227 6315 3174 6603 6115 166  825  319  1822 2745 6036 3865 5242

355  6096 3649 4369 6693 1736 378  2409 5674 4414 1962 6259 2366 5305 382  1966

6760 2888 265  6252 3852 1255 2373 2583 6718 728  6835 5422 1858 913  1921 3390

645  1282 4557 3694 517  4162 2556 4880 2079 2614 6702 4960 1507 2944 5526 5388

4209 576  4428 1881 895  4464 3345 7062 4702 5638 706  1086 562  3973 4191 6295

1755 535  2434 3294 4279 6502 5253 4794 1776 2785 3690 5298 5936 22   2038 3622

3663 2902 6934 4743 4959 1284 2362 1908 58   5098 3226 5642 5539 1626 454  3615

5088 6567 4832 2911 1165 2578 5397 2751 3802 2974 861  1581 3091 6816 3595 4   

4765 654  1111 2265 729  2839 6457 5269 6054 4126 6439 27   4185 2576 6171 346 

3442 3564 5071 3864 4954 3258 1449 4788 2182 6583 2965 4918 915  438  2934 2688

634  5818 2461 985  3246 2218 5874 6880 5998 666  1678 4594 1935 3366 2679 4981

690  627  5915 4592 274  5172 3168 1795 3930 2605 4054 6531 7136 1952 2067 3505

2964 6684 1903 2286 3046 5458 483  85   2515 1872 6855 762  2326 5946 4974 5854

 

Наименьший магический квадрат 16-го порядка для второго варианта массива:

 

ORDER=16  MAGIC=54013

 

2067 1633 5936 4279 6187 3174 438  6702 2902 762  4054 2484 2286 4414 4743 1952

6684 1872 2965 6084 861  915  1507 4472 922  6855 3345 1755 6934 2964 4    5874

6880 3046 706  1581 2475 3258 6567 5242 2434 1966 729  4880 913  4855 6115 2366

4369 4428 3649 2970 5602 6585 166  4464 5915 636  3246 121  3091 5998 22   2751

202  2578 2934 319  6344 4189 5854 2888 2556 2688 4126 4191 4765 3505 1776 5098

4981 5935 3366 58   2911 6178 663  2576 5388 5526 4918 454  1284 4209 5539 27  

517  1881 5062 7119 3442 2974 6188 4557 645  2362 1858 4954 1795 3622 535  6502

5248 958  2079 562  2583 2409 2839 2326 1921 6315 6981 6718 1908 5253 3168 2745

576  5397 6439 1894 2605 2038 634  3865 4592 5458 3595 1642 6252 1935 5269 1822

648  3802 1449 6096 728  6385 3138 6171 6583 690  4173 1219 2373 1842 5422 3294

1111 346  391  2944 2515 588  5386 2227 4788 6693 4306 7062 94   4702 5088 5772

7068 6259 5305 895  5298 2461 5172 382  4185 355  274  4974 1962 2155 1626 5642

2182 3852 5946 3663 2218 378  3930 985  3615 4794 2785 3564 3973 6531 1903 3694

6835 4832 4959 6816 4198 1736 3946 666  627  2958 4594 778  6295 265  1282 3226

1255 5818 654  6054 4960 5071 825  852  6457 3690 1165 2614 4162 1678 6036 2722

3390 1376 2173 2679 1086 5674 6760 5638 483  2265 3864 6603 5926 85   5485 526 

 

n = 17

 

Исходный массив чисел: 4, 22, …, 7978, 8005, но заменить число 7978 на число 8014. Магическая константа равна 65464.

 

ORDER=17  MAGIC=65464

 

7068 2839 5818 58   7465 6531 4702 1284 6259 729  3174 1449 3864 3615 2362 2373 5874

1165 4880 4832 4306 22   5248 5388 7339 378  6344 5526 3505 1282 3852 3366 895  7136

2888 4209 6702 7287 4918 6567 535  6171 7438 2079 1795 576  1642 27   7764 4428 438 

3930 588  7402 5674 6585 483  4743 4464 2286 2583 6036 3690 6096 1086 1678 7227 913 

1962 5935 2484 4369 2173 6880 4765 6315 7195 645  2679 2751 454  6855 7051 985  1966

2461 7089 3246 7503 4    1626 7186 3390 5269 6816 627  6178 517  562  958  5098 6934

346  7249 7824 663  7026 4594 2974 391  5298 706  5926 5088 85   2218 1908 5386 7782

2745 1776 861  5458 3442 5602 3138 2155 654  4794 3168 2964 4959 7062 7627 6693 2366

2556 2227 355  6760 526  3946 6295 5305 2605 852  7695 3865 4189 7915 3046 825  6502

3564 2944 7762 2934 7078 778  2265 6439 2965 5772 319  2688 7952 2614 2326 3091 3973

1111 4054 1935 4960 5936 5915 1255 4954 1921 8014 2434 7119 94   8005 648  6187 922 

6835 4185 7784 1755 5539 5642 121  4788 166  2911 1842 6457 7447 4981 2182 762  2067

5172 690  915  2409 1507 4472 1633 666  5397 4198 6188 6583 5071 4279 4592 5638 6054

7712 1881 728  1952 3694 4414 7834 3294 3345 1581 4557 3595 7809 202  5854 2038 4974

7726 5485 3649 2578 1736 1858 6252 2475 6684 6981 2722 3258 3622 4126 1903 1894 2515

2970 4191 2902 1376 4855 274  3802 1872 6385 2785 6603 5062 6718 382  6115 5946 3226

5253 5242 265  5422 2958 634  2576 4162 1219 7674 4173 636  3663 7683 6084 5998 1822

 

n = 18

 

Исходный массив чисел: 4, 22, …, 8883, 8901, но заменить число 8864 на число 9031. Магическая константа равна 78281.

 

ORDER=18  MAGIC=78281

 

3690 6816 2079 1952 2902 7695 4743 3366 7078 58   4765 1219 1111 4880 7762 5098 7249 5818

6583 6439 517  6188 3946 1581 3174 5915 8257 5397 1903 3694 1935 8653 5305 915  3091 4788

2556 3663 483  2366 3390 355  6567 5458 3226 5874 378  6096 5526 7195 2958 4369 9031 8790

4832 1282 6531 7764 3046 1642 4960 4191 8568 7952 265  3505 6855 535  3345 6187 4594 2227

4918 958  2888 4959 6295 4189 202  2286 6344 8158 2605 6585 5642 8421 5602 1858 985  5386

7402 8874 4855 636  7287 2722 8073 3852 8196 1872 3442 6259 5539 526  6603 1842 274  27  

5998 8185 7136 2475 1449 7834 2964 7674 666  8412 2970 654  3615 7782 913  8754 166  634 

8883 4428 706  4185 4974 7465 2785 8851 3864 729  2173 2576 6702 85   5936 4981 6693 2265

8628 2911 4162 4794 6385 922  8792 690  8347 1736 2839 5248 6684 861  1086 7627 391  6178

2745 4173 5935 438  825  7227 7978 2155 1376 3865 6981 7119 5298 3168 1908 8680 5926 2484

2409 8005 7438 5854 4198 852  2434 5071 3564 4592 8307 2679 588  7726 4209 2688 4702 2965

3595 2578 7447 3258 7051 4472 8014 1165 346  663  8545 2461 7068 3622 5242 2362 7809 2583

8023 7026 382  1678 1894 8372 1962 6054 1822 2182 4    4054 3973 6760 8149 3246 5638 7062

576  4557 8466 8766 3649 5269 4126 6718 8154 1626 5062 728  7186 2038 1795 1255 7683 627 

5388 2515 1881 2974 1633 6171 2751 1507 3930 6036 6880 7824 778  6934 1776 7503 6315 5485

645  895  8077 8277 7712 5422 454  2934 1284 5946 5172 6502 2944 4414 1921 1755 5674 8253

762  4954 8736 7915 4306 319  2218 6115 121  5088 7089 7784 2373 2067 5253 6835 94   6252

648  22   562  3802 7339 5772 6084 4279 3138 8095 8901 3294 4464 2614 8518 2326 1966 6457

 

n = 19

 

Исходный массив чисел: 4, 22, …, 9708, 9717, но заменить число 9648 на число 9735. Магическая константа равна 92422.

 

ORDER=19  MAGIC=92422

 

346  852  7465 4173 9229 1908 6702 5397 3852 8014 5926 4981 7809 6259 7695 2688 762  2722 5642

5539 8277 7952 8883 2265 2751 7683 2218 1903 4592 2839 355  8149 3802 7227 4959 3930 913  8185

6084 9633 8851 4185 4855 4428 2173 3442 7195 6252 391  3973 5946 166  2038 85   4794 9386 8545

7784 8196 8864 2366 7764 2475 1755 9639 1736 6684 958  121  576  8023 3258 1633 9184 6934 4472

588  6295 6315 9285 5674 9634 1966 8790 3294 2362 8518 778  7089 2614 3694 5098 2576 4189 3663

895  2155 6188 2434 22   861  8253 1822 1894 9598 5602 3864 9301 2964 9396 2785 5818 9294 9276

5854 825  4464 4788 1962 4918 5874 3246 5088 9193 6502 8347 648  1842 8158 6835 5298 6096 2484

7068 4162 2745 663  5935 202  6439 6344 5422 4191 6816 7062 5269 7026 5936 2965 4960 6171 3046

8466 9387 1678 3564 7402 1642 1858 3690 27   1376 9522 9571 1952 9657 3865 8792 1935 535  7503

7824 2583 1284 265  3622 9036 2373 1282 9382 3595 7782 9355 4594 2605 2974 5998 5305 6178 6385

7447 4279 690  454  8736 7674 9274 8307 8154 3946 8901 645  2958 4557 985  6187 5172 1086 2970

666  7186 2227 5485 7978 9166 9735 2182 922  2888 636  9015 4702 706  4126 7834 5915 6855 4198

2679 58   7915 7249 6880 3366 3226 3390 8005 517  7726 7712 1165 5526 2515 8412 8257 4880 2944

9031 378  319  6583 9296 6585 8754 3345 3091 8421 4414 1626 274  9414 2461 94   7339 2902 8095

4306 6036 483  2578 1921 8680 3168 6567 9717 3505 1111 7287 9684 5062 9535 6457 5071 728  526 

729  6115 6718 5388 634  627  3615 8653 9483 8372 4054 1449 5638 7762 1872 4209 4743 9427 2934

9330 4832 8874 8073 2556 3649 915  4974 5248 1776 6603 8628 562  6693 654  4954 1219 9708 3174

1255 9094 6981 7438 438  6054 7078 4765 7627 4    2326 1881 9346 5458 8914 7051 2067 1507 3138

6531 2079 2409 8568 5253 8766 1581 4369 382  7136 1795 5772 6760 2286 7119 5386 8077 2911 5242

 

n = 20

 

Исходный массив чисел: 4, 22,…, 10845, 10887, но заменить число 10761 на число 11065 и число 10887 на число 10966.

 

ORDER=20  MAGIC=107932

 

1449  2785  9633  2974  7695  94    2965  7834  3366  5998  9708  5388  10786 8680  6880  2484  7402  1219  4954  5638 

3852  9386  3505  852   7089  6036  6439  2373  8077  7026  391   6934  2911  6693  9094  7339  2182  645   8372  8736 

4279  7447  654   6457  10806 8257  2362  4173  6981  4472  3865  2583  319   4054  8158  7051  6178  8874  10296 666  

8545  7249  9742  2614  8883  202   1908  1633  6531  10664 7764  5926  6585  7952  9684  922   3168  378   2839  4743 

454   2475  7287  7438  8154  10201 1165  7503  4464  2576  10705 1822  9301  4702  778   5248  9015  9861  2745  2038 

6583  8005  1872  4974  4765  861   4960  9535  9985  3802  1507  5935  7195  10736 438   8754  5071  7915  2605  2434 

85    4198  9294  1795  3046  7762  1255  8766  4414  4369  10489 382   4832  1881  8568  10689 9387  6252  1678  8790 

8518  2934  5253  9840  265   1966  8277  588   9382  9036  9355  5422  7136  9166  576   2556  8864  2461  166   6171 

10966 2227  8307  2888  1894  9274  7726  1086  3649  6188  4981  8253  4880  1903  2722  6718  7809  6344  634   9483 

6760  10845 1282  9648  7186  7674  9924  2409  9760  2326  1962  8914  985   3622  2970  4189  7627  3246  5874  729  

5485  121   6315  9346  11065 274   517   5386  7119  3615  7227  6835  3138  10797 9975  3442  9285  3930  2218  1842 

7784  355   762   5098  3174  4794  4959  6084  3345  7782  3690  10086 825   4594  5946  8095  5298  8466  7078  9717 

10494 3226  2964  9657  6502  9396  7068  5062  1284  2958  8073  3258  6684  1376  1952  8851  2688  7062  9031  346  

10462 9639  5772  648   8149  895   2265  9193  3595  483   2155  4592  1858  9184  9330  8421  2751  6295  6603  5642 

690   9880  10698 4185  3663  9229  10579 8628  8185  6187  9735  1736  5397  1935  2515  58    728   535   10791 2578 

1921  8196  6702  3864  8792  6096  9634  9895  636   22    627   6567  8653  4191  7465  5305  4306  2679  7824  4557 

2366  5915  27    8014  526   9598  10606 663   1776  9296  2067  9942  9778  3564  7978  5602  9276  1111  5854  3973 

2286  2079  6259  8347  958   1642  8023  5818  4     5936  7683  5539  8901  2902  6816  4126  562   10669 9968  9414 

9427  4855  1755  7712  1626  8412  4209  4918  5088  9522  706   3390  6855  3946  5172  3294  2173  9571  5458  9843 

5526  6115  9849  1581  3694  5269  3091  6385  10291 5674  5242  4428  913   6054  915   4788  4162  10419 2944  10592

 

Примечание: магическая константа для квадрата 20-го порядка уточнена Максом Алексеевым на форуме; он нашёл константу на 1 меньше, чем найденная мной константа.

 

n = 21

 

Исходный массив чисел: 4, 22, …, 12795, 12847, но заменить число 12847 на число 12937. Магическая константа равна 126404.

 

ORDER=21  MAGIC=126404

 

1255  3046  8628  12675 8347  2326  9708  9184  4191  4185  11816 5386  2434  9387  654   1952  1165  3258  8158  10887 7762 

4162  8680  985   4918  8095  11679 6835  382   7824  8185  4054  6457  11388 9778  12519 5638  2515  663   1507  5397  4743 

7764  10698 9571  4279  634   9735  6084  5485  778   9031  58    9634  2888  6178  4428  2038  7062  11984 6187  8023  3865 

5071  4472  3174  6295  1776  10806 4592  6702  6252  2362  4126  535   7339  517   5269  9968  12667 4981  9285  10291 9924 

8568  2265  11686 8864  895   9193  438   94    2583  5458  5854  4306  12732 9427  2688  8253  4464  5818  9301  6439  7078 

6760  8736  3366  9648  11785 5772  2722  5305  9535  9760  5998  6981  3226  913   9684  10669 2965  2911  5926  1376  2366 

6054  4959  825   8077  1755  4     7447  12937 10761 9355  12091 7249  9294  6259  5874  5253  588   7026  4369  1633  4594 

6096  3622  5088  4198  10592 1908  3294  8792  9166  8257  166   706   1966  3690  12558 3564  9015  9276  9861  5936  8653 

8790  2934  852   9483  4788  9975  3663  8149  1581  958   7712  10736 2227  4832  12442 8277  8545  2286  9274  6718  2182 

9229  3864  8851  5674  1642  5242  6684  5915  7915  12658 11385 2409  1903  861   1881  11857 2484  9742  10579 3168  2461 

7627  3091  2475  10791 10296 4414  7402  2751  2605  2970  4954  6188  9036  1284  1736  6855  4880  8421  3595  12262 12771

915   9717  7809  1111  10966 5098  3946  9633  6567  8005  7978  9849  6385  8073  3852  7465  27    3246  9895  1894  3973 

7227  3615  562   4765  10201 4702  483   4794  4960  11209 11696 3505  5602  12684 666   10419 12318 6693  202   6171  3930 

8766  9414  378   2218  3390  7674  5539  6816  8466  1795  9840  8014  1858  6880  10489 1962  6531  9386  391   8914  7683 

645   11739 10797 10606 1822  7089  9330  85    648   526   5298  3649  12795 7287  6934  2173  12406 8754  2958  8307  2556 

8883  8518  7784  728   7695  3345  7726  346   9396  2155  12573 2902  11583 690   8412  7051  1086  5642  9094  1449  9346 

6115  9522  9382  121   10689 576   10705 8874  5388  4974  274   7195  4209  11790 8196  4189  2964  7068  1842  636   11695

8372  762   7782  10462 2785  1872  5062  9880  12055 9985  922   10086 3138  3802  729   12648 2944  6583  9296  5172  2067 

627   4173  7438  1626  1935  5248  9942  12656 6036  5422  4557  9598  2079  1921  5935  454   11965 11065 6585  7503  9639 

7952  1219  12627 9843  3694  10845 2576  5946  7119  6315  2679  10664 7186  10494 4855  2745  8154  1282  265   3442  6502 

5526  11358 6344  22    12622 8901  12226 1678  2578  2839  2373  355   7136  9657  6603  2974  11659 319   7834  10786 2614 

 

n = 22

 

Исходный массив чисел: 4, 22, …, 14672, 14688, но заменить число 14688 на число 14719. Магическая константа равна 147816.

 

ORDER=22  MAGIC=147816

 

4279  14508 9193  12675 319   12622 8307  10592 666   5098  728   9742  1935  7402  4959  13764 2605  8864  12519 576   4198  2265 

1255  2556  9735  778   3663  7834  12226 14085 5071  6259  10705 762   9840  10736 13984 1822  5642  1952  8154  7026  9522  4209 

6693  7249  7186  4054  8095  13454 4974  12406 1903  729   5397  10086 4832  4765  2373  9598  12648 4918  1642  8253  9843  6718 

12937 7764  3390  5674  8851  7952  4428  3168  3442  13472 9382  11358 11857 6684  2722  6385  4173  2964  9015  3505  6115  2578 

985   10462 1842  8257  121   9924  13812 346   9880  4414  13974 10579 483   2326  1376  11785 7227  4472  2583  12558 5946  14464

3174  8766  6295  922   2958  4     9387  9301  2286  9861  10419 9657  11209 3694  10806 6835  6171  10296 7089  7726  9849  1111 

1086  2227  10791 2173  8196  9166  10761 8568  1755  9968  535   8421  9975  7627  8014  6188  4191  8073  4557  11739 5458  8347 

5874  7465  14494 3852  14391 654   1736  5253  6880  10664 12939 4464  3930  8077  5526  562   2461  12795 9414  6439  3091  6855 

11679 8372  3226  7136  13905 5422  5539  1908  10689 12442 391   4162  11388 12055 9639  7915  9708  3973  94    2688  1921  3564 

861   3649  9760  8545  1872  663   454   3595  6702  9483  5386  13506 3046  7683  5936  3690  6315  7195  11984 14168 13639 9684 

6531  2409  9346  2785  8466  7978  2679  2434  12982 6036  9427  4594  2745  5926  6457  5818  8158  14386 5602  1962  10489 10606

14148 7784  1633  14179 14026 3138  1894  1776  7078  12627 3246  2911  627   14206 9036  5772  6502  2944  1678  13747 5062  3802 

526   3294  1881  9294  2366  6585  7339  8790  10845 8412  8754  6084  8023  6816  4306  9633  9274  2576  8680  9355  9895  5088 

4855  1581  3865  8883  9571  5638  2484  6760  8653  202   14058 7762  9296  5998  7068  10494 636   12946 8149  2218  4126  12573

11686 10291 7447  1966  10669 7119  7809  5242  12975 8736  2888  6187  895   27    7782  690   12091 2079  11583 274   7062  12318

7287  8277  14017 14672 8792  9094  382   9648  645   7824  2934  1626  14534 1284  12667 9942  3946  10797 4369  2155  85    2839 

9285  3615  4592  9535  11965 1449  7438  4880  5388  1219  588   11816 12847 13369 958   2182  13666 12684 2965  166   2751  14458

12732 6344  3366  1165  10698 7503  14719 5248  378   6934  3622  4743  8901  9276  2970  4960  12262 2614  13765 7695  2067  5854 

14359 10786 648   11790 1282  10887 9634  6252  9031  1507  14566 2974  6567  913   5305  14242 8518  915   852   9184  4702  2902 

3345  10201 8874  9985  1795  1858  11659 13662 12955 58    11065 5935  706   4189  3258  8005  2038  6603  5485  14422 11696 22   

6054  9778  5269  2515  517   12957 825   4185  4954  2475  6178  3864  4794  7051  8628  2362  9229  7674  12656 11695 11385 12771

8185  438   10966 6981  5298  5915  9330  9717  12658 9396  634   6583  9386  7712  14046 5172  355   6096  4981  265   8914  4788 

 

n = 23

 

Исходный массив чисел: 4, 22, …, 15984, 16015, но заменить число 16015 на число 16123. Магическая константа равна 171556.

 

ORDER=23  MAGIC=171556

 

9414  7249  3258  8792  7762  14832 8736  8466  1449  9968  7051  4279  6315  1935  729   12771 14085 1966  13472 9735  2182  11857 5253 

10845 15898 4054  8653  9633  5071  1842  10579 2556  9330  2409  9648  7683  5874  14168 3930  13454 4209  6684  6187  9382  922   8545 

2964  778   728   4702  3246  10664 14422 706   14962 12675 15974 14179 1962  11695 1678  14881 654   9708  10736 666   15943 2461  5172 

913   14046 15369 4185  12442 7809  3442  11358 7503  1219  9274  6702  11209 9015  4472  5386  14494 6178  11686 4557  7339  382   2576 

12262 6855  10705 2958  15860 3694  1507  12795 2038  8883  2326  9684  14464 9634  9760  5926  11065 13666 648   2434  762   9778  3852 

2583  8628  5526  7062  319   4369  10419 9346  15778 9849  1776  9166  10791 1822  10698 6295  2785  2751  4306  14566 2286  15747 14688

11984 3802  9229  4594  7438  15286 9880  13369 4794  27    6439  8023  4855  6880  2839  5998  3505  4880  5269  12684 11790 5936  12055

8421  1376  7834  9985  10806 4     14026 7068  12732 5305  6603  9571  636   15126 8257  11739 7465  9094  8914  121   1795  5485  9193 

12982 5674  6054  13662 690   4592  2902  3865  10494 12519 11965 9895  15704 985   10296 3174  1581  8185  8277  3168  14991 9843  58   

4788  12318 9294  4743  6502  526   14985 265   14784 2218  9840  8518  12656 2944  1633  10462 7782  1282  12622 4765  7674  8307  12648

3622  2265  8005  15682 12558 10592 4191  7824  13765 1111  3663  895   8158  9355  12406 4918  915   12573 5458  12975 6188  4954  9483 

9427  8253  535   10606 852   7447  346   14391 2614  8196  10797 2970  10966 9386  2227  6096  15824 3564  15884 627   5946  15848 8754 

1284  8790  8766  10086 3649  14672 6259  274   4981  9387  3864  2362  3390  7978  7026  9861  7952  14998 5539  8149  2515  15018 14756

5642  11785 2911  6934  562   8372  14924 1755  14458 5242  9036  5422  3615  7712  2067  5088  6567  14206 85    15646 8680  11816 9031 

6036  634   7915  9975  9598  15835 13974 5248  14946 825   7402  7119  4126  6531  10489 9184  15516 483   1872  2373  1165  4428  15882

2745  7784  15709 7627  3226  10689 9657  5638  861   3973  2722  14508 2688  1642  12667 5388  3294  14534 3366  12091 15115 2974  12658

4960  16123 8864  7726  6835  576   2578  6252  2484  3946  10291 1952  15205 15984 15687 7089  7078  8073  12957 6385  1858  4189  4464 

15981 7227  6171  2605  958   7195  8874  1903  11583 10761 14017 11659 5298  9742  2965  10201 9396  13747 6457  4832  5397  1908  2679 

13905 2173  12955 5772  15128 10669 13639 4414  1881  8095  1255  6816  3345  6760  6115  8412  3690  14058 7186  9717  6084  9285  202  

9535  378   4198  12946 11696 6344  1626  8568  391   15894 15558 14386 3595  2888  11679 22    454   8014  9942  11385 6693  14719 645  

1086  9296  6585  166   8347  7764  5602  13812 5098  15529 9276  6583  7695  14359 8077  9522  13984 355   588   5915  13764 5062  3091 

5935  13506 14736 7136  9301  2475  7287  8851  517   5818  94    4173  12226 11388 663   2366  5854  3138  12627 12939 15853 1736  12937

14242 6718  2155  4959  14148 2079  438   14809 10887 10786 9924  3046  4974  1921  14958 12847 4162  1894  6981  9639  8154  8901  2934 

 

n = 24

 

Исходный массив чисел: 4, 22, …, 17271, 17424, но заменить числа 17268и 17424 на числа 17482 и 17455. Магическая константа равна 197041.

 

ORDER=24  MAGIC=197041

 

14359 12627 12656 16192 14206 5638  4594  6171  2576  663   5602  4918  2888  16269 10806 9861  166   11659 7712  1633  15853 9483  9843  666  

5946  4765  5674  14756 94    14179 9229  3663  2964  3505  3345  12771 16890 10296 10689 454   9942  17149 2366  654   6934  15824 13369 11583

13974 16568 10419 3595  14494 8421  7051  9985  16866 1872  8372  2934  2722  2556  6603  9015  9760  1255  2067  7062  10698 14026 2484  14242

15898 1282  7078  8790  16105 4     16746 9849  10797 8568  16536 11679 1581  7195  16137 9639  2605  8023  6585  14508 588   1858  2079  2911 

1449  3138  8154  8277  14672 391   16357 6981  6718  13905 6684  12406 265   11695 7503  3973  13506 12957 1881  9708  9571  8914  16015 1921 

10736 15115 14985 7762  1952  2461  5998  2515  9184  6583  7683  9648  14168 15126 8653  4702  9427  7784  15529 9535  648   825   10086 5936 

7952  27    7809  4959  13662 8257  12622 12558 5485  9294  12939 15369 16902 8005  958   5818  14422 5088  7186  7287  12091 1507  2475  4369 

6816  9778  1165  5305  9274  16480 11696 9742  10494 22    2679  4788  14719 8864  12847 8766  2583  2970  16735 12648 2173  778   10887 14832

4173  438   9522  10592 7438  5098  13984 3946  8158  3865  2974  12975 11065 2362  483   15516 14391 12937 17086 10664 6252  3930  10845 8347 

5854  16186 6115  1642  7764  4974  16438 2434  10761 4198  5242  10606 14946 9276  15682 1908  319   15286 3622  6178  7227  12519 2155  15709

15128 9346  16294 8412  2265  9193  10966 2944  5269  13454 6054  16335 4981  8073  13666 2326  4428  3366  5458  12262 1736  7119  17238 728  

8149  15860 17187 5397  7136  10489 12658 16285 3690  14458 14736 2578  8196  1795  5539  3091  3294  11388 274   10579 14924 5062  4191  85   

8307  8253  5926  12684 2038  15704 6385  7089  9031  634   7447  9330  5388  9396  3649  5772  13747 3564  8851  6188  16537 16940 9301  4880 

915   9634  14085 3046  355   9924  4054  1903  2409  15848 14998 1626  4306  9895  7782  17199 13764 5386  3174  535   12055 12442 16744 14962

13472 8736  6084  12732 16098 7627  2785  6531  14784 9735  3864  6702  729   6187  9296  9036  14958 6693  3390  3168  8014  16591 1284  8545 

14534 3852  8901  562   14566 382   2218  9094  922   5935  7834  4832  4189  7824  7674  1376  11984 16983 3615  16474 16546 16653 10705 9386 

4855  1776  2614  8077  3226  8466  6835  9633  1822  12573 6036  9285  9684  16222 636   12226 15984 7068  14017 15205 17056 6760  690   6295 

7465  16582 5248  15747 9598  15018 5915  6855  2227  5172  8628  1219  12675 15646 706   2745  852   10786 16078 4209  5526  11385 2373  14386

12318 4794  2965  6880  9414  10462 378   8185  14688 7978  9975  6259  6315  9968  16688 15835 6344  985   7026  3442  517   14046 11739 9840 

7726  3802  12982 8874  11816 2839  2751  14991 7249  1894  4960  4126  3246  5422  15687 8095  4592  4414  17482 15778 9717  1086  10291 17221

576   4185  1935  10791 9657  4743  15894 7695  8792  14148 9355  11965 15974 5298  58    13639 645   11686 11790 12795 2286  6096  11785 5253 

8754  11358 1111  4464  4472  12667 8883  8680  16645 14881 6457  5874  14809 526   1962  14464 9880  13765 15884 2688  4279  3694  1678  9166 

7339  2958  861   913   4557  10669 762   17455 9387  11209 16726 15558 10201 8518  16770 15943 6502  895   5071  6439  14058 9382  2902  1966 

346   15981 17271 16592 2182  12955 1842  11857 16123 16647 7915  3258  202   627   6567  5642  12946 4954  4162  7402  1755  121   15882 13812

 

n = 25

 

Исходный массив чисел: 4,22, …, 18513, 18562, но заменить число 18454 на число 18618. Магическая константа равна 224506.

 

ORDER=25  MAGIC=224506

 

5485  5642  17826 18346 2265  7465  13506 378   3802  2934  18496 12262 913   12558 2722  5458  14991 18355 5253  15894 517   14962 5926  1903  16647

8277  12732 6702  4788  7119  17271 2965  9285  9094  16537 4918  2970  4794  8257  16438 17149 14924 4189  12847 14085 11696 2902  5874  346   8347 

8914  16983 861   17199 2484  663   6835  14494 11857 10664 10201 5098  9942  10579 7762  8518  10592 728   10296 1881  7809  16592 17916 6252  9386 

9968  4743  16285 7068  526   11388 4126  16222 5998  15778 15516 12658 9229  6115  7438  5242  958   18247 3294  15687 10669 12957 1822  10606 1966 

8014  895   4162  1894  14242 16902 15984 15898 7227  9639  9633  9346  17187 17238 7089  2079  3091  666   18058 6583  6295  166   5935  17738 8545 

6259  11739 14672 5674  11209 915   12795 16940 9166  94    690   18162 18108 18117 13765 1842  18278 5422  121   922   9634  17646 2475  5397  4464 

5062  4     15882 2888  15848 12946 12622 7627  535   3442  7339  1921  2326  16582 3505  15128 17221 3390  16735 4702  8790  6981  9483  17838 15709

1776  634   6457  17424 16294 15682 10291 1219  6718  12226 4191  202   4198  17662 9296  18459 6531  7824  9036  14985 5248  12318 2958  6934  15943

648   15860 4954  9880  2583  17664 2373  14017 2839  17905 3690  4765  3595  18618 8766  778   6816  12648 11065 7978  355   13666 18391 9843  14809

16335 6684  13472 11358 7952  12937 9387  5818  6502  16591 729   6084  16137 2515  6036  12975 3663  645   9535  2173  17940 15529 14756 6344  2409 

16744 6188  11695 8005  14359 2614  6171  15835 9985  9778  4974  14391 1255  10494 6567  2944  9717  14464 7249  12667 4279  576   8095  16078 9382 

12055 9975  11965 58    15018 4855  15747 18409 17635 8754  14168 9648  7784  6439  4960  2751  3622  6585  1284  5388  16770 6385  10489 6315  7447 

8372  12684 1111  17086 14422 9015  9396  8851  7726  9657  2911  11686 5946  7051  1795  6760  3366  15981 8568  14946 9924  12675 1376  7915  15286

16480 14179 2964  5269  9184  11385 2155  2067  4981  2218  15704 1633  13812 1908  4414  17833 5936  17455 18562 6880  9193  11984 18069 8792  1449 

16746 12442 11790 6096  27    2556  9522  9598  852   8307  16546 8874  10887 7764  18177 274   7402  3973  8154  1858  16269 9355  18474 2679  15884

16568 2038  18132 3345  17496 5298  10736 3174  7695  5772  6693  13905 2366  1626  14046 10845 11583 11679 3615  12771 16645 9274  8628  9294  1282  

13662 3226  9840  14832 8149  6178  4306  562   8901  14998 17698 4592  16123 3865  10806 8023  4594  5638  14386 9742  12656 2576  7287  8412  13454

14881 13764 2745  6187  3138  985   17835 10086 9031  8736  18274 588   1962  14688 4173  1086  10689 16474 16890 2578  18418 8253  7136  7026  8883 

4054  15853 14508 1872  17864 15369 9861  3246  319   13369 15115 18085 17268 4832  3168  22    12573 1678  14736 5526  5854  12519 3946  9895  2974 

483   17889 627   825   10786 10462 10698 8864  15824 7834  14458 8653  10419 2605  16726 16192 9414  7503  3046  14026 3694  1935  7683  7674  16186

1507  18513 3258  9849  10705 5602  7078  762   17718 3864  2688  18396 9571  265   10966 14206 9760  16015 18337 1952  6054  85    13639 12955 10761

1165  7062  15558 7712  5539  9301  15126 9276  8466  2461  2785  8421  8158  12091 12939 12627 5172  2434  2362  17056 5386  14148 14566 17840 6855 

13747 2286  391   14058 12406 17885 10791 5915  17907 18022 3852  15646 14534 9684  11785 17482 1755  13974 654   4428  382   1581  9330  4369  1642 

438   7186  14719 16688 4185  4959  3564  16536 15974 454   4557  1736  10797 4880  12982 16098 15205 16357 2227  11816 5071  7782  6603  13984 9708 

16866 5305  3930  16105 706   4209  636   9427  17754 4472  8680  14784 7195  8073  8185  9735  16653 2182  8196  17982 14958 11659 3649  8077  5088 

 

n = 26

 

Исходный массив чисел: 4, 22, …, 19812, 19818, но заменить число 19761 на число 19858. Магическая константа равна 253587.

 

ORDER=26  MAGIC=253587

 

10736 9036  18562 2326  18454 11695 6115  5397  19606 11984 5526  7726  8864  2556  9861  19644 7078  7402  202   9296  4794  11696 9840  12667 2970  19554

12406 706   16770 6457  16015 7762  8901  19246 3390  16357 13974 5642  16123 16591 11065 6835  17826 27    5485  3802  11790 58    14736 9166  9735  2722 

274   17754 922   14719 7915  3973  14148 10705 19808 2362  14991 8851  15205 14924 4880  17835 2964  4974  9276  12957 18920 6693  19498 6315  1872  852  

6385  7978  913   6760  6054  16866 6583  17149 10462 15853 7809  11816 9274  19818 3442  9387  15286 2974  3505  15682 483   17664 3091  14179 7952  16222

7695  7683  10845 18496 14958 8754  319   12658 19360 15369 2484  6259  15860 1908  9396  7503  19678 3865  5772  9942  13984 17718 3595  16105 1755  1626 

17662 18108 12684 1581  19272 16078 8073  2679  1822  14242 391   654   10887 4428  16653 10592 12771 18022 11739 17885 4592  2286  11385 6439  2461  10201

13747 16480 526   13639 8196  3864  9285  4     6585  10761 985   19232 3366  3663  14566 17496 4306  9355  17940 7026  9294  1795  7674  18069 17455 18278

16285 1111  7136  5935  4464  16890 19755 17268 19292 636   9633  18841 4959  5386  17698 7227  10786 5818  18513 3930  8372  8792  8095  2911  382   13472

15894 7339  2409  14391 4788  12262 6096  9657  6252  19725 13812 16335 9015  8257  2578  6816  17916 9975  11686 14017 16983 9184  22    8347  7764  2067 

14026 5269  8185  18765 8914  19590 8883  778   535   5854  17646 85    7627  3258  17056 3615  5946  18162 15943 5926  166   5422  18117 8680  19165 15974

762   5915  14494 7465  19251 438   18994 1894  5638  648   11965 17833 15882 14688 18922 5062  15115 18391 16735 562   4209  1449  17086 15018 2944  2227 

355   16902 17271 4981  6684  14458 8568  1858  12675 12955 19212 19615 18132 7186  5248  3852  2373  15516 5602  12656 7089  3622  3564  7447  16537 9229 

8736  18618 2173  4414  1642  645   14985 17889 9346  15558 2038  12982 15898 12939 2888  1842  7438  14206 2366  8412  19255 16192 9742  9330  16269 7784 

14832 16546 15529 9778  19280 12946 7824  346   6171  12648 12091 5936  588   19858 7051  6188  9535  9301  8766  3345  19066 2839  6567  2576  5305  18675

4173  3246  15646 18963 10797 1507  12732 13905 6295  1376  18337 11358 6981  9895  3690  7834  18058 728   1966  16940 5242  18085 4954  19134 9427  12318

5998  265   1086  16186 6178  18274 9708  2902  19147 1219  9386  10806 16294 915   15848 576   10296 14359 4279  3226  15704 18958 18735 2265  18355 12622

19376 10791 4557  627   11388 10698 5874  9193  2155  5071  16726 15778 3694  10419 15747 6718  11659 10689 1903  861   11857 5388  15824 14946 17982 13666

16744 6855  4960  12573 4594  1284  17838 2583  517   9924  8023  14085 8545  8014  14784 14386 9571  454   12519 18872 18732 19482 15884 2614  4832  4918 

5674  4765  10664 3294  8421  378   4162  8307  18418 17482 19428 958   13765 7068  10579 19592 2182  3946  16474 2785  1881  2688  18805 15687 19602 16582

2745  13369 18607 12226 5298  17635 9598  18346 1921  8653  94    9880  6344  16137 4702  663   17738 16645 11785 16688 4191  18409 9760  5458  1952  4743 

10494 18177 9717  4185  9639  12975 5539  18985 11583 6880  4855  3168  3138  9968  7119  18247 12795 14422 14998 2605  9094  9843  6934  4472  14881 8874 

6502  14464 12937 13662 18846 3174  18742 15128 7062  2934  16647 690   7249  8790  3046  7287  6531  14046 9985  14962 9031  14672 8277  10966 1255  6702 

4126  7195  17238 14756 1633  15126 11209 17840 17199 18396 634   5172  2515  3649  8154  11679 895   825   8518  16568 15981 14534 2218  16746 16592 4189 

2965  1165  9849  121   729   12627 8466  5253  9483  5088  12847 14168 16098 17424 8628  13506 12442 12558 14058 15984 6187  14508 8149  2751  10669 17864

18459 10086 4198  17905 18895 9634  1776  7782  17187 13454 9684  8005  2475  19812 2079  9522  666   10489 18474 12055 6084  1962  2958  2434  17221 10291

16536 13764 15709 9382  1282  4054  9414  15835 1678  8158  4369  7712  14809 6036  17907 19683 1736  16438 5098  6603  10606 9648  8077  18865 8253  1935 

 

n = 27

 

Исходный массив чисел: 4, 22, …, 21946, 21955, но заменить числа 21946 и 21955 на числа 21970 и 22188. Магическая константа равна 285314.

 

ORDER=27  MAGIC=285314

 

15126 21667 18069 1966  58    7674  438   19554 2583  14386 8372  16770 14688 2556  1165  15898 10736 12795 8196  14991 9386  13747 18162 3802  18958 8185  5386 

14809 4765  14046 20618 10705 2902  6178  14534 18409 18274 18278 5818  22    4369  4428  16335 9742  5458  16645 16688 1449  7764  3442  16940 17455 1872  13369

1881  8628  7402  12946 12622 4126  19147 8077  535   7834  15369 17187 2182  19592 7726  9193  2965  20319 5071  15558 10489 9031  18247 15824 15984 13764 3615 

1842  7119  9229  17907 10791 19812 14168 9301  121   11695 6567  3649  17840 7186  20506 265   14206 16744 12442 16890 12406 9861  5397  2067  21066 10201 6036 

14026 16746 12667 6188  9522  8257  8736  18841 20785 12627 19376 5874  1894  8914  17221 2434  18513 2286  5422  825   9414  14494 9760  18920 7762  9396  4414 

15128 7695  18177 20784 4189  5242  2888  9735  11065 5098  7447  18396 16568 16866 9276  14924 10592 319   6684  729   16015 2751  8023  20974 18994 861   15894

6531  19482 11785 852   7227  21874 18108 6187  12656 19615 3595  15709 9166  2515  7465  19292 7026  13765 5638  4594  20362 8864  7068  12519 14359 648   8412 

20542 16983 16269 4     9648  1626  10786 20695 5305  6718  1776  382   8149  15943 21651 4279  12262 16726 2605  6760  9535  16902 18865 10494 21896 5539  2974 

7287  5269  12658 6457  1822  15848 2839  3864  19761 14832 14998 12558 2373  3226  18391 8014  14148 10887 19255 18872 2362  7952  18496 18085 13662 3091  8307 

6702  4702  3505  20578 13454 16474 9985  16438 4743  2265  19280 15286 4191  2944  6934  15704 3366  21498 18058 2934  13905 17271 588   5915  4198  16480 17916

19755 10664 21078 9184  22188 378   17482 2461  19606 11857 3852  9294  5485  2155  16285 9094  7627  17738 2722  18922 18022 9355  576   517   7782  8253  12982

16186 12318 11739 6439  6096  13639 19880 20326 17662 18732 3138  19941 9634  1935  18474 4054  8874  17424 5253  454   27    12939 2614  11388 13666 9571  2911 

6171  3564  6385  18607 12573 12226 15853 706   9717  5388  1858  17889 17754 14719 3663  10689 21055 8790  16078 2475  11696 18742 15205 9975  562   8466  14508

16123 94    14958 16546 18765 11686 5935  13974 922   18132 10845 8154  2038  16735 1581  1284  9598  4557  9843  9657  19212 6693  17940 8766  5772  14242 21262

12955 19498 3345  19818 15115 7339  15529 1921  9633  6880  645   6295  19428 17905 2576  19858 1376  762   9968  10669 19943 12675 18985 20295 2326  5602  3973 

20823 6585  10966 17635 4918  6816  9387  895   2745  19725 19232 2484  2079  21273 11209 14566 4788  9274  21361 14784 16592 10579 85    1255  690   18346 16222

7784  166   8680  4209  1678  18675 7503  15687 21865 4855  1219  5526  17833 14058 2679  7249  16536 17149 18117 4794  728   19602 20299 10419 13506 18562 5936 

6981  17664 10797 10606 10698 5946  14672 17835 14946 2366  483   12055 9942  3690  14422 4472  5062  3930  9330  16137 17199 2688  17982 14881 3622  21226 15682

9778  12732 20911 4185  16591 913   9015  5674  9708  2409  2578  8073  14464 2958  3694  16653 17885 12648 636   19272 10806 20229 9924  18895 9684  15516 9483 

5642  12847 3046  18355 985   8883  14085 11816 7712  18618 6252  9895  526   1736  14736 20859 12957 11659 8792  19808 14391 18337 5854  3246  1086  16105 17086

13984 12975 1952  10462 12937 15860 4954  9036  15981 19066 17698 17056 18418 19683 3946  7195  18454 274   10296 778   666   7438  4173  19678 4974  1282  16098

1908  7062  915   654   21253 20182 9880  15884 18846 1111  21970 16582 5998  21186 17646 19644 14756 5298  18963 3390  7978  3294  1795  8653  7089  8545  4832 

2227  21694 7824  11984 18805 663   4306  19952 8421  5172  21685 1507  19134 21829 14962 11790 355   9285  2218  17718 6054  6502  4464  202   18459 19251 8851 

1903  13472 9346  14985 20893 21919 17268 7136  19360 3258  15018 16537 12091 2785  6084  17864 8518  7915  1962  8005  391   5926  11583 9840  10761 6315  14179

5088  6855  17496 6603  11385 16357 7683  346   8095  7078  16647 19590 21478 11679 9849  3865  1633  8277  20065 8568  7051  10086 20074 2964  9296  6583  20623

16294 6259  3168  6115  8754  4162  4592  12684 3174  8158  11358 634   16192 17238 12771 4880  17826 19246 15882 21615 8347  5248  20754 11965 2970  15646 9382 

17838 7809  8901  627   1642  15835 14017 1755  958   19165 15778 2173  15747 9639  15974 4960  14458 10291 13812 9427  20888 6344  4959  6835  18735 21766 4981 

 

n = 28

 

Исходный массив чисел: 4, 22, …, 24306, 24322, но заменить число 24306 на число 24403. Магическая константа равна 320620.

 

ORDER=28  MAGIC=320620

 

14026 18355 23602 8005  15115 913   23809 5458  1376  4173  2974  17238 1678  4054  9031  12975 24259 19498 18805 6835  3258  15646 10201 13369 3663  13984 18396 9924 

4191  9330  9571  16105 1903  9036  23242 8653  1111  21874 18872 2067  12318 5242  9427  13454 7089  23577 19292 19428 2286  16537 5088  3168  20362 16744 11739 8914 

663   8736  3366  11686 5526  2155  14168 16480 7447  16098 20784 16015 6585  121   9942  9895  10086 11984 22522 15369 8014  12627 18841 14672 636   23098 22368 10736

13662 10698 6344  4981  19255 12226 23449 4960  915   15126 16357 22188 7674  4959  17482 18108 5818  391   895   1966  22119 19376 15682 19941 8253  9880  5248  12667

562   14494 16137 7249  5854  202   16285 19755 23755 4880  4189  7915  5946  8883  14386 15747 19251 24403 19880 454   9843  2218  14962 16770 14946 12262 7809  11583

3865  12675 21685 16078 21970 14998 654   14688 12937 13472 18177 2366  9015  8196  16688 19212 14046 3946  648   15984 9229  1219  23089 8545  14784 8874  5602  7978 

14206 3930  21498 6880  23192 17268 12091 23790 8421  19165 14422 13639 2964  22734 10669 728   4788  5998  1255  85    319   18459 6084  19232 14242 3690  9598  21273

18922 5936  6502  690   1284  1581  3973  20618 22448 9166  20326 10797 10791 23775 19066 12573 22342 14566 6816  16726 4954  27    9301  15778 8568  666   15882 16546

21186 3694  1755  20182 18058 13764 24322 1894  19683 12519 2362  15981 7683  2434  3174  706   8792  18675 23343 10462 23566 58    10705 922   11358 19644 15018 8680 

15974 24142 22983 12684 10419 2265  2679  1842  1858  16890 576   16536 5253  4464  8412  18418 16222 2970  10966 21955 20074 23870 9193  11388 8754  5642  2576  21615

22738 16438 2911  6583  5269  7784  4855  17698 7824  18765 9396  852   6259  13765 588   19592 18958 634   3802  1642  20623 17982 20578 18022 15529 16983 18454 6096 

9975  17664 12406 18409 9346  6054  2745  985   21667 23854 23658 7062  12648 17718 15848 2578  16294 15898 3622  22884 20823 9285  7195  762   9382  7186  2751  1921 

7051  7136  2484  3226  13905 19602 22725 4     11695 13747 22971 21896 11679 7227  22816 11965 627   9522  2785  12732 21865 3442  18618 3091  19818 1962  9760  16269

12955 18346 6178  6567  14391 21829 14809 20295 18865 6439  16582 14179 18278 7726  8185  4472  1822  15860 12658 5638  5485  16335 861   15824 10296 2965  21694 1086 

4743  1449  1282  23665 23736 9717  6934  12957 9633  17838 2583  6702  19590 6693  8372  15558 17056 2605  20974 9634  9387  11385 14756 9735  19615 1908  21226 10887

9657  18846 2515  9849  17635 18994 17455 4832  2373  9648  8073  1872  16647 6531  19678 9742  1633  4414  21766 6684  4209  19134 17496 8466  22558 20888 778   18247

6385  21478 2461  21946 438   7782  6252  13506 23818 12946 19482 4594  16866 18162 265   17885 18513 6760  16746 4198  10689 20065 7339  2173  729   23962 2409  12771

7287  346   19943 1507  4974  9684  6603  21919 4279  8307  11696 18117 10664 5388  20695 7465  355   5874  8023  22585 16474 18496 15205 21078 18391 15943 5305  14017

18920 7762  5098  21055 7119  19812 3294  9386  2688  3138  17424 8095  20319 19952 18732 2944  9296  14991 5062  19246 15709 14148 4918  14458 7952  19280 958   8864 

22117 21651 21262 17916 18132 16192 6457  16735 4428  3345  6295  9778  11790 9483  12795 5772  4126  7627  11065 18274 2038  5539  2958  2902  11209 24096 22081 4557 

18607 10291 5397  5674  5071  21253 18963 19147 12442 4592  18562 7695  17826 7026  4702  15516 483   20299 5172  1165  22837 17835 14958 19554 825   6855  8518  9355 

18895 16645 23484 6036  14508 18474 7438  3615  20893 3864  535   17199 8766  17840 5935  14534 2326  11857 645   18985 15835 5926  2614  22688 9184  8257  20754 2888 

6115  22509 5422  17149 22702 13666 2556  10489 11816 3046  15286 17833 2934  18085 12055 18069 9639  16902 6718  10592 10579 13812 15687 378   517   8628  16591 10845

9294  14719 6188  10494 7764  2079  4185  17864 19808 9274  12847 7712  4306  10606 17940 3649  21361 12622 21066 20785 4765  14832 20229 9535  8901  8154  1736  17905

15704 2182  17907 19725 6171  94    22054 2722  12939 9414  4369  3505  16568 18742 9985  1881  14359 15128 1952  14736 17086 3595  8077  8277  12982 20859 22386 17221

4794  8851  20542 2475  7503  19272 19761 18735 526   14985 166   22234 17646 12656 9094  14058 14881 11785 19858 11659 5386  274   9840  7068  14085 7834  6315  18337

8158  382   20911 17889 1626  17738 5298  3246  10761 7402  1795  23163 13974 14464 3852  15853 16592 9276  19360 2839  6981  9708  16123 16940 15894 2227  20506 17662

9968  1935  10786 5915  17754 16186 3564  8347  24214 16653 9861  3390  23953 23694 10806 17271 19606 12558 14924 7078  6187  8790  22    15884 17187 8149  4162  1776 

 

n = 29

 

Исходный массив чисел: 4, 22, …, 26167, 26185. Найден один вариант массива: заменить число 26185 на число 26292. Магическая константа равна 359151.

 

ORDER=29  MAGIC=359151

 

14881 5062  9414  9276  17187 5526  6816  11583 2614  23089 9386  9778  22738 23343 6178  18346 24096 24394 12937 5642  9849  1219  9427  16192 21667 4279  12955 11679 9598 

915   18085 20695 6835  18735 2182  9880  12684 19482 18396 2461  18496 3091  319   24963 26292 20893 18675 2484  12622 706   7726  4788  21615 8568  19858 1903  23484 12318

2974  8185  24928 15984 24754 3366  21685 17916 922   12732 3930  10592 18846 15369 15894 14359 15115 5305  4974  2373  8077  13506 20229 14946 20299 690   21694 6934  12573

4     6531  17940 1755  23658 11857 18895 4765  16744 12939 16890 7249  15943 19725 15898 10705 4743  5298  24776 18274 15835 9760  5458  9648  3442  8790  24387 8851  18391

16582 1894  19165 391   15747 21766 8883  21273 14494 25893 20618 25236 2785  5098  9522  4306  19606 19232 21874 4855  6567  535   12648 861   24945 5422  438   24306 4209 

3390  1908  9229  23870 26014 9193  13369 4472  8095  16591 25298 7465  634   3168  5936  22688 958   22234 6295  1776  8754  3864  15704 21498 23577 16983 14391 20974 20823

22188 24552 2556  19360 18618 19602 94    8874  8196  9717  24588 2362  14058 3649  12982 483   23775 17840 576   20074 18765 1581  3690  22816 7078  17268 18337 8421  7051 

20182 5854  9742  6036  6981  15687 5172  2227  10689 2475  23736 7809  10887 6171  11659 10462 6096  14534 23665 17835 19590 3258  9285  13472 8628  22386 21253 18117 25263

7952  19255 19066 21829 1952  16078 10761 2409  85    8307  19428 8014  18177 274   14924 21919 4173  5386  20859 9924  13666 6385  11790 11065 20295 18355 17907 23962 4954 

16335 25392 14719 17238 10296 17885 7195  19644 10845 526   17905 1255  2326  25078 6855  654   2902  15884 17826 16645 23566 8736  22522 15882 16105 5485  10489 5397  3564 

9294  3174  265   19280 6054  4592  2079  4918  9985  21361 23694 22837 18069 10786 25398 22054 7339  7068  23790 2751  22    18920 9895  4702  14179 17056 8073  23854 17662

9274  14206 19952 19943 2155  26096 16537 8901  21055 18865 6439  14046 3622  16536 9015  12771 9184  1935  2958  15286 3595  25614 2583  22081 16137 9031  1921  3246  26167

15205 24655 9634  5818  14026 24502 25105 5946  16294 24678 7136  4198  2038  18162 1678  15709 9684  7784  10664 20362 1858  825   25798 13984 7438  19615 18474 762   7119 

17646 3226  2286  15516 18963 15646 20785 15860 19292 4185  5874  22734 19880 14148 20326 666   3802  20319 202   15778 1736  21896 6684  10494 12675 17482 9840  4557  16653

24354 19554 21955 24585 16480 5071  11739 6315  728   7978  5088  22448 14756 1795  9571  7782  5935  11696 17718 7062  14508 18513 17698 20542 346   11984 25807 4464  2679 

25844 25834 5539  4794  2218  18459 22117 21078 9483  5248  3138  12519 636   22558 22342 19147 13764 19761 6252  25429 8149  25177 1165  1282  14809 7186  9330  121   5772 

21226 17271 1642  9708  15018 8023  2722  20754 4960  6187  7026  18562 23809 8372  1842  22368 15128 11686 10606 6259  25015 17221 25222 14085 10791 1966  10736 2964  17982

8257  17838 12262 588   1086  18872 3294  14168 6693  16735 9036  2576  18409 16438 16647 1633  16866 25735 19134 16269 19941 2605  3663  8158  24828 13639 16592 16770 10419

14962 16940 15853 18958 3505  6583  24322 12226 17889 23163 6585  11209 9355  6344  22983 13905 12847 895   16222 6880  4162  16123 3973  25928 25809 11816 4189  645   4880 

20506 19808 22971 7627  6188  25006 4832  14242 19818 4054  9633  15126 778   17664 4959  19251 10698 382   25906 18742 9861  22119 1111  12658 9535  9346  7834  2515  15981

4369  24214 1626  17833 12957 7824  852   9094  9942  2578  19246 9296  21186 15848 14985 18841 2944  19678 5638  8680  23192 22725 25064 3345  6115  9657  9166  14832 17424

25195 16568 12946 25582 17086 8005  8347  21478 18607 2688  627   6502  14386 12442 1284  22702 16285 10669 2965  3046  18022 4126  19755 7447  16746 5242  5602  14736 20065

12558 3852  18132 11785 913   663   8277  20578 18732 17455 17149 355   985   21865 12406 15974 25573 7915  5915  16015 14958 6457  16186 1376  16688 23953 9382  15558 17496

5926  13454 14464 14688 2839  23242 22884 22585 562   7695  18418 20784 25618 2970  10291 8653  10579 8545  12055 4981  58    21651 21066 2934  7402  8766  9975  16474 19592

3615  648   10806 4594  6084  4414  20888 19212 24538 13765 11965 25256 9387  7712  7287  8792  9301  378   18058 18247 25267 21970 14672 18994 729   18922 14566 17635 1449 

14784 10201 2366  12667 12795 2265  7762  13812 12627 6603  17864 2434  11388 19812 23602 7674  18454 18805 6702  14458 3694  15682 25294 13974 2173  24981 24403 11358 517  

9735  27    16546 7764  14017 4428  16357 18108 23818 9396  9639  16902 24259 5998  12656 3865  8466  6760  2888  14422 24142 25197 454   4191  2911  11385 20911 19272 24637

2745  166   5253  1872  23449 20623 23755 2067  23098 9968  10966 7683  21262 14998 8914  1881  24954 8412  15529 17738 16098 10086 15824 17754 8518  13662 1507  18278 12091

8253  10797 17199 12975 19376 11695 13747 1962  8864  25884 5388  25428 9843  22509 8154  5269  14991 21946 19683 16726 19498 5674  7503  7227  6718  3946  7089  18985 1822 

 

n = 30

 

Исходный массив чисел: 4, 22, …, 27526, 27535. Здесь найдены три варианта массива:

 

1.      заменить числа 27468 и 27535 на числа 27562 и 27598;

2.      заменить числа 27468 и 27526 на числа 27562 и 27589;

3.      заменить числа 27418 и 27526 на числа 27546 и 27555.

Магическая константа равна 400064.

Далее показаны примеры магических квадратов для каждого варианта массива.

 

Квадрат № 1

 

ORDER=30  MAGIC=400064

 

19943 17905 1966  6880  18732 8307  1633  17833 706   11659 27296 654   5998  26397 19812 12055 2362  26682 20065 27357 17424 18391 17271 19360 1507  166   10966 19858 18418 2461 

8736  21829 7695  12771 14058 5386  14991 14985 20578 3864  19255 20229 778   483   24828 562   15529 18117 9598  24637 7119  24928 25263 4     26374 26840 9522  6252  10296 4557 

10806 14924 2965  18920 378   18765 5062  25928 15558 4185  1086  729   576   14832 1952  16653 26781 26999 19952 24588 4794  25844 15115 26760 11984 19554 8257  15747 645   19725

11385 16438 14881 19615 13764 26727 24214 3615  4981  17455 4765  24776 12957 16592 24945 14458 18994 8073  2227  16582 27319 9634  5935  6187  2366  2902  7089  19232 6178  15778

6315  23577 9895  17056 22734 23192 8158  26637 6684  7287  17718 2218  27562 25809 14026 7026  9294  12519 7674  20754 8277  2583  3168  15687 6934  17086 18396 14998 13662 3138 

21651 13747 6259  9274  12732 19376 22522 8545  14148 9386  5946  17982 10761 24954 12658 2067  4855  25105 6702  14958 18454 9414  526   12648 25177 25573 16591 2265  825   24963

26558 6457  202   11679 8653  23755 18474 17738 13454 12622 9427  690   27247 2578  16285 26527 8095  1776  9285  19683 27270 121   8347  16744 16015 11965 8883  17754 16098 15682

24678 588   10086 2911  26905 2576  1962  3091  8005  21498 5458  19482 23809 4702  9843  8077  25256 25236 19134 16536 3246  17646 17199 13639 15835 17907 11686 18337 3258  21478

4126  8680  1881  9015  3046  16078 4306  24754 16735 26707 20823 26365 6115  2079  2970  21865 14017 1935  2286  4880  19246 15369 7824  27209 19755 21262 14242 27045 21766 7683 

27598 12656 25078 18985 19761 20319 2326  10494 18459 5098  958   5422  14464 4974  2475  2182  5397  18346 8792  25006 18058 18162 22702 5388  14168 20893 18841 8466  18958 5638 

26367 391   26277 16537 5674  10791 14085 11739 9346  1795  17826 6439  24259 7249  5642  26292 12847 3442  23343 19212 1376  12318 5071  22884 2688  20295 16222 20299 23484 5874 

14391 19272 19602 25294 11209 16269 21896 22    4743  20859 9276  11816 21078 15286 12667 7447  22725 9648  7834  5936  27382 11388 20542 10606 14206 1755  9094  6835  5088  15898

7186  1165  9387  11695 24306 9036  24096 6084  19808 9942  23602 5298  20785 14784 13812 17916 25582 11358 23870 4592  18132 16186 2038  26475 4960  8914  1626  10419 4173  22837

9840  22188 12573 18872 18675 2958  1908  6693  18247 17940 21874 2944  4832  6531  7503  1111  535   852   23953 24387 22234 265   12262 27261 16480 11785 13984 19880 26995 24502

12939 14756 20618 22342 1903  8754  17221 19590 10705 12975 4198  27049 3390  25429 5172  7627  20182 22117 27285 7062  663   1858  8149  2605  14566 23449 24585 7402  22585 2888 

8412  2373  15704 9684  6718  3694  16746 8628  27189 16902 14688 7978  15205 9535  1449  24142 25392 9301  18513 3622  25735 19941 1219  26676 19292 19280 3294  12627 16770 9355 

10664 3852  18085 20888 6502  7762  18562 5915  3226  648   9571  666   23790 26167 9880  21361 18735 2785  25222 16192 627   6583  27280 23098 10489 13472 27238 15128 8014  17662

319   10698 27355 25893 26709 15848 4054  15943 23694 7465  346   3973  5926  21253 2409  20784 22816 8154  13765 19678 21694 15516 19592 19606 8864  16647 922   8023  8253  3865 

23163 8851  14386 274   18607 19165 7782  11696 15853 4414  25798 22081 22054 3564  14359 17698 895   25618 3930  1284  22448 26480 10845 4279  10579 728   25428 16474 58    21273

7952  22119 438   9330  22983 2155  23818 4464  16866 26185 7764  6295  11790 14672 16645 26545 2556  12675 18805 16335 25807 6603  10887 3345  25015 9778  9483  10797 5269  22688

4954  17885 24322 5242  6760  25834 9861  25906 17268 26419 636   14046 3174  26826 27526 6585  18274 1822  18922 7712  13905 8874  16688 4162  14962 1642  12955 9633  20074 7195 

21066 2173  14736 1736  9717  18895 15126 18069 17664 8518  11065 26518 9166  9193  25614 16890 4918  24552 18496 15824 9639  2745  10786 10201 21970 21685 18177 12406 2434  85   

6855  23962 26096 9296  16294 26014 12684 6567  7068  8421  19147 22368 13666 25267 16105 19251 10669 915   17496 355   12982 9742  7227  861   382   13974 27418 10291 23089 5602 

27085 3505  2839  1872  1842  9382  24981 8568  1678  9184  21946 21615 19428 14494 12795 9968  1255  15860 9031  24394 5772  12558 22509 23658 17635 4472  15709 18963 22558 14508

5854  17835 9760  25398 24403 2751  20362 9735  15884 8372  24354 17864 7136  4428  23775 7726  18278 2515  5253  9849  5305  16137 20974 5485  17187 6188  21186 4959  26302 14809

21919 4788  14179 8185  13506 6385  8766  16726 6171  26394 2614  7809  20623 6036  18846 7915  3649  15984 9975  27    24538 26768 17482 21226 4594  15981 14719 14946 20695 18618

15894 16123 4209  6981  19644 15646 17889 11857 26295 21955 16568 26660 2974  8901  12442 15882 19818 23665 1282  6054  1921  22386 18355 517   1581  5818  7339  913   25298 25197

3946  25195 21055 17238 16546 3595  2722  26892 13369 19498 27193 17838 7438  17840 27156 18742 26914 16940 20506 10689 634   9396  2964  94    22971 454   3690  7051  10736 762  

3366  18865 26943 14534 4369  11583 20911 7784  15974 20326 25064 5526  9229  4191  6816  12226 8196  17149 2679  9985  7078  6344  18108 10462 22738 23242 16983 18409 3663  27321

6096  27267 10592 21667 2934  19066 12946 23566 9708  12091 3802  26734 23854 15018 9657  2484  5248  9924  4189  1894  985   25884 23736 12937 8790  16357 5539  24655 14422 18022

 

Квадрат № 2

 

ORDER=30  MAGIC=400064

 

576   20326 10791 18396 16744 19292 2326  7809  8568  26840 4981  24322 5305  27280 11583 14359 1935  666   10664 12406 10705 12442 26676 18805 2974  18132 1086  26292 20065 17718

13662 17271 9735  15682 26419 7762  27382 1165  26768 24655 2484  14991 20823 2605  14719 1282  1894  8073  18562 21865 6344  10669 25392 8347  9296  21478 15860 9166  4054  11659

16582 17455 4189  22971 6702  2902  14688 4594  1952  19498 21055 16015 13764 13506 23755 8014  21226 18675 25398 5638  26943 6502  1376  6934  19280 5458  26905 15369 4173  8545 

6718  10786 8628  4126  3442  24776 8864  21361 18454 5485  13747 13765 21970 9386  85    5874  8754  20893 7136  19941 19165 26826 22188 24387 17754 588   23658 762   8023  22522

15709 3864  1736  23694 18247 16474 346   25064 25798 10689 25105 6567  14946 16591 4880  5071  7695  16123 27156 19943 20784 3226  20182 18496 2461  17885 8412  3390  11696 7834 

10579 13639 5242  15984 9229  9535  2888  3138  15126 8277  438   663   26995 7782  7683  6084  19251 18409 19592 8307  14464 24096 7078  24828 20299 20623 16537 20754 15835 26709

17635 20229 17940 1872  7062  15974 23602 19360 19212 9985  4464  25298 19818 18085 3174  634   26999 690   7051  18607 3649  7978  18618 5539  22702 382   23566 3622  26660 9657 

4743  19812 8653  14242 18058 17835 25844 8196  12318 15943 10494 15529 16357 5936  26707 16647 729   2745  2688  5088  16688 4592  24214 5935  25614 9387  25294 10419 23242 6115 

8901  18865 23775 24306 8095  7339  25222 9895  5386  12946 4954  18513 636   645   25428 8372  25256 728   27319 14534 1903  1822  27189 11739 23809 27418 2475  22983 7249  2362 

21919 1962  19858 6816  26394 18337 16726 17086 22725 6835  25197 10291 10797 3246  15018 1111  19725 15704 9717  14672 14386 26545 13905 18994 2038  4832  2265  15884 2155  14924

27085 20618 25582 9396  22117 6187  27209 6259  14458 27267 14206 1776  2067  9330  12955 22816 1633  21955 6096  9285  7438  2614  7764  15128 6457  7674  24963 27238 3973  8518 

24585 9648  18022 6385  14566 9301  25263 2839  895   14958 3694  27321 15646 19482 11695 17268 11785 12656 3663  3366  22    15778 14784 2556  22448 27193 4960  23484 25195 10606

16568 25618 9571  6603  2576  24981 2173  11816 23098 18732 17833 7119  27562 18841 18108 18346 2409  16192 9193  19644 9346  8005  14058 14985 1284  6295  11790 11385 23854 2079 

535   265   10761 21253 4279  19678 2751  11209 58    17496 17199 26096 706   12795 9274  27535 27261 2578  1842  1921  9942  13369 8466  27357 26637 18459 26518 25884 9778  18162

2286  23343 6693  2964  25735 12226 21066 627   27    7447  19880 121   23665 15824 18391 22585 27355 24354 166   14809 6880  6684  17664 18895 9975  9633  23818 454   23870 12627

1755  26365 15115 8736  16546 18846 20785 24945 19590 2373  16285 17424 22509 22884 27049 3615  1858  9684  17840 8874  21651 2366  6171  16735 18117 3690  913   654   18963 7726 

22837 5998  16294 9414  11388 6583  12939 7026  19606 14391 8158  9522  4974  4428  13984 9427  22738 6855  16105 19683 18177 12732 26781 9031  3046  19147 8149  16480 25893 18278

10462 12937 958   1626  1581  5269  9639  26760 18418 16269 7068  6054  14962 26914 5915  15516 14179 19615 21615 18742 319   19376 10845 17221 12573 27285 8421  25906 14736 8883 

27045 10489 9861  5253  24259 8257  17826 5062  24678 23577 16770 378   5854  14881 19554 19066 2934  16746 15882 8185  13472 915   3946  14017 25015 10592 562   7287  24538 23163

12658 22368 18920 26367 19134 9843  3091  26295 5388  1642  1678  14832 18355 20362 16222 26558 5946  21829 6252  3258  25573 9184  922   17889 2785  13812 4794  10086 22342 11679

16098 517   25177 20974 26527 852   18922 6760  778   10296 14998 12558 26014 19755 825   19808 24552 3505  17646 3294  7712  15853 22119 3168  7402  16438 20911 21896 1255  13454

21262 4959  5248  22081 6585  9760  7915  14422 7952  17916 26682 2722  5422  21667 21498 7186  15747 2227  7627  23962 16335 23449 14085 10736 22386 9276  7227  17838 4198  21694

4765  355   9598  19272 11358 13666 2965  25834 11686 5098  25006 26277 6178  1507  7784  12055 12847 16653 25429 15894 9634  15981 14494 861   17905 8766  9968  21766 21874 24588

22688 26734 14046 3852  7824  25807 12519 26302 9355  1449  12957 20578 25267 16078 2944  15898 18274 17482 5818  17662 7503  16890 526   21685 5298  7089  27247 2911  2679  4702 

9483  25078 24502 6439  8253  19761 23953 10887 5674  22558 16592 483   4162  20074 9708  7465  22734 2434  24637 7195  24142 24403 274   12622 6188  12675 9382  12975 4472  20859

4209  9880  18765 20542 2218  1881  3595  16983 26397 5172  12771 25928 14508 15205 8914  26475 391   27296 20888 16186 18474 24954 15558 4788  9294  10806 14168 11065 6981  5772 

15687 2515  24754 8790  17238 16940 648   14148 14026 9840  5526  8077  4557  26167 985   25809 17056 26480 4     11984 26892 27589 12667 26374 8154  19255 6036  202   10966 10698

20295 2583  19602 25236 4414  22054 12091 4369  4855  20319 9015  24928 17982 2970  12684 19246 6531  21186 17149 12648 16137 5926  14756 2182  9036  16536 11965 18069 6315  18985

3865  1795  11857 9094  24394 26727 9924  21946 19952 12262 17738 2958  4918  1908  27270 94    4185  22234 9742  23736 4306  20506 3564  17864 23192 15286 12982 5642  19428 20695

18872 23790 4191  17698 8680  1219  16902 17907 16866 9849  23089 18958 3345  3930  21273 15848 26185 5397  17187 18735 21078 8792  3802  1966  16645 13974 19232 10201 5602  8851 

 

Квадрат № 3

 

ORDER=30  MAGIC=400064

 

5098  9274  23870 24322 19590 20182 19880 10786 24502 17149 20542 627   94    2475  18162 18618 18418 23953 15205 16591 4960  9880  535   19482 7503  20506 636   4369  14832 8023 

14058 2326  2079  18454 5248  15860 14688 26518 2515  22816 4954  3649  3246  19272 454   26167 16890 8257  16940 9031  20754 20695 9708  26475 25006 14458 16222 14924 17838 562  

3564  2173  21253 12442 18562 3973  8914  4557  9639  1581  7402  18247 25906 21667 19858 9684  12262 21273 10086 2839  21498 10966 9330  24394 19147 12946 18985 6188  14046 26682

22585 3864  20065 24403 12622 10887 6934  23658 9427  2902  27555 10669 7195  8073  20229 1282  14998 22702 11686 121   17916 14809 24588 391   22448 4464  26185 915   8095  18396

10201 12318 17086 1872  6567  26999 25844 8883  2434  1633  15704 15981 6084  26374 23962 9294  12519 7186  1626  24142 26676 15884 4788  852   13472 18765 22837 23163 16536 382  

11209 18607 19376 9229  19498 9985  1908  6880  14534 11583 24538 17187 24954 4981  6760  5772  6252  8851  9382  12847 24096 8680  762   27355 10736 2155  26914 23242 21896 9895 

2362  22971 25893 16123 666   25884 23577 26943 2944  4832  14991 9483  26014 14946 18117 3294  728   1642  3091  2409  861   25798 4414  23790 5298  21651 21615 21970 16098 11659

588   16568 895   8754  2227  14148 9942  24945 18735 18872 438   12648 25834 16137 20362 22738 12955 17840 19251 16078 3366  346   17496 4     16647 15682 5458  26760 9387  24963

10705 18177 21946 10592 7978  11385 7287  14719 22368 17864 17221 26826 24552 4794  7809  3174  706   14085 10698 3138  12939 1795  9633  17238 22688 18132 9861  25618 17940 8196 

21361 13984 985   5926  19644 663   25078 4594  16770 19602 22342 16645 15115 24776 9346  6816  9193  20578 8149  9535  14985 2679  21226 3168  20074 16546 18496 18069 7683  6036 

27261 1284  6583  8568  22509 922   23775 2038  14958 19952 4185  22117 27546 378   18865 13764 576   690   27238 9355  23343 5602  19360 23098 17698 9849  1881  14736 18958 12975

26397 2373  9840  12055 11695 26892 4743  2970  19812 24928 24754 8736  12771 8874  6693  14962 12732 5242  6315  27319 9414  25064 20893 1086  15835 8277  14168 2286  17056 15882

2182  15747 9571  2218  274   16357 17268 3690  1678  17718 11816 16746 26905 21685 17424 17833 3946  9760  27193 16192 26295 25573 10494 10845 5935  12957 4198  17835 9968  19761

20823 14422 2265  25428 5638  1376  7952  2576  2745  13454 1842  15286 1921  27357 19428 9015  26558 22386 7119  23449 18805 21919 9717  10689 19134 14784 25263 202   20785 7726 

27085 6702  20974 19615 13639 6295  1962  13662 4974  26302 16480 14672 12684 5253  9975  3046  483   7136  12667 26367 8766  15646 20623 16438 265   26734 24214 4702  16015 16688

4472  1903  15558 23566 1858  8154  18108 16537 5062  19592 18459 26707 21055 2461  22188 7026  4306  9843  15848 21955 355   5172  25392 10606 15898 2688  17199 25197 13905 18994

7627  6684  18846 17905 18346 17754 22558 6502  24306 4209  778   9598  8653  25294 6718  5642  7078  10761 27189 21186 18278 8628  1952  24259 10664 19941 25105 5874  9184  8545 

4191  23755 10419 5946  22884 13369 16983 27209 15778 14391 2578  16866 7674  6457  7784  17885 18474 20295 19818 7915  1449  16735 15529 24678 645   17907 5088  16105 7051  14206

13812 27296 1966  12627 9634  21078 7438  14566 23665 19212 14017 10489 27    3622  12226 9166  23694 19165 19232 20618 13974 21865 1822  2366  27247 6531  14881 1736  1507  24585

21262 7068  27049 2605  15984 27535 6855  25807 1111  8901  10462 14179 1755  25177 16186 25195 17889 9094  24981 14359 2484  7465  21829 2974  319   22081 13666 3442  15369 6981 

22119 9924  19292 18274 26480 9396  11679 1935  18922 2958  26365 20888 6171  654   22983 23484 2911  6344  24387 12937 6115  4959  25398 7834  11790 19066 2067  4428  3595  26709

25236 16902 8864  10797 22725 8005  9742  8307  17271 5422  648   19725 21478 4918  9386  23809 8158  27156 3390  15824 16335 26660 2751  2888  25809 19606 7447  8790  17826 4189 

19554 17662 15853 7764  14386 1219  18337 5539  19280 19755 23602 7762  6187  13765 5674  19255 517   2614  11785 5854  6054  15018 26637 27267 16269 26768 2785  16592 5526  20784

2583  18409 6585  26096 1255  24655 20859 19246 18742 7062  8466  5818  8347  23736 3345  5936  27045 7249  2556  19943 25582 5071  10579 9657  23192 9735  5998  27321 3930  21066

14494 20326 9036  166   12658 913   9778  11696 24354 6835  9648  11984 25928 20911 6439  16726 25256 25222 11965 11388 26419 22234 4880  26292 729   634   11358 8372  19808 3615 

6603  20319 12573 3694  11857 27280 8421  26781 3865  17982 1894  17664 18022 12558 1165  8077  18513 23089 12091 5386  15687 26394 23818 5485  3258  85    12656 24828 21766 8253 

19678 14026 8792  24637 18920 14756 4162  7824  10296 17482 22734 5388  6385  26527 21874 15894 25614 12406 25015 16582 2965  9301  22    3852  3226  4054  2934  27270 11739 15709

9285  18391 13747 7712  18732 526   14242 18895 4592  9296  14508 16474 26545 3802  25735 23854 18841 26840 3505  2964  8185  12982 25298 3663  7782  8518  22054 5269  22522 5305 

15974 17646 11065 10806 16294 26277 18355 15516 26727 19683 13506 825   58    8014  4173  25429 25267 4126  5397  9276  4855  2722  10291 26995 12675 7089  4765  18085 10791 27382

7695  18963 17738 27468 21694 7339  12795 16285 18058 6096  17635 6178  958   15126 16744 7227  27285 4279  6259  14464 16653 9522  20299 15943 18675 17455 15128 1776  8412  5915 

 

n = 31

 

Исходный массив чисел: 4, 22, …, 29139, 29166. Здесь найдены два варианта массива:

 

1.      заменить числа 29065 и 29166 на числа 29172 и 29193;

2.      заменить число 29038 на число 29172.

Магическая константа равна 442886.

 

Квадрат № 1

 

ORDER=31  MAGIC=442886

 

666   7674  9708  26676 4832  27045 23089 19212 15646 3046  24552 588   3174  24394 16015 22386 18985 9634  6981  21829 8883  12667 22    21874 27555 12648 26167 14832 3226  26999 1881 

27238 26943 16222 7447  9633  26277 11857 15704 19147 27792 11965 2286  2409  4765  19606 3694  8518  14046 14058 14168 2155  27882 1842  16438 18618 28952 13639 10664 861   25078 12982

11358 5485  15778 26527 28284 23775 3138  562   16592 4472  4954  11065 11984 15286 12771 3390  9985  24096 15018 3864  319   20695 21685 22688 17864 7465  25798 28380 22971 22448 4189 

16294 6684  2965  5936  17238 9571  10592 6259  8653  4279  18846 22234 9778  19880 28662 28833 27261 3690  18841 627   14206 10086 27804 12622 16735 10806 9535  21066 11790 26727 14386

16536 2605  1962  15128 15205 5874  18562 16890 14148 9843  12656 6855  14422 26367 12939 21896 15853 5386  5062  10669 19615 25177 13984 15126 27846 21946 2556  17754 27468 8792  13764

29139 14881 663   1872  25256 28318 4918  14688 16726 12627 27855 20911 11583 24387 23577 4794  8257  9598  29078 14946 8347  1952  11659 23449 26914 7726  26014 483   5298  4743  2227 

13905 22738 19678 28208 5674  1284  27696 18108 4557  27382 5172  3294  7249  12262 517   18735 15882 4855  17664 20623 21253 15709 7062  15369 14809 22884 9742  8095  16098 8568  27814

16285 19134 20859 16746 2974  7978  20299 25195 18865 9975  19943 5772  7136  24502 2902  20888 18513 20295 17835 5098  3564  6439  3615  4162  1678  24945 11209 28392 21919 10705 25064

19376 19602 9760  19812 27546 27915 9301  10887 19246 16546 15835 12795 26840 9717  9355  3865  15974 18278 5305  2578  2888  17199 7834  1642  18474 9193  27156 5638  2326  26185 23818

20754 14924 21498 28840 27666 7712  17738 3505  3663  20506 18895 18069 24678 985   21273 16537 28749 4788  25006 10797 1908  7402  5935  25906 645   2576  11388 15824 10791 19755 4173 

8158  21970 24963 5854  17889 9427  915   9396  25582 7809  11679 9861  22509 7782  21615 22734 3258  1219  25735 16480 26892 10736 27828 20823 22816 14494 10489 6718  2745  10698 13812

16105 15848 23854 24538 25928 9924  24588 9648  526   4592  17221 23163 9483  7078  21055 16192 18496 8628  19592 24655 9229  1633  14534 391   576   2785  14566 25834 12684 14242 25298

12675 19232 2265  25429 1282  8005  25809 7784  18177 18418 690   4880  22342 12975 27085 28354 6344  17833 4414  27639 13666 7627  2373  17838 17271 5539  23242 7227  10419 28784 17268

6531  23870 16591 729   18396 7915  14736 4960  28236 16902 20065 27049 17662 9639  2218  8412  4185  913   24981 6385  28905 14508 4191  20618 15529 6835  1449  24403 17982 21186 26905

21361 18454 25222 12937 2688  17940 27296 7068  16770 26826 3595  6502  21078 19818 7503  26558 20893 22368 7026  16688 1581  21226 1776  8766  18274 2067  18607 2173  6702  7695  25428

535   19498 23790 12573 378   10761 7186  16137 26709 6816  1755  23484 4209  1894  28716 10689 17907 9276  25884 24259 28809 8874  28980 28280 9880  13369 14985 6693  4126  3091  23343

762   9285  24142 15558 7762  17905 2970  17840 14962 12091 27562 23736 648   28102 1935  24828 17885 20074 19428 12318 12847 19066 21766 5071  25614 20542 5242  8196  1858  166   22725

25294 26475 274   12732 454   27598 6252  12946 4198  6036  26734 6457  14359 12658 9968  16653 27357 8545  19761 25398 1376  22117 14085 24776 10494 18732 11785 85    9330  26295 13662

9735  12442 25197 15860 18391 22081 2182  121   9849  15984 27535 17482 22837 4594  27267 9684  26781 26292 3442  27768 13472 3802  6187  24928 26365 5602  16335 5397  636   4981  9657 

778   1921  1086  25618 22522 19808 15894 28068 26637 18117 6585  26394 16866 27355 24322 8154  18346 8736  922   9414  20974 16474 1255  2839  2362  5388  28449 26995 27418 2751  438  

24306 6096  10296 18022 8185  4428  18922 23192 15884 346   23953 24954 6295  20182 19644 1966  3345  25573 15943 94    24754 22983 28039 2722  654   18058 11739 9386  26545 9294  17086

27321 22702 23665 265   3168  8023  27526 29172 19272 19165 6188  7824  2475  8149  18920 7089  16078 25015 16647 9094  9382  16645 9522  14958 5458  21262 22585 7119  19554 14179 4464 

14458 1165  2079  2038  2679  17826 28255 28174 17455 19360 16582 17149 20784 23809 2434  18742 19255 28182 1822  25236 1903  9840  10606 13454 6880  19683 19251 18805 18963 14391 1626 

8073  24354 25893 6171  26682 5088  11686 8077  27285 24637 9346  28920 23658 20326 7195  14756 4054  14017 5818  23566 10462 4974  15516 2366  18132 12406 6115  13974 22119 8754  8466 

16568 13765 8914  15981 382   5998  19858 16357 8307  16744 10201 634   25267 895   29038 20229 4959  8372  17187 20362 26760 27270 26419 9031  1111  21865 17698 24214 14464 7952  6084 

17056 27280 7051  3622  25263 20578 25392 9274  27    9296  18675 25807 18765 7438  10786 18872 5926  26660 8014  29193 15747 9036  12519 958   18958 12558 6934  7287  19590 18409 5915 

852   706   26374 3852  19725 9015  6567  4702  1507  28595 202   6054  26302 5253  7339  18085 25844 19941 23602 5946  27189 18337 28808 355   15682 22558 2614  29074 18355 11695 27756

18994 28960 5269  18162 12957 23962 14991 10579 825   26397 2583  14998 10845 9942  2911  8421  11816 12226 23694 58    26518 23098 20785 21667 14784 28849 3930  3649  9166  21955 9895 

6583  2484  8277  27209 28705 2515  6315  15687 19280 17646 8680  26768 13506 15115 1795  8864  4306  16269 2964  7764  17635 728   19482 26096 19952 4369  18247 28574 23755 16123 27193

19292 3973  21651 10291 17718 4     5422  25105 21694 7683  28635 12955 16983 9387  8851  5642  11696 21478 17916 16186 27621 11385 24585 10966 8901  8790  3366  17496 27247 14719 5248 

15898 1736  16940 8253  17424 28336 2934  27589 2461  2958  13747 3946  6760  27950 14672 2944  6178  6603  3246  9184  14026 27319 22188 26707 12055 27994 22054 18459 26480 5526  20319

 

Квадрат № 2

 

ORDER=31  MAGIC=442886

 

22448 14998 14046 15853 20893 12975 15126 12771 28849 346   4788  19755 27209 24776 18278 8185  3595  11790 12675 27418 1952  7784  10606 5998  5253  18895 27085 28833 15860 3258  588  

3690  14672 20299 14924 14809 16568 2227  11679 10201 5674  16645 4960  15848 9657  11739 378   27267 1795  10579 2578  25263 14756 27639 19165 28392 85    27321 28595 18069 18994 18418

14962 7062  13747 645   20823 22725 25256 1872  27535 27156 8851  17646 21498 22234 17940 9684  895   2218  14464 28236 11695 14508 27247 15981 2964  15984 22971 2576  355   5071  18085

15747 7809  9648  15974 9522  19280 7952  18742 8023  20754 17664 9184  23809 14359 21667 8158  27994 15646 18732 7089  23962 10489 4189  3694  28662 8257  26518 8545  18765 5485  6567 

10664 3649  17835 12667 12622 12091 26995 636   29065 28039 8518  16866 27045 25798 17718 18963 3865  2265  11696 26185 16137 14946 14736 202   27555 1642  438   18846 319   18337 16546

2911  28280 2944  6585  58    16744 25429 28705 1776  18474 18454 14058 8864  19272 23484 3802  2614  6855  8014  8736  11388 17187 27296 12795 27261 23242 27546 14179 28255 5269  2409 

915   9031  1908  29172 16688 4855  17268 27355 4954  25573 6188  16186 18346 7227  1165  14958 23870 7119  14168 6835  9843  22386 9276  2679  21970 4126  27915 6115  27666 28749 28380

4832  1581  11816 25618 3505  24954 19498 23089 20888 2970  27696 18675 2958  6457  26892 15898 26096 517   10669 24585 27193 8466  21226 12519 535   6259  12937 8421  5088  26167 14881

19134 27357 28635 825   690   19246 6702  22585 28174 16746 6816  21946 19232 21829 4592  4959  18274 22884 2974  922   6295  10845 22688 8347  706   18735 26374 20362 121   26840 7051 

27049 9742  20542 9633  2362  9778  28068 654   3442  9880  10806 18132 28809 27950 11984 28449 6718  8680  25614 5386  15516 4369  16192 25078 14458 14534 4794  17838 9285  2556  24588

17496 9355  25392 7402  19212 4209  2475  22368 21253 24754 4743  4191  8253  17754 7695  20295 9229  17864 19428 22    13666 19615 18108 7503  7438  20785 12658 19360 28952 17905 13506

10966 26475 8005  23694 9760  17907 9382  14566 3663  15286 7195  27589 10797 3946  9274  26558 21955 25928 2515  5926  19678 12648 16105 14386 18607 7712  24096 26768 9942  5242  6315 

18247 15943 21478 16536 6583  18958 10494 21262 17833 4472  4880  8196  2173  4974  778   5946  22117 14206 23602 9861  27846 15115 18618 8277  29074 19376 4162  20784 15884 9975  25236

16591 2934  12055 1903  10786 9015  5298  17916 9849  12982 22983 19606 16582 26781 18117 5935  7834  13984 18922 18058 16592 23755 23577 3366  16480 28284 1881  274   8077  27814 24655

26277 9483  7078  7674  15835 634   24306 28960 14242 26682 12262 13905 5458  6054  5098  27189 13662 9036  27270 4414  2583  27468 20182 28182 6760  6171  7726  15369 7915  12957 22054

9634  9535  5526  17982 19292 2326  1376  12939 2038  15682 16537 8307  27238 1966  19644 19952 852   7978  1282  20326 25015 25195 7249  13369 26480 28354 21685 27319 16653 4428  26727

20859 8095  1219  17662 28318 16285 6096  11358 21865 11857 28784 16335 9166  19251 9296  9895  27598 3091  2484  1935  1842  10705 14985 16983 25222 265   7136  24259 22188 23449 24403

9346  6684  6693  5642  19880 10791 1284  23566 9985  391   18355 18396 19725 12732 20578 5602  17199 18841 23775 22837 17221 19818 18496 19683 19592 22558 6981  562   19858 23736 2079 

12955 18022 15018 14991 19943 8766  10086 25267 16890 13974 26367 15704 16902 9387  11965 18459 9094  14719 23192 26302 26943 666   6934  23790 913   9414  9301  18177 8149  9735  861  

5915  18805 25893 22119 28208 19812 25398 1255  2067  5539  2751  24828 3226  5248  648   27285 25294 21078 20695 22342 21896 15778 627   12684 1894  24354 11209 20618 7627  8154  9639 

26707 10736 29166 8901  12847 21766 25834 27382 12946 23665 4594  19761 166   5062  6385  12406 21919 28716 15687 11385 483   4306  2745  18513 15709 10462 25197 17698 3615  1858  16269

6187  17056 14026 15205 18920 2785  24552 16357 9598  22509 2366  3246  24387 9193  5854  19590 28336 26394 8790  20319 2373  17238 1086  23343 16438 17840 8628  6531  17149 28808 7782 

1921  23098 10689 25884 3852  5422  25844 2461  26676 21066 15558 2722  27621 7762  27562 24678 19255 8883  6084  24981 17826 10296 4918  20506 8914  7764  20911 16123 16015 7068  526  

26914 12318 12226 5388  17738 14017 5874  18865 382   6178  21651 14085 9717  16940 3973  25177 729   17635 16474 14391 27792 12573 10698 11583 22734 20065 26397 10887 15824 5772  17889

4702  25428 8653  1755  6036  25298 7287  6603  9386  18409 24142 14784 3294  25906 24928 1678  14832 2888  9708  25064 10419 17271 12558 19147 985   28102 17885 12442 15894 28840 18562

28920 26545 11686 18391 16770 14422 26826 2155  22522 13765 25582 4981  27756 23658 19482 5818  1962  24322 16078 3345  19066 20074 7186  21694 94    5936  2965  4     3864  22738 4279 

10592 6344  27280 22702 26419 26014 1633  20229 16294 24945 1626  8372  21361 27    9968  13639 9427  24538 6880  11785 1111  4185  25105 1449  4054  10761 5172  20974 27828 26365 25807

16647 3168  4557  15882 21874 9294  14494 13812 27804 2286  6502  454   4198  11659 23854 5397  20623 26999 16098 23953 12656 25006 5305  21273 9571  18872 4173  7339  18162 24214 26760

24394 16726 8073  10291 9840  576   28980 1736  4464  3564  26527 13764 663   19554 17455 25809 8792  3622  17086 3174  1822  15128 24963 28574 26734 19602 13454 14148 27882 8754  16735

24502 29139 27768 22081 5638  29078 2434  2902  3930  16222 27526 21615 3138  8568  21055 1507  9924  26660 27855 19808 17482 12627 8874  2182  26709 17424 4765  6252  6439  958   7824 

762   22816 18985 28905 23163 26295 8412  2839  26292 3046  15529 24637 7447  26905 23818 26637 11065 25735 9396  14688 9330  7683  13472 19941 728   7026  2605  2688  21186 3390  7465 

 

 

n = 32

 

Исходный массив чисел: 4, 22, …, 30906, 30930. Здесь найден один вариант массива: заменить число 30811 на число 30957. Магическая константа равна 487920.

 

ORDER=32  MAGIC=487920

 

391   2265  265   11965 29706 27270 18675 10845 8277  8095  12656 26781 27546 9633  24552 9386  9598  26682 24585 19678 6259  13974 26527 10201 30397 2484  2576  18846 3226  29748 20785 14046

4     29542 12519 27950 24259 30802 10086 4189  562   16645 26365 23343 3091  9483  2722  27280 27804 27209 10669 19602 9634  17268 7287  16647 2038  27321 24394 5874  28809 4209  1633  8680 

22725 2785  13506 4054  16098 26167 18247 9276  18346 12055 30687 18958 19818 23818 5772  13639 30879 29760 6295  10296 8874  7784  5935  6684  4428  18058 30262 645   21766 18920 12091 19292

20859 1736  2958  26302 1776  26768 6880  1795  26374 2373  21615 2182  6252  13454 16770 29772 28840 17835 9843  16335 6567  27828 1086  1935  25222 17662 26676 20911 28392 25078 6036  19808

9387  23665 14026 10462 11739 19165 12975 17833 121   18922 16357 27247 22971 27696 28784 11065 9861  18963 10489 8412  29607 9184  9985  5998  14946 22738 2475  17086 7503  11816 27814 8628 

3864  3390  2409  4414  24588 5253  27    14719 16592 28635 10698 28284 9427  12982 20182 16568 706   18409 17754 5098  29515 14179 18132 27756 30138 22117 5298  14534 18278 30930 13812 19232

16940 28960 25398 10291 7026  29398 26709 16746 28236 12406 12946 12732 15898 20695 9942  5526  14391 12627 6934  7447  3366  3595  27526 7627  10606 21226 26760 26914 85    13662 10797 14508

2155  2688  9522  29624 24754 319   29227 25428 6855  14958 12558 4702  23098 14464 8014  26394 7078  18418 19812 7834  15778 25809 15848 24928 18994 27535 7402  5915  19615 8851  25064 4279 

17698 27855 21078 29182 18607 25618 29902 7809  14386 7119  29506 26014 24637 535   2839  28280 6693  6981  20326 5539  2745  4592  4743  5248  4472  17982 14206 24502 16983 7952  30957 2934 

28318 21896 27045 6531  4126  18454 382   20784 15646 1642  3865  1376  17149 23449 861   7186  25015 21865 29172 3294  11696 25263 3852  22342 18985 18108 27768 25294 18742 19147 17905 762  

2434  2578  28952 10736 23854 14985 7782  852   19554 9382  28849 23953 5242  3649  16536 4198  23566 16902 20295 958   30505 17187 16285 27621 7438  25928 26292 30865 5485  9735  19134 6188 

24945 6457  28595 17424 17889 21685 2964  1165  24354 7978  14085 25105 1842  7695  27382 12771 11659 9036  29794 29166 7227  13747 15558 11695 3622  14998 2326  27468 28182 6835  3973  30298

9717  6585  23089 21361 16123 29371 26826 15747 3802  24981 25197 10494 18735 9708  4191  30393 648   1282  16480 2583  29265 22188 8914  5422  4981  29424 202   28574 18085 22448 8257  12847

5071  15835 11358 28808 2679  5638  654   25195 14688 1626  9778  28354 9840  19761 13472 94    4765  26545 7089  9742  29344 29890 12658 6178  9639  30384 28980 19952 27156 16294 26558 9895 

274   28336 10689 10786 636   22558 19498 27555 4173  16222 8545  9294  18396 27355 7683  22734 16735 23809 6385  10664 19428 29960 16744 27589 8073  634   10966 5088  4855  19858 23736 28662

20229 12667 1903  30258 9031  14148 27598 15894 6187  26995 6096  12937 8077  3946  21694 1908  19755 20506 16078 9274  4464  19272 22688 19592 19725 9414  3345  27296 13666 30658 17738 14881

11388 20754 825   16890 18117 27418 1881  29529 29758 3174  9229  15687 7762  29193 8421  28039 25573 5397  9880  16653 2751  18355 12684 20362 26840 8766  16186 2614  8023  19943 5305  30523

23775 9094  15529 29139 16688 27285 9193  15943 29065 10761 8372  58    20623 18765 11785 11686 21478 10592 4960  29038 483   19246 14058 25582 1894  7068  8005  14809 6344  26707 23790 16105

7764  18496 9166  12226 29254 17718 7249  23694 22081 25429 15709 1858  895   21262 22884 8466  25614 346   18513 15018 13764 15824 9396  28833 22368 16269 23163 985   13905 11984 526   27261

15981 26660 22386 6760  15369 915   18805 29634 12262 4369  1284  9535  18562 15205 22837 18391 4185  24538 30055 17907 26905 2218  29893 3168  24322 576   17885 15853 6115  18732 11857 14756

20618 14168 24678 5854  12939 16015 7051  8347  24214 20823 28068 25735 438   5642  22816 28208 12318 18618 26480 27049 20974 6718  25834 14242 15704 8196  5818  12648 26185 690   666   166  

9015  17838 25006 22    7195  5936  4306  30766 28920 17646 16582 2605  9330  4162  26943 1255  5062  14672 2902  25392 23962 23870 5674  26734 21651 2515  29434 21066 14924 28102 20074 14359

18022 25906 22054 13984 29695 4880  11209 5172  25844 18841 7136  24963 17840 7712  25807 29551 27267 3690  5926  26999 20888 3505  1962  5946  24655 4788  14832 23577 1581  1822  15984 15882

3442  27562 11790 8185  8149  6054  29623 1678  3615  26518 29540 18865 28716 8754  24387 778   25267 4594  9924  17271 9849  16726 28749 20065 9301  18162 2944  8901  24306 9648  27319 17238

5386  6603  19941 24142 4954  8736  27666 7062  27882 23602 21946 3246  17455 8568  27846 29461 6502  19644 14962 21273 15860 1219  13369 27994 588   23658 26367 6583  15115 2974  22522 4794 

28174 10419 8790  2227  15128 21498 26419 5269  10705 9968  29364 13765 27915 17664 3564  1111  3138  25893 18177 19376 29074 10806 23242 15974 29826 1507  2970  11583 5602  12442 24096 22234

23755 15516 1449  2965  29538 2079  7465  20299 21667 29484 9355  6171  16546 29565 20578 8518  26277 17056 20542 14494 22702 27357 11385 6315  30906 2067  19482 6084  454   663   17826 19360

29938 9975  26637 18474 19683 14422 25298 21055 8307  4974  378   28380 20893 25256 17496 4832  17221 28449 19066 10887 627   7915  27238 2362  1755  10791 22119 4918  14566 10579 6702  26727

30390 3046  26295 12573 517   1872  19880 26892 355   16192 4557  19280 4959  8253  7824  22585 7726  1966  26096 18459 6816  12675 15884 29456 23192 24828 14784 12957 28905 12622 27189 18895

25177 25798 21919 27193 9296  2173  14991 24954 18069 29583 14458 2366  24776 28705 728   12795 9571  12955 16866 16474 1921  17940 25236 8792  21955 3258  19606 14736 3694  8158  9760  14017

28255 19590 15682 8864  21970 9657  17199 3930  7339  27639 2888  2911  18872 11679 17482 8653  16591 1952  9285  17916 21186 16438 7674  15286 18337 22983 23484 24403 27085 29078 5458  8154 

21829 19255 2461  18274 16537 3663  21253 17864 9684  8883  19251 30739 20319 19212 15126 26397 16137 729   2286  27792 25884 5388  21874 9346  922   26475 913   6439  30288 17635 2556  22509

 

n = 33

 

Исходный массив чисел: 4, 22, …, 33384, 33387. Здесь найден один вариант массива: заменить числа 33384 и 33387 на числа 33462 и 33528. Магическая константа равна 536844.

 

ORDER=33  MAGIC=536844

 

1086  16591 14998 31846 23755 21829 9522  3168  6096  663   28705 20295 6084  5098  22971 9924  19755 30384 33056 32786 12982 33090 14206 483   7119  29538 26545 5818  6187  9015  32197 4954  16098

690   31257 30906 27049 28102 9294  12519 29074 21253 12771 2461  8154  8754  58    27045 4594  24776 3390  14924 12937 30397 1626  20326 4189  17738 7712  23694 8680  27189 8253  25834 21615 29583

94    8073  26374 13974 9094  10291 20618 5242  20974 18355 3258  27828 9639  6531  4832  22725 9166  22509 9031  30879 5935  30138 19683 25197 20229 17864 30930 25064 27882 16983 11686 5071  20695

12795 29565 32854 14026 25582 14534 5854  31956 346   27270 22386 26682 17187 6502  10664 16744 20182 6880  30865 14809 2974  985   18985 32696 1111  13765 2576  14985 17149 13506 26707 7824  15898

27296 27267 12622 29515 19818 21498 31476 10419 4855  28635 28920 202   9296  9735  19212 6457  8023  4788  31959 1581  12847 13905 14464 29434 8095  28952 15687 25392 16438 6583  5298  6585  19590

7726  33097 28255 18805 19134 12406 14148 25614 2839  18418 3690  1935  274   27562 31598 31119 29065 27555 4918  23343 2373  4054  18607 25893 8628  2614  15369 517   11358 15646 15529 22738 32017

28960 29893 19644 25398 14168 27915 2556  28784 166   19280 4162  1282  29371 24963 24096 9301  13812 634   19943 5638  15824 14881 7809  9386  18994 9276  16770 17424 14736 15128 10791 28574 27285

9571  6855  8874  10494 29078 25294 17885 19602 32593 6295  20074 8149  32793 2265  26527 21766 8653  16186 16015 535   25573 382   13747 23192 18846 32697 19808 32896 6567  12975 15984 2934  11739

9708  3622  8883  9184  24387 25735 5772  22448 9840  2688  16480 12318 5388  15682 9355  28749 26295 9648  319   27355 5526  31099 33063 27814 25809 26365 29254 23775 22368 25236 6439  2067  4173 

29227 915   11984 7051  6344  25429 18562 5602  4743  31765 3615  16902 25798 25195 17662 24585 7227  20578 27756 16940 1795  24552 14058 15884 23566 8518  30298 9427  33528 3505  22734 1219  19880

6718  13472 22    2970  2409  4794  9387  11696 14494 5422  7136  27639 27792 14688 10296 22702 15848 14359 27382 15286 2722  32899 26995 27846 20754 27546 25078 30802 8372  26660 17905 8077  26676

28280 26367 9274  11965 4198  31585 4765  22119 27319 28039 26709 10698 14179 1507  1921  4185  29758 17238 23163 33027 19292 1858  10201 13984 30739 12091 26905 7249  25298 10806 16294 2605  3226 

29706 14085 3091  11695 438   26558 14832 20319 15205 588   9598  17496 24678 32982 4464  2227  31648 19428 32883 29542 17199 2679  12939 18391 12656 27321 10761 1449  1908  21667 4209  32226 31976

5253  28905 18958 18085 28809 2362  12226 3246  5269  28336 20623 18337 9968  30258 12732 4557  2911  12648 19251 22081 3294  31746 10736 1822  14566 30687 9849  26840 27468 30505 23953 12558 8005 

32724 26999 23242 26096 6693  23870 5458  12675 29038 32638 15709 24981 6981  28808 17982 7674  14017 2583  562   6385  18454 19761 28174 14046 5305  20785 1776  958   24928 18117 26302 9985  3138 

10606 16123 18513 26014 27280 7447  30658 19066 21946 17916 18922 18247 19952 2745  9975  25006 29166 5539  648   33315 3865  10797 13666 1633  13764 2751  9535  21874 17221 22188 26727 12955 20784

27526 6315  1678  26394 17835 32991 7978  825   31693 25015 16474 2578  30957 3564  15747 7078  29364 4981  26185 1894  24306 32418 16078 666   17056 20859 15882 24214 9634  20542 6760  26943 4414 

29760 31724 25844 17635 30262 12684 2218  7695  29794 6036  16357 32458 4     23736 29193 6252  85    8307  16735 29529 14962 25928 21186 9633  4959  24655 3174  18108 12055 15835 9036  12658 8347 

728   14391 3930  9717  24354 18841 24754 23818 8412  922   454   16726 29172 12442 23484 27261 32283 20911 5062  19606 24142 18459 26397 16645 18895 852   21226 18872 25807 27193 378   7764  12946

28318 18132 30991 18765 20823 11857 4880  22522 29960 636   25222 11583 21919 22585 7062  1872  2182  26292 6188  11785 11385 2965  29938 15974 27156 1952  17838 1966  9880  18742 32206 18865 24403

27085 19725 22688 1255  2964  10489 16536 2785  15778 2944  17698 30055 3649  30390 9942  19678 4974  26760 29748 1642  29139 7952  21955 15126 32552 391   14719 30393 19941 18474 2888  21262 25267

23790 1376  7186  19360 9193  14672 2434  18675 23665 23809 19812 24394 6171  2484  15853 16222 10966 28208 5926  7762  31096 24259 14458 355   27855 2475  12262 25428 22884 26781 526   33462 33045

27994 5172  10579 24502 2366  16647 32602 25906 11209 8545  10689 13662 24637 10887 21361 8185  22342 576   19615 1755  28595 29344 654   24588 7402  13369 10592 7784  21478 17940 15981 32648 27238

16269 913   11679 3366  32755 3973  25105 29623 19255 5936  27950 14958 8014  17718 26637 25256 9483  32962 29695 9382  1842  7287  6115  16653 8766  21651 6702  3864  15558 18022 30946 27621 20888

21055 18069 16335 2902  3852  17833 26826 11659 18274 23449 29265 26892 7627  26734 18396 5915  29551 17271 7915  2515  20299 21694 778   5946  30766 10086 9742  28833 11388 28182 5397  14508 16890

3345  22816 27696 12667 11816 10705 25618 16866 16137 32386 3046  4279  13639 28392 2155  5874  7089  9861  7438  23577 23658 8792  18177 27418 26768 8568  4126  31488 4428  28284 7026  29540 33169

16105 22983 29424 6054  2958  9895  28068 27589 3663  10845 3694  26475 25263 14946 14422 23854 18618 21273 21896 17086 29398 32989 15115 18278 22837 22054 2326  9346  12573 645   16192 3802  6178 

26167 8277  5642  28980 21685 16568 28662 1284  17840 1736  25177 895   14386 15943 9396  29484 6934  27357 30523 26914 6603  30288 2079  18162 19592 4306  14756 2173  19246 12957 32827 28840 1165 

20506 26480 22117 8466  28716 7683  7465  29182 16582 17826 29826 10462 26419 6684  17268 28449 27247 29634 121   19272 19232 11790 3442  8864  27    8851  3595  19554 16746 8257  18409 29890 7782 

8196  10669 21970 16537 9330  12627 27535 9760  28380 28354 25884 31980 17455 29456 15516 27804 5674  1903  23089 4369  32118 2038  24828 16688 627   18496 32454 7503  8158  4592  21078 4960  6816 

9414  5386  19858 29506 20893 729   26518 9229  15860 32976 15704 30811 18346 4191  21066 18920 18732 27209 6259  14784 5088  1881  9843  24538 2286  32278 17889 22558 14991 23962 23602 4702  6835 

861   11065 5485  19376 18963 17907 14242 19482 24945 20065 19498 9657  13454 33378 9778  10786 4472  15894 7068  28849 24322 3946  26277 27666 19147 29461 29772 15018 5998  762   17664 29624 1962 

9285  265   5248  7195  8790  29902 19165 8914  8421  16285 17646 7834  27598 18735 28236 31639 16546 23098 706   9684  29607 20362 21865 17754 22234 18058 24954 16592 17482 8901  7339  27768 8736 

 

n = 34

 

Исходный массив чисел: 4, 22, …, 35635, 35680. Здесь найден один вариант массива: заменить число 35545 на число 35842. Магическая константа равна 589129.

 

ORDER=34  MAGIC=589129

 

19880 8253  23484 9414  25006 19858 9843  16294 27768 25893 14046 15848 5818  27666 20319 22816 6252  29542 25078 438   9276  21685 16582 19554 35538 10462 21273 20362 5242  10291 24259 535   29748 10806

4472  32638 14494 5248  14148 25928 3690  8545  33486 10797 27270 17982 29826 14464 12732 3294  28318 9285  19678 14688 2409  8005  34582 26905 13764 23665 2475  25195 24096 20784 28336 202   17838 29890

634   14386 2576  34832 18132 24776 34784 32991 5935  27589 4     32896 10669 3564  3505  28849 33680 28068 13506 33747 34186 1842  26682 378   34317 8790  15943 627   562   636   2934  22509 25428 29172

27598 16192 4126  33097 18675 9031  13472 31956 4198  29607 28182 1642  16438 22117 28449 34663 31746 690   6855  9648  32386 9535  33384 16105 9657  34942 1962  15128 5253  10705 2745  29265 18765 915  

21226 26727 29583 29344 27526 31119 9296  29794 10887 94    26374 5071  29772 8158  33027 26734 17907 21874 526   9708  121   27209 12955 29227 18346 9184  3366  19165 16726 32755 6693  8196  9985  454  

15205 6934  33056 28102 7438  895   31976 3174  28354 33632 17718 58    6439  33657 22558 18732 16591 8073  32206 12558 9382  26480 21262 27846 1966  35466 29254 17662 5539  5269  13662 19615 17086 1284 

14832 19943 30766 16568 16645 28960 8421  21498 23962 33880 10791 25807 22188 28635 21896 7978  20229 8372  7078  33646 19376 28255 23098 5998  1111  18735 15558 9684  14946 3442  8901  4743  4592  28595

27555 16269 2182  2286  35358 27639 23953 28380 3138  166   7465  8307  5305  20074 19147 4702  27756 26394 28284 25798 29506 6178  30397 729   29065 2155  27882 9346  9880  26709 10592 23192 15778 27562

17149 31096 23775 852   12622 4959  13369 25236 27357 30739 3345  19232 6603  9229  9975  14359 34956 33387 14756 10086 33992 29364 6835  12847 14026 18247 8680  8874  19606 17056 24981 10786 17187 23566

24828 12771 3091  2974  9015  32786 14534 7674  28808 1908  35469 18278 14058 18513 15747 30879 21186 355   12519 23854 5915  4765  29193 1858  26096 16592 18177 16902 21253 4788  25735 30262 27247 31099

31639 4428  18022 19292 20785 346   29461 28840 30930 20506 33045 34051 2366  29074 7503  18562 922   17646 15369 9735  17496 19644 17271 32697 11659 7186  4855  18963 17424 7136  30865 28280 1755  1376 

25392 1795  23163 3595  15709 19590 22884 8412  11385 26840 2605  6816  7287  8518  21694 21667 26781 19602 20618 29634 34458 10579 18841 9355  22342 19498 25573 9633  11209 23343 29424 9522  14422 26943

9598  18742 12975 6344  19280 35432 4880  30523 5854  24588 11857 825   14508 29434 27994 15853 25809 30991 5088  26768 31257 18607 8149  26518 2583  34609 27    4279  22119 11790 28174 6295  18920 18459

2944  8347  26892 19246 4173  9942  34776 3930  6702  34395 26995 18922 4054  25294 25197 34366 666   11388 7726  17238 13747 24403 6259  32696 20823 3226  11065 6567  26676 32593 29960 8792  22837 26292

2556  28749 32976 32827 29078 1507  14017 17199 28662 16647 15984 8257  4974  3694  21078 10689 1881  19683 18162 25614 29893 10489 5422  29538 27814 4414  33462 9301  23602 22368 3973  32602 10201 11816

4162  26277 9193  728   30957 15126 1894  6583  8914  16890 2970  26475 30298 21066 24655 32648 663   13666 35095 12406 26999 8077  24552 17889 1626  33635 16222 19812 34978 32278 654   34424 11679 5638 

16536 23694 27267 1678  17221 15974 2722  10494 6385  17754 27950 1903  23658 32283 1935  35383 3046  14179 8095  24322 28236 26660 9968  22983 5397  22971 14881 18474 29166 26014 30393 19818 16735 4954 

12675 26185 9840  3852  9639  14085 8023  23755 25064 4464  34654 32989 15018 16335 22054 4306  3864  26419 18355 2888  14784 27280 27355 19941 29758 10736 14242 32017 15898 9386  11686 23577 17940 20065

19360 18069 17826 8736  29182 2902  31598 2911  14962 30055 35293 12937 5098  28784 28716 23870 25256 1165  517   8185  26914 24637 14672 8277  8754  12442 7784  25105 26637 34861 3390  21651 21865 6718 

16746 1282  12091 27045 13984 11739 6054  7915  25263 1255  34987 35187 29515 1086  32724 14206 19255 7683  27804 2173  3802  21055 16015 35635 3615  32418 17840 21955 27049 18418 15824 6684  33378 7447 

9924  6096  85    24585 27285 33633 2751  19808 29371 27261 9778  5602  2265  7834  33672 762   28980 5062  33862 23818 15687 25398 19134 5298  12656 25618 32454 861   27193 10845 2785  35594 24214 18958

22725 20326 25884 35364 14736 19428 24538 26527 4369  10664 12658 29456 25582 2484  15529 30258 11358 12262 24142 12946 9861  16480 319   6171  12627 25222 20911 23736 12226 7249  25298 33585 7227  6981 

3246  10419 27535 31648 21829 29484 34555 19482 7627  26558 483   10296 27915 9849  4557  14458 20695 33669 9166  29902 18985 14985 19212 6880  32226 391   18994 21361 1736  3865  13639 17833 14991 30658

27382 645   14391 24306 4209  8766  29398 22081 18085 11785 18108 33907 24963 25844 5172  9742  18337 17698 27621 2362  265   6188  30390 26367 7089  382   20542 20859 31476 34717 27156 13812 18058 7026 

28833 32793 30505 10698 7712  1952  28208 4960  22734 13454 7809  27085 25429 6115  18454 22585 6502  14998 34834 28574 27296 28705 15835 2839  12667 18865 31585 9396  12939 4918  16137 8154  4981  20578

30384 22386 29938 9387  2958  17482 1921  29551 17664 6457  24678 9330  14566 9274  18274 7195  27546 29038 4185  6531  9571  16537 29624 10606 18805 15115 2373  35547 17905 20974 27238 26545 19952 19592

28039 26397 2965  8653  20754 22234 16078 274   4832  5526  7051  1872  28952 27418 10761 6036  24394 2038  22738 19251 26760 29529 6084  7339  18409 35397 15882 15646 11583 28905 33169 16770 27828 29565

11695 30946 11984 33528 7695  25906 7782  26826 22522 15682 1219  32458 29540 4189  17268 17835 18117 16098 5874  19761 19755 27468 648   2679  15704 6315  27696 12055 16357 31959 32962 3622  9717  25267

21946 17916 22702 16983 35239 13974 12982 16123 17738 17455 2218  18895 33760 31724 9427  12648 8014  19066 29760 32982 2326  16546 4191  26302 34575 12795 3168  8864  7068  7119  20888 4794  16744 32197

6585  7824  14168 985   30288 9094  32899 16940 27319 5388  7062  14719 30802 16285 5772  8883  9634  706   2614  26295 3649  5642  14958 25177 35005 31693 30138 27792 31846 29623 24945 18396 2688  33315

23790 20182 5386  31488 8466  3946  34182 34249 18391 7764  16474 32552 27855 9036  2067  2227  16653 24354 19725 15286 1633  5458  21970 27321 29695 5926  18846 18496 34042 6187  2434  33727 21919 7402 

33063 15981 14809 26707 576   32118 32883 16186 958   20893 33090 20623 19272 8628  22448 9294  28920 26365 15516 12318 5946  8568  5936  10966 29139 11965 34339 26167 7952  24387 913   13765 15860 2578 

24754 2461  588   24928 17885 25834 1822  6760  35842 778   28809 15894 8851  27189 23242 25015 1449  24954 20299 5674  12573 32854 23449 29706 2515  35478 7762  28392 2079  17864 11696 2964  35680 23089

1776  31980 30811 23809 14924 12684 9483  3258  3663  31765 22688 12957 5485  21615 1581  17635 21766 34359 21478 20295 30687 22    13905 24502 9760  4594  33918 30906 16866 9895  16688 18618 15884 18872

 

n = 35

 

Исходный массив чисел: 4, 22, …, 37822, 37840. Здесь найден один вариант массива: заменить числа 37795 и 37822  на числа 37848 и 37960. Магическая константа равна 644797.

 

 

ORDER=35  MAGIC=644797

 

30523 3226  7762  3694  14881 28960 37651 29515 32982 29424 15835 35364 17840 18396 29772 18841 25267 5935  19246 7465  32991 6531  29695 6603  16105 15848 28236 666   2911  19498 9571  4306  21226 14688 23343

14242 6188  16592 20754 1642  29506 2745  34717 17718 27555 27666 26660 9760  22368 6718  29538 26527 28039 19360 7089  37560 28449 11686 37498 18920 10291 21919 17838 9924  17864 121   6439  9285  8736  32883

22558 34834 17698 14391 4959  9849  29540 30906 1795  5936  33907 10592 29364 28952 37095 663   27156 11695 16192 34186 26397 20893 21253 17221 1736  4855  7952  33585 16746 14085 35594 3946  18765 2965  16536

535   26374 11358 13506 36870 7287  16744 14148 588   12684 30298 33657 27    16770 9274  34582 29398 9880  14736 35293 27562 10201 30384 13454 13905 16015 17271 18117 21955 9708  16647 28784 27855 18865 20065

34609 27950 36335 14719 9648  9031  36535 12667 27049 20974 37098 17826 14809 19251 2679  2484  12658 22884 274   24963 27915 24538 28102 32593 37606 17455 5088  636   10489 3973  2614  35432 9396  6171  18346

28284 36537 2970  35680 10761 18355 3865  7809  29461 25105 8307  11659 29434 454   14962 8790  34051 32278 23089 22738 17916 16137 17086 3138  30766 9330  29172 32017 19808 14985 28849 17496 2409  16890 4209 

37180 27768 35547 26914 23755 2218  12847 22522 728   3246  4472  19134 2461  34182 12795 14179 21498 5874  14784 24637 5915  11385 5772  5818  27696 27321 18513 11965 30930 27526 37840 7503  33462 22448 23962

19066 10845 32206 26394 18618 15128 29794 16537 25928 19644 33727 27546 16546 14458 8680  9094  8014  35095 20784 28635 22188 8864  10698 5062  25197 23577 4414  28840 22117 1921  14958 23790 3930  23736 8766 

28749 36193 12957 20299 16269 7195  29623 36238 34458 33056 8653  26014 25809 29565 33992 627   10786 8466  14494 12982 4198  35745 12318 14464 1822  16983 24585 14017 9735  30687 32648 319   7051  861   12939

9355  6252  16902 25222 22734 35842 34366 18985 30397 12055 19602 17664 9742  17199 28392 16653 6259  5642  21865 27792 3046  35796 23163 7834  4054  27882 18846 28662 10664 29254 4557  1678  9036  31598 25807

706   25893 20695 33090 9633  4702  1952  6693  12771 6385  14206 26905 29227 14168 30138 9301  3345  28280 6981  6096  11739 22081 25429 29038 22509 37476 14534 19232 9840  36742 20319 34942 12627 23242 33880

18278 2434  5946  5172  31585 25064 32638 19761 15126 23449 1908  483   1966  14026 15529 24306 35805 4     27285 26365 30946 29456 3091  11696 32696 30258 28705 18994 29182 16098 9975  12442 17635 13666 32827

5269  32976 29542 32793 3864  1581  24954 12937 3294  17940 14046 29938 11679 23658 33486 15943 3442  7062  12648 9015  17982 33027 2067  37165 18607 37705 1449  33378 14058 29265 18085 7186  29193 37237 2326 

37482 37426 37820 4173  22342 2888  355   37848 33528 22386 29139 9942  562   5458  35478 24214 25618 20578 36306 958   6567  2362  30739 16688 7249  1935  19592 16645 9657  13369 31765 16480 10736 12946 23566

27589 2576  33672 5397  3595  20618 9684  7447  12656 24259 34555 18409 15687 5526  19858 15898 30505 18058 31746 4794  32786 1282  37383 4960  24096 9294  2373  27535 27085 32386 29065 8149  26302 32989 6583 

6880  19952 4880  19725 33045 6084  6835  8628  19272 35469 29551 6585  29760 30802 28380 28920 33633 18247 35358 1842  576   28809 33669 29758 29078 645   3615  10462 24754 10296 33387 2038  17238 14998 1626 

22    32697 12622 2366  22725 9778  1633  15981 7726  3168  23953 10966 10419 22688 24142 27261 6344  32458 27846 16866 32724 11816 36555 18496 37615 22983 28182 13974 26760 8154  7339  29166 25195 24655 9522 

4832  17885 24776 8412  28336 33646 24322 11785 1872  5071  1858  5539  29583 28595 11209 26727 25906 33635 5674  37960 22837 15115 18337 36094 28574 18162 18562 8257  31846 3258  2751  7784  7438  30879 27280

26781 6315  10606 9427  31956 28905 32854 26475 21055 29634 29706 2722  2286  7683  16222 8792  2958  34832 21651 9639  4954  15853 28808 17662 9598  26637 16335 35784 28174 23694 19554 4974  6036  26292 19943

7824  8095  24928 27357 12573 28318 2964  15704 23809 895   12406 1776  9229  29902 25834 12558 18922 37167 37678 15286 35635 16438 26295 31257 4189  25294 9382  16568 26676 3852  36876 9895  8077  25015 16123

378   7627  30393 36706 3174  7078  17268 30055 30658 14508 778   5602  18274 24678 13812 25573 21685 36099 13764 26826 32552 27296 10887 25798 23775 20823 19255 2688  11790 28833 20785 3390  24403 852   26734

37592 9634  34575 26768 7136  20506 3649  438   6816  36464 28354 28980 15860 3505  27247 18391 31476 8901  22702 19683 18474 1111  634   34987 19590 3802  25614 18742 6178  21946 6187  33680 25428 33632 6115 

5388  14756 4765  5305  30991 28255 29748 15974 17482 24588 25582 33315 30957 2556  526   1219  37374 5386  985   26518 7915  15018 31648 3366  35790 13639 26999 25884 9717  34317 10791 15558 25298 26892 20295

12519 31099 27598 23192 4191  34654 8277  12975 29624 18022 20623 36393 27319 18108 11857 10705 33097 1507  7674  3622  32755 19147 20182 8372  15709 8754  7068  16940 36296 9166  18872 36265 9483  27814 4918 

346   13747 26545 22119 14566 8883  4743  24387 922   34249 11065 9387  31096 19880 26367 34042 34663 21970 23602 26943 4464  32899 1165  14924 5638  35383 913   9535  23484 16474 32602 14991 21186 15882 25735

33384 2079  25844 2155  23665 12226 7119  12675 2578  19941 14386 25236 20229 19615 21478 36498 4279  15682 30811 34395 6702  5926  7227  2182  19428 30288 35979 10669 18732 29826 21874 27267 29960 2974  31488

27238 8914  21066 26709 36409 18418 29074 58    16186 20362 16726 32962 17187 9414  15884 36890 6684  10579 15516 13984 27639 16582 34776 32226 6760  26558 10806 1755  9276  18958 13662 36654 14832 1962  12091

8005  22234 202   19165 17833 31693 23870 35696 28208 2605  15894 26096 26185 26480 4126  16735 25392 26167 29607 15369 16591 8568  2265  2227  7026  9184  1894  33063 9296  26277 21262 21667 36481 17905 29529

29484 31959 4185  9985  5248  29344 14359 18675 27193 23098 166   825   24354 30865 21896 5854  11388 36762 17149 14946 21078 5998  16357 19812 7712  22054 36139 35187 27270 6457  22816 29893 20888 729   14672

37743 7695  6934  6295  32197 18963 26995 6502  762   85    15205 17056 16078 30390 9843  10494 7782  20326 24981 7764  18459 8185  12262 32418 17907 2934  35397 27382 35806 30262 18735 34861 13472 25006 27621

35545 15778 7402  27804 20542 37462 34424 21615 27828 5485  28068 9386  35538 4788  9193  17754 382   4428  26840 5242  19482 20859 2902  31724 24552 690   37255 4162  8874  2173  20074 27209 19292 18069 31976

33760 27045 6855  36680 2515  12955 9861  26682 27189 34978 16294 22971 18805 3564  8023  17646 10797 13765 15747 1881  8196  19280 26707 5422  17738 35005 17835 9346  21766 34956 9968  21361 28716 27756 12732

1086  32454 24945 391   18177 18454 35239 21694 22585 5298  265   8851  21829 25263 35878 34359 19606 648   1284  31639 2785  17889 8545  33918 18132 16285 5253  24828 35793 25398 2583  19212 35775 33862 4594 

20911 1376  1255  32283 35466 19678 27355 15646 17424 36090 8518  23854 25078 8421  6054  29890 517   36382 2475  36990 94    34339 32118 15824 1903  27468 37671 8073  4369  4981  8253  34784 2944  18895 27418

654   15984 26419 19755 32896 21273 915   14422 37129 10689 31980 24502 19818 33169 7978  19376 11583 10086 3663  24394 25177 36922 4592  5098  31119 11984 27994 29371 2839  8158  23818 25256 33747 3690  8347 

 

Напомню читателям, что моя программа определения минимальных констант и вариантов массива не даёт точного и полного ответа. Вполне возможно, что найденные мной магические константы можно уменьшить, а также найти дополнительные варианты массива. Если вам удастся улучшить мои результаты, напишите мне, пожалуйста.

 

Предлагаю читателям продолжить построение магических квадратов данной серии. Можно воспользоваться программами Stefano Tognon, как это сделала я, а можно составить свои программы. Напомню, что программы Stefano Tognon выложены на форуме dxdy.ru. в теме “Магические квадраты”. Посетите эту тему! Вы найдёте в ней много интересного. Вот ссылка:

 

http://dxdy.ru/topic12959.html

 

В заключение приведу таблицу результатов по данной серии магических квадратов.

 

Наименьшие магические квадраты из чисел Смита

 

 

Пояснения к таблице: количество вариантов указано только в случае, если есть более одного варианта массива; квадраты, начиная с порядка 11, построены мной по программам Stefano Tognon; ice00 – ник Stefano Tognon на форуме dxdy.ru; у М. Алексеева ник на форуме maxal. Nataly-Mak мой ник.

 

 

ДОБАВЛЕНИЕ (1 марта 2010 г.)

 

В OEIS открыта новая последовательность:

 

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A170928

 

Это последовательность магических констант наименьших квадратов из чисел Смита, то есть квадратов, представленных в этой статье. Вот эта последовательность:

 

822, 1195, 1636, 2472, ?, ?, ?, 12202, 16335, 21333, 27612, 35185, 43968, 54013, 65464, 78281, 92422, 107932, 126404, 147816, 171556, 197041, 224506, 253587, 285314, 320620, 359151, 400064, 442886, 487920, 536844, 589129, 644797, ...

 

Первая константа для квадрата 3-го порядка. Как видите, в последовательности существует пробел – три знака вопроса. Это ненайденные константы наименьших магических квадратов порядков 7 – 9.

 

Я продолжаю работать над построением квадратов данных порядков. Использую для этого свои программы, которыми пользовалась при построении наименьших магических квадратов из простых чисел. Однако, как уже было сказано ранее, эти программы для чисел Смита не дают магических квадратов, а дают только полумагические. Затем я обрабатываю полученные полумагические квадраты по программе Стефана, сделанной им специально для превращения полумагических квадратов в магические. Но пока результат не получен. Этот метод оказался неэффективным для квадратов порядков 7 – 9, хотя и сработал для квадратов 10-го порядка. Я ищу также другие пути построения.

 

Приведу пример получения полумагических квадратов.

Массив для построения квадрата 7-го порядка формируем так. Берём первые 49 смитов:

 

4, 22, 27, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265, 274, 319, 346, 355, 378, 382, 391, 438, 454, 483, 517, 526, 535, 562, 576, 588, 627, 634, 636, 645, 648, 654, 663, 666, 690, 706, 728, 729, 762, 778, 825, 852, 861, 895, 913, 915, 922, 958, 985.

 

Очевидно, что в таком виде массив не годится для построения магического квадрата 7-го порядка, так как сумма всех чисел массива 25860 не кратна 7. Поэтому надо заменить какое-то число (или несколько чисел), чтобы сумма всех чисел массива была кратна 7. Первый потенциальный массив получаем заменой числа 913 на число 1086. Магическая константа предполагаемого квадрата в этом случае будет равна 3719. Мне не удалось сгенерировать набор из 7 строк для такой магической константы. Тогда я беру второй потенциальный массив чисел: заменяю в исходном массиве число 985 на 1165. Теперь магическая константа предполагаемого квадрата равна 3720. Для такой константы мне удалось сгенерировать наборы по 7 строк и получить много полумагических квадратов. Далее показан один из таких наборов из 7 строк, сумма чисел в каждой строке равна магической константе квадрата:

 

 535  391  861  562  22  454  895

 706  121  778  58  690  1165  202

 663  922  27  85  438  958  627

 648  382  729  588  355  852  166

 666  274  762  483  526  94  915

 265  825  645  378  654  634  319

 4  346  517  576  636  728  913

 

Наборы я генерирую с использованием функции случайных чисел. Далее следуют полумагические квадраты, полученные из приведённого набора.

 

 535  391  861  562  22  454  895

 4  346  517  576  913  728  636

 706  121  58  1165  690  778  202

 922  958  627  27  438  85  663

 382  355  729  588  166  648  852

 526  915  274  483  666  762  94

 645  634  654  319  825  265  378

 

 663  922  27  85  438  958  627

 706  121  778  1165  58  202  690

 4  346  728  517  636  576  913

 666  762  526  274  915  483  94

 861  895  454  562  391  535  22

 166  355  382  852  648  588  729

 654  319  825  265  634  378  645

 

 663  922  27  85  438  958  627

 648  382  588  355  729  166  852

 265  825  378  654  634  645  319

 535  22  454  861  895  391  562

 58  778  1165  706  202  121  690

 915  274  762  483  94  526  666

 636  517  346  576  728  913  4

 

 663  922  27  85  438  958  627

 648  382  588  355  729  166  852

 265  825  378  654  634  645  319

 535  22  454  861  895  391  562

 915  274  762  483  94  526  666

 4  517  346  576  728  913  636

 690  778  1165  706  202  121  58

 

 663  922  27  85  438  958  627

 265  825  645  378  654  634  319

 648  382  166  588  729  355  852

 483  274  94  526  762  915  666

 454  535  895  861  22  391  562

 690  778  1165  706  202  121  58

 517  4  728  576  913  346  636

 

 666  274  762  483  526  94  915

 663  922  27  958  85  627  438

 265  378  825  319  654  645  634

 454  861  535  895  562  22  391

 778  121  202  706  1165  690  58

 166  588  852  355  382  729  648

 728  576  517  4  346  913  636

 

 666  274  762  483  526  94  915

 265  825  645  654  378  634  319

 382  355  648  852  588  729  166

 636  4  346  517  576  728  913

 454  562  535  22  861  895  391

 690  778  121  1165  706  202  58

 627  922  663  27  85  438  958

 

 666  274  762  483  526  94  915

 4  346  517  576  728  913  636

 645  825  654  378  319  634  265

 438  922  627  958  27  85  663

 895  22  391  535  562  861  454

 690  1165  121  202  706  778  58

 382  166  648  588  852  355  729

 

 265  825  645  378  654  634  319

 663  922  27  85  438  958  627

 648  382  166  588  729  355  852

 483  274  94  526  762  915  666

 454  535  895  861  22  391  562

 690  778  1165  706  202  121  58

 517  4  728  576  913  346  636

 

 265  825  645  378  654  634  319

 666  274  762  526  483  94  915

 382  355  648  588  852  729  166

 636  4  346  576  517  728  913

 454  562  535  861  22  895  391

 690  778  121  706  1165  202  58

 627  922  663  85  27  438  958

 

 4  346  517  576  636  728  913

 535  391  861  562  895  454  22

 706  121  58  1165  202  778  690

 922  958  627  27  663  85  438

 526  915  666  483  94  762  274

 382  355  166  588  852  648  729

 645  634  825  319  378  265  654

 

 4  346  517  576  636  728  913

 666  274  762  483  915  526  94

 645  825  654  378  265  319  634

 438  922  627  958  663  27  85

 895  22  391  535  454  562  861

 690  1165  121  202  58  706  778

 382  166  648  588  729  852  355

 

Предлагаю читателям подумать над способами превращения данных полумагических квадратов в магические. Самый простой способ – перестановка строк – заложен в программе Стефана. Дальше я делаю так: по своей программе выполняю в каждом полумагическом квадрате перестановку всех столбцов, получаю 5040 полумагических квадратов. Затем все эти квадраты обрабатываю по программе Стефана. Таким образом, получается полная перестановка всех столбцов с одновременной перестановкой всех строк, то есть проверяется 5040*5040 вариантов. Но магический квадрат так и не получен. Существует ли он из данного массива чисел? Трудно сказать, но существование большого количества полумагических квадратов даёт основание предположить, что и магический квадрат существует.

Замечу, что для простых чисел описанный способ мгновенно даёт магический квадрат – из первого же сгенерированного набора из 7 строк.

 

Желательно сделать программу, которая выполняла бы тотальную проверку и выдавала однозначный ответ: составляется квадрат из данного массива или не составляется. Но такую программу пока никто не сделал.

 

Точно по такому же сценарию я пытаюсь построить магические квадраты порядков 8 – 9. Полумагических квадратов получается очень много, а магический квадрат построить не удаётся.

 

 

ДОБАВЛЕНИЕ (13 апреля 2010 г.)

 

Сообщаю своим читателям, что мне вместе с участниками форума dxdy.ru удалось найти все магические квадраты данной серии, то есть найдены пропущенные наименьшие квадраты порядков 7 – 9.

 

Квадрат 7-го порядка построен мной, вы видите его на рис. 4. Магическая константа этого квадрата равна 3720.

 

 

Рис. 4

 

Как уже сказано выше, теоретическая минимальная константа для квадрата 7-го порядка из произвольных смитов равна 3719. Однако участник указанного форума (ник 12d3) доказал, что магического квадрата с такой константой не существует. Вы можете посмотреть это оригинальное доказательство на форуме.

Таким образом, построенный мной магический квадрат с константой 3720 является наименьшим.

 

Наименьшие квадраты 8-го порядка с константой 5856 найдены участником форума (ник svb). Смотрите один из этих квадратов на рис. 5.

 

 

Рис. 5

 

А прежде я построила магические квадраты с константами 5861 и 5866. Покажу и эти квадраты (рис. 6 – 7), хотя они оказались не наименьшими.

 

 

Рис. 6

 

 

Рис. 7

 

Квадраты 8-го порядка строились по той же схеме, по которой были построены квадраты 10-го порядка. Сначала генерировался случайным образом набор из 8 строк, из этого набора получался полумагический квадрат, затем из полумагического квадрата путём перестановки строк и столбцов получался магический квадрат. Разница в том, что квадраты 10-го порядка получались из полумагических квадратов только перестановкой строк, а для квадратов 8-го порядка сделана программа одновременной перестановки строк и столбцов.

 

И точно так же был получен наименьший магический квадрат 9-го порядка. Но, в отличие от квадратов 8-го порядка, для порядка 9 пришлось генерировать очень много полумагических квадратов – 2096 штук. Все эти полумагические квадраты я отправила Стефану для проверки по программе перестановки строк и столбцов (у меня нет такой программы). Стефано проверил и прислал мне готовый магический квадрат. Вот этот квадрат (рис. 8):

 

 

Рис. 8

 

Магическая константа квадрата равна 8737.

 

Итак, последовательность A170928 имеет такой вид:

 

822, 1195, 1636, 2472, 3720, 5856, 8737, 12202, 16335, 21333, 27612, 35185, 43968, 54013, 65464, 78281, 92422, 107932, 126404, 147816, 171556, 197041, 224506, 253587, 285314, 320620, 359151, 400064, 442886, 487920, 536844, 589129, 644797, ...

 

Можно продолжить построение наименьших квадратов этой серии по программам Стефана. Напомню, что для больших порядков (начиная с порядка 11) эти программы работают очень хорошо.

 

 

21 октября 2009 г. – 13 апреля 2010 г.

г. Саратов

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу