МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ

 

(обзорная статья)

 

Часть I

 

Введение

 

Начинаю статью о методах построения магических квадратов, которую давно собираюсь написать. Одна из самых моих первых статей о магических квадратах была посвящена этой теме (http://www.klassikpoez.narod.ru/metody.htm )

Далее следовала статья http://www.klassikpoez.narod.ru/mojmetod.htm

Эти статьи были написаны 30 лет назад, я внесла их в компьютер из рукописи своей книги “Компьютер решает головоломки”. В 2007-2008 гг. мной было написано много новых статей о магических квадратах. В этих статьях тоже имеется несколько методов построения магических квадратов, в том числе оригинальный метод качелей. Теперь я решила свести все методы построения магических квадратов, которые мне известны, в одну статью. Это очень большой труд, но, надеюсь, данная страница будет очень полезна моим читателям.

 

При написании статьи буду пользоваться материалами из двух книг:

[1] Ю. В. Чебраков. Магические квадраты. Теория чисел, алгебра, комбинаторный анализ. – С. – Петрбург, 1995.

[2] М. М. Постников. Магические квадраты. – М.: Наука, 1964.

 

РАЗДЕЛ  I

 

ПОСТРОЕНИЕ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ НЕЧЁТНОГО ПОРЯДКА

 

Прежде всего отмечу, что в этом разделе рассматриваются методы построения магических квадратов, не обладающих никакими дополнительными свойствами, за исключением тех случаев, когда метод сам по себе обеспечивает появление у магического квадрата каких-то свойств, например, метод террас даёт нам ассоциативные квадраты. Ю. В. Чебраков называет в своей книге магические квадраты классическими.

 

Итак, здесь будут рассмотрены методы построения магических квадратов любого нечётного порядка n = 2k + 1, k=1, 2, 3…

 

ИНДИЙСКИЙ (СИАМСКИЙ) МЕТОД

 

Цитата из [2]:

 

 

Замечание: в книге Постникова слово “алгоритм” пишется через ф – “алгорифм”.

 

Постников очень подробно рассматривает данный метод. В книге привёдён пример построения магических квадратов третьего и пятого порядков. Я начну демонстрацию метода с квадрата седьмого порядка. Правила для метода очень простые, не буду излагать их по пунктам, как это сделано в обеих книгах. Скажу только, что первое число 1 надо поместить в середину нижней строки. Далее будем вписывать числа по порядку по восходящей диагонали. Как только число выходит за пределы квадрата, сразу перенесём его в эквивалентную ячейку внутри квадрата. Дойдя до числа kn, то есть до числа кратного порядку квадрата, пишем следующее число справа от только что записанного числа и снова записываем числа по восходящей диагонали. Вот и все правила по Чебракову. И Постников, и Чебраков излагают эти правила намного пространнее.

 

Примечание: следует пояснить, что такое эквивалентная ячейка. Если число, оказавшееся за пределами квадрата, находится слева от него, надо записать его в том же горизонтальном ряду, сместив на n ячеек вправо (см., например, число 16 на рис. 1). Если число, оказавшееся за пределами квадрата, находится справа от него, надо записать его в том же горизонтальном ряду, сместив на n ячеек влево (см. число 15 на рис. 1). Если число оказалось над квадратом, надо записать его в том же вертикальном ряду, сместив на n ячеек вниз (см., например, число 33 на рис. 1). Если число оказывается у вершины квадрата (см. число 25 на рис. 1), то надо переместить его по диагонали на n ячеек, двигаясь внутрь квадрата. [n – порядок квадрата]

 

На рис. 1 вы видите построение магического квадрата 7-ого порядка индийским (сиамским) методом по Чебракову.

 

 

Рис. 1

 

Квадрат получается магическим, но не ассоциативным.

 

Постников вписывает число 1 в середину верхней строки. Кроме того, у него числа вписываются по восходящей диагонали другого направления. Дойдя до числа kn, здесь надо вписывать следующее число снизу от только что записанного числа, кратного порядку квадрата. В этом все различия. На рис. 2 вы видите построение магического квадрата 7-ого порядка по Постникову.

 

 

 

Рис. 2

 

По Постникову квадрат получился не только магическим, но ещё ассоциативным.

 

А теперь пойдём дальше обоих авторов в смысле построения магического квадрата 9-ого порядка. Ни один из авторов такого построения не выполняет. Сначала покажу, что у меня получилось, когда я построила квадрат 9-ого порядка по Чебракову, то есть так же, как построен магический квадрат 7-ого порядка на рис. 1. Смотрите на рис. 3.

 

 

Рис. 3

 

Квадрат-то получился полумагический! Нет магической суммы в одной из главных диагоналей.

 

Теперь строим квадрат 9-ого порядка по Постникову (рис. 4).

 

 

Рис. 4

 

И квадрат получается магический и ассоциативный! Видимо, Чебраков хотел соригинальничать и дал метод по-другому. В результате метод перестал работать для порядков кратных 3. Кроме того, квадраты нечётного порядка не кратного 3, построенные по Чебракову, не обладают свойством ассоциативности.

 

Постников приводит обобщение индийского метода. В обобщении говорится о том, что число 1 можно записывать не только в середину верхней строки квадрата. Смысл обобщения в том, что обобщённым методом можно построить уже не один магический квадрат, а несколько. Я не буду пересказывать это обобщение. Заинтересовавшиеся читатели найдут его в указанной книге.

 

Покажу ещё один пример – построение магического квадрата 15-ого порядка. И опять дам это построение по Чебракову (неправильное построение) и по Постникову (правильное построение). Сначала построение по Чебракову (рис. 5):

 

 

Рис. 5

 

И опять квадрат получается полумагический, в нём нет магической константы по одной из главных диагоналей.

 

На рис. 6 показываю построение квадрата по Постникову:

 

 

Рис. 6

 

И снова квадрат получается магический и ассоциативный!

 

Посмотрите на начальную цепочку в этом магическом квадрате (да и во всех предыдущих магических квадратах). Она имеет диагональную форму. Очень красивая! О начальной цепочке я к тому говорю, что в магических квадратах, построенных индийским методом, работают качели. Вот как давно качели мои работают! Ведь основной принцип метода качелей, как знают читатели, –  повторение начальной цепочки в циклах. Здесь происходит то же самое. Набор чисел в каждом цикле содержит числа от n*k+1 до n*(k+1), где k – номер цикла качания качелей (k=0, 1, 2… n-1), и каждый такой набор повторяет диагональную форму начальной цепочки. Незыблемый принцип качелей! Его знали древние и применяли в своих алгоритмах. Это было показано и на примере других древних алгоритмов в моих статьях. Можно составить и образующую таблицу для метода качелей применительно к индийскому методу. Начальная цепочка здесь составляется тривиально: числа следуют по порядку. А далее реализовать алгоритм, то есть составить программу построения таким методом магического квадрата любого нечётного порядка.

Интересно отметить, что шаги качания качелей здесь такие: 0 + (n-2). Сумма шагов равна n-2, как во всех видах качелей, рассмотренных ранее (n – порядок квадрата).

 

***

 

Сейчас составила образующую таблицу для построения магического квадрата 9-ого порядка с рис. 4 методом качелей. Как я сказала выше, качели в этом квадрате прекрасно действуют. Вот перед вами образующая таблица (рис. 7):

 

 

Рис. 7

 

Всё чётко, как и должно быть в методе качелей. А теперь, зная уже о той связи, которая существует между методом качелей и методом использования двух ортогональных латинских квадратов (эта связь была установлена мной в предыдущих статьях при рассмотрении метода построения идеальных квадратов с помощью латинских квадратов), очень просто составляю первый латинский квадрат, соответствующий магическому квадрату с рис. 4. Вы видите этот латинский квадрат на рис. 8.

 

 

Рис. 8

 

Вот такой оригинальный латинский квадратик получается. Ничего нагляднее и представить себе нельзя! Нулевой цикл – жёлтая диагональ, первый цикл – зелёная диагональ, второй цикл – розовая диагональ и т. д. А в первой строке стоят, как всегда, номера циклов качания качелей из последней строки образующей таблицы (здесь номера циклов следуют по порядку, как и числа в начальной цепочке). Каждая следующая строка в этом латинском квадрате получается из предыдущей циклическим сдвигом с постоянным шагом. Если смотреть на этот латинский квадрат как на нетрадиционный магический, он является ассоциативным магическим квадратом с магической константой 36. Запрограммировать составление такого латинского квадрата – нет ничего проще.

Продублирую здесь (рис. 8а) магический квадрат с рис. 4 для сравнения с первым латинским квадратом, ему соответствующим:

 

 

Рис. 8а

 

Переходим ко второму латинскому квадрату. Как уже знают читатели, он должен быть ортогональным первому латинскому квадрату. И тоже будет нетрадиционным ассоциативным магическим квадратом с той же магической константой 36. Вы знаете, как составить такой латинский квадрат? Я не знаю. Поэтому просто ищу дополнительный латинский квадрат, исходя из магического квадрата с рис. 4. На рис. 9 изображён второй латинский квадрат.

 

 

Рис. 9

 

Некоторую закономерность в составлении этого латинского квадрата я вижу. И сейчас попробую написать программу для построения магического квадрата любого нечётного порядка с помощью двух ортогональных латинских квадратов, которая, в сущности, будет реализацией индийского метода.

 

Программку написала и выполнила. Изящная получилась программка! Вот она:

 

ТЕКСТ ПРОГРАММЫ

(язык QBASIC)

 

10 OPEN "MK.txt" FOR OUTPUT AS #1

15 PRINT "VVEDITE PORYADOK KVADRATA"

20 INPUT N

25 IF N / 2 - INT(N / 2) = 0 THEN 15

27 IF N < 3 THEN 15

30 DIM A(N, N), B(N, N), C(N, N)

35 K = (N + 1) / 2

40 FOR I = 1 TO N: A(K, I) = I - 1: NEXT I

45 Z = K + 1

50 FOR I = 1 TO N - 1: A(Z, I) = A(Z - 1, I + 1): NEXT I

55 A(Z, N) = A(Z - 1, 1)

60 Z = Z + 1

65 IF Z > N THEN 75

70 GOTO 50

75 Z = K - 1

80 A(Z, 1) = A(Z + 1, N)

85 FOR I = 2 TO N: A(Z, I) = A(Z + 1, I - 1): NEXT I

90 Z = Z - 1

95 IF Z < 1 THEN 105

100 GOTO 80

105 W = 0

110 FOR X = 1 TO N: W = W + A(X, X): NEXT X

112 S = (N - 1) * N / 2

115 IF W <> S THEN 1000

120 FOR J = 1 TO N - 1: B(J, 1) = J: NEXT J

125 B(N, 1) = 0

130 Z = 2

135 FOR J = 1 TO N - 2: B(J, Z) = B(J + 2, Z - 1): NEXT J

140 B(N - 1, Z) = B(1, Z - 1): B(N, Z) = B(2, Z - 1)

145 Z = Z + 1

150 IF Z > N THEN 160

155 GOTO 135

160 FOR X = 1 TO N

165 FOR Y = 1 TO N

170 C(X, Y) = N * A(X, Y) + B(X, Y) + 1

175 NEXT Y

180 NEXT X

185 FOR X = 1 TO N

190 FOR Y = 1 TO N

195 PRINT C(X, Y);

200 PRINT #1, C(X, Y);

205 NEXT Y

210 PRINT : PRINT #1,

215 NEXT X

220 CLOSE #1

225 GOTO 1020

1000 PRINT "OSHIBKA!"

1020 END

 

Достаточно ввести в программу порядок квадрата и программа мгновенно выдаст вам магический квадрат, построенный индийским методом. Не забывайте, что порядок квадрата должен быть нечётным. Я проверила построение квадратов нечётных порядков 3 - 15 по этой программе. А вот магический квадрат 17-ого порядка, построенный по программе (рис. 10).

 

 

Рис. 10

 

Квадрат хотя и не идеальный, и не пандиагональный, а только ассоциативный, но всё равно красивый, потому что очень гармонично составлен.

 

Наконец, покажу ещё один квадрат, построенный по программе – 21-ого порядка (рис. 11).

 

 

Рис. 11

 

Бейсик позволил мне построить по этой программе магический квадрат 113-ого порядка. Не буду помещать его на сайт, так как читатели могут построить его сами, используя приведённый текст программы. Переписав программу на другой язык, вы можете построить магические квадраты больших порядков индийским (сиамским) методом.

 

Осталось показать интересное свойство ассоциативных магических квадратов, построенных индийским методом. Это свойство присуще только квадратам порядков не кратных 3, начиная с n=7. Покажу его на примере квадрата 7-ого порядка с рис. 2. Если в этом квадрате переставить столбцы с постоянным шагом, равным 1, то получится идеальный магический квадрат. Вы видите его на рис. 12.

 

 

Рис. 12

 

Форма начальной цепочки в идеальном квадрате стала другой, нежели в исходном ассоциативном квадрате, и шаги качания качелей изменились.

Если вставить в приведённую выше программу блок перестановки столбцов с шагом 1 в построенном магическом квадрате (что совсем нетрудно сделать), то по программе вы будете попутно получать идеальные квадраты для порядков не кратных 3.

Получим из идеального квадрата с рис. 12 идеальный квадрат, начинающийся с числа 1 (то есть число 1 стоит в левой верхней ячейке квадрата). Для этого применим к этому квадрата два преобразования; сначала параллельный перенос на торе, а затем преобразование “строки-диагонали”. На рис. 13 изображён пандиагональный квадрат, полученный в результате параллельного переноса на торе.

 

 

Рис. 13

 

В этом пандиагональном квадрате опять новая форма начальной цепочки и шаги качания качелей другие. Квадрат утратил ассоциативность и перестал быть идеальным. Чтобы снова сделать его идеальным, применим преобразование “строки-диагонали”. На рис. 14 вы видите новый идеальный квадрат. Он начинается с числа 1.

 

 

Рис. 14

 

Если аналогичную перестановку столбцов сделать в ассоциативном магическом квадрате 9-ого порядка (порядок кратен 3) с рис. 8а, то получится новый ассоциативный квадрат (рис. 15), не являющийся пандиагональным.

 

 

Рис. 15

 

И этот ассоциативный квадрат поменял бывшую диагональную начальную цепочку на начальную цепочку “ход конём”. В нём, конечно, тоже работают качели, но с другими шагами качания, нежели в исходном квадрате.

 

На этом я завершаю описание индийского (сиамского) метода построения магических квадратов нечётного порядка.

 

Продолжение будет здесь:

 

http://www.natalimak1.narod.ru/metody2.htm

 

***

 

ДОБАВЛЕНИЕ (30 августа 2008 г):

 

Интересные получаются дела! Вставила в программу блок перестановки столбцов, чтобы проверить, как работает превращение построенных индийским методом ассоциативных магических квадратов в идеальные квадраты. Меня насторожил тот факт, что квадрат 5-ого порядка такой перестановкой в идеальный квадрат не превратился. Решила проверить это превращение для других порядков не кратных 3. Квадраты 11-ого и 13-ого порядка проверила вручную. Затем, конечно, пришлось прибегнуть к помощи программы. Как я уже говорила, блок перестановки столбцов в построенном квадрате сделать очень просто. Ещё, конечно, надо вставить в программу блок проверки пандиагональности квадрата, полученного перестановкой столбцов (ассоциативность при такой перестановке столбцов гарантирована).

И вот что я обнаружила, проверяя квадраты по программе: в идеальные квадраты не превратился ни один квадрат порядка кратного 5 (напомню, что рассматриваются порядки не кратные 3)! То есть это такие порядки: 5, 25, 35, 55, 65, 85, 95. Дальше моя программа просто не работает.

 

Ещё раз убедилась в том, что обобщение в математике – вещь непредсказуемая. Ничего нельзя обобщать без доказательства!

 

В заключение покажу идеальный квадрат 13-ого порядка, полученный из ассоциативного квадрата, построенного индийским методом, перестановкой столбцов с шагом 1 (рис.16). Этот квадрат построен мной и вручную, и по программе.

 

 

Рис. 16

 

Предлагаю читателям сделать из этого идеального квадрата идеальный квадрат, начинающийся с числа 1. Как это делается, показано выше на примере идеального квадрата 7-ого порядка.

 

***

 

Читайте мою виртуальную книгу “Волшебный мир магических квадратов”:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm

 

28 -  30 августа 2008 г.

г. Саратов

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу