Н. Макарова
МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ПАР ОЛК ПОРЯДКА 6k (k > 1)
В предыдущей статье (http://www.natalimak1.narod.ru/metod.htm ) описан метод построения пар ОЛК порядка n = 6k + 4, k = 1, 2, 3, … с применением квази-разностных матриц (КРМ).
После того, как я разработала этот метод на основе алгоритма для порядков вида n ≡ 10 (mod 12), решила попробовать аналогичным способом построить пары ОЛК серии порядков n = 6k, k>1. Смотрите об этом в статье http://www.natalimak1.narod.ru/aspekty6.htm . Всё это было сделано ещё до того, как я познакомилась с понятием квази-разностной матрицы. Теперь хочу показать этот метод тоже с применением КРМ. Сразу скажу, что для порядков серии n = 6k не всё так гладко, как для серии порядков n = 6k + 4. Здесь возникает маленькая задоринка. В указанной выше статье я построила этим методом пары ОЛК порядков 12, 18 и 24. Для порядка 12 всё прошло “без сучка, без задоринки”. Задоринка возникла уже для порядка 18, повторилась она и для порядка 24. Без применения КРМ удалить эту задоринку гораздо сложнее; программа, которую я составила для этой цели, намного больше, чем программа, составленная при построении пары ОЛК 30-го порядка с применением КРМ.
Начну с показа КРМ построенных ранее пар ОЛК 12-го, 18-го и 24-го порядков. При этом сами пары ОЛК не буду здесь показывать, вы можете посмотреть их в указанной выше статье. На рис. 1 вы видите КРМ пары ОЛК 12-го порядка.
|
a1 |
a2 |
a3 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
a1 |
a2 |
a3 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
3 |
5 |
7 |
4 |
3 |
2 |
1 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
a3 |
a2 |
a1 |
|
4 |
3 |
2 |
3 |
5 |
7 |
1 |
a1 |
a2 |
a3 |
9 |
2 |
4 |
6 |
8 |
Рис. 1
Формула размера подквадратов для любого порядка n = 6k (k > 1): t = 2k – 1. В рассматриваемом примере k = 2, t = 3. Символьные элементы принимают значения 0, n-t+1, n-t+2,… n-2, n-1 в любой комбинации. Для пары ОЛК 12-го порядка значения символьных элементов будут такими: 0, 10, 11. Все эти закономерности имеют место для любого порядка рассматриваемой серии. Структура КРМ со всеми её закономерностями тоже сохраняется. Задоринка возникает только в двух секциях КРМ, эти секции выделены на рис. 1 и во всех следующих КРМ. В данном примере числа в этой секции следуют по порядку: 2, 3, 4. Для пар ОЛК следующих порядков эта закономерность нарушается: числа в этой секции следуют не по порядку. Посмотрите на КРМ пары ОЛК 18-го порядка (рис. 2):
|
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
|
3 |
5 |
7 |
9 |
11 |
5 |
6 |
4 |
3 |
2 |
1 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
a5 |
a4 |
a3 |
a2 |
a1 |
|
5 |
6 |
4 |
3 |
2 |
3 |
5 |
7 |
9 |
11 |
1 |
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
13 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
Рис. 2
Размер подквадрата для данной пары ОЛК: t = 5. Символьные элементы принимают значения: 0, 14, 15, 16, 17. Всё точно так же, как в предыдущем примере, за исключением выделенных секций КРМ. Как видите, числа в этих секциях следуют не по порядку. Если написать их по порядку, то строки третья и четвёртая будут несовместимы по известному критерию. И, разумеется, латинские квадраты у меня в этом случае получились не ортогональные. Поэтому мне пришлось составлять программу и искать такую перестановку чисел в выделенных секциях, чтобы квадраты получились ортогональными. Набор чисел в выделенных секциях повторяется; эта закономерность сохраняется для всех порядков.
Всё совершенно аналогично для следующего порядка n = 24. В этом случае k = 4, t = 7, символьные элементы принимают значения 0, 18, 19, 20, 21, 22, 23 в любой комбинации. Вы видите КРМ для пары ОЛК 24-го порядка на рис. 3.
|
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a6 |
a7 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a6 |
a7 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
|
3 |
5 |
7 |
9 |
11 |
13 |
15 |
2 |
8 |
3 |
7 |
6 |
5 |
4 |
1 |
17 |
16 |
15 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
a7 |
a6 |
a5 |
a4 |
a3 |
a2 |
a1 |
|
2 |
8 |
3 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
5 |
7 |
9 |
11 |
13 |
15 |
1 |
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a6 |
a7 |
17 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
16 |
Рис. 3
Перестановка чисел в выделенных секциях тоже найдена по программе.
Пару ОЛК 30-го порядка я не строила в указанной статье, не хотелось писать ещё одну программу для нахождения перестановки чисел для нестандартных секций. Повторю, что без применения КРМ эти программы получились очень громоздкими. Теперь же я сразу составила КРМ для пары ОЛК 30-го порядка, а затем написала программу для нахождения нужной перестановки чисел, но эту программу я составила по свойству строк КРМ, которые должны быть совместимы по известному критерию. Эта программа получилась намного меньше по размеру и мгновенно нашла нужную перестановку чисел. На рис. 4 показана КРМ для пары ОЛК 30-го порядка.
|
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a6 |
a7 |
a8 |
a9 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a6 |
a7 |
a8 |
a9 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
|
3 |
5 |
7 |
9 |
11 |
13 |
15 |
17 |
19 |
2 |
3 |
10 |
4 |
5 |
9 |
8 |
7 |
6 |
1 |
21 |
20 |
19 |
18 |
17 |
16 |
15 |
14 |
13 |
12 |
11 |
a9 |
a8 |
a7 |
a6 |
a5 |
a4 |
a3 |
a2 |
a1 |
|
2 |
3 |
10 |
4 |
5 |
9 |
8 |
7 |
6 |
3 |
5 |
7 |
9 |
11 |
13 |
15 |
17 |
19 |
1 |
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a6 |
a7 |
a8 |
a9 |
21 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
16 |
18 |
20 |
Рис. 4
Замечу, что это не единственно возможная перестановка чисел, программа выдала много других решений, например, такое: 7, 2, 5, 10, 6, 3, 8, 9, 4.
Ну, а теперь покажу ортогональные латинские квадраты 30-го порядка, построенные по данной КРМ, поскольку раньше я эту пару ОЛК не построила. В латинских квадратах символьным элементам присвоены такие значения: a1 = 0, a2 = 22, a3 = 23, a4 = 24, a5 = 25, a6 = 26, a7 = 27, a8 = 28, a9 = 29. На рис. 5 – 6 вы видите ортогональные латинские квадраты 30-го порядка.
Первый латинский квадрат
|
1 |
0 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
21 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
16 |
18 |
20 |
3 |
5 |
7 |
9 |
11 |
13 |
15 |
17 |
19 |
|
21 |
2 |
0 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
11 |
13 |
15 |
17 |
19 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
16 |
18 |
20 |
|
20 |
1 |
3 |
0 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
16 |
18 |
5 |
7 |
9 |
11 |
13 |
15 |
17 |
19 |
21 |
|
19 |
21 |
2 |
4 |
0 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
3 |
5 |
7 |
9 |
11 |
13 |
15 |
17 |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
16 |
18 |
20 |
1 |
|
18 |
20 |
1 |
3 |
5 |
0 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
16 |
7 |
9 |
11 |
13 |
15 |
17 |
19 |
21 |
2 |
|
17 |
19 |
21 |
2 |
4 |
6 |
0 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
5 |
7 |
9 |
11 |
13 |
15 |
8 |
10 |
12 |
14 |
16 |
18 |
20 |
1 |
3 |
|
16 |
18 |
20 |
1 |
3 |
5 |
7 |
0 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
9 |
11 |
13 |
15 |
17 |
19 |
21 |
2 |
4 |
|
15 |
17 |
19 |
21 |
2 |
4 |
6 |
8 |
0 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
7 |
9 |
11 |
13 |
10 |
12 |
14 |
16 |
18 |
20 |
1 |
3 |
5 |
|
14 |
16 |
18 |
20 |
1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
0 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
8 |
10 |
12 |
11 |
13 |
15 |
17 |
19 |
21 |
2 |
4 |
6 |
|
13 |
15 |
17 |
19 |
21 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
0 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
9 |
11 |
12 |
14 |
16 |
18 |
20 |
1 |
3 |
5 |
7 |
|
12 |
14 |
16 |
18 |
20 |
1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
11 |
0 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
10 |
13 |
15 |
17 |
19 |
21 |
2 |
4 |
6 |
8 |
|
11 |
13 |
15 |
17 |
19 |
21 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
0 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
14 |
16 |
18 |
20 |
1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
|
29 |
12 |
14 |
16 |
18 |
20 |
1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
11 |
13 |
0 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
15 |
17 |
19 |
21 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
|
28 |
29 |
13 |
15 |
17 |
19 |
21 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
0 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
16 |
18 |
20 |
1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
11 |
|
27 |
28 |
29 |
14 |
16 |
18 |
20 |
1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
11 |
13 |
15 |
0 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
17 |
19 |
21 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
|
26 |
27 |
28 |
29 |
15 |
17 |
19 |
21 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
16 |
0 |
22 |
23 |
24 |
25 |
18 |
20 |
1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
11 |
13 |
|
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
16 |
18 |
20 |
1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
11 |
13 |
15 |
17 |
0 |
22 |
23 |
24 |
19 |
21 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
|
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
17 |
19 |
21 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
16 |
18 |
0 |
22 |
23 |
20 |
1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
11 |
13 |
15 |
|
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
18 |
20 |
1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
11 |
13 |
15 |
17 |
19 |
0 |
22 |
21 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
16 |
|
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
19 |
21 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
16 |
18 |
20 |
0 |
1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
11 |
13 |
15 |
17 |
|
0 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
20 |
1 |
3 |
5 |
7 |
9 |
11 |
13 |
15 |
17 |
19 |
21 |
2 |
4 |
6 |
8 |
10 |
12 |
14 |
16 |
18 |
|
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
0 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
0 |
22 |
23 |
|
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
27 |
28 |
29 |
0 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
|
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
28 |
29 |
27 |
22 |
23 |
0 |
25 |
26 |
24 |
|
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
4 |
22 |
23 |
0 |
25 |
26 |
24 |
28 |
29 |
27 |
|
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
25 |
26 |
24 |
28 |
29 |
27 |
22 |
23 |
0 |
|
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
26 |
24 |
25 |
29 |
27 |
28 |
23 |
0 |
22 |
|
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
29 |
27 |
28 |
23 |
0 |
22 |
26 |
24 |
25 |
|
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
23 |
0 |
22 |
26 |
24 |
25 |
29 |
27 |
28 |
Рис. 5
Второй латинский квадрат
|
1 |
21 |
20 |
19 |
18 |
17 |
16 |
15 |
14 |
13 |
12 |
11 |
29 |
28 |
27 |
26 |
25 |
24 |
23 |
22 |
0 |
2 |
3 |
10 |
4 |
5 |
9 |
8 |
7 |
6 |
|
0 |
2 |
1 |
21 |
20 |
19 |
18 |
17 |
16 |
15 |
14 |
13 |
12 |
29 |
28 |
27 |
26 |
25 |
24 |
23 |
22 |
3 |
4 |
11 |
5 |
6 |
10 |
9 |
8 |
7 |
|
22 |
0 |
3 |
2 |
1 |
21 |
20 |
19 |
18 |
17 |
16 |
15 |
14 |
13 |
29 |
28 |
27 |
26 |
25 |
24 |
23 |
4 |
5 |
12 |
6 |
7 |
11 |
10 |
9 |
8 |
|
23 |
22 |
0 |
4 |
3 |
2 |
1 |
21 |
20 |
19 |
18 |
17 |
16 |
15 |
14 |
29 |
28 |
27 |
26 |
25 |
24 |
5 |
6 |
13 |
7 |
8 |
12 |
11 |
10 |
9 |
|
24 |
23 |
22 |
0 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
21 |
20 |
19 |
18 |
17 |
16 |
15 |
29 |
28 |
27 |
26 |
25 |
6 |
7 |
14 |
8 |
9 |
13 |
12 |
11 |
10 |
|
25 |
24 |
23 |
22 |
0 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
21 |
20 |
19 |
18 |
17 |
16 |
29 |
28 |
27 |
26 |
7 |
8 |
15 |
9 |
10 |
14 |
13 |
12 |
11 |
|
26 |
25 |
24 |
23 |
22 |
0 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
21 |
20 |
19 |
18 |
17 |
29 |
28 |
27 |
8 |
9 |
16 |
10 |
11 |
15 |
14 |
13 |
12 |
|
27 |
26 |
25 |
24 |
23 |
22 |
0 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
21 |
20 |
19 |
18 |
29 |
28 |
9 |
10 |
17 |
11 |
12 |
16 |
15 |
14 |
13 |
|
28 |
27 |
26 |
25 |
24 |
23 |
22 |
0 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
21 |
20 |
19 |
29 |
10 |
11 |
18 |
12 |
13 |
17 |
16 |
15 |
14 |
|
29 |
28 |
27 |
26 |
25 |
24 |
23 |
22 |
0 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
21 |
20 |
11 |
12 |
19 |
13 |
14 |
18 |
17 |
16 |
15 |
|
21 |
29 |
28 |
27 |
26 |
25 |
24 |
23 |
22 |
0 |
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
12 |
13 |
20 |
14 |
15 |
19 |
18 |
17 |
16 |
|
2 |
1 |
29 |
28 |
27 |
26 |
25 |
24 |
23 |
22 |
0 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
13 |
14 |
21 |
15 |
16 |
20 |
19 |
18 |
17 |
|
4 |
3 |
2 |
29 |
28 |
27 |
26 |
25 |
24 |
23 |
22 |
0 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
14 |
15 |
1 |
16 |
17 |
21 |
20 |
19 |
18 |
|
6 |
5 |
4 |
3 |
29 |
28 |
27 |
26 |
25 |
24 |
23 |
22 |
0 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
15 |
16 |
2 |
17 |
18 |
1 |
21 |
20 |
19 |
|
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
29 |
28 |
27 |
26 |
25 |
24 |
23 |
22 |
0 |
15 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
16 |
17 |
3 |
18 |
19 |
2 |
1 |
21 |
20 |
|
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
29 |
28 |
27 |
26 |
25 |
24 |
23 |
22 |
0 |
16 |
15 |
14 |
13 |
12 |
11 |
17 |
18 |
4 |
19 |
20 |
3 |
2 |
1 |
21 |
|
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
29 |
28 |
27 |
26 |
25 |
24 |
23 |
22 |
0 |
17 |
16 |
15 |
14 |
13 |
18 |
19 |
5 |
20 |
21 |
4 |
3 |
2 |
1 |
|
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
29 |
28 |
27 |
26 |
25 |
24 |
23 |
22 |
0 |
18 |
17 |
16 |
15 |
19 |
20 |
6 |
21 |
1 |
5 |
4 |
3 |
2 |
|
16 |
15 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
29 |
28 |
27 |
26 |
25 |
24 |
23 |
22 |
0 |
19 |
18 |
17 |
20 |
21 |
7 |
1 |
2 |
6 |
5 |
4 |
3 |
|
18 |
17 |
16 |
15 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
29 |
28 |
27 |
26 |
25 |
24 |
23 |
22 |
0 |
20 |
19 |
21 |
1 |
8 |
2 |
3 |
7 |
6 |
5 |
4 |
|
20 |
19 |
18 |
17 |
16 |
15 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
29 |
28 |
27 |
26 |
25 |
24 |
23 |
22 |
0 |
21 |
1 |
2 |
9 |
3 |
4 |
8 |
7 |
6 |
5 |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
0 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
|
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
4 |
25 |
26 |
24 |
28 |
29 |
27 |
22 |
23 |
0 |
|
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
29 |
27 |
28 |
23 |
0 |
22 |
26 |
24 |
25 |
|
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
22 |
23 |
0 |
25 |
26 |
24 |
28 |
29 |
27 |
|
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
26 |
24 |
25 |
29 |
27 |
28 |
23 |
0 |
22 |
|
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
27 |
28 |
29 |
0 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
|
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
23 |
0 |
22 |
26 |
24 |
25 |
29 |
27 |
28 |
|
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
0 |
22 |
23 |
|
19 |
20 |
21 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
28 |
29 |
27 |
22 |
23 |
0 |
25 |
26 |
24 |
Рис. 6
В латинских квадратах на рис. 5 - 6 выделены подквадраты 9х9. Можно заменить приведённую пару ортогональных подквадратов на любую другую пару ортогональных подквадратов 9-го порядка, состоящую из тех же элементов. Таким образом мы получим много новых (неизоморфных) пар ОЛК 30-го порядка.
Понятно, что по приведённым частным примерам можно написать КРМ в общем виде для любого порядка рассматриваемой серии, как это сделано для КРМ порядков вида n = 6k + 4. Только как удалить возникающую здесь задоринку? Ведь с ростом порядка искать нужную перестановку чисел всё сложнее. Тут надо найти некий способ получать эту перестановку по какой-то общей схеме без программы. Это сложная задача, надо над ней долго думать. Предлагаю эту задачу читателям. В том, что нужная перестановка чисел существует для любого порядка рассматриваемой серии, я не сомневаюсь.
Покажу ещё, например, КРМ для пары ОЛК 36-го порядка (рис. 7):
|
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a6 |
a7 |
a8 |
a9 |
a10 |
a11 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
… |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
a6 |
a7 |
a8 |
a9 |
a10 |
a11 |
0 |
1 |
2 |
3 |
… |
22 |
23 |
24 |
|
3 |
5 |
7 |
9 |
11 |
13 |
15 |
17 |
19 |
21 |
23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
25 |
24 |
23 |
… |
a3 |
a2 |
a1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
5 |
7 |
9 |
11 |
13 |
15 |
17 |
19 |
21 |
23 |
1 |
a1 |
a2 |
a3 |
… |
20 |
22 |
24 |
Рис. 7
В этой КРМ не заполнены нестандартные секции. Требуется найти для этих секций перестановку чисел 2, 3, 4, … , 11, 12, так чтобы третья и четвёртая строки КРМ были совместимы по известному критерию. Конечно, здесь количество чисел ещё не так велико и можно снова составить программу для нахождения нужной перестановки чисел.
Итак, у меня осталась совсем без алгоритма серия порядков n = 6k + 2, k = 1, 2, 3, … . Следует отметить, что ровно половина порядков в этой группе (при нечётных k) кратны 4, следовательно, для них работает метод составных квадратов (исключение составляет порядок 8). Таким образом, проблемными остаются только порядки вида n = 2(6m + 1), m = 1, 2, 3, … или n ≡ 2(mod 12).
12 апреля 2009 г.
г. Саратов
Читайте мою виртуальную книгу “Волшебный мир магических квадратов”:
http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm
Скачайте электронную версию этой книги:
http://narod.ru/disk/5834353000/Magic_squares.pdf.html
Заодно прихватите книгу “Позиционные системы счисления”, авось, пригодится:
http://narod.ru/disk/5936760000/pozic4.pdf.html
Пишите мне!
На главную страницу
