Н. Макарова

 

МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ПАР ОЛК ПОРЯДКА n = 6k + 4

 

 

Алгоритм построения пар ОЛК серии порядков n = 6k + 4, k = 1, 2, 3, … разработан мной на основе алгоритма для порядков вида n ≡ 10 (mod 12), который известен давно. Здесь я хочу показать разработанный мной алгоритм с применением квази-разностных матриц (КРМ). Пары ОЛК данной серии порядков, строящиеся по указанному алгоритму, содержат латинские подквадраты и имеют одинаковую структуру. Поэтому и КРМ для этих пар ОЛК имеют одинаковую структуру. О КРМ читайте в цикле статей “Подробно о квази-разностной матрице” (начиная с этой страницы: http://www.natalimak1.narod.ru/quazi.htm ).

 

Итак, представляю КРМ в общем виде для любого порядка n = 6k + 4, k = 1, 2, 3, … Размер латинских подквадратов определяется по формуле: t = 2k + 1. В КРМ содержатся символьные элементы: a₁, a₂, a₃, …, a_t. Эти символьные элементы принимают значения 0, 2t + 2, 2t + 3, …, 3t – 1, 3t в любой комбинации. На рис. 1 вы видите КРМ в общем виде.

 

 

Рис. 1

 

Понятно, что составление КРМ очень легко запрограммировать, а по КРМ можно запрограммировать и построение латинских квадратов пары ОЛК. Таким образом, мы имеем алгоритм построения пар ОЛК указанной серии порядков, который легко формализовать и запрограммировать.

 

Теперь приведу два примера составления КРМ и построения пары ОЛК по данному алгоритму. Начну с минимального порядка n = 10. В этом случае k = 1, t = 3. Символьные элементы a₁, a₂, a₃ принимают значения 0, 8, 9 в любой комбинации. КРМ  имеет следующий вид (рис. 2):

 

 

Рис. 2

 

На рис. 3 – 4 показана пара ОЛК, построенная по данной КРМ.

 

Первый латинский квадрат

 

 

Рис. 3

 

Второй латинский квадрат

 

 

Рис. 4

 

Теперь построим пару ОЛК следующего порядка n = 16. Хотя для данного порядка можно построить пары ОЛК несколькими другими способами, тем не менее, данный алгоритм тоже работает. В этом случае k = 2, размер подквадратов t = 5. Символьные элементы a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ принимают значения 0, 12, 13, 14, 15 в любой комбинации. На рис. 5 показана КРМ для пары ОЛК 16-го порядка.

 

 

 

Рис. 5

 

На рис 6 – 7 показаны латинские квадраты пары ОЛК, построенные по этой КРМ.

 

Первый латинский квадрат

 

 

Рис. 6

 

Второй латинский квадрат

 

 

Рис. 7

 

Понятно, что латинские подквадраты 5х5 (они выделены на рис. 6 – 7 жёлтым цветом) можно заменить любой другой парой ортогональных латинских квадратов 5-го порядка. При этом мы будем получать новые (неизоморфные) пары ОЛК 16-го порядка.

Покажу данную пару ОЛК при конкретных значениях символьных элементов: a₁ = 15, a₂ = 14, a₃ = 13, a₄ = 12, a₅ = 0 (рис. 8 – 9). Как уже сказано, эти значения можно присваивать произвольным образом.

 

Первый латинский квадрат

 

 

Рис. 8

 

Второй латинский квадрат

 

 

Рис. 9

 

Латинские квадраты построенной пары ОЛК не являются диагональными, поэтому пара ОЛК не пригодна для построения магических квадратов без предварительного преобразования. Преобразовать квадраты очень просто. В обоих квадратах неправильная только одна диагональ. При этом набор чисел в неправильной диагонали в обоих квадратах одинаковый. Поэтому оба квадрата преобразовываются одной и той же трансформацией тождественной перестановки чисел. Это всего одна взаимозамена: 0 à 5, 5 à 0. На рис. 10 – 11 вы видите преобразованные латинские квадраты этой пары ОЛК.

 

Первый преобразованный латинский квадрат

 

 

Рис. 10

 

Второй преобразованный латинский квадрат

 

 

Рис. 11

 

Каждый преобразованный латинский квадрат является нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 120. Можно строить магические квадраты. На рис. 12 показан один из магических квадратов, построенный из данной пары ОЛК.

 

 

Рис. 12

 

Второй магический квадрат получится, если в формуле для построения магических квадратов поменять местами латинские квадраты.

 

В заключение отмечу, что описанный алгоритм работает и для случая n = 4. Тогда k = 0 и размер подквадрата t = 1. Символьный элемент будет всего один – a₁, его значение равно 0. На рис. 13 показана КРМ для пары ОЛК 4-го порядка.

 

 

Рис. 13

 

На рис. 14 изображена  пара ОЛК, построенная по данной КРМ.

 

 

Рис. 14

 

6 – 7 апреля 2009 г.

г. Саратов

 

 

Читайте мою виртуальную книгу “Волшебный мир магических квадратов”:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm

 

Скачайте электронную версию этой книги:

 

http://narod.ru/disk/5834353000/Magic_squares.pdf.html

 

 

Заодно прихватите книгу “Позиционные системы счисления”, авось, пригодится:

 

http://narod.ru/disk/5936760000/pozic4.pdf.html

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу