МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ

 

данная страница является продолжением страницы

 

http://www.natalimak1.narod.ru/metody5.htm

 

 

МЕТОД СОТОВЫХ КВАДРАТОВ

 

Рассмотрим метод сотовых квадратов для порядков n = 8k + 4, k = 1, 2, 3…

В [1] построение сотовых магических квадратов для данной серии порядков осуществляется модифицированным методом двух квадратов. Приводится пример построения сотового магического квадрата 12-ого порядка. Изложение этого метода приводится здесь.

Для построения сотового магического квадрата порядка n = 8k + 4 надо взять любой сотовый магический квадрат порядка m = 4k + 2. В примере для квадрата 12-ого порядка надо взять любой сотовый магический квадрат 6-ого порядка. Возьмём квадрат, изображённый на рис. 1.

 

 

                                                                                       Рис. 1

 

Первый вспомогательный квадрат размером 12х12 строится следующим образом: в каждый угловой квадрат 6х6 в матрице 12х12 помещается исходный сотовый магический квадрат 6-ого порядка. На рис. 2 показан первый вспомогательный квадрат.

 

 

Рис. 2

 

Очевидно, что это нетрадиционный магический квадрат с магической константой 222.

 

Для построения второго вспомогательного квадрата сначала  строится квадрат размером mхm следующим образом: левый верхний квадрат pxp заполняется нулями, правый нижний квадрат pхp заполняется числами m², правый верхний квадрат pхp заполняется числами 2m², левый нижний квадрат pхp заполняетя числами 3m² (p = m/2). Смотрите этот квадрат на рис. 3.

 

 

                                                                                       Рис. 3

 

Чтобы превратить этот квадрат в нетрадиционный магический, надо переставить числа в ячейках, выделенных жёлтым цветом, каждое число в верхнем квадрате 3х3 поменять местами с соответствующим числом в нижнем квадрате 3х3. Полученный в результате такой перестановки чисел квадрат вы видите на рис. 4.

 

 

                                                                                       Рис. 4

 

Теперь надо каждую ячейку в этом квадрате превратить в квадрат 2х2 и записать в этом квадрате число из исходной ячейки. В результате получаем второй вспомогательный сотовый квадрат (рис. 5).

 

 

Рис. 5

 

Второй вспомогательный квадрат является нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 648. Осталось сложить поэлементно два вспомогательных квадрата (рис. 2 и рис. 5) и сотовый магический квадрат 12-ого порядка готов (рис. 6).

 

 

Рис. 6

 

Приведу ещё один пример – построение магического квадрата 20-ого порядка методом сотовых квадратов. В качестве исходного квадрата для первого вспомогательного квадрата возьму сотовый магический квадрат 10-ого порядка, построенный в следующем разделе (см. в Разделе 3 рис. 36). На рис. 7 показан первый вспомогательный квадрат 20х20.

 

 

Рис. 7

 

Очевидно, что этот квадрат является нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 1010.

 

Заготовка для второго вспомогательного квадрата представляет собой квадрат 10х10, который составляется из четырёх квадратов 5х5, заполненных следующим образом: один числами 0, второй числами 100, третий числами 200, четвёртый числами 300 с последующей перестановкой чисел. Замечу, что числа для перестановки я взяла по своему методу четырёх квадратов, а не по методу двух квадратов, изложенному в книге Чебракова. На рис. 8 изображена заготовка для второго вспомогательного квадрата.

 

 

Рис. 8

 

Примечание: закрашены ячейки, в которых переставлены числа.

 

Теперь превратим каждую ячейку этого квадрата в квадрат 2х2 и заполним второй вспомогательный квадрат 20х20 (рис. 9).

 

 

Рис. 9

 

Второй вспомогательный квадрат является нетрадиционным магическим квадратом с магической константой 3000. Осталось сложить поэлементно два вспомогательных сотовых квадрата и сотовый магический квадрат 20-ого порядка готов. Смотрите его на рис. 10.

 

 

Рис. 10

 

***

 

Читайте мою виртуальную книгу “Волшебный мир магических квадратов”

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm

 

 

26 сентября 2008 г.

г. Саратов

 

ДОБАВЛЕНИЕ (11 октября 2008 г)

 

В статье “Сотовые магические квадраты” был рассмотрен обобщённый метод сотовых квадратов для порядков n = 4k + 2 и n = 8k. Остался случай сотовых квадратов порядка n = 8k + 4, то есть как раз тех, которые рассмотрены в настоящей статье. Применим ли к квадратам данной серии порядков обобщённый метод?

Начнём с того, что первый вспомогательный квадрат по алгоритму автора книги Чебракова строится так: в матрицу 12х12 помещаются четыре копии любого сотового квадрата 6-ого порядка (см. рис. 2).

 Рассмотрим пример, взяв в качестве исходного сотового квадрата 6-ого порядка квадрат из статьи http://www.natalimak1.narod.ru/sotov1.htm , который имеет 24 варианта. Поместив четыре копии этого квадрата в матрицу 12х12, получим следующий первый вспомогательный квадрат (рис. 11):

 

 

Рис. 11

 

Сложив поэлементно первый вспомогательный квадрат со вторым вспомогательным квадратом, изображённым на рис. 5, получим такой сотовый магический квадрат 12-ого порядка (рис. 12):

 

 

Рис. 12

 

А теперь делаем обобщение метода очень просто: будем строить первый вспомогательный квадрат из вариантов исходного сотового квадрата 6-ого порядка (все 24 варианта приведены в указанной выше статье). Возьмём, например, вариант № 9. Поместив в матрицу 12х12 четыре копии этого варианта, мы получим следующий первый вспомогательный квадрат (рис. 13):

 

 

Рис. 13

 

Второй вспомогательный квадрат остаётся тот же самый. Сложив поэлементно два вспомогательных квадрата (рис. 5 и рис. 13), получим такой магический квадрат 12-ого порядка (рис. 14):

 

 

Рис. 14

 

Очевидно, что этот квадрат не является сотовым в смысле данного мной определения сотового магического квадрата. В каждом блоке 2х2 этого квадрата есть две пары последовательных чисел. Можно выбрать такой вариант сотового квадрата 6-ого порядка из 24 вариантов, что построенный магический квадрат 12-ого порядка вообще не будет иметь последовательных чисел в квадратах 2х2. Предоставляю это читателям.

 

Интересно отметить, что построение первого вспомогательного квадрата допускает ещё ряд обобщений. Например, в правой половине этого квадрата каждый квадрат 6-ого порядка можно заменить любым эквивалентным вариантом (напомню, что эквивалентными магическими квадратами я называю квадраты, получающиеся одним из семи основных преобразований магических квадратов). Всевозможные комбинации этих манипуляций с составляющими квадратами 6-ого порядка дадут множество новых магических квадратов 12-ого порядка. Второй вспомогательный квадрат не изменяется. Очевидно, что все эти манипуляции с квадратами 6-ого порядка в правой половине первого вспомогательного квадрата равносильны таким же манипуляциям с соответствующими квадратами 6х6 в готовом магическом квадрате. Покажу это на примере последнего магического квадрата (рис. 14).

 

Пример 1

 

Повернём в готовом магическом квадрате с рис. 14 верхний правый квадрат 6х6 на 90 градусов по часовой стрелке, а правый нижний квадрат 6х6 на 90 градусов против часовой стрелки. Полученный в результате этих преобразований магический квадрат изображён на рис. 15.

 

 

Рис. 15

 

Пример 2

 

Теперь подвергнем преобразованиям квадраты 6х6 в левой половине первого вспомогательного квадрата (рис. 13), а в правой половине квадрата всё оставим без изменения. Преобразования такие: повернём оба квадрата 6х6 на 180 градусов. Сложив поэлементно новый первый вспомогательный квадрат со вторым вспомогательным квадратом, получим такой магический квадрат (рис. 16):

 

 

Рис. 16

 

 Пример 3

 

Объединим преобразования, выполненные в двух предыдущих примерах. Получим новый магический квадрат (рис. 17):

 

 

Рис. 17

 

Понятно, что точно таким же преобразованиям можно подвергнуть сотовый магический квадрат с рис. 12 и вообще любой магический квадрат, построенный обобщённым методом сотовых квадратов.

 

Совершенно аналогично применяется обобщённый метод сотовых квадратов для любого порядка рассматриваемой серии (n = 8k + 4, k = 1, 2, 3, …). Всё основывается на использовании вариантов исходного сотового квадрата порядка n = 4k + 2, а варианты таких квадратов мы умеем строить.

 

***

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу