ОБ ИДЕАЛЬНЫХ КВАДРАТАХ ДВЕНАДЦАТОГО ПОРЯДКА С НАЧАЛЬНОЙ ЦЕПОЧКОЙ “ХОД КОНЁМ”

ОБ ИДЕАЛЬНЫХ КВАДРАТАХ ДВЕНАДЦАТОГО ПОРЯДКА

С НАЧАЛЬНОЙ ЦЕПОЧКОЙ “ХОД КОНЁМ”

Часть I

Перед прочтением данной страницы необходимо ознакомиться со статьями:

http://www.klassikpoez.narod.ru/latch.htm

http://www.klassikpoez.narod.ru/id8all.htm

После того как я очень подробно рассмотрела метод построения идеальных квадратов 8-ого порядка с начальной цепочкой “ход конём” с помощью двух обобщённых ортогональных латинских квадратов, мне кое-что стало понятно и теперь хочу более подробно остановиться на подобных идеальных квадратах 12-ого порядка. В первой из указанных выше статей был рассмотрен пример построения идеального квадрата 12-ого порядка данным методом.

Мне было непонятно, как строить второй латинский квадрат, ортогональный первому. Первый латинский квадрат я составляла на основании известных номеров циклов качания качелей. Теперь буду действовать по аналогии с тем, как составляла вторые латинские квадраты при построении этим методом идеальных квадратов 8-ого порядка. Эта аналогия состоит в том, что схему составления второго латинского квадрата я беру сначала из конкретного частного примера, а дальше сочиняю сама (подобные схемы). Первые латинские квадраты строятся точно так же: это обобщённые латинские квадраты, в первой строке которых стоят все числа от 0 до 11. Кроме того, эти латинские квадраты являются нетрадиционными магическими квадратами с магической константой 66. Построение таких латинских обобщённых квадратов очень легко выполняется по программе. Точно так же, как и для квадратов 8-ого порядка, каждая следующая строка первого латинского квадрата получается из предыдущей циклическим сдвигом с постоянным шагом.

Итак, пишу аналогичную программу, начальным этапом в которой составляются первые латинские обобщённые квадраты. Какими должны быть эти квадраты, сказано выше. Вторым этапом составляются вторые латинские квадраты, они ортогональны первым латинским квадрата и тоже являются нетрадиционными идеальными квадратами с магической константой 66. И, наконец, найдя нужную пару латинских обобщённых ортогональных квадратов, программа строит идеальный квадрат по формуле:

c_ij = 12*a_ij + b_ij + 1,

где a_ij – элементы первого латинского квадрата, b_ij – соответствующие элементы второго латинского квадрата, c_ij – соответствующие элементы идеального квадрата.

Программа выдала 8 решений. Показываю их (рис. 1- 8).

Квадрат № 1

1	139	75	47	32	57	121	19	87	119	104	69
106	66	12	136	77	38	34	54	132	16	89	110
95	116	105	61	7	135	83	44	33	49	127	15
124	17	86	118	102	72	4	137	74	46	30	60
25	55	123	23	92	117	97	67	3	143	80	45
82	42	36	52	125	14	94	114	108	64	5	134
11	140	81	37	31	51	131	20	93	109	103	63
100	65	2	142	78	48	28	53	122	22	90	120
85	115	99	71	8	141	73	43	27	59	128	21
130	18	96	112	101	62	10	138	84	40	29	50
35	56	129	13	91	111	107	68	9	133	79	39
76	41	26	58	126	24	88	113	98	70	6	144

Рис. 1

Покажу для этого идеального квадрата пару обобщённых ортогональных латинских квадратов, из которых он построен (рис. 1а, рис. 1б).

0	11	6	3	2	4	10	1	7	9	8	5
8	5	0	11	6	3	2	4	10	1	7	9
7	9	8	5	0	11	6	3	2	4	10	1
10	1	7	9	8	5	0	11	6	3	2	4
2	4	10	1	7	9	8	5	0	11	6	3
6	3	2	4	10	1	7	9	8	5	0	11
0	11	6	3	2	4	10	1	7	9	8	5
8	5	0	11	6	3	2	4	10	1	7	9
7	9	8	5	0	11	6	3	2	4	10	1
10	1	7	9	8	5	0	11	6	3	2	4
2	4	10	1	7	9	8	5	0	11	6	3
6	3	2	4	10	1	7	9	8	5	0	11

Рис. 1а

Закономерности в этом латинском квадрате очевидны. В первой строке стоят номера циклов качания качелей в точном соответствии с образующей таблицей (если строить этот квадрат методом качелей). В идеальном квадрате (рис. 1) и в латинском квадрате (рис. 1а) раскрашены четыре цикла качания качелей, считая нулевой.

Вот второй латинский квадрат, ортогональный к первому (рис. 1б). Именно из этого квадрата я взяла первую схему составления второго латинского квадрата.

0	6	2	10	7	8	0	6	2	10	7	8
9	5	11	3	4	1	9	5	11	3	4	1
10	7	8	0	6	2	10	7	8	0	6	2
3	4	1	9	5	11	3	4	1	9	5	11
0	6	2	10	7	8	0	6	2	10	7	8
9	5	11	3	4	1	9	5	11	3	4	1
10	7	8	0	6	2	10	7	8	0	6	2
3	4	1	9	5	11	3	4	1	9	5	11
0	6	2	10	7	8	0	6	2	10	7	8
9	5	11	3	4	1	9	5	11	3	4	1
10	7	8	0	6	2	10	7	8	0	6	2
3	4	1	9	5	11	3	4	1	9	5	11

Рис. 1б

Обратите внимание на то, что этот квадрат (как и первый латинский квадрат) является нетрадиционным идеальным магическим квадратом с магической константой 66. Точно так же составляются вторые латинские квадраты для следующих семи идеальных квадратов.

Квадрат № 2

1	139	81	119	104	51	121	19	93	47	32	63
28	66	12	142	77	110	100	54	132	22	89	38
95	44	27	61	7	141	83	116	99	49	127	21
130	17	86	40	30	72	10	137	74	112	102	60
97	55	129	23	92	39	25	67	9	143	80	111
76	114	108	58	125	14	88	42	36	70	5	134
11	140	75	109	103	57	131	20	87	37	31	69
34	65	2	136	78	120	106	53	122	16	90	48
85	43	33	71	8	135	73	115	105	59	128	15
124	18	96	46	29	62	4	138	84	118	101	50
107	56	123	13	91	45	35	68	3	133	79	117
82	113	98	52	126	24	94	41	26	64	6	144

Рис. 2

Квадрат № 3

1	140	87	47	31	69	121	20	75	119	103	57
106	53	12	136	90	38	34	65	132	16	78	110
83	115	105	49	8	135	95	43	33	61	128	15
124	18	74	118	101	60	4	138	86	46	29	72
25	68	123	23	79	117	97	56	3	143	91	45
94	41	36	64	126	14	82	113	108	52	6	134
11	139	93	37	32	63	131	19	81	109	104	51
100	54	2	142	89	48	28	66	122	22	77	120
73	116	99	59	7	141	85	44	27	71	127	21
130	17	84	112	102	50	10	137	96	40	30	62
35	67	129	13	80	111	107	55	9	133	92	39
88	42	26	70	125	24	76	114	98	58	5	144

Рис. 3

Квадрат № 4

1	140	87	69	35	19	97	44	123	117	83	55
82	53	12	138	86	64	34	17	108	42	122	112
129	119	79	49	8	135	93	71	31	13	104	39
102	38	124	118	77	60	6	134	88	70	29	24
25	20	99	45	131	115	73	56	3	141	95	67
94	65	36	18	98	40	130	113	84	54	2	136
9	143	91	61	32	15	105	47	127	109	80	51
78	50	4	142	89	72	30	14	100	46	125	120
121	116	75	57	11	139	85	68	27	21	107	43
106	41	132	114	74	52	10	137	96	66	26	16
33	23	103	37	128	111	81	59	7	133	92	63
90	62	28	22	101	48	126	110	76	58	5	144

Рис. 4

Квадрат № 5

1	140	91	117	83	15	97	44	127	69	35	51
30	53	12	142	86	112	78	17	108	46	122	64
129	71	27	49	8	139	93	119	75	13	104	43
106	38	124	66	29	60	10	134	88	114	77	24
73	20	103	45	131	63	25	56	7	141	95	111
90	113	84	22	98	40	126	65	36	58	2	136
9	143	87	109	80	19	105	47	123	61	32	55
34	50	4	138	89	120	82	14	100	42	125	72
121	68	31	57	11	135	85	116	79	21	107	39
102	41	132	70	26	52	6	137	96	118	74	16
81	23	99	37	128	67	33	59	3	133	92	115
94	110	76	18	101	48	130	62	28	54	5	144

Рис. 5

Квадрат № 6

1	140	93	119	103	63	121	20	81	47	31	51
28	53	12	142	90	110	100	65	132	22	78	38
83	43	27	49	8	141	95	115	99	61	128	21
130	18	74	40	29	60	10	138	86	112	101	72
97	68	129	23	79	39	25	56	9	143	91	111
88	113	108	70	126	14	76	41	36	58	6	134
11	139	87	109	104	69	131	19	75	37	32	57
34	54	2	136	89	120	106	66	122	16	77	48
73	44	33	59	7	135	85	116	105	71	127	15
124	17	84	46	30	50	4	137	96	118	102	62
107	67	123	13	80	45	35	55	3	133	92	117
94	114	98	64	125	24	82	42	26	52	5	144

Рис. 6

Квадрат № 7

1	143	123	69	32	55	97	47	87	117	80	19
82	14	12	138	125	64	34	50	108	42	89	112
93	116	79	13	11	135	129	68	31	49	107	39
102	41	88	118	74	24	6	137	124	70	26	60
25	59	99	45	92	115	73	23	3	141	128	67
130	62	36	54	101	40	94	110	84	18	5	136
9	140	127	61	35	51	105	44	91	109	83	15
78	17	4	142	122	72	30	53	100	46	86	120
85	119	75	21	8	139	121	71	27	57	104	43
106	38	96	114	77	16	10	134	132	66	29	52
33	56	103	37	95	111	81	20	7	133	131	63
126	65	28	58	98	48	90	113	76	22	2	144

Рис. 7

Квадрат № 8

1	143	127	117	80	51	97	47	91	69	32	15
30	14	12	142	125	112	78	50	108	46	89	64
93	68	27	13	11	139	129	116	75	49	107	43
106	41	88	66	26	24	10	137	124	114	74	60
73	59	103	45	92	63	25	23	7	141	128	111
126	110	84	58	101	40	90	62	36	22	5	136
9	140	123	109	83	55	105	44	87	61	35	19
34	17	4	138	122	120	82	53	100	42	86	72
85	71	31	21	8	135	121	119	79	57	104	39
102	38	96	70	29	16	6	134	132	118	77	52
81	56	99	37	95	67	33	20	3	133	131	115
130	113	76	54	98	48	94	65	28	18	2	144

Рис. 8

Теперь сочиняю вторую схему составления второго латинского квадрата, структура первого латинского квадрата остаётся неизменной, то есть он по-прежнему начинается с числа 0 и составляется точно так же. Как составляется второй латинский квадрат по этой схеме, читатели могут посмотреть, разложив любой из нижеследующих восьми идеальных квадратов на два латинских квадрата. Вот перед вами восемь новых идеальных квадратов 12-ого порядка, построенных по данной схеме (рис. 9 – 16).

Квадрат № 9

10	138	84	40	29	50	130	18	96	112	101	62
97	67	3	143	80	45	25	55	123	23	92	117
88	113	98	70	6	144	76	41	26	58	126	24
131	20	93	109	103	63	11	140	81	37	31	51
34	54	132	16	89	110	106	66	12	136	77	38
73	43	27	59	128	21	85	115	99	71	8	141
4	137	74	46	30	60	124	17	86	118	102	72
107	68	9	133	79	39	35	56	129	13	91	111
94	114	108	64	5	134	82	42	36	52	125	14
121	19	87	119	104	69	1	139	75	47	32	57
28	53	122	22	90	120	100	65	2	142	78	48
83	44	33	49	127	15	95	116	105	61	7	135

Рис. 9

Квадрат № 10

4	138	84	118	101	50	124	18	96	46	29	62
25	67	9	143	80	111	97	55	129	23	92	39
94	41	26	64	6	144	82	113	98	52	126	24
131	20	87	37	31	69	11	140	75	109	103	57
100	54	132	22	89	38	28	66	12	142	77	110
73	115	105	59	128	15	85	43	33	71	8	135
10	137	74	112	102	60	130	17	86	40	30	72
35	68	3	133	79	117	107	56	123	13	91	45
88	42	36	70	5	134	76	114	108	58	125	14
121	19	93	47	32	63	1	139	81	119	104	51
106	53	122	16	90	48	34	65	2	136	78	120
83	116	99	49	127	21	95	44	27	61	7	141

Рис. 10

Квадрат № 11

10	137	96	40	30	62	130	17	84	112	102	50
97	56	3	143	91	45	25	68	123	23	79	117
76	114	98	58	5	144	88	42	26	70	125	24
131	19	81	109	104	51	11	139	93	37	32	63
34	65	132	16	78	110	106	53	12	136	90	38
85	44	27	71	127	21	73	116	99	59	7	141
4	138	86	46	29	72	124	18	74	118	101	60
107	55	9	133	92	39	35	67	129	13	80	111
82	113	108	52	6	134	94	41	36	64	126	14
121	20	75	119	103	57	1	140	87	47	31	69
28	66	122	22	77	120	100	54	2	142	89	48
95	43	33	61	128	15	83	115	105	49	8	135

Рис. 11

Квадрат № 12

10	137	96	66	26	16	106	41	132	114	74	52
73	56	3	141	95	67	25	20	99	45	131	115
126	110	76	58	5	144	90	62	28	22	101	48
105	47	127	109	80	51	9	143	91	61	32	15
34	17	108	42	122	112	82	53	12	138	86	64
85	68	27	21	107	43	121	116	75	57	11	139
6	134	88	70	29	24	102	38	124	118	77	60
81	59	7	133	92	63	33	23	103	37	128	111
130	113	84	54	2	136	94	65	36	18	98	40
97	44	123	117	83	55	1	140	87	69	35	19
30	14	100	46	125	120	78	50	4	142	89	72
93	71	31	13	104	39	129	119	79	49	8	135

Рис. 12

Квадрат № 13

6	137	96	118	74	16	102	41	132	70	26	52
25	56	7	141	95	111	73	20	103	45	131	63
130	62	28	54	5	144	94	110	76	18	101	48
105	47	123	61	32	55	9	143	87	109	80	19
78	17	108	46	122	64	30	53	12	142	86	112
85	116	79	21	107	39	121	68	31	57	11	135
10	134	88	114	77	24	106	38	124	66	29	60
33	59	3	133	92	115	81	23	99	37	128	67
126	65	36	58	2	136	90	113	84	22	98	40
97	44	127	69	35	51	1	140	91	117	83	15
82	14	100	42	125	72	34	50	4	138	89	120
93	119	75	13	104	43	129	71	27	49	8	139

Рис. 13

Квадрат № 14

4	137	96	118	102	62	124	17	84	46	30	50
25	56	9	143	91	111	97	68	129	23	79	39
82	42	26	52	5	144	94	114	98	64	125	24
131	19	75	37	32	57	11	139	87	109	104	69
100	65	132	22	78	38	28	53	12	142	90	110
85	116	105	71	127	15	73	44	33	59	7	135
10	138	86	112	101	72	130	18	74	40	29	60
35	55	3	133	92	117	107	67	123	13	80	45
76	41	36	58	6	134	88	113	108	70	126	14
121	20	81	47	31	51	1	140	93	119	103	63
106	66	122	16	77	48	34	54	2	136	89	120
95	115	99	61	128	21	83	43	27	49	8	141

Рис. 14

Квадрат № 15

10	134	132	66	29	52	106	38	96	114	77	16
73	23	3	141	128	67	25	59	99	45	92	115
90	113	76	22	2	144	126	65	28	58	98	48
105	44	91	109	83	15	9	140	127	61	35	51
34	50	108	42	89	112	82	14	12	138	125	64
121	71	27	57	104	43	85	119	75	21	8	139
6	137	124	70	26	60	102	41	88	118	74	24
81	20	7	133	131	63	33	56	103	37	95	111
94	110	84	18	5	136	130	62	36	54	101	40
97	47	87	117	80	19	1	143	123	69	32	55
30	53	100	46	86	120	78	17	4	142	122	72
129	68	31	49	107	39	93	116	79	13	11	135

Рис. 15

Квадрат № 16

6	134	132	118	77	52	102	38	96	70	29	16
25	23	7	141	128	111	73	59	103	45	92	63
94	65	28	18	2	144	130	113	76	54	98	48
105	44	87	61	35	19	9	140	123	109	83	55
78	50	108	46	89	64	30	14	12	142	125	112
121	119	79	57	104	39	85	71	31	21	8	135
10	137	124	114	74	60	106	41	88	66	26	24
33	20	3	133	131	115	81	56	99	37	95	67
90	62	36	22	5	136	126	110	84	58	101	40
97	47	91	69	32	15	1	143	127	117	80	51
82	53	100	42	86	72	34	17	4	138	122	120
129	116	75	49	107	43	93	68	27	13	11	139

Рис. 16

Очевидно, что квадраты второй группы не эквивалентны квадратам первой группы.

Покажу ещё одну группу идеальных квадратов – с третьей схемой составления второго латинского квадрата. Эти восемь идеальных квадратов тоже оригинальные. Смотрите квадраты на рис. 17-24.

Квадрат № 17

2	137	76	48	30	58	122	17	88	120	102	70
105	68	11	135	79	37	33	56	131	15	91	109
96	114	106	62	5	136	84	42	34	50	125	16
123	19	85	117	104	71	3	139	73	45	32	59
26	53	124	24	90	118	98	65	4	144	78	46
81	44	35	51	127	13	93	116	107	63	7	133
12	138	82	38	29	52	132	18	94	110	101	64
99	67	1	141	80	47	27	55	121	21	92	119
86	113	100	72	6	142	74	41	28	60	126	22
129	20	95	111	103	61	9	140	83	39	31	49
36	54	130	14	89	112	108	66	10	134	77	40
75	43	25	57	128	23	87	115	97	69	8	143

Рис. 17

Квадрат № 18

2	137	82	120	102	52	122	17	94	48	30	64
27	68	11	141	79	109	99	56	131	21	91	37
96	42	28	62	5	142	84	114	100	50	125	22
129	19	85	39	32	71	9	139	73	111	104	59
98	53	130	24	90	40	26	65	10	144	78	112
75	116	107	57	127	13	87	44	35	69	7	133
12	138	76	110	101	58	132	18	88	38	29	70
33	67	1	135	80	119	105	55	121	15	92	47
86	41	34	72	6	136	74	113	106	60	126	16
123	20	95	45	31	61	3	140	83	117	103	49
108	54	124	14	89	46	36	66	4	134	77	118
81	115	97	51	128	23	93	43	25	63	8	143

Рис. 18

Квадрат № 19

2	138	88	48	29	70	122	18	76	120	101	58
105	55	11	135	92	37	33	67	131	15	80	109
84	113	106	50	6	136	96	41	34	62	126	16
123	20	73	117	103	59	3	140	85	45	31	71
26	66	124	24	77	118	98	54	4	144	89	46
93	43	35	63	128	13	81	115	107	51	8	133
12	137	94	38	30	64	132	17	82	110	102	52
99	56	1	141	91	47	27	68	121	21	79	119
74	114	100	60	5	142	86	42	28	72	125	22
129	19	83	111	104	49	9	139	95	39	32	61
36	65	130	14	78	112	108	53	10	134	90	40
87	44	25	69	127	23	75	116	97	57	7	143

Рис. 19

Квадрат № 20

4	134	90	72	29	22	100	38	126	120	77	58
79	59	9	135	92	61	31	23	105	39	128	109
132	113	82	52	2	138	96	65	34	16	98	42
99	44	121	115	83	57	3	140	85	67	35	21
28	14	102	48	125	118	76	50	6	144	89	70
91	71	33	15	104	37	127	119	81	51	8	133
12	137	94	64	26	18	108	41	130	112	74	54
75	56	1	139	95	69	27	20	97	43	131	117
124	110	78	60	5	142	88	62	30	24	101	46
103	47	129	111	80	49	7	143	93	63	32	13
36	17	106	40	122	114	84	53	10	136	86	66
87	68	25	19	107	45	123	116	73	55	11	141

Рис. 20

Квадрат № 21

4	134	94	120	77	18	100	38	130	72	29	54
27	59	9	139	92	109	75	23	105	43	128	61
132	65	30	52	2	142	96	113	78	16	98	46
103	44	121	63	35	57	7	140	85	111	83	21
76	14	106	48	125	66	28	50	10	144	89	114
87	119	81	19	104	37	123	71	33	55	8	133
12	137	90	112	74	22	108	41	126	64	26	58
31	56	1	135	95	117	79	20	97	39	131	69
124	62	34	60	5	138	88	110	82	24	101	42
99	47	129	67	32	49	3	143	93	115	80	13
84	17	102	40	122	70	36	53	6	136	86	118
91	116	73	15	107	45	127	68	25	51	11	141

Рис. 21

Квадрат № 22

2	138	94	120	101	64	122	18	82	48	29	52
27	55	11	141	92	109	99	67	131	21	80	37
84	41	28	50	6	142	96	113	100	62	126	22
129	20	73	39	31	59	9	140	85	111	103	71
98	66	130	24	77	40	26	54	10	144	89	112
87	115	107	69	128	13	75	43	35	57	8	133
12	137	88	110	102	70	132	17	76	38	30	58
33	56	1	135	91	119	105	68	121	15	79	47
74	42	34	60	5	136	86	114	106	72	125	16
123	19	83	45	32	49	3	139	95	117	104	61
108	65	124	14	78	46	36	53	4	134	90	118
93	116	97	63	127	23	81	44	25	51	7	143

Рис. 22

Квадрат № 23

4	137	126	72	26	58	100	41	90	120	74	22
79	20	9	135	131	61	31	56	105	39	95	109
96	110	82	16	5	138	132	62	34	52	101	42
99	47	85	115	80	21	3	143	121	67	32	57
28	53	102	48	86	118	76	17	6	144	122	70
127	68	33	51	107	37	91	116	81	15	11	133
12	134	130	64	29	54	108	38	94	112	77	18
75	23	1	139	128	69	27	59	97	43	92	117
88	113	78	24	2	142	124	65	30	60	98	46
103	44	93	111	83	13	7	140	129	63	35	49
36	50	106	40	89	114	84	14	10	136	125	66
123	71	25	55	104	45	87	119	73	19	8	141

Рис. 23

Квадрат № 24

4	137	130	120	74	54	100	41	94	72	26	18
27	20	9	139	131	109	75	56	105	43	95	61
96	62	30	16	5	142	132	110	78	52	101	46
103	47	85	63	32	21	7	143	121	111	80	57
76	53	106	48	86	66	28	17	10	144	122	114
123	116	81	55	107	37	87	68	33	19	11	133
12	134	126	112	77	58	108	38	90	64	29	22
31	23	1	135	128	117	79	59	97	39	92	69
88	65	34	24	2	138	124	113	82	60	98	42
99	44	93	67	35	13	3	140	129	115	83	49
84	50	102	40	89	70	36	14	6	136	125	118
127	119	73	51	104	45	91	71	25	15	8	141

Рис. 24

Применив четвёртую схему составления второго латинского квадрата, получаю группу из восьми идеальных квадратов, которые эквивалентны квадратам первой группы (рис. 1 – 8) с точностью до параллельного переноса на торе. Представляю эти квадраты прямо из файла, в который они записаны программой.

№ 1

11 140 81 37 31 51 131 20 93 109 103 63

100 65 2 142 78 48 28 53 122 22 90 120

85 115 99 71 8 141 73 43 27 59 128 21

130 18 96 112 101 62 10 138 84 40 29 50

35 56 129 13 91 111 107 68 9 133 79 39

76 41 26 58 126 24 88 113 98 70 6 144

1 139 75 47 32 57 121 19 87 119 104 69

106 66 12 136 77 38 34 54 132 16 89 110

95 116 105 61 7 135 83 44 33 49 127 15

124 17 86 118 102 72 4 137 74 46 30 60

25 55 123 23 92 117 97 67 3 143 80 45

82 42 36 52 125 14 94 114 108 64 5 134

№ 2

11 140 75 109 103 57 131 20 87 37 31 69

34 65 2 136 78 120 106 53 122 16 90 48

85 43 33 71 8 135 73 115 105 59 128 15

124 18 96 46 29 62 4 138 84 118 101 50

107 56 123 13 91 45 35 68 3 133 79 117

82 113 98 52 126 24 94 41 26 64 6 144

1 139 81 119 104 51 121 19 93 47 32 63

28 66 12 142 77 110 100 54 132 22 89 38

95 44 27 61 7 141 83 116 99 49 127 21

130 17 86 40 30 72 10 137 74 112 102 60

97 55 129 23 92 39 25 67 9 143 80 111

76 114 108 58 125 14 88 42 36 70 5 134

№ 3

11 139 93 37 32 63 131 19 81 109 104 51

100 54 2 142 89 48 28 66 122 22 77 120

73 116 99 59 7 141 85 44 27 71 127 21

130 17 84 112 102 50 10 137 96 40 30 62

35 67 129 13 80 111 107 55 9 133 92 39

88 42 26 70 125 24 76 114 98 58 5 144

1 140 87 47 31 69 121 20 75 119 103 57

106 53 12 136 90 38 34 65 132 16 78 110

83 115 105 49 8 135 95 43 33 61 128 15

124 18 74 118 101 60 4 138 86 46 29 72

25 68 123 23 79 117 97 56 3 143 91 45

94 41 36 64 126 14 82 113 108 52 6 134

№ 4

9 143 91 61 32 15 105 47 127 109 80 51

78 50 4 142 89 72 30 14 100 46 125 120

121 116 75 57 11 139 85 68 27 21 107 43

106 41 132 114 74 52 10 137 96 66 26 16

33 23 103 37 128 111 81 59 7 133 92 63

90 62 28 22 101 48 126 110 76 58 5 144

1 140 87 69 35 19 97 44 123 117 83 55

82 53 12 138 86 64 34 17 108 42 122 112

129 119 79 49 8 135 93 71 31 13 104 39

102 38 124 118 77 60 6 134 88 70 29 24

25 20 99 45 131 115 73 56 3 141 95 67

94 65 36 18 98 40 130 113 84 54 2 136

№ 5

9 143 87 109 80 19 105 47 123 61 32 55

34 50 4 138 89 120 82 14 100 42 125 72

121 68 31 57 11 135 85 116 79 21 107 39

102 41 132 70 26 52 6 137 96 118 74 16

81 23 99 37 128 67 33 59 3 133 92 115

94 110 76 18 101 48 130 62 28 54 5 144

1 140 91 117 83 15 97 44 127 69 35 51

30 53 12 142 86 112 78 17 108 46 122 64

129 71 27 49 8 139 93 119 75 13 104 43

106 38 124 66 29 60 10 134 88 114 77 24

73 20 103 45 131 63 25 56 7 141 95 111

90 113 84 22 98 40 126 65 36 58 2 136

№ 6

11 139 87 109 104 69 131 19 75 37 32 57

34 54 2 136 89 120 106 66 122 16 77 48

73 44 33 59 7 135 85 116 105 71 127 15

124 17 84 46 30 50 4 137 96 118 102 62

107 67 123 13 80 45 35 55 3 133 92 117

94 114 98 64 125 24 82 42 26 52 5 144

1 140 93 119 103 63 121 20 81 47 31 51

28 53 12 142 90 110 100 65 132 22 78 38

83 43 27 49 8 141 95 115 99 61 128 21

130 18 74 40 29 60 10 138 86 112 101 72

97 68 129 23 79 39 25 56 9 143 91 111

88 113 108 70 126 14 76 41 36 58 6 134

№ 7

9 140 127 61 35 51 105 44 91 109 83 15

78 17 4 142 122 72 30 53 100 46 86 120

85 119 75 21 8 139 121 71 27 57 104 43

106 38 96 114 77 16 10 134 132 66 29 52

33 56 103 37 95 111 81 20 7 133 131 63

126 65 28 58 98 48 90 113 76 22 2 144

1 143 123 69 32 55 97 47 87 117 80 19

82 14 12 138 125 64 34 50 108 42 89 112

93 116 79 13 11 135 129 68 31 49 107 39

102 41 88 118 74 24 6 137 124 70 26 60

25 59 99 45 92 115 73 23 3 141 128 67

130 62 36 54 101 40 94 110 84 18 5 136

№ 8

9 140 123 109 83 55 105 44 87 61 35 19

34 17 4 138 122 120 82 53 100 42 86 72

85 71 31 21 8 135 121 119 79 57 104 39

102 38 96 70 29 16 6 134 132 118 77 52

81 56 99 37 95 67 33 20 3 133 131 115

130 113 76 54 98 48 94 65 28 18 2 144

1 143 127 117 80 51 97 47 91 69 32 15

30 14 12 142 125 112 78 50 108 46 89 64

93 68 27 13 11 139 129 116 75 49 107 43

106 41 88 66 26 24 10 137 124 114 74 60

73 59 103 45 92 63 25 23 7 141 128 111

126 110 84 58 101 40 90 62 36 22 5 136

Итак, уже построено 32 идеальных квадрата (4 группы по 8 квадратов). Использовано 4 схемы составления второго латинского квадрата. Первый латинский квадрат здесь всегда начинался с числа 0. Просчитав возможные схемы, я получила такой результат: всего схем будет 12. Следовательно, с первым латинским квадратом, начинающимся с числа 0, будет построено 12*8=96 идеальных квадратов. А затем, как вы помните по квадратам 8-ого порядка, надо составлять первый латинский квадрат так, чтобы он начинался с числа 1. И повторить для него все 12 схем составления второго латинского квадрата. Далее всё повторить для первых латинских квадратов, начинающихся с числа 2. И так далее. Таким образом, у нас получится всего: 12*96=1152 идеальных квадрата 12-ого порядка. Как мы видели, не все эти квадраты будут существенно различны.

Интересно отметить такой факт: первый и второй латинские квадраты, с помощью которых строится описанным методом идеальный квадрат, можно поменять местами, то есть использовать такую формулу:

[1] c_ij= 12*b_ij + a_ij+ 1,

где a_ij – элемены первого латинского квадрата, b_ij – соответствующие элементы второго латинского квадрата, c_ij– соответствующие элементы идеального квадрата.

Продемонстрирую это на примере двух латинских квадратов с рис. 1а и рис. 1б. На рис. 25 вы видите идеальный квадрат, который построен с помощью этих латинских квадратов по формуле [1].

1	84	31	124	87	101	11	74	32	130	93	102
117	66	133	48	55	16	111	65	143	38	56	22
128	94	105	6	73	36	127	88	99	5	83	26
47	50	20	118	69	138	37	60	19	112	63	137
3	77	35	122	92	106	9	78	25	132	91	100
115	64	135	41	59	14	116	70	141	42	49	24
121	96	103	4	75	29	131	86	104	10	81	30
45	54	13	120	67	136	39	53	23	110	68	142
8	82	33	126	85	108	7	76	27	125	95	98
119	62	140	46	57	18	109	72	139	40	51	17
123	89	107	2	80	34	129	90	97	12	79	28
43	52	15	113	71	134	44	58	21	114	61	144

Рис. 25

И получился совершенно оригинальный идеальный квадрат, в нём линейная начальная цепочка! Напомню читателям, что я не могла построить идеальный квадрат 12-ого порядка с линейной начальной цепочкой. Идеальные квадраты 12-ого порядка с начальной цепочкой “ход конём” первым построил Г. Александров. Но я не теряла надежду получить идеальный квадрат 12-ого порядка с линейной начальной цепочкой. И вот такой квадрат перед вами!

Понятно, что по формуле [1] мы можем построить ровно столько идеальных квадратов, подобных новому квадрату с рис. 25, сколько идеальных квадратов с начальной цепочкой “ход конём”, то есть 1152.

Приведу пример. Введу в программу для построения идеальных квадратов первой группы (рис. 1 - 8) маленькую корректировку, а именно: запишу построение идеального квадрата по формуле [1]. И программа выдаёт восемь идеальных квадратов, подобных квадрату с рис. 25 (этот квадрат в том числе, под № 1). Вот эти идеальные квадраты:

№ 1

1 84 31 124 87 101 11 74 32 130 93 102

117 66 133 48 55 16 111 65 143 38 56 22

128 94 105 6 73 36 127 88 99 5 83 26

47 50 20 118 69 138 37 60 19 112 63 137

3 77 35 122 92 106 9 78 25 132 91 100

115 64 135 41 59 14 116 70 141 42 49 24

121 96 103 4 75 29 131 86 104 10 81 30

45 54 13 120 67 136 39 53 23 110 68 142

8 82 33 126 85 108 7 76 27 125 95 98

119 62 140 46 57 18 109 72 139 40 51 17

123 89 107 2 80 34 129 90 97 12 79 28

43 52 15 113 71 134 44 58 21 114 61 144

№ 2

1 84 103 130 93 29 11 74 104 124 87 30

39 66 133 120 55 22 45 65 143 110 56 16

128 88 27 6 73 108 127 94 33 5 83 98

119 50 20 40 63 138 109 60 19 46 69 137

9 77 107 122 92 28 3 78 97 132 91 34

43 70 141 113 59 14 44 64 135 114 49 24

121 96 31 10 81 101 131 86 32 4 75 102

111 54 13 48 67 142 117 53 23 38 68 136

8 76 99 126 85 36 7 82 105 125 95 26

47 62 140 112 51 18 37 72 139 118 57 17

129 89 35 2 80 100 123 90 25 12 79 106

115 58 21 41 71 134 116 52 15 42 61 144

№ 3

1 96 32 124 75 102 11 86 31 130 81 101

117 53 133 48 68 16 111 54 143 38 67 22

127 82 105 5 85 36 128 76 99 6 95 26

47 62 19 118 57 137 37 72 20 112 51 138

3 90 35 122 79 106 9 89 25 132 80 100

116 52 135 42 71 14 115 58 141 41 61 24

121 84 104 4 87 30 131 74 103 10 93 29

45 65 13 120 56 136 39 66 23 110 55 142

7 94 33 125 73 108 8 88 27 126 83 98

119 50 139 46 69 17 109 60 140 40 63 18

123 78 107 2 91 34 129 77 97 12 92 28

44 64 15 114 59 134 43 70 21 113 49 144

№ 4

1 96 32 102 123 74 9 88 35 106 127 77

115 53 133 72 20 42 111 50 141 64 23 46

107 130 79 5 85 36 104 126 75 2 93 28

69 16 47 118 55 137 61 24 44 114 51 134

3 86 33 100 131 82 7 89 25 108 128 78

116 54 135 62 21 40 119 58 139 65 13 48

97 132 80 6 87 26 105 124 83 10 91 29

67 17 37 120 56 138 63 14 45 112 59 142

11 94 31 101 121 84 8 90 27 98 129 76

117 52 143 70 19 41 109 60 140 66 15 38

99 122 81 4 95 34 103 125 73 12 92 30

68 18 39 110 57 136 71 22 43 113 49 144

№ 5

1 96 80 106 127 26 9 88 83 102 123 29

63 53 133 120 20 46 67 50 141 112 23 42

107 126 27 5 85 84 104 130 31 2 93 76

117 16 47 66 51 137 109 24 44 70 55 134

7 86 81 100 131 30 3 89 73 108 128 34

68 58 139 110 21 40 71 54 135 113 13 48

97 132 32 10 91 74 105 124 35 6 87 77

111 17 37 72 56 142 115 14 45 64 59 138

11 90 75 101 121 36 8 94 79 98 129 28

69 52 143 114 15 41 61 60 140 118 19 38

103 122 33 4 95 78 99 125 25 12 92 82

116 22 43 62 57 136 119 18 39 65 49 144

№ 6

1 96 104 130 81 30 11 86 103 124 75 29

39 53 133 120 68 22 45 54 143 110 67 16

127 76 27 5 85 108 128 82 33 6 95 98

119 62 19 40 51 137 109 72 20 46 57 138

9 90 107 122 79 28 3 89 97 132 80 34

44 58 141 114 71 14 43 52 135 113 61 24

121 84 32 10 93 102 131 74 31 4 87 101

111 65 13 48 56 142 117 66 23 38 55 136

7 88 99 125 73 36 8 94 105 126 83 26

47 50 139 112 63 17 37 60 140 118 69 18

129 78 35 2 91 100 123 77 25 12 92 106

116 70 21 42 59 134 115 64 15 41 49 144

№ 7

1 132 35 102 87 77 9 124 32 106 91 74

115 14 133 72 59 42 111 17 141 64 56 46

104 94 79 2 121 36 107 90 75 5 129 28

69 52 44 118 19 134 61 60 47 114 15 137

3 125 33 100 92 82 7 122 25 108 95 78

119 18 135 65 57 40 116 22 139 62 49 48

97 96 83 6 123 29 105 88 80 10 127 26

67 50 37 120 23 138 63 53 45 112 20 142

8 130 31 98 85 84 11 126 27 101 93 76

117 16 140 70 55 38 109 24 143 66 51 41

99 89 81 4 128 34 103 86 73 12 131 30

71 54 39 113 21 136 68 58 43 110 13 144

№ 8

1 132 83 106 91 29 9 124 80 102 87 26

63 14 133 120 59 46 67 17 141 112 56 42

104 90 27 2 121 84 107 94 31 5 129 76

117 52 44 66 15 134 109 60 47 70 19 137

7 125 81 100 92 30 3 122 73 108 95 34

71 22 139 113 57 40 68 18 135 110 49 48

97 96 35 10 127 77 105 88 32 6 123 74

111 50 37 72 23 142 115 53 45 64 20 138

8 126 75 98 85 36 11 130 79 101 93 28

69 16 140 114 51 38 61 24 143 118 55 41

103 89 33 4 128 78 99 86 25 12 131 82

119 58 43 65 21 136 116 54 39 62 13 144

Итак, совершенно неожиданно, поменяв местами два латинских квадрата в описанном здесь методе построения, я нашла новую группу идеальных квадратов 12-ого порядка, в которых начальная цепочка уже не строится ходом шахматного коня, а имеет линейную форму. Теперь точно так же можно построить идеальные квадраты 20-ого порядка и далее любого порядка n=4(2k+1), k=1, 2, 3…

Решила посмотреть ещё одну группу идеальных квадратов, построенных таким образом, это группа с третьей схемой составления второго латинского квадрата. Снова изменяю в программе формулу для построения идеального квадрата, меняя местами первый и второй латинский квадраты. Вот какие решения выдаёт программа:

№ 1

13 60 43 136 63 113 23 50 44 142 69 114

105 90 121 36 79 4 99 89 131 26 80 10

140 70 117 18 49 48 139 64 111 17 59 38

35 74 8 106 93 126 25 84 7 100 87 125

15 53 47 134 68 118 21 54 37 144 67 112

103 88 123 29 83 2 104 94 129 30 73 12

133 72 115 16 51 41 143 62 116 22 57 42

33 78 1 108 91 124 27 77 11 98 92 130

20 58 45 138 61 120 19 52 39 137 71 110

107 86 128 34 81 6 97 96 127 28 75 5

135 65 119 14 56 46 141 66 109 24 55 40

31 76 3 101 95 122 32 82 9 102 85 132

№ 2

13 60 115 142 69 41 23 50 116 136 63 42

27 90 121 108 79 10 33 89 131 98 80 4

140 64 39 18 49 120 139 70 45 17 59 110

107 74 8 28 87 126 97 84 7 34 93 125

21 53 119 134 68 40 15 54 109 144 67 46

31 94 129 101 83 2 32 88 123 102 73 12

133 72 43 22 57 113 143 62 44 16 51 114

99 78 1 36 91 130 105 77 11 26 92 124

20 52 111 138 61 48 19 58 117 137 71 38

35 86 128 100 75 6 25 96 127 106 81 5

141 65 47 14 56 112 135 66 37 24 55 118

103 82 9 29 95 122 104 76 3 30 85 132

№ 3

13 72 44 136 51 114 23 62 43 142 57 113

105 77 121 36 92 4 99 78 131 26 91 10

139 58 117 17 61 48 140 52 111 18 71 38

35 86 7 106 81 125 25 96 8 100 75 126

15 66 47 134 55 118 21 65 37 144 56 112

104 76 123 30 95 2 103 82 129 29 85 12

133 60 116 16 63 42 143 50 115 22 69 41

33 89 1 108 80 124 27 90 11 98 79 130

19 70 45 137 49 120 20 64 39 138 59 110

107 74 127 34 93 5 97 84 128 28 87 6

135 54 119 14 67 46 141 53 109 24 68 40

32 88 3 102 83 122 31 94 9 101 73 132

№ 4

37 24 68 138 51 110 45 16 71 142 55 113

79 125 97 36 92 6 75 122 105 28 95 10

143 58 115 41 13 72 140 54 111 38 21 64

33 88 11 82 127 101 25 96 8 78 123 98

39 14 69 136 59 118 43 17 61 144 56 114

80 126 99 26 93 4 83 130 103 29 85 12

133 60 116 42 15 62 141 52 119 46 19 65

31 89 1 84 128 102 27 86 9 76 131 106

47 22 67 137 49 120 44 18 63 134 57 112

81 124 107 34 91 5 73 132 104 30 87 2

135 50 117 40 23 70 139 53 109 48 20 66

32 90 3 74 129 100 35 94 7 77 121 108

№ 5

37 24 116 142 55 62 45 16 119 138 51 65

27 125 97 84 92 10 31 122 105 76 95 6

143 54 63 41 13 120 140 58 67 38 21 112

81 88 11 30 123 101 73 96 8 34 127 98

43 14 117 136 59 66 39 17 109 144 56 70

32 130 103 74 93 4 35 126 99 77 85 12

133 60 68 46 19 110 141 52 71 42 15 113

75 89 1 36 128 106 79 86 9 28 131 102

47 18 111 137 49 72 44 22 115 134 57 64

33 124 107 78 87 5 25 132 104 82 91 2

139 50 69 40 23 114 135 53 61 48 20 118

80 94 7 26 129 100 83 90 3 29 121 108

№ 6

13 72 116 142 57 42 23 62 115 136 51 41

27 77 121 108 92 10 33 78 131 98 91 4

139 52 39 17 61 120 140 58 45 18 71 110

107 86 7 28 75 125 97 96 8 34 81 126

21 66 119 134 55 40 15 65 109 144 56 46

32 82 129 102 95 2 31 76 123 101 85 12

133 60 44 22 69 114 143 50 43 16 63 113

99 89 1 36 80 130 105 90 11 26 79 124

19 64 111 137 49 48 20 70 117 138 59 38

35 74 127 100 87 5 25 84 128 106 93 6

141 54 47 14 67 112 135 53 37 24 68 118

104 94 9 30 83 122 103 88 3 29 73 132

№ 7

37 60 71 138 15 113 45 52 68 142 19 110

79 86 97 36 131 6 75 89 105 28 128 10

140 22 115 38 49 72 143 18 111 41 57 64

33 124 8 82 91 98 25 132 11 78 87 101

39 53 69 136 20 118 43 50 61 144 23 114

83 90 99 29 129 4 80 94 103 26 121 12

133 24 119 42 51 65 141 16 116 46 55 62

31 122 1 84 95 102 27 125 9 76 92 106

44 58 67 134 13 120 47 54 63 137 21 112

81 88 104 34 127 2 73 96 107 30 123 5

135 17 117 40 56 70 139 14 109 48 59 66

35 126 3 77 93 100 32 130 7 74 85 108

№ 8

37 60 119 142 19 65 45 52 116 138 15 62

27 86 97 84 131 10 31 89 105 76 128 6

140 18 63 38 49 120 143 22 67 41 57 112

81 124 8 30 87 98 73 132 11 34 91 101

43 53 117 136 20 66 39 50 109 144 23 70

35 94 103 77 129 4 32 90 99 74 121 12

133 24 71 46 55 113 141 16 68 42 51 110

75 122 1 36 95 106 79 125 9 28 92 102

44 54 111 134 13 72 47 58 115 137 21 64

33 88 104 78 123 2 25 96 107 82 127 5

139 17 69 40 56 114 135 14 61 48 59 118

83 130 7 29 93 100 80 126 3 26 85 108

Помещу один квадрат (№ 1) в матрицу, чтобы лучше было видно начальную цепочку (рис. 26):

13	60	43	136	63	113	23	50	44	142	69	114
105	90	121	36	79	4	99	89	131	26	80	10
140	70	117	18	49	48	139	64	111	17	59	38
35	74	8	106	93	126	25	84	7	100	87	125
15	53	47	134	68	118	21	54	37	144	67	112
103	88	123	29	83	2	104	94	129	30	73	12
133	72	115	16	51	41	143	62	116	22	57	42
33	78	1	108	91	124	27	77	11	98	92	130
20	58	45	138	61	120	19	52	39	137	71	110
107	86	128	34	81	6	97	96	127	28	75	5
135	65	119	14	56	46	141	66	109	24	55	40
31	76	3	101	95	122	32	82	9	102	85	132

Рис. 26

Как видите, начальная цепочка тоже имеет линейную форму.

Очень интересный результат! Исследую построение идеальных квадратов других чётно-чётных порядков таким способом в статье:

http://www.klassikpoez.narod.ru/newid.htm

***

Остался один вопрос: сколько идеальных квадратов можно получить из идеального квадрата 12-ого порядка перестановкой строк и столбцов. Программы для перестановки строк (столбцов) в квадрате 12-ого порядка у меня тоже есть, а также программа перестановки строк и столбцов. Но тут возникают сложности с их выполнением – очень долго выполняются. Выполнила программу перестановки строк (для квадрата № 1) для случая, когда первая строка остаётся на месте (а значит, и двенадцатая строка тоже остаётся на месте). Этот вариант программы выполнялся полтора часа, программе надо рассмотреть в этом случае 3628800 вариантов. Программа выдала 18 решений. Показываю их в том виде, как они записаны программой в файл:

№ 1 (исходный квадрат)

1 139 75 47 32 57 121 19 87 119 104 69

106 66 12 136 77 38 34 54 132 16 89 110

95 116 105 61 7 135 83 44 33 49 127 15

124 17 86 118 102 72 4 137 74 46 30 60

25 55 123 23 92 117 97 67 3 143 80 45

82 42 36 52 125 14 94 114 108 64 5 134

11 140 81 37 31 51 131 20 93 109 103 63

100 65 2 142 78 48 28 53 122 22 90 120

85 115 99 71 8 141 73 43 27 59 128 21

130 18 96 112 101 62 10 138 84 40 29 50

35 56 129 13 91 111 107 68 9 133 79 39

76 41 26 58 126 24 88 113 98 70 6 144

№ 2

1 139 75 47 32 57 121 19 87 119 104 69

106 66 12 136 77 38 34 54 132 16 89 110

11 140 81 37 31 51 131 20 93 109 103 63

100 65 2 142 78 48 28 53 122 22 90 120

85 115 99 71 8 141 73 43 27 59 128 21

130 18 96 112 101 62 10 138 84 40 29 50

95 116 105 61 7 135 83 44 33 49 127 15

124 17 86 118 102 72 4 137 74 46 30 60

25 55 123 23 92 117 97 67 3 143 80 45

82 42 36 52 125 14 94 114 108 64 5 134

35 56 129 13 91 111 107 68 9 133 79 39

76 41 26 58 126 24 88 113 98 70 6 144

№ 3

1 139 75 47 32 57 121 19 87 119 104 69

106 66 12 136 77 38 34 54 132 16 89 110

85 115 99 71 8 141 73 43 27 59 128 21

130 18 96 112 101 62 10 138 84 40 29 50

25 55 123 23 92 117 97 67 3 143 80 45

82 42 36 52 125 14 94 114 108 64 5 134

11 140 81 37 31 51 131 20 93 109 103 63

100 65 2 142 78 48 28 53 122 22 90 120

95 116 105 61 7 135 83 44 33 49 127 15

124 17 86 118 102 72 4 137 74 46 30 60

35 56 129 13 91 111 107 68 9 133 79 39

76 41 26 58 126 24 88 113 98 70 6 144

№ 4

1 139 75 47 32 57 121 19 87 119 104 69

124 17 86 118 102 72 4 137 74 46 30 60

95 116 105 61 7 135 83 44 33 49 127 15

25 55 123 23 92 117 97 67 3 143 80 45

11 140 81 37 31 51 131 20 93 109 103 63

35 56 129 13 91 111 107 68 9 133 79 39

106 66 12 136 77 38 34 54 132 16 89 110

82 42 36 52 125 14 94 114 108 64 5 134

100 65 2 142 78 48 28 53 122 22 90 120

130 18 96 112 101 62 10 138 84 40 29 50

85 115 99 71 8 141 73 43 27 59 128 21

76 41 26 58 126 24 88 113 98 70 6 144

№ 5

1 139 75 47 32 57 121 19 87 119 104 69

124 17 86 118 102 72 4 137 74 46 30 60

25 55 123 23 92 117 97 67 3 143 80 45

106 66 12 136 77 38 34 54 132 16 89 110

95 116 105 61 7 135 83 44 33 49 127 15

82 42 36 52 125 14 94 114 108 64 5 134

11 140 81 37 31 51 131 20 93 109 103 63

130 18 96 112 101 62 10 138 84 40 29 50

35 56 129 13 91 111 107 68 9 133 79 39

100 65 2 142 78 48 28 53 122 22 90 120

85 115 99 71 8 141 73 43 27 59 128 21

76 41 26 58 126 24 88 113 98 70 6 144

№ 6

1 139 75 47 32 57 121 19 87 119 104 69

124 17 86 118 102 72 4 137 74 46 30 60

35 56 129 13 91 111 107 68 9 133 79 39

100 65 2 142 78 48 28 53 122 22 90 120

95 116 105 61 7 135 83 44 33 49 127 15

82 42 36 52 125 14 94 114 108 64 5 134

11 140 81 37 31 51 131 20 93 109 103 63

130 18 96 112 101 62 10 138 84 40 29 50

25 55 123 23 92 117 97 67 3 143 80 45

106 66 12 136 77 38 34 54 132 16 89 110

85 115 99 71 8 141 73 43 27 59 128 21

76 41 26 58 126 24 88 113 98 70 6 144

№ 7

1 139 75 47 32 57 121 19 87 119 104 69

25 55 123 23 92 117 97 67 3 143 80 45

95 116 105 61 7 135 83 44 33 49 127 15

124 17 86 118 102 72 4 137 74 46 30 60

106 66 12 136 77 38 34 54 132 16 89 110

82 42 36 52 125 14 94 114 108 64 5 134

11 140 81 37 31 51 131 20 93 109 103 63

35 56 129 13 91 111 107 68 9 133 79 39

85 115 99 71 8 141 73 43 27 59 128 21

130 18 96 112 101 62 10 138 84 40 29 50

100 65 2 142 78 48 28 53 122 22 90 120

76 41 26 58 126 24 88 113 98 70 6 144

№ 8

1 139 75 47 32 57 121 19 87 119 104 69

25 55 123 23 92 117 97 67 3 143 80 45

85 115 99 71 8 141 73 43 27 59 128 21

130 18 96 112 101 62 10 138 84 40 29 50

106 66 12 136 77 38 34 54 132 16 89 110

82 42 36 52 125 14 94 114 108 64 5 134

11 140 81 37 31 51 131 20 93 109 103 63

35 56 129 13 91 111 107 68 9 133 79 39

95 116 105 61 7 135 83 44 33 49 127 15

124 17 86 118 102 72 4 137 74 46 30 60

100 65 2 142 78 48 28 53 122 22 90 120

76 41 26 58 126 24 88 113 98 70 6 144

№ 9

1 139 75 47 32 57 121 19 87 119 104 69

82 42 36 52 125 14 94 114 108 64 5 134

95 116 105 61 7 135 83 44 33 49 127 15

100 65 2 142 78 48 28 53 122 22 90 120

85 115 99 71 8 141 73 43 27 59 128 21

106 66 12 136 77 38 34 54 132 16 89 110

35 56 129 13 91 111 107 68 9 133 79 39

124 17 86 118 102 72 4 137 74 46 30 60

25 55 123 23 92 117 97 67 3 143 80 45

130 18 96 112 101 62 10 138 84 40 29 50

11 140 81 37 31 51 131 20 93 109 103 63

76 41 26 58 126 24 88 113 98 70 6 144

№ 10

1 139 75 47 32 57 121 19 87 119 104 69

11 140 81 37 31 51 131 20 93 109 103 63

95 116 105 61 7 135 83 44 33 49 127 15

100 65 2 142 78 48 28 53 122 22 90 120

124 17 86 118 102 72 4 137 74 46 30 60

106 66 12 136 77 38 34 54 132 16 89 110

35 56 129 13 91 111 107 68 9 133 79 39

85 115 99 71 8 141 73 43 27 59 128 21

25 55 123 23 92 117 97 67 3 143 80 45

130 18 96 112 101 62 10 138 84 40 29 50

82 42 36 52 125 14 94 114 108 64 5 134

76 41 26 58 126 24 88 113 98 70 6 144

№ 11

1 139 75 47 32 57 121 19 87 119 104 69

100 65 2 142 78 48 28 53 122 22 90 120

95 116 105 61 7 135 83 44 33 49 127 15

124 17 86 118 102 72 4 137 74 46 30 60

35 56 129 13 91 111 107 68 9 133 79 39

82 42 36 52 125 14 94 114 108 64 5 134

11 140 81 37 31 51 131 20 93 109 103 63

106 66 12 136 77 38 34 54 132 16 89 110

85 115 99 71 8 141 73 43 27 59 128 21

130 18 96 112 101 62 10 138 84 40 29 50

25 55 123 23 92 117 97 67 3 143 80 45

76 41 26 58 126 24 88 113 98 70 6 144

№ 12

1 139 75 47 32 57 121 19 87 119 104 69

100 65 2 142 78 48 28 53 122 22 90 120

85 115 99 71 8 141 73 43 27 59 128 21

130 18 96 112 101 62 10 138 84 40 29 50

35 56 129 13 91 111 107 68 9 133 79 39

82 42 36 52 125 14 94 114 108 64 5 134

11 140 81 37 31 51 131 20 93 109 103 63

106 66 12 136 77 38 34 54 132 16 89 110

95 116 105 61 7 135 83 44 33 49 127 15

124 17 86 118 102 72 4 137 74 46 30 60

25 55 123 23 92 117 97 67 3 143 80 45

76 41 26 58 126 24 88 113 98 70 6 144

№ 13

1 139 75 47 32 57 121 19 87 119 104 69

100 65 2 142 78 48 28 53 122 22 90 120

35 56 129 13 91 111 107 68 9 133 79 39

85 115 99 71 8 141 73 43 27 59 128 21

95 116 105 61 7 135 83 44 33 49 127 15

11 140 81 37 31 51 131 20 93 109 103 63

82 42 36 52 125 14 94 114 108 64 5 134

130 18 96 112 101 62 10 138 84 40 29 50

124 17 86 118 102 72 4 137 74 46 30 60

106 66 12 136 77 38 34 54 132 16 89 110

25 55 123 23 92 117 97 67 3 143 80 45

76 41 26 58 126 24 88 113 98 70 6 144

№ 14

1 139 75 47 32 57 121 19 87 119 104 69

85 115 99 71 8 141 73 43 27 59 128 21

95 116 105 61 7 135 83 44 33 49 127 15

25 55 123 23 92 117 97 67 3 143 80 45

82 42 36 52 125 14 94 114 108 64 5 134

35 56 129 13 91 111 107 68 9 133 79 39

106 66 12 136 77 38 34 54 132 16 89 110

11 140 81 37 31 51 131 20 93 109 103 63

100 65 2 142 78 48 28 53 122 22 90 120

130 18 96 112 101 62 10 138 84 40 29 50

124 17 86 118 102 72 4 137 74 46 30 60

76 41 26 58 126 24 88 113 98 70 6 144

№ 15

1 139 75 47 32 57 121 19 87 119 104 69

130 18 96 112 101 62 10 138 84 40 29 50

25 55 123 23 92 117 97 67 3 143 80 45

106 66 12 136 77 38 34 54 132 16 89 110

85 115 99 71 8 141 73 43 27 59 128 21

82 42 36 52 125 14 94 114 108 64 5 134

11 140 81 37 31 51 131 20 93 109 103 63

124 17 86 118 102 72 4 137 74 46 30 60

35 56 129 13 91 111 107 68 9 133 79 39

100 65 2 142 78 48 28 53 122 22 90 120

95 116 105 61 7 135 83 44 33 49 127 15

76 41 26 58 126 24 88 113 98 70 6 144

№ 16

1 139 75 47 32 57 121 19 87 119 104 69

130 18 96 112 101 62 10 138 84 40 29 50

35 56 129 13 91 111 107 68 9 133 79 39

100 65 2 142 78 48 28 53 122 22 90 120

85 115 99 71 8 141 73 43 27 59 128 21

82 42 36 52 125 14 94 114 108 64 5 134

11 140 81 37 31 51 131 20 93 109 103 63

124 17 86 118 102 72 4 137 74 46 30 60

25 55 123 23 92 117 97 67 3 143 80 45

106 66 12 136 77 38 34 54 132 16 89 110

95 116 105 61 7 135 83 44 33 49 127 15

76 41 26 58 126 24 88 113 98 70 6 144

№ 17

1 139 75 47 32 57 121 19 87 119 104 69

35 56 129 13 91 111 107 68 9 133 79 39

95 116 105 61 7 135 83 44 33 49 127 15

124 17 86 118 102 72 4 137 74 46 30 60

100 65 2 142 78 48 28 53 122 22 90 120

82 42 36 52 125 14 94 114 108 64 5 134

11 140 81 37 31 51 131 20 93 109 103 63

25 55 123 23 92 117 97 67 3 143 80 45

85 115 99 71 8 141 73 43 27 59 128 21

130 18 96 112 101 62 10 138 84 40 29 50

106 66 12 136 77 38 34 54 132 16 89 110

76 41 26 58 126 24 88 113 98 70 6 144

№ 18

1 139 75 47 32 57 121 19 87 119 104 69

35 56 129 13 91 111 107 68 9 133 79 39

85 115 99 71 8 141 73 43 27 59 128 21

130 18 96 112 101 62 10 138 84 40 29 50

100 65 2 142 78 48 28 53 122 22 90 120

82 42 36 52 125 14 94 114 108 64 5 134

11 140 81 37 31 51 131 20 93 109 103 63

25 55 123 23 92 117 97 67 3 143 80 45

95 116 105 61 7 135 83 44 33 49 127 15

124 17 86 118 102 72 4 137 74 46 30 60

106 66 12 136 77 38 34 54 132 16 89 110

76 41 26 58 126 24 88 113 98 70 6 144

Далее выполнила вариант программы, в котором I=2, то есть на первом месте стоит вторая строка исходного квадрата (значит, на месте последней строки стоит 11-ая строка исходного квадрата). Ещё полтора часа работы программы и вот новые 10 решений:

№ 1

106 66 12 136 77 38 34 54 132 16 89 110

1 139 75 47 32 57 121 19 87 119 104 69

100 65 2 142 78 48 28 53 122 22 90 120

11 140 81 37 31 51 131 20 93 109 103 63

130 18 96 112 101 62 10 138 84 40 29 50

85 115 99 71 8 141 73 43 27 59 128 21

124 17 86 118 102 72 4 137 74 46 30 60

95 116 105 61 7 135 83 44 33 49 127 15

82 42 36 52 125 14 94 114 108 64 5 134

25 55 123 23 92 117 97 67 3 143 80 45

76 41 26 58 126 24 88 113 98 70 6 144

35 56 129 13 91 111 107 68 9 133 79 39

№ 2

106 66 12 136 77 38 34 54 132 16 89 110

95 116 105 61 7 135 83 44 33 49 127 15

82 42 36 52 125 14 94 114 108 64 5 134

1 139 75 47 32 57 121 19 87 119 104 69

124 17 86 118 102 72 4 137 74 46 30 60

25 55 123 23 92 117 97 67 3 143 80 45

100 65 2 142 78 48 28 53 122 22 90 120

85 115 99 71 8 141 73 43 27 59 128 21

76 41 26 58 126 24 88 113 98 70 6 144

11 140 81 37 31 51 131 20 93 109 103 63

130 18 96 112 101 62 10 138 84 40 29 50

35 56 129 13 91 111 107 68 9 133 79 39

№ 3

106 66 12 136 77 38 34 54 132 16 89 110

95 116 105 61 7 135 83 44 33 49 127 15

76 41 26 58 126 24 88 113 98 70 6 144

82 42 36 52 125 14 94 114 108 64 5 134

100 65 2 142 78 48 28 53 122 22 90 120

124 17 86 118 102 72 4 137 74 46 30 60

85 115 99 71 8 141 73 43 27 59 128 21

25 55 123 23 92 117 97 67 3 143 80 45

11 140 81 37 31 51 131 20 93 109 103 63

1 139 75 47 32 57 121 19 87 119 104 69

130 18 96 112 101 62 10 138 84 40 29 50

35 56 129 13 91 111 107 68 9 133 79 39

№ 4

106 66 12 136 77 38 34 54 132 16 89 110

95 116 105 61 7 135 83 44 33 49 127 15

76 41 26 58 126 24 88 113 98 70 6 144

11 140 81 37 31 51 131 20 93 109 103 63

124 17 86 118 102 72 4 137 74 46 30 60

25 55 123 23 92 117 97 67 3 143 80 45

100 65 2 142 78 48 28 53 122 22 90 120

85 115 99 71 8 141 73 43 27 59 128 21

82 42 36 52 125 14 94 114 108 64 5 134

1 139 75 47 32 57 121 19 87 119 104 69

130 18 96 112 101 62 10 138 84 40 29 50

35 56 129 13 91 111 107 68 9 133 79 39

№ 5

106 66 12 136 77 38 34 54 132 16 89 110

25 55 123 23 92 117 97 67 3 143 80 45

124 17 86 118 102 72 4 137 74 46 30 60

11 140 81 37 31 51 131 20 93 109 103 63

130 18 96 112 101 62 10 138 84 40 29 50

1 139 75 47 32 57 121 19 87 119 104 69

76 41 26 58 126 24 88 113 98 70 6 144

95 116 105 61 7 135 83 44 33 49 127 15

82 42 36 52 125 14 94 114 108 64 5 134

85 115 99 71 8 141 73 43 27 59 128 21

100 65 2 142 78 48 28 53 122 22 90 120

35 56 129 13 91 111 107 68 9 133 79 39

№ 6

106 66 12 136 77 38 34 54 132 16 89 110

82 42 36 52 125 14 94 114 108 64 5 134

100 65 2 142 78 48 28 53 122 22 90 120

130 18 96 112 101 62 10 138 84 40 29 50

85 115 99 71 8 141 73 43 27 59 128 21

76 41 26 58 126 24 88 113 98 70 6 144

1 139 75 47 32 57 121 19 87 119 104 69

124 17 86 118 102 72 4 137 74 46 30 60

95 116 105 61 7 135 83 44 33 49 127 15

25 55 123 23 92 117 97 67 3 143 80 45

11 140 81 37 31 51 131 20 93 109 103 63

35 56 129 13 91 111 107 68 9 133 79 39

№ 7

106 66 12 136 77 38 34 54 132 16 89 110

11 140 81 37 31 51 131 20 93 109 103 63

100 65 2 142 78 48 28 53 122 22 90 120

130 18 96 112 101 62 10 138 84 40 29 50

124 17 86 118 102 72 4 137 74 46 30 60

76 41 26 58 126 24 88 113 98 70 6 144

1 139 75 47 32 57 121 19 87 119 104 69

85 115 99 71 8 141 73 43 27 59 128 21

95 116 105 61 7 135 83 44 33 49 127 15

25 55 123 23 92 117 97 67 3 143 80 45

82 42 36 52 125 14 94 114 108 64 5 134

35 56 129 13 91 111 107 68 9 133 79 39

№ 8

106 66 12 136 77 38 34 54 132 16 89 110

85 115 99 71 8 141 73 43 27 59 128 21

82 42 36 52 125 14 94 114 108 64 5 134

1 139 75 47 32 57 121 19 87 119 104 69

130 18 96 112 101 62 10 138 84 40 29 50

25 55 123 23 92 117 97 67 3 143 80 45

100 65 2 142 78 48 28 53 122 22 90 120

95 116 105 61 7 135 83 44 33 49 127 15

76 41 26 58 126 24 88 113 98 70 6 144

11 140 81 37 31 51 131 20 93 109 103 63

124 17 86 118 102 72 4 137 74 46 30 60

35 56 129 13 91 111 107 68 9 133 79 39

№ 9

106 66 12 136 77 38 34 54 132 16 89 110

85 115 99 71 8 141 73 43 27 59 128 21

76 41 26 58 126 24 88 113 98 70 6 144

11 140 81 37 31 51 131 20 93 109 103 63

130 18 96 112 101 62 10 138 84 40 29 50

25 55 123 23 92 117 97 67 3 143 80 45

100 65 2 142 78 48 28 53 122 22 90 120

95 116 105 61 7 135 83 44 33 49 127 15

82 42 36 52 125 14 94 114 108 64 5 134

1 139 75 47 32 57 121 19 87 119 104 69

124 17 86 118 102 72 4 137 74 46 30 60

35 56 129 13 91 111 107 68 9 133 79 39

№ 10

106 66 12 136 77 38 34 54 132 16 89 110

76 41 26 58 126 24 88 113 98 70 6 144

100 65 2 142 78 48 28 53 122 22 90 120

11 140 81 37 31 51 131 20 93 109 103 63

95 116 105 61 7 135 83 44 33 49 127 15

85 115 99 71 8 141 73 43 27 59 128 21

124 17 86 118 102 72 4 137 74 46 30 60

130 18 96 112 101 62 10 138 84 40 29 50

82 42 36 52 125 14 94 114 108 64 5 134

25 55 123 23 92 117 97 67 3 143 80 45

1 139 75 47 32 57 121 19 87 119 104 69

35 56 129 13 91 111 107 68 9 133 79 39

Далее, как понимает читатель, надо выполнить программу для I=3, 4, … 12. Мне не хочется это делать – слишком много надо потратить времени. Я приведу здесь текст программы перестановки строк, а любознательные читатели могут выполнить программу до конца и дать ответ на вопрос: сколько получилось из одного идеального квадрата 12-ого порядка других идеальных квадратов в результате перестановки строк. Затем надо выполнить программу перестановки столбцов. Для этого достаточно ввести в приведённый текст программы небольшую корректировку. А можно и не изменять программу! Просто выполнить эту же программу для квадрата № 1, повёрнутого на 90 градусов, тогда в нём столбцы станут строками.

Уж я не говорю о программе перестановки строк и столбцов. Эта программа у меня будет выполняться много-много часов или даже пару-тройку дней.

Итак, привожу текст программы, которую надо выполнить полностью, чтобы узнать, сколько перестановок строк сохраняют идеальность квадрата 12-ого порядка.

ТЕКСТ ПРОГРАММЫ

(язык QBASIC)

10 DIM A(12, 12), C(12, 12)

11 W=0

12 OPEN "MK.txt" FOR OUTPUT AS #1

13 PRINT “VVEDITE ISHODNYJ KVADRAT”: PRINT

14 FOR I = 1 TO 12

15 FOR J = 1 TO 12

16 INPUT A(I, J)

17 NEXT J

18 NEXT I

850 PRINT "NACHALO PERESTANOVKI STROK": PRINT

900 FOR I = 1 TO 12

905 FOR J = 1 TO 12

910 IF J = I THEN 4540

915 FOR K = 1 TO 12

920 IF K <> I THEN IF K <> J THEN 930

925 GOTO 4530

930 FOR L = 1 TO 12

935 IF L <> J THEN IF L <> K THEN IF L <> I THEN 945

940 GOTO 4520

945 FOR M = 1 TO 12

950 IF M <> J THEN IF M <> K THEN IF M <> L THEN IF M <> I THEN 960

955 GOTO 4510

960 FOR N = 1 TO 12

965 IF N <> J THEN IF N <> K THEN IF N <> L THEN IF N <> M THEN IF N <> I THEN 975

970 GOTO 4500

975 FOR O = 1 TO 12

980 IF O <> J THEN IF O <> K THEN IF O <> L THEN IF O <> M THEN IF O <> N THEN IF O <> I THEN 990

985 GOTO 4495

990 FOR Q = 1 TO 12

995 IF Q <> I THEN IF Q <> J THEN IF Q <> K THEN IF Q <> L THEN IF Q <> M THEN IF Q <> N THEN IF Q <> O THEN 1005

1000 GOTO 4490

1005 FOR R = 1 TO 12

1010 IF R <> I THEN IF R <> J THEN IF R <> K THEN IF R <> L THEN IF R <> M THEN IF R <> N THEN IF R <> O THEN IF R <> Q THEN 1020

1015 GOTO 4485

1020 FOR S = 1 TO 12

1025 IF S <> I THEN IF S <> J THEN IF S <> K THEN IF S <> L THEN IF S <> M THEN IF S <> N THEN IF S <> O THEN IF S <> Q THEN IF S <> R THEN 1035

1030 GOTO 4480

1035 FOR T = 1 TO 12

1040 IF T <> I THEN IF T <> J THEN IF T <> K THEN IF T <> L THEN IF T <> M THEN IF T <> N THEN IF T <> O THEN IF T <> Q THEN IF T <> R THEN IF T <> S THEN 1050

1045 GOTO 4475

1050 FOR U = 1 TO 12

1055 IF U <> I THEN IF U <> J THEN IF U <> K THEN IF U <> L THEN IF U <> M THEN IF U <> N THEN IF U <> O THEN IF U <> Q THEN IF U <> R THEN IF U <> S THEN IF U <> T THEN 1080

1060 GOTO 4470

1080 FOR P = 1 TO 12

1082 C(1, P) = A(I, P)

1084 C(2, P) = A(J, P)

1086 C(3, P) = A(K, P)

1088 C(4, P) = A(L, P)

1090 C(5, P) = A(M, P)

1092 C(6, P) = A(N, P)

1094 C(7, P) = A(O, P)

1096 C(8, P) = A(Q, P)

1098 C(9, P) = A(R, P)

1100 C(10, P) = A(S, P)

1105 C(11, P) = A(T, P)

1110 C(12, P) = A(U, P)

1200 NEXT P

4105 Z1 = 0

4110 FOR D = 1 TO 12

4115 Z1 = Z1 + C(D, D)

4120 NEXT D

4125 Z2 = C(1, 12)

4130 FOR D = 2 TO 12

4135 Z2 = Z2 + C(D, 13 - D)

4140 NEXT D

4145 Z3 = C(1, 1) + C(2, 12) + C(3, 11) + C(4, 10) + C(5, 9) + C(6, 8) + C(7, 7) + C(8, 6) + C(9, 5) + C(10, 4) + C(11, 3) + C(12, 2)

4146 Z4 = C(1, 2) + C(2, 1) + C(3, 12) + C(4, 11) + C(5, 10) + C(6, 9) + C(7, 8) + C(8, 7) + C(9, 6) + C(10, 5) + C(11, 4) + C(12, 3)

4147 Z5 = C(1, 3) + C(2, 2) + C(3, 1) + C(4, 12) + C(5, 11) + C(6, 10) + C(7, 9) + C(8, 8) + C(9, 7) + C(10, 6) + C(11, 5) + C(12, 4)

4148 Z6 = C(1, 4) + C(2, 3) + C(3, 2) + C(4, 1) + C(5, 12) + C(6, 11) + C(7, 10) + C(8, 9) + C(9, 8) + C(10, 7) + C(11, 6) + C(12, 5)

4149 Z7 = C(1, 5) + C(2, 4) + C(3, 3) + C(4, 2) + C(5, 1) + C(6, 12) + C(7, 11) + C(8, 10) + C(9, 9) + C(10, 8) + C(11, 7) + C(12, 6)

4150 Z8 = C(1, 6) + C(2, 5) + C(3, 4) + C(4, 3) + C(5, 2) + C(6, 1) + C(7, 12) + C(8, 11) + C(9, 10) + C(10, 9) + C(11, 8) + C(12, 7)

4151 Z9 = C(1, 7) + C(2, 6) + C(3, 5) + C(4, 4) + C(5, 3) + C(6, 2) + C(7, 1) + C(8, 12) + C(9, 11) + C(10, 10) + C(11, 9) + C(12, 8)

4153 IF Z1 = 870 THEN IF Z2 = 870 THEN IF Z3 = 870 THEN IF Z4 = 870 THEN IF Z5 = 870 THEN IF Z6 = 870 THEN IF Z7 = 870 THEN IF Z8 = 870 THEN IF Z9 = 870 THEN 4155

4154 GOTO 4470

4155 Z10 = C(1, 1) + C(2, 2) + C(3, 3) + C(4, 4) + C(5, 5) + C(6, 6) + C(7, 7) + C(8, 8) + C(9, 9) + C(10, 10) + C(11, 11) + C(12, 12)

4160 Z11 = C(1, 12) + C(2, 11) + C(3, 10) + C(4, 9) + C(5, 8) + C(6, 7) + C(7, 6) + C(8, 5) + C(9, 4) + C(10, 3) + C(11, 2) + C(12, 1)

4164 Z12 = C(1, 8) + C(2, 7) + C(3, 6) + C(4, 5) + C(5, 4) + C(6, 3) + C(7, 2) + C(8, 1) + C(9, 12) + C(10, 11) + C(11, 10) + C(12, 9)

4168 Z13 = C(1, 9) + C(2, 8) + C(3, 7) + C(4, 6) + C(5, 5) + C(6, 4) + C(7, 3) + C(8, 2) + C(9, 1) + C(10, 12) + C(11, 11) + C(12, 10)

4170 Z14 = C(1, 10) + C(2, 9) + C(3, 8) + C(4, 7) + C(5, 6) + C(6, 5) + C(7, 4) + C(8, 3) + C(9, 2) + C(10, 1) + C(11, 12) + C(12, 11)

4172 Z15 = C(1, 11) + C(2, 10) + C(3, 9) + C(4, 8) + C(5, 7) + C(6, 6) + C(7, 5) + C(8, 4) + C(9, 3) + C(10, 2) + C(11, 1) + C(12, 12)

4174 IF Z10 = 870 THEN IF Z11 = 870 THEN IF Z12 = 870 THEN IF Z13 = 870 THEN IF Z14 = 870 THEN IF Z15 = 870 THEN 4178

4176 GOTO 4470

4178 IF C(1, 1) + C(12, 12) = 145 THEN IF C(1, 2) + C(12, 11) = 145 THEN IF C(1, 3) + C(12, 10) = 145 THEN IF C(1, 4) + C(12, 9) = 145 THEN IF C(1, 5) + C(12, 8) = 145 THEN IF C(1, 6) + C(12, 7) = 145 THEN 4180

4179 GOTO 4470

4180 IF C(2, 1) + C(11, 12) = 145 THEN IF C(3, 1) + C(10, 12) = 145 THEN IF C(4, 1) + C(9, 12) = 145 THEN IF C(5, 1) + C(8, 12) = 145 THEN IF C(6, 1) + C(7, 12) = 145 THEN 4300

4276 GOTO 4470

4300 W = W + 1: PRINT W: PRINT #1, W

4305 FOR X = 1 TO 8

4310 FOR Y = 1 TO 8

4320 PRINT C(X, Y);

4325 PRINT #1, C(X, Y);

4330 NEXT Y

4335 PRINT : PRINT #1,

4340 NEXT X

4342 PRINT #1,

4345 PRINT : PRINT "KVADRAT POSTROEN!"

4470 NEXT U

4475 NEXT T

4480 NEXT S

4485 NEXT R

4490 NEXT Q

4495 NEXT O

4500 NEXT N

4510 NEXT M

4520 NEXT L

4530 NEXT K

4540 NEXT J

4550 NEXT I

5000 CLOSE #1

5035 END

На запрос программы надо ввести построчно квадрат № 1 (или любой другой идеальный квадрат 12-ого порядка). Все идеальные квадраты, построенные программой, запишутся в файл MK.txt. Интересно очень узнать, сколько же их будет.

Для квадратов 8-ого порядка программа перестановки столбцов построила столько же идеальных квадратов, сколько программа перестановки строк. Здесь будет такой же результат?

Жду ваших решений, уважаемые читатели!

Всегда ваша Наталия М.

***

31 июля 2008 г.

Ах, ах, ах (можно читать наоборот: ха-ха-ха), меня опять обвиняют в плагиате! Вот на этом форуме:

http://dxdy.ru/topic12959.html

Некто Батон (так назову его по-русски) пишет, что, дескать, мой идеальный квадрат с рис. 2 совпадает с идеальным квадратом Александрова с рис. 27 из какой-то там его статьи (которую я даже не смотрела и смотреть не собираюсь). Ну и что же, что совпал? Ты, Батон, совсем круглый дурак или с “дырочкой”, как бублик? Если какой-то магический квадрат существует в природе, его может построить любой. Разве это непонятно хоть кому-нибудь, кроме Батона? Прошу обратить внимание на следующую цитату из настоящей статьи:

“И получился совершенно оригинальный идеальный квадрат, в нём линейная начальная цепочка! Напомню читателям, что я не могла построить идеальный квадрат 12-ого порядка с линейной начальной цепочкой. Идеальные квадраты 12-ого порядка с начальной цепочкой “ход конём” первым построил Г. Александров. Но я не теряла надежду получить идеальный квадрат 12-ого порядка с линейной начальной цепочкой. И вот такой квадрат перед вами!”

И специально для квазигениального Батона приведу программу построения идеальных квадратов 12-ого порядка первой группы (рис. 1 –рис. 8) с помощью двух обобщённых ортогональных латинских квадратов. По этой программе эти квадраты и были построены.

ТЕКСТ ПРОГРАММЫ

(язык QBASIC)

10 DIM C(12, 12), B(12, 12), A(12, 12)

11 OPEN "MK.txt" FOR OUTPUT AS #1

12 C(1, 1) = 0: C(1, 2) = 11

15 FOR X = 1 TO 10: D(X) = X: NEXT X

20 FOR I = 1 TO 10

22 C(1, 3) = D(I): S = 11 - I: C(1, 12) = S

24 FOR J = 1 TO 10

26 IF J <> I THEN IF J <> S THEN 28

27 GOTO 525

28 C(1, 4) = D(J): R = 11 - J: C(1, 11) = R

29 IF R <> I THEN IF R <> S THEN 31

30 GOTO 525

31 FOR K = 1 TO 10

32 IF K <> I THEN IF K <> J THEN IF K <> S THEN IF K <> R THEN 36

34 GOTO 520

36 C(1, 5) = D(K): Q = 11 - K: C(1, 10) = Q

37 IF Q <> I THEN IF Q <> J THEN IF Q <> S THEN IF Q <> R THEN 39

38 GOTO 520

39 FOR L = 1 TO 10

40 IF L <> I THEN IF L <> J THEN IF L <> K THEN IF L <> S THEN IF L <> R THEN IF L <> Q THEN 44

42 GOTO 515

44 C(1, 6) = D(L): O = 11 - L: C(1, 9) = O

45 IF O <> I THEN IF O <> J THEN IF O <> K THEN IF O <> S THEN IF O <> R THEN IF O <> Q THEN 47

46 GOTO 515

47 FOR M = 1 TO 10

48 IF M <> I THEN IF M <> J THEN IF M <> K THEN IF M <> L THEN IF M <> S THEN IF M <> R THEN IF M <> Q THEN IF M <> O THEN 52

50 GOTO 510

52 C(1, 7) = D(M): N = 11 - M: C(1, 8) = N

53 IF N <> I THEN IF N <> J THEN IF N <> K THEN IF N <> L THEN IF N <> S THEN IF N <> R THEN IF N <> Q THEN IF N <> O THEN 70

55 GOTO 510

70 P = 2

72 C(P, 1) = C(P - 1, 11): C(P, 2) = C(P - 1, 12)

74 FOR X = 3 TO 12: C(P, X) = C(P - 1, X - 2): NEXT X

76 P = P + 1

78 IF P > 12 THEN 105

80 GOTO 72

105 Z1 = C(1, 1) + C(2, 12) + C(3, 11) + C(4, 10) + C(5, 9) + C(6, 8) + C(7, 7) + C(8, 6) + C(9, 5) + C(10, 4) + C(11, 3) + C(12, 2)

106 Z2 = C(1, 2) + C(2, 1) + C(3, 12) + C(4, 11) + C(5, 10) + C(6, 9) + C(7, 8) + C(8, 7) + C(9, 6) + C(10, 5) + C(11, 4) + C(12, 3)

107 Z3 = C(1, 3) + C(2, 2) + C(3, 1) + C(4, 12) + C(5, 11) + C(6, 10) + C(7, 9) + C(8, 8) + C(9, 7) + C(10, 6) + C(11, 5) + C(12, 4)

108 Z4 = C(1, 4) + C(2, 3) + C(3, 2) + C(4, 1) + C(5, 12) + C(6, 11) + C(7, 10) + C(8, 9) + C(9, 8) + C(10, 7) + C(11, 6) + C(12, 5)

109 Z5 = C(1, 5) + C(2, 4) + C(3, 3) + C(4, 2) + C(5, 1) + C(6, 12) + C(7, 11) + C(8, 10) + C(9, 9) + C(10, 8) + C(11, 7) + C(12, 6)

110 Z6 = C(1, 6) + C(2, 5) + C(3, 4) + C(4, 3) + C(5, 2) + C(6, 1) + C(7, 12) + C(8, 11) + C(9, 10) + C(10, 9) + C(11, 8) + C(12, 7)

111 Z7 = C(1, 7) + C(2, 6) + C(3, 5) + C(4, 4) + C(5, 3) + C(6, 2) + C(7, 1) + C(8, 12) + C(9, 11) + C(10, 10) + C(11, 9) + C(12, 8)

113 IF Z1 = 66 THEN IF Z2 = 66 THEN IF Z3 = 66 THEN IF Z4 = 66 THEN IF Z5 = 66 THEN IF Z6 = 66 THEN IF Z7 = 66 THEN 115

114 GOTO 510

115 Z8 = C(1, 1) + C(2, 2) + C(3, 3) + C(4, 4) + C(5, 5) + C(6, 6) + C(7, 7) + C(8, 8) + C(9, 9) + C(10, 10) + C(11, 11) + C(12, 12)

116 Z9 = 0

117 FOR X = 1 TO 12: Z9 = Z9 + C(X, 1): NEXT X

120 Z10 = C(1, 12) + C(2, 11) + C(3, 10) + C(4, 9) + C(5, 8) + C(6, 7) + C(7, 6) + C(8, 5) + C(9, 4) + C(10, 3) + C(11, 2) + C(12, 1)

124 Z11 = C(1, 8) + C(2, 7) + C(3, 6) + C(4, 5) + C(5, 4) + C(6, 3) + C(7, 2) + C(8, 1) + C(9, 12) + C(10, 11) + C(11, 10) + C(12, 9)

128 Z12 = C(1, 9) + C(2, 8) + C(3, 7) + C(4, 6) + C(5, 5) + C(6, 4) + C(7, 3) + C(8, 2) + C(9, 1) + C(10, 12) + C(11, 11) + C(12, 10)

132 Z13 = C(1, 10) + C(2, 9) + C(3, 8) + C(4, 7) + C(5, 6) + C(6, 5) + C(7, 4) + C(8, 3) + C(9, 2) + C(10, 1) + C(11, 12) + C(12, 11)

136 Z14 = C(1, 11) + C(2, 10) + C(3, 9) + C(4, 8) + C(5, 7) + C(6, 6) + C(7, 5) + C(8, 4) + C(9, 3) + C(10, 2) + C(11, 1) + C(12, 12)

138 IF Z8 = 66 THEN IF Z9 = 66 THEN IF Z10 = 66 THEN IF Z11 = 66 THEN IF Z12 = 66 THEN IF Z13 = 66 THEN IF Z14 = 66 THEN 175

140 GOTO 510

175 IF C(1, 1) + C(12, 12) = 11 THEN IF C(1, 2) + C(12, 11) = 11 THEN IF C(1, 3) + C(12, 10) = 11 THEN IF C(1, 4) + C(12, 9) = 11 THEN IF C(1, 5) + C(12, 8) = 11 THEN IF C(1, 6) + C(12, 7) = 11 THEN 180

177 GOTO 510

180 IF C(2, 1) + C(11, 12) = 11 THEN IF C(3, 1) + C(10, 12) = 11 THEN IF C(4, 1) + C(9, 12) = 11 THEN IF C(5, 1) + C(8, 12) = 11 THEN IF C(6, 1) + C(7, 12) = 11 THEN 190

186 GOTO 510

190 B(1, 1) = C(1, 1): B(1, 2) = C(6, 1): B(1, 3) = C(5, 1): B(1, 4) = C(4, 1): B(1, 5) = C(3, 1): B(1, 6) = C(2, 1)

192 B(1, 7) = C(1, 1): B(1, 8) = C(6, 1): B(1, 9) = C(5, 1): B(1, 10) = C(4, 1): B(1, 11) = C(3, 1): B(1, 12) = C(2, 1)

194 B(2, 1) = C(3, 2): B(2, 2) = C(2, 2): B(2, 3) = C(1, 2): B(2, 4) = C(6, 2): B(2, 5) = C(5, 2): B(2, 6) = C(4, 2)

196 B(2, 7) = C(3, 2): B(2, 8) = C(2, 2): B(2, 9) = C(1, 2): B(2, 10) = C(6, 2): B(2, 11) = C(5, 2): B(2, 12) = C(4, 2)

198 P = 3

200 B(P, 1) = B(P - 2, 10): B(P, 2) = B(P - 2, 11): B(P, 3) = B(P - 2, 12)

202 FOR X = 4 TO 12: B(P, X) = B(P - 2, X - 3): NEXT X

204 P = P + 2

206 IF P > 11 THEN 210

208 GOTO 200

210 P = 4

212 B(P, 1) = B(P - 2, 10): B(P, 2) = B(P - 2, 11): B(P, 3) = B(P - 2, 12)

214 FOR X = 4 TO 12: B(P, X) = B(P - 2, X - 3): NEXT X

216 P = P + 2

218 IF P > 12 THEN 221

220 GOTO 212

221 Z = 0

222 FOR X = 1 TO 12: Z = Z + B(1, X): NEXT X

223 IF Z = 66 THEN 225

224 GOTO 510

225 Z1 = B(1, 1) + B(2, 12) + B(3, 11) + B(4, 10) + B(5, 9) + B(6, 8) + B(7, 7) + B(8, 6) + B(9, 5) + B(10, 4) + B(11, 3) + B(12, 2)

226 Z2 = B(1, 2) + B(2, 1) + B(3, 12) + B(4, 11) + B(5, 10) + B(6, 9) + B(7, 8) + B(8, 7) + B(9, 6) + B(10, 5) + B(11, 4) + B(12, 3)

227 Z3 = B(1, 3) + B(2, 2) + B(3, 1) + B(4, 12) + B(5, 11) + B(6, 10) + B(7, 9) + B(8, 8) + B(9, 7) + B(10, 6) + B(11, 5) + B(12, 4)

228 Z4 = B(1, 4) + B(2, 3) + B(3, 2) + B(4, 1) + B(5, 12) + B(6, 11) + B(7, 10) + B(8, 9) + B(9, 8) + B(10, 7) + B(11, 6) + B(12, 5)

229 Z5 = B(1, 5) + B(2, 4) + B(3, 3) + B(4, 2) + B(5, 1) + B(6, 12) + B(7, 11) + B(8, 10) + B(9, 9) + B(10, 8) + B(11, 7) + B(12, 6)

230 Z6 = B(1, 6) + B(2, 5) + B(3, 4) + B(4, 3) + B(5, 2) + B(6, 1) + B(7, 12) + B(8, 11) + B(9, 10) + B(10, 9) + B(11, 8) + B(12, 7)

231 Z7 = B(1, 7) + B(2, 6) + B(3, 5) + B(4, 4) + B(5, 3) + B(6, 2) + B(7, 1) + B(8, 12) + B(9, 11) + B(10, 10) + B(11, 9) + B(12, 8)

233 IF Z1 = 66 THEN IF Z2 = 66 THEN IF Z3 = 66 THEN IF Z4 = 66 THEN IF Z5 = 66 THEN IF Z6 = 66 THEN IF Z7 = 66 THEN 235

234 GOTO 510

235 Z8 = B(1, 1) + B(2, 2) + B(3, 3) + B(4, 4) + B(5, 5) + B(6, 6) + B(7, 7) + B(8, 8) + B(9, 9) + B(10, 10) + B(11, 11) + B(12, 12)

236 Z9 = 0

237 FOR X = 1 TO 12: Z9 = Z9 + B(X, 1): NEXT X

240 Z10 = B(1, 12) + B(2, 11) + B(3, 10) + B(4, 9) + B(5, 8) + B(6, 7) + B(7, 6) + B(8, 5) + B(9, 4) + B(10, 3) + B(11, 2) + B(12, 1)

244 Z11 = B(1, 8) + B(2, 7) + B(3, 6) + B(4, 5) + B(5, 4) + B(6, 3) + B(7, 2) + B(8, 1) + B(9, 12) + B(10, 11) + B(11, 10) + B(12, 9)

248 Z12 = B(1, 9) + B(2, 8) + B(3, 7) + B(4, 6) + B(5, 5) + B(6, 4) + B(7, 3) + B(8, 2) + B(9, 1) + B(10, 12) + B(11, 11) + B(12, 10)

252 Z13 = B(1, 10) + B(2, 9) + B(3, 8) + B(4, 7) + B(5, 6) + B(6, 5) + B(7, 4) + B(8, 3) + B(9, 2) + B(10, 1) + B(11, 12) + B(12, 11)

256 Z14 = B(1, 11) + B(2, 10) + B(3, 9) + B(4, 8) + B(5, 7) + B(6, 6) + B(7, 5) + B(8, 4) + B(9, 3) + B(10, 2) + B(11, 1) + B(12, 12)

258 IF Z8 = 66 THEN IF Z9 = 66 THEN IF Z10 = 66 THEN IF Z11 = 66 THEN IF Z12 = 66 THEN IF Z13 = 66 THEN IF Z14 = 66 THEN 275

260 GOTO 510

275 IF B(1, 1) + B(8, 12) = 11 THEN IF B(1, 2) + B(12, 11) = 11 THEN IF B(1, 3) + B(12, 10) = 11 THEN IF B(1, 4) + B(12, 9) = 11 THEN IF B(1, 5) + B(12, 8) = 11 THEN IF B(1, 6) + B(12, 7) = 11 THEN 280

277 GOTO 510

280 IF B(2, 1) + B(11, 12) = 11 THEN IF B(3, 1) + B(10, 12) = 11 THEN IF B(4, 1) + B(9, 12) = 11 THEN IF B(5, 1) + B(8, 12) = 11 THEN IF B(6, 1) + B(7, 12) = 11 THEN 290

286 GOTO 510

290 FOR X = 1 TO 12

292 FOR Y = 1 TO 12

294 A(X, Y) = 12 * C(X, Y) + B(X, Y) + 1

296 NEXT Y

298 NEXT X

390 W = W + 1: PRINT W: PRINT #1, W

400 FOR X = 1 TO 12

402 FOR Y = 1 TO 12

404 PRINT C(X, Y);

405 PRINT #1, C(X, Y);

406 NEXT Y

408 PRINT : PRINT #1,

410 NEXT X

412 FOR X = 1 TO 12

414 FOR Y = 1 TO 12

416 PRINT B(X, Y);

418 PRINT #1, B(X, Y);

420 NEXT Y

422 PRINT : PRINT #1,

424 NEXT X

426 PRINT : PRINT #1,

428 FOR X = 1 TO 12

430 FOR Y = 1 TO 12

432 PRINT A(X, Y);

434 PRINT #1, A(X, Y);

436 NEXT Y

438 PRINT : PRINT #1,

440 NEXT X

510 NEXT M

515 NEXT L

520 NEXT K

525 NEXT J

530 NEXT I

600 END

Программа выдаёт не только идеальные квадраты, но и пару латинских квадратов, из которых построен каждый идеальный квадрат.

И я совсем не понимаю, о каком заимствовании идёт речь? Александров построил эти идеальные квадраты методом цепей, я построила эти же квадраты методом качелей и методом использования пары обобщённых ортогональных латинских квадратов (который показан в этой статье). Кто-нибудь (конечно, не ты, Батон!) построит эти же квадраты четвёртым методом [например, из обратимых квадратов]. Его ты тоже будешь обвинять в плагиате?! Поскольку сам ты ни на что не способен, твоя участь только критиковать и уличать.

Да, ещё, Батон, ты упустил из виду, что все восемь решений (рис. 1 – рис. 8) совпадают с решениями Александрова (из другой его статьи, которую я смотрела) с точностью до параллельного переноса на торе. Так что ты не полностью уличил меня в плагиате. Бери шире, неуважаемый Батон!

***

Добавление (6 августа 2008 г.)

Вспомнила ещё об одном оригинальном квадрате 12-ого порядка. Этот квадрат был построен методом качелей в разгар дискуссии об идеальных квадратах чётно-чётного порядка на форуме http://dxdy.ru/topic12959.html

Представляю этот идеальный квадрат на рис. 27.

1	140	75	45	35	55	121	20	87	117	107	67
106	65	12	138	74	40	34	53	132	18	86	112
93	119	103	61	8	135	81	47	31	49	128	15
126	14	88	118	101	72	6	134	76	46	29	60
25	56	123	21	95	115	97	68	3	141	83	43
82	41	36	54	122	16	94	113	108	66	2	136
9	143	79	37	32	51	129	23	91	109	104	63
102	62	4	142	77	48	30	50	124	22	89	120
85	116	99	69	11	139	73	44	27	57	131	19
130	17	96	114	98	64	10	137	84	42	26	52
33	59	127	13	92	111	105	71	7	133	80	39
78	38	28	58	125	24	90	110	100	70	5	144

Рис. 27

Разложение этого идеального квадрата на два латинских квадрата было выполнено в статье http://www.klassikpoez.narod.ru/latch.htm

Сейчас я посмотрела на схему составления второго латинского квадрата, она совсем другая, нежели те, что были показаны здесь. Интересен такой факт: когда я задала в программе такую схему составления второго латинского квадрата и выполнила программу, программа выдала только одно решение – квадрат с рис. 27. Вот такой уникальный экземпляр получается! Обратите внимание на то, что этот идеальный квадрат не эквивалентен ни одному квадрату из первой группы (рис. 1 – рис. 8) квадратов, которые тоже начинаются с числа 1. Теперь надо бы составить программу для построения всех идеальных квадратов 12-ого порядка, начинающихся с числа 1, методом качелей (до сих пор я строила этим методом только частные решения, общую программу пока не составила). Очень интересно посмотреть, сколько идеальных квадратов построит такая программа. Если будет время, составлю эту программу и сообщу тогда о результате.

А теперь покажу, каким преобразованием “плюс-минус …” связан квадрат с рис. 27 с квадратом № 4 (рис. 4). Кажется, я ещё не показывала такое преобразование для квадратов 12-ого порядка. Понятно, что это преобразование сохраняет идеальность квадрата. Обратите внимание на то, что квадрат № 4 и квадрат с рис. 27 имеют совершенно одинаковую начальную цепочку. На рис. 28 вы видите матрицу комбинированного преобразования “плюс-минус …”, связывающего эти квадраты.

		-12	-24		+36	+24	-24	-36		+24	+12
+24	+12			-12	-24		+36	+24	-24	-36
-36		+24	+12			-12	-24		+36	+24	-24
+24	-24	-36		+24	+12			-12	-24		+36
	+36	+24	-24	-36		+24	+12			-12	-24
-12	-24		+36	+24	-24	-36		+24	+12
		-12	-24		+36	+24	-24	-36		+24	+12
+24	+12			-12	-24		+36	+24	-24	-36
-36		+24	+12			-12	-24		+36	+24	-24
+24	-24	-36		+24	+12			-12	-24		+36
	+36	+24	-24	-36		+24	+12			-12	-24
-12	-24		+36	+24	-24	-36		+24	+12

Рис. 28

Красивейшее преобразование! Наложите эту матрицу на квадрат № 4, выполните все действия с числами, попавшими в закрашенные ячейки, и вы получите идеальный квадрат с рис. 27. Если посмотреть на эту матрицу, как на нетрадиционный магический квадрат (в пустых ячейках записать нули), то это будет идеальный квадрата с магической константой 0.

Легко построить идеальный квадрат из латинских квадратов, на которые раскладывается квадрат с рис. 27, поменяв их местами. На рис 29. вы видите этот идеальный квадрат.

1	96	31	100	123	77	11	86	32	106	129	78
117	54	133	72	19	40	111	53	143	62	20	46
104	130	81	6	85	36	103	124	75	5	95	26
71	14	44	118	57	138	61	24	43	112	51	137
3	89	35	98	128	82	9	90	25	108	127	76
115	52	135	65	23	38	116	58	141	66	13	48
97	132	79	4	87	29	107	122	80	10	93	30
69	18	37	120	55	136	63	17	47	110	56	142
8	94	33	102	121	84	7	88	27	101	131	74
119	50	140	70	21	42	109	60	139	64	15	41
99	125	83	2	92	34	105	126	73	12	91	28
67	16	39	113	59	134	68	22	45	114	49	144

Рис. 29

Получился новый идеальный квадрат с линейной начальной цепочкой.

Таким образом, получается, что число всех идеальных квадратов 12-ого порядка с начальной цепочкой “ход конём” не равно 1152, как это было посчитано выше. Оно больше этого числа, потому что вот перед вами пример идеального квадрата (рис. 27), который не вошёл в группу из 8 квадратов, начинающихся с числа 1. И, наверное, такой квадрат не один. Можно предположить, что для каждого квадрата первой группы (рис. 1 – рис. 8) существует аналогичное преобразование, которое даёт новый идеальный квадрат.

***

Интересно отметить, что на форуме http://dxdy.ru/topic12959.html за Александрова сообщали (цитатой из его письма), что его метод цепей даёт 8*144=1152 идеальных квадрата 12-ого порядка. Значит, Александров тоже потерял n-ое количество идеальных квадратов 12-ого порядка с начальной цепочкой “ход конём” (не говоря уже о группе квадратов с линейной начальной цепочкой, которые он вовсе не рассматривал).

А вот моё сообщение на этом форуме по поводу идеальных квадратов 12-ого порядка (от 11.05.08 г.):

“В недавно опубликованной статье Г. Александрова [url=http://renuar911.narod.ru/IMQ12.html]“Идеальные магические квадраты 8х8 и 12х12”[/url] построены указанные в названии идеальные квадраты. Приведено шесть вариантов идеальных квадратов 8х8 и восемь вариантов идеальных квадратов 12х12. Я не смотрела на квадраты 8-ого порядка, хотя не мешает посмотреть, потому что их тоже наверняка не шесть. Сразу занялась исследованием идеальных квадратов 12-ого порядка. Беру решение № 1 и преобразовываю его немного, потому что предпочитаю квадраты, начинающиеся с числа 1 (то есть число 1 стоит в левой верхней ячейке квадрата) и всегда стараюсь строить именно такие квадраты, когда это возможно. В преобразованном виде идеальный квадрат Александрова 12х12 (решение № 1) выглядит так:

[code]

1 140 87 69 35 19 97 44 123 117 83 55

82 53 12 138 86 64 34 17 108 42 122 112

129 119 79 49 8 135 93 71 31 13 104 39

102 38 124 118 77 60 6 134 88 70 29 24

25 20 99 45 131 115 73 56 3 141 95 67

94 65 36 18 98 40 130 113 84 54 2 136

9 143 91 61 32 15 105 47 127 109 80 51

78 50 4 142 89 72 30 14 100 46 125 120

121 116 75 57 11 139 85 68 27 21 107 43

106 41 132 114 74 52 10 137 96 66 26 16

33 23 103 37 128 111 81 59 7 133 92 63

90 62 28 22 101 48 126 110 76 58 5 144

[/code]

Теперь выделила в квадрате начальную цепочку первых 12 чисел и сразу же вспомнила, что она мне напоминает. В январе текущего года мной была написана статья [url=http://www.klassikpoez.narod.ru/pan4kach.htm]“Метод качелей для пандиагональных квадратов чётно-чётного порядка”[/url]. Была составлена программа для построения пандиагональных квадратов 12-ого порядка (и не только 12-ого, конечно), которая выдаёт огромное количество пандиагональных квадратов. Я даже не выполнила программу до конца, в момент прерывания было найдено 1512 квадратов. В статье показаны три пандиагональных квадрата, полученные по программе (см. рис. 7-9 в указанной статье). Сравнив эти квадраты с преобразованным квадратом Александрова, я увидела, что у них абсолютно одинаковая схема расположения первых 12 чисел, то есть начальная цепочка. А теперь прикиньте, kilobok, что если бы я ещё тогда вставила в программу блок проверки ассоциативности строящихся квадратов. Прикинули, что из этого получилось бы? А получилось бы то, что построились бы квадраты пандиагональные и ассоциативные, то есть идеальные! Но когда я писала эту статью, ещё не знала о существовании идеальных квадратов порядка n=4k. А вот в текущий момент совсем забыла об этой своей статье и пыталась построить идеальные квадраты 12-ого порядка, аналогичные построенным мной квадратам 8-ого, 16-ого и т.д. порядков (в этих квадратах начальные цепочки имеют линейный вид). Такие квадраты у меня не получились.

Теперь беру готовую программу и вставляю в неё блок проверки ассоциативности. И программа выдаёт мне идеальные квадраты, подобные идеальному квадрату Александрова. Ещё раз определю, что значит “подобные”: это значит, что все они имеют одинаковую схему расположения первых 12 чисел.

Как я уже заметила выше, идеальных квадратов 12-ого порядка не может быть только 8 штук. Александрову необходимо было отметить в статье, что он показал 8 частных решений, а фактически таких квадратов гораздо больше. А так ведь многие могут подумать, что идеальных квадратов 12-ого порядка всего 8 (как, например, подумал kilobok). Моя программа нашла те же 8 вариантов начальных цепочек, которые нашёл Александров. Но! Для начальной цепочки первого варианта (см. приведённый квадрат Александрова) программа выдала мне 8 разных квадратов, для начальной цепочки второго решения снова 8 разных квадратов. Я не прогнала пока программу для оставшихся 6 вариантов, но думаю, что результат будет тот же. Если это будет так, то всего программа построит 64 идеальных квадрата 12-ого порядка.

Начальная цепочка приведённого квадрата Александрова имеет вид:

[math]1 5 7 10 11 4 9 2 3 6 8 12[/math]

И вот ещё один из квадратов, имеющий точно такую же начальную цепочку, но не эквивалентный квадрату Александрова (здесь необходимо сказать, какие квадраты называются эквивалентными: это квадраты, получающиеся друг из друга семью основными преобразованиями магических квадратов и преобразованиями параллельного переноса на торе; так, например, квадрат, построенный Александровым, и тот, который я привела выше, эквивалентны, потому что я применила к квадрату Александрова преобразование параллельного переноса на торе).

[code]

1 140 75 45 35 55 121 20 87 117 107 67

106 65 12 138 74 40 34 53 132 18 86 112

93 119 103 61 8 135 81 47 31 49 128 15

126 14 88 118 101 72 6 134 76 46 29 60

25 56 123 21 95 115 97 68 3 141 83 43

82 41 36 54 122 16 94 113 108 66 2 136

9 143 79 37 32 51 129 23 91 109 104 63

102 62 4 142 77 48 30 50 124 22 89 120

85 116 99 69 11 139 73 44 27 57 131 19

130 17 96 114 98 64 10 137 84 42 26 52

33 59 127 13 92 111 105 71 7 133 80 39

78 38 28 58 125 24 90 110 100 70 5 144[/code]

Этот квадрат связан с квадратом Александрова преобразованием “плюс-минус” (преобразования такого типа обнаружены мной, я нигде не встречала упоминания о таких преобразованиях; и очень интересен, кстати, вопрос: один из товарищей, читающих мои статьи о магических квадратах, написал мне, что наверняка такие преобразования известны и описываются каким-нибудь сложным аппаратом преобразований в теории чисел, типа каких-либо общих отображений одного числового множества на другое; так вот, очень хотелось бы узнать, действительно ли это так. Ведь я давно забыла всю высшую математику, которую когда-то учила в университете. Напишите, кто в этом разбирается. Преобразования “плюс-минус” встречаются во многих моих статьях). Однако преобразование “плюс-минус” не относится к числу эквивалентных преобразований магических квадратов. Поэтому эти два квадрата не эквивалентны.

Когда выполню программу для оставшихся шести вариантов начальной цепочки, изложу результаты в специальной статье, посвящённой идеальным квадратам 12-ого порядка. Покажу все квадраты, которые построит программа (на сегодня их у меня 16, по 8 штук для первой и второй начальной цепочки, ожидаю, что их будет 64).

(Подчеркну ещё раз, что строю идеальные квадраты 12-ого порядка, подобные квадратам Александрова – во избежание новых обвинений в плагиате).

Далее можно попробовать изменить внутреннюю структуру начальной цепочки. Все 8 начальных цепочек, полученных Александровым, имеют фиксированное положение чисел 1 и 12 (см. начальную цепочку решения 1, приведённую выше). Можно попробовать изменить положение этих чисел в начальной цепочке, например, так:

[math]i j k l m 1 12 o p q r s[/math]

Не уверена, что такое изменение в начальной цепочке возможно, то есть даст снова идеальные квадраты. Но можно попробовать. Ну, и наконец, как я уже говорила, можно попробовать сделать совсем другую начальную цепочку, которая не строится ходом шахматного коня, это будут качели с другими шагами. Одним словом, вполне возможно, что добавится ещё n-ое количество идеальных квадратов 12-ого порядка.

И ещё: то, что мне не удалось построить идеальные квадраты 12-ого порядка с линейной начальной цепочкой, разумеется, не доказывает, что таких квадратов вообще не существует.

Совершенно аналогично можно применить метод качелей для построения идеальных квадратов любого порядка n=4k, k=2, 3, 4… например, 16-ого, 20-ого и т. д. Я уже написала программу для построения идеальных квадратов 16-ого порядка.

Александров пишет в своей статье, что для написания программы построения идеальных квадратов 20-ого порядка ему понадобится максимум неделя. Но почему так много? Я написала программу для идеальных квадратов 16-ого порядка за 2 часа. Наверное, это является показателем того, насколько метод качелей проще метода цепей.

Теперь вопрос для Александрова: возможна ли схема “ход коня” в совершенных магических квадратах? Другими словами: можно ли строить совершенные квадраты методом цепей? Я показала, что методом качелей такие квадраты строятся (см. статью [url=http://www.klassikpoez.narod.ru/soversh.htm]“Совершенные магические квадраты”[/url]).

Кстати, может быть, Александров сам примет участие в форуме? Очень странно, что в двух форумах, в которых я участвую, за него пишут другие люди”.

Вот теперь, когда прочла это сообщение, начинаю вспоминать события трёхмесячной давности. Читатели видят, что в сообщении представлен идеальный квадрат с рис. 27 и говорится, что он связан преобразованием “плюс-минус …” с квадратом № 4. Я уже немного забыла, как строила частные решения идеальных квадратов 12-ого порядка. Теперь вспоминаю. Сначала я написала программку для поиска начальных цепочек (для группы квадратов, начинающихся с числа 1). Эта программа выдала мне 8 начальных цепочек, в точности совпавших с начальными цепочками Александрова. А затем в имеющуюся у меня программу для построения пандиагональных квадратов 12-ого порядка методом качелей (которая была написана мной в январе 2008 г.) я вставила блок проверки ассоциативности строящихся квадратов и искусственно вводила в неё найденные начальные цепочки. Так я и нашла по этой программе для первой начальной цепочки 8 решений (квадрат с рис. 27 – одно из этих решений), для второй начальной цепочки снова 8 решений. А для остальных 6 начальных цепочек не выполняла программу. Как хорошо, что у меня сохранилась копия сообщения на форуме!

Итак, предположительно получается, что количество всех идеальных квадратов 12-ого порядка с начальной цепочкой “ход конём” равно 1152*8=9216. Это без учёта перестановок строк и столбцов. Этой группе идеальных квадратов соответствует вторая группа идеальных квадратов – с линейной начальной цепочкой (эти идеальные квадраты строятся перестановкой первого и второго латинских квадратов). Таких квадратов, понятно, тоже будет 9216.

***

Георг, ау! Сколько ты построил идеальных квадратов 12-ого порядка? Всего 1152? Маловато. У меня получается 18432 (без учёта перестановок строк и столбцов). А не можешь ли ещё найти какую-нибудь новую группу ultramagic-12? Уверена, что такая группа существует и не одна!

А твои прихвостни обвиняют меня в плагиате. Может быть, ты их остановишь уже?! Тебе самому не стыдно? Хотя, скорее всего, они воюют против меня с твоей подачи и под твоим “чутким” руководством. Ах, Георг! И чего ты так скурвился? Такой был друг и вот на тебе! Но я отношусь к жизни философски, а поэтому нисколько на тебя не сержусь.

***

И в заключение представлю чётно-нечётный рисунок одного идеального квадрата 12-ого порядка (рис. 30). Для примера возьму квадрат с рис. 29.

1	96	31	100	123	77	11	86	32	106	129	78
117	54	133	72	19	40	111	53	143	62	20	46
104	130	81	6	85	36	103	124	75	5	95	26
71	14	44	118	57	138	61	24	43	112	51	137
3	89	35	98	128	82	9	90	25	108	127	76
115	52	135	65	23	38	116	58	141	66	13	48
97	132	79	4	87	29	107	122	80	10	93	30
69	18	37	120	55	136	63	17	47	110	56	142
8	94	33	102	121	84	7	88	27	101	131	74
119	50	140	70	21	42	109	60	139	64	15	41
99	125	83	2	92	34	105	126	73	12	91	28
67	16	39	113	59	134	68	22	45	114	49	144

Рис. 30

Оригинально! Квадрат другой группы (рис. 27) предлагаю раскрасить читателям. В нём должен быть совсем другой узор.

***

Читайте мою виртуальную книгу “Волшебный мир магических квадратов”:

http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm

28 июля - 6 августа 2008 г.

г. Саратов

Поскольку эта страница стала очень большой и неудобной для обновления, продолжение смотрите здесь:

http://www.natalimak1.narod.ru/id12a.htm

Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу

0	11	6	3	2	4	10	1	7	9	8	5
8	5	0	11	6	3	2	4	10	1	7	9
7	9	8	5	0	11	6	3	2	4	10	1
10	1	7	9	8	5	0	11	6	3	2	4
2	4	10	1	7	9	8	5	0	11	6	3
6	3	2	4	10	1	7	9	8	5	0	11
0	11	6	3	2	4	10	1	7	9	8	5
8	5	0	11	6	3	2	4	10	1	7	9
7	9	8	5	0	11	6	3	2	4	10	1
10	1	7	9	8	5	0	11	6	3	2	4
2	4	10	1	7	9	8	5	0	11	6	3
6	3	2	4	10	1	7	9	8	5	0	11

0	6	2	10	7	8	0	6	2	10	7	8
9	5	11	3	4	1	9	5	11	3	4	1
10	7	8	0	6	2	10	7	8	0	6	2
3	4	1	9	5	11	3	4	1	9	5	11
0	6	2	10	7	8	0	6	2	10	7	8
9	5	11	3	4	1	9	5	11	3	4	1
10	7	8	0	6	2	10	7	8	0	6	2
3	4	1	9	5	11	3	4	1	9	5	11
0	6	2	10	7	8	0	6	2	10	7	8
9	5	11	3	4	1	9	5	11	3	4	1
10	7	8	0	6	2	10	7	8	0	6	2
3	4	1	9	5	11	3	4	1	9	5	11

0	11	6	3	2	4	10	1	7	9	8	5
8	5	0	11	6	3	2	4	10	1	7	9
7	9	8	5	0	11	6	3	2	4	10	1
10	1	7	9	8	5	0	11	6	3	2	4
2	4	10	1	7	9	8	5	0	11	6	3
6	3	2	4	10	1	7	9	8	5	0	11
0	11	6	3	2	4	10	1	7	9	8	5
8	5	0	11	6	3	2	4	10	1	7	9
7	9	8	5	0	11	6	3	2	4	10	1
10	1	7	9	8	5	0	11	6	3	2	4
2	4	10	1	7	9	8	5	0	11	6	3
6	3	2	4	10	1	7	9	8	5	0	11

0	6	2	10	7	8	0	6	2	10	7	8
9	5	11	3	4	1	9	5	11	3	4	1
10	7	8	0	6	2	10	7	8	0	6	2
3	4	1	9	5	11	3	4	1	9	5	11
0	6	2	10	7	8	0	6	2	10	7	8
9	5	11	3	4	1	9	5	11	3	4	1
10	7	8	0	6	2	10	7	8	0	6	2
3	4	1	9	5	11	3	4	1	9	5	11
0	6	2	10	7	8	0	6	2	10	7	8
9	5	11	3	4	1	9	5	11	3	4	1
10	7	8	0	6	2	10	7	8	0	6	2
3	4	1	9	5	11	3	4	1	9	5	11

0	11	6	3	2	4	10	1	7	9	8	5
8	5	0	11	6	3	2	4	10	1	7	9
7	9	8	5	0	11	6	3	2	4	10	1
10	1	7	9	8	5	0	11	6	3	2	4
2	4	10	1	7	9	8	5	0	11	6	3
6	3	2	4	10	1	7	9	8	5	0	11
0	11	6	3	2	4	10	1	7	9	8	5
8	5	0	11	6	3	2	4	10	1	7	9
7	9	8	5	0	11	6	3	2	4	10	1
10	1	7	9	8	5	0	11	6	3	2	4
2	4	10	1	7	9	8	5	0	11	6	3
6	3	2	4	10	1	7	9	8	5	0	11

0	6	2	10	7	8	0	6	2	10	7	8
9	5	11	3	4	1	9	5	11	3	4	1
10	7	8	0	6	2	10	7	8	0	6	2
3	4	1	9	5	11	3	4	1	9	5	11
0	6	2	10	7	8	0	6	2	10	7	8
9	5	11	3	4	1	9	5	11	3	4	1
10	7	8	0	6	2	10	7	8	0	6	2
3	4	1	9	5	11	3	4	1	9	5	11
0	6	2	10	7	8	0	6	2	10	7	8
9	5	11	3	4	1	9	5	11	3	4	1
10	7	8	0	6	2	10	7	8	0	6	2
3	4	1	9	5	11	3	4	1	9	5	11