Н. Макарова

 

МАГИЧЕСКИЕ КУБЫ ЧЕТВЁРТОГО ПОРЯДКА

 

 

Оказывается, магические кубы начали строить очень давно. Например,  куб 4-го порядка – почти совершенный – был построен французским математиком Пьером Ферма в 1640 году. Вы видите этот куб на рис. 1 (скопировано из [2]).

 

 

 

Рис. 1

 

В этом кубе магическую сумму дают не только все ряды, параллельные рёбрам куба, но и диагонали всех ортогональных сечений куба (то есть всех горизонтальных и всех вертикальных слоёв). Но зато магических сумм нет ни в одной пространственной диагонали куба. Поэтому куб Ферма назван почти совершенным (nearly perfect). Я бы назвала его полумагическим по аналогии с магическими квадратами.

 

Очевидно, что куб Ферма не обладает свойством ассоциативности. Зато каждый горизонтальный слой этого куба является ассоциативным магическим квадратом 4-го порядка с константой ассоциативности равной 65. Вот такой интересный куб был построен ещё в XVII веке!

 

Для магического куба 4-го порядка магическая константа S = 130, а константа ассоциативности (для ассоциативного куба) равна 65 (легко вычислить по формулам, приведённым в статье “Магические кубы третьего порядка”).

 

Далее представлю простые магические кубы 4-го порядка из [1].

Первый куб (стр. 78, Fig.171) вы видите на рис. 2 (здесь и далее куб представляется в виде четырёх горизонтальных слоёв, начиная с верхнего).

 

 

Рис. 2

 

Очевидно, что этот куб ассоциативный. Интересен метод построения этого куба. Сначала заполним все четыре слоя числами от 1 до 64 по порядку: первый слой, второй слой и т. д. (см. рис. 3).

 

 

Рис. 3

 

Теперь числа в выделенных ячейках оставляем на своих местах, а невыделенные ячейки начинаем заполнять с ячейки, содержащей число 63. Запишем в эту ячейку число 2 и далее, двигаясь влево, заполняем невыделенные ячейки и пропускаем выделенные, но при этом на выделенные ячейки тоже считаем порядковое число. Заполнив нижний слой, переходим в соседний слой в правую нижнюю ячейку и заполняем точно так же этот слой и так далее.

 Очень простой и изящный метод. Аналогичный метод применяется при построении магических квадратов чётно-чётного порядка.

 

Второй магический куб из [1] (стр. 80, Fig. 174) показан на рис. 4. Этот куб тоже ассоциативный.

 

 

Рис. 4

 

Интересно отметить, что куб с рис. 4 связан с кубом с рис. 2 преобразованием “плюс-минус 2”, матрицу которого вы видите на рис. 5.

 

 

Рис. 5

 

Аналогично магическим кубам 3-го порядка Эндрюс привёл формулу для простого магического куба 4-го порядка, основанную на кубе, изображённом на рис. 2. Эта формула описывает все магические кубы, подобные кубу с рис. 2, то есть эти кубы заполняются числами, образующими арифметическую прогрессию.

Обозначим первый член прогрессии a, разность прогрессии b, магическую константу куба S. Тогда формулу Эндрюса для магических кубов, подобных кубу с рис. 2, можно записать так:

 

[1]                        S = 4a + bK, где K – постоянная, равная 126 для магического куба 4-го порядка.

 

При a = 1, b = 1 получим традиционный магический куб с рис. 2.

Магический куб по схеме Эндрюса составляется следующим образом (рис. 6):

 

 

Рис. 6

 

Пример, приведённый Эндрюсом (стр. 86, fig. 180): a = 50, S = 704. По этим данным вычисляем b:

 

b = (S – 4a)/K = (704 – 4*50)/126 = 4.

 

На рис. 7 вы видите нетрадиционный магический куб 4-го порядка, построенный с этими значениями по формуле с рис. 6.

 

 

Рис. 7

 

Этот куб тоже ассоциативен, как и куб с рис. 2. Константа ассоциативности магического куба 4-го порядка вычисляется так:

 

K_a = 2S/n = 2S/4 = S/2

 

            как для традиционных, так и для нетрадиционных кубов.

Для куба с рис. 7 константа ассоциативности равна 352.

 

А теперь будем рассматривать магические кубы 4-го порядка, составленные из чисел, образующих 4 арифметических прогрессии с одинаковой разностью b, причём первые члены этих прогрессий тоже образуют арифметическую прогрессию с разностью c. Очевидно, что представленные выше кубы Эндрюса есть частный случай рассматриваемых кубов при c = 16b. В этом случае 4 прогрессии объединяются в одну прогрессию с разностью b.

 

На рис. 8 вы видите формулу, по которой можно построить магические кубы рассматриваемого вида.

 

 

 

Рис. 8

 

Магическая константа и константа ассоциативности кубов, построенных по этой формуле, вычисляются так:

 

S = 4a + 6c + 30b

K_a = S/2 = 2a + 3c + 15b.

 

При  c = 16b имеем формулу Эндрюса [1].

При a = 1, b = 1, c = 16 получаем по данной формуле традиционный магический куб с рис. 2.

 

Приведу пример нетрадиционного магического куба, построенного по формуле с рис. 8.

Положим (произвольно) a = 2, b = 10, c = 11. Сразу можем вычислить магическую константу и константу ассоциативности будущего куба:

 

S = 4*2 + 6*11 + 30*10 = 374

K_a = S/2 = 187.

 

На рис. 9 изображён готовый магический куб

 

 

Рис. 9

 

Представлю ещё один простой магический куб 4-го порядка из [3] (стр. 211 – 212). Этот куб я изобразила в пространстве (рис. 10).

 

 

Рис. 10

 

Легко видеть, что этот куб эквивалентен кубу, изображённому на рис. 2.

 

 

 

Примечание: определение дано по [4].

 

Небольшое пояснение: под поперечными ортогональными сечениями куба понимаются все сечения параллельные граням куба, включая и сами грани.

 

В [5] читаем:  Р. Шрёппель в 1972 г. доказал, что не существует ни одного совершенного куба 4-го порядка.

 

Покажу ещё один почти совершенный куб 4-го порядка из [6], смотрите рис. 11.

Куб представлен в трёх видах. Вы видите все 12 сечений куба, о которых идёт речь в определении. В каждом из этих сечений числа на главных диагоналях дают магическую сумму. Но! Так же, как и в кубе Ферма (см. рис. 1), в этом кубе нет магической суммы чисел на пространственных диагоналях куба.

 

 

Рис. 11

 

 

ПАНТРИАГОНАЛЬНЫЕ  МАГИЧЕСКИЕ  КУБЫ

 

 

 

В пантриагональном магическом кубе порядка n магическую сумму можно получить в 7n² рядах. Минимальный порядок, для которого существует пантриагональный магический куб, равен 4.

 

На рис. 12 вы видите пантриагональный куб 4-го порядка, построенный Хендриксом (скопирован из [8]).

 

 

Рис. 12

 

Покажу этот куб в виде четырёх горизонтальных слоёв, начиная с верхнего (как показаны все предыдущие кубы), смотрите рис. 13.

 

 

Рис. 13

 

На рис. 14 вы видите одно из диагональных сечений куба.

 

 

Рис. 14

 

В этом сечении все диагонали, как главные, так и разломанные, дают магическую сумму. Понятно, что и строки тоже дают магическую сумму, так как они параллельны рёбрам куба.

Очевидно, что этот магический куб не является ассоциативным.

 

Пантриагональный магический куб обладает свойством, аналогичным свойству пандиагональных магических квадратов: горизонтальные и/или вертикальные слои такого куба можно параллельно перемещать произвольное число раз (как можно переставлять строки и столбцы в пандиагональном магическом квадрате – параллельный перенос на торе), при этом куб останется пантриагональным. Так, например, пантриагональным будет такой магический куб (рис. 15):

 

 

Рис. 15

 

Здесь нижний слой куба с рис. 13 перемещён наверх.

Читатели, знакомые с моими статьями о магических квадратах, хорошо знают, что мне нравятся магические квадраты, начинающиеся с числа 1, то есть число 1 находится в левой верхней ячейке квадрата. Для пандиагональных магических квадратов этого можно добиться всегда с помощью параллельного переноса на торе.

А теперь покажу пантриагональный магический куб, который получен из куба с рис. 13 (или из куба с рис. 15) аналогичными преобразованиями. Смотрите этот куб на рис. 15а.

 

 

Рис. 15а

 

Понятно, что с помощью указанных преобразований параллельного смещения горизонтальных и/или вертикальных слоёв куба можно сделать так, что в верхней левой ячейке верхнего слоя куба будет находиться любое из чисел 1 – 64. Но не забывайте, что эти преобразования применимы только к пантриагональным кубам, так же, как параллельный перенос на торе применим только к пандиагональным магическим квадратам.

 

Запишем куб с рис. 13 в четверичной системе счисления, предварительно уменьшив каждый элемент на единицу. Получится такой куб (рис. 16), вроде Эйлерова куба 3-го порядка, приведённого в [7].

 

 

Рис. 16

 

Теперь можно получать из этого куба нетрадиционные пантриагональные магические кубы 4-го порядка, рассматривая его элементы как r-ичные числа (r ≥ 4) и переводя их в десятичную систему счисления. Для r = 10 и переводить ничего не надо, уже имеем готовый магический куб, ну, разве только увеличить все элементы на единицу, чтобы в кубе не содержалось число 0.

 

Покажу нетрадиционный пантриагональный магический куб 4-го порядка, полученный из куба с рис. 16 при r = 8 (рис. 17). Все элементы куба увеличены на единицу.

 

 

Рис. 17

 

А теперь представлю формулу пантриагональных кубов четвёртого порядка аналогичную формуле с рис. 6 (см. рис. 18):

 

 

Рис. 18

 

В этой формуле a – первый член арифметической прогрессии, которую образуют числа, заполняющие куб, b – разность этой прогрессии. При a = 1, b = 1 получаем по данной формуле традиционный пантриагональный магический куб, изображённый на рис. 13.

Так же, как для простых кубов, построенных по формуле с рис. 6, для кубов, построенных по формуле с рис. 18, магическая константа вычисляется следующим образом:

 

[2]                                           S = 4a + 126b.

 

Возьмём теперь те же самые значения переменных a, b, которые взяты в примере для простого магического куба, приведённом Эндрюсом: a = 50, b = 4, и построим нетрадиционный пантриагональный магический куб по формуле с рис. 18. Магическая константа этого куба будет такая же, как в простом кубе Эндрюса, S = 704. Смотрите этот куб на рис. 19.

 

 

Рис. 19

 

Можно построить по формуле с рис. 18 нетрадиционный пантриагональный куб из смешанных чисел. Положим, например: S = 500, a = 20. Тогда по формуле [2] имеем:

 

b = (S – 4a)/126 = (500 – 4*20)/126 = 3¹∕³.

 

Читатели сами могут построить магический куб с такими значениями переменных, используя формулу с рис. 18.

 

А теперь составим формулу пантриагонального магического куба 4-го порядка аналогичную формуле, изображённой на рис. 8. Теперь куб будет составляться из чисел, образующих четыре арифметические прогрессии с одинаковой разностью b, а первые члены этих прогрессий тоже образуют арифметическую прогрессию с разностью c. Вы видите эту формулу на рис. 20.

 

 

 

Рис. 20

 

Магическая константа куба, построенного по данной формуле, вычисляется так:

 

S = 4a + 6c + 30b = 2(2a + 3c + 15b).

 

При c = 16b мы имеем формулу, изображённую на рис. 18. При a = 1, b = 1, c = 16 получим по данной формуле традиционный пантриагональный магический куб с рис. 13.

 

Построим теперь нетрадиционный пантриагональный куб по этой формуле, произвольно выбрав значения переменных a, b, c. Пусть a = 5, b = 11, c = 10. Сразу можно вычислить магическую константу будущего куба:

 

S = 2*(2*5 + 3*10 + 15*11) = 410.

 

На рис. 21 вы видите готовый нетрадиционный пантриагональный магический куб.

 

 

Рис. 21

 

 

МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ МАГИЧЕСКИЕ КУБЫ

 

Все описанные выше магические кубы аддитивные, в них магическую константу даёт сумма чисел. Рассмотрим теперь мультипликативные магические кубы. Как уже знают читатели, в таких кубах магическую константу дают произведения чисел. Когда я приступала к изучению кубов, мне попались в Интернете два мультипликативных магических куба 4-го порядка, но покажу эти кубы после. А пока будем строить мультипликативный куб 4-го порядка так, как строили мультипликативные кубы 3-го порядка. Для этого можно взять любую из формул, изображённых на рис. 8 и рис. 20, и заменить в формуле сложение умножением, а умножение – возведением в степень. И будет готова формула мультипликативного куба. Возьмём формулу  с рис. 20 и на основе её получим следующую формулу (рис. 22):

 

 

 

Рис. 22

 

Магическая константа кубов, построенных по этой формуле, вычисляется так:

 

S = a⁴c⁶b³⁰.

 

Чтобы вычисления были наиболее простыми, возьмём следующие значения переменных для построения мультипликативного куба: a = 1, b = 2, c = 3. Получим такой мультипликативный магический куб (рис. 23):

 

 

Рис. 23

 

Магическая константа этого куба S = 3⁶*2³⁰.

 

Все кубы, построенные по формуле с рис. 22, составляются из чисел, образующих четыре геометрических прогрессии с одинаковым знаменателем b, первые члены которых тоже образуют геометрическую прогрессию с знаменателем c.

 

Интересно отметить, что построенные по предложенной формуле мультипликативные магические кубы обладают свойством пантриагональности в том смысле, что магическую константу дают также числа, расположенные на всех диагоналях (как главных, так и разломанных) любого диагонального сечения куба. Таким образом, эти кубы можно назвать пантриагональными мультипликативными магическими кубами. В таких кубах можно параллельно переносить сколько угодно раз горизонтальные и вертикальные слои, и при этом куб будет оставаться пантриагональным мультипликативным.

 

А теперь обратимся к веб-сайту о мультипликативных кубах (см. [10]). На сайте рассматриваются мультипликативные кубы разных порядков. Покажу два мультипликативных куба 4-го порядка (рис. 24):

 

 

 

Рис. 24

 

Легко увидеть, что эти кубы сконструированы по другой формуле, отличной от представленной мной формулы (см. рис. 22). На сайте вы можете посмотреть формулу построения мультипликативного куба 4-го порядка.

Эти кубы отличаются от построенного мной куба тем, что имеют меньшую магическую константу и заполнены маленькими числами. Зато эти кубы не обладают свойством пантриагональности.

На сайте отмечается, что при построении мультипликативных кубов надо стремиться к наименьшей магической константе и чтобы наибольшее число, содержащееся в кубе, было как можно меньше. Мультипликативный куб 4-го порядка с максимальным числом меньше 364 ещё не удалось построить.

Автор сайта сообщает: в 2008 г. Michael Quist доказал, что для мультипликативных кубов 3-го порядка максимальное число ≥ 400, для кубов 4-го порядка ≥ 221, для кубов 5-го порядка ≥ 442.

 

Аналогичный мультипликативный магический куб построен совсем недавно (в январе текущего года) Максом Алексеевым (активный участник форума dxdy.ru, ник maxal). Построенный Алексеевым куб имеет меньшую магическую константу (при том же максимальном числе 364). Но и куб Алексеева не обладает свойством пантриагональности, он только магический. Покажу этот куб (рис. 25):

 

 

Рис. 25

 

Примечание: куб скопирован с [10].

 

В [10] поставлен вопрос: можно ли построить мультипликативный магический куб 4-го порядка с максимальным числом меньше 364? Для кубов, составленных из натуральных чисел, ответить на этот вопрос сложно. Далее я представляю мультипликативный пантриагональный куб, составленный из иррациональных чисел, в котором максимальное число равно 6.

 

Подобно тому, как Эндрюс рассматривал нетрадиционные магические аддитивные кубы, составленные из смешанных чисел, можно рассматривать нетрадиционные магические мультипликативные кубы, составленные из иррациональных чисел. Положим в формуле с рис. 22: a = 1, b = 2^¹∕15, c = 3^¹∕3. Тогда наибольшее число в магическом кубе будет равно 6, а магическая константа куба будет равна 36. Хотя куб составляется из иррациональных чисел, его магическая константа – целое число. Кроме того, этот куб тоже обладает свойством пантриагональности.

Я построила этот куб и преобразовала его так, что в верней левой ячейке верхнего слоя куба находится число 1; такое преобразование возможно благодаря свойству пантриагональности. Вы видите этот куб на рис. 26.

 

 

 

Рис. 26

 

Вычислив приближённые значения иррациональных элементов, получаем такой мультипликативный магический куб (рис. 27):

 

 

Рис. 27

 

Возникает интересная задача: можно ли построить мультипликативный куб 4-го порядка из натуральных чисел, обладающий свойством пантриагональности, с меньшей магической константой, чем куб, изображённый на рис. 23?

 

***

 

В заключение расскажу об аддитивных магических кубах 4-го порядка, которые получаются из магических квадратов 8-го порядка. Первый такой куб я нашла в [7] (стр. 238, рис.  7.29). Этот куб получается из следующего магического квадрата 8-го порядка (рис. 28):

 

 

 

Рис. 28

Данный квадрат разбивается на 4 квадрата 4х4, как показано на рис. 28, и каждый из этих квадратов является слоем магического куба. Магический куб вы видите на рис. 29.

 

 

Рис. 29

 

В [7] этот магический куб называется совершенным, однако, я не поняла – в каком смысле. Как написано в [5], совершенных магических кубов 4-го порядка (в смысле определения 1) не существует.

 

Другие подобные магические кубы приведены в [11]. Они получаются из следующего магического ассоциативного квадрата 8-го порядка (рис. 30):

 

 

Рис. 30

 

Примечание: автор этого квадрата А. С. Соколовский (Москва).

 

В [11] говорится, что из этого магического квадрата можно получить пантриагональный магический куб (рис. 31) и пантриагональный магический куб, обладающий свойством ассоциативности (рис. 32).

 

 

Рис. 31

 

 

Рис. 32

 

Пользуясь свойством пантриагональности, превращаю куб с рис. 32 в куб, у которого в левой верхней вершине верхнего слоя находится число 1. Этот замечательный пантриагональный и ассоциативный куб вы видите на рис. 33.

 

 

Рис. 33

 

Покажу этот очень интересный магический куб на пространственной картинке (рис. 34):

 

 

 

Рис. 34

 

 

Магические кубы 4-го порядка, составленные из простых чисел, рассматриваются в [12].

Покажу здесь оба куба, приведённые в [12].

На рис. 35 вы видите простой магический куб из простых чисел. Он приведён со ссылкой на [13]. Куб построен в 1977 г. Минимальное простое число в этом кубе 7, максимальное – 2003. Магическая константа куба равна 4020.  Очевидно, что этот куб не является ассоциативным.

 

 

Рис. 35

 

Следующий куб приводится со ссылкой на [14]. Этот куб пантриагональный и ассоциативный. Куб построен в 1985 г. Магическая константа куба равна 19740, константа ассоциативности равна 9870. Минимальное простое число в этом кубе 283, максимальное – 9587. Смотрите куб на рис. 36.

 

 

Рис. 36

 

Когда я строила магические квадраты из простых чисел, старалась делать так, чтобы квадрат начинался с минимального числа.

Пользуясь свойством пантриагональности, преобразуем куб, изображённый на рис. 36, так, чтобы минимальное число 283 находилось в левой верхней ячейке верхнего слоя куба. Преобразованный куб показан на рис. 37.

 

 

Рис. 37

 

Этот куб по-прежнему магический пантриагональный, но утратил свойство ассоциативности.

 

Автор сайта отмечает, что на его веб-странице нет ни одного магического куба, составленного из последовательных простых чисел. Существуют ли такие магические кубы?

 

 

И, наконец, покажу ещё один интересный пантриагональный магический куб из [17]. Смотрите этот куб на рис. 38 – 39.

 

                  

 

Рис. 38

 

 

Рис. 39

 

Другие магические кубы 4-го порядка вы найдёте в [15].

 

В [16] дана подробная классификация групп магических кубов 4-го порядка.

 

 

 

26 января – 12 февраля 2010 г.

г. Саратов

 

 

Л И Т Е Р А Т У Р А

 

[1] Andrews W. S. Magic Squares & Cubes, Dover Publ, 1960 (original publication Open Court, 1917)

Электронная версия книги: http://djm.cc/library/Magic_Squares_Cubes_Andrews_edited.pdf

[2] Веб-сайт http://www.multimagie.com/indexengl.htm

[3] Шуберт Г. Математические развлечения и игры. Перевод с немецкого. – Одесса, 1911.

[4] Статья в журнале “Наука и жизнь” “Совершенный магический куб 8х8х8 и пандиагональный куб 7х7х7”(№6, 1976)

[5] М. Гарднер. Путешествие во времени. Гл. 17. Магические квадраты и кубы. – М.: Мир, 1990.

[6] Веб-сайт http://www.trump.de/magic-squares/magic-cubes/cubes-1.html

[7]  У. Болл, Г. Коксетер. Математические эссе и развлечения. – М.: Мир, 1986.

[8] Веб-сайт http://members.shaw.ca/hdhcubes/cube_perfect.htm

[9] Статья в Википедии “Пантриагональные магические кубы” http://en.wikipedia.org/wiki/Pantriagonal_magic_cube

            [10] Веб-сайт http://www.multimagie.com/English/MultiplicCubes.htm

            [11] Статья в журнале “Наука и жизнь” “Замечательный квадрат” (№ 1, 1979 г.)

[12] Веб-сайт http://www.members.shaw.ca/hdhcubes/cube_prime.htm

[13] Gakuho Abe, Related Magic Squares with Prime Elements, JRM 10:2 1977-78, pp.96-97.

[14] A. W. Johnson, Jr., An Order 4 Prime Magic Cube, JRM 18:1, 1985-86, pp 5-7

[15] Веб-сайт http://members.shaw.ca/hdhcubes/cube_4.htm  Магические кубы 4-го порядка

[16] Веб-сайт http://members.shaw.ca/hdhcubes/cube_groups.htm  Группы кубов 4-го порядка

[17] Веб-сайт http://members.shaw.ca/hdhcubes/cube_unusual.htm

 

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу