Н. Макарова

 

МАГИЧЕСКИЕ КУБЫ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

 

 

О магических кубах написано так много (к сожалению, почти все статьи на английском языке), что придётся изучать их по порядку. Начнём, конечно, с самого простого магического куба – третьего порядка.

 

Первый такой куб мне прислал виртуальный знакомый. Это собственно и послужило хорошим побудительным мотивом, чтобы заняться кубами. К тому же, о магических квадратах уже почти всё исследовано и написано.

Итак, я начинаю исследовать магические кубы. Приглашаю своих читателей к этому интереснейшему занятию.

 

На рис. 1 показываю магический куб 3-го порядка, присланный мне знакомым. Всё началось с этого замечательного кубика! Спасибо моему знакомому Умеду Каримову.

 

 

Рис. 1

 

Этот куб построен словенцем. Впрочем, такой же куб я потом увидела в Википедии (см. [4], [5]).

Я нарисовала этот магический куб в пространстве, смотрите рис. 2.

 

 

Рис. 2

 

В дальнейшем буду изображать магический куб так, как на рис. 1, то есть в виде трёх горизонтальных слоёв куба: верхнего, среднего, нижнего. Связь плоской картинки с объёмной хорошо видна на рис. 1 – 2.

 

Однако пора дать определение магического куба. Определение приводится из [7].

 

 

Сразу замечу, что это определение относится к простым магическим кубам (simple magic cube). Не буду приводить здесь определение совершенных магических кубов, а также всех других видов кубов, так как магический куб 3-го порядка, являющийся предметом настоящей статьи, простой куб. Желающие могут посмотреть классификацию магических кубов в [6].

 

По аналогии с магическими квадратами будем рассматривать также нетрадиционные магические кубы. Это такие кубы, которые заполняются любыми натуральными числами, а условие равенства сумм во всех рядах, параллельных рёбрам куба, и пространственных диагоналях куба тоже, конечно, выполняется. Если не оговорено, что рассматривается нетрадиционный магический куб, то считается, что речь идёт о традиционном магическом кубе.

 

 

Точно так же, как магические квадраты 3-го порядка, все магические кубы 3-го порядка, как традиционные, так и нетрадиционные, ассоциативны.

 

Легко получить формулы для вычисления магической константы куба порядка n и константы ассоциативности для ассоциативного куба. Вот эти формулы:

 

[1]                       S = n(n³ + 1)/2

 

K_a = n³ + 1 = 2S/n

 

В OEIS даже есть последовательность магических констант классических магических кубов. Смотрите здесь:

 

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A027441

 

Хотя эту последовательность вы очень просто можете получить сами по формуле [1]. Так, например, магическая константа куба 3-го порядка равна 42, куба 4-го порядка – 130, куба 5-го порядка – 315 и т. д.

 

Константа ассоциативности куба 3-го порядка равна 28, в центре магического куба 3-го порядка всегда находится число 14 = K_a/2 = S/3.

 

Как же построить традиционный магический куб 3-го порядка? Один из способов я нашла в [2] (стр. 236 – 237). Приведён вот такой Эйлеров куб (рис. 3):

 

 

 

Рис. 3

 

Как я понимаю, это аналог греко-латинского квадрата. Чтобы из этого Эйлерова куба получить магический куб, надо считать элементы этого куба троичными числами и перевести их в десятичную систему счисления, увеличив затем каждый элемент на единицу. Полученный магический куб вы видите на рис. 4.

 

 

Рис. 4

 

Это один из основных магических кубов 3-го порядка. Всего же магических кубов 3-го порядка с учётом поворотов и отражений 4. Второй основной куб изображён на рис. 1 - 2.

 

Цитата из [3]:

 

 “Разочарованные несуществованием совершенных кубов порядка 3 любители магических кубов решили ослабить требования и определить разновидность полусовершенных кубов, которые, по-видимому, существуют во всех порядках больше 2. Так называются кубы, в которых магическими являются только прямые, параллельные рёбрам куба, и 4 пространственные диагонали. Назовём их кубами Эндрюса в честь У. Эндрюса, посвятившего им две главы в своей пионерской работе “Магические квадраты и кубы” (1917). Куб Эндрюса порядка 3 должен быть ассоциативным с числом 14 в центральной клетке. Таких кубов (с точностью до поворотов и отражений) существует всего 4. Все они приведены в книге Эндрюса, хотя он не сознавал, что ими исчерпываются все основные типы”.

 

Примечание: не совсем удачно сказано: “магическими являются только прямые, параллельные рёбрам куба”; возможно, это неточность перевода. Лучше сказать так: “магическими являются только ряды, параллельные рёбрам куба”. Не очень хорошо звучит и “во всех порядках больше 2”, лучше было бы “для всех порядков больше 2”.

 

Понятно, что “кубы Эндрюса” это и есть простые магические кубы.

 

Ещё два основных магических куба 3-го порядка представлены на рис. 5 – 6. Эти кубы взяты из [9].

 

 

Рис. 5

 

 

Рис. 6

 

Покажу, как в [9] изображены 4 основных магических куба 3-го порядка (рис. 6а):

 

 

Рис. 6а

 

Сколько же эквивалентных вариантов имеет каждый из основных магических кубов 3-го порядка? Поиграйте с кубом, изображённым на рис. 4. Понятно, что куб можно поставить на любую из 6 граней. Как ещё можно преобразовать куб 3-го порядка? Подумайте! На рис. 7 вы видите один из вариантов основного куба с рис. 4.

 

 

Рис. 7

 

Как известно, для магического квадрата 3-го порядка существует всего 8 вариантов, считая основной вариант. Я пока не сосчитала все варианты, порождаемые одним основным магическим кубом 3-го порядка. Наверное, их будет много. Предлагаю читателям посчитать.

 

Примечание: на приведённой картинке (рис. 6а), кажется, говорится о всех вариантах основного магического куба, но я не понимаю, что означает число 58 и как получено число 384.

 

Следует отметить, что в магическом кубе 3-го порядка благодаря его ассоциативности магическую сумму дают диагонали, а также некоторые строки и столбцы (не параллельные рёбрам куба) всех сечений куба, проходящих через центр. На рис. 7а показано несколько таких сечений для куба, изображённого на рис. 2.

 

 

 

 

Рис. 7а

 

Таким образом, в магическом кубе 3-го порядка можно получить не 3n² + 4 магических сумм, как в любом простом кубе порядка n, а 9n² = 81 магических сумм [2].

 

На основе магического куба с рис. 4 я составила такую алгебраическую формулу магических кубов 3-го порядка (рис. 8):

 

 

Рис. 8

 

В этой формуле переменная a может принимать значения от 1 до 27 для традиционных кубов и любые натуральные значения для нетрадиционных кубов, b и c любые целые числа и нуль, но не равны нулю одновременно. Если переменные b и c будут отрицательными целыми числами, то в кубе могут содержаться отрицательные числа, но от них легко избавиться, увеличив все элементы куба на одно и то же число.

Магический куб, изображённый на рис. 4, получается по этой формуле при следующих значениях переменных:

 

a = 1, b = 1, c = 9.

 

Эта формула составлена на основе того факта, что в традиционном магическом кубе все числа разбиваются на три арифметические прогрессии длины 9 с одинаковой разностью b, а первые члены этих прогрессий тоже образуют арифметическую прогрессию с разностью c (вообще-то для традиционного куба все числа образуют одну прогрессию длины 27 с разностью b = 1, но эту прогрессию, конечно, можно разбить на три прогрессии длины 9).

Магическая константа куба, построенного по данной формуле, вычисляется так:

 

S = 3(a + c + 4b)

 

в чём легко убедиться, сложив элементы в любом ряду куба, параллельном ребру куба, а также в любой пространственной диагонали куба, изображённого на рис. 8.

 

Полученная формула позволяет строить нетрадиционные магические кубы, которые составляются из чисел арифметических прогрессий указанного вида. Но о нетрадиционных магических кубах чуть позже.

 

Запрограммировав данную формулу и позволив переменной a принять все значения от 1 до 27, я получила по программе 8 магических кубов, вот они (программа выводит по порядку числа в верхнем, среднем и нижнем слоях куба):

 

 18  23  1  22  3  17  2  16  24  20  7  15  9  14  19  13  21  8  4  12  26  11  25  6  27  5  10

 26  15  1  12  7  23  4  20  18  6  19  17  25  14  3  11  9  22  10  8  24  5  21  16  27  13  2

 26  13  3  10  9  23  6  20  16  4  21  17  27  14  1  11  7  24  12  8  22  5  19  18  25  15  2

 10  23  9  24  7  11  8  12  22  26  3  13  1  14  27  15  25  2  6  16  20  17  21  4  19  5  18

 18  5  19  4  21  17  20  16  6  2  25  15  27  14  1  13  3  26  22  12  8  11  7  24  9  23  10

 2  15  25  18  19  5  22  8  12  24  7  11  1  14  27  17  21  4  16  20  6  23  9  10  3  13  26

 2  13  27  16  21  5  24  8  10  22  9  11  3  14  25  17  19  6  18  20  4  23  7  12  1  15  26

 10  5  27  6  25  11  26  12  4  8  21  13  19  14  9  15  7  20  24  16  2  17  3  22  1  23  18

 

Очевидно, что первый куб, полученный программой, - это магический куб с рис. 4. Покажу наглядно второй куб, выданный программой (рис.  9):

 

 

Рис. 9

 

Легко видеть, что этот куб эквивалентен кубу с рис. 4. Чтобы это было нагляднее, покажу оба куба в пространстве; на рис. 10 куб с рис. 4, на рис. 11 куб с рис. 9.

 

    

 

Рис. 10

 

    

 

Рис. 11

 

Предлагаю читателям внимательно рассмотреть остальные кубы, полученные программой.

 

А теперь построим по приведённой формуле нетрадиционный магический куб. Для этого выберем произвольные значения переменных a, b и c, например, такие:

 

a = 2, b = 5, c = 11.

 

Получаем при этих значениях переменных такой нетрадиционный магический куб (рис. 12):

 

 

Рис. 12

 

Проверим формулу для магической константы:

 

S = 3(a + c + 4b) = 3*(2 + 11 + 4*5) = 99.

 

Всё верно, куб действительно имеет такую магическую константу.

Заметьте, что этот куб тоже ассоциативен (как уже было отмечено, все магические кубы 3-го порядка ассоциативны), и константа ассоциативности вычисляется точно так же, как и для традиционного магического куба:

 

K_a = 2S/3 = 2*99/3 = 66.

 

Я не нашла три арифметические прогрессии из простых чисел длины 9 с одинаковой разностью да ещё такие, что первые члены тоже образуют арифметическую прогрессию. Поэтому составляю магический куб из членов одной прогрессии длины 9. Имеем:

 

a = 199, b = 210, c = 0.

 

На рис. 13 вы видите готовый магический куб из простых чисел, полученный по формуле с рис. 8 при таких значениях переменных.

 

 

Рис. 13

 

Понятно, что числа в этом кубе повторяются. S = 3*(199 + 0 + 4*210) = 3117, K_a = 2*3117/3 = 2078.

 

Аналогичный магический куб составляю из чисел Смита (прогрессия длины 9 из чисел Смита взята на форуме dxdy.ru).

Имеем:

 

a = 502015, b = 2700, c = 0.

 

На рис. 14 изображён готовый магический куб из чисел Смита.

 

 

Рис. 14

 

В этом кубе S = 3*(502015 + 0 + 4*2700) = 1538445, K_a = 2*1538445/3 = 1025630.

 

Представлю ещё одну формулу. Теперь будем считать, что все числа, заполняющие магический куб, разбиваются на 9 арифметических прогрессий длины 3 с одинаковой разностью b, а первые члены этих прогрессий тоже образуют арифметическую прогрессию с разностью c. Формула составляется на основе того же магического куба с рис. 4. Смотрите формулу на рис. 15.

 

 

Рис. 15

 

Условия для значений переменных такие же, как в первой формуле. Магический куб с рис. 4 по этой формуле получается при таких значениях переменных:

 

a = 1, b = 1, c = 3.

 

Магическая константа кубов, построенных по формуле с рис. 15, вычисляется так:

 

S = 3(a + b + 4c)

 

Построим по данной формуле нетрадиционный магический куб при тех же значениях переменных, которые мы выбрали при построении нетрадиционного магического куба из произвольных натуральных чисел по первой формуле:

 

a = 2, b = 5, c = 11.

 

Готовый магический куб вы видите на рис. 16.

 

 

Рис. 16

 

Очевидно, что куб получился совсем другой (сравните с кубом на рис. 12).

 

Теперь построим по этой формуле магические кубы из простых чисел и из чисел Смита, взяв для построения одну прогрессию длины 3. Понятно, что это будут кубы с повторяющимися числами. Для куба из простых чисел имеем (куб изображён на рис. 17):

 

a = 3, b = 2, c = 0.

 

 

Рис. 17

 

Можно выбрать любую другую арифметическую прогрессию длины 3 из простых чисел, но построенный куб наименьший, его магическая константа равна 15.

 

Для куба из чисел Смита имеем (куб изображён на рис. 18):

 

a = 627, b = 9, c = 0.

 

 

Рис. 18

 

Хотя числа в этих двух кубах повторяются, но всё равно интересные экземпляры.

 

Как известно, из простых чисел уже нашли арифметическую прогрессию длины 25. Осталось чуть-чуть до прогрессии дины 27. Тогда  из членов этой арифметической прогрессии можно будет построить магический куб из различных простых чисел. Впрочем, такой куб уже построен (даже два куба) Akio Suzuki в 1977 г., о чём будет рассказано дальше. Кубы Suzuki построены не из чисел арифметических прогрессий.

 

А теперь построим по формуле с рис. 15 все традиционные кубы. Для этого составляю программу, позволив переменной а принять все значения от 1 до 27.

 

Выполнила программу и опять получила 8 магических кубов:

 

18  23  1  22  3  17  2  16  24  20  7  15  9  14  19  13  21  8  4  12  26  11  25  6  27  5  10

         24  17  1  8  19  15  10  6  26  16  3  23  21  14  7  5  25  12  2  22  18  13  9  20  27  11  4

         16  23  3  24  1  17  2  18  22  20  9  13  7  14  21  15  19  8  6  10  26  11  27  4  25  5  12

         22  11  9  2  27  13  18  4  20  12  7  23  25  14  3  5  21  16  8  24  10  15  1  26  19  17  6

         6  17  19  26  1  15  10  24  8  16  21  5  3  14  25  23  7  12  20  4  18  13  27  2  9  11  22

         12  5  25  4  27  11  26  10  6  8  19  15  21  14  7  13  9  20  22  18  2  17  1  24  3  23  16

         4  11  27  20  9  13  18  22  2  12  25  5  7  14  21  23  3  16  26  6  10  15  19  8  1  17  24

10  5  27  6  25  11  26  12  4  8  21  13  19  14  9  15  7  20  24  16  2  17  3  22  1  23  18

 

Очевидно, что первый куб – это куб с рис. 4. Покажу наглядно второй куб, выданный программой (рис. 19):

 

 

Рис. 19

 

Легко увидеть, что этот куб эквивалентен кубу с рис. 4 (этот вариант показан на рис. 7). Предлагаю читателям рассмотреть остальные 6 магических кубов.

 

Следует отметить, что приведённые формулы можно составить, используя другой основной магический куб, тогда эти формулы будут давать этот основной куб и эквивалентные ему кубы.

 

Итак, мы имеем две формулы, по которым можно строить как традиционные, так и нетрадиционные магические кубы 3-го порядка. Во всех кубах, построенных по этим формулам, заполняющие их числа либо образуют одну арифметическую прогрессию длины 27; либо 3 прогрессии длины 9 с одинаковой разностью такие, что первые члены этих прогрессий тоже образуют арифметическую прогрессию; либо 9 прогрессий длины 3 с одинаковой разностью, первые члены которых тоже образуют арифметическую прогрессию. Однако магические кубы 3-го порядка, в отличие от магических квадратов 3-го порядка, могут быть построены не только из чисел, образующих арифметические прогрессии (указанных видов). Таким образом, эти условия для чисел массива, из которого мы хотим построить магический куб 3-го порядка, являются достаточными для построения такого куба, но не являются необходимыми.

 

Расскажу, как я построила первый нетрадиционный магический куб 3-го порядка из чисел, которые не образуют арифметических прогрессий указанных видов. Сначала я построила магический куб по формуле с рис. 8, вот такой (рис. 20):

 

 

Рис. 20

 

Теперь применяю к этому кубу преобразование “плюс-минус 5”, вот так:

 

35 + 5, 11 – 5, 12 – 5, 48 + 5, 14 – 5, 50 + 5, 51 + 5, 27 – 5.

 

В результате такого преобразования получаю магический куб, построенный из чисел, которые не складываются ни в какие арифметические прогрессии указанных видов (рис. 21):

 

 

Рис. 21

 

Примечание: интересный факт – преобразование “плюс-минус …”, обнаруженное мной при исследовании магических квадратов 5-го порядка, применимо и к магическим кубам. Вот кстати оно мне здесь пригодилось.

 

Очевидно, что в преобразованном кубе не изменились ни магическая константа, ни константа ассоциативности.

 

Построив этот магический куб, я пошла по ссылке, приведённой на форуме dxdy.ru, смотреть магические кубы из простых чисел. [10]

На сайте приведены два магических куба 3-го порядка из простых чисел, оба они построены Akio Suzuki в 1977 г. Воспроизведу эти магические кубы (рис. 22 – 23).

 

 

Рис. 22

 

 

Рис. 23

 

Посмотрев внимательно на эти магические кубы, я обнаружила, что они строятся по моей формуле с последующим преобразованием “плюс-минус …”, только преобразование это комбинированное и полностью преобразовывает верхний и нижний слои, оставляя средний слой без изменения. Так появилась следующая общая формула магических кубов 3-го порядка (рис. 24):

 

 

Рис. 24

 

Очевидно, что формула получена из формулы с рис. 8 добавлением переменных x_i, i = 1, 2, …, 9. Значения переменных a, b, c могут быть любыми целыми числами и нулём, но b и c не равны нулю одновременно. Переменные x_i должны образовывать полумагический квадрат с магической константой равной нулю (см. рис. 25).

 

 

Рис. 25

 

Кроме того, переменные x_i должны удовлетворять следующим условиям:

 

x₁ = x₉

x₂ = x₈

x₃ = x₇

x₄ = x₆

 

 

Магический куб с рис. 21 получается по приведённой формуле при следующих значениях переменных:

 

a = 11, b = 1, c = 16, x₁ = 5, x₂ = 0, x₃ = - 5, x₄ = 0, x₅ = 0, x₆ = 0, x₇ = - 5, x₈ = 0, x₉ = 5.

 

Магический куб с рис. 22 получается по этой формуле при следующих значениях переменных:

 

a = 407, b = 180, c = 426, x₁ = - 2010, x₂ = 330, x₃ = 1680, x₄ = 330, x₅ = - 660, x₆ = 330, x₇ = 1680, x₈ = 330, x₉ = - 2010.

 

Формула для вычисления магической константы куба, построенного по общей формуле с рис. 24, остаётся такой же, как для формулы с рис. 8:

 

S = 3(a + c + 4b)

 

Так, для куба с рис. 22 имеем:

 

S = 3*(407 + 426 + 4*180) = 4659.

 

Итак, прогрессии для построения нетрадиционного магического куба 3-го порядка не нужны (точнее, они не обязательны). Но массив чисел, из которых строится магический куб, должен удовлетворять условиям: сумма всех чисел массива кратна 27; магическая константа куба S (получается делением суммы всех чисел массива на 9) кратна 3 и среди чисел массива есть число равное S/3. Это число будет находиться в центре магического куба. Остальные 26 чисел массива должны разбиваться на 13 пар комплементарных чисел (то есть дающих в сумме константу ассоциативности куба K_a). Константа ассоциативности куба вычисляется по формуле: K_a = 2S/3.

Для первого магического куба Suzuki (рис. 22) K_a = 3106.

 

Найдя такую интересную формулу магического куба 3-го порядка, сразу проверяю второй магический куб Suzuki (рис. 23), получается ли он по этой формуле. Да! Этот магический куб получается по приведённой формуле при следующих значениях переменных:

 

a = 1139, b = - 90, c = 324, x₁ = 816, x₂ = 6, x₃ = - 822, x₄ = 6, x₅ = - 12, x₆ = 6, x₇ = - 822, x₈ = 6, x₉ = 816.

 

В [10] сформулированы две проблемы, относящиеся к магическим кубам из простых чисел. Приведу цитату:

 

“Challenges

What is the smallest possible prime number magic cube? Now answered for order 3.

What is the smallest possible consecutive prime numbers magic cube?
If such a cube is possible, it would use astronomically large numbers. Nelson [4] constructed the first order-3 magic square using 9 consecutive prime numbers starting with 1480028129. An order-3 prime cube would require a string of 27 suitable consecutive prime numbers!”

 

Как я поняла, первый вопрос о том, являются ли магические кубы Suzuki из простых чисел наименьшими. Вторая проблема хорошо понятна: не построен магический куб из последовательных простых чисел. Да, это сложная проблема.

 

***

 

Скажу ещё несколько слов об общей формуле магического куба 3-го порядка, полученной мной (рис. 24). Является ли эта формула действительно общей? Понятно, что это надо строго доказать. При этом требуется доказать две теоремы: прямую и обратную. Прямая теорема может быть сформулирована так:

 

Теорема 1 (прямая): любой куб, построенный по формуле с рис. 24 при выполнении всех условий для входящих в формулу переменных, является магическим.

 

Эта теорема доказывается элементарно. Вторая теорема формулируется так:

 

Теорема 2 (обратная): любой магический куб 3-го порядка (как традиционный, так и нетрадиционный) может быть получен по формуле с рис. 24 при определённых значениях переменных.

 

Эту теорему доказать сложнее. Надо подумать. Но мне кажется, что и эта теорема тоже справедлива.

Чтобы доказать, что эта теорема неверна, надо привести пример такого магического куба, который не может быть получен по данной формуле ни при каких значениях переменных. То есть нужен контр-пример. У меня есть только примеры, подтверждающие справедливость теоремы.

 

***

 

А теперь на основе полученной мной общей формулы магического куба 3-го порядка можно попробовать построить наименьшие магические кубы из простых чисел и из смитов, а также и из последовательных простых и смитов.

Я составила программу, которая строит магический куб по заданному среднему слою. В качестве среднего слоя можно взять любой магический квадрат 3-го порядка. Приведу пример. Средний слой – наименьший магический квадрат 3-го порядка из смитов. Ввожу средний слой в программу и мгновенно получаю следующий магический куб (рис. 26):

 

 

Рис. 26

 

Чтобы избавиться от отрицательных чисел, выполняю преобразование “плюс-минус 88” в выделенных ячейках. Получаю такой магический куб (рис. 27):

 

 

Рис. 27

 

Получен магический куб, в котором все элементы среднего слоя являются смитами. Теперь можно подключить переменные x_i и попытаться получить смиты в верхнем и нижнем слоях куба. Куб с переменными x_i будет выглядеть так (рис. 28):

 

 

Рис. 28

 

Переменные x_i должны удовлетворять приведённым выше условиям. Разумеется, в данном конкретном примере решение может и не найтись. Но магических квадратов 3-го порядка из простых чисел и из смитов можно построить много (не проблема), и с каждым таким квадратом в качестве среднего слоя куба можно экспериментировать. Кстати при подключении переменных x_i могут исчезнуть одинаковые числа.

 

Можно запрограммировать всю формулу с рис. 24 сразу на поиск всех трёх слоёв куба. Предлагаю читателям попробовать решить эту интересную и непростую задачу.

 

Приведу ещё два примера. Берём в качестве среднего слоя куба магический квадрат из смитов, получаем такой магический куб (рис. 29):

 

 

Рис. 29

 

Наконец, в последнем примере в качестве среднего слоя взят магический квадрат из простых чисел, готовый магический куб вы видите на рис. 30.

 

 

Рис. 30

 

В этом кубе только 10 чисел не являются простыми.

Мне удалось получить магический куб, в котором только 6 чисел из 27 не являются простыми (рис. 31). Этот куб получен по другой программе (не по заданному среднему слою).

 

 

Рис. 31

 

Магические кубы 3-го порядка из простых чисел Suzuki имеют константы 3309 и 4659. Можно ли построить магический куб 3-го порядка из (различных) простых чисел с меньшей магической константой?

А может быть, такие кубы уже построены, просто автор сайта [10] о них не знает? На этой веб-странице написано, что она обновлялась в октябре 2009 г.

 

***

 

Всё, рассказанное выше, относится к аддитивным магическим кубам; в таких кубах магическую константу дают суммы чисел. Так же, как и квадраты, кубы могут быть ещё магическими мультипликативными, в таких кубах магическую константу дают не суммы, а произведения чисел.

 

На каком-то сайте видела мультипликативный магический куб 4-го порядка. Мультипликативный магический куб 3-го порядка мне не попался, и я решила сама его построить. Но сначала дам определение.

 

 

Одинаковое произведение тоже будем называть магической константой куба и обозначать S.

 

А теперь приведу формулу для построения мультипликативных кубов. Все кубы, построенные по этой формуле, составляются из чисел, образующих три геометрических прогрессии длины 9 с одинаковым знаменателем, причём первые члены этих прогрессий тоже образуют геометрическую прогрессию. Формула очень просто получается из формула с рис. 8. Продублирую эту формулу для наглядности (рис. 31а):

 

 

Рис. 31а

 

На рис. 32 вы видите формулу для мультипликативных магических кубов 3-го порядка.

 

 

Рис. 32

 

Если вы внимательно посмотрите на эту формулу и сравните её с формулой с рис. 31а, то увидите, как она получена: сложение в формуле с рис. 31а   заменено умножением, а умножение – возведением в степень.

Магическая константа любого куба, построенного по данной формуле, вычисляется так:

 

S = a³c³b¹² = (acb⁴)³

 

Таким образом, магическая константа мультипликативных кубов, построенных по приведённой формуле, равна кубу центрального элемента. Впрочем, это верно для любого мультипликативного куба 3-го порядка.

 

Положим: a = 1, b = 2, c = 3. На рис. 33 вы видите готовый мультипликативный куб 3-го порядка, построенный при таких значениях переменных по формуле с рис. 32.

 

 

Рис. 33

 

Магическая константа этого куба S = (1*3*2⁴)³ = 110592.

Есть у мультипликативного куба 3-го порядка и константа ассоциативности – это произведение любых двух элементов, расположенных симметрично относительно центра куба. В кубе на рис. 33 константа ассоциативности равна 2304. Очевидно, что константа ассоциативности равна квадрату центрального элемента: K_a = (acb⁴)².

 

Вот такой интересный кубик получился. Он мне так понравился, что я решила изобразить его в пространстве (рис. 34).

 

 

 

Рис. 34. Мультипликативный магический куб

 

Преобразуем этот куб точно так, как было показано для нетрадиционного аддитивного магического куба, только теперь надо применить преобразование не “плюс-минус …”, а “умножить-разделить”. Выполним, например, такое преобразование:

 

768*1/2, 1*2, 2*2, 288*1/2, 8*2, 1152*1/2, 2304*1/2, 3*2.

 

В результате такого преобразования получаем новый мультипликативный куб, который составлен из чисел, не складывающихся в геометрические прогрессии указанного выше вида. Смотрите этот куб на рис. 35.

 

 

Рис. 35

 

Правда, в кубе появились одинаковые числа, но это не столь важно.

Тогда можно предложить такую общую формулу мультипликативных магических кубов 3-го порядка, по аналогии с общей формулой с рис. 24 (рис. 36):

 

 

Рис. 36

 

Условия для переменных таковы: a, b, c любые натуральные числа, но b и c не равны 1 одновременно; x_i образуют полумагический мультипликативный квадрат 3-го порядка с магической константой равной 1; кроме того, переменные x_i удовлетворяют условиям:

 

x₁ = x₉, x₂ = x₈, x₃ = x₇, x₄ = x₆

 

В кубе могут оказаться дробные числа, но от них легко избавиться, умножив все элементы куба на одно и то же число.

Куб, изображённый на рис. 35, получается по данной формуле при следующих значениях переменных:

 

a = 1, b = 2, c = 3, x₁ = ½, x₂ = 1, x₃ = 2, x₄ = 1, x₅ = 1, x₆ = 1, x₇ = 2, x₈ = 1, x₉ = ½

 

На рис. 37 показан мультипликативный полумагический квадрат с магической константой равной 1, образованный переменными x_i.

 

 

Рис. 37

 

Очень легко доказать, что любой куб 3-го порядка, построенный по формуле с рис. 36, при выполнении условий для входящих в формулу переменных, является мультипликативным магическим кубом с магической константой S = (acb⁴)³. Обратное утверждение доказать сложнее.

 

Понятно, что геометрических прогрессий из простых чисел не существует. Из чисел Смита мне удалось найти только геометрическую прогрессию длины 3: 27, 729, 19683. Полагая в формуле с рис. 32

 

a = 27, b = 1, c = 27

 

построим мультипликативный магический куб, в котором будут фигурировать эти три числа Смита (рис. 38).

 

 

Рис. 38

 

Если существует геометрическая прогрессия длины 9 из чисел Смита, тогда можно построить по предложенной формуле (рис. 32) мультипликативный магический куб 3-го порядка, в котором будут фигурировать девять различных чисел Смита.

Наконец, по общей формуле (рис. 36) можно попытаться построить мультипликативный магический куб 3-го порядка из различных чисел Смита. Вряд ли удастся построить такой куб из последовательных чисел Смита, но из произвольных вполне может получиться.

 

Отмечу, что из простых чисел нельзя построить мультипликативный магический куб 3-го порядка, так как средний слой такого куба в любом случае является мультипликативным магическим квадратом 3-го порядка, а такой квадрат может быть составлен только из чисел, образующих три геометрических прогрессии длины 3 с одинаковым знаменателем, первые члены которых тоже образуют геометрическую прогрессию.

 

В заключение покажу ещё два мультипликативных куба, построенных по приведённым формулам при следующих значениях переменных: a = 5, b = 2, c = 3. Сразу можем вычислить магическую константу обоих кубов:

 

S = (acb⁴)³ = (5*3*2⁴)³ = 13824000.

 

Сначала строим куб по формуле с рис. 32 (без использования переменных x_i). Этот куб вы видите на рис. 39.

 

 

Рис. 39

 

Далее я запрограммировала формулу с рис. 36 (с использованием переменных x_i) и по программе построила множество различных магических мультипликативных кубов с такой же магической константой. На рис. 40 представлен один из таких кубов.

 

 

Рис. 40

 

Значения переменных x_i для этого куба таковы:

 

x₁ =1, x₂ = ½ , x₃ = 2, x₄ = ½ , x₅ = 4, x₆ = ½ , x₇ = 2, x₈ = ½ , x₉ = 1.

 

Константа ассоциативности обоих кубов тоже одинакова и равна 240² = 57600.

 

***

 

Возвращаюсь к аддитивным магическим кубам. Есть ещё что рассказать.

Во-первых, забыла сказать, что из Эйлерова куба (см. рис. 3) получается ещё одна формула для построения магических кубов 3-го порядка. Для этого надо смотреть на элементы Эйлерова куба, как на r-ичные числа (r ≥ 3), и перевести их в десятичную систему счисления. При r = 3 получаем традиционный магический куб (см. рис. 4).

Чтобы в кубе не было числа 0, будем увеличивать все элементы куба на единицу. При r = 4 получаем такой нетрадиционный магический куб (рис. 41):

 

 

Рис. 41

 

Теперь проверим на этом новом нетрадиционном магическом кубе общую формулу (см. рис. 24). Данный магический куб получается по общей формуле при следующих значениях переменных:

 

a = 3, b = 1, c = 15, x₁ = 1, x₂ = 1, x₃ = - 2, x₄ = 1, x₅ = - 2, x₆ = 1, x₇ = - 2, x₈ = 1, x₉ = 1.

 

Построим ещё один нетрадиционный магический куб по Эйлерову кубу, при r = 5 (рис. 42):

 

 

Рис. 42

 

Этот куб получается по общей формуле с рис. 24 при таких значениях переменных:

 

a = 5, b = 1, c = 23, x₁ = 2, x₂ = 2, x₃ = - 4, x₄ = 2, x₅ = - 4, x₆ = 2, x₇ = - 4, x₈ = 2, x₉ = 2.

 

Таким образом, ещё два примера подтверждают справедливость общей формулы с рис. 24.

 

Представлю формулу построения магического куба по Эйлерову кубу в общем виде (рис. 44):

 

 

Рис. 44

 

Напомню, что в формуле r ≥ 3. Магическая константа и константа ассоциативности кубов, построенных по приведённой формуле, вычисляются так:

 

S = 3(r² + r + 2)

K_a = 2(r² + r + 2)

 

 

Замечу, что при r = 10 достаточно все элементы Эйлерова куба увеличить на единицу, рассматривая их как десятичные числа, и магический куб готов (рис. 45).

 

 

Рис. 45

 

Впрочем, можно даже и не увеличивать на единицу, но тогда в кубе будет присутствовать число 0.

 

***

 

Далее я запрограммировала общую формулу с рис. 24 для поиска магических кубов из простых чисел. Программа работает. Проблема только в диапазоне изменения переменных x_i, чем больше этот диапазон, тем дольше работает программа. Поясню на примере магического куба Suzuki. Ввожу в программу средний слой этого куба. В том диапазоне, какой у меня задан в программе для изменения переменных x_i, программа выдаёт два магических куба из простых чисел, но в обоих кубах есть одинаковые числа. Покажу эти кубы (рис. 46 – 47).

 

 

Рис. 46

 

 

Рис. 47

 

Значения переменных x_i, при которых получается магический куб Suzuki, не входят в заданный в программе диапазон, но если я задаю эти значения искусственно, куб Suzuki получается.

 

Итак, программа строит магические кубы из простых чисел, но только с повторениями чисел. Приведу ещё пример. Теперь возьмём в качестве среднего слоя такой магический квадрат из простых чисел (рис. 48):

 

 

Рис. 48

 

Ввожу в программу этот средний слой, программа выдаёт 12 вариантов верхнего и нижнего слоёв, все они составлены из простых чисел, но во всех кубах числа повторяются. Покажу эти варианты так, как они записаны программой в файл:

 

71  107  89  89  11  167  107  149  11  167  29  71  11  167  89  89  71  107

            89  89  89  71  47  149  107  131  29  149  47  71  29  131  107  89  89  89

            89  107  71  89  11  167  89  149  29  149  29  89  11  167  89  107  71  89

            107  89  71  71  47  149  89  131  47  131  47  89  29  131  107  107  89  71

            131  47  89  29  131  107  107  89  71  107  89  71  71  47  149  89  131  47

            131  107  29  89  11  167  47  149  71  107  29  131  11  167  89  149  71  47

            149  29  89  11  167  89  107  71  89  89  107  71  89  11  167  89  149  29

            149  47  71  29  131  107  89  89  89  89  89  89  71  47  149  107  131  29

            149  89  29  71  47  149  47  131  89  89  47  131  29  131  107  149  89  29

            149  107  11  89  11  167  29  149  89  89  29  149  11  167  89  167  71  29

            167  29  71  11  167  89  89  71  107  71  107  89  89  11  167  107  149  11

            167  89  11  71  47  149  29  131  107  71  47  149  29  131  107  167  89  11

 

Покажу наглядно первый вариант (рис. 49):

 

 

Рис. 49

 

Теперь, как говорится, дело техники. Надо переписать программу на другой язык программирования и выполнить её для достаточно большого диапазона изменения переменных x_i и соответственно большого массива простых чисел.

Если кто-нибудь заинтересовался этой задачей, пишите мне.

 

***

 

Сегодня перевела веб-страницу [10] в Google и обнаружила вот такую фразу:

 

Дополнение: В результате поиска компьютеров, Аллен Wm, Джонсон младший [2] подтвердил, что Куба имеет наименьшие возможные суммы для порядка 3 Премьер Magic Cube помощью различных цифр.

 

Таким образом, доказано, что магический куб Suzuki с магической константой 3309 является наименьшим.

Теперь будем строить наименьший магический куб из чисел Смита. Правда, как я поняла, из последовательных простых чисел магический куб 3-го порядка пока не построен.

 

На рис. 27, 29 приведены два магических куба, построенные по среднему слою, являющемуся магическим квадратом из смитов. Как уже сказано, в качестве среднего слоя можно взять любой магический квадрат. Магические квадраты 3-го порядка из смитов построить очень просто (у меня есть такая программа). Построила ещё несколько квадратов из смитов с магическими константами 6114, 8922, 11838 и 14754 (рис. 50 – 51).

 

 

Рис. 50

 

 

Рис. 51

 

Взяв в качестве среднего слоя квадрат с рис. 51, получаю такой магический куб (рис. 52):

 

 

Рис. 52

 

Теперь надо в верхнем и нижнем слоях подключить переменные x_i, как показано выше (см. рис. 28), и попытаться получить в этих слоях числа, являющиеся смитами (сейчас в этих слоях только 6 чисел являются смитами).

И так можно экспериментировать с множеством различных средних слоёв, представляющих собой магические квадраты из смитов. Напомню, что магический куб по заданному среднему слою строится по формуле, изображённой на рис. 8.

 

Магических кубов из смитов с повторяющимися числами я получила очень много, вот два примера (рис. 53 - 54); оба куба получены из магического куба с рис. 29 подключением переменных x_i.

 

 

Рис. 53

 

 

Рис. 54

 

А вот из различных смитов пока не удалось построить магический куб. Подключайтесь к решению этой задачи. Мне кажется, что задача имеет решение, может быть, даже не единственное. Желательно построить наименьший куб.

 

***

 

ФОРМУЛА   ЭНДРЮСА

 

Нашла электронную версию книги Эндрюса! [8]

Очень интересная книга. Вот как Эндрюс начинает описывать магические кубы 3-го порядка:

 

 

 

В книге есть формула нетрадиционных магических кубов разных порядков, в том числе и порядка 3. Поскольку данная статья посвящена кубам третьего порядка, рассмотрю только формулу для данного порядка. Формула приведена для таких магических кубов 3-го порядка, которые составлены из 27 чисел, образующих арифметическую прогрессию с разностью b. Обозначим a первый член этой прогрессии. Тогда формулу Эндрюса можно записать так (рис. 55):

 

 

Рис. 55

 

При a = 1, b = 1 имеем традиционный магический куб (рис. 56):

 

 

Рис. 56

 

Эндрюс даёт такую формулу для магической константы кубов, составленных по данной формуле:

 

S = 3A + βK, где K = 39 (постоянная, имеющая такое значение для куба третьего порядка).

 

В принятых здесь обозначениях эта формула запишется так:

 

S = 3a + bK = 3a + 39b = 3(a + 13b),

 

что совершенно очевидно из формулы с рис. 55.

 

Далее Эндрюс приводит пример нетрадиционного магического куба, построенного по этой формуле при a = 10, b = 2. Этот куб изображён на рис. 57.

 

 

Рис. 57

 

А теперь представлю мою формулу, аналогичную формуле с рис. 8, но составленную на основе куба с рис. 56. Смотрите эту формулу на рис. 58.

 

 

Рис. 58

 

Магические кубы, составленные по этой формуле, заполняются числами, образующими три арифметических прогрессии длины 9 с одинаковой разностью b, первые члены которых образуют арифметическую прогрессию с разностью c. Магическая константа кубов, построенных по данной формуле, вычисляется так:

 

S = 3(a + c + 4b).

 

Легко увидеть, что формула Эндрюса (см. рис. 55) является частным случаем формулы, предложенной мной (см. рис. 58), при c = 9b. В этом случае три прогрессии длины 9 складываются в одну общую прогрессию длины 27.

Если взять те же значения переменных a и b, как в примере Эндрюса (для куба с рис. 57), и при этом положить, например, c = 11, получим по формуле с рис. 58 следующий нетрадиционный магический куб (рис. 59):

 

 

Рис. 59

 

Магическая константа этого куба: S = 3(10 + 11 + 4*2) = 87.

 

Наконец, как уже знают читатели, из формулы с рис. 58 можно получить общую формулу, добавив переменные x_i. Получится формула аналогичная формуле с рис. 24. Эта формула будет не только аналогична формуле с рис. 24, но и эквивалентна ей в том смысле, что любой куб, построенный по этой формуле, может быть получен и по формуле с рис. 24, и наоборот.

 

Кстати, я не забыла проверить новый нетрадиционный магический куб с рис. 57. Этот куб получается по общей формуле с рис. 24 при следующих значениях переменных:

 

a = -10, b = 4, c = 30, x₁ = - 24, x₂ = - 6, x₃ = 30, x₄ = - 6, x₅ = 12, x₆ = - 6, x₇ = 30, x₈ = - 6, x₉ = - 24.

 

Предлагаю читателям проверить магический куб с рис. 59, то есть установить, при каких значениях переменных этот куб получается по общей формуле с рис. 24.

 

В заключение отмечу, что Эндрюс рассматривал также нетрадиционные магические кубы, заполненные смешанными числами. Приведу пример. Положим: S = 1906, b = 10. По формуле Эндрюса получаем:

 

a = (S – bK)/n = (1906 – 10*39)/3 = 505¹∕³

 

На рис. 60 вы видите готовый магический куб (стр. 86, Fig. 181).

 

 

Рис. 60

 

Константа ассоциативности этого куба равна 1270²∕³.

Впрочем, от смешанных чисел очень легко избавиться, для этого достаточно все элементы куба умножить на 3. В результате такого преобразования получаем следующий магический куб (рис. 61):

 

 

Рис. 61

 

В этом кубе S = 5718, a = 1516, b = 30. Константа ассоциативности равна 3812.

 

Читайте книгу Эндрюса! В ней вы найдёте очень много интересного, и не только о магических кубах, но и о магических квадратах. Очень жалею, что мне не попалась эта книга, когда я занималась исследованием магических квадратов.

 

ДОБАВЛЕНИЕ (31 января 2010 г.)

 

Уже работая с кубами 4-го порядка, нашла сайт о мультипликативных кубах (см. [11]). Не буду здесь подробно пересказывать то, что есть на этом сайте о мультипликативных кубах 3-го порядка. Читатели могут посмотреть это сами. Покажу только один мультипликативный куб с этого сайта (рис. 62).

 

 

 

Рис. 62

 

На сайте есть несколько других кубов и формулы для построения мультипликативных кубов 3-го порядка.

 

Представлю здесь формулу для аддитивных кубов 3-го порядка, которую получила из формулы для мультипликативных кубов с указанного сайта, заменив умножение сложением, а возведение в степень – умножением. Получилась очень интересная формула, которая имеет преимущество по сравнению с моей общей формулой (см. рис. 24) в том, что содержит меньше переменных. Вы видите эту формулу на рис. 63.

 

 

Рис. 63

 

Магическая константа и константа ассоциативности кубов, построенных по данной формуле, вычисляются так:

 

S = 3(a + b + c + d), K_a = 2(a + b + c + d).

 

Приведу один пример; положим: a = 5, b = 10, c = 11, d = 1 (значения выбраны произвольно). Получим следующий магический куб (рис. 64):

 

 

Рис. 64

 

Примечание: в кубе содержатся одинаковые числа, но для нетрадиционных кубов это допускается.

 

Получив новый магический куб, сразу проверила его по своей общей формуле (рис. 24), куб получается по этой формуле при следующих значениях переменных:

 

a = 15, b = 1, c = 8, x₁ = - 30, x₂ = 3, x₃ = 27, x₄ = 3, x₅ = - 6, x₆ = 3, x₇ = 27, x₈ = 3, x₉ = - 30.

 

Понятно, что новая формула гораздо удобнее для построения магических кубов из простых чисел или из чисел Смита, потому что в ней меньше переменных, чем в общей формуле с рис. 24. Если вы будете решать задачу построения таких кубов, воспользуйтесь этой формулой.

 

 

 

Л И Т Е Р А Т У Р А

 

[1] Шуберт Г. Математические развлечения и игры. Перевод с немецкого. – Одесса, 1911.

[2]  У. Болл, Г. Коксетер. Математические эссе и развлечения. – М.: Мир, 1986.

[3] М. Гарднер. Путешествие во времени. Гл. 17. Магические квадраты и кубы. – М.: Мир, 1990.

[4] Статья в Википедии “Магические кубы” http://en.wikipedia.org/wiki/Magic_cube

[5] Статья в Википедии “Простой магический куб” http://en.wikipedia.org/wiki/Simple_magic_cube

[6] Статья в Википедии “Классификация магических кубов” http://en.wikipedia.org/wiki/Magic_cube_classes

[7] Статья в журнале “Наука и жизнь” “Совершенный магический куб 8х8х8 и пандиагональный куб 7х7х7”(№6, 1976)

[8] Andrews W. S. Magic Squares & Cubes, Dover Publ, 1960 (original publication Open Court, 1917)

Электронная версия книги: http://djm.cc/library/Magic_Squares_Cubes_Andrews_edited.pdf

[9] Веб-сайт http://members.shaw.ca/hdhcubes/cube_perfect.htm

[10] Веб-сайт http://www.members.shaw.ca/hdhcubes/cube_prime.htm

[11] Веб-сайт http://www.multimagie.com/English/MultiplicCubes.htm

[12] Научный форум dxdy.ru. Магические кубы. http://dxdy.ru/topic27852.html

 

Примечание: книга [1] выложена на форуме dxdy.ru (см. [12]).

 

 

12 - 31 января 2010 г.

г. Саратов

 

e-mail: natalimak1@yandex.ru

QIP: 571379327

 

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу