Н. Макарова

 

ПОЛНЫЕ КОМПЛЕКТЫ КВАДРАТОВ ФРАНКЛИНА

 

Недавно мне прислали ссылку на журнал “Дух времени”:

 

http://www.spiritoftime.net/pdf-files/Spirit_of_time_ALL.pdf

 

Ссылка, по которой я раньше нашла полумагический квадрат Франклина 32-ого порядка, содержала только небольшой фрагмент из этого журнала:

 

http://www.spiritoftime.net/Lukoyanov-1.htm

 

 Теперь я прочла статью об этом квадрате полностью.

 

Цитата из журнала:

 

“Необходимо заметить,

что Бенджамин Франклин оставил

уникальное научное и духовное наследство

следующим поколениям исследователей,

причем, видимо принципиально,

не раскрыл до конца ни одного из

своих алгоритмов по построению маги-

ческих квадратов, а в особенности для

своего легендарного магико-магического

квадрата 16 Х 16, который являлся в

то время высшим уровнем разработки

удивительной серии магических квадратов.

Поэтому авторам пришлось провести

для начала многолетнюю кропотливую

работу по нахождению своеобразного

«реперного ключа» и алгоритмов

по построению всех известных и

даже не законченных магических квадратов

Бенджамина Франклина, а затем

уже на базе накопленного материала

находить необходимые алгоритмы по

разработке своих авторских магических

квадратов. В данной работе авторам при

непосредственном взаимодействии с

Международной Высшей Аттестационной

Комиссией (МВАК) от Международного

Университета Фундаментального

Обучения (МУФО) под эгидой Великобритании-

США-России удалось впервые

разработать свой алгоритм, а также составить

авторский магический квадрат

32 Х 32 Виталия и Виктора Лукояновых

– Шанти П. Джаясекара …”

 

Прочитав статью, была немало удивлена. Представленный полумагический квадрат 32-ого порядка (почему авторы называют квадрат магическим, если суммы чисел в главных диагоналях квадрата не равны магической константе квадрата?) составлен в полном соответствии с алгоритмом Франклина в его полумагических квадратах, которые дошли до нас.  Это квадрат Франклина в чистом виде.

Много непонятного в этой статье. Например, авторы говорят о модифицированных квадратах Франклина. Но представленный квадрат 32-ого порядка вряд ли можно считать модификацией. Других квадратов в статье не приводится. О каких модифицированных квадратах Франклина говорят авторы?

 

Ещё одна цитата из журнальной статьи:

 

“Необходимо иметь ввиду, что приоритетная авторская разработка магического квадрата 32х32 Виталия и Виктора Лукояновых – Шанти П. Джаясекара датируется от 14 мая 2003 года, так как и было доложено на Международной конференции, посвящённой 300-летию г. Санкт-Петербурга …”

 

Вот как интересно! Приоритетная авторская разработка!

И совсем непонятно следующее утверждение:

 

“Контрольная сумма магичности строк, столбцов, ломаных диагоналей с любой из четырёх сторон и в квадратах (размером в 32 смежные клетки) равна Y = 16400 при сумме чисел всего данного квадрата S = 524800…”

 

Не буду даже комментировать.

 

Когда я исследовала квадраты Франклина (это было в феврале текущего года), мне попался только фрагмент статьи, и я приняла приведённый в этом фрагменте полумагический квадрат Франклина за квадрат, построенный самим Франклином. Вообще говоря, я в этом нисколько не сомневаюсь. Возможно, просто полумагический квадрат 32х32, построенный самим Франклином, не дошёл до нас или дошёл в незаконченном виде (в статье, кстати, говорится, что авторы исследовали и незаконченные квадраты Франклина; может быть, полумагический квадрат 32-ого порядка был одним из них?). Очень странно, что авторы не представили в статье никаких других полумагических квадратов Франклина, например 20, 24, 28 порядков, а представили только один квадрат 32-ого порядка.

Затем совсем недавно я написала статью о квадратах Франклина для журнальной публикации (к сожалению, статья до публикации не дошла). Рецензент статьи обратил внимание на то, что авторы статьи о полумагическом квадрате 32-ого порядка говорят о модифицированных квадратах Франклина, и выразил сомнение в том, что приведённый в статье квадрат принадлежит Франклину. Я тоже обратила внимание на то, что авторы говорят о модифицированных квадратах (ещё тогда, когда исследовала квадраты Франклина). Но, тщательно исследовав приведённый ими квадрат, установила, что его структура в точности совпадает со структурой полумагического квадрата Франклина 16-ого порядка, то есть он построен в точном соответствии с алгоритмом Франклина и с полным правом может называться квадратом Франклина.

 

Мной построено много квадратов Франклина, но приоритет ни на один из этих квадратов не заявлен. Мне негде о нём заявлять, потому что на конференции меня не приглашают. Я тоже разработала свой алгоритм для построения квадратов Франклина и не только полумагических, а ещё пандиагональных и идеальных. Обо всём этом можно подробно прочитать в статьях о квадратах Франклина, начиная с этой:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/franklin.htm

 

***

 

Далее недавно мне прислали ещё одну ссылку на интересную статью о квадратах Франклина:

 

http://www.win.tue.nl/~wscor/Magic/SPORfms.pdf

 

Статья, к сожалению, на английском языке. Поэтому я пока рассмотрела только сами квадраты, представленные на рисунках. Автор статьи Cor Hurkens построил много интереснейших квадратов Франклина. Возможно, я напишу отдельную статью, посвящённую этим квадратам. Но самым большим достижением Гуркенса я считаю то, что он построил совершенные квадраты. У меня совершенные квадраты по алгоритму Франклина не построились, за исключением квадрата 4-ого порядка. Каким образом совершенные квадраты Гуркенса связаны с квадратами Франклина, как они из них получены, я не знаю. Для этого надо вникнуть в методы Гуркенса. Я же просто построила совершенные квадраты других порядков, подобные представленным Гуркенсом совершенным квадратам 12-ого и 16-ого порядка. Эти совершенные квадраты  построены из обратимых квадратов с помощью моего матричного преобразования. Обратимые квадраты составлены по аналогии с обратимыми квадратами, соответствующими указанным совершенным квадратам Гуркенса.

 

Теперь я хочу представить полные комплекты квадратов Франклина для следующих порядков: n = 4k, k = 1, 2, 3, …, 10.  При этом для n = 8k в комплект входят следующие квадраты: а) полумагический; б) магический; в) пандиагональный; г) идеальный: д) совершенный. Для остальных порядков в комплекте отсутствуют идеальные квадраты; для порядков не кратных 8 мне не удалось построить идеальные квадраты по алгоритму Франклина. И ещё: для n = 4 мне не удалось построить по алгоритму Франклина просто магический квадрат, не являющийся ни ассоциативным, ни пандиагональным.

 

 

Комплект квадратов Франклина порядка n = 4

 

а) полумагический квадрат (рис. 1)

 

 

Рис. 1

 

б) пандиагональный (и совершенный) квадрат (рис. 2)

 

 

Рис. 2

 

А вот какой совершенный квадрат 4-ого порядка я построила по схеме Гуркенса (рис. 3):

 

 

Рис. 3

 

Очевидно, что эти два квадрата эквивалентны.

 

Если применить к квадрату с рис. 2 преобразование, обратное преобразованию трёх квадратов, то получится ассоциативный квадрат (рис. 4):

 

 

Рис. 4

 

Комплект квадратов Франклина порядка n = 8

 

Здесь надо, конечно, начать с полумагических квадратов, построенных самим Франклином. Таких квадратов известно два. Вы видите их на рис. 5 и рис. 6.

 

 

Рис. 5

 

 

Рис. 6

 

Для того чтобы удобно было применить метод качелей, я преобразовала первый квадрат Франклина (рис. 5) к такому виду (рис. 7):

 

 

Рис. 7

 

Отмечу интересное свойство этого квадрата: комплементарные числа в нём расположены симметрично вертикальной оси симметрии.

 

Составив программу на основе метода качелей, я построила очень много полумагических квадратов такого вида. Только при одном прогоне циклов их получилось 1152. Самое интересное то, что среди них оказалось 144 пандиагональных квадрата. Покажу один полумагический квадрат (рис. 8) и один пандиагональный квадрат (рис. 9).

 

 

Рис. 8

 

 

Рис. 9

 

Об этих построениях вы можете прочитать в статье:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/franklin3.htm

 

Теперь покажу магический квадрат 8-ого порядка (рис. 10):

 

 

Рис. 10

 

О построении магических квадратов смотрите статью:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/franklin4.htm

 

Обратите внимание: во всех квадратах (рис. 8 - 10) выполняется свойство, отмеченное для квадрата с рис. 7.

На рис. 9 показан пандиагональный квадрат, подобный первому полумагическому квадрату Франклина. Теперь покажу пандиагональный квадрат, подобный пандиагональному квадрату Франклина 16-ого порядка, то есть построенный по такому же алгоритму и имеющий точно такую же структуру. Смотрите этот пандиагональный квадрат на рис. 11.

 

 

Рис. 11

 

Очевидно, что начальная цепочка в этих двух пандиагональных квадратах имеет разную форму.

Из пандиагонального квадрата с рис. 11 простыми преобразованиями получается идеальный квадрат (рис. 12):

 

 

Рис. 12

 

О построении пандиагональных и идеальных квадратов смотрите статью:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/idealch1.htm

 

Наконец, осталось показать совершенный квадрат (рис. 13):

 

 

Рис. 13. Совершенный квадрат Франклина (группа 1)

 

Этот совершенный квадрат я построила по аналогии с совершенным квадратом 12-го порядка, приведённым в статье Гуркенса.

 

Интересно заметить: если к идеальному квадрату (рис. 12) применить преобразование трёх квадратов, получается такой почти совершенный квадрат (рис. 14):

 

 

Рис. 14

 

Но “почти”, как известно, не считается. Этот квадрат пандиагональный, в нём выполняется свойство комплементарности. Однако другие свойства совершенных квадратов не выполняются.

 

Вот ещё один совершенный квадрат, он тоже построен по схеме Гуркенса, но по другой (Гуркенс представил в данной статье два метода построения совершенных квадратов Франклина) [рис. 15]:

 

 

Рис. 15. Совершенный квадрат Франклина (группа 2)

 

В завершение комплекта квадратов 8-ого порядка приведу ещё один полумагический квадрат, который не подобен полумагическим квадратам Франклина. Он построен методом качелей, применённым к пандиагональному квадрату Франклина 16-ого порядка. Смотрите этот квадрат на рис. 16.

 

 

Рис. 16

 

Сравните этот квадрат с преобразованным полумагическим квадратом Франклина (рис. 8). Вы увидите, что в этих квадратах начальные цепочки имеют разную форму; следовательно, на рис. 16 приведён новый тип полумагического квадрата, который тоже построен по алгоритму Франклина (но в его пандиагональном квадрате 16-ого порядка).

 

Комплект квадратов Франклина порядка n = 12

 

а) полумагические квадраты (рис. 17 - 18):

 

Рис. 17

 

Полумагические квадраты 12-ого порядка я тоже строила по программе, составленной на основе метода качелей, применённого к полумагическому квадрату Франклина 8-ого порядка. Понятно, что это один из множества квадратов, полученных по программе. В этом квадрате тоже комплементарные числа расположены симметрично относительно вертикальной оси симметрии.

О построении полумагических квадратов 12-ого порядка смотрите статью:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/franklin4.htm

 

Следующий полумагический квадрата (рис. 18) я построила другим способом, это моё пополнение семейства квадратов Франклина.

 

 

Рис. 18

 

В этом квадрате комплементарные числа расположены симметрично горизонтальной оси симметрии.

 

б) магические квадраты (рис. 19 - 20):

 

 

Рис. 19

 

В этом квадрате комплементарные числа расположены симметрично относительно вертикальной оси симметрии. Интересно отметить: если перевернуть в этом квадрате последние шесть столбцов (то есть записать числа в этих столбцах в обратном порядке – снизу вверх), то получится магический квадрат, обладающий свойством ассоциативности (рис. 20).

 

 

Рис. 20

 

в) пандиагональные квадраты (рис. 21 - 22):

 

Первый пандиагональный квадрат получаю прямо здесь и сейчас: применяю к ассоциативному квадрату с рис. 20 преобразование трёх квадратов и пандиагональный квадрат готов (рис. 21).

 

 

Рис. 21

 

В этом пандиагональном квадрате выполняется свойство комплементарности, присущее совершенным квадратам. Однако другие свойства совершенных квадратов в данном квадрате не выполняются. Покажу ещё один пандиагональный квадрат, построенный другим способом (рис. 22):

 

 

Рис. 22

 

Сравните этот квадрат с предыдущим квадратом. Квадраты очень похожи, тем не менее, не эквивалентные.

 

Мне осталось показать совершенные квадраты. Напомню, что мне не удалось построить по алгоритмам Франклина совершенные квадраты. Поэтому все представляемые здесь совершенные квадраты я построила по схемам Гуркенса (см. ссылку на статью выше). На рис. 23 вы видите совершенный квадрат из статьи Гуркенса (см. Figure 14. стр. 30).

 

 

Рис. 23. Совершенный квадрат Франклина (группа 1)

 

Этот квадрат Гуркенс построил первым методом (в методы Гуркенса я не вникала). Далее в статье представлен совершенный квадрат 16-ого порядка, построенный вторым методом. Я построила совершенный квадрат 12-ого порядка, подобный совершенному квадрату 16-ого порядка Гуркенса. Вот этот квадрат (рис. 24):

 

 

Рис. 24. Совершенный квадрат Франклина (группа 2)

 

В завершение комплекта квадратов 12-ого порядка покажу очень интересный пандиагональный квадрат, составленный из девяти нетрадиционных совершенных квадратов 4-ого порядка (рис. 25):

 

 

Рис. 25

 

Этот квадрат обладает несколькими интересными свойствами. Предлагаю читателям подробно исследовать данный квадрат Гуркенса (в статье Гуркенса см. Figure 1, стр. 9).

Ещё один подобный квадрат можно получить, применив к приведённому квадрату преобразование взятия дополнения. Новый квадрат изображён на рис. 26.

 

 

Рис. 26

 

Покажу ещё несколько преобразований, применённых к квадрату с рис. 26. Сначала в каждом квадрате 4х4 применим преобразование трёх квадратов (рис. 27).

 

 

Рис. 27

 

Получился магический квадрат, составленный из девяти нетрадиционных ассоциативных квадратов 4х4. Теперь в этом квадрате переставим строки и столбцы так, чтобы получился ассоциативный квадрат (рис. 28):

 

 

Рис. 28

 

Интересно отметить, что квадраты 4х4 превратились в нетрадиционные полумагические квадраты. Наконец, применим к квадрату с рис. 28 преобразование трёх квадратов. Полученный в результате пандиагональный квадрат вы видите на рис. 29.

 

 

Рис. 29

 

Этот пандиагональный квадрат совсем близок к совершенному, однако всё же не совершенный: не во всех квадратах 2х2 сумма чисел равна 290. В завершение превратим этот квадрат в квадрат, начинающийся с числа 1. Для этого достаточно применить к квадрату преобразование взятия дополнения. Новый квадрат смотрите на рис. 30.

 

 

Рис. 30

 

Мы получили пандиагональный квадрат с оригинальной начальной цепочкой.

Сравните этот квадрат с квадратом Гуркенса (рис. 25). Очевидно, что данный квадрат получается из квадрата Гуркенса перестановкой строк и столбцов. Можно было не выполнять все показанные преобразования, а сразу в квадрате Гуркенса переставить строки и столбцы. Но мы получили несколько интересных промежуточных результатов, а заодно были продемонстрированы разные преобразования. В пандиагональном квадрате Гуркенса тоже оригинальная начальная цепочка.

 

***

 

На этом я завершаю комплект квадратов Франклина 12-ого порядка. На время оставлю эту статью, чтобы вернуться к статье “Преобразования магических квадратов”.

Несколько квадратов Франклина было представлено мной на форуме. Смотрите:

 

http://dxdy.ru/topic12959.html

 

А также не забывайте, что все построенные мной квадраты Франклина вы найдёте в моей виртуальной книге “Волшебный мир магических квадратов”:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm

 

 

***

 

Уважаемые читатели!

 

Просматривая сегодня все свои статьи о магических квадратах, обнаружила, что данная статья не завершена. Нельзя сказать, что я совсем про неё забыла. Но новые темы настолько захватили, что пришлось статью отложить. Ещё всё время помню, что не написана статья о совершенных квадратах, построенных Гуркенсом на основе квадратов Франклина. Вообще квадраты Франклина настолько интересны, что о них можно написать отдельную книгу. И материалов у меня уже вполне достаточно. Вот только времени не хватает. К тому же вы мне ничего не пишете. Если бы было много писем от вас с просьбой продолжить данную статью, написать о квадратах Гуркенса, собрать и систематизировать все материалы о квадратах Франклина, тогда я, наверное, сделала бы всё это.

В моей книге “Волшебный мир магических квадратов” (книга версталась для издания, но, увы, не издана) квадратам Франклина уделено очень мало внимания. Правда, есть очень маленькая статья “Квадраты Франклина”, которую я готовила для журнала. К сожалению, статья не была принята в журнал.

Я дам здесь ссылки на книгу “Волшебный мир магических квадратов” и статью “Квадраты Франклина”:

 

http://narod.ru/disk/5834353000/Magic_squares.pdf.html

 

http://www.natalimak1.narod.ru/rev4.doc

 

Сейчас у меня в планах написание книги “Нетрадиционные магические квадраты”. Кроме того, я собираюсь заняться исследованием магических кубов. А ещё хотела сделать небольшую книгу о латинских квадратах.

Пишите мне, пожалуйста! Что вы хотели бы увидеть в первую очередь? Какие материалы оформить отдельной книжкой? Жду ваших писем.

 

Наталия Макарова

 

ДОБАВЛЕНИЕ    (январь 2010 г.)

 

Я решила продолжить понемногу эту коллекцию замечательных квадратов Франклина.

 

Комплект квадратов Франклина порядка n = 16

 

а) полумагический квадрат Франклина

 

На рис. 31 вы видите полумагический квадрат, принадлежащий Франклину, а на рис. 32 квадрат, полученный из квадрата Франклина эквивалентными преобразованиями, то есть это квадрат эквивалентный квадрату Франклина.

 

 

Рис. 31

 

 

Рис. 32

 

Посмотрите, какая оригинальная начальная цепочка в этих полумагических квадратах. Квадрат на рис. 32 хорош тем, что начинается с числа 1 (число 1 находится в левой верхней ячейке квадрата). Как уже знают читатели, такие квадраты, начинающиеся с числа 1, мои любимые. Поэтому я всегда стремлюсь получить такие квадраты, когда это возможно.

 

б) магические квадраты (рис. 33 - 34)

 

 

Рис. 33

 

Этот квадрат построен мной. На рис. 34 вы видите магический квадрат, построенный Гуркенсом.

 

 

Рис. 34

 

Очевидно, что это совсем другой магический квадрат, начальная цепочка имеет другую форму. Квадрат, построенный Гуркенсом обладает интересным свойством: он состоит из четырёх нетрадиционных идеальных квадратов 8-го порядка с магической константой 1028. Очень интересный экземпляр!

 

в) пандиагональные квадраты (рис. 35 - 38)

 

Сначала, конечно, представлю пандиагональный квадрат, построенный самим Франклином. Это жемчужина коллекции! Я называю этот квадрат шедевром. На рис. 35 вы видите пандиагональный квадрат Франклина в первозданном виде, а на рис. 36 – в преобразованном виде.

 

 

Рис. 35

 

 

Рис. 36

 

Преобразованный мной квадрат начинается с числа 1. Кроме того, именно из этого пандиагонального квадрата совсем несложными преобразованиями (перестановки строк и перевёртывания некоторых из них) мне удалось построить идеальный магический квадрат, который будет показан далее.

 

Теперь покажу пандиагональный квадрат, построенный мной (рис. 37) и Гуркенсом (рис. 38).

 

 

Рис. 37

 

Этот квадрат я построила из полумагического квадрата Франклина.

 

 

Рис. 38. Квадрат, построенный Гуркенсом

 

Гуркенс построил очень интересный пандиагональный квадрат, он состоит из четырёх нетрадиционных пандиагональных квадратов 8-го порядка с магической константой 1028. В статье Гуркенса есть ещё подобный пандиагональный квадрат.

 

г) идеальный квадрат (рис. 39)

 

А вот идеального квадрата у Гуркенса нет. Такой квадрат построен мной, как уже сказано, из пандиагонального квадрата Франклина несложными преобразованиями. Вы видите этот квадрат на рис. 39.

 

 

 

Рис. 39

 

Это вторая жемчужина коллекции, которая получена из жемчужины, принадлежащей самому Франклину. Красивейший  квадрат! Он не только пандиагональный, как квадрат Франклина, но и ассоциативный.

Напомню читателям, что на основе пандиагонального квадрата Франклина 16-го порядка я разработала алгоритм построения пандиагональных и идеальных квадратов любого порядка n = 8k, k = 1, 2, 3, … .

 

г) совершенные квадраты (рис. 40 - 41)

 

Мне осталось показать совершенные квадраты 16-го порядка. Оба квадрата из статьи Гуркенса. Как я уже сказала, мне не удалось построить совершенные квадраты Франклина. Гуркенс построил совершенные квадраты двумя методами. Квадрат на рис. 40 взят из статьи Гуркенса, это квадрат, построенный методом 2 (стр. 18, Figure 7).

 

 

Рис. 40. Совершенный квадрат Франклина (группа 2)

 

Этот квадрат состоит из четырёх нетрадиционных пандиагональных квадратов 8-го порядка с магической константой 1028.

Совершенный квадрат 16-го порядка другой группы (построенный методом 1) в статье не представлен. Я построила его сама по аналогии с совершенным квадратом 12-го порядка. Вы видите этот квадрат на рис. 41.

 

 

Рис. 41. Совершенный квадрат Франклина (группа 1)

 

Как уже сказано выше, я не разбирала методы Гуркенса (статья на английском языке). На основе приведённых в статье совершенных квадратов Франклина 12-го порядка (метод 1) и 16-го порядка (метод 2) разработала свой алгоритм построения подобных совершенных квадратов любого порядка n = 4k, k = 1, 2, 3, … . По этому алгоритму уже построены совершенные квадраты Франклина порядков 20 и 24. Мой алгоритм основан на использовании обратимых квадратов. Я взяла готовый совершенный квадрат из статьи, определила, какой обратимый квадрат ему соответствует (с помощью своего матричного преобразования, связывающего обратимые и совершенные квадраты), и применила к этому квадрату свой матричный метод построения совершенных квадратов из обратимых.

Возможно, методы Гуркенса намного проще моего метода, но в них ещё надо разобраться. К тому же мне удобнее пользоваться своим методом. Однако без готовых квадратов, приведённых в статье, я не смогла бы использовать свой метод. Так что приоритет в построении совершенных квадратов Франклина полностью принадлежит Гуркенсу. Я просто строю квадраты других порядков по аналогии, чтобы представить полные комплекты квадратов Франклина.

 

Примечание: ссылка на статью Гуркенса дана в начале статьи. Кстати, сайт у него большой, я его весь не смотрела, вполне возможно, что Гуркенс тоже сделал полные комплекты квадратов Франклина. Однако в его комплектах нет идеальных квадратов Франклина, в статье не представлены идеальные квадраты.

 

Напомню читателям, что подробно о квадратах Франклина 16-го порядка рассказано в статье:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/franklin.htm

 

Надеюсь ещё вернуться к этой статье и представить полные комплекты квадратов Франклина следующих порядков: n = 4k, k = 5, 6, …, 10. Тем более что для данных порядков неизвестны квадраты, построенные самим Франклином.

 

***

 

Прежде чем продолжить коллекцию квадратов Франклина, решила показать, как я получила совершенные квадраты, подобные квадратам, построенным Гуркенсом. За основу взят совершенный квадрат 12-го порядка для первой группы совершенных квадратов и совершенный квадрат 16-го порядка для второй группы. Как известно, между совершенными и обратимыми квадратами существует взаимнооднозначное соответствие. В моей статье http://www.klassikpoex.narod.ru/soversh2.htm вы найдёте матричные преобразования, переводящие обратимые квадраты в совершенные и наоборот. Этими преобразованиями я и пользовалась.

Итак, берём совершенный квадрат 12-го порядка, изображённый в статье Гуркенса (стр. 30, Figure14). Этот квадрат изображён на рис. 23. На рис. 42 вы видите обратимый квадрат 12-го порядка, соответствующий данному совершенному квадрату.

 

 

Рис. 42

 

Если применить к этому квадрату матричное преобразование из указанной выше статьи, получится совершенный квадрат с рис. 23. Таким образом, соответствие между обратимым и совершенным квадратами установлено. Теперь составляю обратимые квадраты других порядков в точной аналогии с обратимым квадратом с рис. 42 и строю из этих обратимых квадратов совершенные квадраты с помощью своего матричного преобразования. Покажу сначала подобный обратимый квадрат 8-го порядка (рис. 43):

 

 

Рис. 43

 

Из этого обратимого квадрата получается совершенный квадрат, изображённый на рис. 13.

На рис. 44 показан подобный обратимый квадрат 4-го порядка.

 

 

 

Рис. 44

 

Из этого обратимого квадрата получается совершенный квадрат, изображённый на рис. 3.

И, наконец, на рис. 45 вы видите обратимый квадрат 16-го порядка из данной группы обратимых квадратов.

 

 

Рис. 45

 

Из этого обратимого квадрата получается совершенный квадрат, изображённый на рис. 41.

Думаю, что приведённых обратимых квадратов вполне достаточно, чтобы проследить закономерность их построения. Можно формализовать построение обратимых квадратов, то есть записать общую схему построения любого обратимого квадрата данной группы на основе выявленных закономерностей.

 

Аналогично я поступила с совершенными квадратами второй группы, которые Гуркенс построил вторым методом. В статье представлен совершенный квадрат 16-го порядка из этой группы (см. рис. 40).

Начну показ обратимых квадратов, соответствующих данной группе совершенных квадратов, с квадрата 4-го порядка (рис. 46).

 

 

Рис. 46

 

Из этого обратимого квадрата получается такой совершенный квадрат (рис. 47):

 

 

Рис. 47

 

Далее показываю подобный обратимый квадрат 8-го порядка (рис. 48):

 

 

Рис. 48

 

Из этого обратимого квадрата получен совершенный квадрат, изображённый на рис. 15.

 

Теперь представляю подобный обратимый квадрат 12-го порядка (рис. 49):

 

 

Рис. 49

 

Из этого обратимого квадрата получается совершенный квадрат, изображённый на рис. 24.

 

Подобный обратимый квадрат 16-го порядка предлагается составить читателям. Соответствующий ему совершенный квадрат изображён на рис. 40. Выявление закономерностей при составлении обратимых квадратов само по себе занятие очень интересное. Попробуйте составить по аналогии хотя бы пару обратимых квадратов, вы сразу обнаружите все закономерности в этих квадратах. Как и обратимые квадраты первой группы, обратимые квадраты второй группы тоже можно формализовать. Тогда можно написать программу и составлять квадраты по программе.

 

 

3 - 5 ноября 2008 г. – 8 января 2010 г.

г. Саратов

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу