Н. Макарова

 

НЕТРАДИЦИОННЫЕ ПАНДИАГОНАЛЬНЫЕ КВАДРАТЫ ПОРЯДКОВ 8, 12, 16

 

Просматривая коллекцию нетрадиционных магических квадратов, увидела, что не построено ни одного пандиагонального квадрата 8-го порядка из чисел Смита (смитов). Решила восполнить этот пробел.

 

Пандиагональный квадрат 8-го порядка легко построить из четырёх пандиагональных квадратов 4-го порядка с одинаковой магической константой, используя решётку Россера. Для простых чисел такие квадраты 4-го порядка удалось построить достаточно быстро. Из смитов попробовала несколько наборов комплементарных пар, например, с такими суммами чисел в паре: 8360 (34 пары), 9800 (34 пары), 9620 (33 пары). Понятно, что количество комплементарных пар в наборе должно быть не меньше 32. Ни из одного набора не удалось построить даже один пандиагональный квадрат 4-го порядка.

 

Вспомнила о наборе комплементарных пар смитов, найденном М. Алексеевым. Этот набор состоит из 556 пар, сумма чисел в паре равна 680012. Набор был использован Алексеевым для построения идеального квадрата 5-го порядка из смитов. Решила попробовать строить пандиагональные квадраты 4-го порядка из чисел этого набора комплементарных пар. Здесь всё получилось очень хорошо.

 

Набор комплементарных пар выложен Алексеевым на форуме dxdy.ru. Продублирую его:

 

94 391 517 706 778 958 1219 1903 1908 2578 2911 3694 4198 4306 4954 5098 5458 5818 6188 6816 8014

8518 9094 9229 9598 9778 10489 10664 10705 10736 11358 13765 16078 16474 16568 16735 17221 18355 18805

18994 19280 19678 20074 20578 20974 21478 22738 24394 24538 24754 25078 25429 25807 26014 26167 26914

27085 27209 27814 27828 28392 28595 29038 29254 29398 29461 31639 32854 33907 34555 34834 35878 36535

37705 38758 39478 39523 41494 41557 42178 42538 42754 43006 43807 44554 45454 45634 46134 46174 46318

46615 46664 46714 47074 48503 50458 50818 51678 52753 52834 52978 54697 54958 56047 56218 57307 57390

58018 59638 59674 59845 60538 60934 61490 62158 62977 63265 65218 65245 65376 65434 65974 67068 67117

67198 67234 67594 68314 70159 70267 72778 73476 73498 74794 75631 77485 78097 78138 78680 78718 79978

80851 81058 81877 82309 82867 82993 83398 84690 85378 86148 86376 86647 86683 86917 87034 87164 87875

88046 88735 89374 89744 90238 90274 90607 90644 90994 93298 93658 93802 93838 93968 94558 94594 95278

95611 95796 96727 97006 97152 97294 98120 98252 98338 99416 99715 100066 101389 102406 103796 106006

107939 108085 109966 110785 112855 112873 116455 117067 117589 117805 117886 117954 118246 118777 118786

119798 120082 122926 123286 123763 124069 125266 125977 129226 130088 130846 131285 131647 134167 135594

137227 137497 138446 139117 139594 141646 141997 142726 143986 144346 144517 145165 145291 145615 145640

146069 146916 148027 149593 149917 150567 151591 151735 152986 153886 154255 154595 156174 156397 157369

157990 158444 158566 160546 160726 162949 163669 165226 165415 165766 166279 167746 167935 168745 169051

170077 170266 170446 170480 171028 171607 171984 173290 173785 174586 174946 175526 175666 176926 177439

178006 178726 180157 180454 180805 181498 181642 181705 181894 182038 182254 182506 182666 182794 183082

184018 184306 184608 184747 184918 185858 187465 187645 187753 188455 189058 189454 190568 190678 191268

192298 192838 193117 194251 195007 195066 196258 196654 196843 197676 197750 197815 197878 198274 198355

198994 199652 201298 201874 202558 202954 203193 203377 204764 205078 205906 206914 207058 207238 207684

208174 209407 209434 210505 210757 212089 212638 214717 216193 217134 218074 218398 219828 220918 220954

221858 222097 222106 222538 222727 222934 225139 225598 225656 225958 226476 226714 227389 228217 228334

228561 229657 229855 230674 232447 237575 237636 238198 238594 239598 240695 241006 241078 241197 241519

242154 242788 243094 243454 243628 243778 244138 244417 244534 245218 245424 245506 245686 245726 246055

246118 247063 247459 247774 248134 249241 249493 250438 250798 251259 251367 251743 252036 252085 252373

252728 253615 254074 256378 256544 257098 257638 258169 258394 258574 259078 259393 259906 260158 260734

260914 261094 261634 262165 262534 262570 263254 263856 263938 264118 264440 265054 265364 265693 267538

267745 267934 268915 269635 270238 270418 270994 271291 271476 271716 272434 272722 272758 273649 274234

274738 274954 275395 276063 276106 276358 276394 277294 277798 278158 278734 279247 279418 279444 281254

281434 281479 281794 282631 283918 285106 285866 286735 287311 287338 288391 290461 290578 293278 293472

293557 294178 294547 294754 295258 295625 296365 297085 297634 298074 299353 300505 301477 301981 302899

302973 303466 304265 304267 304366 306098 306814 308227 309046 309438 309766 309919 310873 311377 314846

315944 316273 317168 318276 318757 318946 319238 319369 320746 322726 324409 324526 325057 325246 326047

327766 328117 328544 329026 329197 330398 330466 331861 332574 334066 334417 335384 336284 336586 337337

337486 337783 337819 338746 339457 340555 341266 342193 342229 342526 342675 343426 343728 344628 345595

345946 347438 348151 349546 349614 350815 350986 351468 351895 352246 353965 354766 354955 355486 355603

357286 359266 360643 360774 361066 361255 361736 362844 363739 364068 365166 368635 369139 370093 370246

370574 370966 371785 373198 373914 375646 375745 375747 376546 377039 377113 378031 378535 379507 380659

381938 382378 382927 383647 384387 384754 385258 385465 385834 386455 386540 386734 389434 389551 391621

392674 392701 393277 394146 394906 396094 397381 398218 398533 398578 398758 400568 400594 400765 401278

401854 402214 402718 403618 403654 403906 403949 404617 405058 405274 405778 406363 407254 407290 407578

408296 408536 408721 409018 409594 409774 410377 411097 412078 412267 412474 414319 414648 414958 415572

415894 416074 416156 416758 417442 417478 417847 418378 418918 419098 419278 419854 420106 420619 420934

421438 421618 421843 422374 422914 423468 423634 425938 426397 427284 427639 427927 427976 428269 428645

428753 429214 429574 430519 430771 431878 432238 432553 432949 433894 433957 434286 434326 434506 434588

434794 435478 435595 435874 436234 436384 436558 436918 437224 437858 438493 438815 438934 439006 439317

440414 441418 441814 442376 442437 447565 449338 450157 450355 451451 451678 451795 452623 453298 453536

454054 454356 454414 454873 457078 457285 457474 457906 457915 458154 459058 459094 460184 461614 461938

462878 463819 465295 467374 467923 469255 469507 470578 470605 471838 472328 472774 472954 473098 474106

474934 475248 476635 476819 477058 477454 478138 478714 480360 481018 481657 481738 482134 482197 482262

482336 483169 483358 483754 484946 485005 485761 486895 487174 487714 488744 489334 489444 490558 490954

491557 492259 492367 492547 494154 495094 495265 495404 495706 495994 496930 497218 497346 497506 497758

497974 498118 498307 498370 498514 499207 499558 499855 501286 502006 502573 503086 504346 504486 505066

505426 506227 506722 508028 508405 508984 509532 509566 509746 509935 510961 511267 512077 512266 513733

514246 514597 514786 516343 517063 519286 519466 521446 521568 522022 522643 523615 523838 525417 525757

526126 527026 528277 528421 529445 530095 530419 531985 533096 533943 534372 534397 534721 534847 535495

535666 536026 537286 538015 538366 540418 540895 541566 542515 542785 544418 545845 548365 548727 549166

549924 550786 554035 554746 555943 556249 556726 557086 559930 560214 561226 561235 561766 562058 562126

562207 562423 562945 563557 567139 567157 569227 570046 571927 572073 574006 576216 577606 578623 579946

580297 580596 581674 581760 581892 582718 582860 583006 583285 584216 584401 584734 585418 585454 586044

586174 586210 586354 586714 589018 589368 589405 589738 589774 590268 590638 591277 591966 592137 592848

592978 593095 593329 593365 593636 593864 594634 595322 596614 597019 597145 597703 598135 598954 599161

600034 601294 601332 601874 601915 602527 604381 605218 606514 606536 607234 609745 609853 611698 612418

612778 612814 612895 612944 614038 614578 614636 614767 614794 616747 617035 617854 618522 619078 619474

620167 620338 620374 621994 622622 622705 623794 623965 625054 625315 627034 627178 627259 628334 629194

629554 631509 632938 633298 633348 633397 633694 633838 633878 634378 634558 635458 636205 637006 637258

637474 637834 638455 638518 640489 640534 641254 642307 643477 644134 645178 645457 646105 647158 648373

650551 650614 650758 650974 651417 651620 652184 652198 652803 652927 653098 653845 653998 654205 654583

654934 655258 655474 655618 657274 658534 659038 659434 659938 660334 660732 661018 661207 661657 662791

663277 663444 663538 663934 666247 668654 669276 669307 669348 669523 670234 670414 670783 670918 671494

671998 673196 673824 674194 674554 674914 675058 675706 675814 676318 677101 677434 678104 678109 678793

679054 679234 679306 679495 679621 679918

 

В этом массиве смитов 1112 чисел, числа расположены в порядке возрастания.

 

Всего из чисел этого массива по программе построено 14 пандиагональных квадратов 4-го порядка. Приведу здесь первые девять пандиагональных квадратов:

 

№ 1

 

 

№ 2

 

 

№ 3

 

 

№ 4

 

 

№ 5

 

 

№ 6

 

 

№ 7

 

 

№ 8

 

 

№ 9

 

 

Теперь строю из первых четырёх пандиагональных квадратов пандиагональный квадрат 8-го порядка по решётке Россера. Вообще для такого построения можно взять любые 4 квадрата.

 

Пандиагональный квадрат 8-го порядка получился такой (рис. 1):

 

 

Рис. 1

 

Конечно, квадрат получился с большой магической константой – 2720048, но для первого приближения годится.

Если применить к этому пандиагональному квадрату преобразование обратное преобразованию 3-х квадратов, получится ассоциативный квадрат (рис. 2).

 

 

Рис. 2

 

Добавляю в квадрате с рис. 1 4 строки и 4 столбца и вписываю оставшиеся 5 пандиагональных квадратов (рис. 3):

 

 

Рис. 3

 

Получился пандиагональный квадрат 12-го порядка из смитов с магической константой 4080072.

 

Точно так же преобразованием обратным преобразованию 3-х квадратов этот пандиагональный квадрат превращается в ассоциативный (рис. 4).

 

 

Рис. 4

 

Для построения пандиагонального квадрата 16-го порядка не хватило двух пандиагональных квадратов 4-го порядка.

 

Теперь надо попытаться найти другой набор комплементарных пар смитов с меньшей константой комплементарности (суммой чисел в паре), чтобы можно было построить из чисел этого набора 4 пандиагональных квадрата 4-го порядка. Это позволит построить пандиагональный квадрат 8-го порядка с меньшей магической константой. То же самое для пандиагонального квадрата 12-го порядка.

 

Для пандиагональных квадратов 8-го порядка я разработала другой алгоритм, который позволил построить квадрат из простых чисел с меньшей магической константой, чем была получена описанным методом. Этот алгоритм будет изложен в третьей части статьи “Нетрадиционные пандиагональные квадраты”.

Покажу здесь оба квадрата, на рис. 5 вы видите пандиагональный квадрат 8-го порядка из простых чисел, построенный описанным методом, его магическая константа равна 2640.

 

 

Рис. 5

 

На рис. 6 изображён пандиагональный квадрат 8-го порядка из простых чисел, построенный по другому алгоритму, его магическая константа равна 1584.

 

 

Рис. 6

 

На сегодня эта магическая константа является наименьшей, но её минимальность не доказана. Вполне возможно, что существует пандиагональный квадрат с меньшей магической константой. Напомню, что наименьший обычный магический квадрат 8-го порядка из простых чисел имеет магическую константу 1152.

 

В заключение покажу ещё пандиагональный квадрат 12-го порядка из простых чисел, построенный описанным методом (рис. 7):

 

 

Рис. 7

 

Магическая константа квадрата равна 13860. Является ли она наименьшей?

 

Покажу и соответствующий ассоциативный квадрат, полученный из этого квадрата преобразованием обратным преобразованию 3-х квадратов (рис. 8):

 

 

Рис. 8

 

 

***

 

Из набора комплементарных пар простых чисел с суммой в паре 6006 (195 пар) построила 19 пандиагональных квадратов 4-го порядка:

 

№ 1

19 5953 3203 2837

4253 1787 1069 4903

2803 3169 5987 53

4937 1103 1753 4219

 

№ 2

67 5927 3049 2969

3319 2699 337 5657

2957 3037 5939 79

5669 349 2687 3307

 

№ 3

83 5903 3229 2797

3739 2287 593 5393

2777 3209 5923 103

5413 613 2267 3719

 

№ 4

109 5879 3547 2477

4007 2017 569 5419

2459 3529 5897 127

5437 587 1999 3989

 

№ 5

137 5857 3359 2659

3709 2309 487 5507

2647 3347 5869 149

5519 499 2297 3697

 

№ 6

139 5843 3187 2843

4507 1523 1459 4523

2819 3163 5867 163

4547 1483 1499 4483

 

№ 7

157 5839 3467 2549

4349 1667 1039 4957

2539 3457 5849 167

4967 1049 1657 4339

 

№ 8

179 5813 4423 1597

4597 1423 353 5639

1583 4409 5827 193

5653 367 1409 4583

 

№ 9

199 5743 3917 2153

4337 1733 619 5323

2089 3853 5807 263

5387 683 1669 4273

 

№ 10

223 5737 3299 2753

3389 2663 313 5647

2707 3253 5783 269

5693 359 2617 3343

 

№ 11

227 5749 3907 2129

4129 1907 449 5527

2099 3877 5779 257

5557 479 1877 4099

 

№ 12

317 5623 4139 1933

4789 1283 967 4973

1867 4073 5689 383

5039 1033 1217 4723

 

№ 13

347 5563 3863 2239

4019 2083 503 5407

2143 3767 5659 443

5503 599 1987 3923

 

№ 14

433 5347 4229 2003

4793 1439 997 4783

1777 4003 5573 659

5009 1223 1213 4567

 

№ 15

523 5443 3413 2633

3623 2423 733 5233

2593 3373 5483 563

5273 773 2383 3583

 

№ 16

607 5209 3803 2393

4283 1913 1087 4729

2203 3613 5399 797

4919 1277 1723 4093

 

№ 17

769 5197 3119 2927

3257 2789 907 5059

2887 3079 5237 809

5099 947 2749 3217

 

№ 18

859 4943 3533 2677

4217 1993 1543 4259

2473 3329 5147 1063

4463 1747 1789 4013

 

№ 19

887 5023 3559 2543

3769 2333 1097 4813

2447 3463 5119 983

4909 1193 2237 3673

 

Из чисел этого набора построен совершенный квадрат 8-го порядка, см. [1].

 

Теперь беру первые 16 квадратов и строю пандиагональный квадрат 16-го порядка по решёткам Россера (можно выбрать любые 16 квадратов). Готовый пандиагональный квадрат показан на рис. 9.

 

 

 

Рис. 9

 

Магическая константа квадрата равна 6006*8 = 48048.

 

Соответствующий ассоциативный квадрат предлагаю построить читателям с помощью преобразования обратного преобразованию 3-х квадратов.

 

Являются ли ассоциативный и пандиагональный квадраты из простых чисел с магической константой 48048 наименьшими?

 

ДОБАВЛЕНИЕ (25 апреля 2011 г.)

 

Много занималась программой построения пандиагональных квадратов 6-го порядка в связи с задачей построения наименьшего пандиагонального квадрата данного порядка из чисел Смита. Написано несколько программ по разным алгоритмам. Удалось по новой программе построить четыре пандиагональных квадрата 6-го порядка с одинаковой магической константой – 4410, все квадраты составлены из разных чисел. Квадраты построены из комплементарных пар чисел, то есть с нулевыми отклонениями от комплементарности. Константа комплементарности равна 1470, имеем 73 комплементарные пары. Понятно, что для построения четырёх пандиагональных квадратов 6-го порядка требуется не менее 72 комплементарных пар.

 

Вот эти пандиагональные квадраты:

 

 

 

 

1. Нетрадиционные совершенные квадраты. http://www.natalimak1.narod.ru/sovnetr.htm

 

 

 

4 - 13 ноября 2010 г. – 25 апреля 2011 г.

г. Саратов

 

 

 

На главную страницу:

http://www.klassikpoez.narod.ru/index.htm