МЕТОД КАЧЕЛЕЙ ПЛЮС ЛАТИНСКИЕ КВАДРАТЫ

 

Часть II

 

В предыдущей части статьи рассмотрено построение одной группы частных решений идеальных квадратов порядка n=3(2k+1), k=2, 3, 4… с помощью двух ортогональных латинских квадратов. Здесь рассказывается о второй группе частных решений. Эту группу я построила при разработке метода качелей. Делается это так. Берём идеальный квадрат 15-ого порядка из первой группы частных решений, вы видите этот квадрат на рис. 1.

 

 

Рис. 1

 

А затем мне захотелось превратить этот идеальный квадрат в такой идеальный квадрат, который начинается с числа 1. Выполнив это желание, я получила идеальный квадрат, в котором работает новый вид качелей, я назвала этот вид нестандартными качелями. В этих качелях совсем другая форма начальной цепочки и другие шаги качания качелей.

Далее я проделала то же самое со всеми квадратами первой группы частных решений. Получились две группы, между квадратами которых существует взаимнооднозначное соответствие. Такова схема получения второй группы частных решений, применённая при разработке метода качелей.

 

Преобразования, которые надо применить к квадрату с рис. 1, чтобы он начинался с числа 1, такие: сначала параллельный перенос на торе, а затем преобразование “строки-диагонали”. Всё это можно посмотреть в статье http://www.klassikpoez.narod.ru/idealob11.htm

 

Теперь я буду идти другим путём. Возьму первый латинский квадрат, соответствующий идеальному квадрату с рис. 1, и применю к нему два преобразования, о которых сказано выше.

На рис. 2 изображён первый латинский квадрат, соответствующий идеальному квадрату с рис. 1.

 

 

Рис. 2

 

Начинаю преобразовывать этот латинский квадрат. На рис. 3 изображён латинский квадрат, получившийся в результате параллельного переноса на торе.

 

 

Рис. 3

 

Этот латинский квадрат является нетрадиционным пандиагональным магическим квадратом с магической константой 105. Применим к этому квадрату преобразование “строки-диагонали”, и он превратится в идеальный нетрадиционный магический квадрат. Вы видите этот латинский квадрат на рис. 4.

 

 

 

Рис. 4

 

В отличие от латинских квадратов с рис. 2 и рис. 3 этот латинский квадрат обобщённый. Но он тоже является нетрадиционным идеальным магическим квадратом, как и квадрат с рис. 2. Обратите внимание: в первой строке этого латинского квадрата по-прежнему записаны все числа от 0 до 14, а каждая следующая строка квадрата получается из предыдущей циклическим сдвигом с постоянным шагом, но шаг сдвига другой, нежели в квадрате с рис. 2.

 

 Осталось составить второй латинский квадрат, и всё готово для построения идеального квадрата из второй группы частных решений, который соответствует идеальному квадрату с рис. 1 первой группы.

Второй латинский квадрат в данном случае получается из первого латинского квадрата поворотом против часовой стрелки с последующим отражением относительно горизонтальной оси симметрии. Не буду показывать второй латинский квадрат, так как это очень простые преобразования и читатели выполнят их сами. На рис. 5 показываю готовый идеальный квадрат.

 

 

Рис. 5

 

Вы видите, что этот идеальный квадрат имеет другую форму начальной цепочки, отличную от начальной цепочки “ход конём”. В этом квадрате качели имеют другие шаги качания, нежели в квадрате первой группы частных решений (рис. 1). Ну, и этот квадрат начинается с числа 1. Имею огромное пристрастие к магическим квадратам, начинающимся с числа 1, о чём уже не раз писала. Это самые красивые квадраты!

 

Замечание: обнаружила (продолжая работать с квадратами 9-ого порядка), что второй латинский квадрат в данном примере можно получать и такими преобразованиями первого латинского квадрата: поворот на 90 градусов против часовой стрелки с последующим отражением относительно вертикальной оси симметрии. На рис. 5а показан идеальный квадрат, построенный из новой пары ортогональных латинских квадратов (первый латинский квадрат по-прежнему с рис. 4, а второй латинский квадрат получен указанным способом).

 

 

Рис. 5а

 

Форма начальной цепочки не изменилась, но зато этот идеальный квадрат уже не начинается с числа 1. И мы имеем ещё одно частное решение. Понятно, что подобные квадраты можно построить таким же способом и для следующих порядков (из рассматриваемой серии порядков). И таким образом мы получаем третью группу частных решений.

 

Понятно, что точно таким же способом можно получить идеальные квадраты следующих порядков из второй группы частных решений. Но для этого надо знать преобразование “строки-диагонали”. Матрица этого преобразования составляется очень просто. Об этом рассказано подробно в одной из ранних статей.

 

Рассмотренный пример ещё раз подтверждает связь двух методов построения идеальных квадратов: метода качелей и метода использования двух ортогональных латинских квадратов.

 

В заключение приведу матрицы двух преобразований для пандиагональных и для идеальных квадратов 15-ого порядка, применяемых в настоящей статье, чтобы читателям не искать эти преобразования в других статьях.

 

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ “СТРОКИ-ДИАГОНАЛИ”

 

Пусть исходный пандиагональный квадрат 15-ого порядка имеет матрицу A(a_i,j). Матрица преобразования “строки-диагонали” имеет следующий вид (рис. 6):

 

 

Рис. 6

 

Переставив элементы в исходном пандиагональном квадрате в соответствии с приведённой матрицей, вы получите новый пандиагональный квадрат.

 

Преобразование “строки-диагонали” применимо к любому пандиагональному квадрату нечётного порядка. Я обнаружила это преобразование, когда занималась исследованием пандиагональных квадратов пятого порядка.

Преобразованный данным преобразованием квадрат легко узнать по такому признаку: первая строка исходного квадрата переходит в главную диагональ нового квадрата.

 

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НЕСТАНДАРТНОЙ ОДНОВРЕМЕННОЙ ПЕРЕСТАНОВКИ

СТРОК И СТОЛБЦОВ

 

Поскольку для пандиагональных квадратов нечётного порядка существует преобразование стандартной перестановки строк и/или столбцов, я назвала обнаруженное мной преобразование нестандартной перестановкой. В этом преобразовании осуществляется одновременная перестановка строк и столбцов с постоянным шагом. Здесь приводится перестановка  строк и столбцов в квадрате 15-ого порядка с шагом 7, то есть через 7 строк и через 7 столбцов.

По-прежнему исходный квадрат имеет матрицу A(a_i,j). На рис. 7 вы видите матрицу представляемого преобразования.

 

 

Рис. 7

 

***

 

Из четырёх групп порядков, на которые делятся все порядки идеальных квадратов, не найдена группа частных решений (и не составлена программа построения) для одной группы: n=4(2k+1), k=1, 2, 3… Построение идеальных квадратов самого первого порядка в данной серии порядков – 12-ого – с помощью двух ортогональных латинских квадратов было подробно рассмотрено в статье http://www.natalimak1.narod.ru/latid12.htm

Осталось найти среди всех построенных квадратов этого порядка начальную цепочку с ярко выраженной закономерностью, которая индуцируется на квадраты следующих порядков данной серии. Затем точно так же, как это было сделано для нечётных порядков кратных 3 (а также для чётно-чётных порядков кратных 8), найти группу частных решений и составить программу для построения всех квадратов этой группы. Если у меня будет время, я проделаю это.

Предлагаю читателям решить поставленную задачу самостоятельно.

 

***

 

Читайте мою виртуальную книгу “Волшебный мир магических квадратов”:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm

 

Если у вас возникли вопросы при чтении моих статей, пишите мне. С радостью отвечу. Буду благодарна за сообщения о замеченных ошибках.

 

Всегда ваша Наталия Макарова

 

24 – 26 августа 2008 г.

г. Саратов

 

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу