ЕЩЁ РАЗ ОБ ИДЕАЛЬНЫХ КВАДРАТАХ ДЕВЯТОГО ПОРЯДКА

 

 

После того, как я много поработала над методом построения идеальных квадратов чётно-чётного порядка с помощью двух латинских квадратов, возвращаюсь к этому методу для построения идеальных квадратов девятого порядка. Именно на примере квадратов данного порядка удобнее всего продолжить исследования для идеальных квадратов серии порядков n=3*(2k+1), k=1, 2, 3…

 

Не буду здесь указывать те статьи, в которых рассматривался этот вопрос. Читатели найдут эти статьи в содержании книги “Волшебный мир магических квадратов”:

http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm

 

Суть проблемы состояла в том, что я не понимала, как сформировать первую строку первого латинского квадрата, если не знать заранее начальную цепочку создаваемого идеального квадрата. Всё оказалось очень просто! Пусть эту строку формирует программа простым перебором всех перестановок. Известно, что в этой строке стоят числа от 0 до 8. А каждая следующая строка этого латинского квадрата получается из предыдущей циклическим сдвигом с постоянным шагом. Второй латинский квадрат получается из первого отражением относительно горизонтальной оси симметрии. Вот и все премудрости построения пары ортогональных латинских квадратов, с помощью которых строится идеальный квадрат 9-ого порядка. В одной из статей на эту тему был рассмотрен пример, когда числа в первой строке первого латинского квадрата записываются по порядку (аналогично тому, как это делается при построении идеальных квадратов порядка не кратного 3). Интересный пример, повторю его здесь. В этом случае идеальный квадрат не получается, а получается только ассоциативный квадрат. На рис. 1 и рис. 2 вы видите два ортогональных латинских квадрата, а на рис.  3 – построенный из них ассоциативный квадрат.

 

 

 

Рис. 1

 

 

Рис. 2

 

 

Рис. 3

 

Квадрат на рис. 3 ассоциативный, но не пандиагональный. Обратите внимание на то, что если смотреть на оба латинских квадрата (рис. 1-2) как на нетрадиционные магические квадраты, это ассоциативные квадраты с магической константой 36.

А далее в той же статье приводится пример построения точно таким же способом идеального квадрата. Продублирую и этот пример. На рис. 4 и рис. 5 вы видите два ортогональных латинских квадрата, а на рис. 6 построенный из них идеальный квадрат. Здесь латинские квадраты, участвующие в построении, являются нетрадиционными идеальными магическими квадратами с той же магической константой 36. И строятся они точно по такой же схеме, как два латинских квадрата в первом примере. Всё дело только в первой строке первого латинского квадрата, которая определённым образом связана с начальной цепочкой создаваемого идеального квадрата.

 

 

Рис. 4

 

 

Рис. 5

 

 

Рис. 6

 

Предполагаю, что возможен и третий вариант: построение такого квадрата, который будет пандиагональным, но не ассоциативным (как пандиагональные квадраты Хендрикса, помните?).

 

Теперь дело за программой. Сейчас напишу программу и посмотрю, какие идеальные и пандиагональные квадраты она построит. Ассоциативные квадраты не буду рассматривать, как мало интересный случай. Один из ассоциативных квадратов уже показан (рис. 3).

 

Программу написала. Сначала выполнила её без проверки ассоциативности строящихся квадратов, то есть получила все пандиагональные квадраты, среди которых, разумеется, находятся и идеальные. Программа выдала 2592 пандиагональных квадрата! Приведу два из них, первый и последний (рис. 7-8).

 

Квадрат № 1

 

 

Рис. 7

 

Квадрат № 2592

 

 

Рис. 8

 

Вот сколько пандиагональных квадратов! Во всех этих квадратах начальная цепочка имеет форму “ход конём”. И что самое интересное: во всех квадратах работают качели. Теперь я почти уверена, что Хендрикс строил все свои пандиагональные квадраты данным методом, то есть с помощью двух ортогональных латинских квадратов. Наверное, у него была аналогичная моей программа. И не получил он идеальные квадраты просто потому, что совсем ничего о них не знал, а ставил перед собой цель построения пандиагональных квадратов. Если бы он вставил в свою программу блок проверки ассоциативности строящихся квадратов, то получил бы идеальные квадраты.

Именно это я сейчас и сделаю: вставляю в программу блок проверки ассоциативности строящихся пандиагональных квадратов. Очень интересно, сколько же среди 2592 пандиагональных квадратов будет идеальных. Сейчас выполню новый вариант программы и посмотрю.

 

Вот они, идеальные квадратики! Их всего 48. Покажу здесь три квадрата из файла, в который они записаны программой. Все 48 квадратов можно посмотреть здесь:

 

http://www.natalimak1.narod.ru/mk/id9pril.htm

 

1

 3  78  20  50  17  40  70  28  63

 29  59  8  76  25  46  18  39  69

 44  67  34  55  9  75  24  47  14

 52  10  45  66  33  56  5  80  22

 81  21  51  11  41  71  31  61  1

 60  2  77  26  49  16  37  72  30

 68  35  58  7  73  27  48  15  38

 13  43  64  36  57  6  74  23  53

 19  54  12  42  65  32  62  4  79

 2

 3  80  22  68  33  38  52  10  63

 13  59  6  74  25  64  36  39  53

 42  47  16  55  9  75  26  67  32

 70  28  45  48  17  58  5  78  20

 81  21  71  31  41  51  11  61  1

 62  4  77  24  65  34  37  54  12

 50  15  56  7  73  27  66  35  40

 29  43  46  18  57  8  76  23  69

 19  72  30  44  49  14  60  2  79

 3

 7  78  56  50  17  40  66  28  27

 29  23  8  76  57  46  18  43  69

 44  67  30  19  9  79  60  47  14

 48  10  45  70  33  20  5  80  58

 81  61  51  11  41  71  31  21  1

 24  2  77  62  49  12  37  72  34

 68  35  22  3  73  63  52  15  38

 13  39  64  36  25  6  74  59  53

 55  54  16  42  65  32  26  4  75

 

Как видите, квадрат № 1 – это квадрат с рис. 6. Помещу квадрат № 3 в матрицу для большей наглядности (рис. 9):

 

 

Рис. 9

 

Здесь тоже интересно посмотреть на параллельные переносы на торе. Можно ли, например, идеальный квадрат с рис. 9 сделать начинающимся с числа 1, применив параллельный перенос на торе? Ответ отрицательный. Квадрат при таком преобразовании сохранит пандиагональность, но утратит ассоциативность. Смотрите на полученный квадрат (рис. 10):

 

 

Рис. 10

 

Этот пандиагональный квадрат я превращаю в идеальный преобразованием “строки-диагонали”. Смотрите новый идеальный квадрат на рис. 11. Этот идеальный квадрат хорош тем, что начинается с числа 1.

 

 

Рис. 11

 

И получился принципиально новый идеальный квадрат, в котором начальная цепочка не строится ходом шахматного коня. С точки зрения метода качелей изменились шаги качания качелей.

А для этого идеального квадрата тоже ведь существуют два ортогональных латинских квадрата, из которых он может быть построен. И тут мы имеем новую группу идеальных квадратов, которой соответствует совсем другая схема составления латинских квадратов.

 

Примечание: можно здесь исследовать и вопрос перестановок строк и столбцов. Сколько, например, из идеального квадрата с рис. 11 можно получить других идеальных квадратов перестановками строк и/или столбцов? Программы перестановки строк и столбцов у меня есть, но нужно время на их выполнение.

 

Чтобы узнать, как именно составляются латинские квадраты для новой группы идеальных квадратов, разложу имеющийся у меня квадрат этой группы (рис. 11) на два латинских квадрата. Вы видите эти квадраты на рис. 12 и рис. 13.

 

 

 

Рис. 12

 

 

Рис. 13

 

И схема составления латинских квадратов совершенно понятна! В первой строке первого латинского квадрата по-прежнему записываются числа от 0 до 8. Каждая следующая строка первого латинского квадрата получается из предыдущей тоже циклическим сдвигом с постоянным шагом, но только шаг здесь другой (имеем как раз случай циклической перестановки троек, отмеченный Чебраковым). Ну, а второй латинский квадрат получается из первого поворотом на 90 градусов с последующим отражением.

Оба латинских квадрата по-прежнему являются нетрадиционными идеальными магическими квадратами с магической константой 36.

 

Теперь надо написать новый вариант программы. Точно так же, как в приведённом выше примере, здесь возможно построение пандиагональных, но не идеальных квадратов. Не буду рассматривать не идеальные квадраты, сразу вставлю в программу блок проверки ассоциативности строящихся квадратов. Интересно, сколько идеальных квадратов будет в этой группе.

 

И опять получаю 48 идеальных квадратов! Вот такие чудеса. Покажу 7 первых квадратов, записанных программой в файл:

 

1

 1  44  78  46  26  15  64  62  33

 68  61  30  5  43  75  50  25  12

 54  22  11  72  58  29  9  40  74

 6  37  80  51  19  17  69  55  35

 66  59  34  3  41  79  48  23  16

 47  27  13  65  63  31  2  45  76

 8  42  73  53  24  10  71  60  28

 70  57  32  7  39  77  52  21  14

 49  20  18  67  56  36  4  38  81

 2

 1  44  78  46  62  15  64  26  33

 68  21  34  5  39  79  50  57  16

 54  58  11  72  22  29  9  40  74

 6  37  80  51  55  17  69  19  35

 70  23  30  7  41  75  52  59  12

 47  63  13  65  27  31  2  45  76

 8  42  73  53  60  10  71  24  28

 66  25  32  3  43  77  48  61  14

 49  56  18  67  20  36  4  38  81

 3

 1  42  80  64  24  35  46  60  17

 50  61  12  5  43  75  68  25  30

 72  20  31  54  56  13  9  38  76

 8  37  78  71  19  33  53  55  15

 48  59  16  3  41  79  66  23  34

 67  27  29  49  63  11  4  45  74

 6  44  73  69  26  28  51  62  10

 52  57  14  7  39  77  70  21  32

 65  22  36  47  58  18  2  40  81

 

 4

 1  42  80  64  60  35  46  24  17

 50  21  16  5  39  79  68  57  34

 72  56  31  54  20  13  9  38  76

 8  37  78  71  55  33  53  19  15

 52  23  12  7  41  75  70  59  30

 67  63  29  49  27  11  4  45  74

 6  44  73  69  62  28  51  26  10

 48  25  14  3  43  77  66  61  32

 65  58  36  47  22  18  2  40  81

 5

 11  45  67  29  27  4  74  63  49

 77  61  48  14  43  66  32  25  3

 35  24  1  80  60  46  17  42  64

 13  38  72  31  20  9  76  56  54

 75  59  52  12  41  70  30  23  7

 28  26  6  73  62  51  10  44  69

 18  40  65  36  22  2  81  58  47

 79  57  50  16  39  68  34  21  5

 33  19  8  78  55  53  15  37  71

 6

 11  45  67  29  63  4  74  27  49

 77  21  52  14  39  70  32  57  7

 35  60  1  80  24  46  17  42  64

 13  38  72  31  56  9  76  20  54

 79  23  48  16  41  66  34  59  3

 28  62  6  73  26  51  10  44  69

 18  40  65  36  58  2  81  22  47

 75  25  50  12  43  68  30  61  5

 33  55  8  78  19  53  15  37  71

 7

 11  43  69  47  7  24  56  79  33

 59  81  28  14  45  64  50  9  19

 53  4  21  62  76  30  17  40  66

 15  38  70  51  2  25  60  74  34

 55  77  36  10  41  72  46  5  27

 48  8  22  57  80  31  12  44  67

 16  42  65  52  6  20  61  78  29

 63  73  32  18  37  68  54  1  23

 49  3  26  58  75  35  13  39  71

 

Все 48 идеальных квадратов этой группы можно посмотреть здесь:

 

http://www.natalimak1.narod.ru/mk/id9pril3.htm

 

Квадрат № 4 – это квадрат с рис. 11. Помещу квадрат № 7 в матрицу (рис. 14):

 

 

Рис. 14

 

 

ТРЕТЬЯ СХЕМА СОСТАВЛЕНИЯ ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ

 

В статье http://www.klassikpoez.narod.ru/chebpan.htm , когда я только начинала исследовать данный метод построения идеальных квадратов 9-ого порядка, приведён такой идеальный квадрат, который разложен на два латинских квадрата (рис. 15):

 

 

Рис. 15

 

В этом идеальном квадрате, по сравнению с квадратами предыдущей группы, симметричные шаги качания качелей. И схема составления первого латинского квадрата в этом случае другая (смотрите в указанной статье на латинские квадраты, соответствующие этому идеальному квадрату). Тоже происходит циклическая перестановка троек, но по-другому. А второй латинский квадрат получается точно так же, как в предыдущем примере: поворот на 90 градусов и отражение относительно оси симметрии. Значит, в программе мне нужно изменить совсем немного: схему составления первого латинского квадрата. И я получаю новую группу идеальных квадратов! Ожидаю, что в ней снова будет 48 квадратов. Сейчас проверю.

 

Всё точно – снова 48 идеальных квадратов. Показываю первые 3 квадрата. Все 48 квадратов можно посмотреть здесь:

 

http://www.natalimak1.narod.ru/mk/id9pril4.htm

 

1

 1  26  15  64  62  78  46  44  33

 66  61  77  48  43  32  3  25  14

 47  45  31  2  27  13  65  63  76

 8  24  10  71  60  73  53  42  28

 70  59  75  52  41  30  7  23  12

 54  40  29  9  22  11  72  58  74

 6  19  17  69  55  80  51  37  35

 68  57  79  50  39  34  5  21  16

 49  38  36  4  20  18  67  56  81

 2

 1  24  35  46  60  80  64  42  17

 48  61  77  66  43  14  3  25  32

 67  45  11  4  27  29  49  63  74

 6  26  28  51  62  73  69  44  10

 52  59  75  70  41  12  7  23  30

 72  38  13  9  20  31  54  56  76

 8  19  33  53  55  78  71  37  15

 50  57  79  68  39  16  5  21  34

 65  40  18  2  22  36  47  58  81

 3

 1  62  15  64  26  78  46  44  33

 70  21  77  52  39  32  7  57  14

 47  45  31  2  63  13  65  27  76

 8  60  10  71  24  73  53  42  28

 66  23  79  48  41  34  3  59  16

 54  40  29  9  58  11  72  22  74

 6  55  17  69  19  80  51  37  35

 68  25  75  50  43  30  5  61  12

 49  38  36  4  56  18  67  20  81

 

Квадрат с рис. 15 выдался программой под № 2.

 

Есть ли ещё схемы составления латинских квадратов, дающие новые группы идеальных квадратов 9-ого порядка? Когда я разрабатывала метод качелей для построения идеальных квадратов нечётного порядка, установила, что для идеальных квадратов 9-ого порядка существуют такие шаги качания качелей: 1+6, 2+5, 3+4 и плюс симметричные шаги: 6+1, 5+2, 4+3. В самой первой группе идеальных квадратов, рассмотренной здесь, представлены квадраты с шагами качания качелей 1+6 (через 1 ячейку влево, через 6 ячеек вправо); во второй группе представлены квадраты с такими шагами: 2+5 (через 2 ячейки влево, через 5 ячеек вправо); в третьей группе представлены квадраты с симметричными шагами: 5+2 (через 5 ячеек влево, через 2 ячейки вправо). Как мы видели, каждой группе идеальных квадратов соответствует своя схема составления латинских квадратов, из которых эти идеальные квадраты строятся. Осталась не представленной группа идеальных квадратов с шагами 3+4 (не считая симметричных шагов качания). Сейчас поищу в своих статьях идеальный квадрат с такими шагами качания качелей (или с симметричными) и представлю эту группу идеальных квадратов.

 

ЧЕТВЁРТАЯ СХЕМА СОСТАВЛЕНИЯ ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ

 

В той же статье http://www.klassikpoez.narod.ru/chebpan.htm нахожу квадрат с нужными шагами качания качелей, но этот квадрат не идеальный, а пандиагональный, то есть в нём нет ассоциативности. Этот квадрат вы видите на рис. 16.

 

 

Рис. 16

 

Но тем интереснее. Такой пример мы уже видели выше, когда исходный квадрат был ассоциативным, но не пандиагональным. А затем по программе были построены все пандиагональные квадраты и из них выбраны идеальные.

Разложение приведённого пандиагонального квадрата на латинские квадраты выполнено в указанной статье. И мы имеем новую схему составления первого латинского квадрата. Теперь уже нет циклической перестановки троек, а просто циклический сдвиг с постоянным шагом, но шаг здесь другой. Второй латинский квадрат получается из первого так, как в первой схеме – отражение относительно горизонтальной оси симметрии.

Как понимают читатели, следует внести в программу для первой схемы небольшую корректировку, изменив схему составления первого латинского квадрата, и выполнить программу. Не буду строить все пандиагональные квадраты, в программе у меня уже есть блок проверки ассоциативности строящихся пандиагональных квадратов. Значит, программа выдаст только идеальные квадраты. Понятно, что пандиагонального квадрата с рис. 16 среди них не будет. Ожидаю ещё 48 новых идеальных квадратов.

 

Ещё 48 новых идеальных квадратов получено! Показываю 7 первых квадратов из файла, в который они записаны программой:

 

1

 6  12  68  79  49  19  38  62  36

 22  37  56  35  9  15  66  77  52

 18  69  75  50  25  40  55  29  8

 43  58  28  2  17  72  78  48  23

 71  81  51  21  41  61  31  1  11

 59  34  4  10  65  80  54  24  39

 74  53  27  42  57  32  7  13  64

 30  5  16  67  73  47  26  45  60

 46  20  44  63  33  3  14  70  76

 2

 7  13  68  78  57  28  38  53  27

 30  37  47  26  9  16  67  77  60

 18  70  76  59  33  39  46  20  8

 42  48  19  2  17  72  79  58  32

 71  81  61  31  41  51  21  1  11

 50  24  3  10  65  80  63  34  40

 74  62  36  43  49  23  6  12  64

 22  5  15  66  73  56  35  45  52

 55  29  44  54  25  4  14  69  75

 3

 4  20  59  80  33  10  39  70  54

 15  37  66  52  9  22  56  77  35

 27  58  74  32  17  42  64  48  7

 44  69  46  3  25  63  76  29  14

 61  81  31  11  41  71  51  1  21

 68  53  6  19  57  79  36  13  38

 75  34  18  40  65  50  8  24  55

 47  5  26  60  73  30  16  45  67

 28  12  43  72  49  2  23  62  78

 4

 8  24  59  76  65  46  39  34  18

 47  37  30  16  9  26  60  77  67

 27  62  78  68  49  38  28  12  7

 40  29  10  3  25  63  80  69  50

 61  81  71  51  41  31  11  1  21

 32  13  2  19  57  79  72  53  42

 75  70  54  44  33  14  4  20  55

 15  5  22  56  73  66  52  45  35

 64  48  43  36  17  6  23  58  74

 5

 3  29  50  80  25  10  40  69  63

 16  37  67  60  9  30  47  77  26

 36  48  74  23  17  43  64  58  6

 44  70  55  4  33  54  75  20  14

 51  81  21  11  41  71  61  1  31

 68  62  7  28  49  78  27  12  38

 76  24  18  39  65  59  8  34  46

 56  5  35  52  73  22  15  45  66

 19  13  42  72  57  2  32  53  79

 6

 8  34  50  75  65  55  40  24  18

 56  37  22  15  9  35  52  77  66

 36  53  79  68  57  38  19  13  6

 39  20  10  4  33  54  80  70  59

 51  81  71  61  41  21  11  1  31

 23  12  2  28  49  78  72  62  43

 76  69  63  44  25  14  3  29  46

 16  5  30  47  73  67  60  45  26

 64  58  42  27  17  7  32  48  74

 7

 2  48  32  79  17  19  42  58  72

 26  37  60  67  9  47  30  77  16

 54  29  75  14  25  44  55  69  4

 43  62  64  6  49  36  74  12  23

 31  81  11  21  41  61  71  1  51

 59  70  8  46  33  76  18  20  39

 78  13  27  38  57  68  7  53  28

 66  5  52  35  73  15  22  45  56

 10  24  40  63  65  3  50  34  80

 

На все 48 квадратов можно посмотреть здесь:

 

http://www.natalimak1.narod.ru/mk/id9pril5.htm

 

 

Помещу квадрат № 7 в матрицу для большей наглядности (рис. 17):

 

 

Рис. 17

 

Как видите, начальная цепочка в этом идеальном квадрате имеет точно такую же форму, как в пандиагональном квадрате с рис. 16.

 

Остались две группы квадратов с симметричными шагами качания качелей: 6+1 и 4+3. Читатели, знакомые с методом качелей, хорошо знают, как получить идеальные квадраты с симметричными шагами качания качелей. Поэтому я не буду показывать эти две группы квадратов.

 

Вот пример идеального квадрата с шагами качания качелей 6+1 из статьи http://www.klassikpoez.narod.ru/p9matr.htm

Смотрите в этой статье разложение этого идеального квадрат на латинские квадраты.

 

 

Рис. 18

 

ПЯТАЯ СХЕМА СОСТАВЛЕНИЯ ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ

 

Представлю очень оригинальный идеальный квадрат, построенный мной матричным методом, найденным в Интернете по ссылке:

 

http://www.grogono.com/magic/9x9.php

 

Этот квадрат вы видите на рис. 19.

 

 

 

Рис. 19

 

Совершенно необычная форма начальной цепочки! И в квадрате, к сожалению, не работает метод качелей. Поэтому, мне до сих пор никак не удавалось размножить этот идеальный квадрат, то есть построить подобные ему идеальные квадраты (подобными я называю квадраты, имеющие начальную цепочку одинаковой формы). Сейчас и попытаюсь сделать это с помощью рассматриваемого здесь метода, то есть с помощью латинских квадратов.

К сожалению, латинские квадраты, полученные разложением квадрата с рис. 19, не дали представления о схеме их составления. Дело в том, что квадрат на рис. 19 преобразован. Поэтому придётся взять идеальный квадрат в первозданном виде, этот квадрат вы видите на рис. 20. Я преобразовала первоначальный квадрат, применив комбинацию нескольких преобразований, чтобы сделать его начинающимся с числа 1.

 

 

Рис. 20

 

Этот идеальный квадрат тоже имеет очень оригинальную начальную цепочку. Разложу его на латинские квадраты (рис. 21 и рис. 22):

 

 

Рис. 21

 

 

Рис. 22

 

И схема составления обоих латинских квадратов становится понятной. Первый латинский квадрат строится новым способом: здесь не только циклическая перестановка троек, но и циклическая перестановка чисел в самих тройках. А второй латинский квадрат получается из первого просто поворотом на 90 градусов против часовой стрелки.

Оба латинских квадрата по-прежнему являются нетрадиционными идеальными магическими квадратами с магической константой 36.

 

Теперь надо написать новый вариант программы, изменив схему составления первого латинского квадрата. Сейчас сделаю это. Горю от нетерпения посмотреть, сколько подобных идеальных квадратов построит программа.

 

Программа выдала всего 8 идеальных квадратов, причём 4 из них эквивалентные. Показываю эти квадраты:

 

1

 5  20  17  58  73  70  33  48  45

 60  75  72  32  47  44  4  19  16

 31  46  43  6  21  18  59  74  71

 26  14  2  79  67  55  54  42  30

 81  69  57  53  41  29  25  13  1

 52  40  28  27  15  3  80  68  56

 11  8  23  64  61  76  39  36  51

 66  63  78  38  35  50  10  7  22

 37  34  49  12  9  24  65  62  77

 2

 5  58  33  20  73  48  17  70  45

 26  79  54  14  67  42  2  55  30

 11  64  39  8  61  36  23  76  51

 60  32  4  75  47  19  72  44  16

 81  53  25  69  41  13  57  29  1

 66  38  10  63  35  7  78  50  22

 31  6  59  46  21  74  43  18  71

 52  27  80  40  15  68  28  3  56

 37  12  65  34  9  62  49  24  77

 3

 23  2  17  78  57  72  49  28  43

 76  55  70  50  29  44  24  3  18

 51  30  45  22  1  16  77  56  71

 8  14  20  63  69  75  34  40  46

 61  67  73  35  41  47  9  15  21

 36  42  48  7  13  19  62  68  74

 11  26  5  66  81  60  37  52  31

 64  79  58  38  53  32  12  27  6

 39  54  33  10  25  4  65  80  59

 4

 23  78  49  2  57  28  17  72  43

 8  63  34  14  69  40  20  75  46

 11  66  37  26  81  52  5  60  31

 76  50  24  55  29  3  70  44  18

 61  35  9  67  41  15  73  47  21

 64  38  12  79  53  27  58  32  6

 51  22  77  30  1  56  45  16  71

 36  7  62  42  13  68  48  19  74

 39  10  65  54  25  80  33  4  59

 5

 59  4  33  80  25  54  65  10  39

 74  19  48  68  13  42  62  7  36

 71  16  45  56  1  30  77  22  51

 6  32  58  27  53  79  12  38  64

 21  47  73  15  41  67  9  35  61

 18  44  70  3  29  55  24  50  76

 31  60  5  52  81  26  37  66  11

 46  75  20  40  69  14  34  63  8

 43  72  17  28  57  2  49  78  23

 6

 59  80  65  4  25  10  33  54  39

 6  27  12  32  53  38  58  79  64

 31  52  37  60  81  66  5  26  11

 74  68  62  19  13  7  48  42  36

 21  15  9  47  41  35  73  67  61

 46  40  34  75  69  63  20  14  8

 71  56  77  16  1  22  45  30  51

 18  3  24  44  29  50  70  55  76

 43  28  49  72  57  78  17  2  23

 7

 77  24  49  62  9  34  65  12  37

 56  3  28  68  15  40  80  27  52

 71  18  43  74  21  46  59  6  31

 22  50  78  7  35  63  10  38  66

 1  29  57  13  41  69  25  53  81

 16  44  72  19  47  75  4  32  60

 51  76  23  36  61  8  39  64  11

 30  55  2  42  67  14  54  79  26

 45  70  17  48  73  20  33  58  5

 8

 77  62  65  24  9  12  49  34  37

 22  7  10  50  35  38  78  63  66

 51  36  39  76  61  64  23  8  11

 56  68  80  3  15  27  28  40  52

 1  13  25  29  41  53  57  69  81

 30  42  54  55  67  79  2  14  26

 71  74  59  18  21  6  43  46  31

 16  19  4  44  47  32  72  75  60

 45  48  33  70  73  58  17  20  5

 

Квадрат, изображённый на рис. 20, выдался программой под № 2. Помещу остальные 3 оригинальные квадрата в матрицу (рис. 23-25).

 

 

Рис. 23

 

 

Рис. 24

 

 

Рис. 25

 

Обратите внимание на то, что во всех трёх идеальных квадратах оригинальные начальные цепочки. Очень интересные получились квадраты!

 

Покажу превращение идеального квадрата с рис. 23 в идеальный квадрат, начинающийся с числа 1. Первые два преобразования – параллельный перенос на торе и отражение – дают такой пандиагональный квадрат (рис. 26):

 

 

Рис. 26

 

А теперь к квадрату на рис. 26 применяю преобразование “строки-диагонали” и получаю идеальный квадрат, начинающийся с числа 1 (рис. 27).

 

 

Рис. 27

 

Получился идеальный квадрат, подобный квадрату с рис. 19.

 

А вот превращение идеального квадрата с рис. 25 в идеальный квадрат, начинающийся с числа 1, несколько сложнее. Тут я сначала применяю преобразование нестандартной одновременной перестановки строк и столбцов с постоянным шагом [в данном случае – с шагом 3, то есть через 3 строки (столбца)]. Не знаю, как такое преобразование называется в науке и известно ли оно вообще. Я обнаружила его сама, когда исследовала идеальные квадраты 9-ого порядка. Оно применимо ко всем идеальным квадратам нечётного порядка и сохраняет идеальность квадрата. На рис. 28 вы видите идеальный квадрат, получившийся в результате применения этого преобразования к квадрату с рис. 25.

 

 

Рис. 28

 

Полученный идеальный квадрат ценен сам по себе. Посмотрите, какая в нём интересная начальная цепочка! Ну, а этот квадрат уже легко превратить в идеальный квадрат, начинающийся с числа 1. Преобразования такие: параллельный перенос на торе, отражение и “строки-диагонали”. Не буду подробно показывать каждое преобразование, потому что читателям уже знакомы все эти преобразования. На рис. 29 показан готовый идеальный квадрат.

 

 

Рис. 29

 

 

И перед вами новый идеальный квадрат, начинающийся с числа 1 и имеющий оригинальную начальную цепочку.

Предлагаю читателям аналогично превратить идеальный квадрат с рис. 24 в идеальный квадрат, начинающийся с числа 1.

 

Ещё более интересно то, что в этом примере второй латинский квадрат можно повернуть в другую сторону, то есть по часовой стрелке, оставляя первый латинский квадрат без изменения. Правда, в этом случае все квадраты получаются эквивалентными представленным выше 8 идеальным квадратам. Вот пример одного из этих идеальных квадратов:

 

5  26  11  60  81  66  31  52  37

 58  79  64  32  53  38  6  27  12

 33  54  39  4  25  10  59  80  65

 20  14  8  75  69  63  46  40  34

 73  67  61  47  41  35  21  15  9

 48  42  36  19  13  7  74  68  62

 17  2  23  72  57  78  43  28  49

 70  55  76  44  29  50  18  3  24

 45  30  51  16  1  22  71  56  77

 

 

 СХЕМА СОСТАВЛЕНИЯ ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ ПО ХЕНДРИКСУ

 

Сейчас перечитала статью http://www.klassikpoez.narod.ru/idlat.htm и обнаружила в ней разложение пандиагонального квадрата Хендрикса 15-ого порядка на латинские квадраты. Это совсем другая схема. Решила попробовать применить эту схему к квадратам 9-ого порядка. Получился интересный результат: идеальных квадратов программа не выдала, все квадраты только пандиагональные. Приведу один пример. На рис. 30 и рис. 31 вы видите латинские квадраты, составленные по данной схеме.

 

 

Рис. 30

 

 

Рис. 31

 

В первой строке первого латинского квадрата как обычно записаны числа от 0 до 8. Каждая следующая строка получается из предыдущей циклическим сдвигом с постоянным шагом. Второй латинский квадрат здесь составляет не совсем обычно. В первой строке этого квадрата тоже записаны числа от 0 до 8. Каждая следующая строка получается из предыдущей тоже циклическим сдвигом с постоянным шагом, но шаг другой, нежели в первом латинском квадрате. Очевидно, что второй латинский квадрат можно получить из первого латинского квадрата стандартной перестановкой строк.

Обратите внимание на то, что оба латинских квадрата являются нетрадиционными пандиагональными квадратами с магической константой 36.

На рис. 32 показан пандиагональный квадрат, построенный из этих латинских квадратов.

 

 

Рис. 32

 

Интересен факт: если в формуле построения пандиагонального квадрата поменять местами первый и второй латинские квадраты, получится пандиагональный квадрат, получающийся из квадрата с рис. 32 точно таким преобразованием, каким второй латинский квадрат получается из первого, а именно: стандартной перестановкой строк. Смотрите этот квадрат на рис. 33.

 

 

Рис. 33

 

И мы имеем квадрат с симметричными шагами качания качелей (по сравнению с квадратом на рис. 32).

 

***

Исчерпываются ли представленными примерами все возможные схемы составления двух ортогональных латинских квадратов, с помощью которых можно построить пандиагональные и идеальные квадраты 9-ого порядка? Разумеется, нет.

До разработки метода качелей я построила очень много идеальных квадратов 9-ого порядка другими методами. Вот, например, один из них (рис. 34):

 

 

Рис. 34

 

В этом идеальном квадрате совершенно необычная начальная цепочка. Качели здесь не работают. Тем не менее, квадрат идеальный. Можно ли размножить этот квадрат, то есть построить хоть несколько ему подобных квадратов?

Посмотрим, на какие латинские квадраты он раскладывается (рис. 35 и рис. 36):

 

 

Рис. 35

 

 

Рис. 36

 

Закономерности в составлении первого латинского квадрата я вижу и могу запрограммировать его составление. А вот закономерностей в составлении второго латинского квадрата не вижу. Ну, не то чтобы совсем не вижу. Например, вторая строка получается из первой циклическим сдвигом, третья строка получается из второй циклическим сдвигом с таким же шагом, а вот в четвёртой строке уже всё нарушается. Как формируются первая и четвёртая строки? В пятой и шестой строке снова циклический сдвиг с таким же шагом. Формирование седьмой строки опять непонятно. В восьмой и девятой опять циклический сдвиг с тем же шагом. Итак, непонятно формирование всего трёх строк – первой, четвёртой и седьмой.

Сейчас просто из интереса запрограммирую составление первого латинского квадрата. Посмотрю, сколько нетрадиционных идеальных магических квадратов с магической константой 36 составится по такой необычной схеме. Если такие латинские квадраты получатся, тогда надо к каждому из них просто составить ортогональный квадрат (кто умеет это делать, не зная прозрачной схемы?) и построение идеальных квадратов, подобных идеальному квадрату с рис. 34, обеспечено.

Написала и выполнила программу. Программа выдала всего два латинских квадрата, и один из них тот, что изображён на рис. 35. Другой первый латинский квадрат показываю на рис. 37:

 

 

Рис. 37

 

Этот латинский квадрат удовлетворяет всем требованиям: он является нетрадиционным идеальным магическим квадратом с магической константой 36.

 

Итак, чтобы клонировать идеальный квадрат с рис. 34, надо составить ортогональный латинский квадрат к латинскому квадрату, изображённому на рис. 37. Я пока не знаю, как это сделать. А вы?

Вот какой уникальный идеальный квадрат представлен на рис. 34! Если и существует ему подобный квадрат, то всего один.

 

***

 

Составила один ортогональный квадрат к латинскому квадрату с рис. 37, но он оказался только ассоциативным. Показываю этот латинский квадрат на рис. 38.

 

 

Рис. 38

 

В этом квадрате сумма чисел по всем разломанным диагоналям одного направления равна магической константе 36, и в двух разломанных диагоналях другого направления тоже есть магическая сумма. И всё-таки квадрат не является пандиагональным, а значит, не является идеальным. Строю с помощью двух латинских квадратов (рис. 37 и рис. 38) ассоциативный квадрат (рис. 39):

 

 

Рис. 39

 

Перед вами второй пример построения ассоциативного квадрата 9-ого порядка с помощью двух ортогональных латинских квадратов. Этот ассоциативный квадрат тоже почти пандиагональный, нет нужной суммы только в шести разломанных диагоналях из шестнадцати.

Остаётся открытым вопрос: как составить такой латинский квадрат, ортогональный к латинскому квадрату с рис. 37, чтобы он был нетрадиционным идеальным магическим квадратом с магической константой 36? Если такой квадрат составить удастся, тогда можно будет с помощью полученной пары ортогональных латинских квадратов построить идеальный квадрат.

А пока посмотрим, какой идеальный квадрат получится, если поменять местами латинские квадраты с рис. 35 и с рис. 36. Этот идеальный квадрат вы видите на рис. 40.

 

 

Рис. 40

 

Ещё один оригинальный квадратик получен.

А ещё я обобщила эту схему составления латинских квадратов подобно тому, как это сделано в статье http://www.klassikpoez.narod.ru/p9matr.htm

На рис. 40 представлена символьная матрица, составленная на основе двух латинских квадратов (рис. 35 и рис. 36).

 

 

Рис. 40

 

К этой матрице должны быть приложена таблица значений символов. Вот она (рис. 41):

 

 

Рис. 41

 

Напомню, как вычислять значения элементов в матрице. Например:

 

АВСА = 0 + 9 + 6 + 0 = 15

 

Если не прибавлять к каждому элементу матрицы единицу, то получится идеальный квадрат, заполненный числами от 0 до 80.

 

Постройте идеальный квадрат с помощью данной матрицы со значениями символов из таблицы 1, и вы получите идеальный квадрат, изображённый на рис. 34. Проверьте!

 

Приведённая символьная матрица позволяет построить несколько идеальных квадратов. Это достигается варьированием значений символов. Покажу два варианта. Значения символов для первого варианта даны в таблице на рис. 42.

 

 

Рис. 42

 

Произведён циклический сдвиг значений всех символов. Идеальный квадрат, построенный с такими значениями символов, вы видите на рис. 43.

 

 

Рис. 43

 

Мы получили ещё один оригинальный идеальный квадрат. В этом квадрате начальная цепочка имеет линейную форму. Редкий экземпляр!

 

Для второго варианта возьму такие значения символов (рис. 44):

 

 

Рис. 44

 

Здесь произведён ещё один циклический сдвиг всех значений символов и, кроме того, поменялись местами значения символов А и С. Полученный идеальный квадрат для этого варианта вы видите на рис. 45.

 

 

Рис. 45

 

Чудесная форма начальной цепочки в этом идеальном квадрате! До чего же красиво! Вы согласны со мной? Очевидно, что этот идеальный квадрат очень легко сделать начинающимся с числа 1, достаточно повернуть его на 180 градусов.

Предлагаю читателям построить ещё несколько вариантов идеальных квадратов 9-ого порядка с помощью приведённой на рис. 40 символьной матрицы.

 

Напомню читателям, что все эти прекрасные оригинальные идеальные квадраты я получила, взяв за основу схему составления латинских квадратов, которые получила разложением одного из построенных давно идеальных квадратов 9-ого порядка (рис. 34) [я взяла его в черновых записях, даже не помню, представлен ли он в какой-нибудь статье, потому что построением идеальных квадратов 9-ого порядка я занималась очень давно, задолго до изобретения метода качелей и даже метода цепей]. Идеальных квадратов 9-ого порядка мной построено очень много, большинство из них представлено в соответствующих статьях. Наверняка, среди этих квадратов можно найти ещё не одну оригинальную схему составления латинских квадратов и построить много новых идеальных квадратов с самыми причудливыми начальными цепочками.

 

Думаю, всем понятно, что аналогичные схемы составления можно применить к построению идеальных квадратов любого нечётного порядка. Интересно сделать это, например, для идеальных квадратов 15-ого порядка. При построении таких квадратов методом качелей мне не удалось, кажется, найти все виды идеальных квадратов, то есть квадраты со всеми шагами качания качелей. А таких шагов для квадратов 15-ого порядка должно быть шесть видов: 1+12, 2+11, 3+10, 4+9, 5+8, 6+7, плюс ещё симметричные шаги. Ну, с симметричными шагами всё просто. А вот шесть видов идеальных квадратов 15-ого порядка мне очень хочется получить. Возможно, это удастся сделать описанным здесь методом. Кроме того, наверняка возможны и такие идеальные квадраты 15-ого порядка, в которых качели не работают (как мы видели на примере идеальных квадратов 9-ого порядка). И таких вариантов должно быть ещё больше, чем для идеальных квадратов 9-ого порядка. Одним словом, здесь открывается необъятное поле для исследования.

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

Метод построения идеальных квадратов с помощью двух ортогональных латинских квадратов позволяет строить:

 

а) ассоциативные квадраты 9-ого порядка;

б) пандиагональные квадраты 9-ого порядка;

в) идеальные квадраты 9-ого порядка.

 

При этом мы получаем самые разнообразные формы начальных цепочек в зависимости от схемы составления латинских квадратов.

 

Напомню формулу построения идеальных квадратов 9-ого порядка из двух ортогональных латинских квадратов:

 

c_ij = 9*a_ij + b_ij + 1

 

где a_ij – элементы первого латинского квадрата, b_ij – соответствующие элементы второго латинского квадрата, c_ij – соответствующие элементы идеального квадрата.

Кроме того, можно построить идеальный квадрат из той же пары латинских квадратов, поменяв их местами, то есть использовать такую формулу:

 

c_ij = 9*b_ij + a_ij + 1

 

Все латинские квадраты, из которых могут быть построены идеальные квадраты, являются нетрадиционными идеальными магическими квадратами с магической константой 36. Соответственно для построения ассоциативных (пандиагональных) квадратов используются латинские квадраты, являющиеся нетрадиционными ассоциативными (пандиагональными) магическими квадратами с магической константой 36. Вы видели здесь пример, когда первый латинский квадрат является нетрадиционным идеальным магическим квадратом, а второй – только ассоциативным. Из этих латинских квадратов получился ассоциативный квадрат (см. рис. 37, 38, 39). И тут осталась задача: составить такой латинский квадрат, ортогональный к латинскому квадрату на рис. 37, который является нетрадиционным идеальным магическим квадратом с магической константой 36.

Решайте задачу, присылайте решение. Ну, я думаю, можно написать программку для решения этой задачи, компьютер должен справиться. А для тех, кто знает все приёмы составления ортогональных латинских квадратов, эта задачка элементарная. Мне очень интересно узнать, можно ли составить такой латинский квадрат.

 

***

 

Читайте мою виртуальную книгу “Волшебный мир магических квадратов”:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm

 

Если у вас возникли вопросы при чтении моих статей, присылайте их мне. С радостью отвечу. А ещё буду очень благодарна, если вы сообщите мне обнаруженные ошибки (ну, конечно, не из разряда простых опечаток).

Писать можно в Гостевую книгу или на форум сайта.

У меня возникло подозрение, что Гостевая книга на сайте снова не работает (такое уже было при полном заполнении выделенного для сайта объёма памяти на сайте http://klassikpoez.boom.ru ). Так как сайт www.klassikpoez.narod.ru уже полностью заполнен (100 МБ), возможно, и Гостевая книга перестала работать. Гипотеза. Но что-то уже очень долго в книге не появляются записи. Мои статьи уже пошли на новый сайт www.natalimak1.narod.ru . Но для вас это совсем незаметно, потому что указанная выше ссылка работает по-прежнему.

Поэтому очень прошу вас написать пару строк в Гостевую книгу, чтобы убедиться в том, что она работает (или не работает). Можете и покритиковать мои статьи. Если критика будет принципиальной, приму к сведению и постараюсь исправиться.

 

Всегда ваша Наталия Макарова.

 

 

8 – 11 августа 2008 г.

г. Саратов

 

ДОБАВЛЕНИЕ (26 АВГУСТА 2008 Г):

 

Гостевая книга сайта работает, в ней появились новые записи. Так что, пишите, уважаемые читатели.

А добавление касается того, что мне удалось составить ортогональный латинский квадрат к первому латинскому квадрату, полученному по программе (см. рис. 37). И даже не один! Всё оказалось очень просто.

 

Первый вариант:

 

Второй латинский квадрат получается из первого так: сначала повернём первый латинский квадрат на 90 градусов против часовой стрелки, а затем отразим полученный квадрат относительно горизонтальной оси симметрии. Можно выполнить и такие преобразования: поворот на 90 градусов по часовой стрелке с последующим отражением относительно вертикальной оси симметрии. Квадрат получится такой же.

Полученный второй латинский квадрат вы видите на рис. 46.

 

 

Рис. 46

 

Этот латинский квадрат является нетрадиционным идеальным магическим квадратом с магической константой 36.

Теперь построим идеальный квадрат из этой пары ортогональных латинских квадратов (рис. 37 и рис. 46). Полученный идеальный квадрат показан на рис. 47.

 

 

 

Рис. 47

 

В новом идеальном квадрате начальная цепочка получилась такая же, как в ассоциативном квадрате на рис. 39, но несколько отличается от начальной цепочки в исходном идеальном квадрате (рис. 34).

 

Второй вариант:

 

В этом варианте второй латинский квадрат получается из первого так: сначала повернём первый латинский квадрат на 90 градусов по часовой стрелке, а затем отразим относительно горизонтальной оси симметрии. Можно выполнить и такие преобразования: поворот на 90 градусов против часовой стрелки с последующим отражением относительно вертикальной оси симметрии. Квадрат получится такой же. Вы видите этот латинский квадрат на рис. 48.

 

 

Рис. 48

 

Строим идеальный квадрат из этой пары ортогональных латинских квадратов (рис. 37 и рис. 48). Полученный идеальный квадрат изображён на рис. 49.

 

 

Рис. 49

 

Получился идеальный квадрат с точно такой же формой начальной цепочки, как в предыдущем идеальном квадрате (рис. 47), то есть это подобные квадраты, но они не эквивалентные, а существенно различные.

 

***

 

Заглянув в Википедию (в статью “Латинский квадрат”), я обнаружила, что квадрат A&B, составленный из пары ортогональных латинских квадратов A и B, называется греко-латинским. Уже не раз составляла такие квадраты в своих статьях, но не знала, что они так называются. Вот, например, греко-латинский квадрат, составленный из ортогональных латинских квадратов с рис. 37 и с рис. 46 (см на рис. 50):

 

 

Рис. 50

 

Если смотреть на этот квадрат, как на магический квадрат, заполненный десятичными числами, то он является нетрадиционным идеальным магическим квадратом с магической константой 396. Фактически это уже готовый идеальный квадрат 9-ого порядка, надо только заменить в нём девятеричные числа их десятичными эквивалентами. Ну, и ещё прибавить ко всем числам единицу, если вы хотите получить идеальный квадрат, заполненный числами от 1 до 81. Если же не прибавлять единицу, получится идеальный квадрат, заполненный числами от 0 до 80. Замена девятеричных чисел их десятичными эквивалентами собственно и содержится в формуле построения идеального квадрата из двух ортогональных латинских квадратов.

 

***

 

Покажу ещё несколько оригинальных идеальных квадратов, полученных с помощью комбинации преобразований: параллельный перенос на торе плюс “строки-диагонали”. В качестве исходных квадратов буду брать квадраты последней группы, в этой группе представлены квадраты с начальной цепочкой разной формы. Надеюсь получить с помощью указанных преобразований ещё несколько новых идеальных квадратов.

 

Начну с идеального квадрата, изображённого на рис. 34. В результате указанных преобразований, применённых к этому квадрату, получен такой идеальный квадрат (рис. 51):

 

 

Рис. 51

 

Получен новый идеальный квадрат с оригинальной начальной цепочкой.

Следующий исходный идеальный квадрат берём с рис. 40. После преобразований получаем такой идеальный квадрат (рис. 52):

 

 

Рис. 52

 

Опять получается новый идеальный квадрат. Сколько же возможностей разнообразить идеальные квадраты даёт данная комбинация преобразований!

Далее вы видите преобразованный квадрат с рис. 43 (см. на рис. 53):

 

 

Рис. 53

 

Красивейшая начальная цепочка! Я такую красивую форму ещё не встречала.

 

Следующий исходный квадрат беру с рис. 45. Полученный в результате преобразований идеальный квадрат вы видите на рис. 54.

 

 

Рис. 54

 

Невероятно! Снова новая форма начальной цепочки. Ни одного подобного квадрата!

И последний исходный квадрат берём с рис. 47. Вот какой идеальный квадрат получен из этого квадрата (рис. 55):

 

 

Рис. 55

 

Как видите, получен ещё один новый идеальный квадрат.

 

Понятно, что каждому из представленных идеальных квадратов соответствует своя пара ортогональных латинских квадратов, которые составляются по своей схеме. Эту схему можно запрограммировать и построить ещё несколько подобных квадратов, как это было показано на примере идеального квадрата с рис. 34. Ещё можно составить символьную матрицу (как на рис. 40) и с её помощью построить другие идеальные квадраты.

 

А далее можно к каждому из представленных только что идеальных квадратов (рис. 51-55) снова применить ту же комбинацию преобразований: параллельный перенос на торе плюс “строки-диагонали”. Предлагаю читателям сделать это.

Кроме того, есть ещё одно преобразование для идеальных квадратов нечётного порядка: нестандартная одновременная перестановка строк и столбцов с постоянным шагом. Если применить это преобразование ко всем представленным здесь идеальным квадратам, наверное, получится ещё немало оригинальных идеальных квадратов. Попробуйте!

 

Как я уже говорила, у меня очень богатая коллекция идеальных квадратов 9-ого порядка. Больше всяких других магических квадратов! Неплохо было бы свести эту коллекцию на одной странице. Восхищаюсь разнообразием форм начальных цепочек в этих идеальных квадратах! И ведь это ещё далеко не все формы. Можно экспериментировать и находить другие оригинальные формы. Но меня ждут другие магические квадраты.

 

***

 

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу