ПОСТРОЕНИЕ ИДЕАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ 15-ого ПОРЯДКА

ПОСТРОЕНИЕ ИДЕАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ 15-ого ПОРЯДКА

С ПОМОЩЬЮ ДВУХ ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ

Часть II

В предыдущей части статьи были построены идеальные квадраты с новой формой начальной цепочки. Эта группа квадратов получена по четвёртой схеме составления латинских квадратов, с помощью которых строятся идеальные квадраты. Квадратов получилось всего 4.

Напомню, что второй латинский квадрат в этой схеме получается из первого отражением относительно горизонтальной оси симметрии.

Далее проведён такой эксперимент: первый латинский квадрат составляется точно так же, а второй латинский квадрат получается из первого поворотом на 90 градусов против часовой стрелки. И получено ещё 4 оригинальных идеальных квадрата с такой же формой начальной цепочки, то есть с такими же шагами качания качелей (3+10). Эти квадраты вы видите на рис. 1-4. Продолжаю нумерацию новых идеальных квадратов.

Новый идеальный квадрат № 5

4	159	63	215	167	203	44	86	103	112	132	136	190	21	60
137	188	29	56	13	157	72	211	175	201	45	79	99	108	125
88	97	117	121	145	186	30	49	9	153	65	212	173	209	41
220	171	210	34	84	93	110	122	143	194	26	58	7	162	61
54	3	155	62	218	179	206	43	82	102	106	130	141	195	19
128	149	191	28	52	12	151	70	216	180	199	39	78	95	107
37	87	91	115	126	150	184	24	48	5	152	68	224	176	208
66	225	169	204	33	80	92	113	134	146	193	22	57	1	160
18	50	2	158	74	221	178	202	42	76	100	111	135	139	189
119	131	148	187	27	46	10	156	75	214	174	198	35	77	98
207	31	85	96	120	124	144	183	20	47	8	164	71	223	172
165	64	219	168	200	32	83	104	116	133	142	192	16	55	6
185	17	53	14	161	73	217	177	196	40	81	105	109	129	138
101	118	127	147	181	25	51	15	154	69	213	170	197	38	89
166	205	36	90	94	114	123	140	182	23	59	11	163	67	222

Рис. 1

Новый идеальный квадрат № 6

12	149	78	216	52	128	39	70	28	107	199	151	191	95	180
157	188	99	175	13	137	79	211	56	125	45	72	29	108	201
73	17	109	196	161	185	105	177	14	138	81	217	53	129	40
221	50	135	42	74	18	111	202	158	189	100	178	2	139	76
179	3	141	82	218	54	130	43	62	19	106	206	155	195	102
203	159	190	103	167	4	136	86	215	60	132	44	63	21	112
32	64	16	116	200	165	192	104	168	6	142	83	219	55	133
80	225	57	134	33	66	22	113	204	160	193	92	169	1	146
93	171	7	143	84	220	58	122	34	61	26	110	210	162	194
114	205	163	182	94	166	11	140	90	222	59	123	36	67	23
124	31	71	20	120	207	164	183	96	172	8	144	85	223	47
150	87	224	48	126	37	68	24	115	208	152	184	91	176	5
186	97	173	9	145	88	212	49	121	41	65	30	117	209	153
25	118	197	154	181	101	170	15	147	89	213	51	127	38	69
46	131	35	75	27	119	198	156	187	98	174	10	148	77	214

Рис. 2

Новый идеальный квадрат № 7

4	84	148	220	167	203	194	156	93	112	132	61	35	26	60
62	38	29	51	3	82	147	211	170	206	195	154	99	118	130
153	97	117	121	65	41	30	49	9	88	145	212	173	209	186
215	176	210	184	159	103	115	122	68	44	21	48	7	87	136
54	13	85	137	218	179	201	183	157	102	106	125	71	45	19
128	74	36	18	52	12	76	140	221	180	199	189	163	100	107
187	162	91	110	131	75	34	24	58	10	77	143	224	171	198
146	225	169	204	193	160	92	113	134	66	33	22	57	1	80
28	55	2	83	149	216	168	202	192	151	95	116	135	64	39
119	126	63	37	27	46	5	86	150	214	174	208	190	152	98
207	181	155	101	120	124	69	43	25	47	8	89	141	213	172
90	139	219	178	205	182	158	104	111	123	67	42	16	50	11
40	17	53	14	81	138	217	177	196	185	161	105	109	129	73
96	108	127	72	31	20	56	15	79	144	223	175	197	188	164
166	200	191	165	94	114	133	70	32	23	59	6	78	142	222

Рис. 3

Новый идеальный квадрат № 8

12	74	163	221	52	128	189	140	18	107	199	76	36	100	180
82	38	99	170	3	62	154	211	51	130	195	147	29	118	206
138	17	109	196	81	40	105	177	14	73	161	217	53	129	185
216	55	135	192	149	28	116	202	83	39	95	168	2	64	151
179	13	71	157	218	54	125	183	137	19	106	201	85	45	102
203	84	35	93	167	4	61	156	220	60	132	194	148	26	112
182	139	16	111	205	90	42	104	178	11	67	158	219	50	123
160	225	57	134	193	146	22	113	204	80	33	92	169	1	66
103	176	7	68	159	215	48	122	184	136	21	115	210	87	44
114	200	78	32	94	166	6	70	165	222	59	133	191	142	23
124	181	141	25	120	207	89	43	101	172	8	69	155	213	47
75	162	224	58	131	187	143	24	110	198	77	34	91	171	10
41	97	173	9	65	153	212	49	121	186	145	30	117	209	88
20	108	197	79	31	96	175	15	72	164	223	56	127	188	144
46	126	190	150	27	119	208	86	37	98	174	5	63	152	214

Рис. 4

Следует отметить, что я провела ещё два эксперимента: составила второй латинский квадрат путём отражения первого латинского квадрата относительно вертикальной оси симметрии и путём поворота первого латинского квадрата на 90 градусов по часовой стрелке. В этих случаях получились эквивалентные идеальные квадраты. Поэтому не буду их показывать.

Применим к идеальному квадрату с рис. 1 преобразование параллельного переноса на торе. Полученный в результате пандиагональный квадрат вы видите на рис. 5. Очевидно, что в этом пандиагональном квадрате точно такая же форма начальной цепочки, как и в исходном квадрате с рис. 1.

66	225	169	204	33	80	92	113	134	146	193	22	57	1	160
18	50	2	158	74	221	178	202	42	76	100	111	135	139	189
119	131	148	187	27	46	10	156	75	214	174	198	35	77	98
207	31	85	96	120	124	144	183	20	47	8	164	71	223	172
165	64	219	168	200	32	83	104	116	133	142	192	16	55	6
185	17	53	14	161	73	217	177	196	40	81	105	109	129	138
101	118	127	147	181	25	51	15	154	69	213	170	197	38	89
166	205	36	90	94	114	123	140	182	23	59	11	163	67	222
4	159	63	215	167	203	44	86	103	112	132	136	190	21	60
137	188	29	56	13	157	72	211	175	201	45	79	99	108	125
88	97	117	121	145	186	30	49	9	153	65	212	173	209	41
220	171	210	34	84	93	110	122	143	194	26	58	7	162	61
54	3	155	62	218	179	206	43	82	102	106	130	141	195	19
128	149	191	28	52	12	151	70	216	180	199	39	78	95	107
37	87	91	115	126	150	184	24	48	5	152	68	224	176	208

Рис. 5

Чтобы этот пандиагональный квадрат снова стал идеальным, применим к нему преобразование “строки-дтагонали”. Новый оригинальный идеальный квадрат показан на рис. 6.

Новый идеальный квадрат № 9

66	182	87	69	191	81	62	192	84	71	186	77	72	189	86
103	225	23	91	213	28	105	218	16	93	223	30	98	211	18
50	112	169	59	115	170	52	109	179	55	110	172	49	119	175
201	2	132	204	11	126	197	12	129	206	6	122	207	9	131
148	45	158	136	33	163	150	38	151	138	43	165	143	31	153
65	187	79	74	190	80	67	184	89	70	185	82	64	194	85
96	212	27	99	221	21	92	222	24	101	216	17	102	219	26
58	120	173	46	108	178	60	113	166	48	118	180	53	106	168
200	7	124	209	10	125	202	4	134	205	5	127	199	14	130
141	32	162	144	41	156	137	42	159	146	36	152	147	39	161
73	195	83	61	183	88	75	188	76	63	193	90	68	181	78
95	217	19	104	220	20	97	214	29	100	215	22	94	224	25
51	107	177	54	116	171	47	117	174	56	111	167	57	114	176
208	15	128	196	3	133	210	8	121	198	13	135	203	1	123
140	37	154	149	40	155	142	34	164	145	35	157	139	44	160

Рис. 6

В этом идеальном квадрате линейная начальная цепочка! Совершенно новый вид идеального квадрата, который не прогнозировался с точки зрения метода качелей. Понятно, что подобные квадраты можно получить таким же образом из всех 8 идеальных квадратов предыдущей группы.

Интересно посмотреть на первый латинский квадрат, соответствующий этому очень оригинальному квадрату с линейной начальной цепочкой. На рис. 6а вы видите этот первый латинский квадрат.

4	12	5	4	12	5	4	12	5	4	12	5	4	12	5
6	14	1	6	14	1	6	14	1	6	14	1	6	14	1
3	7	11	3	7	11	3	7	11	3	7	11	3	7	11
13	0	8	13	0	8	13	0	8	13	0	8	13	0	8
9	2	10	9	2	10	9	2	10	9	2	10	9	2	10
4	12	5	4	12	5	4	12	5	4	12	5	4	12	5
6	14	1	6	14	1	6	14	1	6	14	1	6	14	1
3	7	11	3	7	11	3	7	11	3	7	11	3	7	11
13	0	8	13	0	8	13	0	8	13	0	8	13	0	8
9	2	10	9	2	10	9	2	10	9	2	10	9	2	10
4	12	5	4	12	5	4	12	5	4	12	5	4	12	5
6	14	1	6	14	1	6	14	1	6	14	1	6	14	1
3	7	11	3	7	11	3	7	11	3	7	11	3	7	11
13	0	8	13	0	8	13	0	8	13	0	8	13	0	8
9	2	10	9	2	10	9	2	10	9	2	10	9	2	10

Рис. 6а

Латинский квадрат получился обобщённым. Он по-прежнему является нетрадиционным идеальным магическим квадратом с магической константой 105.

Предлагаю читателям составить второй латинский квадрат и посмотреть, как он получается из первого латинского квадрата.

Ещё один оригинальный идеальный квадрат получаю, применив к идеальному квадрату № 5 (рис. 1) преобразование нестандартной одновременной перестановки строк и столбцов с шагом 7. В полученном идеальном квадрате (рис. 7) такая же форма начальной цепочки, как и в исходном квадрате, но она смещена вправо.

Новый идеальный квадрат № 10

192	200	16	32	55	83	6	104	165	116	64	133	219	142	168
130	218	141	179	195	206	19	43	54	82	3	102	155	106	62
105	161	109	73	129	217	138	177	185	196	17	40	53	81	14
39	52	78	12	95	151	107	70	128	216	149	180	191	199	28
170	181	197	25	38	51	89	15	101	154	118	69	127	213	147
68	126	224	150	176	184	208	24	37	48	87	5	91	152	115
11	94	163	114	67	123	222	140	166	182	205	23	36	59	90
22	33	57	80	1	92	160	113	66	134	225	146	169	193	204
136	167	190	203	21	44	60	86	4	103	159	112	63	132	215
111	74	135	221	139	178	189	202	18	42	50	76	2	100	158
79	13	99	157	108	72	125	211	137	175	188	201	29	45	56
198	27	35	46	77	10	98	156	119	75	131	214	148	174	187
212	145	173	186	209	30	41	49	88	9	97	153	117	65	121
164	120	71	124	223	144	172	183	207	20	31	47	85	8	96
58	84	7	93	162	110	61	122	220	143	171	194	210	26	34

Рис. 7

А теперь применю к этому квадрату такие же два преобразования, как применила к идеальному квадрату № 5: параллельный перенос на торе и “строки-диагонали”. Не буду показывать пандиагональный квадрат, получившийся в результате параллельного переноса на торе. На рис. 8 показан окончательный результат, это ещё один идеальный квадрат с линейной начальной цепочкой.

Новый идеальный квадрат № 11

22	220	94	20	224	97	25	214	95	29	217	100	19	215	104
165	33	143	163	31	150	153	38	148	151	45	138	158	43	136
167	116	57	171	114	47	176	117	51	174	107	56	177	111	54
82	190	64	80	194	67	85	184	65	89	187	70	79	185	74
135	3	203	133	1	210	123	8	208	121	15	198	128	13	196
17	221	102	21	219	92	26	222	96	24	212	101	27	216	99
157	40	139	155	44	142	160	34	140	164	37	145	154	35	149
180	108	53	178	106	60	168	113	58	166	120	48	173	118	46
77	191	72	81	189	62	86	192	66	84	182	71	87	186	69
127	10	199	125	14	202	130	4	200	134	7	205	124	5	209
30	213	98	28	211	105	18	218	103	16	225	93	23	223	91
152	41	147	156	39	137	161	42	141	159	32	146	162	36	144
172	115	49	170	119	52	175	109	50	179	112	55	169	110	59
90	183	68	88	181	75	78	188	73	76	195	63	83	193	61
122	11	207	126	9	197	131	12	201	129	2	206	132	6	204

Рис. 8

Даже не предполагала, что существуют идеальные квадраты 15-ого порядка с линейной начальной цепочкой!

Предлагаю читателям разложить данный идеальный квадрат на два латинских квадрата и посмотреть, по какой схеме эти квадраты составляются.

Однако пора вернуться к двум оставшимся видам идеальных квадратов, которые прогнозируются с точки зрения метода качелей. Это идеальные квадраты с такими шагами качания качелей: 4+9 и 5+8. Выше, как помнят читатели, была получена группа идеальных квадратов с шагами качания качелей 3+10. При этом я составила первый латинский квадрат, ничего не зная о создаваемом идеальном квадрате, кроме шагов качания качелей. Но именно шаги качания качелей и позволили составить первый латинский квадрат. Ну, а второй латинский квадрат составила наугад. Теперь проделаю точно такой же путь для шагов качания 4+9. Интересно, удастся ли получить идеальные квадраты с такими шагами качания качелей.

***

ПЯТАЯ СХЕМА

Итак, составляю первый латинский квадрат для построения идеальных квадратов 15-ого порядка, в которых работают качели с шагами качания 4+9. Этот латинский квадрат в символьном виде изображён на рис. 9.

F’

E’

D’

C’

B’

A’

F’

E’

D’

C’

B’

A’

E’

D’

C’

B’

A’

F’

E’

D’

C’

B’

A’

F’

E’

D’

C’

B’

A’

E’

D’

C’

B’

A’

F’

E’

D’

C’

B’

A’

F’

E’

D’

C’

B’

A’

E’

D’

C’

B’

A’

F’

E’

D’

C’

B’

A’

F’

E’

D’

C’

B’

A’

E’

D’

C’

B’

A’

F’

E’

D’

C’

B’

A’

F’

E’

D’

C’

B’

A’

E’

D’

C’

B’

A’

F’

Рис. 9

Латинский квадрат получился обобщённым. В квадрате закрашены ячейки, соответствующие циклам качания качелей с номерами 0, 7 и 14.

Составить латинский квадрат по схеме на рис. 9 надо так, чтобы он был нетрадиционным идеальным магическим квадратом с магической константой 105. По программе с этой задачей справиться очень просто. А вот как составить второй латинский квадрат, который будет ортогонален к первому и тоже должен быть нетрадиционным идеальным магическим квадратом с магической константой 105? Этого я не знаю и опять буду действовать наугад. Сначала попробую получить второй латинский квадрат из первого латинского квадрата путём отражения относительно горизонтальной оси симметрии. Затем путём поворота на 90 градусов против часовой стрелки.

Но сначала надо составить первый латинский квадрат. И вот тут произошло интересное событие: программа не нашла ни одного латинского квадрата по схеме с рис. 9, чтобы он был нетрадиционным идеальным магическим квадратом с магической константой 105! Получается, что эта схема оказалась негодной для построения идеального квадрата. Следовательно, идеальных квадратов 15-ого порядка с шагами качания качелей 4+9 не существует. Если, конечно, я нигде не ошиблась (это нельзя исключать – все могут ошибаться).

ШЕСТАЯ СХЕМА

Наконец, попытаюсь составить последнюю схему, для идеальных квадратов с такими шагами качания качелей: 5+8. На рис. 10 вы видите первый латинский квадрат в символьном виде для этой схемы.

B’

A’

F’

E’

D’

C’

F’

E’

D’

C’

B’

A’

F’

E’

D’

C’

B’

A’

E’

D’

C’

B’

A’

F’

E’

D’

C’

B’

A’

B’

A’

F’

E’

D’

C’

F’

E’

D’

C’

B’

A’

F’

E’

D’

C’

B’

A’

E’

D’

C’

B’

A’

F’

E’

D’

C’

B’

A’

B’

A’

F’

E’

D’

C’

F’

E’

D’

C’

B’

A’

F’

E’

D’

C’

B’

A’

E’

D’

C’

B’

A’

F’

E’

D’

C’

B’

A’

Рис. 10

Увы! По этой схеме программа тоже не составила ни одного латинского квадрата. Покажу на рис. 11 для примера один из латинских квадратов, составленных по схеме символьного квадрата с рис. 10. В этом квадрате всё хорошо, кроме одного: нет магической суммы всего в шести разломанных диагоналях из 28.

0	8	11	3	6	14	9	2	1	10	7	4	13	12	5
10	7	4	13	12	5	0	8	11	3	6	14	9	2	1
3	6	14	9	2	1	10	7	4	13	12	5	0	8	11
13	12	5	0	8	11	3	6	14	9	2	1	10	7	4
9	2	1	10	7	4	13	12	5	0	8	11	3	6	14
0	8	11	3	6	14	9	2	1	10	7	4	13	12	5
10	7	4	13	12	5	0	8	11	3	6	14	9	2	1
3	6	14	9	2	1	10	7	4	13	12	5	0	8	11
13	12	5	0	8	11	3	6	14	9	2	1	10	7	4
9	2	1	10	7	4	13	12	5	0	8	11	3	6	14
0	8	11	3	6	14	9	2	1	10	7	4	13	12	5
10	7	4	13	12	5	0	8	11	3	6	14	9	2	1
3	6	14	9	2	1	10	7	4	13	12	5	0	8	11
13	12	5	0	8	11	3	6	14	9	2	1	10	7	4
9	2	1	10	7	4	13	12	5	0	8	11	3	6	14

Рис. 11

На этом я завершаю исследование метода построения идеальных квадратов 15-ого порядка с помощью двух ортогональных латинских квадратов.

В заключение надо заметить, что рассмотренные схемы составления латинских квадратов, годных для построения идеальных квадратов 15-ого порядка, наверняка не исчерпывают всех схем. Почти уверена в том, что есть другие схемы, которые дают новые группы оригинальных идеальных квадратов 15-ого порядка. Здесь были рассмотрены только схемы, прогнозируемые методом качелей. Попутно с помощью преобразований была получена группа оригинальных квадратов с линейной начальной цепочкой. Эта группа не прогнозировалась методом качелей. Если кто-то из читателей заинтересуется данной темой и найдёт новые схемы построения идеальных квадратов 15-ого порядка, прошу написать мне об этом.

Наталия Макарова

***

Читайте мою виртуальную книгу “Волшебный мир магических квадратов”:

http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm

19 – 22 августа 2008 г.

г. Саратов

Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу

4	12	5	4	12	5	4	12	5	4	12	5	4	12	5
6	14	1	6	14	1	6	14	1	6	14	1	6	14	1
3	7	11	3	7	11	3	7	11	3	7	11	3	7	11
13	0	8	13	0	8	13	0	8	13	0	8	13	0	8
9	2	10	9	2	10	9	2	10	9	2	10	9	2	10
4	12	5	4	12	5	4	12	5	4	12	5	4	12	5
6	14	1	6	14	1	6	14	1	6	14	1	6	14	1
3	7	11	3	7	11	3	7	11	3	7	11	3	7	11
13	0	8	13	0	8	13	0	8	13	0	8	13	0	8
9	2	10	9	2	10	9	2	10	9	2	10	9	2	10
4	12	5	4	12	5	4	12	5	4	12	5	4	12	5
6	14	1	6	14	1	6	14	1	6	14	1	6	14	1
3	7	11	3	7	11	3	7	11	3	7	11	3	7	11
13	0	8	13	0	8	13	0	8	13	0	8	13	0	8
9	2	10	9	2	10	9	2	10	9	2	10	9	2	10

0	8	11	3	6	14	9	2	1	10	7	4	13	12	5
10	7	4	13	12	5	0	8	11	3	6	14	9	2	1
3	6	14	9	2	1	10	7	4	13	12	5	0	8	11
13	12	5	0	8	11	3	6	14	9	2	1	10	7	4
9	2	1	10	7	4	13	12	5	0	8	11	3	6	14
0	8	11	3	6	14	9	2	1	10	7	4	13	12	5
10	7	4	13	12	5	0	8	11	3	6	14	9	2	1
3	6	14	9	2	1	10	7	4	13	12	5	0	8	11
13	12	5	0	8	11	3	6	14	9	2	1	10	7	4
9	2	1	10	7	4	13	12	5	0	8	11	3	6	14
0	8	11	3	6	14	9	2	1	10	7	4	13	12	5
10	7	4	13	12	5	0	8	11	3	6	14	9	2	1
3	6	14	9	2	1	10	7	4	13	12	5	0	8	11
13	12	5	0	8	11	3	6	14	9	2	1	10	7	4
9	2	1	10	7	4	13	12	5	0	8	11	3	6	14

4	12	5	4	12	5	4	12	5	4	12	5	4	12	5
6	14	1	6	14	1	6	14	1	6	14	1	6	14	1
3	7	11	3	7	11	3	7	11	3	7	11	3	7	11
13	0	8	13	0	8	13	0	8	13	0	8	13	0	8
9	2	10	9	2	10	9	2	10	9	2	10	9	2	10
4	12	5	4	12	5	4	12	5	4	12	5	4	12	5
6	14	1	6	14	1	6	14	1	6	14	1	6	14	1
3	7	11	3	7	11	3	7	11	3	7	11	3	7	11
13	0	8	13	0	8	13	0	8	13	0	8	13	0	8
9	2	10	9	2	10	9	2	10	9	2	10	9	2	10
4	12	5	4	12	5	4	12	5	4	12	5	4	12	5
6	14	1	6	14	1	6	14	1	6	14	1	6	14	1
3	7	11	3	7	11	3	7	11	3	7	11	3	7	11
13	0	8	13	0	8	13	0	8	13	0	8	13	0	8
9	2	10	9	2	10	9	2	10	9	2	10	9	2	10

0	8	11	3	6	14	9	2	1	10	7	4	13	12	5
10	7	4	13	12	5	0	8	11	3	6	14	9	2	1
3	6	14	9	2	1	10	7	4	13	12	5	0	8	11
13	12	5	0	8	11	3	6	14	9	2	1	10	7	4
9	2	1	10	7	4	13	12	5	0	8	11	3	6	14
0	8	11	3	6	14	9	2	1	10	7	4	13	12	5
10	7	4	13	12	5	0	8	11	3	6	14	9	2	1
3	6	14	9	2	1	10	7	4	13	12	5	0	8	11
13	12	5	0	8	11	3	6	14	9	2	1	10	7	4
9	2	1	10	7	4	13	12	5	0	8	11	3	6	14
0	8	11	3	6	14	9	2	1	10	7	4	13	12	5
10	7	4	13	12	5	0	8	11	3	6	14	9	2	1
3	6	14	9	2	1	10	7	4	13	12	5	0	8	11
13	12	5	0	8	11	3	6	14	9	2	1	10	7	4
9	2	1	10	7	4	13	12	5	0	8	11	3	6	14

4	12	5	4	12	5	4	12	5	4	12	5	4	12	5
6	14	1	6	14	1	6	14	1	6	14	1	6	14	1
3	7	11	3	7	11	3	7	11	3	7	11	3	7	11
13	0	8	13	0	8	13	0	8	13	0	8	13	0	8
9	2	10	9	2	10	9	2	10	9	2	10	9	2	10
4	12	5	4	12	5	4	12	5	4	12	5	4	12	5
6	14	1	6	14	1	6	14	1	6	14	1	6	14	1
3	7	11	3	7	11	3	7	11	3	7	11	3	7	11
13	0	8	13	0	8	13	0	8	13	0	8	13	0	8
9	2	10	9	2	10	9	2	10	9	2	10	9	2	10
4	12	5	4	12	5	4	12	5	4	12	5	4	12	5
6	14	1	6	14	1	6	14	1	6	14	1	6	14	1
3	7	11	3	7	11	3	7	11	3	7	11	3	7	11
13	0	8	13	0	8	13	0	8	13	0	8	13	0	8
9	2	10	9	2	10	9	2	10	9	2	10	9	2	10

0	8	11	3	6	14	9	2	1	10	7	4	13	12	5
10	7	4	13	12	5	0	8	11	3	6	14	9	2	1
3	6	14	9	2	1	10	7	4	13	12	5	0	8	11
13	12	5	0	8	11	3	6	14	9	2	1	10	7	4
9	2	1	10	7	4	13	12	5	0	8	11	3	6	14
0	8	11	3	6	14	9	2	1	10	7	4	13	12	5
10	7	4	13	12	5	0	8	11	3	6	14	9	2	1
3	6	14	9	2	1	10	7	4	13	12	5	0	8	11
13	12	5	0	8	11	3	6	14	9	2	1	10	7	4
9	2	1	10	7	4	13	12	5	0	8	11	3	6	14
0	8	11	3	6	14	9	2	1	10	7	4	13	12	5
10	7	4	13	12	5	0	8	11	3	6	14	9	2	1
3	6	14	9	2	1	10	7	4	13	12	5	0	8	11
13	12	5	0	8	11	3	6	14	9	2	1	10	7	4
9	2	1	10	7	4	13	12	5	0	8	11	3	6	14