ПОСТРОЕНИЕ ИДЕАЛЬНЫХ КВАДРАТОВ 15-ого ПОРЯДКА

 

С ПОМОЩЬЮ ДВУХ ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ

 

Часть I

 

Продолжаю исследовать метод построения идеальных квадратов нечётного порядка с помощью двух ортогональных латинских квадратов. Рекомендую читателям данной страницы посмотреть все предыдущие статьи на эту тему, начиная с этой:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/chebpan.htm

 

Остановлюсь подробно на построении идеальных квадратов 15-ого порядка, как наиболее сложных в серии порядков n=3*(2k+1), k=1, 2, 3… Именно эти идеальные квадраты вызвали много затруднений при их построении, и не только у меня.

После того, как я очень подробно рассмотрела метод построения  с использованием латинских квадратов на примерах квадратов меньших нечётных порядков, а именно: пятого, седьмого и девятого, мне многое стало понятно.

 

Итак, в указанной выше статье приведён пример разложения идеального квадрата 15-ого порядка на два латинских квадрата. Продублирую этот пример здесь. На рис. 1 вы видите идеальный квадрат, а на рис. 2-3 два латинских квадрата, на которые он раскладывается.

 

 

Рис. 1

 

Примечание: данный идеальный квадрат построен методом нестандартных качелей (начальная цепочка не строится ходом шахматного коня), шаги качания качелей 2+11 (через 2 ячейки вправо, через 11 ячеек влево).

 

 

 

Рис. 2

 

 

Рис. 3

 

С этой схемы и начну. Совершенно очевидно, как составляется первый латинский квадрат и как из первого латинского квадрата получается второй латинский квадрат. Символьную матрицу покажу позже. Удобнее всё-таки составлять программу не для символьной матрицы, а так, как я делала это для квадратов 5-ого и 9-ого порядков. Напомню: на первом этапе в программе составляется первый латинский квадрат по конкретной схеме из приведённого примера. Кроме того, этот квадрат (как и второй латинский квадрат) должен являться нетрадиционным идеальным магическим квадратом с магической константой 105. На втором этапе составляется второй латинский квадрат ортогональный первому латинскому квадрату. На третьем этапе из двух составленных латинских квадратов по известной уже читателям формуле строится идеальный квадрат.

Надо отметить, что в этом случае оба квадрата являются обобщёнными латинскими квадратами.

 

Программа составлена быстро, потому что у меня есть уже несколько вариантов аналогичных программ, которые были составлены при построении идеальных квадратов 5-ого и 9-ого порядков. Но в отличие от маленьких квадратиков программа для квадратов 15-ого порядка выполняется очень долго, и поэтому я не выполняю её до конца. Мне достаточно несколько первых решений. Если выполнить программу полностью, решений будет очень много. Показываю два решения, стоящие в файле рядом, n-ое и (n+1)-ое. Смотрите эти идеальные квадраты на рис. 4 и на рис. 5.

 

 

Рис. 4

 

 

Рис. 5

 

Очевидно, что в этих идеальных квадратах форма начальной цепочки точно такая же, как в квадрате на рис. 1.

 

Посмотрите, как похожи построенные программой квадраты! Просто грех не показать комбинированное преобразование “плюс-минус …”, которым они связаны. На рис. 6 вы видите матрицу этого “идеального” преобразования; я называю так подобные преобразования за то, что они сохраняют идеальность квадрата.

 

 

Рис. 6

 

Удивительно красивое преобразование! Наложите эту матрицу на идеальный квадрат с рис. 4, выполните все действия с числами, попавшими в закрашенные ячейки, и вы получите идеальный квадрат с рис. 5.

 

А теперь ещё раз напомню связь данного метода с методом качелей. Эту связь я уже несколько раз отмечала в других статьях. На рис. 7 вы видите образующую таблицу идеального квадрата с рис. 1, сформированную при построении этого квадрата методом качелей.

 

 

Рис. 7

 

Посмотрите на первую строку первого латинского квадрата (рис. 2). В этой строке записаны номера циклов качания качелей, в точности так, как они записаны в последней строке образующей таблицы. Далее первый латинский квадрат заполняется так: всем числам идеального квадрата из набора, соответствующего номеру k=5, в латинском квадрате соответствует число 5, всем числам идеального квадрата следующего цикла качания качелей (k=6) в латинском квадрате соответствует число 6 и так далее. В идеальном квадрате на рис. 1 и в соответствующем ему первом латинском квадрате на рис. 2 эта связь показана раскраской.

 

Осталось показать, какой идеальный квадрат получится, если поменять местами первый и второй латинские квадраты в формуле. Этот идеальный квадрат вы видите на рис. 8.

 

 

Рис. 8

 

Как видите, получился эквивалентный квадрат.

 

Сформируем символьную матрицу для данной схемы подобно тому, как это было показано для квадратов 7-ого порядка. Поскольку здесь символов более чем в два раза больше, применю комплементарные символы. Это символы, дополняющие друг друга до 14. Например:

 

A’ = 14 – A   B’ = 14 – B    C’ = 14 – C

 

            и так далее.

Символьная матрица представлена на рис. 9.

 

 

Рис. 9

 

Значения основных символов в этой матрице для идеального квадрата с рис. 1 таковы: A=12, B=13, C=3, D=8, E=9, F=14, G=4, H=7. Как вычисляются комплементарные символы, ясно из приведённого выше примера.

Чтобы построить с помощью данной матрицы другие идеальные квадраты, надо варьировать значения символов. Неизменным должно оставаться только значение символа Н. Значения всех варьируемых символов могут принимать значения от 0 до 14, исключая число 7, так как это число закреплено за символом Н. Можете посчитать, сколько вариантов должна рассмотреть программа.

Составить программу очень просто. Надо организовать вложенные циклы по всем варьируемым символам и запрограммировать составление матрицы. Напомню формулу, по которой вычисляются элементы матрицы:

 

D’A = 15*D’ + A + 1 = 15*(14 – D) + A + 1 = 103.

 

По такой программе вы сможете построить очень много идеальных квадратов. Все они будут подобны идеальному квадрату с рис. 1.

 

Следует отметить, что два способа составления программы, которые здесь представлены, по сути одинаковы, и обе программы дадут одинаковые результаты. Так что выбирайте, какой способ вам больше нравится.

Понятно, что и метод качелей (если составить программу по приведённой на рис. 7 образующей таблице) даст точно такую же группу идеальных квадратов. Это следует из установленной связи между двумя методами: методом качелей и методом построения с помощью латинских квадратов.

 

Никак не могу понять, почему такой простой метод построения идеальных квадратов 15-ого порядка не был замечен ни Хендриксом, ни кем-либо ещё. Ведь Хендрикс, как я уже писала, точно строил свои пандиагональные квадраты 15-ого порядка с помощью латинских квадратов. Может быть, всё дело в том, что никому не была известна схема составления латинских квадратов для построения идеальных квадратов? Заметьте, что, как и прежде, я иду от известного мне идеального квадрата. Только разложив его на латинские квадраты, я узнаю схему составления латинских квадратов. Ну, или могу составить первый латинский квадрат, используя известные (опять же!) номера циклов качания качелей. Но дальше не знаю, как получить второй латинский квадрат. Возможно, существуют методы построения ортогональных латинских квадратов, до которых я пока так и не добралась. Всё это очень интересно исследовать глубже.

 

Ещё более интересно получить другие схемы составления латинских квадратов, чтобы построить новые группы идеальных квадратов 15-ого порядка. При разработке метода качелей я установила, что для квадратов 15-ого порядка возможны такие шаги качания качелей: 1+12, 2+11, 3+10, 4+9, 5+8, 6+7, ну и, как вы уже знаете, симметричные шаги: 7+6, 8+5, 9+4, 10+3, 11+2, 12+1. Как мне помнится, не все виды были построены методом качелей. Один из видов был только что построен с помощью обобщённых латинских квадратов. Понятно, что все те виды, которые мне удалось построить методом качелей, я смогу построить и с помощью латинских квадратов. А вот как быть с теми видами, которые не были построены методом качелей? Интересный вопрос! Поищите-ка на него ответ.

 

ВТОРАЯ СХЕМА

 

Представлю самый первый идеальный квадрат 15-ого порядка, который мне удалось построить методом качелей. Разумеется, составленная программа выдала очень много решений, я даже не выполнила её до конца. Этот квадрат построен в статье http://www.klassikpoez.narod.ru/idealob2.htm

Копирую его из этой статьи (рис. 10):

 

 

                                                                      Рис. 10

 

Квадрат построен стандартными качелями, начальная цепочка имеет форму “ход конём”. Шаги качания качелей таковы: 6+7 (через 6 ячеек влево, через 7 ячеек вправо). Это ещё один из перечисленных выше видов идеальных квадратов 15-ого порядка.

Теперь интересный момент: я не буду сразу раскладывать этот идеальный квадрат на два латинских квадрата, а попробую составить первый латинский квадрат по образующей таблице квадрата (таблица эта есть в указанной статье). В нижней строке образующей таблицы записаны номера циклов качания качелей, их и запишем в первую строку первого латинского квадрата (число 0 надо записать в ячейку, соответствующую числу из начальной цепочки, то есть числу 8). А дальше формируем латинский квадрат так, как было рассказано выше. На рис. 11 вы видите готовый первый латинский квадрат.

 

 

Рис. 11

 

Первый латинский квадрат получился! Это по-прежнему нетрадиционный идеальный магический квадрат с магической константой 105. Очевидно, что составляется этот латинский квадрат не так, как было показано в первом примере. Интересно отметить, что сейчас латинский квадрат получился не обобщённым, а нормальным (это значит, что любой элемент от 0 до 14 встречается в каждой строке и в каждом столбце квадрата только один раз).

 

 Как составить второй латинский квадрат ортогональный первому латинскому квадрату? Никак не доберусь до изучения методов составления ортогональных латинских квадратов. Поэтому прибегну к уже известному методу: найду дополнительный латинский квадрат, который в сумме с первым (по известной формуле) даёт идеальный квадрат с рис. 10. На рис. 12 вы видите этот квадрат.

 

 

Рис. 12

 

Очевидно, что второй латинский квадрат получается из первого отражением относительно горизонтальной оси симметрии. Он тоже является нетрадиционным идеальным магическим квадратов с магической константой 105.

И вторая схема составления латинских квадратов готова. Можно сформировать символьную матрицу, подобную матрице на рис. 9. Но я буду составлять программу первым способом, тем более что мне достаточно внести в имеющуюся у меня программу (для первой схемы) небольшие корректировки, касающиеся составления первого и второго латинских квадратов. И по этой программе я получу новую группу идеальных квадратов 15-ого порядка.

 

***

Программу откорректировала и выполнила; разумеется, не полностью. Получила сотню идеальных квадратов и прервала выполнение программы, потому что выполняться она будет очень долго. Покажу два решения, выбранных произвольно (рис. 13 и рис. 14).

 

 

Рис. 13

 

 

Рис. 14

 

В этой группе идеальные квадраты начинаются с самых разных чисел, но начальная цепочка сохраняет свою форму. Жаль, что не могу выполнить программу полностью и выяснить, сколько же идеальных квадратов будет в данной группе. Может быть, кто-нибудь из читателей найдёт ответ на этот вопрос.

 

Интересно здесь показать идеальный квадрат с точно такой же формой начальной цепочки, но начальная цепочка смещена влево. Этот квадрат я получила, применив к квадрату с рис. 10 преобразование нестандартной одновременной перестановки строк и столбцов с шагом 7. Вы видите этот идеальный квадрат на рис. 14а.

 

 

Рис. 14а

 

По сути дела мы имеем ещё одну группу идеальных квадратов. Предлагаю читателям посмотреть, по какой схеме составляются латинские квадраты для построения идеальных квадратов этой группы. Понятно, что между квадратами только что рассмотренной выше группы (к которой принадлежат квадраты с рис. 10, 13 и 14) и квадратами новой группы (к которой принадлежит квадрат с рис. 14а) существует взаимнооднозначное соответствие, потому что каждый квадрат новой группы получается из квадрата предыдущей группы преобразованием нестандартной одновременной перестановки строк и столбцов с шагом 7. А каждый квадрат предыдущей группы может быть получен из квадрата новой группы обратным преобразованием.

 

Итак, пока представлено только два вида идеальных квадратов из 6 возможных (с точки зрения метода качелей). Это не считая симметричных шагов качания качелей. А ведь, наверное, есть ещё идеальные квадраты 15-ого порядка, в которых метод качелей не работает (как мы видели на примере идеальных квадратов 9-ого порядка). О таких идеальных квадратах я вообще ничего не знаю. А вы?

Напомню читателям, что построению идеальных квадратов 15-ого порядка методом качелей посвящена статья http://www.klassikpoez.narod.ru/idealob8.htm

Сейчас я просмотрела эту статью. Квадратов первой группы (см. первый пример в настоящей статье), построенных нестандартными качелями и начинающихся с числа 1, в этой статье построено 1152.

 

***

 

ТРЕТЬЯ СХЕМА

 

На рис. 15 представляю идеальный квадрат третьего вида. В этом квадрате шаги качания качелей такие: через 1 ячейку влево, через 12 ячеек вправо.

 

 

Рис. 15

 

По какой схеме составляются латинские квадраты для построения идеальных квадратов такого вида? Чтобы ответить на этот вопрос, разложим данный идеальный квадрат на два латинских квадрата. Смотрите эти латинские квадраты на рис. 16 и рис. 17.

 

 

Рис. 16

 

Понятно, что достаточно записать первую строку этого латинского квадрата и начало второй строки, чтобы определить шаг циклического сдвига. Обратите внимание: начальная цепочка в идеальном квадрате в точности повторилась в первом латинском квадрате (это числа 0, как вы знаете, начальной цепочке соответствует цикл качания качелей с номером 0). Если вы будете строить идеальный квадрат с рис. 15 методом качелей, то номера циклов качания качелей будут такими: 0  10  8  11  7  3  6  4  14  5  2  1  13  12  9 (это числа из первой строки первого латинского квадрата). Проверьте!

Составляем второй латинский квадрат:

 

 

Рис. 17

 

Очевидно, что второй латинский квадрат получается из первого отражением относительно вертикальной оси симметрии. Оба латинских квадрата по-прежнему являются нетрадиционными идеальными магическими квадратами с магической константой 105.

И мы имеем третью схему составления латинских квадратов, которая даёт нам ещё одну группу идеальных квадратов, подобных квадрату с рис. 15.

 

Сейчас введу небольшие корректировки в программу и получу идеальные квадраты данной группы.

 

***

 

Представляю два идеальных квадрата новой группы, я выбрала их произвольно из файла, в который программа записала все решения (программу я, конечно, опять не выполнила до конца, ограничилась сотней решений). Смотрите новые идеальные квадраты на рис. 18 и на рис. 19.

 

 

Рис. 18

 

 

Рис. 19

 

 

ЧЕТВЁРТАЯ СХЕМА

 

Представлены три схемы составления латинских квадратов, каждая схема даёт свою группу идеальных квадратов 15-ого порядка. Просмотрев статью о построении идеальных квадратов 15-ого порядка методом качелей, я обнаружила, что методом качелей мне удалось построить только эти три вида. Остались не представленными идеальные квадраты с такими шагами качания качелей: 3+10, 4+9, 5+8. Как вы помните, целью этой статьи было: построить недостающие виды идеальных квадратов (с точки зрения метода качелей) с помощью латинских квадратов. Но теперь – заметьте! – у меня нет готовых идеальных квадратов новых видов, по которым я могла бы составить латинские квадраты и по этим латинским квадратам определить, как их надо составлять. Удастся ли построить новую группу идеальных квадратов, не зная ни одного квадрата этой группы?

 

Берём для первого примера шаги качания 3+10. Если такие идеальные квадраты могут быть построены с помощью латинских квадратов, то первый латинский квадрат должен выглядеть так (рис. 20):

 

 

Рис. 20

 

Вполне симпатичный латинский квадратик! Напомню, что символы с апострофом – это комплементарные символы, то есть A’ = 14 – A, B’ = 14 – B и так далее. Составить такой латинский квадрат по программе очень просто. Дело за вторым латинским квадратом. Как составлять его? Предположу наугад, что второй латинский квадрат получается из первого отражением относительно горизонтальной оси симметрии. Положив полученный таким образом второй латинский квадрат рядом с первым латинским квадратом с рис. 20, убеждаюсь в том, что эти два квадрата ортогональны.

Составляю новый вариант программы, введя в имеющуюся программу необходимые корректировки, и с волнением начинаю выполнять программу. Будут ли квадратики? И вот они появляются на экране монитора. Но… здесь происходят удивительные события! Программа выполняется очень быстро до конца и выдаёт всего 4 идеальных квадрата. Тогда я убираю из программы блок проверки пандиагональности строящихся квадратов и снова выполняю программу. В этом варианте программа выполняется несколько дольше и выдаёт 72 ассоциативных квадрата. Разумеется, 4 идеальных квадрата тоже находятся среди этих 72 квадратов.

 

Представлю сначала два ассоциативных квадрата, как иллюстрацию построения ассоциативных квадратов 15-ого порядка с помощью двух ортогональных латинских квадратов (рис. 21-22).

 

 

Рис. 21

 

Обратите внимание на то, как в этом квадрате повторились наборы чисел, соответствующих в первом латинском квадрате циклам с номерами 0, 7, 14. И в ассоциативных квадратах та же связь между первым латинским квадратом и номерами циклов качания качелей (как знают читатели, методом качелей можно строить и ассоциативные квадраты, об этом будет сказано дальше).

А следующий квадрат стоит рядом с только что представленным. Посмотрите, как они похожи! И опять квадраты связаны комбинированным преобразованием “плюс-минус …”. Только это уже не “идеальное” преобразование, оно переводит ассоциативный квадрат в ассоциативный.

 

 

 

Рис. 22

 

Покажу и матрицу преобразования “плюс-минус …”(рис. 23), связывающего ассоциативные квадраты с рис. 21 и с рис. 22:

 

 

Рис. 23

 

А теперь представлю образующую таблицу для ассоциативного квадрата с рис. 21 в подтверждение того, что в этом квадрате работают качели. Вы видите образующую таблицу на рис. 24.

 

 

Рис. 24

 

Сразу вслед за представленными ассоциативными квадратами программа выдала идеальный квадрат, который изображён на рис. 25. Это совсем новый идеальный квадрат 15-ого порядка, я такие квадраты ещё не строила.

 

Новый идеальный квадрат № 1

 

 

Рис. 25

 

Вот образующая таблица этого идеального квадрата, если бы мы строили его методом качелей (рис. 26):

 

 

Рис. 26

 

По образующей таблице очень хорошо видно, как набор чисел, соответствующий одному циклу качания качелей (этот набор находится в столбце образующей таблицы), ложится в идеальном квадрате точно в закрашенные ячейки. Например, числа начальной цепочки соответствуют циклу с номером 0 (k=0), все эти числа легли в оранжевые ячейки идеального квадрата. В первом латинском квадрате в оранжевых ячейках записан номер цикла – число 0. Далее, числа набора, соответствующего циклу с номером 7 (k=7), легли в идеальном квадрате в зелёные ячейки; в латинском квадрате в зелёных ячейках записан номер цикла – число 7. То же самое для цикла с номером 14 (k=14), сиреневые ячейки. И далее для всех остальных циклов качания качелей. Абсолютно чёткая закономерность, которая выражает связь образующей таблицы с первым латинским квадратом. Как вы видели, эта закономерность наблюдается и для ассоциативных квадратов, построенных данным методом.

 

Поскольку идеальных квадратов выдалось всего четыре, покажу их все. Уникальные экземпляры! Смотрите эти новые идеальные квадраты на рис. 27-29.

 

Новый идеальный квадрат № 2

 

 

Рис. 27

 

Новый идеальный квадрат № 3

 

 

Рис. 28

 

Новый идеальный квадрат № 4

 

 

Рис. 29

 

***

 

Уважаемые читатели! Перехожу на новую страницу, поскольку эта страница стала большой и неудобной для обновления. Читайте продолжение здесь:

 

http://www.natalimak1.narod.ru/id15p2.htm

 

 

 

15 – 19 августа 2008 г.

г. Саратов

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу