ОБ ИДЕАЛЬНЫХ КВАДРАТАХ ДВЕНАДЦАТОГО ПОРЯДКА

ОБ ИДЕАЛЬНЫХ КВАДРАТАХ ДВЕНАДЦАТОГО ПОРЯДКА

С НАЧАЛЬНОЙ ЦЕПОЧКОЙ “ХОД КОНЁМ”

Часть II

Всё правильно! Сейчас нашла ту самую программу и выполнила её для всех 8 начальных цепочек. Для каждой начальной цепочки программа выдала 8 решений. Итого у меня получилось 64 идеальных квадратов 12-ого порядка с начальной цепочкой “ход конём”, начинающихся с числа 1. Теперь посчитаем так: вполне резонно предположить, что идеальных квадратов, начинающихся с любого из 144 чисел, тоже будет 64. Следовательно, всего получается 64*144=9216 подобных идеальных квадратов. Такое же число я получила в предыдущей части статьи, считая по-другому.

Покажу идеальные квадраты с такой же начальной цепочкой, как в квадрате № 4 и в квадрате с рис. 27 (см. предыдущую часть статьи). Тут есть один нюанс: мне было лень писать в программе приведение образующей таблицы к правильному виду и превращение образующей таблицы в идеальный квадрат. Для нескольких частных решений я делаю это вручную. Сейчас и покажу, как это делается. Начну с образующей таблицы идеального квадрата с рис. 27 (напомню читателям, что построение выполняется методом качелей). Программа выдаёт образующую таблицу со смещением в столбцах, вот такую:

№ 1

1 5 7 10 11 4 9 2 3 6 8 12

144 84 48 36 60 132 24 96 120 108 72

133 73 37 25 49 121 13 85 109 97 61

137 77 41 29 53 125 17 89 113 101 65

139 79 43 31 55 127 19 91 115 103 67

142 82 46 34 58 130 22 94 118 106 70

143 83 47 35 59 131 23 95 119 107 71

136 76 40 28 52 124 16 88 112 100 64

141 81 45 33 57 129 21 93 117 105 69

134 74 38 26 50 122 14 86 110 98 62

135 75 39 27 51 123 15 87 111 99 63

138 78 42 30 54 126 18 90 114 102 66

140 80 44 32 56 128 20 92 116 104 68

Конечно, ещё вместе с образующей таблицей программа выдаёт и соответствующую ей начальную цепочку (она перед образующей таблицей написана).

Теперь покажу правильную образующую таблицу (рис. 1). Понятно, что я получила её из выданной программой таблицы, сделав соответствующие смещения в столбцах.

	1	140	75	45	35	55	121	20	87	117	107	67
-4	5	144	78	38	28	58	125	24	90	110	100	70
-2	7	133	80	39	33	59	127	13	92	111	105	71
-3	10	137	84	42	26	52	130	17	96	114	98	64
-1	11	139	73	44	27	57	131	19	85	116	99	69
7	4	142	77	48	30	50	124	22	89	120	102	62
-5	9	143	79	37	32	51	129	23	91	109	104	63
7	2	136	82	41	36	54	122	16	94	113	108	66
-1	3	141	83	43	25	56	123	21	95	115	97	68
-3	6	134	76	46	29	60	126	14	88	118	101	72
-2	8	135	81	47	31	49	128	15	93	119	103	61
-4	12	138	74	40	34	53	132	18	86	112	106	65
	k=0	k=11	k=6	k=3	k=2	k=4	k=10	k=1	k=7	k=9	k=8	k=5

Рис. 1

Теперь надо выполнить перенос чисел из образующей таблицы в идеальный квадрат. Как это делать, читатели, знакомые с методом качелей, хорошо знают. На рис. 2 вы видите готовый идеальный квадрат (это как раз квадрат с рис. 27 в предыдущей части статьи).

1	140	75	45	35	55	121	20	87	117	107	67
106	65	12	138	74	40	34	53	132	18	86	112
93	119	103	61	8	135	81	47	31	49	128	15
126	14	88	118	101	72	6	134	76	46	29	60
25	56	123	21	95	115	97	68	3	141	83	43
82	41	36	54	122	16	94	113	108	66	2	136
9	143	79	37	32	51	129	23	91	109	104	63
102	62	4	142	77	48	30	50	124	22	89	120
85	116	99	69	11	139	73	44	27	57	131	19
130	17	96	114	98	64	10	137	84	42	26	52
33	59	127	13	92	111	105	71	7	133	80	39
78	38	28	58	125	24	90	110	100	70	5	144

Рис. 2

Следующие идеальные квадраты (7 штук) с такой же начальной цепочкой представляю на рис. 3-9. Обратите внимание на то, что квадрат № 4 (из предыдущей части статьи) тоже вошёл в эту группу квадратов (см. рис. 5), что и понятно: ведь у него такая же начальная цепочка.

1	140	75	117	107	55	121	20	87	45	35	67
34	65	12	138	74	112	106	53	132	18	86	40
93	47	31	61	8	135	81	119	103	49	128	15
126	14	88	46	29	72	6	134	76	118	101	60
97	56	123	21	95	43	25	68	3	141	83	115
82	113	108	54	122	16	94	41	36	66	2	136
9	143	79	109	104	51	129	23	91	37	32	63
30	62	4	142	77	120	102	50	124	22	89	48
85	44	27	69	11	139	73	116	99	57	131	19
130	17	96	42	26	64	10	137	84	114	98	52
105	59	127	13	92	39	33	71	7	133	80	111
78	110	100	58	125	24	90	38	28	70	5	144

Рис. 3

1	140	87	45	35	67	121	20	75	117	107	55
106	53	12	138	86	40	34	65	132	18	74	112
81	119	103	49	8	135	93	47	31	61	128	15
126	14	76	118	101	60	6	134	88	46	29	72
25	68	123	21	83	115	97	56	3	141	95	43
94	41	36	66	122	16	82	113	108	54	2	136
9	143	91	37	32	63	129	23	79	109	104	51
102	50	4	142	89	48	30	62	124	22	77	120
73	116	99	57	11	139	85	44	27	69	131	19
130	17	84	114	98	52	10	137	96	42	26	64
33	71	127	13	80	111	105	59	7	133	92	39
90	38	28	70	125	24	78	110	100	58	5	144

Рис. 4

1	140	87	69	35	19	97	44	123	117	83	55
82	53	12	138	86	64	34	17	108	42	122	112
129	119	79	49	8	135	93	71	31	13	104	39
102	38	124	118	77	60	6	134	88	70	29	24
25	20	99	45	131	115	73	56	3	141	95	67
94	65	36	18	98	40	130	113	84	54	2	136
9	143	91	61	32	15	105	47	127	109	80	51
78	50	4	142	89	72	30	14	100	46	125	120
121	116	75	57	11	139	85	68	27	21	107	43
106	41	132	114	74	52	10	137	96	66	26	16
33	23	103	37	128	111	81	59	7	133	92	63
90	62	28	22	101	48	126	110	76	58	5	144

Рис. 5

1	140	87	117	83	19	97	44	123	69	35	55
34	53	12	138	86	112	82	17	108	42	122	64
129	71	31	49	8	135	93	119	79	13	104	39
102	38	124	70	29	60	6	134	88	118	77	24
73	20	99	45	131	67	25	56	3	141	95	115
94	113	84	18	98	40	130	65	36	54	2	136
9	143	91	109	80	15	105	47	127	61	32	51
30	50	4	142	89	120	78	14	100	46	125	72
121	68	27	57	11	139	85	116	75	21	107	43
106	41	132	66	26	52	10	137	96	114	74	16
81	23	103	37	128	63	33	59	7	133	92	111
90	110	76	22	101	48	126	62	28	58	5	144

Рис. 6

Сразу покажу простое преобразование “плюс-минус 48”, которым связаны два последних квадрата, смотрите матрицу этого преобразования на рис. 6а.

			+48	+48					-48	-48
-48					+48	+48					-48
	-48	-48					+48	+48
			-48	-48					+48	+48
+48					-48	-48					+48
	+48	+48					-48	-48
			+48	+48					-48	-48
-48					+48	+48					-48
	-48	-48					+48	+48
			-48	-48					+48	+48
+48					-48	-48					+48
	+48	+48					-48	-48

Рис. 6а

Вот какое интересное “идеальное” преобразование, то есть преобразование, сохраняющее идеальность квадрата!

Примечание: простым преобразованием “плюс-минус …” я называю такое преобразование, в котором участвует одно число, а комбинированным – в котором участвуют несколько чисел. Пример комбинированного преобразования смотрите в предыдущей части статьи.

Продолжаю представление идеальных квадратов с одинаковой начальной цепочкой. Мне осталось показать три квадрата.

1	140	87	117	107	67	121	20	75	45	35	55
34	53	12	138	86	112	106	65	132	18	74	40
81	47	31	49	8	135	93	119	103	61	128	15
126	14	76	46	29	60	6	134	88	118	101	72
97	68	123	21	83	43	25	56	3	141	95	115
94	113	108	66	122	16	82	41	36	54	2	136
9	143	91	109	104	63	129	23	79	37	32	51
30	50	4	142	89	120	102	62	124	22	77	48
73	44	27	57	11	139	85	116	99	69	131	19
130	17	84	42	26	52	10	137	96	114	98	64
105	71	127	13	80	39	33	59	7	133	92	111
90	110	100	70	125	24	78	38	28	58	5	144

Рис. 7

1	140	123	69	35	55	97	44	87	117	83	19
82	17	12	138	122	64	34	53	108	42	86	112
93	119	79	13	8	135	129	71	31	49	104	39
102	38	88	118	77	24	6	134	124	70	29	60
25	56	99	45	95	115	73	20	3	141	131	67
130	65	36	54	98	40	94	113	84	18	2	136
9	143	127	61	32	51	105	47	91	109	80	15
78	14	4	142	125	72	30	50	100	46	89	120
85	116	75	21	11	139	121	68	27	57	107	43
106	41	96	114	74	16	10	137	132	66	26	52
33	59	103	37	92	111	81	23	7	133	128	63
126	62	28	58	101	48	90	110	76	22	5	144

Рис. 8

1	140	123	117	83	55	97	44	87	69	35	19
34	17	12	138	122	112	82	53	108	42	86	64
93	71	31	13	8	135	129	119	79	49	104	39
102	38	88	70	29	24	6	134	124	118	77	60
73	56	99	45	95	67	25	20	3	141	131	115
130	113	84	54	98	40	94	65	36	18	2	136
9	143	127	109	80	51	105	47	91	61	32	15
30	14	4	142	125	120	78	50	100	46	89	72
85	68	27	21	11	139	121	116	75	57	107	43
106	41	96	66	26	16	10	137	132	114	74	52
81	59	103	37	92	63	33	23	7	133	128	111
126	110	76	58	101	48	90	62	28	22	5	144

Рис. 9

Итак, я показала 8 идеальных квадратов, имеющих одинаковую начальную цепочку. Думаю, что все квадраты этой группы связаны между собой преобразованием “плюс-минус …”.

Как сказано выше, по программе получено 64 идеальных квадратов, начиняющихся с числа 1. Заинтересовавшиеся читатели могут посмотреть на образующие таблицы всех 64 квадратов здесь:

http://www.natalimak1.narod.ru/mk/obrid12.htm

Выше показано, как превратить (неправильную, со смещением чисел в столбцах) образующую таблицу, выданную программой, в идеальный квадрат.

Интересный вопрос для серьёзных исследователей магических квадратов:

можно ли придумать такое формальное преобразование, с помощью которого из группы идеальных квадратов 12-ого порядка с начальной цепочкой “ход конём”, начинающихся с числа 1 (таких квадратов, как мы видели, 64), получалась бы группа идеальных квадратов, начинающихся с числа 2? А затем группа идеальных квадратов, начинающихся с числа 3, и так далее. Другими словами: надо показать путь, которым можно построить все 9216 подобных идеальных квадратов 12-ого порядка. А потом добавить к ним ещё одну группу из 9216 квадратов, получающихся из первой группы методом перестановки двух латинских квадратов, из которых построен каждый идеальный квадрат первой группы.

***

Читайте мою виртуальную книгу “Волшебный мир магических квадратов”:

http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm

7 августа 2008 г.

г. Саратов

Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу