Н. Макарова

 

ГРУППЫ ВЗАИМНО ОРТОГОНАЛЬНЫХ  ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ НЕЧЁТНОГО ПОРЯДКА

 

или

 

НОВЫЕ АСПЕКТЫ МЕТОДА ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ

 

Часть VII

 

Данная страница является продолжением страницы

http://www.natalimak1/narod.ru/grolk2.htm

а также цикла статей “Новые аспекты метода латинских квадратов”.

 

 

В предыдущих частях настоящей статьи рассматривались в основном группы взаимно ортогональных латинских квадратов чётного порядка, хотя и квадратам нечётного порядка было уделено внимание. Здесь я хочу остановиться подробнее на латинских квадратах нечётного порядка, в особенности с точки зрения применения пар ОЛК для построения магических квадратов.

 

Среди всех нечётных порядков можно рассматривать такие группы порядков:

1)     порядки, являющиеся простым числом или степенью простого числа;

2)     порядки не кратные 3;

3)     порядки кратные 3;

4)     порядки, для которых работает метод составных квадратов.

 

Понятно, что эти группы могут пересекаться, то есть существуют порядки, принадлежащие одновременно двум или даже трём группам. Например, порядок 27 принадлежит сразу трём группам – 1, 3 и 4. Кроме того, группа № 3 полностью входит в группу № 4. В самом деле, если нечётный порядок n кратен 3, то его можно представить так: n = 3*k, где k – нечётное число (разумеется, не имеет смысла рассматривать тривиальный случай k = 1). Понятно, что в таком случае для порядка n работает метод составных квадратов.

 

Наибольший интерес представляет группа № 3. Первый порядок в этой группе – 9. Понятно, что этот порядок принадлежит также группе № 1. Как уже знают читатели, группа взаимно ортогональных латинских квадратов 9-го порядка полная и состоит из восьми квадратов. Эту группу можно составить в пакете Maple. Она уже была показана в одной из предыдущих частей статьи.

Однако интересно показать пары ОЛК 9-го порядка, которые позволяют построить ассоциативные и идеальные магические квадраты. Именно этот вопрос очень занимал меня, когда я рассматривала построение идеальных магических квадратов 9-го порядка методом латинских квадратов. Мне не сразу удалось найти способ составления такой пары ОЛК, из которой можно было бы построить идеальный магический квадрат. Я шла от известных идеальных квадратов, построенных методом качелей, раскладывая их на два ортогональных латинских квадрата.

 

Сначала покажу пару ОЛК 9-го порядка, из которой можно построить ассоциативный магический квадрат (рис. 1 – 2)

(копирую из статьи http://www.klassikpoez.narod.ru/idlat.htm ).

 

 

Рис. 1

 

 

Рис. 2

 

Первый латинский квадрат строится очень просто (см. подробно в указанной статье), а второй латинский квадрат получается из первого отражением относительно горизонтальной оси симметрии.

А теперь показываю пару ОЛК, из которой строится идеальный магический квадрат (рис. 3 - 4) (копирую из той же самой статьи):

 

 

Рис. 3

 

 

Рис. 4

 

В этой паре тоже второй латинский квадрат получается из первого отражением относительно горизонтальной оси симметрии. В первом латинском квадрате точно так же каждая следующая строка получается из предыдущей циклическим сдвигом с постоянным шагом. Всё отличие от предыдущего примера только в первой строке первого латинского квадрата. Вот эта строка и определяется циклами качания качелей в методе качелей, с помощью которого я строила сначала идеальные магические квадраты.

Далее мной было получено ещё много пар ОЛК, которые дают идеальные магические квадраты 9-го порядка. Смотрите подробно об этом статью http://www.natalimak1.narod.ru/id9new.htm

Были составлены и пары ортогональных обобщённых латинских квадратов. Вот один пример из указанной статьи (рис. 5 – 6):

 

 

Рис. 5

 

 

Рис. 6

 

А это идеальный магический квадрат, построенный из данной пары ОЛК (рис. 7):

 

 

Рис. 7

 

Замечу, что в этом идеальном квадрате начальная цепочка не строится ходом шахматного коня. Однако для этого квадрата действует метод качелей.

 

Совсем недавно на форуме dxdy.ru выложили очень интересный цикл статей “Анатомия магических квадратов” из журнала “Recreational Mathematics”. Этот цикл статей относится к 1938 – 1945 гг. Жаль, что статьи написаны по-английски. Но мне всё равно кое-что удалось понять. И вот перед вами картина построения пары ОЛК 9-го порядка, которая даёт идеальные магические квадраты (рис. 8):

 

 

Рис. 8

 

Вот она – та самая пара ОЛК 9-го порядка, которую я так долго искала! И для построения этой пары не нужен ни метод качелей, ни метод цепей. Она строится сама по себе, без всяких подсказок.

На иллюстрации написано, что магический квадрат можно построить двумя способами: либо по формуле A + 9B, либо по формуле 9А + B. Это понятно, мы знаем, что латинские квадраты можно менять местами в формуле для построения магического квадрата.

Обратите внимание: в первом латинском квадрате каждая следующая строка получается из предыдущей циклическим сдвигом с постоянным шагом, а второй латинский квадрат получается из первого отражением относительно вертикальной оси симметрии.

На рис. 9 показан один идеальный магический квадрат, построенный из данной пары ОЛК.

 

 

Рис. 9

 

В этом идеальном квадрате начальная цепочка имеет форму “ход конём”.

Забегая вперёд, я посмотрела, как строится в цикле статей второй латинский квадрат в паре ОЛК 15-го порядка, и точно так же построила второй латинский квадрат 9-го порядка (в журнале этот вариант не приведён). Этот латинский квадрат тоже ортогонален латинскому квадрату А, изображённому на иллюстрации из журнала. Вы видите этот латинский квадрат на рис. 10.

 

 

Рис. 10

 

Мы имеем ещё одну пару ОЛК (квадрат А с рис. 8 и квадрат с рис. 10), из которой можем построить два новых идеальных магических квадрата. Один из этих магических квадратов показан на рис. 11.

 

 

Рис. 11

 

Следующий порядок в рассматриваемой группе – 15. Этот тот самый порядок, для которого построение идеального магического квадрата очень долго не удавалось выполнить.

Г. Александров сделал это в конце 2007 г. методом цепей, а мне удалась построить идеальные магические квадраты 15-го порядка несколько позже методом качелей. При этом Александров получил идеальные магические квадраты только с начальной цепочкой “ход конём”, а методом качелей строятся ещё идеальные магические квадраты с другой формой начальной цепочки.

Неверно говорить, что Александров первым в мире построил идеальный магический квадрат 15-го порядка, как об этом написано на некоторых форумах. В указанном цикле статей (стр. 206, фигура 11) приведена пара ОЛК 15-го порядка, из которой можно построить идеальный магический квадрат. Я уже показала эту пару в предыдущей части статьи, поэтому не буду дублировать её здесь. Как уже было сказано, указанный цикл статей относится к 1938 – 1945 гг. Таким образом, первый идеальный магический квадрат 15-го порядка был построен в первой половине XX века, а не в 2007 г.

Была показана и пара ОЛК, полученная мной из готового идеального квадрата, построенного методом качелей. Покажу здесь пару ОЛК 15-го порядка, из которой строится ассоциативный магический квадрат, аналогичная пара ОЛК 9-го порядка показана выше (см. рис. 1 – 2). Первый латинский квадрат этой пары составляется очень просто, второй латинский квадрат получается из первого отражением относительно горизонтальной оси симметрии. Смотрите эту пару ОЛК на рис. 12 – 13.

 

 

Рис. 12

 

 

Рис. 13

 

На рис. 14 вы видите ассоциативный магический квадрат 15-го порядка, построенный из данной пары ОЛК.

 

 

Рис. 14

 

Понятно, что можно из данной пары построить и второй ассоциативный магический квадрат, поменяв местами латинские квадраты в формуле для построения магического квадрата.

О построении идеальных магических квадратов 15-го порядка методом латинских квадратов подробнее смотрите в статье http://www.natalimak1.narod.ru/id15new.htm (статья написана в двух частях).

 

Построение пары ОЛК 15-го порядка методом составных квадратов показано в одной из предыдущих частей моей серии статей об ортогональных латинских квадратах.

Наконец, математикам удалось составить группу взаимно ортогональных латинских квадратов 15-го порядка, состоящую из 4 квадратов. Мне эта группа неизвестна.

 

Далее мне стало очень интересно составить пару ОЛК 21-го порядка точно таким же способом, какой показан в цикле статей из журнала “Recreational Mathematics”. Для данного порядка в журнале не приводится пара ОЛК (по крайней мере, в явном виде, а в тексте, возможно, что-нибудь сказано о составлении такой пары ОЛК, но я не понимаю текст на английском языке).

Думаю, не стоит показывать пару ОЛК для построения ассоциативных магических квадратов 21-го порядка. Читатели могут самостоятельно составить такую пару по аналогии с парами ОЛК 9-го и 15-го порядков. Поэтому я сразу приступаю к составлению пары ОЛК, из которой можно построить идеальные магические квадраты. Повторяю, что делать это я буду точно так же, как в журнале построены пары ОЛК 9-го и 15-го порядков. То есть теперь я абсолютно отвлеклась от метода качелей, который раньше давал мне необходимую информацию для построения таких пар ОЛК для всех порядков рассматриваемой группы.

На рис. 15 изображён первый латинский квадрат пары ОЛК 21-го порядка.

 

Первый латинский квадрат 21-го порядка

 

 

Рис. 15

 

Закономерности составления этого латинского квадрата абсолютно прозрачны, я составила его вручную за 10 минут. Необыкновенная гармония!

Второй латинский квадрат (ортогональный соквадрат для построенного латинского квадрата) я буду составлять несколькими способами. Сначала получу второй латинский квадрат из первого отражением относительно горизонтальной оси симметрии. Не буду показывать этот латинский квадрат, покажу только один идеальный магический квадрат 21-го порядка, построенный из полученной пары ОЛК (квадрат показан в том виде, как он записан программой в файл).

 

19  25  173  153  136  305  285  268  416  438  381  64  86  114  197  217  246  329  349  377  63

 66  85  107  198  218  238  330  350  370  62  21  40  172  152  132  304  284  264  415  437  396

 42  187  151  131  300  283  263  411  436  395  81  87  106  191  219  239  322  351  371  55  20

 102  108  190  212  240  323  343  372  56  13  41  189  166  130  299  279  262  410  432  394  80

 188  168  145  298  278  258  409  431  390  79  101  123  192  211  233  324  344  364  57  14  34

 122  207  213  232  317  345  365  49  15  35  181  167  147  313  277  257  405  430  389  75  100

 160  146  315  292  256  404  426  388  74  96  121  206  228  234  316  338  366  50  7  36  182

 205  227  249  318  337  359  51  8  28  183  161  139  314  294  271  403  425  384  73  95  117

 140  307  293  273  418  424  383  69  94  116  201  226  248  333  339  358  44  9  29  175  162

 222  247  332  354  360  43  2  30  176  154  141  308  286  272  420  439  382  68  90  115  200

 309  287  265  419  441  397  67  89  111  199  221  243  331  353  375  45  1  23  177  155  133

 242  327  352  374  60  3  22  170  156  134  301  288  266  412  440  399  82  88  110  195  220

 280  267  413  433  398  84  103  109  194  216  241  326  348  373  59  18  24  169  149  135  302

 325  347  369  58  17  39  171  148  128  303  281  259  414  434  391  83  105  124  193  215  237

 260  406  435  392  76  104  126  208  214  236  321  346  368  54  16  38  186  150  127  296  282

 342  367  53  12  37  185  165  129  295  275  261  407  427  393  77  97  125  210  229  235  320

 408  428  385  78  98  118  209  231  250  319  341  363  52  11  33  184  164  144  297  274  254

 362  48  10  32  180  163  143  312  276  253  401  429  386  70  99  119  202  230  252  334  340

 422  387  71  91  120  203  223  251  336  355  361  47  6  31  179  159  142  311  291  255  400

 46  5  27  178  158  138  310  290  270  402  421  380  72  92  112  204  224  244  335  357  376

 379  65  93  113  196  225  245  328  356  378  61  4  26  174  157  137  306  289  269  417  423

 

 

Теперь получаю второй латинский ортогональный соквадрат для латинского квадрата с рис. 15 путём отражения этого квадрата относительно вертикальной оси симметрии. Этот латинский квадрат тоже не показываю, потому что читатели могут самостоятельно выполнить указанное преобразование первого латинского квадрата с рис. 15. Далее показан один идеальный магический квадрат, построенный из новой пары ОЛК.

 

3  39  185  163  138  305  283  258  404  424  397  84  104  118  203  225  238  323  345  359  43

82  105  125  202  224  246  322  344  366  44  1  24  186  164  142  306  284  262  405  425  382

22  171  165  143  310  285  263  409  426  383  67  103  126  209  223  245  330  343  365  51  2

88  124  210  230  244  329  351  364  50  9  23  169  150  144  311  289  264  410  430  384  68

170  148  129  312  290  268  411  431  388  69  89  109  208  231  251  328  350  372  49  8  30

110  193  229  252  335  349  371  57  7  29  177  149  127  297  291  269  415  432  389  73  90

156  128  295  276  270  416  436  390  74  94  111  194  214  250  336  356  370  56  15  28  176

195  215  235  334  357  377  55  14  36  175  155  135  296  274  255  417  437  394  75  95  115

134  303  275  253  402  438  395  79  96  116  199  216  236  319  355  378  62  13  35  183  154

220  237  320  340  376  63  20  34  182  162  133  302  282  254  400  423  396  80  100  117  200

301  281  261  401  421  381  81  101  121  201  221  241  321  341  361  61  21  41  181  161  141

242  325  342  362  46  19  42  188  160  140  309  280  260  408  422  379  66  102  122  205  222

288  259  407  429  380  64  87  123  206  226  243  326  346  363  47  4  40  189  167  139  308

327  347  367  48  5  25  187  168  146  307  287  267  406  428  387  65  85  108  207  227  247

266  414  427  386  72  86  106  192  228  248  331  348  368  52  6  26  172  166  147  314  286

352  369  53  10  27  173  151  145  315  293  265  413  435  385  71  93  107  190  213  249  332

412  434  393  70  92  114  191  211  234  333  353  373  54  11  31  174  152  130  313  294  272

374  58  12  32  178  153  131  298  292  273  419  433  392  78  91  113  198  212  232  318  354

440  391  77  99  112  197  219  233  316  339  375  59  16  33  179  157  132  299  277  271  420

60  17  37  180  158  136  300  278  256  418  441  398  76  98  120  196  218  240  317  337  360

399  83  97  119  204  217  239  324  338  358  45  18  38  184  159  137  304  279  257  403  439

 

Наконец, составляю ещё один латинский ортогональный соквадрат точно так, как это сделано в указанном цикле статей из журнала при построении пары ОЛК 15-го порядка. Этот  латинский квадрат изображён на рис. 16.

 

 

Рис. 16

 

Осталось построить идеальные магические квадраты из новой пары ОЛК. На рис. 17 показан один из этих магических квадратов.

 

 

Рис. 17

 

Все построенные выше идеальные магические квадраты 21-го порядка имеют начальную цепочку формы “ход конём”.

Для порядков 9 и 15 были показаны ещё пары ортогональных обобщённых латинских квадратов, из которых построены идеальные магические квадраты, имеющие совсем другую форму начальной цепочки. Для порядка 9 такая пара обобщённых ОЛК составлена мной (см. рис. 5 – 6), для порядка 15 такая пара приведена в указанном цикле статей из журнала. Эта пара ОЛК показана в предыдущей части настоящей статьи.

Теперь я покажу подобную пару ортогональных обобщённых латинских квадратов  21-го порядка, из которой получаются два идеальных магических квадрата с другой формой начальной цепочки. Я построила эту пару ОЛК по аналогии с парой ОЛК 15-го порядка. Смотрите эти обобщённые ортогональные латинские квадраты на рис. 18 – 19.

 

Первый латинский обобщённый квадрат 21-го порядка

 

 

Рис. 18

 

Второй латинский обобщённый квадрат 21-го порядка

 

 

Рис. 19

 

Легко видеть, что второй латинский квадрат в этой паре ОЛК получается из первого комбинацией преобразований: поворот вокруг центра на 90 градусов по часовой стрелке и отражение относительно вертикальной оси симметрии, что равносильно отражению относительно главной диагонали.

На рис. 20 вы видите один идеальный магический квадрат 21-го порядка, построенный из данной пары ОЛК.

 

 

Рис. 20

 

Посмотрите на оригинальную начальную цепочку в этом идеальном квадрате. Отдельные звенья этой цепочки тоже строятся ходом шахматного коня, однако начальная цепочка не размещается на всём поле квадрата, а сгруппирована в левой его части. Если построить второй магический квадрат, поменяв латинские квадраты местами, то начальная цепочка разместится в верхней части квадрата.

 

Предлагаю читателям самостоятельно составить пару ОЛК 21-го порядка (теперь речь идёт уже о классических латинских квадратах) методом составных квадратов.

Математикам удалось составить группу из 5 взаимно ортогональных латинских квадратов 21-го порядка. Эта группа мне неизвестна.

 

Продолжение будет здесь:

 

http://www.natalimak1.narod.ru/grolk4.htm

 

6 – 7 февраля 2009 г.

г. Саратов

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу