Н. Макарова

 

ГРУППЫ ВЗАИМНО ОРТОГОНАЛЬНЫХ ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ

 

Mutually Orthogonal Latin Squares (MOLS)

 

Часть II

 

Данная страница является продолжением страницы

http://www.natalimak1.narod.ru/grolk.htm

 

В предыдущей части статьи отмечено, что для порядков, являющихся простым числом или степенью простого числа, группы взаимно ортогональных латинских квадратов можно составлять в пакете математических программ Maple. У меня на компьютере не установлен этот пакет программ, но один виртуальный знакомый любезно согласился мне помочь. Мы с ним установили, что для составления группы взаимно ортогональных латинских квадратов используется команда MOLS(p,m,n), где параметры команды имеют следующее значение: p – простое число, m – показатель степени числа p, n – количество квадратов в группе, которое мы хотим получить. Например, команда MOLS(2,3,7) составит группу из 7 взаимно ортогональных латинских квадратов порядка 2^{^}3 = 8.

Как уже знают читатели, для любого порядка n, являющегося простым числом или степенью простого числа, группа взаимно ортогональных латинских квадратов состоит из n-1 квадрата.

 

В предыдущей части статьи были рассмотрены группы MOLS для порядков от 3 до 20. Было сказано, что для порядков 11, 13, 17 и 19 легко составить группу MOLS, так как эти порядки являются простыми числами. Сначала я попробовала составить группу MOLS 11-го порядка без помощи Maple по аналогии с группой MOLS 7-го порядка. Всё действительно очень просто. В первой строке всех квадратов группы находится тождественная перестановка чисел 0, 1, … 10. Каждая строка в квадратах группы, начиная со второй, получается циклическим сдвигом предыдущей строки с постоянным шагом; для каждого квадрата этот шаг свой. Попросив затем товарища составить три первых квадрата этой группы, я сравнила их с построенными мной квадратами. Они оказались совершенно одинаковыми. Для построения трёх MOLS 11-го порядка надо использовать команду MOLS(11,1,3). Если же вы хотите составить группу MOLS 11-го порядка полностью, то надо использовать команду MOLS(11,1,10).

Далее я показываю всю группу MOLS 11-го порядка, состоящую из 10 квадратов (рис. 1). В  двух первых квадратах раскраской показан циклический сдвиг строк. В первом квадрате сдвиг выполняется с шагом 1, а во втором квадрате – с шагом 2. В следующих квадратах группы циклический сдвиг выполняется соответственно с шагами 3, 4, 5, … 10.

 

Квадрат № 1                                                          Квадрат № 2

 

 

Квадрат № 3                                                          Квадрат № 4

 

 

Квадрат № 5                                                          Квадрат № 6

 

 

Квадрат № 7                                                          Квадрат № 8

 

 

Квадрат № 9                                                          Квадрат № 10

 

 

Рис. 1

 

Очевидно, что все квадраты группы получаются друг из друга перестановкой строк. В группе только два не диагональных латинских квадрата – квадрат № 1 и квадрат № 10, все остальные квадраты диагональные.

 

Итак, читатели убедились в том, что для порядков, являющихся простым числом, легко составить группу MOLS даже без помощи пакета Maple.

Теперь рассмотрим порядок 16, который является степенью простого числа 2. С этим порядком всё несколько сложнее. В первой части статьи показана пара ортогональных диагональных латинских квадратов 16-го порядка, построенная мной по аналогии с ортогональными латинскими квадратами 8-го порядка. Эту пару я использовала для построения магического квадрата. Сейчас я попробовала составить группу MOLS 16-го порядка. Понятно, что эта группа должна состоять из 15 латинских квадратов. Сначала я составила первый не диагональный латинский квадрат по аналогии с первым не диагональным латинским квадратом 8-го порядка. Этот квадрат у меня получился сразу. Вы видите его на рис. 2.

 

Квадрат № 1

 

 

Рис. 2

 

Закономерности составления этого латинского квадрата очевидны. Без труда можно составить аналогичный не диагональный латинский квадрат для любого порядка, являющегося степенью числа 2. Это единственный не диагональный латинский квадрат в группе, все остальные квадраты диагональные. И в группе MOLS 8-го порядка тоже всего один латинский квадрат не диагональный, как, впрочем, и в группе MOLS 4-го порядка. Все эти группы показаны в предыдущей части статьи.

Далее я с удивлением обнаружила, что латинские квадраты составленной мной прежде пары ОЛК не ортогональны латинскому квадрату, показанному на рис. 2. Тогда попыталась составить латинские квадраты, ортогональные квадрату с рис. 2, а также попарно ортогональные между собой. Смогла составить только четыре таких латинских квадрата. Эти квадраты вы видите на рис. 3 – 6. Посмотрите, какая интересная симметрия в квадрате на рис. 3. Определённая симметрия есть и в других квадратах.

 

 

Рис. 3

 

 

Рис. 4

 

 

Рис. 5

 

 

Рис. 6

 

Обратите внимание: все квадраты в этой группе тоже получаются друг из друга перестановкой строк. Дальше я продвинуться не смогла. Разумеется, можно выполнить программу перестановки строк, например, в латинском квадрате с рис. 2,  и найти таким образом все оставшиеся 14 квадратов группы, но такая программа будет выполняться очень долго. Тогда я попросила товарища составить группу MOLS 16-го порядка в Maple. Получив от него эту группу, я увидела, что первый латинский квадрат точно такой же, как на рис. 2. Все остальные квадраты отличаются от построенных мной квадратов. Покажу всю группу MOLS 16-го порядка, составленную в Maple (рис. 7 – 20). Начинаю с квадрата № 2, так как квадрат № 1 уже показан выше (см. рис. 2).

 

Квадрат № 2

 

 

Рис. 7

 

Квадрат № 3

 

 

Рис. 8

 

Квадрат № 4

 

 

Рис. 9

 

Квадрат № 5

 

 

Рис. 10

 

Квадрат № 6

 

 

Рис. 11

 

Квадрат № 7

 

 

Рис. 12

 

Квадрат № 8

 

 

Рис. 13

 

Квадрат № 9

 

 

Рис. 14

 

Квадрат № 10

 

 

Рис. 15

 

Квадрат № 11

 

 

Рис. 16

 

Квадрат № 12

 

 

Рис. 17

 

Квадрат № 13

 

 

Рис. 18

 

Квадрат № 14

 

 

Рис. 19

 

Квадрат № 15

 

 

Рис. 20

 

Ортогональность всех латинских квадратов группы проверена по программе.

Интересная закономерность наблюдается в парах квадратов этой группы. Посмотрите, например, на последнюю пару квадратов (рис. 19 – 20). Первый и последний столбцы квадрата № 14 стали главными диагоналями в квадрате № 15. Точно так же первый и последний столбцы квадрата № 15 превратились в главные диагонали квадрата № 14. И так в каждой следующей паре квадратов. Только квадрат № 1 не имеет соответствующего квадрата. Такая же закономерность наблюдается в группах латинских квадратов 4-го и 8-го порядков.

Предлагаю читателям попробовать дополнить начатую мной группу взаимно ортогональных латинских квадратов 16-го порядка (см. рис. 2 – 6) новыми квадратами, ортогональными имеющимся в группе квадратам. Возможно, что получится новая группа MOLS 16-го порядка отличная от той, которую составил пакет Maple.

 

Продолжение будет здесь:

 

http://www.natalimak1.narod.ru/grolk2.htm

 

31 января 2009 г.

г. Саратов

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу