Н. Макарова

 

ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ

 

Часть III

 

 

В этой части статьи представлены формулы и схемы для построения магических квадратов 7-го порядка. Начну сразу с построения магических квадратов из чисел арифметических прогрессий длины 7 с одинаковой разностью. Таких прогрессий нам надо иметь семь. В общем случае первые члены прогрессий никак не связаны между собой. Обозначим первые члены прогрессий ai, i = 1, 2, …, 7, b – разность прогрессий. Тогда формула для построения магических квадратов порядка 7 из чисел данных прогрессий может иметь, например, следующий вид (рис. 1):

 

a1 + 5b

a7 + 4b

a6 + 3b

a5 + 2b

a4 + b

a3

a2 + 6b

a3 + 3b

a2 + 2b

a1 + b

a7

a6 + 6b

a5 + 5b

a4 + 4b

a5 + b

a4

a3 + 6b

a2 + 5b

a1 + 4b

a7 + 3b

a6 + 2b

a7 + 6b

a6 + 5b

a5 + 4b

a4 + 3b

a3 + 2b

a2 + b

a1

a2 + 4b

a1 + 3b

a7 + 2b

a6 + b

a5

a4 + 6b

a3 + 5b

a4 + 2b

a3 + b

a2

a1 + 6b

a7 + 5b

a6 + 4b

a5 + 3b

a6

a5 + 6b

a4 + 5b

a3 + 4b

a2 + 3b

a1 + 2b

a7 + b

 

Рис. 1

 

Магическая константа квадрата, построенного по этой формуле, вычисляется так:

 

S = ∑ai + 21b   (i = 1, 2, …, 7)

 

Все магические квадраты, построенные по данной формуле, являются пандиагональными, что легко доказать, сложив элементы на любой разломанной диагонали квадрата с рис. 1.

Приведу пример построения по представленной формуле магического квадрата из чисел Смита. Семь арифметических прогрессий из чисел Смита я взяла на форуме dxdy.ru. Имеем:

 

a1 = 560974, a2 = 191482402, a3 = 75835678, a4 = 33960406, a5 = 20499502, a6 = 5855494, a7 = 3274762, b = 1260

 

На рис. 2 вы видите готовый пандиагональный квадрат 7-го порядка из чисел Смита, построенный при таких значениях переменных по формуле с рис. 1.

 

567274

3279802

5859274

20502022

33961666

75835678

191489962

75839458

191484922

562234

3274762

5863054

20505802

33965446

20500762

33960406

75843238

191488702

566014

3278542

5858014

3282322

5861794

20504542

33964186

75838198

191483662

560974

191487442

564754

3277282

5856754

20499502

33967966

75841978

33962926

75836938

191482402

568534

3281062

5860534

20503282

5855494

20507062

33966706

75840718

191486182

563494

3276022

 

Рис. 2

 

Кстати замечу, что это единственный известный на сегодня магический квадрат 7-го порядка из чисел Смита.

А вот из простых чисел я не нашла семь прогрессий длины 7 с одинаковой разностью.

 

Если первые члены арифметических прогрессий тоже образуют арифметическую прогрессию, тогда магические квадраты, построенные по формуле с рис. 1, будут обладать ещё и свойством ассоциативности, то есть они будут идеальными. Так, при

 

a1 = 2, a2 = 4, a3 = 6, a4 = 8, a5 = 10, a6 = 12, a7 = 14, b = 11

 

получим такой идеальный квадрат (рис. 3):

 

57

58

45

32

19

6

70

39

26

13

14

78

65

52

21

8

72

59

46

47

34

80

67

54

41

28

15

2

48

35

36

23

10

74

61

30

17

4

68

69

56

43

12

76

63

50

37

24

25

 

Рис. 3

 

Частный случай – когда все 49 чисел образуют одну арифметическую прогрессию. Примером такой прогрессии являются первые 49 натуральных чисел, а квадрат, построенный из чисел этой прогрессии по формуле с рис. 1, является традиционным магическим квадратом, который вы видите на рис. 4. Для этого квадрата переменные в формуле имеют такие значения:

 

a1 = 1, a2 = 8, a3 = 15, a4 = 22, a5 = 29, a6 = 36, a7 = 43, b = 1

 

6

47

39

31

23

15

14

18

10

2

43

42

34

26

30

22

21

13

5

46

38

49

41

33

25

17

9

1

12

4

45

37

29

28

20

24

16

8

7

48

40

32

36

35

27

19

11

3

44

 

Рис. 4

 

Наконец, возможен такой случай, когда первые члены семи арифметических прогрессий не образуют арифметическую прогрессию, но связаны следующим соотношением:

 

a1 + a7 = a2 + a6 = a3 + a5 = 2a4

 

Легко видеть, что в этом случае формула с рис. 1 тоже даёт идеальные магические квадраты. Приведу один пример. Пусть переменные имеют такие значения:

 

a1 = 7, a2 = 2, a3 = 11, a4 = 8, a5 = 5, a6 = 14, a7 = 9, b = 10

 

Очевидно, что указанное соотношение для данных значений переменных выполняется. На рис. 5 изображён идеальный квадрат, построенный при таких значениях.

 

57

49

44

25

18

11

62

41

22

17

9

74

55

48

15

8

71

52

47

39

34

69

64

45

38

31

12

7

42

37

29

24

5

68

61

28

21

2

67

59

54

35

14

65

58

51

32

27

19

 

Рис. 5

 

***

 

Традиционные и нетрадиционные магические квадраты 7-го порядка (впрочем, не только 7-го) можно строить, используя греко-латинский квадрат. Думаю, что моим читателям не надо объяснять, что такое греко-латинский квадрат. Возьмём любой греко-латинский квадрат 7-го порядка, образованный из двух ортогональных диагональных латинских квадратов, например, такой (рис. 6):

 

00

11

22

33

44

55

66

23

34

45

56

60

01

12

46

50

61

02

13

24

35

62

03

14

25

36

40

51

15

26

30

41

52

63

04

31

42

53

64

05

16

20

54

65

06

10

21

32

43

 

Рис. 6

 

Во-первых, это готовый магический квадрат в семеричной системе счисления с магической константой 330, а также в любой другой системе счисления с основанием r > 7; например, рассматривая элементы этого квадрата, как десятичные числа, имеем магический квадрат в десятичной системе счисления с магической константой 231.

Далее, читатели уже хорошо знают, что на основе этого греко-латинского квадрата строится традиционный магический квадрат; для этого надо рассматривать элементы квадрата, как семеричные числа, и перевести их в десятичную систему счисления. Получится такой традиционный магический квадрат (рис. 7):

 

0

8

16

24

32

40

48

17

25

33

41

42

1

9

34

35

43

2

10

18

26

44

3

11

19

27

28

36

12

20

21

29

37

45

4

22

30

38

46

5

13

14

39

47

6

7

15

23

31

 

Рис. 7

 

Для того чтобы квадрат на рис. 7 был записан в традиционной форме, надо все элементы увеличить на 1.

 

Наконец, из греко-латинского квадрата с рис. 6 можно получить бесконечно много нетрадиционных магических квадратов в десятичной системе счисления. Для этого надо рассматривать элементы греко-латинского квадрата, как r-ичные числа (r > 7), и перевести эти числа в десятичную систему счисления. Например, рассматривая элементы греко-латинского квадрата как восьмеричные числа, получим следующий нетрадиционный магический квадрат (рис. 8):

 

0

9

18

27

36

45

54

19

28

37

46

48

1

10

38

40

49

2

11

20

29

50

3

12

21

30

32

41

13

22

24

33

42

51

4

25

34

43

52

5

14

16

44

53

6

8

17

26

35

 

Рис. 8

 

Ещё из греко-латинского квадрата с рис. 6 можно получить магические квадраты в системах счисления с основанием r < 7. Для этого надо смотреть на элементы греко-латинского квадрата, как на семеричные числа, и перевести их в соответствующую систему счисления. Покажу магический квадрат в двоичной системе счисления, полученный из данного греко-латинского квадрата (рис. 9).

 

0

1000

10000

11000

100000

101000

110000

10001

11001

100001

101001

101010

1

1001

100010

100011

101011

10

1010

10010

11010

101100

11

1011

10011

11011

11100

100100

1100

10100

10101

11101

100101

101101

100

10110

11110

100110

101110

101

1101

1110

100111

101111

110

111

1111

10111

11111

 

Рис. 9

 

Магическая константа этого квадрата равна 101010002. Из этого квадрата очень просто получить магические квадраты в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления, учитывая простую связь между этими системами счисления и двоичной системой. На рис. 10 показан магический квадрат в шестнадцатеричной системе счисления:

 

0

8

10

18

20

28

30

11

19

21

29

1

9

22

23

2

А

12

3

В

13

24

С

14

15

1D

25

2D

4

16

1E

26

2E

5

D

E

27

2F

6

7

F

17

1F

 

Рис. 10

 

Впрочем, этот квадрат легко получить и из традиционного магического квадрата, изображённого на рис. 7, заменив в нём все элементы их шестнадцатеричными эквивалентами. Магическая константа квадрата с рис. 10 равна А816.

 

***

 

Теперь представлю общую схему магического квадрата 7-го порядка (рис. 11); предполагается, что магическая константа квадрата задана (либо задан массив из 49 чисел, из которых мы хотим построить магический квадрат).

 

a1

a2

a3

a4

a5

x1

a6

a7

a8

a9

a10

a11

a12

x2

x12

a13

a14

a15

a16

x11

a17

x13

x14

x10

a18

x9

a19

x7

a20

x15

a21

x8

a22

a23

a24

a25

a26

a27

a28

a29

a30

x6

x3

x5

a31

a32

a33

a34

x4

 

Рис. 11

 

Здесь ai (i = 1, 2, …, 34) – свободные переменные, xk (k = 1, 2, …, 15) – зависимые переменные. Зависимые переменные вычисляются по значениям свободных переменных и магической константы квадрата. При этом зависимые переменные надо вычислять в том порядке, в каком они пронумерованы, так как при вычислении некоторых переменных используются уже вычисленные значения предыдущих переменных.

По этой схеме можно построить магический квадрат с любой заданной константой и произвольно выбранными значениями свободных переменных. Рассмотрим пример. Пусть магическая константа будущего квадрата равна 175. Значения свободных переменных выберем так: ai = i (очень удобно считать).

На рис. 12 вы видите магический квадрат, построенный по схеме с рис. 11 при заданных условиях.

 

1

2

3

4

5

154

6

7

8

9

10

11

12

118

197

13

14

15

16

- 97

17

- 151

242

70

18

59

19

- 82

20

- 3

21

68

22

23

24

25

26

27

28

29

30

10

76

- 113

31

32

33

34

82

 

Рис. 12

 

От отрицательных чисел легко избавиться, увеличив все элементы квадрата, например, на 152.

Понятно, что любой магический квадрат 7-го порядка, как традиционный, так и нетрадиционный, описывается формулой с рис. 11. Если вы внимательно посмотрите на структуру этой схемы, убедитесь, что она обеспечивает получение магической суммы чисел во всех строках, столбцах и главных диагоналях квадрата.

 

Теперь представьте, что мы хотим построить по данной схеме магический квадрат из заданного массива чисел, состоящего точно из 49 чисел. Тогда произвольно выбирая свободные переменные из чисел данного массива, мы должны добиться того, чтобы при этом все зависимые переменные тоже принадлежали данному массиву. Трудно сказать, пригодна ли данная схема для программной реализации. Посчитайте, скольким способами можно выбрать 34 числа из 49.

 

До сих пор не решена задача построения наименьших магических квадратов 7-го порядка из чисел Смита (произвольных и последовательных).

Например, надо построить магический квадрат из такого массива смитов: берём первые 49 смитов: 4, 22, …, 958, 985 и заменяем число 985 на число 1165. Магическая константа квадрата, построенного из чисел данного массива, будет равна 3720. Однако магический квадрат мне построить не удалось. По программе, которую я использовала для построения магического квадрата 7-го порядка из простых чисел, получается очень много полумагических квадратов, но ни один из них не превращается в магический. На рис. 13 показан один из полумагических квадратов.

 

4

913

535

895

355

391

627

202

778

454

654

121

1165

346

382

762

645

648

166

852

265

690

27

825

85

706

526

861

562

588

576

319

915

94

666

958

378

22

483

728

634

517

922

274

663

636

729

58

438

 

Рис. 13

 

Для порядка 7 тоже можно применить алгоритм, предложенный мной для порядка 6 (см. предыдущую часть статьи).

S. Tognon высказал на форуме dxdy.ru мнение, что этот алгоритм можно реализовать не только для порядка 7, но и для порядков 8, 9. Однако пока у него не получилось с реализацией.

 

Так что, предлагаю читателям очень сложную задачу, которую ещё никому не удалось решить: построить наименьшие магические квадраты 7-го порядка: а) из последовательных чисел Смита, в) из произвольных чисел Смита.

И та же самая задача для порядков 8, 9.

 

В заключение покажу мой авторский наименьший квадрат 7-го порядка из простых чисел (рис. 14):

 

3

5

7

23

223

233

239

211

191

181

19

31

29

71

79

83

89

107

109

127

139

199

197

103

193

17

11

13

53

149

59

157

101

47

167

151

67

131

137

73

113

61

37

41

163

97

179

173

43

 

Рис. 14

 

Этот квадрат внесён в OEIS (энциклопедию целочисленных последовательностей; последовательность А164843).

При построении этого квадрата не возникло никаких сложностей, квадрат построился сразу. А вот из смитов ничего не получается! Попробуйте вы, уважаемые читатели. Может быть, у вас получится. Тогда напишите мне, пожалуйста.

 

И ещё представлю общую схему построения окаймлённых магических квадратов 7-го порядка. В моей книге [2] подробно изложен метод построения традиционных окаймлённых квадратов; этот метод найден мной в [3]. Здесь предложена более простая схема, которая пригодна для построения как традиционных, так и нетрадиционных окаймлённых магических квадратов 7-го порядка. Эта схема изображена на рис. 15.

 

x1

1

2

3

x2

x3

x4

5

a1

a2

a3

a4

a5

k - 5

6

a6

a7

a8

a9

a10

k - 6

k - 7

a11

a12

a13

a14

a15

7

k - 11

a16

a17

a18

a19

a20

11

k - 12

a21

a22

a23

a24

a25

12

k - x4

k - 1

k - 2

k - 3

k - x2

k - x3

k - x1

 

Рис. 15

 

Введём обозначения: S – магическая константа центрального квадрата 5х5, S1 – магическая константа окаймлённого квадрата 7х7. Тогда все переменные, участвующие в построении магического квадрата, изображённого на рис. 15, должны удовлетворять следующим условиям:

 

S = S1 – k,  k = 2S1/7,   x1 + x2 + x3 + x4 = S1 – 6,  x4 – x1 + 3k + 19 = S1

 

Рассмотрим построение традиционного магического квадрата по этой схеме. Имеем: S1 = 175, k = 50, S = 125. В качестве центрального квадрата 5х5 может быть выбран любой традиционный магический квадрат 5х5, все элементы которого увеличены на 12. Произведя несложные вычисления, получаем такой традиционный окаймлённый магический квадрат (рис. 16):

 

40

1

2

3

41

42

46

5

13

35

22

26

29

45

6

27

31

14

33

20

44

43

34

18

25

32

16

7

39

30

17

36

19

23

11

38

21

24

28

15

37

12

4

49

48

47

9

8

10

 

Рис. 16

 

Теперь построим по той же схеме нетрадиционный окаймлённый магический квадрат 7-го порядка. Пусть магическая константа будущего квадрата: S1 = 280 (выбирается произвольно, но должно выполняться условие: S1 кратно 7, чтобы k получилось целое; и ещё одно условие указано ниже). Тогда k = 80, S = 200. В качестве центрального квадрата 5х5 можно взять любой традиционный магический квадрат 5-го порядка, все элементы которого увеличены на 27. Это значение вычисляется очень просто: (S – 65)/5, где 65 – магическая константа традиционного квадрата 5-го порядка; S1 надо выбрать так, чтобы величина (S – 65) была положительна и кратна 5, это в случае, если мы берём за основу традиционный магический квадрат 5х5. Можно взять за основу и любой нетрадиционный магический квадрат, пусть константа этого квадрата равна S2. Тогда этот квадрат 5х5 должен быть выбран так, чтобы величина (SS2)  была положительна и кратна 5.

Возьмём за основу нетрадиционный магический квадрат 5-го порядка, изображённый на рис. 17.

 

3

15

21

19

12

24

22

8

5

11

10

1

14

27

18

17

23

20

6

4

16

9

7

13

25

 

Рис. 17

 

Магическая константа этого квадрата равна 70. Понятно, что все элементы этого квадрата надо увеличить на 26. Произведя все вычисления, получаем такой нетрадиционный окаймлённый магический квадрат (рис. 18):

 

55

1

2

3

72

71

76

5

29

41

47

45

38

75

6

50

48

34

31

37

74

73

36

27

40

53

44

7

69

43

49

46

32

30

11

68

42

35

33

39

51

12

4

79

78

77

8

9

25

 

Рис. 18

 

Полученный квадрат интересен тем, что его центральный квадрат 5х5 является идеальным магическим квадратом 5-го порядка, причём константа ассоциативности этого квадрата равна k.

 

Впрочем, можно взять за основу и такой нетрадиционный магический квадрат 5х5, что величина (SS2) будет отрицательная (но по-прежнему должна быть кратна 5). В таком случае элементы этого квадрата надо не увеличивать, а уменьшать на величину (S2S)/5. Приведу пример. Возьмём за основу нетрадиционный магический квадрат 5-го порядка, изображённый на рис 19.

 

8

80

61

64

57

74

77

18

60

41

70

21

54

87

38

67

48

90

31

34

51

44

47

28

100

 

Рис. 19

 

Магическая константа этого квадрата равна 270. Уменьшим все элементы квадрата на (270 – 200)/5 = 14 и вставим полученный магический квадрат в то же самое окаймление. Получим такой магический окаймлённый квадрат 7-го порядка (рис. 20):

 

55

1

2

3

72

71

76

5

- 6

66

47

50

43

75

6

60

63

4

46

27

74

73

56

7

40

73

24

7

69

53

34

76

17

20

11

68

37

30

33

14

86

12

4

79

78

77

8

9

25

 

Рис. 20

 

В квадрате появилось отрицательное число и есть одинаковые числа. Тем не менее, он магический с той же самой константой 280. Если избавиться от отрицательного числа, то изменится и окаймление квадрата. Увеличим все элементы полученного квадрата, например, на 7, получим окаймлённый квадрат с новым окаймлением и новой магической константой (рис. 21).

 

62

8

9

10

79

78

83

12

1

73

54

57

50

82

13

67

70

11

53

34

81

80

63

14

47

80

31

14

76

60

41

83

24

27

18

75

44

37

40

21

93

19

11

86

85

84

15

16

32

 

Рис. 21

 

Опять получился очень красивый окаймлённый квадрат: в центре квадрата находится идеальный магический квадрат 5-го порядка, причём константа ассоциативности этого квадрата равна k (сумма, которую дают противоположные элементы окаймления). Замечу, что за основу был выбран идеальный магический квадрат 5-го порядка (рис. 19).

 

А теперь возьмём за основу традиционный магический квадрат 5х5, тот же, который был взят при построении квадрата на рис. 16. Этот квадрат 5х5 тоже идеальный. Увеличив все элементы этого квадрата на 27, получим такой окаймлённый квадрат 7-го порядка (рис. 22):

 

55

1

2

3

72

71

76

5

28

50

37

41

44

75

6

42

46

29

48

35

74

73

49

33

40

47

31

7

69

45

32

51

34

38

11

68

36

39

43

30

52

12

4

79

78

77

8

9

25

 

Рис. 22

 

Окаймление квадрата осталось то же самое (см. рис. 18). И, наконец, возьмём за основу традиционный магический квадрат 5-го порядка, не обладающий никакими дополнительными свойствами. Увеличив все элементы этого квадрата на 27 и оставив то же самое окаймление, получим следующий окаймлённый магический квадрат 7-го порядка (рис. 23):

 

55

1

2

3

72

71

76

5

28

35

44

41

52

75

6

40

50

43

34

33

74

73

42

29

37

45

47

7

69

51

38

30

49

32

11

68

39

48

46

31

36

12

4

79

78

77

8

9

25

 

Рис. 23

 

И ещё: можно построить любой нетрадиционный магический квадрат 5х5 с магической константой 200 (например, используя общую формулу магического квадрата 5-го порядка) и поместить этот квадрат в центр окаймлённого квадрата 7-го порядка при том же самом окаймлении.

Напомню читателям общую формулу магического квадрата 5-го порядка, по которой можно построить квадрат с любой заданной магической константой (рис. 24), причём не один:

 

a1

a2

a3

x1

a4

a12

x3

x5

a5

x4

x6

x7

a6

a14

a11

a13

x2

x8

a9

a10

a7

x9

x10

x11

a8

 

Рис. 24

 

Я запрограммировала эту формулу. Для магической константы S = 200 получила по программе, например, такой магический квадрат (рис. 25):

 

13

15

39

66

67

46

60

63

17

14

65

30

19

34

52

43

64

20

57

16

33

31

59

26

51

 

Рис. 25

 

Вставляем этот квадрат в то же самое окаймление (см. рис. 18) и получаем следующий окаймлённый магический квадрат 7-го порядка (рис. 26):

 

55

1

2

3

72

71

76

5

13

15

39

66

67

75

6

46

60

63

17

14

74

73

65

30

19

34

52

7

69

43

64

20

57

16

11

68

33

31

59

26

51

12

4

79

78

77

8

9

25

 

Рис. 26

 

Читатели, знакомые с методом окаймлённых квадратов, знают, что элементы в одной из строк и в одном из столбцов окаймления можно записывать в произвольном порядке, кроме угловых элементов, которые всегда остаются на своих местах.

 

 

ЛИТЕРАТУРА

 

1. Макарова Н. В., Шукуров Ф. А. Позиционные системы счисления. – Душанбе, «Хумо», 2007. Электронная версия книги:

 

http://narod.ru/disk/5936760000/pozic4.pdf.html

 

2. Макарова Н. В. Волшебный мир магических квадратов. – Саратов, 2009.

 

http://narod.ru/disk/5834353000/Magic_squares.pdf.html

 

3. Ю. В. Чебраков. Магические квадраты. Теория чисел, алгебра, комбинаторный анализ. –

С. - Петербург, 1995.

 

 

3 - 6 января 2010 г.

г. Саратов

       Пишите мне!

Рейтинг@Mail.ru

На главную страницу

 

 



Hosted by uCoz