Н. Макарова
ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ
Часть III
В этой части статьи представлены формулы и схемы для построения магических квадратов 7-го порядка. Начну сразу с построения магических квадратов из чисел арифметических прогрессий длины 7 с одинаковой разностью. Таких прогрессий нам надо иметь семь. В общем случае первые члены прогрессий никак не связаны между собой. Обозначим первые члены прогрессий ai, i = 1, 2, …, 7, b – разность прогрессий. Тогда формула для построения магических квадратов порядка 7 из чисел данных прогрессий может иметь, например, следующий вид (рис. 1):
a1 + 5b |
a7 + 4b |
a6 + 3b |
a5 + 2b |
a4 + b |
a3 |
a2 + 6b |
a3 + 3b |
a2 + 2b |
a1 + b |
a7 |
a6 + 6b |
a5 + 5b |
a4 + 4b |
a5 + b |
a4 |
a3 + 6b |
a2 + 5b |
a1 + 4b |
a7 + 3b |
a6 + 2b |
a7 + 6b |
a6 + 5b |
a5 + 4b |
a4 + 3b |
a3 + 2b |
a2 + b |
a1 |
a2 + 4b |
a1 + 3b |
a7 + 2b |
a6 + b |
a5 |
a4 + 6b |
a3 + 5b |
a4 + 2b |
a3 + b |
a2 |
a1 + 6b |
a7 + 5b |
a6 + 4b |
a5 + 3b |
a6 |
a5 + 6b |
a4 + 5b |
a3 + 4b |
a2 + 3b |
a1 + 2b |
a7 + b |
Рис. 1
Магическая константа квадрата, построенного по этой формуле, вычисляется так:
S = ∑ai + 21b (i = 1, 2, …, 7)
Все магические квадраты, построенные по данной формуле, являются пандиагональными, что легко доказать, сложив элементы на любой разломанной диагонали квадрата с рис. 1.
Приведу пример построения по представленной формуле магического квадрата из чисел Смита. Семь арифметических прогрессий из чисел Смита я взяла на форуме dxdy.ru. Имеем:
a1 = 560974, a2 = 191482402, a3 = 75835678, a4 = 33960406, a5 = 20499502, a6 = 5855494, a7 = 3274762, b = 1260
На рис. 2 вы видите готовый пандиагональный квадрат 7-го порядка из чисел Смита, построенный при таких значениях переменных по формуле с рис. 1.
567274 |
3279802 |
5859274 |
20502022 |
33961666 |
75835678 |
191489962 |
75839458 |
191484922 |
562234 |
3274762 |
5863054 |
20505802 |
33965446 |
20500762 |
33960406 |
75843238 |
191488702 |
566014 |
3278542 |
5858014 |
3282322 |
5861794 |
20504542 |
33964186 |
75838198 |
191483662 |
560974 |
191487442 |
564754 |
3277282 |
5856754 |
20499502 |
33967966 |
75841978 |
33962926 |
75836938 |
191482402 |
568534 |
3281062 |
5860534 |
20503282 |
5855494 |
20507062 |
33966706 |
75840718 |
191486182 |
563494 |
3276022 |
Рис. 2
Кстати замечу, что это единственный известный на сегодня магический квадрат 7-го порядка из чисел Смита.
А вот из простых чисел я не нашла семь прогрессий длины 7 с одинаковой разностью.
Если первые члены арифметических прогрессий тоже образуют арифметическую прогрессию, тогда магические квадраты, построенные по формуле с рис. 1, будут обладать ещё и свойством ассоциативности, то есть они будут идеальными. Так, при
a1 = 2, a2 = 4, a3 = 6, a4 = 8, a5 = 10, a6 = 12, a7 = 14, b = 11
получим такой идеальный квадрат (рис. 3):
57 |
58 |
45 |
32 |
19 |
6 |
70 |
39 |
26 |
13 |
14 |
78 |
65 |
52 |
21 |
8 |
72 |
59 |
46 |
47 |
34 |
80 |
67 |
54 |
41 |
28 |
15 |
2 |
48 |
35 |
36 |
23 |
10 |
74 |
61 |
30 |
17 |
4 |
68 |
69 |
56 |
43 |
12 |
76 |
63 |
50 |
37 |
24 |
25 |
Рис. 3
Частный случай – когда все 49 чисел образуют одну арифметическую прогрессию. Примером такой прогрессии являются первые 49 натуральных чисел, а квадрат, построенный из чисел этой прогрессии по формуле с рис. 1, является традиционным магическим квадратом, который вы видите на рис. 4. Для этого квадрата переменные в формуле имеют такие значения:
a1 = 1, a2 = 8, a3 = 15, a4 = 22, a5 = 29, a6 = 36, a7 = 43, b = 1
6 |
47 |
39 |
31 |
23 |
15 |
14 |
18 |
10 |
2 |
43 |
42 |
34 |
26 |
30 |
22 |
21 |
13 |
5 |
46 |
38 |
49 |
41 |
33 |
25 |
17 |
9 |
1 |
12 |
4 |
45 |
37 |
29 |
28 |
20 |
24 |
16 |
8 |
7 |
48 |
40 |
32 |
36 |
35 |
27 |
19 |
11 |
3 |
44 |
Рис. 4
Наконец, возможен такой случай, когда первые члены семи арифметических прогрессий не образуют арифметическую прогрессию, но связаны следующим соотношением:
a1 + a7 = a2 + a6 = a3 + a5 = 2a4
Легко видеть, что в этом случае формула с рис. 1 тоже даёт идеальные магические квадраты. Приведу один пример. Пусть переменные имеют такие значения:
a1 = 7, a2 = 2, a3 = 11, a4 = 8, a5 = 5, a6 = 14, a7 = 9, b = 10
Очевидно, что указанное соотношение для данных значений переменных выполняется. На рис. 5 изображён идеальный квадрат, построенный при таких значениях.
57 |
49 |
44 |
25 |
18 |
11 |
62 |
41 |
22 |
17 |
9 |
74 |
55 |
48 |
15 |
8 |
71 |
52 |
47 |
39 |
34 |
69 |
64 |
45 |
38 |
31 |
12 |
7 |
42 |
37 |
29 |
24 |
5 |
68 |
61 |
28 |
21 |
2 |
67 |
59 |
54 |
35 |
14 |
65 |
58 |
51 |
32 |
27 |
19 |
Рис. 5
***
Традиционные и нетрадиционные магические квадраты 7-го порядка (впрочем, не только 7-го) можно строить, используя греко-латинский квадрат. Думаю, что моим читателям не надо объяснять, что такое греко-латинский квадрат. Возьмём любой греко-латинский квадрат 7-го порядка, образованный из двух ортогональных диагональных латинских квадратов, например, такой (рис. 6):
00 |
11 |
22 |
33 |
44 |
55 |
66 |
23 |
34 |
45 |
56 |
60 |
01 |
12 |
46 |
50 |
61 |
02 |
13 |
24 |
35 |
62 |
03 |
14 |
25 |
36 |
40 |
51 |
15 |
26 |
30 |
41 |
52 |
63 |
04 |
31 |
42 |
53 |
64 |
05 |
16 |
20 |
54 |
65 |
06 |
10 |
21 |
32 |
43 |
Рис. 6
Во-первых, это готовый магический квадрат в семеричной системе счисления с магической константой 330, а также в любой другой системе счисления с основанием r > 7; например, рассматривая элементы этого квадрата, как десятичные числа, имеем магический квадрат в десятичной системе счисления с магической константой 231.
Далее, читатели уже хорошо знают, что на основе этого греко-латинского квадрата строится традиционный магический квадрат; для этого надо рассматривать элементы квадрата, как семеричные числа, и перевести их в десятичную систему счисления. Получится такой традиционный магический квадрат (рис. 7):
0 |
8 |
16 |
24 |
32 |
40 |
48 |
17 |
25 |
33 |
41 |
42 |
1 |
9 |
34 |
35 |
43 |
2 |
10 |
18 |
26 |
44 |
3 |
11 |
19 |
27 |
28 |
36 |
12 |
20 |
21 |
29 |
37 |
45 |
4 |
22 |
30 |
38 |
46 |
5 |
13 |
14 |
39 |
47 |
6 |
7 |
15 |
23 |
31 |
Рис. 7
Для того чтобы квадрат на рис. 7 был записан в традиционной форме, надо все элементы увеличить на 1.
Наконец, из греко-латинского квадрата с рис. 6 можно получить бесконечно много нетрадиционных магических квадратов в десятичной системе счисления. Для этого надо рассматривать элементы греко-латинского квадрата, как r-ичные числа (r > 7), и перевести эти числа в десятичную систему счисления. Например, рассматривая элементы греко-латинского квадрата как восьмеричные числа, получим следующий нетрадиционный магический квадрат (рис. 8):
0 |
9 |
18 |
27 |
36 |
45 |
54 |
19 |
28 |
37 |
46 |
48 |
1 |
10 |
38 |
40 |
49 |
2 |
11 |
20 |
29 |
50 |
3 |
12 |
21 |
30 |
32 |
41 |
13 |
22 |
24 |
33 |
42 |
51 |
4 |
25 |
34 |
43 |
52 |
5 |
14 |
16 |
44 |
53 |
6 |
8 |
17 |
26 |
35 |
Рис. 8
Ещё из греко-латинского квадрата с рис. 6 можно получить магические квадраты в системах счисления с основанием r < 7. Для этого надо смотреть на элементы греко-латинского квадрата, как на семеричные числа, и перевести их в соответствующую систему счисления. Покажу магический квадрат в двоичной системе счисления, полученный из данного греко-латинского квадрата (рис. 9).
0 |
1000 |
10000 |
11000 |
100000 |
101000 |
110000 |
10001 |
11001 |
100001 |
101001 |
101010 |
1 |
1001 |
100010 |
100011 |
101011 |
10 |
1010 |
10010 |
11010 |
101100 |
11 |
1011 |
10011 |
11011 |
11100 |
100100 |
1100 |
10100 |
10101 |
11101 |
100101 |
101101 |
100 |
10110 |
11110 |
100110 |
101110 |
101 |
1101 |
1110 |
100111 |
101111 |
110 |
111 |
1111 |
10111 |
11111 |
Рис. 9
Магическая константа этого квадрата равна 101010002. Из этого квадрата очень просто получить магические квадраты в восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления, учитывая простую связь между этими системами счисления и двоичной системой. На рис. 10 показан магический квадрат в шестнадцатеричной системе счисления:
0 |
8 |
10 |
18 |
20 |
28 |
30 |
11 |
19 |
21 |
29 |
2А |
1 |
9 |
22 |
23 |
2В |
2 |
А |
12 |
1А |
2С |
3 |
В |
13 |
1В |
1С |
24 |
С |
14 |
15 |
1D |
25 |
2D |
4 |
16 |
1E |
26 |
2E |
5 |
D |
E |
27 |
2F |
6 |
7 |
F |
17 |
1F |
Рис. 10
Впрочем, этот квадрат легко получить и из традиционного магического квадрата, изображённого на рис. 7, заменив в нём все элементы их шестнадцатеричными эквивалентами. Магическая константа квадрата с рис. 10 равна А816.
***
Теперь представлю общую схему магического квадрата 7-го порядка (рис. 11); предполагается, что магическая константа квадрата задана (либо задан массив из 49 чисел, из которых мы хотим построить магический квадрат).
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
x1 |
a6 |
a7 |
a8 |
a9 |
a10 |
a11 |
a12 |
x2 |
x12 |
a13 |
a14 |
a15 |
a16 |
x11 |
a17 |
x13 |
x14 |
x10 |
a18 |
x9 |
a19 |
x7 |
a20 |
x15 |
a21 |
x8 |
a22 |
a23 |
a24 |
a25 |
a26 |
a27 |
a28 |
a29 |
a30 |
x6 |
x3 |
x5 |
a31 |
a32 |
a33 |
a34 |
x4 |
Рис. 11
Здесь ai (i = 1, 2, …, 34) – свободные переменные, xk (k = 1, 2, …, 15) – зависимые переменные. Зависимые переменные вычисляются по значениям свободных переменных и магической константы квадрата. При этом зависимые переменные надо вычислять в том порядке, в каком они пронумерованы, так как при вычислении некоторых переменных используются уже вычисленные значения предыдущих переменных.
По этой схеме можно построить магический квадрат с любой заданной константой и произвольно выбранными значениями свободных переменных. Рассмотрим пример. Пусть магическая константа будущего квадрата равна 175. Значения свободных переменных выберем так: ai = i (очень удобно считать).
На рис. 12 вы видите магический квадрат, построенный по схеме с рис. 11 при заданных условиях.
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
154 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
118 |
197 |
13 |
14 |
15 |
16 |
- 97 |
17 |
- 151 |
242 |
70 |
18 |
59 |
19 |
- 82 |
20 |
- 3 |
21 |
68 |
22 |
23 |
24 |
25 |
26 |
27 |
28 |
29 |
30 |
10 |
76 |
- 113 |
31 |
32 |
33 |
34 |
82 |
Рис. 12
От отрицательных чисел легко избавиться, увеличив все элементы квадрата, например, на 152.
Понятно, что любой магический квадрат 7-го порядка, как традиционный, так и нетрадиционный, описывается формулой с рис. 11. Если вы внимательно посмотрите на структуру этой схемы, убедитесь, что она обеспечивает получение магической суммы чисел во всех строках, столбцах и главных диагоналях квадрата.
Теперь представьте, что мы хотим построить по данной схеме магический квадрат из заданного массива чисел, состоящего точно из 49 чисел. Тогда произвольно выбирая свободные переменные из чисел данного массива, мы должны добиться того, чтобы при этом все зависимые переменные тоже принадлежали данному массиву. Трудно сказать, пригодна ли данная схема для программной реализации. Посчитайте, скольким способами можно выбрать 34 числа из 49.
До сих пор не решена задача построения наименьших магических квадратов 7-го порядка из чисел Смита (произвольных и последовательных).
Например, надо построить магический квадрат из такого массива смитов: берём первые 49 смитов: 4, 22, …, 958, 985 и заменяем число 985 на число 1165. Магическая константа квадрата, построенного из чисел данного массива, будет равна 3720. Однако магический квадрат мне построить не удалось. По программе, которую я использовала для построения магического квадрата 7-го порядка из простых чисел, получается очень много полумагических квадратов, но ни один из них не превращается в магический. На рис. 13 показан один из полумагических квадратов.
4 |
913 |
535 |
895 |
355 |
391 |
627 |
202 |
778 |
454 |
654 |
121 |
1165 |
346 |
382 |
762 |
645 |
648 |
166 |
852 |
265 |
690 |
27 |
825 |
85 |
706 |
526 |
861 |
562 |
588 |
576 |
319 |
915 |
94 |
666 |
958 |
378 |
22 |
483 |
728 |
634 |
517 |
922 |
274 |
663 |
636 |
729 |
58 |
438 |
Рис. 13
Для порядка 7 тоже можно применить алгоритм, предложенный мной для порядка 6 (см. предыдущую часть статьи).
S. Tognon высказал на форуме dxdy.ru мнение, что этот алгоритм можно реализовать не только для порядка 7, но и для порядков 8, 9. Однако пока у него не получилось с реализацией.
Так что, предлагаю читателям очень сложную задачу, которую ещё никому не удалось решить: построить наименьшие магические квадраты 7-го порядка: а) из последовательных чисел Смита, в) из произвольных чисел Смита.
И та же самая задача для порядков 8, 9.
В заключение покажу мой авторский наименьший квадрат 7-го порядка из простых чисел (рис. 14):
3 |
5 |
7 |
23 |
223 |
233 |
239 |
211 |
191 |
181 |
19 |
31 |
29 |
71 |
79 |
83 |
89 |
107 |
109 |
127 |
139 |
199 |
197 |
103 |
193 |
17 |
11 |
13 |
53 |
149 |
59 |
157 |
101 |
47 |
167 |
151 |
67 |
131 |
137 |
73 |
113 |
61 |
37 |
41 |
163 |
97 |
179 |
173 |
43 |
Рис. 14
Этот квадрат внесён в OEIS (энциклопедию целочисленных последовательностей; последовательность А164843).
При построении этого квадрата не возникло никаких сложностей, квадрат построился сразу. А вот из смитов ничего не получается! Попробуйте вы, уважаемые читатели. Может быть, у вас получится. Тогда напишите мне, пожалуйста.
И ещё представлю общую схему построения окаймлённых магических квадратов 7-го порядка. В моей книге [2] подробно изложен метод построения традиционных окаймлённых квадратов; этот метод найден мной в [3]. Здесь предложена более простая схема, которая пригодна для построения как традиционных, так и нетрадиционных окаймлённых магических квадратов 7-го порядка. Эта схема изображена на рис. 15.
x1 |
1 |
2 |
3 |
x2 |
x3 |
x4 |
5 |
a1 |
a2 |
a3 |
a4 |
a5 |
k - 5 |
6 |
a6 |
a7 |
a8 |
a9 |
a10 |
k - 6 |
k - 7 |
a11 |
a12 |
a13 |
a14 |
a15 |
7 |
k - 11 |
a16 |
a17 |
a18 |
a19 |
a20 |
11 |
k - 12 |
a21 |
a22 |
a23 |
a24 |
a25 |
12 |
k - x4 |
k - 1 |
k - 2 |
k - 3 |
k - x2 |
k - x3 |
k - x1 |
Рис. 15
Введём обозначения: S – магическая константа центрального квадрата 5х5, S1 – магическая константа окаймлённого квадрата 7х7. Тогда все переменные, участвующие в построении магического квадрата, изображённого на рис. 15, должны удовлетворять следующим условиям:
S = S1 – k, k = 2S1/7, x1 + x2 + x3 + x4 = S1 – 6, x4 – x1 + 3k + 19 = S1
Рассмотрим построение традиционного магического квадрата по этой схеме. Имеем: S1 = 175, k = 50, S = 125. В качестве центрального квадрата 5х5 может быть выбран любой традиционный магический квадрат 5х5, все элементы которого увеличены на 12. Произведя несложные вычисления, получаем такой традиционный окаймлённый магический квадрат (рис. 16):
40 |
1 |
2 |
3 |
41 |
42 |
46 |
5 |
13 |
35 |
22 |
26 |
29 |
45 |
6 |
27 |
31 |
14 |
33 |
20 |
44 |
43 |
34 |
18 |
25 |
32 |
16 |
7 |
39 |
30 |
17 |
36 |
19 |
23 |
11 |
38 |
21 |
24 |
28 |
15 |
37 |
12 |
4 |
49 |
48 |
47 |
9 |
8 |
10 |
Рис. 16
Теперь построим по той же схеме нетрадиционный окаймлённый магический квадрат 7-го порядка. Пусть магическая константа будущего квадрата: S1 = 280 (выбирается произвольно, но должно выполняться условие: S1 кратно 7, чтобы k получилось целое; и ещё одно условие указано ниже). Тогда k = 80, S = 200. В качестве центрального квадрата 5х5 можно взять любой традиционный магический квадрат 5-го порядка, все элементы которого увеличены на 27. Это значение вычисляется очень просто: (S – 65)/5, где 65 – магическая константа традиционного квадрата 5-го порядка; S1 надо выбрать так, чтобы величина (S – 65) была положительна и кратна 5, это в случае, если мы берём за основу традиционный магический квадрат 5х5. Можно взять за основу и любой нетрадиционный магический квадрат, пусть константа этого квадрата равна S2. Тогда этот квадрат 5х5 должен быть выбран так, чтобы величина (S – S2) была положительна и кратна 5.
Возьмём за основу нетрадиционный магический квадрат 5-го порядка, изображённый на рис. 17.
3 |
15 |
21 |
19 |
12 |
24 |
22 |
8 |
5 |
11 |
10 |
1 |
14 |
27 |
18 |
17 |
23 |
20 |
6 |
4 |
16 |
9 |
7 |
13 |
25 |
Рис. 17
Магическая константа этого квадрата равна 70. Понятно, что все элементы этого квадрата надо увеличить на 26. Произведя все вычисления, получаем такой нетрадиционный окаймлённый магический квадрат (рис. 18):
55 |
1 |
2 |
3 |
72 |
71 |
76 |
5 |
29 |
41 |
47 |
45 |
38 |
75 |
6 |
50 |
48 |
34 |
31 |
37 |
74 |
73 |
36 |
27 |
40 |
53 |
44 |
7 |
69 |
43 |
49 |
46 |
32 |
30 |
11 |
68 |
42 |
35 |
33 |
39 |
51 |
12 |
4 |
79 |
78 |
77 |
8 |
9 |
25 |
Рис. 18
Полученный квадрат интересен тем, что его центральный квадрат 5х5 является идеальным магическим квадратом 5-го порядка, причём константа ассоциативности этого квадрата равна k.
Впрочем, можно взять за основу и такой нетрадиционный магический квадрат 5х5, что величина (S – S2) будет отрицательная (но по-прежнему должна быть кратна 5). В таком случае элементы этого квадрата надо не увеличивать, а уменьшать на величину (S2 – S)/5. Приведу пример. Возьмём за основу нетрадиционный магический квадрат 5-го порядка, изображённый на рис 19.
8 |
80 |
61 |
64 |
57 |
74 |
77 |
18 |
60 |
41 |
70 |
21 |
54 |
87 |
38 |
67 |
48 |
90 |
31 |
34 |
51 |
44 |
47 |
28 |
100 |
Рис. 19
Магическая константа этого квадрата равна 270. Уменьшим все элементы квадрата на (270 – 200)/5 = 14 и вставим полученный магический квадрат в то же самое окаймление. Получим такой магический окаймлённый квадрат 7-го порядка (рис. 20):
55 |
1 |
2 |
3 |
72 |
71 |
76 |
5 |
- 6 |
66 |
47 |
50 |
43 |
75 |
6 |
60 |
63 |
4 |
46 |
27 |
74 |
73 |
56 |
7 |
40 |
73 |
24 |
7 |
69 |
53 |
34 |
76 |
17 |
20 |
11 |
68 |
37 |
30 |
33 |
14 |
86 |
12 |
4 |
79 |
78 |
77 |
8 |
9 |
25 |
Рис. 20
В квадрате появилось отрицательное число и есть одинаковые числа. Тем не менее, он магический с той же самой константой 280. Если избавиться от отрицательного числа, то изменится и окаймление квадрата. Увеличим все элементы полученного квадрата, например, на 7, получим окаймлённый квадрат с новым окаймлением и новой магической константой (рис. 21).
62 |
8 |
9 |
10 |
79 |
78 |
83 |
12 |
1 |
73 |
54 |
57 |
50 |
82 |
13 |
67 |
70 |
11 |
53 |
34 |
81 |
80 |
63 |
14 |
47 |
80 |
31 |
14 |
76 |
60 |
41 |
83 |
24 |
27 |
18 |
75 |
44 |
37 |
40 |
21 |
93 |
19 |
11 |
86 |
85 |
84 |
15 |
16 |
32 |
Рис. 21
Опять получился очень красивый окаймлённый квадрат: в центре квадрата находится идеальный магический квадрат 5-го порядка, причём константа ассоциативности этого квадрата равна k (сумма, которую дают противоположные элементы окаймления). Замечу, что за основу был выбран идеальный магический квадрат 5-го порядка (рис. 19).
А теперь возьмём за основу традиционный магический квадрат 5х5, тот же, который был взят при построении квадрата на рис. 16. Этот квадрат 5х5 тоже идеальный. Увеличив все элементы этого квадрата на 27, получим такой окаймлённый квадрат 7-го порядка (рис. 22):
55 |
1 |
2 |
3 |
72 |
71 |
76 |
5 |
28 |
50 |
37 |
41 |
44 |
75 |
6 |
42 |
46 |
29 |
48 |
35 |
74 |
73 |
49 |
33 |
40 |
47 |
31 |
7 |
69 |
45 |
32 |
51 |
34 |
38 |
11 |
68 |
36 |
39 |
43 |
30 |
52 |
12 |
4 |
79 |
78 |
77 |
8 |
9 |
25 |
Рис. 22
Окаймление квадрата осталось то же самое (см. рис. 18). И, наконец, возьмём за основу традиционный магический квадрат 5-го порядка, не обладающий никакими дополнительными свойствами. Увеличив все элементы этого квадрата на 27 и оставив то же самое окаймление, получим следующий окаймлённый магический квадрат 7-го порядка (рис. 23):
55 |
1 |
2 |
3 |
72 |
71 |
76 |
5 |
28 |
35 |
44 |
41 |
52 |
75 |
6 |
40 |
50 |
43 |
34 |
33 |
74 |
73 |
42 |
29 |
37 |
45 |
47 |
7 |
69 |
51 |
38 |
30 |
49 |
32 |
11 |
68 |
39 |
48 |
46 |
31 |
36 |
12 |
4 |
79 |
78 |
77 |
8 |
9 |
25 |
Рис. 23
И ещё: можно построить любой нетрадиционный магический квадрат 5х5 с магической константой 200 (например, используя общую формулу магического квадрата 5-го порядка) и поместить этот квадрат в центр окаймлённого квадрата 7-го порядка при том же самом окаймлении.
Напомню читателям общую формулу магического квадрата 5-го порядка, по которой можно построить квадрат с любой заданной магической константой (рис. 24), причём не один:
a1 |
a2 |
a3 |
x1 |
a4 |
a12 |
x3 |
x5 |
a5 |
x4 |
x6 |
x7 |
a6 |
a14 |
a11 |
a13 |
x2 |
x8 |
a9 |
a10 |
a7 |
x9 |
x10 |
x11 |
a8 |
Рис. 24
Я запрограммировала эту формулу. Для магической константы S = 200 получила по программе, например, такой магический квадрат (рис. 25):
13 |
15 |
39 |
66 |
67 |
46 |
60 |
63 |
17 |
14 |
65 |
30 |
19 |
34 |
52 |
43 |
64 |
20 |
57 |
16 |
33 |
31 |
59 |
26 |
51 |
Рис. 25
Вставляем этот квадрат в то же самое окаймление (см. рис. 18) и получаем следующий окаймлённый магический квадрат 7-го порядка (рис. 26):
55 |
1 |
2 |
3 |
72 |
71 |
76 |
5 |
13 |
15 |
39 |
66 |
67 |
75 |
6 |
46 |
60 |
63 |
17 |
14 |
74 |
73 |
65 |
30 |
19 |
34 |
52 |
7 |
69 |
43 |
64 |
20 |
57 |
16 |
11 |
68 |
33 |
31 |
59 |
26 |
51 |
12 |
4 |
79 |
78 |
77 |
8 |
9 |
25 |
Рис. 26
Читатели, знакомые с методом окаймлённых квадратов, знают, что элементы в одной из строк и в одном из столбцов окаймления можно записывать в произвольном порядке, кроме угловых элементов, которые всегда остаются на своих местах.
ЛИТЕРАТУРА
1. Макарова Н. В., Шукуров Ф. А. Позиционные системы счисления. – Душанбе, «Хумо», 2007. Электронная версия книги:
http://narod.ru/disk/5936760000/pozic4.pdf.html
2. Макарова Н. В. Волшебный мир магических квадратов. – Саратов, 2009.
http://narod.ru/disk/5834353000/Magic_squares.pdf.html
3. Ю. В. Чебраков. Магические квадраты. Теория чисел, алгебра, комбинаторный анализ. –
С. - Петербург, 1995.
3 - 6 января 2010 г.
г. Саратов