Н. Макарова

 

ОБЩИЕ ФОРМУЛЫ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ

 

Часть II

 

 

В этой части статьи представлены формулы и схемы построения магических квадратов 6-го порядка. Данный порядок является особенным. Например, для традиционных квадратов 6-го порядка не работает метод латинских квадратов. Магические квадраты данного порядка нельзя построить из отдельных арифметических прогрессий (см. замечание ниже). Для порядка 6 не существует традиционных ассоциативных и пандиагональных квадратов.

Однако из арифметической прогрессии длины 36 магический квадрат 6-го порядка построить можно, как и вообще магический квадрат любого порядка n можно построить из чисел арифметической прогрессии длины n². Возьмём, например, первые 36 нечётных чисел и построим нетрадиционный магический квадрат 6-го порядка (рис. 1). Сделать это можно на основе любого традиционного магического квадрата.

 

 

Рис. 1

 

А теперь построим магический квадрат из тех же 36 первых нечётных чисел, но сделаем это на основе следующего сотового традиционного магического квадрата (рис. 2):

 

 

Рис. 2

 

Напомню читателям, что для построения нетрадиционного магического квадрата из членов арифметической прогрессии надо просто пронумеровать члены этой прогрессии и вписать их согласно традиционному магическому квадрату, на основе которого строится квадрат. Смотрите рис. 3.

 

 

Рис. 3

 

Можно взять любую арифметическую прогрессию a_i, i = 1, 2, …, 36 и построить по схеме с рис. 3 нетрадиционный сотовый магический квадрат. На рис. 4 вы видите такой квадрат из первых 36 нечётных чисел.

 

 

Рис. 4

 

Магическая константа квадрата, построенного по схеме с рис. 1, вычисляется по формуле: S = 6a₁ +105b, где a₁ – первый член прогрессии, b – разность прогрессии. Для квадрата, изображённого на рис. 4, имеем:

 

S = 6*1 + 105*2 = 216

 

Ещё из чисел, образующих арифметическую прогрессию, можно строить идеальные нетрадиционные магические квадраты 6-го порядка. Для этого нужны прогрессии длины 49. Делается это на основе хорошо известного нетрадиционного идеального квадрата 6-го порядка, который подробно описан в моей статье, посвящённой нетрадиционным магическим квадратам. Этот квадрат был опубликован в журнале “Наука и жизнь”. Сначала покажу этот идеальный магический квадрат (рис. 5):

 

 

Рис. 5

 

Точно так же заменим все числа в этом квадрате на переменные с индексом, причём индекс соответствует заменяемому числу (рис. 6).

 

 

Рис. 6

 

Возьмём первые 49 нечётных чисел и построим по этой схеме магический квадрат. Понятно, что не все члены арифметической прогрессии длины 49 будут вписаны в квадрат, а только 36 членов, согласно индексам. На рис. 7 вы видите готовый квадрат.

 

 

Рис. 7

 

Этот квадрат ассоциативный и пандиагональный, то есть идеальный. Магическая константа квадрата, построенного по схеме с рис. 6, вычисляется по формуле: S = 6(a₁ + 24b). Для квадрата на рис. 7 имеем:

 

S = 6*(1 + 24*2) = 294

 

Возьмём другую арифметическую прогрессию, совершенно произвольную; пусть a₁ = 11, b = 5. Сразу вычислим магическую константу будущего квадрата:

 

S = 6*(11 + 24*5) = 786

 

На рис. 8 изображён готовый идеальный магический квадрат, построенный из чисел данной прогрессии.

 

 

Рис. 8

 

Можно построить идеальный магический квадрат с заданной магической константой; понятно, что константа должна быть кратна 6. Пусть, например, мы хотим построить магический квадрат с константой 720 по схеме с рис. 6. Легко вычислить, что для этого подойдёт арифметическая прогрессия с первым членом a₁ = 24 и разностью b = 4. Предлагаю читателям построить квадрат из чисел такой арифметической прогрессии.

 

К сожалению, из простых чисел неизвестны арифметические прогрессии ни длины 36, ни длины 49. Не найдены такие прогрессии и из чисел Смита. Поэтому мы не можем применить представленные схемы для построения магических квадратов из простых чисел и из чисел Смита.

 

На этом завершаем построение магических квадратов 6-го порядка из чисел арифметических прогрессий.

Как уже сказано выше, из отдельных прогрессий длины 6 магические квадраты 6-го порядка построить нельзя.

 

Замечание: это утверждение ошибочно. В написанной позже статье «Нетрадиционные пандиагональные квадраты (часть I)» показано построение обычных магических квадратов 6-го порядка из отдельных арифметических прогрессий длины 6 с одинаковой разностью. Только это не могут быть произвольные прогрессии, первые члены этих прогрессий должны удовлетворять определённому условию.

Такое построение оказалось возможным благодаря обнаруженному мной в сборнике статей «Анатомия магических квадратов» методу латинских (обобщённых) квадратов для магических квадратов 6-го порядка.

Смотрите подробно здесь: http://www.natalimak1.narod.ru/pannetr.htm

 

***

 

Аналогично общей схеме магического квадрата 5-го порядка, показанной в предыдущей части статьи, составляю общую схему магического квадрата 6-го порядка (рис. 9).

 

 

Рис. 9

 

Здесь a_i (i = 1, 2, …, 24) – свободные переменные, b_k (k = 1, 2, …, 12) – зависимые переменные. Этой схемой описывается любой магический квадрат 6-го порядка, как традиционный, так и нетрадиционный, она является действительно общей схемой магических квадратов 6-го порядка.

 

Посмотрим один пример построения нетрадиционного магического квадрата по этой схеме. Возьмём в качестве свободных переменных первые 24 натуральных числа, то есть: a_i = i. Очевидно, что магическая константа квадрата, построенного по схеме с рис. 9, вычисляется по формуле: S = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆.

В нашем примере имеем: S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21.

На рис. 10 вы видите готовый магический квадрат.

 

 

Рис. 10

 

От отрицательных чисел очень легко избавиться: увеличим все элементы квадрата на 292. В результате получим такой магический квадрат (рис. 11):

 

 

Рис. 11

 

Если строить магический квадрат 6-го порядка из чисел массива, состоящего из 36 чисел, тогда количество свободных переменных уменьшится на 1, потому что в этом случае сразу можно определить магическую константу квадрата. Таким образом, будет 23 свободные переменные, и все они должны принять 36 различных значений. Для  программной реализации данная схема вряд ли годится. Впрочем, я не знаю возможностей современных языков программирования.

 

При построении наименьшего магического квадрата 6-го порядка из простых чисел я использовала другой алгоритм. Представлю кратко этот алгоритм. С помощью этого алгоритма мне удалось построить наименьшие магические квадраты из простых чисел до порядка 15 включительно, получился и один магический квадрат из чисел Смита – 10-го порядка.

 

Сначала формируется подходящий массив. Этот массив должен удовлетворять условию: сумма всех чисел массива кратна 6.

Массив из простых чисел сформирован такой:

 

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 167

 

По массиву определяем магическую константу будущего квадрата, в данном случае она равна 432. Далее из чисел массива с использованием функции случайных чисел формируется набор из 6 строк (по 6 чисел в строке), так что сумма чисел в каждой строке равна магической константе. Наконец, на последнем этапе сформированный набор из 6 строк превращается в магический квадрат; это достигается с использованием двух приёмов: перестановка чисел в строках и перестановка строк. Не всякий набор из 6 строк может быть превращён в магический квадрат. А, например, для чисел Смита мне не удалось получить по этому алгоритму ни одного магического квадрата, получены только полумагические квадраты. Но из простых чисел решение было найдено сразу же – для первого набора.

На рис. 12 показан наименьший магический квадрат из простых чисел, построенный по изложенному алгоритму.

 

     

 

Рис. 12

 

Это мой первый авторский квадрат. Он внесён в OEIS:

 

http://www.research.att.com/~njas/sequences/A164843

 

 

Теперь покажу несколько частных формул для магических квадратов 6-го порядка. Формулы называются частными потому, что они не описывают всех магических квадратов 6-го порядка, в отличие от общей формулы, представленной выше. Частные формулы получены по методу, изложенному в [5]. Этот метод автор книги использовал для построения магических квадратов из простых чисел. Сначала покажу формулу из [5] (рис. 13). Здесь магический квадрат строится из чисел, составляющих 6 последовательностей по 6 членов определённого вида. Подробное описание данного метода изложено в моей статье “Нетрадиционные магические квадраты из простых чисел” (http://www.natalimak1.narod.ru/netrpr2.htm  )

 

 

Рис. 13

 

По этой формуле можно построить как традиционный, так и нетрадиционные магические квадраты. Традиционный квадрат получается при следующих значениях переменных:

 

a₁ = 9, a₂ = 1, a₃ = 4, a₄ = 11, a₅ = 2, a₆ = 7, b = 1

 

Вы видите этот традиционный магический квадрат на рис. 14. На основе этого квадрата и получена формула, изображённая на рис. 13.

 

 

Рис. 14

 

Магическая константа квадрата, построенного по формуле с рис. 13, вычисляется по следующей формуле:

 

(1)                                 S = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ + 77b

 

Можно подобрать значения переменных так, что все члены последовательностей будут простыми числами. Однако при тех значениях, которые приведены в [5], у меня получился магический квадрат, в котором есть одно число, не являющееся простым, и, кроме того, есть два одинаковых числа. Вот значения переменных из книги:

 

a₁ = 347, a₂ = 5, a₃ = 31, a₄ = 571, a₅ = 331, a₆ = 53, b = 6

 

На рис. 15 показан магический квадрат, построенный при данных значениях по формуле с рис. 13.

 

 

Рис. 15

 

Число 155 не является простым, и в квадрате есть два одинаковых числа – 173.

Я нашла свои значения переменных и построила магический квадрат из простых чисел по данной формуле; этот квадрат показан на рис. 16. Значения переменных такие:

 

a₁ = 347, a₂ = 5, a₃ = 761, a₄ = 571, a₅ = 61, a₆ = 3659, b = 6

 

Сразу можно вычислить магическую константу будущего квадрата по формуле (1):

 

S = 347 + 5 + 761 + 571 + 61 + 3659 + 77*6 = 5866

 

 

Рис. 16

 

Далее я составила ещё одну аналогичную формулу, по которой мне удалось построить магические квадраты из простых чисел и из чисел Смита. Эта формула изображена на рис. 17.

 

 

Рис. 17

 

Формула получена на основе традиционного магического квадрата, изображённого на рис. 18.

 

 

Рис. 18

 

Читатели могут вычислить значения переменных, при которых из формулы с рис. 17 получается традиционный магический квадрат с рис. 18.

Далее подобраны такие значения переменных, при которых по данной формуле получается магический квадрат из простых чисел. Эти значения такие:

 

a₁ = 59, a₂ = 439, a₃ = 1949, a₄ = 1597, a₅ = 12401, a₆ = 19, b = 12

 

Магическая константа квадрата, построенного по формуле с рис. 17, вычисляется по формуле:

 

(2)                                 S = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ + 76b

 

В рассматриваемом примере

 

S = 59 + 439 + 1949 + 1597 + 12401 + 19 + 76*12 = 17376

 

На рис. 19 вы видите готовый магический квадрат из простых чисел, полученный при данных значениях переменных по формуле с рис. 17.

 

 

Рис. 19

 

Далее мне удалось с помощью участника форума найти такие 6 последовательностей нужного вида, что все члены этих последовательностей являются числами Смита. Три из этих последовательностей я нашла сама (для a₁, a₂ и a₆), а три были найдены участником форума dxdy.ru (ник Mathusic). Вот значения переменных для магического квадрата из чисел Смита:

 

a₁ = 1822, a₂ = 20362, a₃ = 681817, a₄ = 1446106, a₅ = 3003898, a₆ = 22, b = 36

 

Вычислим магическую константу будущего квадрата по формуле (2):

 

S = 1822 + 20362 + 681817 + 1446106 + 3003898 + 22 + 76*36 = 5156763

 

На рис. 20 показан магический квадрат из чисел Смита, построенный при данных значениях переменных по формуле с рис. 17. Это самый первый магический квадрат 6-го порядка из чисел Смита. По крайней мере, мне неизвестны квадраты, построенные раньше, чем этот квадрат.

 

 

Рис. 20

 

Ещё одна аналогичная формула представлена на рис. 21. Эта формула получена на основе традиционного сотового квадрата, изображённого на рис. 2. Я надеялась, что на основе этого квадрата будет получена более гармоничная формула магического квадрата, однако никакой гармонии не получилось.

 

 

Рис. 21

 

Традиционный магический квадрат с рис. 2 получается по этой формуле при следующих значениях переменных:

 

a₁ = 8, a₂ = 5, a₃ = 1, a₄ = 11, a₅ = 3, a₆ = 2, b = 1

 

Магическая константа квадрата, построенного по формуле с рис. 21, вычисляется по следующей формуле:

 

(3)                                 S = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ + 81b

 

Мне очень легко удалось подобрать значения переменных так, что по данной формуле получился магический квадрат из простых чисел. Вот эти значения:

 

a₁ = 13, a₂ = 47, a₃ = 41, a₄ = 37, a₅ = 29, a₆ = 1069, b = 30

 

Сразу можно вычислить магическую константу будущего квадрата по формуле (3):

 

S = 13 + 47 + 41 + 37 + 29 + 1069 + 81*30 = 3666

 

На рис. 22 вы видите готовый магический квадрат из простых чисел, построенный при данных значениях переменных по формуле с рис. 21.

 

 

Рис. 22

 

А вот из чисел Смита мне не удалось найти нужные последовательности для формулы с рис. 21. Предлагаю читателям сделать это.

 

Наконец, отмечу, что по всем трём формулам (рис. 13, рис. 17 и рис. 21) можно построить бесконечно много нетрадиционных магических квадратов 6-го порядка, произвольным образом выбирая значения переменных. Если мы хотим получать квадраты, заполненные натуральными числами, то все значения переменных тоже должны быть натуральными числами. Хотя значение переменной b может быть отрицательным целым числом, если при этом значения переменных  a_i больше абсолютной величины всех отрицательных слагаемых.

Приведу два примера построения нетрадиционных магических квадратов по формуле с рис. 21.

 

Пример 1.  Возьмём такие значения переменных:

 

a₁ = 1, a₂ = 2, a₃ = 3, a₄ = 4, a₅ = 5, a₆ = 6, b = 10

 

Магическая константа будущего квадрата вычисляется по формуле (3):

 

S = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 81*10 = 831

 

На рис. 23 показан магический квадрат, построенный при данных значениях переменных по формуле с рис. 21.

 

 

Рис. 23

 

Пример 2.  В этом примере значение переменной b отрицательно. Пусть

 

a₁ = 32, a₂ = 44, a₃ = 60, a₄ = 27, a₅ = 28, a₆ = 65, b = -1

 

Магическая константа будущего квадрата равна

 

S = 32 + 44 + 60 + 27 + 28 + 65 + 81*(-1) = 175

 

На рис. 24 показан магический квадрат для данных значений переменных.

 

 

Рис. 24

 

Если переменные будут принимать любые целые значения, то может получиться магический квадрат, содержащий отрицательные числа, но от них легко избавиться, увеличив все элементы квадрата на одно и то же число. Даже при всех a_i = 0 (при этом, конечно, b ≠ 0) получится магический квадрат, только в нём будут одинаковые числа. Например, при всех a_i = 0 и b = 10 получим по формуле с рис. 21 такой магический квадрат (рис. 25):

 

 

Рис. 25

 

И ещё один интересный момент: из всех трёх формул (рис. 13, рис. 17 и рис. 21) при b = 0 получается тот самый латинский диагональный квадрат 6-го порядка, который участвует в построении всех этих формул. Этот квадрат изображён на рис. 26.

 

 

Рис. 26

 

Вообще говоря, эта формула тоже описывает магические квадраты 6-го порядка, только в этих квадратах числа повторяются. И вот перед вами магический квадрат из чисел Смита (рис. 27), построенный по формуле с рис. 26.

 

 

Рис. 27

 

Магическая константа этого квадрата равна 290.

 

Вот почему во всех задачах на построение магических квадратов из простых чисел и из чисел Смита обязательно добавляется (или подразумевается по умолчанию) условие, что все числа, заполняющие квадрат, должны быть различны. Иначе задача будет тривиальной или очень простой.

 

Можно, к примеру, взять наименьший квадрат из смитов 3-го порядка и сделать такой составной магический квадрат 6-го порядка (рис. 28):

 

 

Рис. 28

 

Магическая константа этого квадрата равна 1644.

Понятно, что точно так же можно построить составной магический квадрат 6-го порядка из любого магического квадрата 3-го порядка. Таким образом, общую формулу составного магического квадрата 6-го порядка можно записать так (рис. 29):

 

 

Рис. 29

 

При этом каждый квадрат 3х3 может быть записан в любом из 8 вариантов, получаемых основными преобразованиями (поворотами и отражениями). Это, конечно, тривиальная формула.

 

А ещё можно построить, например, такой составной магический квадрат из первых трёх смитов (рис. 30):

 

 

Рис. 30

 

В отличие от предыдущего примера, здесь квадраты 3х3, из которых составлен квадрат 6-го порядка, не являются магическими, они полумагические. Магическая константа квадрата с рис. 30 равна 106.

 

Напомню читателям, что магическая константа наименьшего квадрата 6-го порядка из различных смитов равна 2472.

 

Теперь посмотрим на схему построения ассоциативного магического квадрата 6-го порядка. Понятно, что такой квадрат может быть только нетрадиционным, так как традиционного ассоциативного квадрата порядка 6 не существует. Будем считать, что нам задан массив из 36 чисел, из которых мы хотим составить ассоциативный квадрат 6-го порядка. Этот массив должен удовлетворять следующим условиям: сумма всех чисел массива должна быть кратна 18; все числа массива должны разбиваться на 18 пар комплементарных чисел, то есть дающих в сумме константу ассоциативности магического квадрата. Константа ассоциативности для квадрата 6-го порядка выражается через магическую константу так: K_a = S/3. Эти условия являются необходимыми для построения ассоциативного квадрата 6-го порядка, но не являются достаточными. Массив, состоящий из первых 36 натуральных чисел, удовлетворяет этим условиям, но ассоциативный квадрат из чисел этого массива составить невозможно.

 

Посмотрим на ассоциативный квадрат, изображённый на рис. 5. Массив чисел, заполняющих этот квадрат, разбивается на следующие 18 пар комплементарных чисел:

 

1 – 49, 2 – 48, 3 – 47, 5 – 45, 6 – 44, 7 – 43, 8 – 42, 9 – 41, 10 – 40, 12 – 38, 13 – 37, 14 – 36, 15 – 35, 16 – 34, 17 – 33, 19 – 31, 20 – 30, 21 – 29

 

Сумма всех чисел массива равна 900, магическая константа S = 900/6 = 150, константа ассоциативности Ka = 150/3 = 50.

Я составила программку, которая формирует из чисел заданного массива набор из трёх строк по 6 чисел в каждой строке, так что сумма чисел в строках равна магической константе квадрата, причём набор сформирован с нужным чередованием комплементарных чисел. Набор формируется с использованием функции случайных чисел, то есть таких наборов программа может сформировать сколько угодно. Вот, например, один из наборов, сформированных программой (рис. 31), в качестве исходного массива введён массив, из которого составлен квадрат с рис. 5.

 

 

Рис. 31

 

Остальные три строки заполняем по ассоциативности (рис. 32):

 

 

Рис. 32

 

В результате мы имеем квадрат, в котором есть магическая сумма в строках и главных диагоналях, но нет магической суммы в столбцах. На последнем этапе надо попытаться превратить этот квадрат в магический, используя хорошо известный приём: перестановку чисел в строках. При этом желательно не трогать числа, находящиеся на главных диагоналях квадрата, иначе изменятся суммы этих чисел. Хотя можно сначала сделать нужные наборы чисел в столбцах, а затем путём перестановки строк попытаться восстановить нужные наборы чисел в диагоналях (именно так я делаю в своей программе построения нетрадиционных магических квадратов из простых чисел, о которой рассказано выше). Понятно, что не каждый подобный набор превратится в магический ассоциативный квадрат.

Легко видеть, что подобный “полуфабрикат” для квадрата с рис. 5 может выглядеть так (рис. 33):

 

 

Рис. 33

 

Путём перестановки чисел в строках этого квадрата (не трогая числа на главных диагоналях) мы получим квадрат с рис. 5.

 

Я обработала “полуфабрикат”, изображённый на рис. 32, по своей программе. Программа построила несколько магических квадратов, но среди них нет ни одного ассоциативного. Это понятно: в данной программе не требовалась ассоциативность строящихся магических квадратов. На рис. 34 показан один из магических квадратов, построенных программой.

 

 

Рис. 34

 

Забавный получился квадрат. В нём комплементарные числа симметричны или относительно центра квадрата, или относительно горизонтальной оси симметрии. Здесь, как видим, переставлены и числа в строках, и строки исходного квадрата.

 

Разумеется, это не самая лучшая схема построения ассоциативных магических квадратов 6-го порядка. Читателям предлагается придумать более совершенный алгоритм решения этой задачи.

 

 

Сначала надо подобрать подходящие массивы, удовлетворяющие указанным выше условиям. Трудно ли это сделать? Наверное. Я ещё не попробовала. Из произвольных натуральных чисел такой массив сформировать легко. Например, массив, состоящий из следующих 18 пар комплементарных чисел:

 

5 – 95, 7 – 93, 9 – 91, 11 – 89, 13 – 97, 15 – 85, 17 – 83, 19 – 81, 21 – 79, 23 – 77, 25 – 75, 27 – 73, 29 – 71, 31 – 69, 33 – 67, 35 – 65, 37 – 63, 39 – 61

 

Сумма всех чисел данного массива равна 1800, магическая константа квадрата (если он, конечно, существует) равна 300, константа ассоциативности равна 100.

Ввожу в программу данный массив чисел, и программа мгновенно формирует набор из трёх строк (рис. 35).

 

 

Рис. 35

 

Заполняю остальные строки по ассоциативности и получаю такой “полуфабрикат” (рис. 36):

 

 

Рис. 36

 

Обрабатываю этот “полуфабрикат” по своей программе и опять получаю несколько магических квадратов, но все они не являются ассоциативными. На рис. 37 вы видите один из этих квадратов.

 

 

Рис. 37

 

Мне не хочется корректировать программу так, чтобы она строила не просто магические квадраты, а ассоциативные квадраты. Поэтому предоставляю читателям решить вопрос: можно ли построить ассоциативный магический квадрат из данного массива чисел. Можно ли превратить “полуфабрикат” с рис. 36 в ассоциативный магический квадрат?

 

И вообще: может быть, существует какое-то условие для исходного массива чисел (достаточное), которое позволит сразу определить, возможно ли построить ассоциативный магический квадрат 6-го порядка из этого массива. Это интересный вопрос. Я не вижу такого условия. Надо подумать. Давайте подумаем вместе!

 

Покажу интересный нетрадиционный ассоциативный квадрат 6-го порядка, найденный по ссылке

http://mathworld.wolfram.com/BimagicSquare.html

 

Этот квадрат бимагический, то есть он остаётся магическим после замены всех его элементов их квадратами. Вы видите этот квадрат на рис. 37а.

 

 

 

Рис. 37а

 

Теперь представлю формулу, по которой можно строить нетрадиционные окаймлённые магические квадраты 6-го порядка. Данный метод подробно изложен в [5], а также в моей книге “Волшебный мир магических квадратов”. На рис. 38 вы видите эту формулу.

 

 

 

 

Рис. 38

 

В центре квадрата находится нетрадиционный магический квадрат 4х4. Однако после построения этого квадрата 4х4 все его элементы надо увеличить на одну и ту же величину. А затем надо вычислить элементы окаймления. Здесь не приводятся подробные выкладки, желающие могут восстановить их, посмотрев описание метода окаймлённых квадратов для построения традиционных магических квадратов 6-го порядка. Посмотрим пример. Выберем произвольные значения переменных A, B, C, D, a, b, c, d и построим нетрадиционный магический квадрат 4х4, который расположен в центре окаймлённого квадрата. Пусть:

 

A = 140,  B = 150,  C = 160,  D = 170,  a = 9,  b = 12,  c = 10,  d = 13

 

  Вычислив все элементы по формуле с рис. 38, получим следующий “полуфабрикат” (рис. 39):

 

 

Рис. 39

 

Увеличим все элементы центрального квадрата 4х4 на 45. Получим следующую заготовку для магического квадрата 6х6 (рис. 40):

 

 

Рис. 40

 

Осталось вычислить элементы окаймления, это делается очень просто. На рис. 41 вы видите готовый магический квадрат 6-го порядка.

 

 

Рис. 41

 

Используя тот же самый квадрат 4х4 (см. рис. 39), можно построить бесконечно много других окаймлённых квадратов. Приведу ещё один пример (рис. 42):

 

 

Рис. 42

 

В статье о наименьших магических квадратах из простых чисел изложен ещё один метод построения нетрадиционных окаймлённых квадратов 6-го порядка. Не буду повторять его. Смотрите метод здесь:

 

http://www.natalimak1.narod.ru/sqmin1.htm

 

Рассмотрим построение нетрадиционных пандиагональных квадратов порядка 6. Один из таких квадратов представлен на рис. 5. Можно предложить такую схему построения пандиагонального квадрата 6-го порядка из заданного массива, содержащего 36 чисел. Поскольку массив чисел задан, магическую константу S строящегося квадрата можно сразу вычислить. Схема изображена на рис. 43.

 

 

 

Рис. 43

 

Здесь a_i (i = 1, 2, …, 20) свободные переменные x_k (k = 1,2, …, 16) зависимые переменные, которые вычисляются по значениям свободных переменных и магической константы квадрата (зависимые переменные пронумерованы в том порядке, в каком их следует вычислять, так как при вычислении некоторых переменных используются уже вычисленные значения предыдущих переменных). Однако эта формула, в отличие от формулы с рис. 9, не является готовой формулой для построения пандиагонального квадрата при любых значениях свободных переменных. Она только описывает любой пандиагональный квадрат. Например, квадрат с рис. 5 получается по этой формуле при следующих значениях свободных переменных:

 

a₁ = 1, a₂ = 47, a₃ = 6, a₄ = 48, a₅ = 5, a₆ = 45, a₇ = 34, a₈ = 9, a₉ = 40, a₁₀ = 35, a₁₁ = 2, a₁₂ = 20, a₁₃ = 38, a₁₄ = 17, a₁₅ = 36, a₁₆ = 44, a₁₇ = 33, a₁₈ = 49, a₁₉ = 29, a₂₀ = 42.

 

Если же реализовать данную схему, то в программе необходимо заложить проверку сумм чисел в двух строках и в двух столбцах квадрата, в одной из главных диагоналей и в некоторых разломанных диагоналях, потому что эти суммы чисел не получаются автоматически. Понятно, что надо проверять также принадлежность всех зависимых переменных заданному массиву чисел. Свободные переменные должны принять все значения из исходного массива чисел. Реально ли выполнить такую программу (20 переменных пробегают 36 значений)?

 

Я попыталась вывести условия, накладываемые на свободные переменные, при которых указанные суммы чисел будут получаться автоматически. Пока мне удалось получить только одно условие:

 

a₃ + a₅ + a₇ + a₉ + a₁₅ + a₁₉ – a₈ – a₁₄ – a₁₈ = S/2

 

При выполнении этого условия нужные суммы чисел во всех строках и столбцах квадрата получаются автоматически. Теперь надо вывести условия, при которых суммы во всех диагоналях квадрата (главных и разломанных) тоже будут получаться автоматически. Подумаю над этой задачей.

 

Предлагаю читателям придумать более совершенную схему построения нетрадиционных пандиагональных квадратов 6-го порядка.

 

Покажу ещё один интересный пандиагональный квадрат 6-го порядка, он составлен из последовательных простых чисел и представлен на форуме dxdy.ru

 

http://dxdy.ru/post245866.html#p245866

 

Смотрите этот квадрат на рис. 44.

 

 

Рис. 44

 

Квадрат составлен из следующих последовательных простых чисел: 67, 71, …, 241, 251. Магическая константа квадрата равна 930. Интересно было бы узнать, по какому алгоритму построен этот квадрат.

Очевидно, что квадрат с рис. 44 получается по формуле с рис. 43 при следующих значениях свободных переменных:

 

a₁ = 67, a₂ = 193, a₃ = 71, a₄ = 251, a₅ = 109, a₆ = 137, a₇ = 227, a₈ = 229, a₉ = 163, a₁₀ = 139, a₁₁ = 197, a₁₂ = 101, a₁₃ = 151, a₁₄ = 233, a₁₅ = 241, a₁₆ = 79, a₁₇ = 127, a₁₈ = 83, a₁₉ = 199, a₂₀ = 73.

 

Кстати, и полученное мной условие для свободных переменных здесь выполняется:

 

a₃ + a₅ + a₇ + a₉ + a₁₅ + a₁₉ – a₈ – a₁₄ – a₁₈ = 71 + 109 + 227 + 163 + 241 + 199 – 229 – 233 – 83 = S/2 = 465

 

Выполняется это условие и для пандиагональных квадратов, изображённых на рис. 5 и рис. 7.

 

Интересно выяснить, является ли показанный пандиагональный квадрат из последовательных простых чисел наименьшим.

 

Продолжила исследование вопроса, каким условиям должны удовлетворять свободные переменные в формуле с рис. 43, чтобы построенный по этой формуле квадрат получился пандиагональным. Получила второе условие:

 

2a₁ + a₂ + a₄ + 2a₈ + a₁₀ + a₁₂ + a₁₃ + a₁₄ + a₁₇ + a₂₀ = 2S

 

Выбрав (простым подбором) значения свободных переменных так, чтобы они удовлетворяли полученным двум условиям, я построила по формуле с рис. 43 магический квадрат, который уже близок к пандиагональному, нет магической суммы только в трёх разломанных диагоналях. Вот значения переменных:

 

a₁ = 23, a₂ = 14, a₃ = 1, a₄ = 11, a₅ = 9, a₆ = 34, a₇ = 13, a₈ = 3, a₉ = 20, a₁₀ = 2, a₁₁ = 15, a₁₂ = 27, a₁₃ = 17, a₁₄ = 6, a₁₅ = 7, a₁₆ = 18, a₁₇ = 29, a₁₈ = 4, a₁₉ = 10, a₂₀ = 30.

 

Магическая константа строящегося квадрата может быть определена из любого условия, она равна 94. На рис. 45 вы видите магический квадрат, который у меня получился при данных значениях переменных. Надо ещё найти условия, чтобы получить нужные суммы во всех разломанных диагоналях. В квадрате (как и во многих квадратах, получаемых по общим формулам при произвольных значениях переменных) содержатся отрицательные числа, а также есть повторяющиеся числа. Тем не менее, он магический и уже близок к пандиагональному.

 

 

Рис. 45

 

Доработала эту схему до конца, нашла ещё два условия:

 

3(a₁₀ + a₁₂ + a₁₄ + a₁₅ + a₁₆ + a₁₇ – a₆ – a₉) = 2S

3(a₁ + a₂ + a₈ + a₁₀ + a₁₂ + a₁₃ + a₁₄ + a₁₇)  = 4S

 

Все четыре условия связывают 19 свободных переменных, совсем свободной оказалась только одна переменная – a₁₁. Простым подбором нашла значения переменных, при которых выполняются все четыре условия. Значение переменной a₁₁ выбрала совершенно произвольно. Конечно, можно составить программу, которая будет подбирать значения переменных, удовлетворяющие всем четырём условиям, но для одного примера я сделала это вручную. Вот все значения переменных a_i:

 

a₁ = 1, a₂ = 21, a₃ = 18, a₄ = 13, a₅ = 7, a₆ = 8, a₇ = 12, a₈ = 9, a₉ = 19, a₁₀ = 3, a₁₁ = 32, a₁₂ = 10, a₁₃ = 41, a₁₄ = 20, a₁₅ = 28, a₁₆ = 11, a₁₇ = 15, a₁₈ = 14, a₁₉ = 4, a₂₀ = 37.

 

При данных значениях переменных магическая константа квадрата (определяемая из любого условия) равна 90. На рис. 45а вы видите готовый пандиагональный квадрат.

 

 

Рис. 45а

 

Чтобы избавиться от отрицательных чисел, увеличим все элементы квадрата на 18, полученный квадрат изображён на рис. 45б.

 

 

Рис. 45б

 

 Единственным недостатком этого пандиагонального квадрата является то, что в нём есть повторяющиеся числа. Если выбирать значения переменных по программе и для найденных значений в программе же строить квадрат, то повторения чисел легко избежать.

 

Таким образом, схема, изображённая на рис. 43, вместе с четырьмя условиями, накладываемыми на свободные переменные, является готовой формулой построения нетрадиционных пандиагональных квадратов 6-го порядка. Повторю ещё раз четыре условия:

 

2(a₃ + a₅ + a₇ + a₉ + a₁₅ + a₁₉ – a₈ – a₁₄ – a₁₈) = S

2a₁ + a₂ + a₄ + 2a₈ + a₁₀ + a₁₂ + a₁₃ + a₁₄ + a₁₇ + a₂₀ = 2S

3(a₁₀ + a₁₂ + a₁₄ + a₁₅ + a₁₆ + a₁₇ – a₆ – a₉) = 2S

3(a₁ + a₂ + a₈ + a₁₀ + a₁₂ + a₁₃ + a₁₄ + a₁₇) = 4S

 

Проверим выполнение этих условий для квадрата, изображённого на рис. 44. Первое условие уже проверено выше. Проверяем остальные условия:

 

2*67 + 193 + 251 +2*229 + 139 + 101 + 151 + 233 + 127 + 73 = 2*930

3*(139 + 101 + 233 + 241 + 79 + 127 – 137 – 163) = 2*930

3*(67 + 193 + 229 + 139 + 101 + 151 + 233 + 127) = 4*930

 

Все условия выполняются. Следовательно, эти условия являются необходимыми и достаточными для того, чтобы квадрат, построенный по схеме с рис. 43, был пандиагональным.

 

Завершая рассказ об этой схеме, приведу ещё один пример. Мне захотелось убедиться, что переменная a₁₁ действительно является совершенно свободной, я взяла другое значение этой переменной: a₁₁ = 5 и построила новый пандиагональный квадрат (рис. 45в). Для всех остальных переменных значения не изменила. Понятно, что магическая константа квадрата тоже не изменится.

 

 

Рис. 45в

 

Освободимся от отрицательных чисел, увеличив все элементы квадрата на 28. Получим такой пандиагональный квадрат (рис. 45г):

 

 

Рис. 45г

 

Итак, пандиагональный квадрат 6-го порядка из простых чисел у нас уже есть (см. рис. 44). Правда, надо бы выяснить, является ли он наименьшим квадратом из простых чисел. А вот пандиагонального квадрата данного порядка из чисел Смита  нет. Предлагаю читателям построить такой квадрат. Можно использовать для этого предложенную здесь схему.

 

 

В заключение представлю алгоритм, предложенный мной для построения наименьших магических квадратов 6-го порядка из чисел Смита. Этот алгоритм уже был представлен в предыдущей части статьи на примере квадратов 5-го порядка. Алгоритм пока не реализован, хотя на Бейсике я реализовала его поэтапно. Для порядка 5 удалось реализовать все этапы. Для порядка 6 сложности с этапом, на котором выполняется преобразование оригинального набора из четырёх строк.

 

Мы будем строить магический квадрат из массива, состоящего из 36 чисел. Значит, магическая константа строящегося квадрата нам известна.

Для примера возьмём такой массив смитов:

 

22, 94, 346, 382, 562, 778, 1822, 1966, 2326, 2362, 2578, 2902, 20362, 20506, 20542, 20974, 21226, 21262, 681817, 682177, 682393, 682609, 682681, 682897, 1446106, 1446142, 1446178, 1446538, 1446574, 1446934, 3003898, 3004186, 3004402, 3004618, 3004654, 3004762

 

Это массив смитов, из которых составлен квадрат, изображённый на рис. 20. Магическая константа будущего квадрата равна 5156763.

 

Первый этап: сформируем все оригинальные строки по 6 чисел, так что сумма чисел в каждой строке равна магической константе квадрата. Строка называется оригинальной, если числа в ней следуют в порядке возрастания. Этот этап выполняется очень быстро даже на Бейсике. Программа выдаёт 833 оригинальные строки. По просьбе участника форума dxdy.ru я выложила файл с этими строками на сайте:

 

http://www.natalimak1.narod.ru/mk/MK833.TXT

 

Вот начало этого файла – несколько первых оригинальных строк:

 

 

22  1822  20542  682681  1446934  3004762
22  1822  20974  682393  1446934  3004618
22  1822  20974  682609  1446574  3004762
22  1822  20974  682609  1446934  3004402
22  1822  21226  682393  1446538  3004762
22  1822  21226  682897  1446142  3004654
22  1822  21226  682897  1446178  3004618
22  1822  21262  682681  1446574  3004402
22  1822  21262  682897  1446106  3004654
22  1822  21262  682897  1446142  3004618
22  1822  21262  682897  1446574  3004186
22  1966  20506  682681  1446934  3004654
22  1966  20542  682681  1446934  3004618

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

 

На втором этапе из полученных строк формируем наборы по 4 строки так, что все числа в наборе различны. Эти наборы тоже назовём оригинальными. Для этого этапа также составлена программа, но сделала в ней ошибку, которую вижу, не хочется исправлять программу (технически довольно громоздкие исправления). Из-за этой ошибки программа формирует не все оригинальные наборы из четырёх строк, а только 340 наборов. На самом деле их будет несколько больше, но не намного (не в разы). Полученные мной  340 наборов тоже выложены на сайте:

 

http://www.natalimak1.narod.ru/mk/MK340.TXT

 

Покажу первые три набора из этого файла:

 

 

22  1822  20542  682681  1446934  3004762
94  1966  20974  682897  1446178  3004654
346  2326  20506  682393  1446574  3004618
382  2362  21262  681817  1446538  3004402

22  1822  20974  682393  1446934  3004618
94  1966  20506  682897  1446538  3004762
346  2362  20542  682681  1446178  3004654
382  2326  21262  681817  1446574  3004402

22  1822  20974  682609  1446574  3004762
94  1966  21226  682681  1446142  3004654
346  2326  20362  682177  1446934  3004618
382  2362  20542  682897  1446178  3004402

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

 

 

На следующем этапе берётся оригинальный набор из четырёх строк и из него получаются все варианты. Это выполняется путём перестановки строк в наборе и перестановки всех чисел в строках. Понятно, что всего вариантов будет 24*720⁴. Такое количество вариантов на Бейсике невозможно получить за реальное время. Поэтому данный этап мне не удалось реализовать.

На рис. 46 показана схема достраивания набора из четырёх строк до квадрата 6х6.

 

 

Рис. 46

 

Элементы a_i – это числа готового набора из четырёх строк. У нас остались свободными 12 чисел массива, которые мы должны разместить в двух строках квадрата. Достаточно варьировать всего три переменные; варьируются элементы K, M, N, все они должны принять 12 значений, равных оставшимся 12 числам массива. Элементы x_i вычисляются в зависимости от значений K, M, N. Программа этого этапа для одного набора из четырёх строк выполняется мгновенно. Если достраивание выполняется успешно, то выдаётся готовый магический квадрат.

 

Так, на втором этапе должен быть получен такой оригинальный набор из четырёх строк:

 

346 2902 20542 682177 1446142 3004654

382 1822 21226 682897 1446538 3003898

562 1966 21262 682393 1446178 3004402

778 2326 20506 681817 1446574 3004762

 

На следующем этапе из этого набора обязательно получается такой набор из 4-х строк:

 

1822 21226 682897 1446538 3003898 382

3004762 681817 778 2326 1446574 20506

1446142 2902 3004654 20542 346 682177

21262 1446178 1966 562 682393 3004402

 

Очевидно, что этот набор получен из оригинального набора путём перестановки строк и перестановки чисел в строках. Наконец, на последнем этапе этот набор достраивается до магического квадрата, изображённого на рис. 20. Продублирую этот квадрат для наглядности (рис. 47):

 

 

Рис. 47

 

Всё в этом алгоритме работает, вот только не знаю, насколько реально получить все варианты набора из четырёх строк – 24*720⁴. Однако, как мне кажется, их не обязательно получать все. Надо сделать “конвейерную” работу программы: вариант получается и сразу проверяется. Вполне возможно, что магический квадрат получится значительно раньше, чем будет выполнен полный перебор всех вариантов.

 

Алгоритм подробно изложен на форуме dxdy.ru, однако желающим его реализовать оказался только один участник форума – Stefano Tognon. Но и у него что-то не получилось с реализацией.

 

А я выполнила ещё такой эксперимент. Формирую наборы из четырёх строк в количестве 360 штук с использованием функции случайных чисел. Такая порция наборов формируется за 30 мин. Вероятность того, что будет сформировано два одинаковых набора, ничтожно мала. Затем ввожу массив из 360 наборов в программу последнего этапа. Проверка 360 наборов выполняется за одну секунду. Конечно, надо сформировать не одну такую порцию наборов, а например, порций 100. Но и среди этих 100*360 наборов может не оказаться нужного набора. Это как выиграть в лотерею, случай он и есть случай, как повезёт. Покажу начало массива из 360 наборов:

 

682897  22  3004402  2326  20542  1446574
1446178  682681  21262  2362  94  3004186
20506  562  1822  1446934  682177  3004762
1446142  3003898  21226  681817  778  2902
3004618  2362  1446142  21262  681817  562
1446574  3004186  682177  778  1822  21226
22  682609  20974  3004402  1446178  2578
682681  20362  3004762  2326  94  1446538
382  3003898  1446178  682897  20506  2902
3004402  2362  346  681817  1446574  21262
94  682609  20362  3004186  1446934  2578
3004762  682177  778  1446538  1966  20542
22  2362  682681  21226  1446574  3003898
778  1446178  20974  682609  1822  3004402
2326  382  3004762  1446538  20362  682393
94  3004186  1446142  682177  2902  21262
1446178  682609  3004762  20542  94  2578
3004402  382  21226  1446574  2362  681817
346  20362  1446934  682897  2326  3003898
3004186  562  1446538  21262  682393  1822

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

 

Впрочем, алгоритм для порядка 6 уже не актуален, потому что участник форума 12d3 придумал свой алгоритм для порядков 5 и 6, и по его программе удалось построить наименьшие магические квадраты 6-го порядка и из последовательных (рис. 48), и из произвольных (рис. 49) смитов, а также наименьший магический квадрат 5-го порядка из произвольных смитов (был улучшен полученный ранее результат другого участника форума).

А вот наименьший квадрат 5-го порядка из последовательных смитов пока не найден. Так что, для порядка 5 представленный алгоритм вполне может пригодиться.

 

Рис. 48

 

 

Рис. 49

 

Теперь задача остаётся для порядков 7 – 9. Надо построить наименьшие магические квадраты данных порядков из последовательных и из произвольных смитов.

 

***

 

Возможно, я напишу ещё одну часть статьи – о формулах и схемах для построения магических квадратов 7-го порядка. Следите за страницей содержания моей виртуальной книги “Волшебный мир магических квадратов”:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm

 

А также не забывайте скачивать небольшой фрагмент этой очень большой книги, сделанный в формате pdf:

 

http://narod.ru/disk/5834353000/Magic_squares.pdf.html

 

И ещё было бы очень хорошо, если бы вы написали мне свои отзывы и пожелания. Я собираюсь делать ещё один фрагмент в формате pdf. Ориентировочно этот фрагмент будет посвящён нетрадиционным магическим квадратам. Напишите мне, что вы хотели бы увидеть в новой книжке. Может быть, сделать книжку об идеальных магических квадратах с подробным изложением метода качелей и других методов построения таких квадратов? Или книжку “Квадраты Франклина”? Или книжку о латинских квадратах? Жду от вас писем, уважаемые читатели. Ваши пожелания могут повлиять на выбор темы для новой книги.

 

Напомню, что писать мне можно здесь (гостевая книга и форум сайта), в домашний ящик: natalimak1@yandex.ru и по QIP (571379327).

 

Ваша Наталия Макарова

 

 

Л и т е р а т у р а

 

[1] М. Гарднер. От мозаик Пенроуза к надёжным шифрам. – М.: Мир, 1993.

[2] Б. А. Кордемский. Математическая смекалка. – М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1957.

[3] У. Болл, Г. Коксетер. Математические эссе и развлечения. – М.: Мир, 1986.

            [4] Nature, 1910, vol. LXXXIII, p. 368; см. также Chernick J. American Mathematical Monthly, 1938, vol. XLV,

pp. 172 – 175.

[5] Ю. В. Чебраков. Магические квадраты. Теория чисел, алгебра, комбинаторный анализ. – С. - Петербург, 1995.

 

 

 

17 - 24 декабря 2009 г.

г. Саратов