Н. Макарова
ПОСТРОЕНИЕ ПАР ОДЛК 22-го ПОРЯДКА
Данная страница является продолжением страницы
http://www.natalimak1.narod.ru/diagon.htm
В указанной выше статье были построены пары ортогональных диагональных латинских квадратов (ОДЛК) порядков 14, 15 и 18. Для порядка 15 построена даже целая группа из четырёх попарно ортогональных диагональных латинских квадратов. Для порядков 14 и 18 построена не одна пара ОДЛК, а целая группа неизоморфных пар; для порядка 14 в этой группе 1152 пары, а для порядка 18 – 2880 пар. Это краткое изложение результатов предыдущей статьи. Здесь будет рассказано о построении группы неизоморфных пар ОДЛК 22-го порядка, состоящей из 576 пар. Эта группа построена на основе одной пары ОЛК, которая найдена мной в статье “The Existence of N2 Resolvable Latin Squares” (A. J. Wolfe, A. C. H. Ling, J. H. Dinitz. 2008). В статье приведена квази-разностная матрица (КРМ) для построения пары ОЛК. Покажу сначала эту КРМ (рис. 1).
|
a |
0 |
2 |
13 |
b |
5 |
1 |
13 |
c |
3 |
0 |
9 |
d |
5 |
1 |
3 |
11 |
11 |
0 |
1 |
3 |
12 |
0 |
7 |
4 |
0 |
|
8 |
a |
0 |
1 |
6 |
b |
0 |
2 |
6 |
c |
5 |
1 |
2 |
d |
4 |
0 |
5 |
1 |
4 |
3 |
12 |
5 |
1 |
2 |
0 |
0 |
|
1 |
2 |
a |
9 |
0 |
14 |
b |
1 |
3 |
0 |
c |
1 |
7 |
0 |
d |
7 |
0 |
10 |
0 |
9 |
4 |
6 |
5 |
0 |
2 |
3 |
|
3 |
17 |
8 |
a |
10 |
0 |
2 |
b |
15 |
5 |
12 |
c |
13 |
3 |
1 |
d |
1 |
0 |
9 |
4 |
0 |
17 |
4 |
0 |
0 |
10 |
Рис. 1
Читатели могут сами построить пару ОЛК по данной КРМ. Я построила несколько другую пару ОЛК изоморфную паре из статьи. В моей паре ОЛК оба латинских квадрата начинаются с числа 0. Для преобразования латинских квадратов я применила трансформацию тождественной перестановки чисел, являющуюся циклическим сдвигом. И КРМ своей пары я записываю в виде, предложенном мной в предыдущих статьях. На рис. 2 вы видите эту КРМ.
|
a |
b |
c |
d |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
a |
b |
c |
d |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
|
8 |
9 |
12 |
2 |
17 |
6 |
12 |
10 |
0 |
2 |
5 |
d |
15 |
c |
11 |
3 |
14 |
16 |
7 |
9 |
4 |
8 |
13 |
1 |
a |
b |
|
3 |
12 |
17 |
1 |
7 |
3 |
10 |
6 |
0 |
12 |
11 |
8 |
17 |
2 |
a |
b |
15 |
5 |
c |
13 |
16 |
1 |
4 |
d |
14 |
9 |
Рис. 2
Понятно, что латинские квадраты пары ОЛК, определяемой данной КРМ, содержат латинский подквадрат 4х4; он задаётся символьными элементами a, b, c, d, которые принимают значения 18, 19, 20, 21 в любой комбинации. На рис. 3 – 4 показаны латинские квадраты пары ОЛК, определяемой данной КРМ. В квадратах символьные элементы заменены конкретными числовыми значениями: a = 18, b = 19, c = 20, d = 21.
Первый латинский квадрат
|
0 |
19 |
18 |
4 |
17 |
13 |
10 |
16 |
15 |
7 |
6 |
14 |
5 |
20 |
11 |
21 |
3 |
1 |
8 |
9 |
12 |
2 |
|
2 |
1 |
19 |
18 |
5 |
0 |
14 |
11 |
17 |
16 |
8 |
7 |
15 |
6 |
20 |
12 |
21 |
4 |
9 |
10 |
13 |
3 |
|
5 |
3 |
2 |
19 |
18 |
6 |
1 |
15 |
12 |
0 |
17 |
9 |
8 |
16 |
7 |
20 |
13 |
21 |
10 |
11 |
14 |
4 |
|
21 |
6 |
4 |
3 |
19 |
18 |
7 |
2 |
16 |
13 |
1 |
0 |
10 |
9 |
17 |
8 |
20 |
14 |
11 |
12 |
15 |
5 |
|
15 |
21 |
7 |
5 |
4 |
19 |
18 |
8 |
3 |
17 |
14 |
2 |
1 |
11 |
10 |
0 |
9 |
20 |
12 |
13 |
16 |
6 |
|
20 |
16 |
21 |
8 |
6 |
5 |
19 |
18 |
9 |
4 |
0 |
15 |
3 |
2 |
12 |
11 |
1 |
10 |
13 |
14 |
17 |
7 |
|
11 |
20 |
17 |
21 |
9 |
7 |
6 |
19 |
18 |
10 |
5 |
1 |
16 |
4 |
3 |
13 |
12 |
2 |
14 |
15 |
0 |
8 |
|
3 |
12 |
20 |
0 |
21 |
10 |
8 |
7 |
19 |
18 |
11 |
6 |
2 |
17 |
5 |
4 |
14 |
13 |
15 |
16 |
1 |
9 |
|
14 |
4 |
13 |
20 |
1 |
21 |
11 |
9 |
8 |
19 |
18 |
12 |
7 |
3 |
0 |
6 |
5 |
15 |
16 |
17 |
2 |
10 |
|
16 |
15 |
5 |
14 |
20 |
2 |
21 |
12 |
10 |
9 |
19 |
18 |
13 |
8 |
4 |
1 |
7 |
6 |
17 |
0 |
3 |
11 |
|
7 |
17 |
16 |
6 |
15 |
20 |
3 |
21 |
13 |
11 |
10 |
19 |
18 |
14 |
9 |
5 |
2 |
8 |
0 |
1 |
4 |
12 |
|
9 |
8 |
0 |
17 |
7 |
16 |
20 |
4 |
21 |
14 |
12 |
11 |
19 |
18 |
15 |
10 |
6 |
3 |
1 |
2 |
5 |
13 |
|
4 |
10 |
9 |
1 |
0 |
8 |
17 |
20 |
5 |
21 |
15 |
13 |
12 |
19 |
18 |
16 |
11 |
7 |
2 |
3 |
6 |
14 |
|
8 |
5 |
11 |
10 |
2 |
1 |
9 |
0 |
20 |
6 |
21 |
16 |
14 |
13 |
19 |
18 |
17 |
12 |
3 |
4 |
7 |
15 |
|
13 |
9 |
6 |
12 |
11 |
3 |
2 |
10 |
1 |
20 |
7 |
21 |
17 |
15 |
14 |
19 |
18 |
0 |
4 |
5 |
8 |
16 |
|
1 |
14 |
10 |
7 |
13 |
12 |
4 |
3 |
11 |
2 |
20 |
8 |
21 |
0 |
16 |
15 |
19 |
18 |
5 |
6 |
9 |
17 |
|
18 |
2 |
15 |
11 |
8 |
14 |
13 |
5 |
4 |
12 |
3 |
20 |
9 |
21 |
1 |
17 |
16 |
19 |
6 |
7 |
10 |
0 |
|
19 |
18 |
3 |
16 |
12 |
9 |
15 |
14 |
6 |
5 |
13 |
4 |
20 |
10 |
21 |
2 |
0 |
17 |
7 |
8 |
11 |
1 |
|
17 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
18 |
19 |
20 |
21 |
|
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
21 |
20 |
19 |
18 |
|
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
19 |
18 |
21 |
20 |
|
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
20 |
21 |
18 |
19 |
Рис. 3
Второй латинский квадрат:
|
0 |
10 |
16 |
21 |
8 |
6 |
4 |
2 |
20 |
14 |
7 |
19 |
18 |
15 |
13 |
5 |
9 |
11 |
3 |
12 |
17 |
1 |
|
12 |
1 |
11 |
17 |
21 |
9 |
7 |
5 |
3 |
20 |
15 |
8 |
19 |
18 |
16 |
14 |
6 |
10 |
4 |
13 |
0 |
2 |
|
11 |
13 |
2 |
12 |
0 |
21 |
10 |
8 |
6 |
4 |
20 |
16 |
9 |
19 |
18 |
17 |
15 |
7 |
5 |
14 |
1 |
3 |
|
8 |
12 |
14 |
3 |
13 |
1 |
21 |
11 |
9 |
7 |
5 |
20 |
17 |
10 |
19 |
18 |
0 |
16 |
6 |
15 |
2 |
4 |
|
17 |
9 |
13 |
15 |
4 |
14 |
2 |
21 |
12 |
10 |
8 |
6 |
20 |
0 |
11 |
19 |
18 |
1 |
7 |
16 |
3 |
5 |
|
2 |
0 |
10 |
14 |
16 |
5 |
15 |
3 |
21 |
13 |
11 |
9 |
7 |
20 |
1 |
12 |
19 |
18 |
8 |
17 |
4 |
6 |
|
18 |
3 |
1 |
11 |
15 |
17 |
6 |
16 |
4 |
21 |
14 |
12 |
10 |
8 |
20 |
2 |
13 |
19 |
9 |
0 |
5 |
7 |
|
19 |
18 |
4 |
2 |
12 |
16 |
0 |
7 |
17 |
5 |
21 |
15 |
13 |
11 |
9 |
20 |
3 |
14 |
10 |
1 |
6 |
8 |
|
15 |
19 |
18 |
5 |
3 |
13 |
17 |
1 |
8 |
0 |
6 |
21 |
16 |
14 |
12 |
10 |
20 |
4 |
11 |
2 |
7 |
9 |
|
5 |
16 |
19 |
18 |
6 |
4 |
14 |
0 |
2 |
9 |
1 |
7 |
21 |
17 |
15 |
13 |
11 |
20 |
12 |
3 |
8 |
10 |
|
20 |
6 |
17 |
19 |
18 |
7 |
5 |
15 |
1 |
3 |
10 |
2 |
8 |
21 |
0 |
16 |
14 |
12 |
13 |
4 |
9 |
11 |
|
13 |
20 |
7 |
0 |
19 |
18 |
8 |
6 |
16 |
2 |
4 |
11 |
3 |
9 |
21 |
1 |
17 |
15 |
14 |
5 |
10 |
12 |
|
16 |
14 |
20 |
8 |
1 |
19 |
18 |
9 |
7 |
17 |
3 |
5 |
12 |
4 |
10 |
21 |
2 |
0 |
15 |
6 |
11 |
13 |
|
1 |
17 |
15 |
20 |
9 |
2 |
19 |
18 |
10 |
8 |
0 |
4 |
6 |
13 |
5 |
11 |
21 |
3 |
16 |
7 |
12 |
14 |
|
4 |
2 |
0 |
16 |
20 |
10 |
3 |
19 |
18 |
11 |
9 |
1 |
5 |
7 |
14 |
6 |
12 |
21 |
17 |
8 |
13 |
15 |
|
21 |
5 |
3 |
1 |
17 |
20 |
11 |
4 |
19 |
18 |
12 |
10 |
2 |
6 |
8 |
15 |
7 |
13 |
0 |
9 |
14 |
16 |
|
14 |
21 |
6 |
4 |
2 |
0 |
20 |
12 |
5 |
19 |
18 |
13 |
11 |
3 |
7 |
9 |
16 |
8 |
1 |
10 |
15 |
17 |
|
9 |
15 |
21 |
7 |
5 |
3 |
1 |
20 |
13 |
6 |
19 |
18 |
14 |
12 |
4 |
8 |
10 |
17 |
2 |
11 |
16 |
0 |
|
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
18 |
19 |
20 |
21 |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
0 |
1 |
2 |
20 |
21 |
18 |
19 |
|
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
21 |
20 |
19 |
18 |
|
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
19 |
18 |
21 |
20 |
Рис. 4
Заметьте: в обоих латинских квадратах неправильная только одна диагональ, а в другой диагонали все элементы различны. А теперь превращаем эти ортогональные латинские квадраты в диагональные ортогональные латинские квадраты тем же методом, который описан в предыдущей статье. На рис. 5 – 6 вы видите пару ОДЛК, полученную из данной пары ОЛК.
Первый диагональный латинский квадрат:
|
0 |
19 |
18 |
4 |
17 |
13 |
10 |
16 |
15 |
8 |
9 |
12 |
2 |
1 |
3 |
21 |
11 |
20 |
5 |
14 |
6 |
7 |
|
2 |
1 |
19 |
18 |
5 |
0 |
14 |
11 |
17 |
9 |
10 |
13 |
3 |
4 |
21 |
12 |
20 |
6 |
15 |
7 |
8 |
16 |
|
5 |
3 |
2 |
19 |
18 |
6 |
1 |
15 |
12 |
10 |
11 |
14 |
4 |
21 |
13 |
20 |
7 |
16 |
8 |
9 |
17 |
0 |
|
21 |
6 |
4 |
3 |
19 |
18 |
7 |
2 |
16 |
11 |
12 |
15 |
5 |
14 |
20 |
8 |
17 |
9 |
10 |
0 |
1 |
13 |
|
15 |
21 |
7 |
5 |
4 |
19 |
18 |
8 |
3 |
12 |
13 |
16 |
6 |
20 |
9 |
0 |
10 |
11 |
1 |
2 |
14 |
17 |
|
20 |
16 |
21 |
8 |
6 |
5 |
19 |
18 |
9 |
13 |
14 |
17 |
7 |
10 |
1 |
11 |
12 |
2 |
3 |
15 |
0 |
4 |
|
11 |
20 |
17 |
21 |
9 |
7 |
6 |
19 |
18 |
14 |
15 |
0 |
8 |
2 |
12 |
13 |
3 |
4 |
16 |
1 |
5 |
10 |
|
3 |
12 |
20 |
0 |
21 |
10 |
8 |
7 |
19 |
15 |
16 |
1 |
9 |
13 |
14 |
4 |
5 |
17 |
2 |
6 |
11 |
18 |
|
14 |
4 |
13 |
20 |
1 |
21 |
11 |
9 |
8 |
16 |
17 |
2 |
10 |
15 |
5 |
6 |
0 |
3 |
7 |
12 |
18 |
19 |
|
17 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
18 |
19 |
20 |
21 |
16 |
15 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
|
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
21 |
20 |
19 |
18 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
17 |
16 |
15 |
|
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
0 |
1 |
2 |
19 |
18 |
21 |
20 |
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
|
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
0 |
20 |
21 |
18 |
19 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
|
19 |
18 |
3 |
16 |
12 |
9 |
15 |
14 |
6 |
7 |
8 |
11 |
1 |
17 |
0 |
2 |
21 |
10 |
20 |
4 |
13 |
5 |
|
18 |
2 |
15 |
11 |
8 |
14 |
13 |
5 |
4 |
6 |
7 |
10 |
0 |
19 |
16 |
17 |
1 |
21 |
9 |
20 |
3 |
12 |
|
1 |
14 |
10 |
7 |
13 |
12 |
4 |
3 |
11 |
5 |
6 |
9 |
17 |
18 |
19 |
15 |
16 |
0 |
21 |
8 |
20 |
2 |
|
13 |
9 |
6 |
12 |
11 |
3 |
2 |
10 |
1 |
4 |
5 |
8 |
16 |
0 |
18 |
19 |
14 |
15 |
17 |
21 |
7 |
20 |
|
8 |
5 |
11 |
10 |
2 |
1 |
9 |
0 |
20 |
3 |
4 |
7 |
15 |
12 |
17 |
18 |
19 |
13 |
14 |
16 |
21 |
6 |
|
4 |
10 |
9 |
1 |
0 |
8 |
17 |
20 |
5 |
2 |
3 |
6 |
14 |
7 |
11 |
16 |
18 |
19 |
12 |
13 |
15 |
21 |
|
9 |
8 |
0 |
17 |
7 |
16 |
20 |
4 |
21 |
1 |
2 |
5 |
13 |
3 |
6 |
10 |
15 |
18 |
19 |
11 |
12 |
14 |
|
7 |
17 |
16 |
6 |
15 |
20 |
3 |
21 |
13 |
0 |
1 |
4 |
12 |
8 |
2 |
5 |
9 |
14 |
18 |
19 |
10 |
11 |
|
16 |
15 |
5 |
14 |
20 |
2 |
21 |
12 |
10 |
17 |
0 |
3 |
11 |
6 |
7 |
1 |
4 |
8 |
13 |
18 |
19 |
9 |
Рис. 5
Второй диагональный латинский квадрат:
|
0 |
10 |
16 |
21 |
8 |
6 |
4 |
2 |
20 |
3 |
12 |
17 |
1 |
11 |
9 |
5 |
13 |
15 |
18 |
19 |
7 |
14 |
|
12 |
1 |
11 |
17 |
21 |
9 |
7 |
5 |
3 |
4 |
13 |
0 |
2 |
10 |
6 |
14 |
16 |
18 |
19 |
8 |
15 |
20 |
|
11 |
13 |
2 |
12 |
0 |
21 |
10 |
8 |
6 |
5 |
14 |
1 |
3 |
7 |
15 |
17 |
18 |
19 |
9 |
16 |
20 |
4 |
|
8 |
12 |
14 |
3 |
13 |
1 |
21 |
11 |
9 |
6 |
15 |
2 |
4 |
16 |
0 |
18 |
19 |
10 |
17 |
20 |
5 |
7 |
|
17 |
9 |
13 |
15 |
4 |
14 |
2 |
21 |
12 |
7 |
16 |
3 |
5 |
1 |
18 |
19 |
11 |
0 |
20 |
6 |
8 |
10 |
|
2 |
0 |
10 |
14 |
16 |
5 |
15 |
3 |
21 |
8 |
17 |
4 |
6 |
18 |
19 |
12 |
1 |
20 |
7 |
9 |
11 |
13 |
|
18 |
3 |
1 |
11 |
15 |
17 |
6 |
16 |
4 |
9 |
0 |
5 |
7 |
19 |
13 |
2 |
20 |
8 |
10 |
12 |
14 |
21 |
|
19 |
18 |
4 |
2 |
12 |
16 |
0 |
7 |
17 |
10 |
1 |
6 |
8 |
14 |
3 |
20 |
9 |
11 |
13 |
15 |
21 |
5 |
|
15 |
19 |
18 |
5 |
3 |
13 |
17 |
1 |
8 |
11 |
2 |
7 |
9 |
4 |
20 |
10 |
12 |
14 |
16 |
21 |
6 |
0 |
|
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
18 |
19 |
20 |
21 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
17 |
16 |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
20 |
21 |
18 |
19 |
2 |
1 |
0 |
17 |
16 |
15 |
14 |
13 |
12 |
|
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
0 |
21 |
20 |
19 |
18 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
|
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
19 |
18 |
21 |
20 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
17 |
16 |
15 |
|
9 |
15 |
21 |
7 |
5 |
3 |
1 |
20 |
13 |
2 |
11 |
16 |
0 |
17 |
10 |
8 |
4 |
12 |
14 |
18 |
19 |
6 |
|
14 |
21 |
6 |
4 |
2 |
0 |
20 |
12 |
5 |
1 |
10 |
15 |
17 |
8 |
16 |
9 |
7 |
3 |
11 |
13 |
18 |
19 |
|
21 |
5 |
3 |
1 |
17 |
20 |
11 |
4 |
19 |
0 |
9 |
14 |
16 |
13 |
7 |
15 |
8 |
6 |
2 |
10 |
12 |
18 |
|
4 |
2 |
0 |
16 |
20 |
10 |
3 |
19 |
18 |
17 |
8 |
13 |
15 |
21 |
12 |
6 |
14 |
7 |
5 |
1 |
9 |
11 |
|
1 |
17 |
15 |
20 |
9 |
2 |
19 |
18 |
10 |
16 |
7 |
12 |
14 |
3 |
21 |
11 |
5 |
13 |
6 |
4 |
0 |
8 |
|
16 |
14 |
20 |
8 |
1 |
19 |
18 |
9 |
7 |
15 |
6 |
11 |
13 |
0 |
2 |
21 |
10 |
4 |
12 |
5 |
3 |
17 |
|
13 |
20 |
7 |
0 |
19 |
18 |
8 |
6 |
16 |
14 |
5 |
10 |
12 |
15 |
17 |
1 |
21 |
9 |
3 |
11 |
4 |
2 |
|
20 |
6 |
17 |
19 |
18 |
7 |
5 |
15 |
1 |
13 |
4 |
9 |
11 |
12 |
14 |
16 |
0 |
21 |
8 |
2 |
10 |
3 |
|
5 |
16 |
19 |
18 |
6 |
4 |
14 |
0 |
2 |
12 |
3 |
8 |
10 |
20 |
11 |
13 |
15 |
17 |
21 |
7 |
1 |
9 |
Рис. 6
И вот первый магический квадрат 22-го порядка, построенный методом латинских квадратов из пары ОДЛК (рис. 7). В цикле статей “Новые аспекты метода латинских квадратов” был построен методом латинских квадратов магический квадрат 22-го порядка из пары ОЛК. Для этого мне пришлось преобразовывать недиагональные латинские квадраты. Понятно, что из пары ОДЛК магический квадрат строится сразу, без предварительного преобразования латинских квадратов. Второй магический квадрат получится, если поменять местами латинские квадраты в формуле для построения магических квадратов.
|
1 |
429 |
413 |
110 |
383 |
293 |
225 |
355 |
351 |
180 |
211 |
282 |
46 |
34 |
76 |
468 |
256 |
456 |
129 |
328 |
140 |
169 |
|
57 |
24 |
430 |
414 |
132 |
10 |
316 |
248 |
378 |
203 |
234 |
287 |
69 |
99 |
469 |
279 |
457 |
151 |
350 |
163 |
192 |
373 |
|
122 |
80 |
47 |
431 |
397 |
154 |
33 |
339 |
271 |
226 |
257 |
310 |
92 |
470 |
302 |
458 |
173 |
372 |
186 |
215 |
395 |
5 |
|
471 |
145 |
103 |
70 |
432 |
398 |
176 |
56 |
362 |
249 |
280 |
333 |
115 |
325 |
441 |
195 |
394 |
209 |
238 |
21 |
28 |
294 |
|
348 |
472 |
168 |
126 |
93 |
433 |
399 |
198 |
79 |
272 |
303 |
356 |
138 |
442 |
217 |
20 |
232 |
243 |
43 |
51 |
317 |
385 |
|
443 |
353 |
473 |
191 |
149 |
116 |
434 |
400 |
220 |
295 |
326 |
379 |
161 |
239 |
42 |
255 |
266 |
65 |
74 |
340 |
12 |
102 |
|
261 |
444 |
376 |
474 |
214 |
172 |
139 |
435 |
401 |
318 |
331 |
6 |
184 |
64 |
278 |
289 |
87 |
97 |
363 |
35 |
125 |
242 |
|
86 |
283 |
445 |
3 |
475 |
237 |
177 |
162 |
436 |
341 |
354 |
29 |
207 |
301 |
312 |
109 |
120 |
386 |
58 |
148 |
264 |
402 |
|
324 |
108 |
305 |
446 |
26 |
476 |
260 |
200 |
185 |
364 |
377 |
52 |
230 |
335 |
131 |
143 |
13 |
81 |
171 |
286 |
403 |
419 |
|
382 |
9 |
32 |
55 |
78 |
101 |
124 |
147 |
170 |
415 |
438 |
461 |
484 |
359 |
336 |
313 |
290 |
267 |
244 |
221 |
216 |
193 |
|
136 |
159 |
182 |
205 |
228 |
251 |
274 |
297 |
320 |
483 |
462 |
437 |
416 |
113 |
90 |
67 |
62 |
39 |
16 |
389 |
366 |
343 |
|
275 |
298 |
321 |
344 |
367 |
390 |
17 |
40 |
45 |
440 |
417 |
482 |
459 |
252 |
229 |
206 |
183 |
160 |
137 |
114 |
91 |
68 |
|
227 |
250 |
273 |
296 |
319 |
342 |
365 |
388 |
15 |
460 |
481 |
418 |
439 |
204 |
181 |
158 |
135 |
112 |
89 |
84 |
61 |
38 |
|
428 |
412 |
88 |
360 |
270 |
202 |
332 |
329 |
146 |
157 |
188 |
259 |
23 |
392 |
11 |
53 |
467 |
233 |
455 |
107 |
306 |
117 |
|
411 |
66 |
337 |
247 |
179 |
309 |
307 |
123 |
94 |
134 |
165 |
236 |
18 |
427 |
369 |
384 |
30 |
466 |
210 |
454 |
85 |
284 |
|
44 |
314 |
224 |
156 |
304 |
285 |
100 |
71 |
262 |
111 |
142 |
213 |
391 |
410 |
426 |
346 |
361 |
7 |
465 |
187 |
453 |
63 |
|
291 |
201 |
133 |
281 |
263 |
77 |
48 |
240 |
41 |
106 |
119 |
190 |
368 |
22 |
409 |
425 |
323 |
338 |
380 |
464 |
164 |
452 |
|
178 |
128 |
258 |
241 |
54 |
25 |
218 |
19 |
451 |
83 |
96 |
167 |
345 |
268 |
396 |
408 |
424 |
300 |
315 |
357 |
463 |
141 |
|
105 |
235 |
219 |
31 |
2 |
196 |
393 |
450 |
118 |
60 |
73 |
144 |
322 |
155 |
245 |
374 |
407 |
423 |
277 |
292 |
334 |
480 |
|
212 |
197 |
8 |
375 |
174 |
371 |
449 |
95 |
479 |
37 |
50 |
121 |
299 |
82 |
150 |
222 |
352 |
406 |
422 |
254 |
269 |
311 |
|
175 |
381 |
370 |
152 |
349 |
448 |
72 |
478 |
288 |
14 |
27 |
98 |
276 |
189 |
59 |
127 |
199 |
330 |
405 |
421 |
231 |
246 |
|
358 |
347 |
130 |
327 |
447 |
49 |
477 |
265 |
223 |
387 |
4 |
75 |
253 |
153 |
166 |
36 |
104 |
194 |
308 |
404 |
420 |
208 |
Рис. 7
Вернёмся к КРМ, изображённой на рис. 2. В КРМ выделена секция, содержащая четыре группы чисел: 2, 8, 9, 12; 6, 10, 12, 17; 1, 3, 12, 17 и 3, 6, 7, 10. В этих четырёх группах числа могут переставляться. Понятно, что в каждой группе возможны 24 перестановки, а во всех четырёх группах – 331776 перестановок. Однако далеко не все перестановки сохраняют ортогональность латинских квадратов. Чтобы ортогональность сохранилась, третья и четвёртая строки КРМ должны быть совместимы по известному критерию. Составив и выполнив программу, я получила 576 вариантов КРМ. Значит, можно составить 576 неизоморфных пар ОЛК 22-го порядка, подобных паре ОЛК, приведённой на рис. 3 - 4. Покажу здесь только один вариант - № 576. На рис. 8 показана КРМ этого варианта.
|
a |
b |
c |
d |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
0 |
a |
b |
c |
d |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
|
12 |
9 |
8 |
2 |
17 |
12 |
10 |
6 |
0 |
2 |
5 |
d |
15 |
c |
11 |
3 |
14 |
16 |
7 |
9 |
4 |
8 |
13 |
1 |
a |
b |
|
17 |
12 |
3 |
1 |
7 |
10 |
6 |
3 |
0 |
12 |
11 |
8 |
17 |
2 |
a |
b |
15 |
5 |
c |
13 |
16 |
1 |
4 |
d |
14 |
9 |
Рис. 8
Пропускаю этап построения латинских квадратов пары ОЛК, определяемой данной КРМ, и сразу показываю полученную из этой пары ОЛК пару ОДЛК (рис. 9 – 10).
Первый диагональный латинский квадрат (решение № 576):
|
0 |
19 |
18 |
4 |
17 |
13 |
10 |
16 |
15 |
12 |
9 |
8 |
2 |
1 |
3 |
21 |
11 |
20 |
5 |
14 |
6 |
7 |
|
2 |
1 |
19 |
18 |
5 |
0 |
14 |
11 |
17 |
13 |
10 |
9 |
3 |
4 |
21 |
12 |
20 |
6 |
15 |
7 |
8 |
16 |
|
5 |
3 |
2 |
19 |
18 |
6 |
1 |
15 |
12 |
14 |
11 |
10 |
4 |
21 |
13 |
20 |
7 |
16 |
8 |
9 |
17 |
0 |
|
21 |
6 |
4 |
3 |
19 |
18 |
7 |
2 |
16 |
15 |
12 |
11 |
5 |
14 |
20 |
8 |
17 |
9 |
10 |
0 |
1 |
13 |
|
15 |
21 |
7 |
5 |
4 |
19 |
18 |
8 |
3 |
16 |
13 |
12 |
6 |
20 |
9 |
0 |
10 |
11 |
1 |
2 |
14 |
17 |
|
20 |
16 |
21 |
8 |
6 |
5 |
19 |
18 |
9 |
17 |
14 |
13 |
7 |
10 |
1 |
11 |
12 |
2 |
3 |
15 |
0 |
4 |
|
11 |
20 |
17 |
21 |
9 |
7 |
6 |
19 |
18 |
0 |
15 |
14 |
8 |
2 |
12 |
13 |
3 |
4 |
16 |
1 |
5 |
10 |
|
3 |
12 |
20 |
0 |
21 |
10 |
8 |
7 |
19 |
1 |
16 |
15 |
9 |
13 |
14 |
4 |
5 |
17 |
2 |
6 |
11 |
18 |
|
14 |
4 |
13 |
20 |
1 |
21 |
11 |
9 |
8 |
2 |
17 |
16 |
10 |
15 |
5 |
6 |
0 |
3 |
7 |
12 |
18 |
19 |
|
17 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
18 |
19 |
20 |
21 |
16 |
15 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
|
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
0 |
1 |
2 |
21 |
20 |
19 |
18 |
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
|
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
0 |
19 |
18 |
21 |
20 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
|
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
20 |
21 |
18 |
19 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
17 |
16 |
15 |
|
19 |
18 |
3 |
16 |
12 |
9 |
15 |
14 |
6 |
11 |
8 |
7 |
1 |
17 |
0 |
2 |
21 |
10 |
20 |
4 |
13 |
5 |
|
18 |
2 |
15 |
11 |
8 |
14 |
13 |
5 |
4 |
10 |
7 |
6 |
0 |
19 |
16 |
17 |
1 |
21 |
9 |
20 |
3 |
12 |
|
1 |
14 |
10 |
7 |
13 |
12 |
4 |
3 |
11 |
9 |
6 |
5 |
17 |
18 |
19 |
15 |
16 |
0 |
21 |
8 |
20 |
2 |
|
13 |
9 |
6 |
12 |
11 |
3 |
2 |
10 |
1 |
8 |
5 |
4 |
16 |
0 |
18 |
19 |
14 |
15 |
17 |
21 |
7 |
20 |
|
8 |
5 |
11 |
10 |
2 |
1 |
9 |
0 |
20 |
7 |
4 |
3 |
15 |
12 |
17 |
18 |
19 |
13 |
14 |
16 |
21 |
6 |
|
4 |
10 |
9 |
1 |
0 |
8 |
17 |
20 |
5 |
6 |
3 |
2 |
14 |
7 |
11 |
16 |
18 |
19 |
12 |
13 |
15 |
21 |
|
9 |
8 |
0 |
17 |
7 |
16 |
20 |
4 |
21 |
5 |
2 |
1 |
13 |
3 |
6 |
10 |
15 |
18 |
19 |
11 |
12 |
14 |
|
7 |
17 |
16 |
6 |
15 |
20 |
3 |
21 |
13 |
4 |
1 |
0 |
12 |
8 |
2 |
5 |
9 |
14 |
18 |
19 |
10 |
11 |
|
16 |
15 |
5 |
14 |
20 |
2 |
21 |
12 |
10 |
3 |
0 |
17 |
11 |
6 |
7 |
1 |
4 |
8 |
13 |
18 |
19 |
9 |
Рис. 9
Второй диагональный латинский квадрат (решение № 576):
|
0 |
10 |
16 |
21 |
8 |
6 |
4 |
2 |
20 |
17 |
12 |
3 |
1 |
11 |
9 |
5 |
13 |
15 |
18 |
19 |
7 |
14 |
|
12 |
1 |
11 |
17 |
21 |
9 |
7 |
5 |
3 |
0 |
13 |
4 |
2 |
10 |
6 |
14 |
16 |
18 |
19 |
8 |
15 |
20 |
|
11 |
13 |
2 |
12 |
0 |
21 |
10 |
8 |
6 |
1 |
14 |
5 |
3 |
7 |
15 |
17 |
18 |
19 |
9 |
16 |
20 |
4 |
|
8 |
12 |
14 |
3 |
13 |
1 |
21 |
11 |
9 |
2 |
15 |
6 |
4 |
16 |
0 |
18 |
19 |
10 |
17 |
20 |
5 |
7 |
|
17 |
9 |
13 |
15 |
4 |
14 |
2 |
21 |
12 |
3 |
16 |
7 |
5 |
1 |
18 |
19 |
11 |
0 |
20 |
6 |
8 |
10 |
|
2 |
0 |
10 |
14 |
16 |
5 |
15 |
3 |
21 |
4 |
17 |
8 |
6 |
18 |
19 |
12 |
1 |
20 |
7 |
9 |
11 |
13 |
|
18 |
3 |
1 |
11 |
15 |
17 |
6 |
16 |
4 |
5 |
0 |
9 |
7 |
19 |
13 |
2 |
20 |
8 |
10 |
12 |
14 |
21 |
|
19 |
18 |
4 |
2 |
12 |
16 |
0 |
7 |
17 |
6 |
1 |
10 |
8 |
14 |
3 |
20 |
9 |
11 |
13 |
15 |
21 |
5 |
|
15 |
19 |
18 |
5 |
3 |
13 |
17 |
1 |
8 |
7 |
2 |
11 |
9 |
4 |
20 |
10 |
12 |
14 |
16 |
21 |
6 |
0 |
|
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
18 |
19 |
20 |
21 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
17 |
16 |
|
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
0 |
20 |
21 |
18 |
19 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
|
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
21 |
20 |
19 |
18 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
0 |
17 |
16 |
15 |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
19 |
18 |
21 |
20 |
2 |
1 |
0 |
17 |
16 |
15 |
14 |
13 |
12 |
|
9 |
15 |
21 |
7 |
5 |
3 |
1 |
20 |
13 |
16 |
11 |
2 |
0 |
17 |
10 |
8 |
4 |
12 |
14 |
18 |
19 |
6 |
|
14 |
21 |
6 |
4 |
2 |
0 |
20 |
12 |
5 |
15 |
10 |
1 |
17 |
8 |
16 |
9 |
7 |
3 |
11 |
13 |
18 |
19 |
|
21 |
5 |
3 |
1 |
17 |
20 |
11 |
4 |
19 |
14 |
9 |
0 |
16 |
13 |
7 |
15 |
8 |
6 |
2 |
10 |
12 |
18 |
|
4 |
2 |
0 |
16 |
20 |
10 |
3 |
19 |
18 |
13 |
8 |
17 |
15 |
21 |
12 |
6 |
14 |
7 |
5 |
1 |
9 |
11 |
|
1 |
17 |
15 |
20 |
9 |
2 |
19 |
18 |
10 |
12 |
7 |
16 |
14 |
3 |
21 |
11 |
5 |
13 |
6 |
4 |
0 |
8 |
|
16 |
14 |
20 |
8 |
1 |
19 |
18 |
9 |
7 |
11 |
6 |
15 |
13 |
0 |
2 |
21 |
10 |
4 |
12 |
5 |
3 |
17 |
|
13 |
20 |
7 |
0 |
19 |
18 |
8 |
6 |
16 |
10 |
5 |
14 |
12 |
15 |
17 |
1 |
21 |
9 |
3 |
11 |
4 |
2 |
|
20 |
6 |
17 |
19 |
18 |
7 |
5 |
15 |
1 |
9 |
4 |
13 |
11 |
12 |
14 |
16 |
0 |
21 |
8 |
2 |
10 |
3 |
|
5 |
16 |
19 |
18 |
6 |
4 |
14 |
0 |
2 |
8 |
3 |
12 |
10 |
20 |
11 |
13 |
15 |
17 |
21 |
7 |
1 |
9 |
Рис. 10
Латинские квадраты этой пары ОДЛК отличаются от латинских квадратов пары ОДЛК с рис. 5 – 6 фрагментами, выделенными на рис. 9 - 10 белым цветом. Точно так же во всех 576 вариантах неизоморфных пар ОДЛК латинские квадраты будут отличаться друг от друга этими же фрагментами. Соответственно и магические квадраты, построенные из этих пар ОДЛК, будут отличаться друг от друга теми же самыми фрагментами.
22 апреля 2009 г.
г. Саратов
Читайте мою виртуальную книгу “Волшебный мир магических квадратов”:
http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm
Скачайте электронную версию этой книги:
http://narod.ru/disk/5834353000/Magic_squares.pdf.html
Заодно прихватите книгу “Позиционные системы счисления”, авось, пригодится:
http://narod.ru/disk/5936760000/pozic4.pdf.html
Пишите мне!
На главную страницу
