НОВЫЕ АСПЕКТЫ МЕТОДА ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ

 

Часть VI

 

Данная страница является продолжением страницы

http://www.natalimak1.narod.ru/aspekty5.htm

 

 

Продолжаю разработку алгоритмов составления пар ОЛК чётных порядков. Все чётные порядки (за исключением 2 и 6) я разделила на три группы:

 

1.      n = 6k, k>1

2.      n = 2 (mod 6)

3.      n = 4 (mod 6)

 

Как уже было отмечено, для чётных порядков, являющихся степенью числа 2, составление пар ОЛК не вызывает затруднений. Кроме того, в предыдущей части статьи был показан метод составных квадратов; этот метод работает для порядков, представимых в виде произведения двух чисел, для каждого из которых существует пара диагональных ОЛК.

Мне удалось разработать алгоритм составления пар ОЛК для третьей группы порядков. Основой для этого алгоритма послужил греко-латинский квадрат 10-го порядка, найденный в Интернете. Таким образом, остаются две группы порядков.

Я попробовала по аналогии с алгоритмом, разработанным для третьей группы, разработать алгоритм для первой группы порядков. Вот что у меня получилось.

Начну с минимального порядка в данной группе – 12. На рис. 1 показана схема составления первого латинского квадрата.

 

 

Рис. 1

 

Переменные a₁, a₂, a₃ принимают значения 10, 11, 0 в любой комбинации.

На рис. 2 показана схема составления второго латинского квадрата.

 

 

Рис. 2

 

Аналогия со схемой составления пары ОЛК 10-го порядка полная.

Теперь задаём значения переменных и составляем конкретную пару ОЛК 12-го порядка. Пусть значения переменных будут такими: a₁ = 10, a₂ = 11, a₃ = 0. На рис. 3 – 4 показана пара ОЛК, построенная для данных значений переменных.

 

 

Рис. 3

 

 

Рис. 4

 

Понятно, что, варьируя значения переменных, можно составить 6 подобных пар ОЛК.

 

Программа проверки ортогональности подтверждает ортогональность этих латинских квадратов. Точно так же, как и латинские квадраты 10-го порядка, построенные по аналогичной схеме, латинские квадраты 12-го порядка не диагональные. Следующая трансформация тождественной перестановки чисел исправляет первый латинский квадрат, превращая его в нетрадиционный магический квадрат с магической константой 66:

 

0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11

9  4  2  3  1  5  6  7  8  0  10  11

 

На рис 5 показан преобразованный с помощью данной трансформации первый латинский квадрат.

 

 

Рис. 5

 

Для преобразования второго латинского квадрата применим следующую трансформацию тождественной перестановки чисел:

 

0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11

0  1  2  3  4  5  9  7  8  6  10  11

 

На рис. 6 вы видите преобразованный второй латинский квадрат.

 

 

Рис. 6

 

И вот первый магический квадрат 12-го порядка, построенный методом латинских квадратов (с использованием классических латинских квадратов) (рис. 7):

 

 

Рис. 7

 

В квадрате выделена начальная цепочка. Конечно, она не такая стройная, как, например, в идеальном магическом квадрате 12-го порядка, но ход конём присутствует и здесь. Построенный магический квадрат не обладает никакими дополнительными свойствами. Это просто магический квадрат, построенный из пары ортогональных классических латинских квадратов методом латинских квадратов.

Интересно показать другие магические квадраты 12-го порядка, которые тоже были построены методом латинских квадратов (или могут быть построены этим методом). Вот, например, идеальный магический квадрат (копирую из другой статьи) (рис. 7а):

 

 

Рис. 7а

 

На рис. 8 – 9 показана пара ортогональных латинских квадратов, из которой построен этот квадрат.

 

 

Рис. 8

 

 

Рис. 9

 

Очевидно, что оба латинских квадрата являются обобщёнными латинскими квадратами.

Ещё один пример: ассоциативный магический квадрат, построенный методом квадратных рамок (рис. 10).

 

 

                                                                       Рис. 10

 

На рис. 11 – 12 показаны два ортогональных латинских квадрата, из которых может быть построен этот магический квадрат. Оба этих латинских квадрата тоже обобщённые.

 

 

                                                                       Рис. 11

 

 

                                                                       Рис. 12

 

И последний пример – совершенный магический квадрат (рис. 15). На рис. 13-14 показаны обобщённые латинские квадраты, из которых построен приведённый совершенный квадрат.

 

 

Рис. 13

 

 

Рис. 14

 

 

Рис. 15

 

Читатели могут найти в моих статьях множество других квадратов 12-го порядка, например: сотовый магический квадрат, магический квадрат, построенный методом окаймлённых квадратов, пандиагональный квадрат, составной магический квадрат. Но ни один из этих квадратов не раскладывается на два ортогональных классических латинских квадрата. Таким образом, полученный выше результат единственный в своём роде.

 

***

 

Следующий порядок в группе порядков n = 6k (k>1) равен 18. Этот порядок относится к чётно-нечётным порядкам, для которых не существует ни ассоциативных, ни пандиагональных, ни идеальных, ни совершенных квадратов. Предшествующий ему чётно-нечётный порядок 14 так пока и остаётся для меня загадкой. Он как раз входит во вторую группу порядков, для которой мне пока не удалась разработать алгоритм составления пар ОЛК. А сейчас покажу, какая схема у меня получилась для пары ОЛК 18-го порядка. Здесь всё аналогично схеме для квадратов 12-го порядка. На рис. 16 изображена схема составления первого латинского квадрата 18-го порядка.

 

 

Рис. 16

 

Здесь переменные a₁, a₂, a₃, a₄, a₅ принимают значения 14, 15, 16, 17, 0 в любой комбинации.

На рис 17 показана схема составления второго латинского квадрата.

 

 

Рис. 17

 

Теперь осталось построить конкретную пару ОЛК, задав значения переменных. Пусть это будут такие значения: a₁ = 14, a₂ = 15, a₃ = 16, a₄ = 17, a₅ = 0. На рис 18 – 19 показана пара ОЛК для данных значений.

 

 

Рис. 18

 

 

Рис. 19

 

Пара ОЛК построена. Латинские квадраты в этой паре не диагональные, но в обоих квадратах неправильная только одна диагональ. К тому же набор чисел в неправильной диагонали совершенно одинаковый в обоих квадратах. Поэтому оба квадрата исправляются одной и той же трансформацией тождественной перестановки чисел:

 

0  1  2  3  4  5   6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17

0  1  2  3  4  5 17  7  8  9  13  11  12  10  14  15  16   6

 

На рис. 20 – 21 показаны преобразованные латинские квадраты.

 

 

Рис. 20

 

 

Рис. 21

 

Теперь оба латинских квадрата являются нетрадиционными магическими квадратами с магической константой 153 и вполне пригодны для построения магического квадрата. Программа проверки ортогональности подтверждает ортогональность квадратов и строит магический квадрат 18-го порядка, который приведён ниже (рис. 22). Это первый магический квадрат данного порядка, построенный методом латинских квадратов. Для чётно-нечётных порядков я вообще нигде не встречала построение магических квадратов с помощью пары ОЛК, если не считать построение нетрадиционных идеальных квадратов, да и там используются обобщённые латинские квадраты, а не классические.

 

 

Рис. 22

 

Вот такой магический квадрат 18-го порядка с довольно оригинальной начальной цепочкой у меня получился. Можно построить и второй магический квадрат, поменяв местами латинские квадраты в формуле для построения магического квадрата. Предлагаю читателям сделать это.

Варьируя значения переменных a_i, можно получить 120 вариантов подобных пар ОЛК 18-го порядка. Из каждой пары ОЛК построится новый магический квадрат. Кроме того, как уже отмечалось, можно варьировать ортогональные латинские квадраты 5-го порядка, расположенные в нижнем правом квадрате 5х5 латинских квадратов 18-го порядка. Это даст новые варианты пар ОЛК.

 

Для порядка 24 не буду показывать латинские квадраты в общем виде (с переменными a_i), а сразу составляю конкретную пару ОЛК. На рис. 23 вы видите первый латинский квадрат 24-го порядка, на рис. 24 – второй латинский квадрат ортогональный первому.

 

 

Рис. 23

 

 

Рис. 24

 

Пара ОЛК готова. Программа проверки ортогональности подтвердила ортогональность этих латинских квадратов. Точно так же, как и для порядка 18, латинские квадраты получились с одной неправильной диагональю, причём в обоих квадратах набор чисел в неправильной диагонали совершенно одинаковый. Поэтому оба квадрата исправляются одной и той же трансформацией тождественной перестановки чисел. Вот эта трансформация:

 

0   1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23   24

21 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  19  16  17  18  15  20  0    22  23   24

 

Предоставляю читателям выполнить преобразование латинских квадратов с помощью данной трансформации и построить из получившейся пары ОЛК магический квадрат 24-го порядка.

 

Наблюдательные и вдумчивые читатели заметят, что в предложенном алгоритме, по сравнению с алгоритмом для группы порядков n = 4(mod 6), гармония несколько нарушается всего в одном прямоугольнике (в первом латинском квадрате это нижний прямоугольник, соответственно во втором латинском квадрате это правый прямоугольник). Для порядка 12 нарушение гармонии не так заметно, а вот для следующих порядков уже бросается в глаза сразу. Это вызывает и некоторые технические трудности в составлении пары ОЛК, но эти трудности вполне преодолимы. Всё делается с помощью программы.

 

Продолжение будет здесь:

 

http://www.natalimak1.narod.ru/aspekty7.htm

 

 

14 – 15 января 2009 г.

г. Саратов

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу