НОВЫЕ АСПЕКТЫ МЕТОДА ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ (часть V)

 

или

 

НОВЫЕ ГРУППЫ ПАР ОЛК

 

Данная страница является продолжением страницы

http://www.natalimak1.narod.ru/aspekty3.htm

 

Разработав в предыдущей части статьи схему составления пар ОЛК 10-го порядка, я увидела в этой схеме удивительную пару ОЛК 7-го порядка. Это такая пара ОЛК, из которой можно строить идеальные магические квадраты.

 Воспроизведу указанную схему составления пар ОЛК 10-го порядка (рис. 1).

 

 

Рис. 1

 

Просто великолепная схема! Присмотревшись к ней внимательно, я увидела, что в верхнем правом квадрате 7х7 в этих латинских квадратах находятся ортогональные квадраты 7-го порядка. Ну, понятно, что в правом нижнем углу находятся ортогональные квадраты 3-го порядка, но они не столь интересны. А вот пара ОЛК 7-го порядка получается необыкновенная. Сначала показываю эту пару ОЛК в том виде, как я извлекла её из квадратов 10-го порядка с рис. 1. Смотрите на рис. 2.

 

 

Рис. 2

 

По раскраске этих квадратов вы поймёте, как они получились из латинских квадратов 10-го порядка, изображённых на рис.1.

Теперь запишу эти ортогональные латинские квадраты в традиционном виде (рис. 3):

 

 

Рис. 3

 

Эти латинские квадраты являются нетрадиционными магическими квадратами с магической константой 21 (к тому же они диагональные). И не только! Они ещё ассоциативные и пандиагональные. И поэтому вполне понятно, что магический квадрат, построенный из этой пары ОЛК, является идеальным. Кроме того, второй латинский квадрат получается из первого отражением относительно главной диагонали, то есть эти латинские квадраты, как магические, эквивалентны.

Покажу греко-латинский квадрат, получающийся из этой пары ОЛК (рис. 4).

 

 

Рис. 4

 

Обратите внимание на своеобразную диагональную симметрию в этом квадрате: числа, расположенные симметрично относительно главной диагонали, “перевёрнуты”. Точно таким же свойством обладает тот самый греко-латинский квадрат 10-го порядка, из которого я получила пару ОЛК, изображённую на рис. 1 (симметрия в этом квадрате 10-го порядка нарушается только в правом нижнем квадрате 3х3).

И вот идеальный магический квадрат 7-го порядка, построенный из данной пары ОЛК (рис. 5):

 

 

Рис. 5

 

А на рис. 6 показан второй идеальный квадрат, построенный из этой же пары ОЛК, только латинские квадраты поменялись местами.

 

 

Рис. 6

 

Очевидно, что этот квадрат эквивалентен квадрату с рис. 5.

К сожалению, из пары ОЛК 22-го порядка мне не удалось аналогично извлечь пару ОЛК 15-го порядка.

 

А теперь напомню читателям, что в своей статье “Построение идеальных квадратов нечётного порядка с помощью латинских квадратов” (http://www.klassikpoez.narod.ru/idlat.htm ) я придумала схему составления пары ОЛК для любого нечётного порядка не кратного 3. Посмотрев сейчас на пару ОЛК 7-го порядка, я увидела, что один из квадратов этой пары в точности совпадает с квадратом пары ОЛК, полученной сейчас (см. этот квадрат на рис. 3 справа). А вот второй квадрат в указанной статье был получен из первого по-другому: отражением относительно горизонтальной оси симметрии (а не отражением относительно главной диагонали, как это сделано сейчас). Продублирую пару ОЛК для квадратов 7-го порядка из указанной статьи (рис. 7 – 8).

 

 

Рис. 7

 

 

Рис. 8

 

А на рис. 9 изображён идеальный квадрат 7-ого порядка, полученный в статье из данной пары ОЛК.

 

 

Рис. 9

 

Очевидно, что этот квадрат не эквивалентен идеальному квадрату, полученному здесь (см. рис. 5). Таким образом, мы имеем новую пару ОЛК 7-го порядка. Разумеется, из этой пары можно тоже получить 5040 подобных пар с помощью трансформации тождественной перестановки чисел.

Совершенно понятно, что по такой схеме можно составлять пары ОЛК для любого нечётного порядка не кратного 3.

 

***

 

А теперь покажу описанную в предыдущей части статьи схему составления пары ОЛК для квадратов следующего порядка в серии n = 10(mod 12). Этот порядок равен 34. Во-первых, ещё раз наглядно продемонстрирую данную схему для следующего порядка, во-вторых, извлеку пару латинских квадратов 23-го порядка.

Приведу только первый латинский квадрат, второй квадрат предлагается построить читателям. Моя цель - извлечь из латинского квадрата 34-го порядка пару ОЛК 23-го порядка, для этого мне достаточно построить первый латинский квадрат.

Поскольку квадрат очень большой, буду показывать его частями, из которых он состоит: верхний левый квадрат 23х23, нижний правый квадрат 11х11, правый прямоугольник 11х23, нижний прямоугольник 11х23. Здесь будет 11 переменных a_i, они принимают значения 24, 25, … 32, 33, 0 в любой комбинации.

Итак, сначала показываю верхний левый квадрат 23х23 (рис. 10):

 

 

Рис. 10

 

Теперь показываю правый прямоугольник 11х23 (рис. 11):

 

 

Рис. 11

 

На рис. 12 вы видите нижний прямоугольник 11х23.

 

 

Рис. 12

 

Наконец, осталось составить нижний правый квадрат 11х11. Этот квадрат может быть, например, таким (рис. 13):

 

 

Рис. 13

 

Вот такой сборный латинский квадрат 34-го порядка здесь представлен. Надеюсь, что читатели сумеют его собрать (образец сборки на рис. 1)

 

Теперь берём квадрат 23х23 с рис. 10, присоединяем к нему прямоугольник с рис. 11 и получаем такой первый латинский квадрат 23-го порядка (рис. 14):

 

 

Рис. 14

 

Теперь отражаем этот квадрат относительно главной диагонали (содержащей тождественную перестановку чисел 1, 2, 3, … 23; эта диагональ выделена жёлтым цветом) и получаем второй латинский квадрат (рис. 15).

 

 

Рис. 15

 

Пара ОЛК получена. И снова второй латинский квадрат (рис. 15) совпадает с латинским квадратом, построенным по схеме, изложенной в указанной выше статье. Если первый латинский квадрат получить из квадрата с рис. 15 отражением не относительно главной диагонали, а относительно горизонтальной оси симметрии, то получится другая пара ОЛК в точности совпадающая с парой ОЛК, построенной по схеме, изложенной в указанной статье.

 

Программа проверки ортогональности подтвердила ортогональность этих латинских квадратов (рис. 14 – 15) и заодно построила идеальный магический квадрат 23-го порядка из данной пары ОЛК. Вот этот квадрат:

 

 1  69  114  159  204  249  294  339  384  429  474  519  35  80  125  170  215  260  305  350  395  440  485

 509  25  70  138  183  228  273  318  363  408  453  498  14  59  104  149  194  239  284  329  374  419  464

 488  4  49  94  139  207  252  297  342  387  432  477  522  38  83  128  173  218  263  308  353  398  443

 467  512  28  73  118  163  208  276  321  366  411  456  501  17  62  107  152  197  242  287  332  377  422

 446  491  7  52  97  142  187  232  277  345  390  435  480  525  41  86  131  176  221  266  311  356  401

 425  470  515  31  76  121  166  211  256  301  346  414  459  504  20  65  110  155  200  245  290  335  380

 404  449  494  10  55  100  145  190  235  280  325  370  415  483  528  44  89  134  179  224  269  314  359

 383  428  473  518  34  79  124  169  214  259  304  349  394  439  484  23  68  113  158  203  248  293  338

 362  407  452  497  13  58  103  148  193  238  283  328  373  418  463  508  24  92  137  182  227  272  317

 341  386  431  476  521  37  82  127  172  217  262  307  352  397  442  487  3  48  93  161  206  251  296

 320  365  410  455  500  16  61  106  151  196  241  286  331  376  421  466  511  27  72  117  162  230  275

 299  344  389  434  479  524  40  85  130  175  220  265  310  355  400  445  490  6  51  96  141  186  231

 255  300  368  413  458  503  19  64  109  154  199  244  289  334  379  424  469  514  30  75  120  165  210

 234  279  324  369  437  482  527  43  88  133  178  223  268  313  358  403  448  493  9  54  99  144  189

 213  258  303  348  393  438  506  22  67  112  157  202  247  292  337  382  427  472  517  33  78  123  168

 192  237  282  327  372  417  462  507  46  91  136  181  226  271  316  361  406  451  496  12  57  102  147

 171  216  261  306  351  396  441  486  2  47  115  160  205  250  295  340  385  430  475  520  36  81  126

 150  195  240  285  330  375  420  465  510  26  71  116  184  229  274  319  364  409  454  499  15  60  105

 129  174  219  264  309  354  399  444  489  5  50  95  140  185  253  298  343  388  433  478  523  39  84

 108  153  198  243  288  333  378  423  468  513  29  74  119  164  209  254  322  367  412  457  502  18  63

 87  132  177  222  267  312  357  402  447  492  8  53  98  143  188  233  278  323  391  436  481  526  42

 66  111  156  201  246  291  336  381  426  471  516  32  77  122  167  212  257  302  347  392  460  505  21

 45  90  135  180  225  270  315  360  405  450  495  11  56  101  146  191  236  281  326  371  416  461  529

 

Итак, мы имеем уже две схемы составления пар ОЛК нечётного порядка не кратного 3. В обеих схемах из пар ОЛК получаются идеальные магические квадраты. Покажу ещё пары ОЛК, составленные по описанной здесь схеме для порядков 5 и 11.

Буду записывать латинские квадраты в традиционном виде, мне так удобнее. На рис. 16 показана пара ОЛК 5-го порядка.

 

 

Рис. 16

 

Закономерности построения второго латинского квадрата (на рис. 16 этот квадрат изображён справа) описаны в указанной выше статье. В построении первого латинского квадрата тоже есть свои закономерности: в первой строке записываются сначала все чётные числа в порядке возрастания, затем все нечётные числа тоже в порядке возрастания. Каждая следующая строка получается из предыдущей циклическим сдвигом с постоянным шагом. Шаг определяется порядком квадрата. Оба латинских квадрата получаются друг из друга отражением относительно главной диагонали, содержащей тождественную перестановку чисел 0, 1, 2, … n.

На рис. 17 показана пара ОЛК 11-го порядка.

 

 

Рис. 17

 

Следует отметить, что оба латинских квадрата в парах ОЛК, построенных по данной схеме, диагональные.

Чтобы ещё раз напомнить интересное свойство греко-латинского квадрата, составленного из пар ОЛК, построенных по этой схеме, покажу греко-латинский квадрат, составленный из пары ОЛК 11-го порядка с рис. 17 (см. рис. 18).

 

 

Рис. 18

 

Такая вот красивая диагональная симметрия. Она вполне понятна: латинские квадраты получаются один из другого отражением относительно главной диагонали.

 

***

 

Получив пары ОЛК любого нечётного порядка не кратного 3, я подумала: а почему бы не применить схему, рассмотренную в предыдущей части статьи, для других чётных порядков. Напомню, что рассмотренная выше схема действует для порядков n = 10(mod 12). Так было написано в статье, в которой была взята аналогичная схема Стенсона.

Итак, я решила попробовать работу этой же схемы для порядков n = 4(mod 6). Понятно, что указанная выше серия порядков входит в предлагаемую мной серию. Предлагаемая мной серия содержит такие порядки: 4, 10, 16, 22, 28, 34, 40, … Указанная выше серия содержит такие порядки: 10, 22, 34, 46, …

Для порядка n = 4 эта схема прекрасно работает. На рис. 19 показана пара ОЛК 4-го порядка, построенная по этой схеме.

 

 

Рис. 19

 

Здесь всё в точном соответствии со схемой, показанной на рис. 1.

Для порядка n = 10 схема уже показана. Переходим к следующему порядку n = 16. Напомню, что для данного порядка, который является степенью числа 2, просто составить пары ОЛК. Мной построена одна такая пара, состоящая из диагональных латинских квадратов. Эта пара ОЛК показана в предыдущих частях статьи. Сейчас мы получим новую пару ОЛК 16-го порядка. В этой паре латинские квадраты не диагональные.

Сначала покажу схему составления пар ОЛК 16-го порядка с использованием переменных a_i, точно так же, как это сделано на рис. 1 для квадратов 10-го порядка. Здесь переменных будет пять и принимают они значения 12, 13, 14, 15, 0 в любой комбинации. На рис. 20 показана схема составления первого латинского квадрата.

 

 

Рис. 20

 

Теперь составляем схему для второго латинского квадрата ортогонального данному (рис. 21):

 

 

Рис. 21

 

Схемы для обоих квадратов готовы. Теперь можно построить конкретную пару ОЛК, задав значения переменных. Пусть эти значения будут такими: a₁ = 12, a₂ = 13, a₃ = 14, a₄ = 15, a₅ = 0. На рис. 22 – 23 показана пара ОЛК для данных значений переменных.

 

 

Рис. 22

 

 

Рис. 23

 

Понятно, что можно составить 120 вариантов подобных пар ОЛК, варьируя значения переменных.

Программа проверки ортогональности подтверждает ортогональность этих латинских квадратов. Заметьте: схема составлена таким образом, что в обоих латинских квадратах неправильная только одна диагональ. В полумагическом квадрате 16-го порядка, который построен в программе проверки ортогональности, неправильная тоже только одна диагональ, в другой диагонали магическая сумма есть. Показываю этот полумагический квадрат, выданный программой.

 

 18  204  219  234  249  8  33  80  111  142  173  51  84  117  150  183

 189  35  194  220  235  250  9  49  96  127  158  68  101  134  167  24

 174  29  52  195  210  236  251  10  65  112  143  85  118  151  184  41

 159  190  45  69  196  211  226  252  11  81  128  102  135  168  25  58

 144  175  30  61  86  197  212  227  242  12  97  119  152  185  42  75

 113  160  191  46  77  103  198  213  228  243  2  136  169  26  59  92

 3  129  176  31  62  93  120  199  214  229  244  153  186  43  76  98

 245  4  145  192  47  78  109  137  200  215  230  170  27  60  82  115

 231  246  5  161  32  63  94  125  154  201  216  187  44  66  99  132

 217  232  247  6  177  48  79  110  141  171  202  28  50  83  116  149

 203  218  233  248  7  17  64  95  126  157  188  34  67  100  133  166

 36  53  70  87  104  121  138  155  172  178  19  205  222  239  256  1

 54  71  88  105  122  139  156  162  179  20  37  238  255  16  193  221

 72  89  106  123  140  146  163  180  21  38  55  15  208  209  237  254

 90  107  124  130  147  164  181  22  39  56  73  224  225  253  14  207

 108  114  131  148  165  182  23  40  57  74  91  241  13  206  223  240

 

Итак, получена новая пара ОЛК 16-го порядка. Латинские квадраты в этой паре чуточку плохие, “хромые” на одну диагональ. Однако исправить этот недостаток очень просто. Тем более, здесь очень интересный случай: неправильная диагональ в обоих латинских квадратах содержит одинаковый набор чисел. Поэтому для исправления сразу обоих квадратов достаточно одной трансформации тождественно перестановки чисел. Сейчас сумма чисел в неправильной диагонали равна 113. Набор чисел в этой диагонали такой:

 

11    10  9  8  7  0  14  12  7  4  1  6  6  6  6  6

 

Исправляем неправильную диагональ, используя следующую трансформацию тождественной перестановки чисел:

 

0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15

5  3  2  1  4  0  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15

 

Трансформация очень легко определяется простым подбором. В результате такого преобразования, применённого к обоим латинским квадратам данной пары ОЛК, мы получим латинские квадраты хотя и не диагональные, но являющиеся нетрадиционными магическими квадратами с магической константой 120, а значит вполне пригодные для построения магического квадрата. Показываю преобразованные латинские квадраты (рис. 24 – 25):

 

 

Рис. 24

 

 

Рис. 25

 

Легко убедиться, что эти латинские квадраты являются нетрадиционными магическими квадратами с магической константой 120. Это ещё раз подтверждает высказанную мной гипотезу, что из любой пары ОЛК можно получить с помощью трансформаций тождественной перестановки чисел пару ОЛК пригодную для построения магического квадрата. Интересно также ещё раз подчеркнуть, что трансформация тождественной перестановки чисел не нарушает ортогональности латинских квадратов. Квадраты в данной паре по-прежнему ортогональны.

И вот перед вами магический квадрат, выданный программой проверки ортогональности преобразованной пары ОЛК:

 

 52  204  219  234  249  88  38  80  111  142  173  19  2  117  145  183

 189  35  196  220  235  250  89  22  16  127  158  66  101  129  167  56

 174  61  18  195  212  236  251  90  70  112  143  5  113  151  184  41

 159  190  45  69  194  211  228  252  91  6  128  97  135  168  57  26

 144  175  62  29  1  197  210  227  244  92  102  119  152  185  42  75

 118  160  191  46  77  103  193  213  226  243  84  136  169  58  27  12

 83  134  176  63  30  13  120  199  209  229  242  153  186  43  76  100

 245  82  150  192  47  78  109  137  200  215  225  170  59  28  4  115

 231  241  85  166  64  31  14  125  154  201  216  187  44  68  99  130

 217  232  247  81  182  48  79  110  141  171  202  60  20  3  114  149

 203  218  233  248  87  54  32  15  126  157  188  36  67  98  133  161

 34  21  65  7  104  121  138  155  172  180  51  205  222  239  256  86

 17  71  8  105  122  139  156  164  179  50  37  238  255  96  198  221

 72  9  106  123  140  148  163  178  53  33  23  95  208  214  237  254

 10  107  124  132  147  162  181  49  39  24  73  224  230  253  94  207

 108  116  131  146  165  177  55  40  25  74  11  246  93  206  223  240

 

Примечание: замечу, что приведённая трансформация тождественной перестановки чисел не единственная, исправляющая неправильную диагональ в латинских квадратах. Можно применить, например, такую трансформацию (она более простая в исполнении, чем показанная выше – надо заменить всего одну пару чисел):

 

0  1  2  3  4   5   6  7   8   9  10  11  12  13  14  15

0  1  2  3  4  5  6  7  15  9  10  11 12  13  14   8

 

Как я уже отметила, с порядком 16 у нас и так всё благополучно, поскольку он является степенью числа 2. Далее в рассматриваемой серии порядков n = 4(mod 6) следует порядок 22, который уже был рассмотрен. Следующий порядок n = 28 куда более интересен. Тут уже Maple не поможет. Правда, я вычитала в одной англоязычной статье, что если есть пары ОЛК порядков k и m, то легко построить пару ОЛК порядка  n = k*m. То есть имеется некий аналог метода составных квадратов, действующего для построения магических квадратов. Однако как именно это надо делать в случае построения пары ОЛК, я не знаю. А так можно было бы взять пары ОЛК порядка k = 4 и порядка m = 7 и построить пару ОЛК порядка 28. Ну, познание этого метода ещё впереди. А сейчас опробуем имеющуюся у нас схему. Не буду в этом случае показывать латинские квадраты в общем виде с переменными a_i, а сразу построю конкретную пару ОЛК. Переменных здесь будет 9, они принимают значения 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 0 в любой комбинации. Для конкретной пары я выбираю такие значения переменных: a₁ = 20, a₂ =21, a₃ =22, a₄ = 23, a₅ = 24, a₆ = 25, a₇ = 26, a₈ = 27, a₉ = 0.

Итак, приступаем к построению первого латинского квадрата 28-го порядка по той же самой схеме (рис. 26):

 

 

Рис. 26

 

Теперь очень просто построить второй латинский квадрат. Верхний угловой квадрат 19х19 отражается относительно главной диагонали, содержащей тождественную перестановку чисел 1, 2, 3, … 19 (эта диагональ выделена оранжевым цветом). Прямоугольники 9х19 переставляются с заменой столбцов на строки; в нижнем угловом квадрате 9х9 записывается любой латинский квадрат 9-го порядка ортогональный имеющемуся в первом латинском квадрате в этом же самом угловом квадрате 9х9. Понятно, что удобнее выбрать такой латинский квадрат 9-го порядка, чтобы главная диагональ латинского квадрата 28-го порядка осталась правильной. Готовый второй латинский квадрат показан на рис. 27.

 

 

Рис. 27

 

Всё получилось! Латинские квадраты ортогональны. В каждом квадрате неправильная только одна диагональ, при этом точно так же, как и в квадратах 16-го порядка, наборы чисел в неправильных диагоналях совершенно одинаковые. Чтобы исправить квадраты, достаточно одной трансформации тождественно перестановки чисел, причём очень простой:

 

0  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26  27

0 27 2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  25  26   1

 

Преобразовываю латинские квадраты программой, она это делает в долю секунды, что ей стоит заменить во всём квадрате 1 на 27, а 27 на 1. Не буду показывать преобразованные латинские квадраты, а покажу только магический квадрат, выданный программой после того, как она преобразовала квадраты. Вот этот магический квадрат 28-го порядка:

 

784  580  607  634  661  688  715  742  41  12  57  114  195  250  305  360  415  470  525  87  144  201  258  315  372  429  486  543

 553  59  588  608  635  662  689  716  743  42  13  85  142  223  278  333  388  443  498  116  173  230  287  344  401  458  515  768

 526  777  88  563  616  636  663  690  717  744  43  14  113  170  251  306  361  416  471  145  202  259  316  373  430  487  544  69

 499  554  77  117  564  591  644  664  691  718  745  44  15  141  198  279  334  389  444  174  231  288  345  402  459  516  769  98

 472  527  778  105  146  565  592  619  672  692  719  746  45  16  169  226  307  362  417  203  260  317  374  431  488  545  70  127

 445  500  555  78  133  175  566  593  620  647  700  720  747  46  17  197  254  335  390  232  289  346  403  460  517  770  99  156

 418  473  528  779  106  161  204  567  594  621  648  675  728  748  47  18  225  282  363  261  318  375  432  489  546  71  128  185

 391  446  501  556  79  134  189  233  568  595  622  649  676  703  756  48  19  253  310  290  347  404  461  518  771  100  157  214

 338  419  474  529  780  107  162  217  262  569  596  623  650  677  704  731  56  20  281  319  376  433  490  547  72  129  186  243

 309  366  447  502  557  80  135  190  245  291  570  597  624  651  678  705  732  31  28  348  405  462  519  772  101  158  215  272

 3  337  394  475  530  781  108  163  218  273  320  571  598  625  652  679  706  733  32  377  434  491  548  73  130  187  244  308

 33  4  365  422  503  558  81  136  191  246  301  349  572  599  626  653  680  707  734  406  463  520  773  102  159  216  280  311

 735  34  5  393  450  531  782  109  164  219  274  329  378  573  600  627  654  681  708  435  492  549  74  131  188  252  283  340

 709  736  35  6  421  478  559  82  137  192  247  302  357  407  574  601  628  655  682  464  521  774  103  160  224  255  312  369

 683  710  737  36  7  449  506  783  110  165  220  275  330  385  436  575  602  629  656  493  550  75  132  196  227  284  341  398

 657  684  711  738  37  8  477  534  83  138  193  248  303  358  413  465  576  603  630  522  775  104  168  199  256  313  370  427

 631  658  685  712  739  38  9  505  758  111  166  221  276  331  386  441  494  577  604  551  76  140  171  228  285  342  399  456

 605  632  659  686  713  740  39  10  533  58  139  194  249  304  359  414  469  523  578  776  112  143  200  257  314  371  428  485

 579  606  633  660  687  714  741  40  11  757  86  167  222  277  332  387  442  497  552  84  115  172  229  286  343  400  457  514

 60  89  118  147  176  205  234  263  292  321  350  379  408  437  466  495  524  560  759  581  610  639  668  697  726  755  30  1

 90  119  148  177  206  235  264  293  322  351  380  409  438  467  496  532  535  760  61  612  641  586  699  702  645  49  22  751

 120  149  178  207  236  265  294  323  352  381  410  439  468  504  507  536  761  62  91  643  562  589  721  666  975  24  753  54

 150  179  208  237  266  295  324  353  382  411  440  476  479  508  537  762  63  92  121  646  673  727  750  51  21  585  614  640

 180  209  238  267  296  325  354  383  412  448  451  480  509  538  763  64  93  122  151  694  723  665  53  26  752  590  617  587

 210  239  268  297  326  355  384  420  423  452  481  510  539  764  65  94  123  152  181  725  670  696  2  729  55  638  583  609

 240  269  298  327  356  392  395  424  453  482  511  540  765  66  95  124  153  182  211  754  52  25  561  615  618  667  693  722

 270  299  328  364  367  396  425  454  483  512  541  766  67  96  125  154  183  212  241  29  27  730  611  637  582  698  724  669

 300  336  339  368  397  426  455  484  513  542  767  68  97  126  155  184  213  242  271  23  749  50  642  584  613  701  671  674

 

Далее в рассматриваемой серии порядков n = 4(mod 6) следует порядок 34. Для этого порядка в начале статьи дана схема составления первого латинского квадрата. Второй квадрат составляется в точном соответствии со схемой.

 

Итак, у меня осталась нерешённой задача составления пар ОЛК для порядков n = 6k, k>1 и n = 2(mod 6), которые не являются степенью числа 2. Это относится к парам не диагональных ОЛК. С парами диагональных ОЛК всё сложнее. Здесь мне известны только пары диагональных ОЛК 10-го порядка. Разумеется, тоже не считаем порядки, являющиеся степенью числа 2.

Хотя вчера меня вдруг осенило, и я легко составила пару диагональных ОЛК 20-го порядка из пар диагональных ОЛК 4-го и 5-го порядков. Читайте об этом здесь:

http://www.natalimak1.narod.ru/aspekty5.htm

 

11 - 12 января 2009 г.

г. Саратов

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу