Н. Макарова

 

НОВЫЕ АСПЕКТЫ МЕТОДА ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ

 

Часть XI

 

 

С ещё большим интересом вернулась на веб-страницу, где строятся пандиагональные квадраты 8-го порядка:

 

http://www.grogono.com/magic/8x8.php

 

Конечно, её я тоже изучала, когда впервые строила пандиагональные квадраты данного порядка. Сейчас с удивлением обнаружила, что автор этой статьи применяет какой-то другой метод, а не метод латинских квадратов. Я тогда назвала все методы, применяемые автором этой статьи, матричными; сюда попал и метод латинских квадратов. Впрочем, этот метод тоже ведь основан на суммировании двух матриц, которыми являются два ортогональных латинских квадрата (при этом элементы одной из матриц умножаются на порядок квадрата). Но вернусь к построению пандиагональных квадратов 8-го порядка. В статье составляются шесть матриц из нулей и единиц, потом эти матрицы суммируются, и получается общая матрица в символьном виде, по которой и строятся пандиагональные квадраты. Покажу копию общей матрицы и пандиагонального квадрата 8-го порядка из этой статьи (рис. 1):

 

     

 

Рис. 1

 

Мне очень любопытно стало посмотреть, на какие ортогональные латинские квадраты раскладывается этот пандиагональный квадрат. Вы видите эту пару ОЛК на рис. 2.

 

 

Рис. 2

 

Оба квадрата являются обобщёнными латинскими квадратами. Интересно, почему автор не применил для построения пандиагональных магических квадратов 8-го порядка классические латинские квадраты?

 

Построение пандиагональных магических квадратов 8-го порядка методом латинских квадратов с использованием пары ортогональных обобщённых латинских квадратов описано также в книге Ю. В. Чебракова “Магические квадраты. Теория чисел, алгебра, комбинаторный анализ” (С. – Петербург, 1995) [см. стр. 119]. В приведённом в книге примере квадраты получаются не только пандиагональные, но и совершенные.

Однако меня интересует метод латинских квадратов с использованием классических латинских квадратов. Почему-то Чебраков тоже не описал в своей книге такой вариант метода латинских квадратов для построения пандиагональных квадратов 8-го порядка.

Смотрю на группу MOLS 8-го порядка. Она состоит из семи квадратов, один из них недиагональный. Среди шести диагональных квадратов нахожу всего два латинских квадрата, которые являются нетрадиционными магическими пандиагональными квадратами. Эту пару ОЛК вы видите на рис. 3.

 

 

Рис. 2

 

На рис. 3 – 4 показаны пандиагональные магические квадраты, построенные из данной пары ОЛК.

 

 

Рис. 3

 

 

Рис. 4

 

Однако данная пара ОЛК очень отличается от аналогичных пар ОЛК 5-го и 7-го порядка, показанных в предыдущих частях статьи. Отличие это состоит в том, что в латинских квадратах данной пары ОЛК не во всех разломанных диагоналях содержится перестановка чисел 0, 1, 2, … , 7, в некоторых разломанных диагоналях имеются одинаковые числа. По этой причине далеко не всякая трансформация тождественной перестановки чисел сохраняет свойство пандиагональности в латинских квадратах этой пары, а это ведёт к тому, что из таких вариантов пар ОЛК получаются магические, но не пандиагональные квадраты. Если считать только латинские квадраты, начинающиеся с числа 0, то возможны для каждого латинского квадрата 5040 вариантов, получаемых трансформацией тождественной перестановки чисел. Чтобы узнать, сколько же будет пар, дающих пандиагональные магические квадраты, составляю программу. В программе преобразовываю только первый латинский квадрат, а второй оставляю без изменения. Программа выдаёт 96 пандиагональных магических квадратов. Если поменять местами латинские квадраты во всех полученных парах ОЛК, можно получить ещё группу из 96 пандиагональных магических квадратов. На рис. 5 показан пандиагональный квадрат, выданный программой под № 2 (под № 1 выдан квадрат с рис. 3).

 

 

Рис. 5

 

Кстати, во всех приведённых пандиагональных магических квадратах есть интересное свойство: комплементарные числа расположены симметрично вертикальной оси симметрии квадрата.

Конечно, эти два магических квадрата (с рис. 3 и с рис. 5) связаны преобразованием “плюс-минус …”; это преобразование простое – “плюс-минус 8”, матрицу преобразования вы видите на рис. 6.

 

 

Рис. 6

 

Теперь мне захотелось посмотреть, сколько пандиагональных квадратов можно получить, преобразовывая второй латинский квадрат, а первый не изменяя. Предположила, что будет тоже 96 вариантов. Чуть-чуть корректирую программу и выполняю её. Так и получилось! Программа снова выдала 96 пандиагональных магических квадратов. Итак, из данной пары ОЛК можно построить две группы пандиагональных магических квадратов по 96*96 = 9216 квадратов в каждой. Это только те пандиагональные квадраты, которые начинаются с числа 1. Если посчитать все пандиагональные квадраты, полученные торическими переносами, то их будет в каждой группе 9216*64 = 589824. Ну, не буду умножать ещё на 8, чтобы посчитать все варианты, получаемые основными преобразованиями. По аналогии с квадратами 7-го порядка эти пандиагональные квадраты 8-го порядка можно назвать регулярными, так как они получаются из пары ОЛК, состоящей из двух стандартных классических латинских квадратов. Именно так я поняла название “регулярные”, данное автором цитируемой статьи пандиагональным квадратам 7-го порядка.

На рис. 7 показываю пандиагональный квадрат, который выдался новым вариантом программы под № 2 (понятно, что под № 1 выдался тот же самый квадрат с рис. 3).

 

 

Рис. 7

 

Новый магический квадрат с рис. 7 связан с квадратом с рис. 3 простым преобразованием “плюс-минус 1”, матрица которого изображена на рис. 8.

 

 

Рис. 8

 

Вот такие интересные построения пандиагональных магических квадратов 8-го порядка даёт нам метод латинских квадратов, применённый к паре ОЛК, состоящей из классических латинских квадратов.

 

Но это ещё не всё! Среди всех построенных выше пандиагональных квадратов нет ни одного идеального квадрата. Конечно, идеальные квадраты 8-го порядка тоже давно построены и исследованы. Но! Вот немного истории. В своей статье “Построение идеальных квадратов чётно-чётного порядка с помощью латинских квадратов” ( http://www.klassikpoez.narod.ru/latch.htm ) я писала: “Сразу отмечу один нюанс: сначала я буду идти от известного мне идеального квадрата. Как составить латинские квадраты для построения идеального квадрата 8-ого порядка, мне неизвестно”. Статья была написана в июле 2008 г. В статье исследованы те пары ОЛК, на которые раскладываются уже известные идеальные квадраты 8-го порядка, построенные другими методами. И все эти пары ОЛК состоят из обобщённых латинских квадратов. Ни одной пары ОЛК, состоящей из классических латинских квадратов! Теперь я составила такую пару ОЛК. Вы видите её на рис. 9.

 

 

Рис. 9

 

Первый латинский квадрат в этой паре я получила из латинского квадрата, изображённого на рис. 2 слева с помощью следующей трансформации тождественной перестановки чисел:

 

0  1  2  3  4  5  6  7

0  1  3  2  4  5  7  6

 

Второй латинский квадрат получается из первого отражением относительно главной диагонали. И вот она – пара ортогональных классических латинских квадратов, которая даёт идеальный магический квадрат! Показываю этот идеальный квадрат (рис. 10):

 

 

Рис. 10

 

Получен третий вид идеальных квадратов 8-го порядка. В этом идеальном квадрате начальная цепочка не имеет ни форму “ход конём”, ни линейную форму. Понятно, что если поменять местами латинские квадраты в паре ОЛК с рис. 9, то получится идеальный квадрат эквивалентный квадрату с рис. 10. Покажу и этот идеальный квадрат (рис. 11):

 

 

Рис. 11

 

Очевидно, что этот магический квадрат получается из квадрата с рис. 10 отражением относительно главной диагонали.

Опять же по аналогии с пандиагональными квадратами 7-го порядка, идеальные магические квадраты 8-го порядка, получаемые из пары ОЛК с рис. 9, будут нерегулярными.

Понятно, что, как и в случае с пандиагональными квадратами, рассмотренном выше, данная пара ОЛК тоже не при любой трансформации тождественной перестановки чисел будет давать идеальные квадраты. Оставляю вопрос о количестве вариантов, дающих идеальные квадраты, читателям. Не хочется писать ещё одну программу, чтобы дать ответ на этот вопрос.

 

Покажу ещё одну интересную пару для построения нерегулярных пандиагональных магических квадратов 8-го порядка. Так же, как автор цитируемой веб-страницы, я назвала эту пару “semi-irregular”, потому что пара состоит из одного классического квадрата и из одного обобщённого. Классический латинский квадрат является диагональным.

 

 

Рис. 12

 

На рис. 13-14 показаны пандиагональные магические квадраты 8-го порядка, построенные из этой пары ОЛК.

 

 

Рис. 13

 

 

Рис. 14

 

Получаем два оригинальных пандиагональных квадрата с новой формой начальной цепочки. Эти пандиагональные квадраты тоже следует назвать нерегулярными.

Интересно отметить, что в этих квадратах (рис. 13-14) выполняется свойство комплементарности, как в совершенных магических квадратах. Однако совершенными они не являются, потому что не во всех блоках 2х2, находящихся внутри этих квадратов,  сумма чисел равна 130.

Понятно, что латинские квадраты этой пары ОЛК можно преобразовывать далеко не любой трансформацией тождественной перестановки чисел. Такое преобразование в первом латинском квадрате может нарушить пандиагональность, а во втором латинском квадрате может нарушиться даже магичность.

 

 

15 марта 2009 г.

г. Саратов

 

 

Читайте мою виртуальную книгу “Волшебный мир магических квадратов”:

 

http://www.klassikpoez.narod.ru/glavnaja.htm

 

Скачайте электронную версию этой книги:

 

http://narod.ru/disk/5834353000/Magic_squares.pdf.html

 

 

Заодно прихватите книгу “Позиционные системы счисления”, авось, пригодится:

 

http://narod.ru/disk/5936760000/pozic4.pdf.html

 

       Пишите мне!

Приглашаю всех на форум!

На главную страницу